南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学评分标准和参考答案(第三稿)

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江苏省南京市2017-2018学年高三下学期三模数学试卷Word版含解析

2017-2018学年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知复数z=﹣1，其中i为虚数单位，则z的模为．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥5概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．3．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值．4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．6．记不等式x2+x﹣6＜0的解集为集合A，函数y=lg（x﹣a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2﹣=1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是．8．已知正六棱锥P﹣ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为．9．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则?的值为．10．记等差数列{a n}的前n项和为S n．若S k﹣1=8，S k=0，S k+1=﹣10，则正整数k= ．11．若将函数f（x）=|sin（ωx﹣）|（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是．12．已知x，y为正实数，则+的最大值为．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C 相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为．14．已知a，t为正实数，函数f（x）=x2﹣2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[﹣a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g（a），则函数g（a）的值域为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．16．在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD=2BC，AB=PB，E为PA的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．17．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x=m+1与x轴的交点为B，BF2=m．（1）已知点（，1）在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A（﹣2，0）．①若椭圆C上存在点T，使得=，求椭圆C的离心率的取值范围；②当m=1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若=λ，=μ，求证：λ+μ为定值．19．已知函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（1）令h（x）=f（x）+g（x），求证：h（x）是增函数；（2）直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．20．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项的和为S n，且对任意的m，n∈N*，都有（S m+n+S1）2=4a2m a2n．（1）求的值；（2）求证：{a n}为等比数列；（3）已知数列{c n}，{d n}满足|c n|=|d n|=a n，p（p≥3）是给定的正整数，数列{c n}，{d n}的前p项的和分别为T p，R p，且T p=R p，求证：对任意正整数k（1≤k≤p），c k=d k．选修4-1：几何证明选讲21．如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE?CD=BD?CE．选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵A=，直线l：x﹣y+4=0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x﹣y+2a=0．（1）求实数a的值；（2）求A2．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，设圆C：ρ=4cosθ与直线l：θ=（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知实数x，y满足x＞y，求证：2x+≥2y+3．七、解答题（共2小题，满分20分）25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=，AB=1，BD=PA=2．（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．26．已知集合A是集合P n={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f（n）．（1）求f（3），f（4）；（2）求f（n）（用含n的式子表示）．。

2017年江苏省南京市、淮安市高三三模数学试卷

2017年江苏省南京市、淮安市高三三模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知全集，集合，，则．2. 甲盒子中有编号分别为，的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为，，，的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于的概率为．3. 若复数满足，其中为虚数单位，为复数的共轭复数，则复数的模为．4. 执行如下所示的伪代码，若输出的值为，则输入的值为．Read xIf x≥0 Theny←Elsey←End IfPrint y5. 如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．6. 在同一直角坐标系中，函数的图象和直线的交点的个数是．7. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距为，则所有满足条件的实数构成的集合是．8. 已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则的值为．9. 若等比数列的各项均为正数，且，则的最小值为．10. 如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为．11. 函数在区间上单调递增，则实数的最大值为．12. 在凸四边形中，，且，，则四边形的面积为．13. 在平面直角坐标系中，圆，圆（为实数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为．14. 已知，，为正实数，且，，则的取值范围为．二、解答题（共6小题；共78分）15. 如图，在三棱锥中，，分别为，上的点，且平面．（1）求证：平面；（2）若平面，，求证：平面平面．16. 已知向量，，，为实数．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．17. 在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域，及矩形表演台四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以，为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的倍，矩形表演台中，米，三角形水域的面积为平方米，设．（1）求的长（用含的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为万元，求表演台的最低造价．18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点，，是线段的中点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若，四边形内接于椭圆，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．19. 已知常数，数列满足，．（1）若，，①求的值；②求数列的前项和；（2）若数列中存在三项，，（，）依次成等差数列，求的取值范围．20. 已知，函数的导数为．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数存在极值，求的取值范围；（3）若时，恒成立，求的最大值．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.【解析】将直三棱柱展开成矩形，如图，连接，交于，此时最小，因为，，，，点为侧棱上的动点，所以当最小时，，此时三棱锥的体积：11.12.【解析】因为，所以，因为，所以所以，所以．所以四边形的面积．13.14.第二部分15. （1）平面，平面，平面平面，，又平面，平面，平面．（2）平面，平面，，由（）可知，又，，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面．16. （1）向量，，，为实数．若，则，可得，平方可得，即为，由，解得即有，．则；（2）若，且，即有，即有，由为锐角，可得，即有，则，．17. （1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的倍，所以，所以，因为，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以．（2）设表演台的造价为万元，则，设，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，所以的最小值为，即表演台的最小造价为万元．18. （1），，线段的中点．，．因为．所以，化为：．所以椭圆的离心率．（2）由，可得，所以椭圆的标准方程为：，，．直线的方程为：，联立化为：，解得，所以．即．直线的方程为：，联立化为：，所以，解得，，可得．所以，化为：．所以，所以．19. （1）①因为，所以，，．②因为，，所以当时，，当时，，即从第二项起，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以数列的前项和（），显然当时，上式也成立，所以．（2）因为，所以，即单调递增．（i）当时，有，于是，所以，所以．若数列中存在三项，，（，）依次成等差数列，则有，即（），因为，所以，因此（）不成立．因此此时数列中不存在三项，，（，）依次成等差数列．（ii）当时，有．此时．于是当时，，从而，所以．若数列中存在三项，，（，）依次成等差数列，则有，同（i）可知：，于是有，因为，所以．因为是整数，所以，于是，即，与矛盾．故此时数列中不存在三项，，（，）依次成等差数列．（iii）当时，有，．于是，．此时数列中存在三项，，依次成等差数列．综上可得：．20. （1）的定义域为．，，又．曲线在处的切线方程为．（2）因为（），．函数存在极值，即方程有正实数根，（），令，在恒成立．时，，所以函数存在极值，的取值范围为．（3）由（），（）可知，，结合（）时，，可得（），，则在恒成立．所以单调递增，从而．所以时，，在递增，．故在递增，所以．当时，存在，使，所以时，，即时，递减，而，所以时，，此时递减，而，所以在，，故当时，不恒成立；综上时，恒成立，的最大值为．。

2020届江苏省南京市2017级高三6月三模考试数学试卷参考答案(含附加题)

2020届江苏省南京市2017级高三三模考试
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分．
3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数,填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸
的指定位置上）
1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23
6． 3 7．2n ＋1－2 8． 62 9．83
10．[2,4] 11．6 12． [－2,＋∞) 13．－94 14．38 二、解答题（本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
证明：(1)取PC 中点G ,连接DG 、FG ．
在△PBC 中,因为F ,G 分别为PB ,PC 的中点,所以GF ∥BC ,GF ＝12
BC ．因为底面ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,
所以DE ∥BC ,DE ＝12BC , ················· 2分。

