计量经济学ch5
CH5 参数估计
t 分布面积规律
-t/2,v
t/2,v
总体均数的可信区间 （σ已知、或σ未知但n很大）
X 1 P u u 2 2 / n
100(1 )%可信区间为 （X u / 2 / n X u / 2 / n）
均数
150
200
250
300
350
400
450
50
5. 5. 5. 5.
0
n 5; S X 0.2212
n 30; S X 0.0920
3个抽样实验结果图示
均数
100 150
3. 71 3. 92 4. 12 4. 33 4. 54 4. 74 4. 95 5. 15 5. 36 5. 57 5. 77 5. 98 6. 19
总体标准差
总体率
如：样本均数
样本均数的抽样误差 —— 标准误
抽样误差 总体
参 数
如：总体均数 抽取部分观察单位 样本
统计推断
统计量
如：样本均数 X
（sampling error) ：由 于个体差异导 致的样本统计 量与总体参数 间的差别。
一、抽样试验
从正态分布总体 N（5.00,0.502）中， 每次随机抽取样本含量n＝5，并计算其均数 与标准差；重复抽取1000次，获得1000份样 本；计算1000份样本的均数与标准差，并对 1000份样本的均数作直方图。 按上述方法再做样本含量n＝10、样本
100％
区别点
总体均数可信区间
参考值范围
按预先给定的概率，确定的未知参数 的可能范围。实际上 “正常人”的解剖，生理， 含 义 一次抽样算得的可信区间要么包含了总体均数， 要么不包含。 生化某项指标的波动范围。 但可以说：当=0.05 时，95%CI 估计正确的概率为 0.95，估 计错误的概率小于或等于 0.05，即有 95%的可能性包含了总 体均数。 总体均数的波动范围 计算 公式 用途 个体值的波动范围 正态分布： X u S 偏态分布：PX~P100X 绝大多数(如 95%)观察对象 某项指标的分布范围
伍德里奇计量经济学第六版答案Chapter 5
CHAPTER 5TEACHING NOTESChapter 5 is short, but it is conceptually more difficult than the earlier chapters, primarily because it requires some knowledge of asymptotic properties of estimators. In class, I give a brief, heuristic description of consistency and asymptotic normality before stating the consistency and asymptotic normality of OLS. (Conveniently, the same assumptions that work for finite sample analysis work for asymptotic analysis.) More advanced students can follow the proof of consistency of the slope coefficient in the bivariate regression case. Section E.4 contains a full matrix treatment of asymptotic analysis appropriate for a master’s level course.An explicit illustration of what happens to standard errors as the sample size grows emphasizes the importance of having a larger sample. I do not usually cover the LM statistic in a first-semester course, and I only briefly mention the asymptotic efficiency result. Without full use of matrix algebra combined with limit theorems for vectors and matrices, it is difficult to prove asymptotic efficiency of OLS.I think the conclusions of this chapter are important for students to know, even though they may not fully grasp the details. On exams I usually include true-false type questions, with explanation, to test the students’ understanding of asymptotics. [For example: “In large samples we do not have to worry about omitted variable bias.” (False). Or “Even if the error term is not normally distributed, in large samples we can still compute approximately valid confidence intervals under the Gauss-Markov assumptions.” (True).]SOLUTIONS TO PROBLEMS5.1 Write y = 0β + 1βx 1 + u , and take the expected value: E(y ) = 0β + 1βE(x 1) + E(u ), or µy = 0β + 1βµx since E(u ) = 0, where µy = E(y ) and µx = E(x 1). We can rewrite this as 0β = µy - 1βµx . Now, 0ˆβ = y - 1ˆβ1x . Taking the plim of this we have plim(0ˆβ) = plim(y - 1ˆβ1x ) = plim(y ) – plim(1ˆβ)⋅plim(1x ) = µy - 1βµx , where we use the fact that plim(y ) = µy and plim(1x ) = µx by the law of large numbers, and plim(1ˆβ) = 1β. We have also used the parts of Property PLIM.2 from Appendix C.5.2 A higher tolerance of risk means more willingness to invest in the stock market, so 2β > 0.By assumption, funds and risktol are positively correlated. Now we use equation (5.5), where δ1 > 0: plim(1β) = 1β + 2βδ1 > 1β, so 1β has a positive inconsistency (asymptotic bias). This makes sense: if we omit risktol from the regression and it is positively correlated with funds , some of the estimated effect of funds is actually due to the effect of risktol .5.3 The variable cigs has nothing close to a