2019届一轮复习北师大版 平面向量 学案

第4练 平面向量[明考情]向量是高考的必考考点，难度不大，一般以选择、填空题的形式考查，也会与三角函数、解析几何知识交汇命题. [知考向]1.平面向量的线性运算.2.平面向量的数量积.3.平面向量的综合应用.考点一 平面向量的线性运算要点重组 (1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘. (2)共线向量定理. (3)平面向量基本定理.方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点.(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R .(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决. 1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2.如图，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13C.1D.3 答案 B解析 ∵AN →＝12NC →，∴AN →＝13AC →，∴AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →.又B ，N ，P 三点共线， ∴m ＝13.3.在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b )∥c ，则x 等于( )A.－2B.－4C.－3D.－1 答案 D解析 ∵a －12b ＝(3，1)，∴a －(3，1)＝12b ，则b ＝(－4，2)，∴2a ＋b ＝(－2，6). 又(2a ＋b )∥c ，∴－6＝6x ，解得x ＝－1.4.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λAB →＋μAC →(λ，μ为实数)，则λ＋μ的值为________. 答案 12解析 由题意得DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ＝－16，μ＝23，故λ＋μ＝12. 5.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC ＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13. ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 考点二 平面向量的数量积 要点重组 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)|a |2＝a ·a ；cos θ＝a ·b|a ||b |. 方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法. (2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.6.已知三点A (－1，－1)，B (3，1)，C (1，4)，则向量BC →在向量BA →方向上的投影为( ) A.55B.－55C.21313 D.－21313答案 A解析 BC →＝(－2，3)，BA →＝(－4，－2)，向量BC →在向量BA →方向上的投影为BC →·BA →|BA →|＝－2×(－4)＋3×(－2)(－4)2＋(－2)2＝55，故选A. 7.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( ) A.－311B.－113C.12D.35答案 A解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c ＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311.8.(2016·全国Ⅲ)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.120° 答案 A解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32.又∵0°≤∠ABC ≤180°， ∴∠ABC ＝30°.9.(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A.－2B.－32C.－43D.－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0).设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值. 此时|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.10.(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________. 答案 12解析 由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.考点三 平面向量的综合应用方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.11.向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( ) A.13B.－13C.－23D.－223 答案 B 解析 ∵a ∥b ， ∴tan α·cos α＝13.∴sin α＝13.又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－13. 12.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →等于( )A.6B.4C.－4D.－6 答案 A解析 由y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝0，得π4x －π2＝k π， 解得x ＝4k ＋2，由题图得A (2，0). 由y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝1，得π4x －π2＝k π＋π4， 解得x ＝4k ＋3.由题图得B (3，1).所以OA →＋OB →＝(5，1)，AB →＝(1，1).所以(OA →＋OB →)·AB →＝5×1＋1×1＝6.13.设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2).已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫12，4，n ＝⎝⎛⎭⎫π6，0，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是( )A.22B.23C.2D.4 答案 D解析 设点P (x 0，cos x 0)，点Q (x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0 ＝⎝⎛⎭⎫12x 0，4cos x 0＋⎝⎛⎭⎫π6，0＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0， 所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0. 由向量的坐标运算，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，解得y ＝4cos ⎝⎛⎫2x －π3，所以f (x )＝4cos ⎝⎛⎫2x －π3. 又因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤0，π3， 由余弦函数的单调性知，当2x －π3＝0即x ＝π6时，函数f (x )取得最大值4.14.已知点O 是锐角△ABC 的外心，AB ＝8，AC ＝12，A ＝π3.若AO →＝xAB →＋yAC →，则6x ＋9y＝________. 答案 5 解析 如图，设点O 在AB ，AC 上的射影是点D ，E ，它们分别为AB ，AC 的中点，连接OD ，OE .由数量积的几何意义，可得AB →·AO →＝|AB →||AD →|＝32，AC →·AO →＝|AC →||AE →|＝72，依题意有AB →·AO →＝xAB→2＋yAC →·AB →＝64x ＋48y ＝32，即4x ＋3y ＝2；AC →·AO →＝xAB →·AC →＋yAC →2＝48x ＋144y ＝72，即2x＋6y ＝3，将两式相加可得6x ＋9y ＝5.15.在平面内，AB →·AC →＝BA →·BC →＝CA →·CB →＝6，动点P ，M 满足|AP →|＝2，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________. 答案 16解析 由已知易得△ABC 是等边三角形且边长为2 3.设O 是△ABC 的中心，则|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2.以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (2，0)，B (－1，－3)，C (－1，3). 设P (x ，y )，由已知得|AP →|＝2， 得(x －2)2＋y 2＝4，∵PM →＝MC →， ∴M ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，y ＋32，∴BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y ＋332， ∴|BM →|2＝(x ＋1)2＋(y ＋33)24，它表示圆(x －2)2＋y 2＝4上的点P (x ，y )与点D (－1，－33)的距离的平方的14，∵|PD →|max ＝(2＋1)2＋(33)2＋2＝9＋27＋2＝8，∴|BM →|2max＝824＝16.1.