江苏省南京市高考数学三模考试数学(理)试卷有答案

)A B=______________.乙盒子中有编号分别为3则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为的值为______________.π190,点D11.函数2((2))f x ex x x a =++﹣在区间[],1a a +上单调递增,则实数a 的最大值为______________. 12.在凸四边形ABCD 中,2BD =且0,()()5AC BD AB DC BC AD ⋅=+⋅+=,则四边形ABCD 的面积为______________.13.在平面直角坐标系xOy 中,圆221:x O y +=,圆22:121M x a y a +++=（）（﹣）(a 为实数).若圆O 和圆M 上分别存在点,P Q ,使得30OQP ∠=︒,则a 的取值范围为______________. 14.已知,,a b c 为正实数,且23228,a b c a b c +≤+≤,则38a bc+的取值范围是______________. 二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.(本小题满分14分)如图,在三棱锥A BCD -中,,E F 分别为,BC CD 上的点,且BD ∥平面AEF . (1)求证：EF ∥平面ABD ；(2)若AE ⊥平面BCD ,BD CD ⊥,求证：平面AEF ⊥平面ACD .16.(本小题满分14分)已知向量2π(2cos ,sin ),(2sin ,),(0,),t 2a a ab a t a ==为实数. (1)若2(,0)5a b -=,求t 的值；(2)若1t =,且1a b ⋅=,求πtan(2)4a +的值.17.(本小题满分14分)在水域上建一个演艺广场,演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC ,及矩形表演台BCDE 四个部分构成(如图),看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以,AB AC 为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,矩形表演台BCDE 中,10CD =米,三角形水域ABC 的面积为平方米,设BAC θ∠=. (1)求BC 的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为点,,A B M 是线段AB的中点,且232OM AB b =.(1)求椭圆的离心率；(2)若2a =,四边形ABCD 内接于椭圆,AB CD ∥,记直线,AD BC 的斜率分别为1,2k k ,求证：1?2k k 为定值.19.(本小题满分16分)已知常数0p >,数列{}n a 满足*1|2,|n n n a a p p a n +=++∈N -. (1)若n S a 1=﹣1,p=1, ①求4a 的值；②求数列{}n a 的前n 项和n S ；(2)若数列{}n a 中存在三项*,,,,(,)ar as at r s t r s t ∈<<N 依次成等差数列,求1a p的取值范围. 20.(本小题满分16分)已知λ∈R ,函数()(ln 1)xf x e ex x x x λ=+﹣﹣﹣的导数为()g x ．(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； (2)若函数()g x 存在极值,求λ的取值范围； (3)若1x ≥时,()0f x ≥恒成立,求λ的最大值．江苏省南京市2017届高考数学三模考试数学(理)试卷答案1.{2}二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.证明：(1)∵BD ∥平面AEF ,BD ⊂平面BCD ,平面BCD 平面AEF EF =,∴BD EF ∥,又BD ⊂平面ABD ,EF ⊄平面ABD , ∴EF ∥平面ABD .(2)∵AE ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD , ∴AE CD ⊥,由(1)可知BD EF ∥,又BD CD ⊥,∴EF CD ⊥, 又,AEEF E AE =⊂平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,∴CD ⊥平面AEF ,又CD ⊂平面ACD , ∴平面AEF AEF ⊥平面ACD .16.解：(1)向量2π(2cos ,sin ),(2sin ,),(0,),t 2a a ab a t a ==为实数,若2(,0)5a b -=,则2(2cos 2sin ,sin 2)=(,0)5a a a t --,可得1cos sin =5a a -,平方可得1sin 2cos22cos sin =25a a a a +-,即为1242cos sin =1,(cos 0,sin 0)2525a a a a -=>>,由sin2cos2=1a a +,解得7cos sin 5a a +, 即有34cos =,sin =55a a .则16sin 2=25t a =；(2)若1t =,且1a b ⋅=,即有4cos sin sin21a a a +=, 即有4cos sin 1sin2cos2a a a a =-=,由a 为锐角,可得(c s 1)o 0,α∈,即有sin 1tan cos 4a a α==, 则212tan 82tan 211tan 15116a a α===--,81tan 212315tan(2)81t π4an 27115a a α+++===--. 17.解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,∴22π()31122π()22AB AC =⨯,∴AB =,∵1sin 22ABC S AB AC sin θθ∆=⋅⋅= ∴228002400,sin sin AC AB θθ==, 在ABC ∆中,由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC θ=⋅=+-∴BC =(2)设表演台的造价为y 万元,则y =设()π)0f θθ=＜＜,则()f θ'∴当0π6θ<<时,0()f θ'<,当π6πθ<<时,0()f θ'>, ∴()f θ在(0,π)6上单调递减,在(π,6π)上单调递增,∴当=6πθ时,()f θ取得最小值1π(6)=f ,∴y 的最小值为120,即表演台的最小造价为120万元.(,),(,)22a bAB a b OM =-=.∵232OM AB b ⋅=-.∴22213222ab b -+=-,化为：2a b =.∴椭圆的离心率c e a===. (2)证明：由2a =,可得1b =,∴椭圆的标准方程为：221,(2,0),(0,1)4x y A B +=.直线BC 的方程为：21y k x =+,联立222114y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为：2222(14)80k x k x ++=, 解得222814c k x k -=+,∴22221414c k y k -=+.即2222222814(,)1414k k C k k --++. 直线AD 的方程为：1()2y k x =-,联立122(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为：2222111(14)161640k x k x k +-+-=, ∴2121164214D k x k -=+,解得2112211824,1414D D k k x y k k --==++,可得2112211824(,)1414k k D k k --++∴12C D CD C D y y k x x -==--,化为：222221211122111622880k k k k k k k k -+-+-=∴1212121()4440()14k k k k k k -++=-,∴121=4k k .19.解：(1)①∵12||n n n a p a a p +=++-, ∴211||1212211a a a =++=+=--, 322||1210213a a a =++=++=-, 433||1212619a a a =++=++=-, ②∵2111||21n n n a a a a +==++,-, ∴当2n ≥时,1n a ≥,当2n ≥时,11213n n n n a a a a +=+++=-,即从第二项起,数列{}n a 是以1为首项,以3为公比的等比数列, ∴数列{}n a 的前n 项和11123413111321322n n n n a a n S a a a ---=++++⋯+=+=⨯≥---,（）, 显然当1n =时,上式也成立,∴113322n n S -=⨯-； (2)∵1||20n n n n n n a a p a a p p a a p p +=++≥++=---＞,∴1n n a a +>,即{}n a 单调递增. (i )当11a p≥时,有1a p ≥,于是1n a a p ≥≥, ∴1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--,∴113n n a a -=⋅.若数列{}n a 中存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列,则有2s r t a a a =+,即111233*3()s r t ---⨯=+∵1s t ≤-,∴111122333333s st r t ---⨯=⨯<<+-.因此(*)不成立.因此此时数列{}n a 中不存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列.(ii )当111a p-<<时,有1p a p <<-.此时211111||222a P a a p p a a p a p p =++=++=+>--. 于是当2n ≥时,2n a a p ≥>.从而1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--.∴2221((3)2)32n n na a a p n --==+≥若数列{}n a 中存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列,则有2s r t a a a =+,同(i )可知：1r =.于是有2211123(2)3(2)s t a p a a p ⨯+=++﹣﹣,∵21S t ≤≤-,∴211212 2333329103s t s t a a p --=⨯=⨯⨯+<﹣﹣-.∵22233s t ⨯﹣﹣-是整数,∴11 12a a p≤+.于是112a a p ≤--,即1a p ≤-.与1p a p <<-矛盾. 故此时数列{}n a 中不存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列.(iii )当11a p≤时,有110a p p a p ≤<+≤-,. 于是211111||222a P a a p p a a p a p =++=++=+--.32211111|2252|54||a p a a p a p a p a p a p a p =++=+++=++=+---此时数列{}n a 中存在三项123a a a ,,依次成等差数列. 综上可得：11a p≤-. 20.解：(1)()(ln 1)x f x e ex x x x λ=+---的定义域为(0)+∞，. ()ln (1)0x f x e e x f λ'='=--,,又(1)0f =. 曲线()y f x =在1x =处的切线方程为0y =.(2)∵()()ln ,(0)x g x f x e e x x λ='=>﹣﹣,()xg x e xλ'=-函数()g x 存在极值,即方程0x e xλ-=有正实数根,,(0)x xe x λ⇒=>,令()x G x xe =,()(1)0x G x x e '=+>在(0)+∞，恒成立. (0)x ∈+∞，时,()0G x >, ∴函数()g x 存在极值,λ的取值范围为(0)+∞，. (3)由(1)、(2)可知(1)0,(1)(1)0f f g '=== 结合(2)1x ≥时,()0x g x e xλ'=-≥,可得(1)x xe x λ≤≥,,()x G x xe =,在(1)+∞，恒成立. ∴e λ≤时,()0g x '≥,()g x 在[1)+∞，递增,()(1)0g x g ≥= 故()f x 在[1)+∞，递增,∴()(1)=0f x f ≥.当e λ>时,存在01x ≥,使()=0g x ',∴0(1)x x ∈，时,()<0g x ', 即0(1,)x x ∈时,()g x 递减,而(1)=0g ,∴0(1,)x x ∈时,()<0g x ,此时()f x 递减,而(1)=0f , ∴在0(1,)x ,()<0f x ,故当e λ>时,()0f x ≥不恒成立；综上1x ≥时,()0f x ≥恒成立,λ的最大值为e【点评】本题考查了导数的综合应用,利用导数求极值、证明函数恒等式,属于难题江苏省南京市2017届高考数学三模考试-数学(理)试卷解析1.【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据已知中集合,,U A B ,结合集合的并集和补集运算的定义,可得答案. 【解答】解：∵集合1,4,{}{}3,4A B ==, ∴1,}4{3,A B =,又∵全集1,2{},3,4U =, ∴{2()}U A B ⋃=ð, 故答案为：{2}【点评】本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集运算,难度不大,属于基础题. 2.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】列举基本事件,即可求出概率.【解答】解：分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球,可能出现以下情况：()()()()()()(1314151623242)6)52(、、、、、、、，，，，，，，，共8种情况,其中编号之和大于6的有：1+6=7,2+5=7,2+6=8,共3种情况,∴取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为38,故答案为：38.【点评】本题考查古典概型,考查学生的计算能力,确定基本事件的个数是关键.3.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】设z a bi =+,得到z a bi =-,根据系数相等求出,a b 的值,从而求出||z 即可. 【解答】解：设z a bi =+,则z a bi =-,由232z z i +=+,得332abi i =+﹣, ∴1,2a b ==﹣,∴||z【点评】本题考查了复数求模问题,考查共轭复数,是一道基础题. 4.【考点】伪代码.【分析】分析出算法的功能是求分段函数()f x 的值,根据输出的值为1,分别求出当0x ≤时和当0x >时的x 值即可. 【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求122,0()=2,0x x x x f x +⎧≥⎪⎨-<⎪⎩的值, 当0x ≥时,211y x =+=,解得1x =-,不合题意,舍去；当0x <时,221y x ==﹣,解得1x =±,应取1x =-；综上,()f x x 的值为1-.故答案为：1-.【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题,根据语句判断算法的功能是解题的关键. 5.【考点】茎叶图.【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数,再根据方差的定义得出乙的方差较小,求出乙的方差即可.【解答】解：根据茎叶图中的数据,计算甲的平均数为11(7791418)115x =⨯++++=,乙的平均数为21(89101315)115x =⨯++++=；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定(方差较小),计算乙成绩的方差为：222222134[(811)(911)(1011)(1311)(1511)]55x =⨯-+-+-+-+-=故答案为：345.【点评】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题,是基础题. 6.【考点】正弦函数的图象.【分析】令π1sin()=32y x =+,求出在[π)0,2x ∈内的x 值即可.【解答】解：令π1sin()=32y x =+,解得ππ=2π36x k ++,或π5π=2π,k 36x k ++∈Z ；即π=2π6k x +-,或π=2π,k 2k x +∈Z ；∴同一直角坐标系中,函数y 的图象和直线12y =在[π)0,2x ∈内的交点为(π2,12)和(11π6,12),共2个.故答案为：2.【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,是基础题.7.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据题意,先由双曲线的方程分析可得m 的取值范围,进而又由该双曲线的焦距为6,则有3c =,即,解可得m 的值,结合m 的范围可得m 的值,用集合表示即可得答案.【解答】解：根据题意,双曲线的方程为：222123x y m m -= ,则有22030m m ⎧>⎨>⎩,解可得0m >,则有c =又由该双曲线的焦距为6,则有c=3,, 解可得：=3m -或32, 又由0m >, 则3=2m ；即所有满足条件的实数m 构成的集合是{32}；故答案为{32}. 【点评】本题考查双曲线的几何性质,注意焦距是2c . 8.【考点】函数的周期性.【分析】由函数的奇偶性与周期性把1()2f 转化为求7()2f 的值求解.【解答】解：∵函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数,∴1117()=()=(4)=()2222f f f f --,又当4[]2,x ∈时,43()=|log ()|2f x x -,∴441773lg 2lg 21()=()=|log ()||log 2|2222lg 42lg 22f f -====.故答案为：12. 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,考查数学转化思想方法,是基础题. 9.【考点】等比数列的通项公式.【分析】由已知把首项用公比q 表示,再由等比数列的通项公式可得5a ,然后利用配方法求得5a 的最小值. 【解答】解：∵0n a >,且312a a -=, ∴2112a q a -=,则122(0)1a q q =>-, ∴445122422===111q a a q q q q --. 令21(t 0)t q=>,则522a t t=-+,又22111()244t t t -+=--+≤,∴58[),a ∈+∞.∴5a 的最小值为8. 故答案为：8.【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了利用配方法求函数的最值,是中档题. 10.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ,如图,连结1AC ,交1BB 于D ,此时1AD DC +最小,当1AD DC +最小时,1BD =,此时三棱锥1D ABC ﹣的体积：11D C V ABC V ABD -=-,由此能求出结果.