normal distribution in the population. Most people do not smoke, so cigs = 0 for over half of the population. A normally distributed randomvariable takes on no particular value with positive probability. Further, the distribution of cigs is skewed, whereas a normal random variable must be symmetric about its mean.5.4 Write y = 0β + 1βx + u , and take the expected value: E(y ) = 0β + 1βE(x ) + E(u ), or µy = 0β + 1βµx , since E(u ) = 0, where µy = E(y ) and µx = E(x ). We can rewrite this as 0β = µy - 1βµx . Now, 0β = y - 1βx . Taking the plim of this we have plim(0β) = plim(y - 1βx ) = plim(y ) – plim(1β)⋅plim(x ) = µy - 1βµx , where we use the fact that plim(y ) = µy and plim(x ) = µx by the law of large numbers, and plim(1β) = 1β. We have also used the parts of the Property PLIM.2 from Appendix C.SOLUTIONS TO COMPUTER EXERCISESC5.1 (i) The estimated equation iswage = -2.87 + .599 educ + .022 exper + .169 tenure (0.73) (.051) (.012) (.022)n = 526, R 2 = .306, ˆσ= 3.085.Below is a histogram of the 526 residual, ˆi u, i = 1, 2 , ..., 526. The histogram uses 27 bins, which is suggested by the formula in the Stata manual for 526 observations. For comparison, the normal distribution that provides the best fit to the histogram is also plotted.log()wage = .284 + .092 educ+ .0041 exper+ .022 tenure(.104) (.007) (.0017) (.003)n = 526, R2 = .316, ˆ = .441.The histogram for the residuals from this equation, with the best-fitting normal distributionoverlaid, is given below:(iii) The residuals from the log(wage) regression appear to be more normally distributed.Certainly the histogram in part (ii) fits under its comparable normal density better than in part (i),and the histogram for the wage residuals is notably skewed to the left. In the wage regressionthere are some very large residuals (roughly equal to 15) that lie almost five estimated standard deviations (ˆσ = 3.085) from the mean of the residuals, which is identically zero, of course. Residuals far from zero does not appear to be nearly as much of a problem in the log(wage)regression.C5.2 (i) The regression with all 4,137 observations iscolgpa= 1.392 - .01352 hsperc+ .00148 sat(0.072) (.00055) (.00007)n = 4,137, R2 = .273.(ii) Using only the first 2,070 observations givescolgpa= 1.436 - .01275 hsperc+ .00147 sat(0.098) (.00072) (.00009)n = 2,070, R2 = .283.(iii) The ratio of the standard error using 2,070 observations to that using 4,137 observationsis about 1.31. From (5.10) we compute ≈ 1.41, which is somewhat above the C5.3 We first run the regression colgpa on cigs, parity, and faminc using only the 1,191 observations with nonmissing observations on motheduc and fatheduc. After obtaining these residuals,iu, these are regressed on cigs i, parity i, faminc i, motheduc i, and fatheduc i, where, of course, we can only use the 1,197 observations with nonmissing values for both motheduc andfatheduc. The R-squared from this regression,2uR, is about .0024. With 1,191 observations, thechi-square statistic is (1,191)(.0024) ≈ 2.86. The p-value from the 22χ distribution is about .239, which is very close to .242, the p-value for the comparable F test.C5.4 (i) The measure of skewness for inc is about 1.86. When we use log(inc), the skewness measure is about .360. Therefore, there is much less skewness in log of income, which means inc is less likely to be normally distributed. (In fact, the skewness in income distributions is a well-documented fact across many countries and time periods.)