对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a ·b |≤|a ||b | B.|a －b |≤||a |－|b || C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2答案 B解析 选项B 中，当向量a ，b 反向及不共线时， 有|a －b |＞|||a |－|b |，故B 中关系式不恒成立.2.已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( ) A.k ＝－2B.k ＝12C.k ＝1D.k ＝－1答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线， ∴AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1). ∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________.答案 ⎝⎛⎭⎫－53，0∪()0，＋∞ 解析 a ＋λb ＝(1＋λ，2＋λ)， 由a ·(a ＋λb )＞0，可得λ＞－53.又a 与a ＋λb 不共线， ∴λ≠0.故λ＞－53且λ≠0.4.在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是____________.(填序号) ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AB →·BC →＞0，则△ABC 为锐角三角形.答案 ②③解析 在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →＞0，则B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误.解题秘籍 (1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质. (2)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC 中，AB →和BC →的夹角为π－B ；向量a ，b 的夹角为锐角要和a ·b ＞0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).1.已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且a ·(a ＋b )＝6，|a |＝3，则|b |等于( )A.3B.23C.233 D.2答案 D解析 由已知得a 2＋a ·b ＝6， 又|a |2＝3， ∴a ·b ＝3. ∴3×|b |×32＝3， ∴|b |＝2.2.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE →·BD →等于( )A.－3B.0C.－1D.1 答案 C解析 AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →，所以AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC →·BD →＝AB →·BD →＋12BC →·BD →＝|AB →||BD →|cos120°＋12|BC →||BD →|cos60°＝－12×2×2＋12×2×2×12＝－1.3.设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为( ) A.2B.1C.12D.13答案 B解析 设AB 的中点为D ，∵OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴O 为中线CD 的中点， ∴△AOC ，△AOD ，△BOD 的面积相等， ∴△AOC 与△AOB 的面积之比为1∶2， 同理△BOC 与△AOB 的面积之比为1∶2， ∴△AOC 是△ABC 面积的14，∴△AOC 的面积为1.4.在平面直角坐标系内，OA →＝(1，4)，OB →＝(－3，1)，且OA →与OB →在直线l 的方向向量上的投影长度相等，则直线l 的斜率为( ) A.－14B.25C.25或－43D.52答案 C解析 直线l 的一个方向向量可设为l ＝(1，k )， 由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪OA →·l |l |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OB →·l |l |⇒|1＋4k |＝|－3＋k |， 解得k ＝25或k ＝－43.5.已知AB →·BC →＝0，|AB →|＝1，|BC →|＝2，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为( ) A.255B.2C.5D.2 5 答案 C解析 由题意得AB →⊥BC →，AD →⊥DC →，故点B ，D 都在以AC 为直径的圆上.又|AC →|＝5， ∴|BD →|的最大值为 5.6.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题： p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π； p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3； p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π， 其中的真命题是( )A.p 1，p 4B.p 1，p 3C.p 2，p 3D.p 2，p 4答案 A解析 由||a ＋b ＞1，可得cos θ＞－12， ∴θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3. 由|a －b |＞1，可得cos θ＜12， ∴θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.故p 1，p 4正确.7.已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数m n的值为( ) A.16B.14C.6D.4 答案 A解析 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，∵OC →＝mOA →＋nOB →，OC →⊥AB →，∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0，∴m n ＝16，故选A. 8.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A.3B.22C.5D.2答案 A解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1).设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255， 即圆C 的半径为255， ∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45. 设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0，1)，AD →＝(2，0).∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ. 两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3 ⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈ 时，λ＋μ取得最大值3. 故选A.9.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)答案 12(5e 1＋3e 2) 解析 在矩形ABCD 中，因为点O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2). 10.已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎦⎤0，233 解析 如图，由正弦定理，得|β|sin60°＝|α|sin θ(0°＜θ＜120°)，∴|α|＝233sin θ， ∴0＜|α|≤233. 11.在平行四边形ABCD 中，点M 在边CD 上，且满足DM ＝13DC ，点N 在CB 的延长线上，且满足CB ＝BN ，若AB ＝3，AD ＝4，则AM →·NM →的值为________.答案 30解析 因为AM →＝AD →＋13AB →，NM →＝2AD →－23AB →， 所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →⎝⎛⎭⎫2AD →－23AB →＝2⎝⎛⎭⎫AD →2－19AB →2＝30.12.(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案 3解析 如图，设OD →＝mOA →，DC →＝nOB →，则在△ODC 中有OD ＝m ，DC ＝n ，OC ＝2，∠OCD ＝45°，由tan α＝7，得cos α＝210， 又由余弦定理知，⎩⎨⎧m 2＝n 2＋(2)2－22n cos45°，n 2＝m 2＋(2)2－22m cos α， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－n 2＝2－2n ， ①n 2－m 2＝2－25m ，② ①＋②得4－2n －25m ＝0，即m ＝10－5n ，代入①得12n 2－49n ＋49＝0，解得n ＝74或n ＝73，当n ＝73时，m ＝10－5×73＝－53<0(舍去)，当n ＝74时，m ＝10－5×74＝54，故m ＋n ＝54＋74＝3.。