【解答】解：将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ,如图, 连结1AC ,交1BB 于D ,此时1AD DC +最小,∵11,2,3,90AB BC BB ABC ===∠=︒,点D 为侧棱1BB 上的动点, ∴当1AD DC +最小时,1BD =, 此时三棱锥1D ABC ﹣的体积：111111111111112332323D C ABD V ABC V ABD S B C AB BD B C ∆-=-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.故答案为：13.【点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题. 11.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】求出函数的导数,问题转化为22a x +≥在[],1a a +恒成立,求出a 的范围即可. 【解答】解：2((2))f x ex x x a =++﹣,2()()2f x ex x x a '=++﹣, 若()f x 在[],1a a +上单调递增, 则220x a ++≥-在[],1a a +恒成立, 即22a x +≥在[],1a a +恒成立,①10a +<即1a <-时,2y x =在[],1a a +递减,2y x =的最大值是2y a =,故22a a +≥,解得：220a a ≤--,解得：12a <<-,不合题意,舍； ②10a ≤≤-时,2y x =在[),0a 递减,在(0,1]a +递增, 故2y x =的最大值是2a 或2()1a +,③0a >时,2y x =在[],1a a +递增,y 的最大值是2()1a +,故221()a a +≥+,解得：0a <≤,则实数a ,综上,a ,. 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题. 12.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】用,AC BD 表示出括号内的和向量,化简得出AC ,从而可求得四边形的面积. 【解答】解：∵0AC BD ⋅=,∴AC BD ⊥, ∵()()5AC DC BC AD +⋅+=,∴22()()()()5AB BC DC CB BC CD AD DC AC DB BD AC AC BD +++⋅+++=+⋅+=⋅=, ∴2259AC BD =+=,∴3AC =.∴四边形ABCD 的面积1132322S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=.故答案为：3.【点评】本题考查了平面向量的运算,数量积运算,属于中档题.13.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】从圆M 上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,1OP =,利用圆O 和圆M 上分别存在点,P Q ,使得30OQP ∠=︒,可得||2OM ≤,进而得出答案. 【解答】解：由题意,圆22()(121)M x a y a +++=：﹣(a 为实数),圆心为1(),2M a a -- 从圆M 上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,1OP =. ∵圆O 和圆M 上分别存在点,P Q ,使得30OQP ∠=︒, ∴||2OM ≤,∴22144()a a ++≤, ∴315a ≤≤-,故答案为：3 15a≤≤-.【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式、数形结合思想方法,属于中档题.14.【考点】不等式的基本性质.【分析】令axc=,byc=,38z x y=+,将条件转化为关于,x y的不等式,并求出,x y的范围,作出平面区域,根据平面区域得出z取得最值时的位置,再计算z的最值.【解答】解：∵2328,a b ca b c +≤+≤,∴28232a bc cc ca b⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,设axc=,byc=,则有28232x yx y+≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩,∴142322 18y xxyxx⎧≤-⎪⎪⎪≥⎨-⎪<<⎪⎪⎩,作出平面区域如图所示：令38=38a bz x yc+=+,则388zy x=+,由图象可知当直线388zy x=+经过点A时,截距最大,即z最大；当直线388zy x=+与曲线322xyx=-相切时,截距最小,即z最小.解方程组142322y xxyx⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩得(2,3)A,∴z的最大值为328330⨯+⨯=,设直线388z y x =+与曲线322xy x =-的切点为00(,)x y ,则03()|3282x x x x ==--',即026223()8x -=-,解得0=3x , ∴切点坐标为(93,4),∴z 的最小值为9338274⨯+⨯=.∴2730z ≤≤,故答案为：[27,30].【点评】本题考查了线性规划的应用,将三元不等式转化为二元不等式,转化为线性规划问题是解题的关键,属于中档题.二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.【分析】(1)利用线面平行的性质可得BD EF ∥,从而得出EF ∥平面ABD ； (2)由AE ⊥平面BCD 可得AE CD ⊥,由BD CD ⊥,BD EF ∥可得EF CD ⊥,从而有CD ⊥平面AEF ,故而平面AEF ⊥平面ACD .【解答】证明：(1)∵BD ∥平面AEF ,BD ⊂平面BCD ,平面BCD 平面AEF EF =,∴BD EF ∥,又BD ⊂平面ABD ,EF ⊄平面ABD , ∴EF ∥平面ABD .(2)∵AE ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD , ∴AE CD ⊥,由(1)可知BD EF ∥,又BD CD ⊥, ∴EF CD ⊥, 又,AEEF E AE =⊂平面AEF ,EF ⊂平面AEF ,∴CD ⊥平面AEF ,又CD ⊂平面ACD , ∴平面AEF AEF ⊥平面ACD .【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质,面面垂直的判定,属于中档题. 16.【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)运用向量的加减运算和同角的平方关系,即可求得3cos 5α=,4sin 5α=.进而得到t 的值； (2)运用向量的数量积的坐标表示,结合条件的商数关系,求得tanα,再由二倍角的正切公式和和角公式,计算即可得到所求值.【解答】解：(1)向量2π(2cos ,sin ),(2sin ,),(0,),t 2a a ab a t a ==为实数,若2(,0)5a b -=,则2(2cos 2sin ,sin 2)=(,0)5a a a t --,可得1cos sin =5a a -,平方可得1sin 2cos22cos sin =25a a a a +-,即为1242cos sin =1,(cos 0,sin 0)2525a a a a -=>>,由sin2cos2=1a a +,解得7cos sin 5a a +,即有34cos =,sin =55a a .则16sin 2=25t a =；(2)若1t =,且1a b ⋅=,即有4cos sin sin21a a a +=, 即有4cos sin 1sin2cos2a a a a =-=,由a 为锐角,可得(c s 1)o 0,α∈,即有sin 1tan cos 4a a α==, 则212tan 82tan 211tan 15116a a α===--,81tan 212315tan(2)81t π4an 27115a a α+++===--. 【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示,考查同角的基本关系式和二倍角正切公式及和角公式的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.17.【考点】三角函数中的恒等变换应用；在实际问题中建立三角函数模型. 【分析】(1)根据看台的面积比得出,AB AC 的关系,代入三角形的面积公式求出,AB AC 再利用余弦定理计算BC ；(2)根据(1)得出造价关于θ的函数,利用导数判断函数的单调性求出最小造价. 【解答】解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,∴22π()31122π()22AB AC =⨯,∴AB =,∵1sin 22ABC S AB AC sin θθ∆=⋅⋅= ∴228002400,sin sin AC AB θθ==, 在ABC ∆中,由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC θ=⋅=+-∴BC =(2)设表演台的造价为y 万元,则y =设()π)0f θθ=＜＜,则()f θ'∴当0π6θ<<时,0()f θ'<,当π6πθ<<时,0()f θ'>, ∴()f θ在(0,π)6上单调递减,在(π,6π)上单调递增,∴当=6πθ时,()f θ取得最小值1π(6)=f ,∴y 的最小值为120,即表演台的最小造价为120万元.【点评】本题考查了解三角形,函数最值计算,余弦定理,属于中档题.18.【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1),0,()(0),A a B b ,线段AB 的中点(,)22a b M .利用232OM AB b ⋅=-与离心率的计算公式即可得出.(2)由2a =,可得1b =,可得椭圆的标准方程为：221,(2,0),(0,1)4x y A B +=.直线BC 的方程为：21y k x =+,直线AD 的方程为：1()2y k x =-,分别于同一方程联立解得,C D ,坐标,利用12C D CD C D y y k x x -==--,即可得出.【解答】(1)解：,0,()(0),A a B b ,线段AB 的中点(,)22a bM .(,),(,)22a bAB a b OM =-=.∵232OM AB b ⋅=-.∴22213222a b b -+=-,化为：2a b =.∴椭圆的离心率c e a===. (2)证明：由2a =,可得1b =,∴椭圆的标准方程为：221,(2,0),(0,1)4x y A B +=.直线BC 的方程为：21y k x =+,联立222114y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为：2222(14)80k x k x ++=, 解得222814c k x k -=+,∴22221414c k y k -=+.即2222222814(,)1414k k C k k --++. 直线AD 的方程为：1()2y k x =-,联立122(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为：2222111(14)161640k x k x k +-+-=, ∴2121164214D k x k -=+,解得2112211824,1414D D k k x y k k --==++,可得2112211824(,)1414k k D k k --++∴12C D CD C D y y k x x -==--,化为：222221211122111622880k k k k k k k k -+-+-=∴1212121()4440()14k k k k k k -++=-,∴121=4k k .【点评】本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.19.【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(1)①12||n n n a p a a p +=++-,可得211||1212211a a a =-++=+=-,同理可得343,9a a ==. ②21,112|1|n n n a a a a =+=++-,当2n ≥时,1n a ≥,当2n ≥时,11213n n n n a a a a +=+++=-,即从第二项起,数列{}n a 是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出n S . (2)1||20n n n n n n a a p a a p p a a p p +=++≥++=>---,可得1n n a a +>,即{}n a 单调递增.(i )当11a p≥时,有1a p ≥,于是1n a a p ≥≥,可得1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--,113n n a a -=⋅.利用反证法即可得出不存在. (ii )当111a p-<<时,有1p a p <<-.此时211111||222a P a a p p a a p a p p =++=++=+>--.于是当2n ≥时,2n a a p ≥>.从而2212122333(2)(||2)n n n n n n n n n a p a a p a p a p a a a a p n +=++=++===+≥﹣﹣--．.假设存在2s r t a a a =+,同(i)可知：1r =.得出矛盾,因此不存在.(iii )当11a p≤时,有110a p p a p ≤<+≤-,.于是21111131||2224a P a a p p a a p a p a a p =++=++=+=+--．.即可得出结论. 【解答】解：(1)①∵12||n n n a p a a p +=++-, ∴211||1212211a a a =++=+=--, 322||1210213a a a =++=++=-, 433||1212619a a a =++=++=-, ②∵2111||21n n n a a a a +==++,-, ∴当2n ≥时,1n a ≥,当2n ≥时,11213n n n n a a a a +=+++=-,即从第二项起,数列{}n a 是以1为首项,以3为公比的等比数列, ∴数列{}n a 的前n 项和11123413111321322n n n n a a n S a a a ---=++++⋯+=+=⨯≥---,（）, 显然当1n =时,上式也成立,∴113322n n S -=⨯-； (2)∵1||20n n n n n n a a p a a p p a a p p +=++≥++=---＞,∴1n n a a +>,即{}n a 单调递增.(i )当11a p≥时,有1a p ≥,于是1n a a p ≥≥,∴1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--,∴113n n a a -=⋅.若数列{}n a 中存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列,则有2s r t a a a =+,即111233*3()s r t ---⨯=+∵1s t ≤-,∴111122333333s st r t ---⨯=⨯<<+-.因此(*)不成立.因此此时数列{}n a 中不存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列.(ii )当111a p-<<时,有1p a p <<-.此时211111||222a P a a p p a a p a p p =++=++=+>--. 于是当2n ≥时,2n a a p ≥>.从而1|223|n n n n n n a p a a p a p a p a +=++=++=--.∴2221((3)2)32n n na a a p n --==+≥若数列{}n a 中存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N ,,,,依次成等差数列,则有2s r t a a a =+,同(i )可知：1r =.于是有2211123(2)3(2)s t a p a a p ⨯+=++﹣﹣,∵21S t ≤≤-,∴211212 2333329103s t s t a a p --=⨯=⨯⨯+<﹣﹣-.∵22233s t ⨯﹣﹣-是整数,∴11 12a a p≤+.于是112a a p ≤--,即1a p ≤-.与1p a p <<-矛盾. 故此时数列{}n a 中不存在三项*,)(r s t a a a r s t r s t ∈<<N,,,,依次成等差数列.(iii )当11a p≤时,有110a p p a p ≤<+≤-,.于是211111||222a P a a p p a a p a p =++=++=+--.32211111|2252|54||a p a a p a p a p a p a p a p =++=+++=++=+---此时数列{}n a 中存在三项123a a a ,,依次成等差数列.综上可得：11a p≤-.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法、数列递推关系、分类讨论方法、反证法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.20.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出()ln (1)0x f x e e x f λ'=-'=-，,得到曲线()y f x =在1x =处的切线方程为0y =.(2)()()ln ,(0)x g x f x e e x x λ='=>﹣﹣,()xg x e xλ'=-,函数()g x 存在极值,即方程0x e xλ-=有正实数根,,(0)x xe x λ⇒=>,可得λ的取值范围.(3)由(1)、(2)可知(1)0(1)(1)0f f g ='==，,结合(2)分e e λλ≤,＞,讨论1x ≥时,是否()0f x ≥恒成立,即可.【解答】解：(1)()(ln 1)x f x e ex x x x λ=+---的定义域为(0)+∞，. ()ln (1)0x f x e e x f λ'='=--,,又(1)0f =. 曲线()y f x =在1x =处的切线方程为0y =.(2)∵()()ln ,(0)x g x f x e e x x λ='=>﹣﹣,()xg x e xλ'=-函数()g x 存在极值,即方程0x e xλ-=有正实数根,,(0)x xe x λ⇒=>,令()x G x xe =,()(1)0x G x x e '=+>在(0)+∞，恒成立. (0)x ∈+∞，时,()0G x >, ∴函数()g x 存在极值,λ的取值范围为(0)+∞，. (3)由(1)、(2)可知(1)0,(1)(1)0f f g '=== 结合(2)1x ≥时,()0x g x e xλ'=-≥,可得(1)x xe x λ≤≥,,()x G x xe =,在(1)+∞，恒成立. ∴e λ≤时,()0g x '≥,()g x 在[1)+∞，递增,()(1)0g x g ≥= 故()f x 在[1)+∞，递增,∴()(1)=0f x f ≥.当e λ>时,存在01x ≥,使()=0g x ',∴0(1)x x ∈，时,()<0g x ', 即0(1,)x x ∈时,()g x 递减,而(1)=0g ,∴0(1,)x x ∈时,()<0g x ,此时()f x 递减,而(1)=0f , ∴在0(1,)x ,()<0f x ,故当e λ>时,()0f x ≥不恒成立；综上1x ≥时,()0f x ≥恒成立,λ的最大值为e【点评】本题考查了导数的综合应用,利用导数求极值、证明函数恒等式,属于难题。