(ii) The skewness for bwght is about -.60. When we use log(bwght), the skewness measure is about -2.95. In this case, there is much more skewness after taking the natural log.(iii) The example in part (ii) clearly shows that this statement cannot hold generally. It is possible to introduce skewness by taking the natural log. As an empirical matter, for many economic variables, particularly dollar values, taking the log often does help to reduce or eliminate skewness. But it does not have to.(iv) For the purposes of regression analysis, we should be studying the conditional distributions; that is, the distributions of y and log(y) conditional on the explanatory variables,1, ...,kx x. If we think the mean is linear, as in Assumptions MLR.1 and MLR.3, then this is equivalent to studying the distribution of the population error, u. In fact, the skewness measure studied in this question often is applied to the residuals from and OLS regression.C5.5 (i) The variable educ takes on all integer values from 6 to 20, inclusive. So it takes on 15 distinct values. It is not a continuous random variable, nor does it make sense to think of it as approximately continuous. (Contrast a variable such as hourly wage, which is rounded to two decimal places but takes on so many different values it makes sense to think of it as continuous.) (ii) With a discrete variable, usually a histogram has bars centered at each outcome, with the height being the fraction of observations taking on the value. Such a histogram, with a normal distribution overlay, is given below.Even discounting the discreteness, the best fitting normal distribution (matching the sample mean and variance) fits poorly. The focal point at educ = 12 clearly violates the notion of a smooth bell-shaped density.(iv) Given the findings in part (iii), the error term in the equation201234educ motheduc fatheduc abil abil u βββββ=+++++cannot have a normal distribution independent of the explanatory variables. Thus, MLR.6 is violated. In fact, the inequality 0educ ≥ means that u is not even free to vary over all values given motheduc , fatheduc , and abil . (It is likely that the homoskedasticity assumption fails, too, but this is less clear and does not follow from the nature of educ .)(v) The violation of MLR.6 means that we cannot perform exact statistical inference; we must rely on asymptotic analysis. This in itself does not change how we perform statistical inference: without normality, we use exactly the same methods, but we must be aware that our inference holds only approximately.d e n s i t y。
伍德里奇《计量经济学》chap5
第5章 OLS 的渐近性（样本容量无限增大的情况：OLS 的大样本性质）5.1一致性（1） 依概率收敛定义 （2） 均方收敛定义 （3） 概率极限法则（4） 大数定律（弱大数定律，切比雪夫和辛钦） （5）一致性z 假定：MLR.1－ MLR.4 z 不一致性：源于MLR.4不满足 简单回归模型 多元回归模型：一般而言，如果x1和u 相关，其他自变量x 都和u 无关，所有的1ˆβ……ˆkβ都是不一致的。
特殊情况：如果x1和u 相关，其他自变量x 都和u 无关，而且，其他自变量x和x1也无关，则只有1ˆβ是不一致的。
和偏误的比较：相似和区别（样本和总体的区别）5.2渐近正态性（作用：大样本情形下，可替代MLR.6假定）（1） 依分布收敛定义：符号d→，极限分布 （2） 中心极限定理（3） 渐近分布（来源于极限分布，又区别于极限分布），符号a∼z 假定：MLR.1－ MLR.5同方差假定不成立，会如何？实际上渐近正态性仍然成立。
但是渐近方差计算方式改变，所以t 和F 分布要改变。
z 理解：当n →∞,ˆj β是均方收敛的，即收敛于期望，而且方差收敛于0。
但是，当n 是有限数时，n 很大的话，ˆjβ可近似看作服从正态分布，其方差还没有变为0，而是渐近方差。
见式5.7。
随着n →∞渐近方差的估计值，即se 是以1/n 的速度趋向于0的。
z 5.7式怎么来的？)12ˆijr −∑来5.3渐近有效性z 渐近有效性定义：“致，且渐近正态”的估计量，其渐近协方差阵小于等于任何一个一致且渐近正态的估计量的协方差阵，则它是渐近有效的。
z 格林P76：我们还没有在大样本中证明OLS 按照“任何”一种标准都是最优的。
定理5.3也不过是告诉我们：在某一类估计量中，OLS 是最优的，即渐近有效的。
ch5
ˆ ˆ ˆ Yt = β 0 + β 1 X t
若回归函数在两个时刻t1,t2发生结构变 若回归函数在两个时刻 化，可定义两个虚拟变量
1, t ≥ t 2 D1 = 0, t < t2 1, t ≥ t1 Dt = 0 , t < t1