2017年南京三模评分细则

2017年南京三模评分细则一、语知部分8．一句一分，意对即可。

（1）“尔”，这样。

“忽”：疏忽；“虑”：考虑。

“其”：诡计、奇谋。

“安可悔”：逐字逐句，译成反问语气即可。

（2）“薄书凝然”译成“公文（文书）不动（翻）、静置”之意即可。

“械杻”译为“刑具”“器具”即可；“蠹”译为“虫子”。

“庑下徒役”译为“官府的差役”之类意思即可。

“偃居门宇终日”译出终日闲居无事之意即可。

9．第一问治理虹县扣“执法严厉”，治理罗江县“无为而治”“兴办教育”答到一点即可。

第二问扣民风，虹县“杂恶”、罗县“柔良畏事”。

10．第二问：《闻蝉》扣“愁（惆怅）”与“不愁（如积极向上）”两方面的意思，必须答出不同的人不同是情感的意思；或答“劝慰”亦可。

11．答案一共五点，前三后二，一点一分。

《晚蝉》中“抒情、描写”归入第一点，“责怪蝉声”归入第二点。

《闻蝉》中“议论”归入第一点；“观点新颖（富有新意）”归入第二点。

13.（1）答到其中两个方面即可,增加“对死亡的麻木”。

（2）能答到“优越感”或“庆幸”等1分，有对比分析1分。

14．陆根元眼中的运动场和先生的特点2分，表现出他的形象或心理2分，为下文退学埋下伏笔1分，带上感情色彩1分。

补充“增强现场感”1分。

15．手法2分。

效果2分，从性格特点（如吃苦耐劳等）和身份特点（如生活窘迫等）两个角度作答，意思对即可。

补充“与前文比较，体现其身份的转变”1分。

16．从情节（身份转变的合理性）、人物（丰满形象）、主题（对旧式教育的批判）等角度作答，各2分。

18．第二点答到两点即可。

19．第二点答到“迎战邪恶”即可，增加“艺术效果往往是无意之得”。

23．补充“丑”。

26．答案从“自然美景”“生活方式、状态”两方面正向评价即可。

请阅卷老师将学生答案与原答案比对，能正常归入其中某一点的就按点给分。

27．原答案共三点，补充一个答案点“画家也构成了风景的美好”。

学生答案丰富多彩且有许多合理精彩的地方，请阅卷老师灵活归类，如“画家爱美（喜欢到风景美的地方写生）”归入原答案第二点“侧面表现环境的优美”，“画家喝酒，表现出一种生活的悠闲状态”归入原答案第一点，“描写画家前后两次喝酒动作，前后呼应，结构完整”归入原答案第三点。

【江苏省南京市】2017届高考数学三模考试数学(理)试卷-答案

2 3s﹣2 -3t﹣2

2 9
3s

1 3t1 3

0
.∵
2 3s﹣2 -3t﹣2
是整数,∴
a1
a1 2p
1.
于是 a1 -a1-2 p ,即 a1 - p .与 - p a1 p 矛盾.
故此时数列{an}中不存在三项 ar ,as ,at (r,s,t N*,r s t) 依次成等差数列.
江苏省南京市 2017 届高考数学三模考试数学(理)试卷
答案
1.{2} 2. 3 .
8 3. 5
4. 1.
5. 34 . 5
6.2.
7.{ 3 }. 2
8. 1 . 2
9.8 .
10. 1 . 3
11. 1 5 . 2
12. 3 .
13. -1 a 3 . 5
14.[27,30] . 二、解答题：本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
(iii)当
a1 p
1时,有 a1
-p

p,a1

p

0.
于是 a2 | P-a1 | 2a1 p p-a1 2a1 p a1 2 p . a3 | p-a2 | 2a2 p | a1 p | 2a1 5 p -a1-p 2a1 5 p a1 4 p 此时数列{an} 中存在三项 a1,a2,a3 依次成等差数列.
若 a b ( 2 ,0) ,则 (2cos a 2sin a,sin 2a t)=( 2 ,0) ,
5
5
1 / 17
可得 cos a sin a= 1 ,平方可得 sin 2a cos 2a 2cos asin a= 1 ,

【江苏省南京市】2017届高考数学三模考试数学(理)试卷-答案

.即
C
( 1
8k2 4k2
2
,1 1
4k22 4k22
)
.
y k1 (x 2)
直线
AD
的方程为：
y

k1
(
x-2)
,联立

x
2
4

y2
1
,化为： (1 4k12 )x2 16k12 x 16k12 4 0 ,
∴ 2xD

16k12 4 1 4k12
由 a 为锐角,可得 cos (0,1) ,即有 tan sin a 1 , cos a 4
1
则
tan
2

2 tan a 1 tan2 a

2 1 1

8
, tan(2

π)
tan
2a

1

1

8 15
15
4 1 tan 2a 1 8
23 . 7
16
15
17.解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的 3 倍,
sin
∴ BC 40 2 3 cos . sin
(2)设表演台的造价为 y 万元,则 y 120 2 3 cos ,
sin
设 f ( ) 2 3 cos (0＜＜π) ,则 f ( )
sin
3 2cos sin2
∴当 0 π 时, f ( ) 0 ,当 π π 时, f ( ) 0 ,
(iii)当
a1 p
1时,有 a1
-p

p,a1

p

0.
于是 a2 | P-a1 | 2a1 p p-a1 2a1 p a1 2 p . a3 | p-a2 | 2a2 p | a1 p | 2a1 5 p -a1-p 2a1 5 p a1 4 p 此时数列{an} 中存在三项 a1,a2,a3 依次成等差数列.

江苏省南京市2017-2018学年高三第三次模拟考试数学试题 Word版含解析

2017-2018学年一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：因为{1,3,2,5}U U M C M ==- ,所以 5.a = 考点：集合补集2.设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ．【答案】3－i 【解析】试题分析：因为24(24)(1)(12)(1)3i,12i i i z i i i ++-===+-=++所以复数z 的共轭复数为3－i 考点：复数概念3.甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是 ▲ ．【答案】0.02考点：方差4.从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是 ▲ ．【答案】35【解析】试题分析：从5个球中随机取出两个球，共有10种基本事件，其中取出的两球中恰有一个红球包含有236⨯=种基本事件，其概率为63.105= 考点：古典概型概率5.执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．【答案】8 【解析】试题分析：第一次循环：4,4I S ==，第二次循环：6,24I S ==，第三次循环：8,192100I S ==>，输出8.I = 考点：循环结构流程图6.6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m ∥α．其中正确的是 ▲ ． (填．写所有正确的．．．．．．序号．．)．【答案】①④考点：线面关系判定7.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则86a a ＝ ▲ ．【答案】4（第5题图）【解析】试题分析：由S n ＝2a n －2，得S n-1＝2a n-1－2，(n 2)≥所以a n ＝2a n －2a n-1 ，a n ＝2a n-1(n 2)≥，数列{a n }为等比数列，公比为2，2862 4.a a == 考点：等比数列定义及性质8.设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为 ▲ ．【解析】试题分析：不妨设22221,(c,0)x y F a b-=，则点P(c,2b)-±，从而有222222415c b c e a b a-=⇒=⇒= 考点：双曲线离心率9.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝2π，则该函数的周期是 ▲ ．【答案】4 【解析】试题分析：由题意可设3((,22A B ππωω，又∠AOB ＝2π，所以324222T ππππωωωω⨯⇒=⇒== 考点：三角函数性质10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：因为当x ≥0时，f (x )＝2x－2，所以当0≤x ≤2时，f (x ) ≤f (2)＝2，而f (x )是定义在R 上的偶函数，所以当－2≤x ≤2时，f (x ) ≤2，因此不等式f (x －1)≤2等价于－2≤x －1≤2，即－1≤x ≤3，解集是考点：利用函数性质解不等式11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，2AM MD = ．若AC BM ⋅＝－3，则AB AD ⋅＝ ▲ ．【答案】32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-，所以3.2AB AD ⋅=考点：向量数量积12.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ▲ ．【答案】3考点：两圆位置关系（第11题图）13.设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(－1－21e ，2) 【解析】试题分析：令1x x y e -=，则2x x y e-'=，所以当2x ≤时，211(,]x x y e e -=∈-∞，当2x ≥时，211(0,]x x y e e -=∈ 因此要使函数g (x )恰有3个零点，须2a <且211a e --<，即实数a 的取值范围为(－1－21e ，2)考点：利用导数研究函数零点14.若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y --+的最大值为 ▲ ．【解析】试题分析：由题意得(2)()1x y x y -+=，令12,x y t x y t -=+=，则1112(t ),y (t ),33x t t=+=-+因此2222212||52222t x y m m t x xy y m m t t--==≤≤-++++，其中1=m t t-，当且仅当|m 222522x yx xy y --+考点：基本不等式求最值二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ²n ＝3b cos B ．（1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值．【答案】（1）13（2【解析】试题分析：（1）先由向量数量积得a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ，再由正弦定理将边化角，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，即得cos B ＝13．（2）由等比数列性质得b 2＝ac ，再由正弦定理将边化角，得sin 2B ＝sin A ²sinC ．利用同角三角函数关系、两角和正弦公式化11tan tanCA +得11tan tanC A +1sin B== 试题解析：解：（1）因为m ²n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．由正弦定理，得sin A cos C＋sin C cos A＝3sin B cos B ，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²3分所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²7分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B＝sin A ²sin C ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²9分因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝3．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²11分又11cos cos cos sin cos sin sin()tan tanC sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A A A C A C A C +++=+==2sin sin 1sin sin sin sin B B A C B B ====²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²14分考点：向量数量积、正弦定理、同角三角函数关系16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．【答案】（1）详见解析（2）1 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理（2）已知线面平行，一般利用线面平行性质定理，将其转化为线线平行：连结A 1C ，交AC 1于O ，则可得A 1B ∥OD ．再结合平面几何性质确定线段比值.试题解析：证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ．因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1．因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分(2)连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中（第16题图）ABCDA 1B 1C 1点． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点，所以BDDC＝1． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²14分考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理 17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b += (a ＞b ＞0)点(2，1)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．【答案】（1）22163x y +=（2（第17题图）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可：由2c a =，22411a b+=，解得a 2＝6，b 2＝3．（2）①直线过一定点，又与圆相切，因此可先利用直线与圆位置关系确定直线方程yx．再根据弦长公式求底长PQ＝②研究直线与椭圆位置关系，一般联立方程组，利用韦达定理求解：因为OP OQ ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2而直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m2－6＝0.则有x 1＋x 2＝－2412kmk +，x 1x 2＝222612m k -+=m 2＝2k 2＋2．代入化简得OP OQ ⋅＝由方程组22163y y x x ⎧+=⎪⎨⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以PQ＝． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分因为O 到直线PQO PQ．因为椭圆的对称性，当切线方程为y(x时，△O PQ综上所述，△O PQ的面积为． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分②解法二消去y 得5x 2－＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2³－³＝．²²²²²²²²²²²²²²²6分② (i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x x当x P ，Q ．因为OP OQ ⋅＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－时，同理可得OP ⊥OQ ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0．=m 2＝2k 2＋2．将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2412km k +，x 1x 2＝222612m k -+．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分因为OP OQ ⋅ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m2＝(1＋k 2)³222612m k -+＋km ³(－2412km k +)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP OQ ⋅ ＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²14分考点：椭圆标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆位置关系18.(本小题满分16分)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．【答案】（1）646497v≤≤（2）8＜v≤394．【解析】试题分析：（1）由路程、速度、时间关系可得关系式：12161||64v-≤，解简单含绝对值不等式即可，注意单位统一（2）首先乙先到达D地，故16v＜2，即v＞8．然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米：分三段讨论①当0＜vt≤5，由余弦定理得甲乙距离(6t)2＋(vt)2－2³6t³vt³cos∠DAB≤25，②当5＜vt≤13，构造直角三角形得甲乙距离(vt－1－6t)2＋9≤25，②当5＜vt≤13，由直角三角形得甲乙距离(12－6t)2＋(16－vt)2≤25，三种情况的交集得8＜v≤394．试题解析：解：(1)由题意，可得AD＝12千米．（第18题图）C BD所以(v2－48vv＋36)³(5v)2≤25，解得v≥154．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²9分②当5＜vt≤13，即5v＜t≤13v时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2 (t－16v-)2＋9．因为v＞8，所以16v-＜5v，(v－6) 2＞0，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，所以(v－6) 2(13v－16v-)2＋9≤25，解得39 8≤v≤394．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²13分③当13≤vt≤16，13v≤t≤16v时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(13v，16v)递减，所以当t＝13v时，f(t)取最大值，(12－6³13v)2＋(16－v³13v)2≤25，解得398≤v≤394．因为v＞8，所以 8＜v≤394．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²16分考点：实际应用题，分段函数求函数最值19.(本小题满分16分)设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．（1）当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；（2）设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间上的最大值；（3）若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．【答案】（1）(－∞，0)和(23，＋∞)（2）y max＝3,0427m m mm m≥<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－，（3）(0，83]∪∪∪≥(52，即得函数f(x)＝试题解析：解：函数定义域为，且f(x)≥0．由柯西不等式得≥(5²＋2，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²5分即27³4≥(52，所以x＝10027时，取等号．所以，函数f(x)＝²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分考点：利用柯西不等式求最值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X 的概率分布列及数学期望．【答案】（1）712（2）254【解析】试题分析：（1）因为X 是奇数，所以三个数字必是一奇二偶：按是否取0讨论，有11232223(2)28C C A A ⨯+=而能组成的三位数的个数是223424248C A A ⨯+=，因此所求概率为P (A )＝287=4812．（2）先确定随机变量取法3，4，5，6，7，8，9．再分别求对应概率，最后利用公式求数学期望，注意按是否取0讨论试题解析：解：（1）记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分X 是奇数的个数有28，所以P (A )＝287=4812．答：X 是奇数的概率为712． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分（2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝41=4812；当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝41=4812；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P (X ＝5)＝81=486当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P (X ＝6)＝105=4824；当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P (X ＝7)＝105=4824；当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝61=488；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝61=488； ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分所以X 的概率分布列为：E (X )＝3³112＋4³112＋5³16＋6³524＋7³524＋8³18＋9³18＝254．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分考点：概率分布，数学期望 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A (0，－1)，00(x ,y )n nn P ，n ∈N *．记直线AP n 的斜率为k n ．（1）若k 1＝2，求P 1的坐标；（2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数．【答案】（1）(1，1)（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由两点间斜率公式得20000112y x x x ++==，解方程得P 1的坐标（2）先求出k n ＝2000000111n nnn n ny x x x x x ++==+ ，再利用k 1为偶数表示x 0，设k 1＝2p (p ∈N *)，则x 0＝p k n 为偶数试题解析：解：（1）因为k 1＝2，所以20000112y x x x ++==，①当n ＝2m (m ∈N *)时， k n ＝22220(p 1)mk n k k nk C p -=-∑，所以 k n 为偶数． ②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝22220(p 1)mk n k k nk C p -=-∑，所以 k n 为偶数．综上， k n 为偶数． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分考点：二项式展开定理应用。