相应的回归模型 Yt = β 0 + β1 X t + β 2 ( X t − X t ) Dt + β 3 ( X t − X t ) D2 + µt
Yi = β 0 + β1 X i + β 2 D1 + β 3 D2 + µ i (i = 1,2, L , n )
其中： 为企业职工的薪金， 其中：Yi 为企业职工的薪金，Xi 为工龄
1 （男性） D1 = 0 （女性）
1 （本科及以上） D2 = 0 （本科以下）
二、虚拟变量的引入
用OLS法可得样本回归函数 法可得样本回归函数
ˆ ˆ ˆ ˆ Yt = β 0 + β1 X t + β 2 ( X t − X t* ) Dt
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 当t ≥ t*时，Dt=1, Yt = ( β 0 − β 2 X t* ) + ( β1 + β 2 ) X t 时
当t < t*时，Dt=0, 时
其矩阵形式为： 其矩阵形式为：
Y = (X
β D ) + µ α
如果取六个观测值，其中春季与夏季取了两次， 如果取六个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各 取到一次观测值，则解释变量矩阵： 取到一次观测值，则解释变量矩阵：
1 1 1 D) = 1 1 1
1， ， D= 0， ， 女性 男性
ch5IS-LM模型
消费品的需求。
（2）凯恩斯利率效应 —— 较低的物价水平降低了利率，
鼓励了更多地支出于投资物品，从而增加了对投资品的需 求量。
（3）蒙代尔–弗莱明汇率效应 —— 物价水平下降引发汇
率贬值，从而刺激净出口，增加了对净出口物品和劳务的 需求量。
国
民
收
入
决 LM曲线 定
两个市场的失衡及其调整
1、方法之一：自发调节
（螺旋式调节，过程较长）
2、方法之二：政策调节
（下章内容）
区域 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
产品市场
表现
调节
（产量）
供>求
(S > I)
供<求
(S < I) 供<求
(S < I) 供>求
(S > I)
货币市场
表现
调节
（利率）
供>求
(M > L)
= -a + (1- ß)y
均衡模型：
I = s ： 均衡条件
I = I(r)： 投资函数
S = S(Y)：储蓄函数
I（r） = S（Y）
曲线上任何一点都代表一定的利率和收入的合, 在这些组合下，投资和储蓄都是相等的，即i=s。
r
IS 0
y
IS含义：表示了在产品市场达到均衡时，利率 与国民收入之间的关系。
中国的IS-LM曲线的相对位置：
r IS LM
0
Y
中国的IS-LM曲线分析
较陡的IS很大程度上是由于投资对利率变化反映不
灵敏导致的；
较平坦的LM是货币需求对利率变动较敏感导致的。
第三节 AD-AS模型 （总需求、总供给分析）
ch5指数讲述
• 计算形式上采用了调和平均形式
• 计算公式为
Iq
p1q1
1 p1q1 q1 q0
Ip
p1q1
1 p1 p0 p1q1
报告期总量加权的平均指数 商 品 甲 乙 丙 合计 价格个体指数（%） 报告期销售额（万元）
p1 p0
130 .00 125.00 103.34 ——
不仅这些商品和项目不能加总，就是各种食品、
各种日用品、各种服务项目等也不能加总；
居民消费价格是单位不同使用价值的货
币表现，即使都用“元”表示，也不能加总。
所以居民消费总量、居民消费价格就是 复杂总体。
3.指数的特点
(1)综合性
狭义的指数不是反映一种事物的变动，而
是综合反映多个个体构成的总体的变动，所以它
q1 p 0 q0 q0 数量指数： I q p0 q0
p1 p0 q0 p0 p 0 q0
质量指数： I
p
基期总量加权的平均指数 商 品 甲 乙 丙 合计 销售量个体指数 q1 （%） 基期销售额（万元）
q0
83.33 120.00 166.67
q0 p0
240 400 1740 2380
（3）把同度量因素固定在某一特定时期——固定权数
指数
计算产品数量指数时，为了便于各个时期指数的相互 对比，还可用可比价格或某一特定时期的价格pn为同度量 因素，即：
Iq
q q
1 0
pn pn
§5.2.2平均法指数
对个体指数加权平均求总指数的方法。
以某一时期的总量为权数对个体指数加权平均
（2）把同度量因素固定在报告期——帕氏指数
q1 p1 报告期销售总额 Ip q0 p1 基期销售商品按报告期价格计算的销售总额
英文版greene 计量经济学Ch5
0⎤
2σ~
2
⎥ ⎥
n⎦
统计量：
LM = s'(θ~)Inf (θ~)s(θ~)
=
n
u~'
X
(
X ' X )−1 u~'u~
X
'u~
= nRu~2→X
特点：只需估计受约束方程。
等价表述：
LM = n(uˆ'uˆR − uˆ'uˆUR ) uˆ ' uˆ R
三个检验统计量之间的关系：
W ≥ LR ≥ LM
−
1 2σ 2
(Y
−
Xβ )' Ω −1(Y
−
Xβ )
解析式：
∂l ∂βˆ
=
0
∂l ∂σˆ 2
=
0
估计量：
βˆ = ( X ' Ω −1 X )−1 X ' Ω −1Y σˆ 2 = (Y − Xβˆ)' Ω −1(Y − Xβˆ) / n 4.2 GLS 估计 设非奇异矩阵：
P' P = Ω −1 PY = PXβ + Pu
5.2 2SLS 估计 解释变量对工具变量回归
Xˆ = Z (Z ' X )−1 Z ' X
Y 对 Xˆ 回归：
βˆ2SLS = βˆIV
5.3 IV 估计量与工具变量个数 工具变量个数增加，方差减小，偏误增大。
工具变量个数为 n 时， βˆIV = βˆOLS 。
5.4 线性约束检验
（1） Y 对 Xˆ 分别进行受约束和无约束回归 （2） 计算残差：
var(Pu) = E(Puu' P' ) = σ 2I GLS 估计量：
计量经济学第5章PPT学习教案
量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y 的均值E(Y)的变化;
或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直
接”或“净”（不含其他变量）影响。
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2
总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为 Y Xβ μ
其中
1 X 11
X
1
X 12
1 X 1n
所以，
ˆ ~ N(, 2(X X )1)
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以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估 计量的 方差为 ： 其中，2为随机误差项的总体 方差， 由于总 体未知 ，故方 差也不 可知。 因此， 在实际 计算时 ，用它 的估计 量代替:
ˆi ~ N (i , 2cii )
2Q
ˆˆ
2X X是一个正定矩阵
ˆ (X X ) XY 1
是使方程最小化的解。
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14
知识点：正定矩阵
对于任意的非零向量c，令
a cX Xc
则
a cXXc vv
vi2
除非v中的每一个元素为0， 否则a为正的。但是，若v为0， 则
v Xc 0
这与X中的向量线性无关的假设是矛盾的，故X满秩，则必
n
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8
回忆：由线性代数可知
如果一个矩阵没有逆矩阵，则被称 为奇异矩阵，如果有则为非奇异矩 阵（non-singular）
对于n阶方阵A，A是非奇异矩阵的 证明： 充要条件是A的行列式不等于0
当r且an仅k(当X X矩)阵 满ran秩k时(X，) 其k行1列式不 X X为(k等+1于)(零k+1)阶方阵,所以,X X为非奇异矩阵,可逆.
计量经济学-chapter 5
ˆ variance of the sampling distribution of 1
SW Ch 5
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ˆ) Formula for SE( 1
ˆ (large n): Recall the expression for the variance of 1
2 var[( X ) u ] i x i v ˆ)= var( = , where vi = (Xi – X)ui. 1 2 2 2 2 n( X ) n( X ) ˆ replaces the unknown The estimator of the variance of
SW Ch 5
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Example: Test Scores and STR, California data Estimated regression line: TestScore = 698.9 – 2.28STR Regression software reports the standard errors:
0 1
distributions in large samples Testing: H0: 1 = 1,0 v. 1 1,0 (1,0 is the value of 1 under H0) ˆ – 1,0)/SE( ˆ) t = (
, where vi = (Xi – X)ui
SW Ch 5
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ˆ Hypothesis Testing and the Standard Error of 1 (Section 5.1)
The objective is to test a hypothesis, like 1 = 0, using data – to reach a tentative conclusion whether the (null) hypothesis is correct or incorrect. General setup Null hypothesis and two-sided alternative: H0: 1 = 1,0 vs. H1: 1 1,0 where 1,0 is the hypothesized value under the null. Null hypothesis and one-sided alternative: H0: 1 = 1,0 vs. H1: 1 < 1,0
计量经济学复习笔记
计量经济学复习笔记CH1导论1、计量经济学：以经济理论和经济数据的事实为依据，运用数学、统计学的方法，通过建立数学模型来研究经济数量关系和规律的一门经济学科。
研究主体是经济现象及其发展变化的规律。
2、运用计量分析研究步骤：模型设定——确定变量和数学关系式估计参数——分析变量间具体的数量关系模型检验——检验所得结论的可靠性模型应用——做经济分析和经济预测3、模型变量:解释变量:表示被解释变量变动原因的变量，也称自变量，回归元。
被解释变量:表示分析研究的对象，变动结果的变量，也成应变量。
内生变量:其数值由模型所决定的变量，是模型求解的结果。
外生变量:其数值由模型意外决定的变量。
外生变量数值的变化能够影响内生变量的变化，而内生变量却不能反过来影响外生变量。
前定内生变量：过去时期的、滞后的或更大范围的内生变量，不受本模型研究范围的内生变量的影响，但能够影响我们所研究的本期的内生变量。
前定变量：前定内生变量和外生变量的总称。
数据:时间序列数据：按照时间先后排列的统计数据。
截面数据：发生在同一时间截面上的调查数据。
面板数据：虚拟变量数据：表征政策，条件等，一般取0或1.4、估计评价统计性质的标准无偏：E（＾β）=β随机变量，变量的函数？有效：最小方差性一致：N趋近无穷时，β估计越来越接近真实值5、检验经济意义检验：所估计的模型与经济理论是否相等统计推断检验：检验参数估计值是否抽样的偶然结果，是否显著计量经济检验：是否符合计量经济方法的基本假定预测检验：将模型预测的结果与经济运行的实际对比CH2 CH3 线性回归模型模型（假设）——估计参数——检验——拟合优度——预测1、模型（线性）（1）关于参数的线性模型就变量而言是线性的；模型就参数而言是线性的。
Y i=β1+β2lnX i+u i线性影响随机影响Y i=E（Y i|X i）+u i E（Y i|X i）=f(X i)=β1+β2lnX i引入随机扰动项，（3）古典假设A零均值假定 E（u i|X i）=0B同方差假定 Var(u i|X i)=E(u i2)=σ2C无自相关假定 Cov(u i,u j)=0D 随机扰动项与解释变量不相关假定 Cov(u i ,X i )=0E 正态性假定u i ~N(0,σ2)F 无多重共线性假定Rank(X)=k 2、估计在古典假设下，经典框架，可以使用OLS 方法：OLS 寻找min ∑e i 2＾β1ols= (Y 均值)-＾β2(X 均值)＾β2ols = ∑x i y i /∑x i23、性质OLS 回归线性质（数值性质）（1）回归线通过样本均值 （X 均值,Y 均值） （2）估计值＾Y i 的均值等于实际值Y i 的均值 （3）剩余项e i 的均值为0（4）被解释变量估计值＾Y i 与剩余项e i 不相关 Cov(＾Y i ,e i )=0 （5）解释变量X i 与剩余项e i 不相关 Cov(e i ,X i )=0在古典假设下，OLS 的统计性质是BLUE 统计 最佳线性无偏估计 4、检验 (1)Z 检验Ho:β2=0 原假设 验证β2是否显著不为0标准化： Z=（＾β2-β2）/SE （＾β2）~N （0,1） 在方差已知，样本充分大用Z 检验 拒绝域在两侧，跟临界值判断，是否β2显著不为0 (2)t 检验——回归系数的假设性检验方差未知，用方差估计量代替 ＾σ2=∑e i 2/(n-k) 重点记忆 t =（＾β2-β2）/＾SE （＾β2）~t （n-2）拒绝域：|t|>=t 2/a (n-2)拒绝，认为对应解释变量对被解释变量有显著影响。