南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

南京市2017届高三期初模拟考试数学 2016.09一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{0,1,2}A =，2{|0}B x x x =-≤，则AB = .2.设复数z 满足()34z i i i +=-+（i 为虚数单位），则z 的模为 .3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有辆.4.若函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 .5.下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 .6.设向量(1,4)a =-，(1,)b x =-，3c a b =+，若//a c ，则实数x 的值是 .7. 某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则实数a 的值是 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数a 的值是 .10. 已知圆柱M 的底面半径为2，高为2，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 .11. 各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若2578a a -=-，313S =，则数列{}n a 的通项公式n a = .12. 已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 .13.在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB =，若3DB DC ∙=，则AC 的长是 .14.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1()()()2xf xg x +=，若存在01[,1]2x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点A 的横坐标是10，点B 的纵坐标是5. （1）求cos()αβ-的值；（2）求αβ+的值.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别为线段11,A B AC 的中点. （1）求证：//MN 平面11BB C C ；（2）若D 在边BC 上，1AD DC ⊥，求证：MN AD ⊥.17. （本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形（以O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，使80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Sm ，设A O C x r a d ∠=.（1）写出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围；（2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 最大.18. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=.（1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF ∆的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率1[22e ∈，求实数λ的取值范围.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a =，416S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m n b b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由. 20. （本小题满分16分）已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.（1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：123()()ln 24f x f x ->-.南京市2017届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，1} 2．．80 4．125．5 6．47．568．1 9.－1 10．6 11．3n－1 12．[－2，8]13．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）从而sinα＝＝10．…………………… 2分因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是5，所以sinβ＝，从而cosβ＝－n＝－…………………… 4分（1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝10×(－5)＋10×5＝－10． …………………… 8分（2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×(－)＋×＝． …………………… 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π)，所以α＋β＝34π． …………………… 14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）如图，连结A 1C ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD． (8)分因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C． (10)分又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC． (12)分又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD． (14)分17．（本小题满分14分）解：（1）因为扇形AOC的半径为40 m，∠AOC＝x rad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝22x OA∙＝800x，0＜x＜π．……………………2分在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，所以△COD 的面积S△COD＝12·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sin x．……………………4分从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sin x＋800x，0＜x＜π． (6)分（2）由（1）知，S(x)＝1600sin x＋800x，0＜x＜π．S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)． …………………… 8分由 S ′(x )＝0，解得x ＝23π．从而当0＜x ＜23π时，S ′(x )＞0；当23π＜x ＜π时， S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，23π)上单调递增；在区间(23π，π)上单调递减． …………………… 11分所以当x ＝23π，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为23π时，改建后的绿化区域面积S 最大． ……………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a ＝8，解得a ＝2． …………………… 2分因为点P 的坐标为 (1，32)，所以221914a b +=，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………… 5分（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以1PF ＝(－2c ，－2b a)，1FQ ＝(x 1＋c ，y 1)．由1PF ＝λ1FQ ，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－2b a＝λy 1，解得x 1＝－2λλ+c ，y 1＝－2b a λ，所以Q (－2λλ+c ，－2b aλ)． …………………… 11分因为点Q 在椭圆上，所以(2λλ+)2e 2＋222b a λ＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e2－3．…………………… 14分因为e ∈[12]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以22c a ＋202y b ＝1，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝22b ac(x ＋c )．由22222()21b y x c ac x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，2b a)．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－22224b c c b +，即－c －x 1＝22224b cc b+． …………………… 11分因为1PF ＝λ1FQ ，所以λ＝12cc x --＝2224c b b +＝22223c a a c +-＝22311e e +-＝2431e--． …………………… 14分因为e ∈[12，2]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去）所以a n ＝2n －1． …………………… 4分（2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝11n n a a +，所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝11n n a a +＝1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+， …………………… 6分即 b 2－b 1＝11(1)23-， b 3－b 2＝111()235-，……b n－b n－1＝111()22321n n---，（n≥2）累加得：b n－b1＝111(1)22121nn n--=--，……………………9分所以b n＝b1＋121nn--＝1＋121nn--＝3221nn--．b1＝1也符合上式．故b n＝3221nn--，n∈N*．……………………11分②假设存在正整数m、n(m≠n)，使得b2，b m，b n成等差数列，则b2＋b n＝2b m．又b2＝43，b n＝3221nn--＝32－142n-，b m＝32－142m-，所以43＋(32－142n-)＝2(32－142m-)，即121m-＝16＋142n-，化简得：2m＝721nn-+＝7－91n+．……………………14分当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2，（舍去）；当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，b m，b n成等差数列． (16)分20．（本小题满分16分）解：（1）因为a＝b＝1，所以f(x)＝x 2－x＋ln x，从而f ′(x)＝2x －1＋1x．因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．…………………… 3分（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x，从而 f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x＝22(21)1ax a x x -++＝(21)(1)ax x x --，x ＞0． ………… 5分当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a ，所以f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号），所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．……………………10分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． …………………… 12分f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln12x x ＝－(2212x x -)＋ln 12x x ．因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －2214x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)． ……………… 14分令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝122t t-－ln t ．因为φ′(t )＝22(1)2t t -≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． …………………… 16分方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． …………………… 12分所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－2b ＋ln 12)－(1－b )＝－34＋2b－ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋2b －ln2＞34－ln2． …………………… 16分南京市2017届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为点A 、D 、E 、B 在圆O 上，即四边形ADEB 是圆内接四边形，所以∠B ＝∠EDC ． ……………………… 3分因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ． ……………………… 5分所以∠C ＝∠EDC ，从而ED ＝EC ． ……………………… 7分又因为EF ⊥DC 于点F ，所以F 为线段DC 中点． ……………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0 0 －1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 2 1 3 ． ………………………5分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ λ－2 －2 －1 λ－3 ＝(λ－2)(λ－3)－2令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M 的特征值为1或4． ……………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0． ………………………6分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x或⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x或⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．……………………… 6分解⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈∅；解⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得 13≤x ≤1；解⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．得x ＞1．所以原不等式的解集为 [13，＋∞)． ………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)．因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)．所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． (4)分（2）由（1）可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，即⎩⎨⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ……………………… 6分设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． ………………………… 8分因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为63，即 |cos<m ，n >|＝63，所以 |m ·n || m |·| n |＝63， |4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝63，化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12． (10)分23．（本小题满分10分）解：（1）设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3．P (A 1)＝25；P (A 2)＝35×13×25＝225； P (A 3)＝(35)2×(13)2×25＝2125．所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125．答：甲获胜的概率为62125． ………………………4分（2）X 所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425； P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为……………………… 8分所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ………………………10分。