古扎拉蒂计量经济学第四版讲义Ch5DummyVariablesModels
第五章第五章 虚拟变量回归模型虚拟变量回归模型Dummy Variable Regression Models1、什么是虚拟变量？、什么是虚拟变量？名义型变量又称为指标变量、分类变量、定性变量，或者虚拟变量（哑变量）。
2、方差分析模型（ANOVA models ）一种类型的回归模型就是解释变量全部是虚拟变量，这样的模型称为Analysis of Variance (ANOV A) models 。
假如我们想检验东（10个省）中（12个省）西（9个省）部三个地区教师的平均收入是否不同。
对三个地区教师工资数据取算术平均值，发现不同，这种不同显著吗？一般用D 表示哑变量，设定如下的哑变量：表示哑变量，设定如下的哑变量： D2 =1 代表东部省份；否则用0表示表示 D3 =1代表中部省份；否则用0表示表示可以写出如下的模型可以写出如下的模型12233i i i i y D D βββε=+++ 9.2.1这类似于一般的多元回归模型的形式。
这类似于一般的多元回归模型的形式。
假定该模型的误差项满足通常OLS 回归的假定，对上式两边取期望，得到回归的假定，对上式两边取期望，得到 对东部地区：对东部地区： ()2312|1,0i i i E y D D ββ===+ 对中部地区：对中部地区： ()2313|0,1i i i E y D D ββ===+ 对西部地区：对西部地区： ()231|0,0i i i E y D D β===假定回归结果为假定回归结果为()()()2322158.622264.6151734.473:0.00000.03490.23300.0901i i i y D D p R =++=1）虚拟变量使用注意）虚拟变量使用注意使用虚拟变量要小心，特别要注意以下几点：使用虚拟变量要小心，特别要注意以下几点：1）一个定性解释变量如果分成m 类，则用m-1个哑变量表示；如果分成m 类用m 个哑变差别截距系数，代表该类别均值比基准别均，前系数称为差别截距系数差别截距，前系数称为的类别可称为差别截距()()()()2321077.231900.2361634.256 3.2889:9.5115 1.3286 2.088910.35390.7266i i ii y D D x t R =+++=4、Chow Test 的替代方法：虚拟变量方法的替代方法：虚拟变量方法多元回归章节的多步Chow Test 程序只能告诉我们两个子区间的回归是否不同，并没有告诉我们这种不同的根源，是由于截距项的差异呢，还是由于斜率项的差异，或者来自两者。
第五章 投资函数与货币需求函数
5.1.1 投资行为理论与加速模型
（6）加速模型的评价 加速模型假设没有资本闲臵，在实际经济中是及少见的。 加速模型假设资本产出比为常数，实际上是假设只有外延 扩大再生产，事实上还存在内涵扩大再生产。
加速模型假设不存在自发投资，而实际中由于心理因素、 政治因素等导致的投资是存在的。
加速模型采用几何滞后，不足以反映实际经济活动中复杂 的投资行为。 加速模型揭示了投资活动的原动力，认为投资的原动力是 产出的增长，从总体上反映了投资活动中的因果关系，具 有较大的使用价值。
5.2 货币需求函数及其估计
5.1 投资函数模型及其估计
社会进行扩大再生产，必须通过追加投资来实现。
投资来源于国民收入中的积累基金，投资形成新
的生产能力后，又促进国民收入的增长。
投资不仅决定生产规模和生产结构，也决定了积
累与消费的比例以及经济增长的速度。
投资函数是宏观经济模型的一个重要组成部分。
理经济解释的投资函数和货币需求函数。
简单介绍西方国家投资函数和货币需求函数模型的发 展，以及比较成功的模型。
CH5 投资函数与货币需求函数
5.1 投资函数模型及其估计
5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 投资行为理论与加速模型 利润决定的投资函数模型 新古典（乔根森）投资函数模型 中国投资函数研究简介 古典货币学说需求函数模型 凯恩斯货币学说需求函数模型 现代货币主义学说需求函数模型 后凯恩斯货币学说需求函数模型 中国货币需求函数研究案例
其中，Y为长期收入， ie为非固定收益的存款利率， i为存款利率， ib为固定收益的存款利率， dp/pdt为物质财富的价格增长率， w为
计量经济学：ch5 回归模型的函数形式
边际分析 弹性分析
一、为什么要研究其他函数形式？
二、双对数模型有什么价值？
例子
三、如何选择线性模型和双对数模型？
三、如何选择线性模型和双对数模型？
四、多元对数线性回归模型的含义？
例子
五、增长率模型的含义？
例子
六、线性趋势模型的含义？
七、线性-对数模型的含义？
八、倒数模型的含义？
第五章回归模型的函数形式框图多对数模型对数线性模型线性对数模型线性趋势模型倒数模型多项式回归模型结构分析边际分析弹性分析标准化变量回归一为什么要研究其他函数形式
第五章 回归模型的函数形式
经济学院
框图
多对数模型 对数线性模型 线性对数模型 线性趋势模型 倒数模型 多项式回归模型 标准化变量回归
结构分析
八、倒数模型的用处有哪些？
例子
例子
九、多项式回归模型的含义？
例子
十、过原点回归的含义？
十一、数值单位变化对回归结果的影响有哪些？
十一、数值单位变化对回归结果的影响有哪些？
十二、数值标准化后是否对回归结果有影响？
例子
十三、不同函数形式的边际与弹性
习题讨论
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ch5我国货币政策效果分析课件
2、 利率下降导致汇率贬值内含着一个假定：一 个国家的对外投资主要是金融投资，而不是实 际投资。
ch5我国货币政策效果分析课件
从我国的实际情况来看，资金的国际流动主要包 括利用外资和资本外流两部分。 直接投资是我国外资流入的主要形式。1998年外 商直接投资占利用外资的比重为77.54％。 我国的资本外流没有官方统计，根据有关专家估 计，1997年我国资本外流中国外直接投资和间接 投资之比为6.56：1。 无论是资本的流进还是流出都是以实际投资为主。
ch5我国货币政策效果分析课件
增长率紧缩：M1的增长率从1994年的 26.17%下降到1998年的11.85%，累计下 降了14.32个百分点，而同期的经济增长 率只下降了4.8个百分点。 货币流通速度的下降：1996年后我国的 货币流通速度呈现出急剧下降的态势。 1996年货币流通速度下降了2.3个百分点， 97年又下降了9.8个百分点。美国在1929 －30年的货币流通速度也仅仅下降了5.8 个百分点。
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通货紧缩自发调节机制：
货币购买力↑ → 财富↑ → C ↑ →Y ↑
P↓
货币需求↓→货币供给↑→ r↓ → I↑ →Y ↑
利率↓→本币贬值→NX↑ →Y ↑
ch5我国货币政策效果分析课件
通货紧缩恶性循环机制：
失业率↑ → 财富↓ → C ↓ →Y ↓
P↓
企业破产增加 → I ↓ →Y ↓
适度宽松；结合国际资本流动，完善人民币汇率形成机制 ch5我国货币政策效稳果分健析的课货件币政策
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解答
(i) 如果 E(ut)=0, 则 E(ut-i)=0 ∀ i. 所以 E(Xt) = E(ut + θ1ut-1+ θ2ut-2)= E(ut)+ θ1E(ut-1)+ θ2E(ut-2)=0 Var(Xt) 然而 E(Xt) Var(Xt) = E[Xt-E(Xt)][Xt-E(Xt)] = 0, 所以 = E[(Xt)(Xt)] = E[(ut + θ1ut-1+ θ2ut-2)(ut + θ1ut-1+ θ2ut-2)] = E[ u t2 + θ 12 u t2−1 + θ 22 u t2− 2 +cross-products]
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解答 (cont’d)
γ2 = E[Xt-E(Xt)][Xt-2-E(Xt-2)] = E[Xt][Xt-2] = E[(ut + θ1ut-1+θ2ut-2)(ut-2 +θ1ut-3+θ2ut-4)] = E[( θ 2 u t2− 2 )] 2 = θ 2σ = E[Xt-E(Xt)][Xt-3-E(Xt-3)] = E[Xt][Xt-3] = E[(ut +θ1ut-1+θ2ut-2)(ut-3 +θ1ut-4+θ2ut-5)] =0
⎧(θ s + θ s +1θ 1 + θ s + 2θ 2 + ... + θ qθ q − s )σ 2 ⎪ γs =⎨ ⎪0 for s > q ⎩
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for
s = 1,2,..., q
9
MA 问题的例子
1. 考虑以下 MA(2) 过程:
15
自回归过程(Autoregressive Processes)
• 一个P阶自回归模型AR(p) 可以表示为
y t = μ + φ1 y t −1 + φ 2 y t − 2 + ... + φ p y t − p + u t
• 或者用滞后算子写成: Lyt = yt-1 Liyt = yt-i
•
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移动平均过程 (Moving Average Processes)
• 令ut (t=1,2,3,...) 是一组独立同分布(iid)的随机变量,其E(ut)=0 和Var(ut)= σ 2 , 那 么 yt = μ + ut + θ1ut-1 + θ2ut-2 + ... + θqut-q 是一个 q 阶移动平均模型 MA(q). • 它的特征是 2 2 E(yt)=μ; Var(yt) = γ0 = (1+ θ12 + θ 2 +...+θ q )σ2 协方差
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∀ t1 , t2
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单变量时间序列模型 (cont’d)
• 所以如果过程是协方差平稳的,所有的协方差相等,只依赖于t1 和 t2.之差,这 个时候 E ( yt − E ( yt ))( yt + s − E ( yt + s )) = γ s , s = 0,1,2, ... 称为协方差函数. 协方差γs 被称为自协方差函数(autocovariances function). 然而,自协方差的值依赖 于 yt的度量单位 因此,另一种更为方便的方法是用自相关系数(autocorrelations)来描述其关 系,自相关系数是通过自协方差除以方差进行标准化后而得到的: γ τs = s , s = 0,1,2, ...