江苏省南京市2017届高三三模数学试卷(含解析)

2017年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁U（A∪B）= ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为．3．若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．4．执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．6．在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是．7．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是．8．已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．9．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a1=2，则a5的最小值为．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为．11．函数f（x）=e x（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为．12．在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD 的面积为．13．在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为．14．已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．16．（14分）已知向量为实数．。

江苏省南京市2017届高三第三次模拟考试数学试题 Word版缺答案bybao

江苏省南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学2017.05一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}{}1,4,3,4A B ==，则()U C A B = .2. 甲盒子中有编号分别为1,2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的四个乒乓球.现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 .3.若复数z 满足232z z i +=+，其中i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 .4.执行如图所示的伪代码，若输出的y 值为1，则输入x 的值为 .5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛张得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 .6.在同一直角坐标系中，函数[)()sin 0,23y x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象和直线12y =的交点的个数是 .7.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线222123x y m m-=的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是 .8.已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当[]2,4x ∈时，()43log 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 . 9.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且312a a -=，则5a 的最小值为 . 10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,3,90AB BC BB ABC ===∠= ,点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为 . 11.若函数()()22x f x e x x a =-++在区间[],1a a +上单调递增，则实数a 的最大值为 .12.在凸四边形ABCD 中，()()2,0,5BD AC BD AB DC BC AD =⋅=+⋅+=,则四边形ABCD 的面积为 .13.在平面直角坐标系xoy 中，圆22:1O x y +=，圆()()22:121M x a y a +++-=（a 为实数）.若圆O 和圆M 上分别存在点P,Q,使得30OQP ∠= ，则a 的取值范围为 .14.已知,,,a b c d 为正实数，且23228,a b c a b c +≤+≤，则38a b c+的取值范围为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为,BC CD 上的点，且//BD 平面.AEF（1）求证：//EF 平ABD 面；（2）若AE ⊥平面BCD ，BD CD ⊥,求证：平面AEF ⊥平面ACD .16.（本题满分14分）已知向量()()22cos ,sin ,2sin ,,0,,2a b t t παααα⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭ 为实数.（1）若2,05a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求t 的值；（2）若1t =，且1a b ⋅= ，求tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17.（本题满分14分）在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图），看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB,AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为BAC θ∠=. （1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价.18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点和上顶点分别为点A,B ，M 是线段AB 的中点，且23.2OM AB b ⋅=- .（1）求椭圆的离心率；（2）若2a =，四边形ABCD 内接于椭圆，AB//CD,记直线AD,BC 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值.19.（本题满分16分）已知常数0p >，数列{}n a 满足12,.n n n a p a a p n N *+=-++∈. （1）若11,1a p =-=， ①求4a 的值；②求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 中存在三项(),,,,,r s t a a a r s t N r s t *∈<<依次成等差数列，求1a p的取值范围.20.（本题满分16分）已知R λ∈，函数()()ln 1x f x e ex x x x λ=---+的导数为().g x （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数().g x 存在极值，求λ的取值范围；（3）若1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求λ的最大值.。

南京市2017届高三年级三模数学卷

7 甲 7 4 9 0 8 1 乙 8 9 5 0 3
（第 5 题图）
6 ．在同一直角坐标系中，函数 y ＝ sin(x ＋ ▲ ．
π 1 ) （ x ∈ [0 ， 2 π ] ）的图象和直线 y ＝的交点的个数是 3 2
x2 y2 7．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2－＝1 的焦距为 6，则所有满足条件的实数 m 构成的集合是 2m 3m ▲ ．
为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30，则 a 的取值范围为
▲
．
3a＋8b 2 3 2 14 ．（ 2017 南京三模）已知 a ， b ， c 为正实数，且 a ＋ 2b≤8c ，＋ ≤ ，则的取值范围为 a b c c ▲ ．
15．（2017 南京三模）（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 A－BCD 中，E，F 分别为棱 BC，CDA 上的点，且 BD∥平面 AEF．（1）求证：EF∥平面 ABD；（2）若 BD⊥CD，AE⊥平面 BCD，求证：平面 AEF⊥平面 ACD．
3 8 ．已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数．当 x ∈ [ 2 ， 4 ] 时， f ( x ) ＝ | log 4 ( x － ) | ， 2 A
1
C1
1 则 f( )的值为 2
▲
． ▲ ．
B1
9．若等比数列{an}的各项均为正数，且 a3－a1＝2，则 a5 的最小值为
－－
▲
．
4．执行如图所示的伪代码，若输出 y 的值为 1，则输入 x 的值为 ▲ ．
Read x If x≥0 Then y←2x＋1 Else y← 2－x2 End If Print y

2017年江苏省南京市高考数学三模试卷与解析PDF

2017年江苏省南京市⾼考数学三模试卷与解析PDF2017年江苏省南京市⾼考数学三模试卷⼀、填空题：（本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则?U（A∪B）=．2．（5分）甲盒⼦中有编号分别为1，2的两个乒乓球，⼄盒⼦中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒⼦中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和⼤于6的概率为．3．（5分）若复数z满⾜，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．4．（5分）执⾏如图所⽰的伪代码，若输出的y值为1，则输⼊x的值为．5．（5分）如图是甲、⼄两名篮球运动员在五场⽐赛中所得分数的茎叶图，则在这五场⽐赛中得分较为稳定（⽅差较⼩）的那名运动员的得分的⽅差为．6．（5分）在同⼀直⾓坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是．7．（5分）在平⾯直⾓坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满⾜条件的实数m构成的集合是．8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．9．（5分）若等⽐数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a1=2，则a5的最⼩值为．10．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最⼩时，三棱锥D﹣ABC1的体积为．11．（5分）函数f（x）=e x（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a 的最⼤值为．12．（5分）在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD的⾯积为．13．（5分）在平⾯直⾓坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+3）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a 的取值范围为．14．（5分）已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为．⼆、解答题：本⼤题共6⼩题，共90分.解答应写出必要的⽂字说明或推理、验算过程.15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平⾯AEF．（1）求证：EF∥平ABD⾯；（2）若AE⊥平⾯BCD，BD⊥CD，求证：平⾯AEF⊥平⾯ACD．。

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16．（本小题满分 14 分）解：（1）因为向量 a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)， 2 1 且 a－b＝( ，0)，所以 cosα－sinα＝，t＝sin2α． 5 5 1 1 由 cosα－sinα＝得 (cosα－sinα)2＝， 5 25 1 24 即 1－2sinαcosα＝，从而 2sinαcosα＝． 25 25
λ λ 当 λ＞0 时，设 h(x)＝ex－，则 h′(x)＝ex＋ 2＞0 恒成立， x x 所以 h(x)在(0，＋∞)上单调递增． ①当 0＜λ＜e 时，
λ λ h(1)＝e－λ＞0，h( )＝ee－e＜0，且 h(x)是(0，＋∞)上的连续函数， e
„„„„„„„„„„ 6 分
λ 因此存在唯一的 x0∈( ，1)，使得 h(x0)＝0． e ②当 λ≥e 时， h(1)＝e－λ≤0，h(λ)＝eλ－1＞0，且 h(x)是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的 x0∈[1，λ)，使得 h(x0)＝0．故当 λ＞0 时，存在唯一的 x0＞0，使得 h(x0)＝0． „„„„„„„„ 8 分
数学参考答案和评分标准第 3 页共 10 页
1 1 － x1＋m － x2＋m－1 2 2 所以 k1·k2＝ · x2 x1－2 1 1 1 x x － (m－1)x1－ mx2＋m(m－1) 4 1 2 2 2 ＝ (x1－2)x2 1 1 1 x x － m(x1＋x2)＋ x1＋m(m－1) 4 1 2 2 2 ＝ x1x2－2x2 1 1 1 x x － m·2m＋ (2m－x2)＋m(m－1) 4 1 2 2 2 ＝ x1x2－2x2 1 1 xx－ x 4 1 2 2 2 1 ＝＝， x1x2－2x2 4 1 即 k1·k2 为定值． 4 x2 方法二：由 a＝2 得 b＝1，故椭圆方程为＋y2＝1． 4 1 从而 A(2，0)，B(0，1)，直线 AB 的斜率为－． 2 x02 设 C(x0，y0)，则＋y02＝1． 4 1 因为 AB∥CD，故 CD 的方程为 y＝－ (x－x0)＋y0． 2 „„„„„„„„ 7 分 „„„„„„„„„16 分
y＝－2(x－x )＋y ，联立消去 y，得 x －(x ＋2y )x＋2x y ＝0， x ＋ y ＝ 1 ， 4
0 0 2 2 2 0 0 0 0
1
解得 x＝x0（舍去）或 x＝2y0． 1 所以点 D 的坐标为(2y0， x0)． 2 1 x 2 0 y0－1 1 1 所以 k1·k2＝ · ＝，即 k1·k2 为定值． x0 4 4 2y0－2 „„„„„„„„„ 13 分
1 因为 AB∥DC，故可设 DC 的方程为 y＝－ x＋m．设 D(x1，y1)，C(x2，y2)． 2
y＝－2x＋m，联立消去 y，得 x －2mx＋2m －2＝0， x ＋ y ＝ 1 ， 4
2 2 2 2
1
所以 x1＋x2＝2m，从而 x1＝2m－x2．
„„„„„„„„„ 9 分
1 1 － x1＋m － x2＋m－1 2 2 y2－1 y1 直线 AD 的斜率 k1＝＝，直线 BC 的斜率 k2＝＝， x2 x2 x1－2 x1－2 „„„„„„„„„ 11 分
－
„„„„„„„„„„ 10 分
若{an}中存在三项 ar，as，at (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，则有 2 as＝ar＋at，即 2×3s 1＝3r 1＋3t 1．（*）
－－－
2 －－－－因为 s≤t－1，所以 2×3s 1＝ ×3s＜3t 1＜3r 1＋3t 1， 3 即（*）不成立．故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列．（ii）当－1＜ a1 ＜1 时，有－p＜a1＜p． p „„„„„„„„„ 12 分
此时 a2＝|p－a1|＋2 a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2 p＞p，于是当 n≥2 时，an≥a2＞p，从而 an＋1＝|p－an|＋2 an＋p＝an－p＋2 an＋p＝3an．所以 an＝3n 2a2＝3n 2(a1＋2p) (n≥2)．
－－
若{an}中存在三项 ar，as，at (r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差数列，同（i）可知，r＝1，于是有 2×3s 2(a1＋2 p)＝a1＋3t 2(a1＋2p)．
„„„„„„„„ 14 分
17．（本小题满分 14 分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的 3 倍，所以 AB＝ 3AC． 1 在△ABC 中，S△ABC＝ AB•AC•sinθ＝400 3， 2 800 所以 AC2＝． sinθ 由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosθ，＝4AC2－2 3AC2 cosθ．＝(4－2 3cosθ) 即 BC＝ 800 (4－2 3cosθ)• ＝40 sinθ 800 ， sinθ 2－ 3cosθ ． sinθ „„„„„„„„ 7 分 „„„„„„„„ 3 分
南京市 2017 届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分，计 70 分.） 1．{2} 3 7．{ } 2 6 13．[－，0] 5 3 2． 8 1 8． 2 3． 5 9．8 4．－1 1 10． 3 5．6.8 11．－1＋ 5 2 6．2 12．3
－－
因为 2≤s≤t－1，
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所以
a1 2 1 －－－＝2×3s 2－3t 2＝ ×3s－ ×3t 1＜0． 9 3 a1＋2 p
－－2
因为 2×3s 2－3t
是整数，所以
a1 ≤－1， a1＋2 p
于是 a1≤－a1－2p，即 a1≤－p，与－p＜a1＜p 相矛盾．故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列． a1 （iii）当 ≤－1 时，则有 a1≤－p＜p，a1＋p≤0， p 于是 a2＝| p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2p， a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝|p＋a1|＋2a1＋5p＝－p－a1＋2a1＋5p＝a1＋4p，此时有 a1，a2，a3 成等差数列． a1 综上可知： ≤－1． p „„„„„„„„„„„„ 16 分 „„„„„„„ 14 分
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则 f ′(θ)＝
3－2cosθ ． sin2θ
„„„„„„„„ 11 分
π 由 f ′(θ)＝0，解得 θ＝． 6 π π 当 θ∈(0， )时，f ′(θ)＜0；当 θ∈( ，π)时，f ′(θ)＞0． 6 6 π π 故 f(θ)在(0， )上单调递减，在( ，π)上单调递增， 6 6 π π 从而当 θ＝时，f(θ)取得最小值，最小值为 f( )＝1． 6 6 所以 Wmin＝120(万元)．答：表演台的最低造价为 120 万元． „„„„„„„„ 14 分
所以 BC＝40
2－ 3cosθ ，θ∈(0，π)． sinθ
（2）设表演台的总造价为 W 万元．因为 CD＝10m，表演台每平方米的造价为 0.3 万元，所以 W＝3BC＝120 2－ 3cosθ ，θ∈(0，π)． sinθ „„„„„„„„ 9 分
2－ 3cosθ 记 f(θ)＝，θ∈(0，π)． sinθ
„„„„„„„„„„„ 3 分
从而 an＋1＝|1－an|＋2 an＋1＝an－1＋2 an＋1＝3an，于是有 an＝3n 2(n≥2) ．
－
„„„„„„„„„„„ 5 分
当 n＝1 时，S1＝－1； 1－3n 1 3n 1－3 当 n≥2 时，Sn＝－1＋a2＋a3＋„＋an＝－1＋＝． 2 1－3
－－
n＝1， 1， n－1 所以 Sn＝3 －3 * 2 ，n≥2，n∈N ， 3n 1－3 即 Sn＝，n∈N*． 2
－
„„„„„„„„„„ 8 分
（2）因为 an＋1－an＝|p－an|＋an＋p≥p－an＋an＋p＝2 p＞0，所以 an＋1＞an，即{an}单调递增． a1 （i）当 ≥1 时，有 a1≥p，于是 an≥a1≥p， p 所以 an＋1＝|p－an|＋2 an＋p＝an－p＋2 an＋p＝3an，所以 an＝3n 1a1．
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„„„„„„„„ 2 分
49 所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝． 25 π 7 因为 α∈(0， )，所以 cosα＋sinα＝． 2 5 (cosα＋sinα)－(cosα－sinα) 3 所以 sinα＝＝， 2 5 9 从而 t＝sin2α＝． 25 （2）因为 t＝1，且 a • b＝1，所以 4sinαcosα＋sin2α＝1，即 4sinαcosα＝cos2α． π 1 因为 α∈(0， )，所以 cosα≠0，从而 tanα＝． 2 4 2tanα 8 所以 tan2α＝＝． 1－tan2α 15 8 ＋1 15 π 23 从而 tan(2α＋ )＝＝＝． 4 π 8 7 1－tan2α·tan 1－ 4 15 π tan2α＋tan 4 „„„„„„„„ 9 分 „„„„„„„„ 11 分 „„„„„„„„ 7 分 „„„„„„„„ 5 分
„„„„„„„„„ 16 分
19．（本小题满分 16 分）解：（1）因为 p＝1，所以 an＋1＝|1－an|＋2 an＋1． ① 因为 a1＝－1，所以 a2＝|1－a1|＋2 a1＋1＝1， a3＝|1－a2|＋2 a2＋1＝3，
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a4＝|1－a3|＋2 a3＋1＝9． ② 因为 a2＝1，an＋1＝|1－an|＋2 an＋1，所以当 n≥2 时，an≥1，
14．[27，30]
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 14 分）证明：（1）因为 BD∥平面 AEF， BD平面 BCD，平面 AEF∩平面 BCD＝EF，所以 BD∥EF．因为 BD平面 ABD，EF平面 ABD，所以 EF∥平面 ABD．（2）因为 AE⊥平面 BCD，CD平面 BCD，所以 AE⊥CD．因为 BD⊥CD，BD∥EF，所以 CD⊥EF，又 AE∩EF＝E，AE平面 AEF，EF平面 AEF，所以 CD⊥平面 AEF．又 CD平面 ACD，所以平面 AEF⊥平面 ACD． „„„„„„„„ 14 分 „„„„„„„„ 12 分 „„„„„„„„ 10 分 „„„„„„„„ 8 分 „„„„„„„„ 6 分 „„„„„„„„ 3 分