• 弱平稳过程(A Weakly Stationary Process) 如果序列满足以下三个等式,我们说序列是弱平稳或是协 方差平稳的 1. E(yt) = μ , t = 1,2,...,∞
2 2. E ( yt − μ )( yt − μ ) = σ < ∞
3. E ( yt1 − μ )( yt 2 − μ ) = γ t 2 − t1
(ii) Xt的acf. γ1 = E[Xt-E(Xt)][Xt-1-E(Xt-1)] = E[Xt][Xt-1] = E[(ut +θ1ut-1+ θ2ut-2)(ut-1 + θ1ut-2+ θ2ut-3)] = E[( θ 1u t2−1 + θ 1θ 2 u t2− 2 )] = θ 1 σ 2 + θ 1θ 2 σ 2 = (θ 1 + θ 1θ 2 )σ 2
X t = u t + θ 1 u t −1 + θ 2 u t − 2 σ 2的白噪音过程. 这里 ut 是一个均值为零,方差为 (i) 计算出的Xt均值和方差 (ii)推导这一过程的自相关函数(即将自相关系数τ1, τ2, ... 表示为 θ1 和θ2的函数 ). (iii) 如果θ1 = -0.5 and θ2 = 0.25,画出 Xt 的 acf.
y t = μ + ∑ φ i y t −i + u t
i =1 p
•
i 或者y t = μ + ∑ φ i L y t + u t i =1
p
或者 φ ( L) y t = μ + u t
这里
φ ( L) = 1 − (φ1 L + φ2 L2 +...φ p Lp ) .
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‘Financial Econometrics’ by Dr Jin Hongfei 14
ACF 图
因此acf 图如下:
1.2 1 0.8 0.6 0.4
acf
0.2 0 0 -0.2 -0.4 -0.6 1 2 3 4 5 6
s
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6
• •
± 1.96 ×
1 T
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联合假设检验
• 还可以运用Box 和 Pierce 提出的Q-统计量来对所有m个自相关系数τk 是否同时为 零进行联合检验:
Q = T ∑τ k2
k =1
m
• •
这里 T = 样本容量, m = 最大滞后长度 2 Q-统计量渐近服从 χ m .分布 然而，Box Pierce 检验小样本的性质并不是太好，所以一个能较好的检验小样本小 样本性质的统计量已经被研究出来，叫做 Ljung-Box 统计量:
然而 E[cross-products]=0 因为 Cov(ut,ut-s)=0 for s≠0.
‘Financial Econometrics’ by Dr Jin Hongfei 11
解答（续）
所以 Var(Xt) = γ0= E u t2 + θ 12 u t2−1 + θ 22 u t2− 2 [ = σ 2 + θ 12σ 2 + θ 22σ 2 = (1 + θ 12 + θ 22 )σ 2 ]
Q = T (T + 2 )∑
∗ k =1
m
τ k2
T −k
~ χ 2 ( m)
•
对于时间序列线性关系的混合（一般）检验，这一统计量也非常适用．
‘Financial Econometrics’ by Dr Jin Hongfei 7
ACF 例子
• 问题: 假设一个研究者用100个观测值的时间序列样本估计了前5个自相关系数, 分别为:0.207, -0.013, 0.086, 0.005, -0.022. 先单独检验每个相关系数的显著性,然后用Box-Pierce 和 Ljung-Box统计 量对5个系数进行联合检验. 解决方法: 在5%的显著性水平下,自相关系数落在区间 (-0.196,+0.196) 之外,则只有 第一个自相关系数是显著的. Q=5.09 and Q*=5.26 在5%的显著性水平下查表χ2(5)=11.1,所以5个系数是联合非显著的.
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单变量时间序列建模 (cont’d)
• 如果时间是连续的,用X(t)来定义t时刻的随机变量 (通 常-∞<t<∞), 如果时间是离散的,用 Xt 来表示(通常 t=…,-2,-1,0,1,2,…). • 严格平稳过程(A StrictlyStationary Process) 一个严格的平稳过程是指
• • •
γ0
•
如果画出τs ,s=0,1,2,... 的图象,我们得到自相关函数(autocorrelation function ) 或者是自相关图(correlogram).
‘Financial Econometrics’ by Dr Jin Hongfei 5
白噪音过程(A White Noise Process)
•
粗略得讲,白噪音过程是指在不同时间上没有可区别的结构的序列.白噪 音的定义是 E ( yt ) = μ Var ( yt ) = σ 2 ⎧σ 2 if t = r γ t −r = ⎨
⎩0 otherwise
• •
因此自相关函数在s = 0 时的值为1,其余时刻均为0. τˆs 近似的服从于均值为0方差为1/T的正态分布，即N(0,1/T) 这里 T = 样本容量 我们可以通过构造置信区间来对自相关系数进行显著性检验. 例如,在置信度为95% 的置信区间是 对给定的s值，如果样本 的自相关系数 τ$s 落在这个区间外，则滞后s阶的自相关系数为零的原 假设被拒绝