组合数学 第二章母函数与递推关系题目
组合数学(引论)
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
母函数与递推关系习题
母函数与递推关系习题1、 有n 阶台阶，一人从下往上走，每次走一或两级，求他走这n 级台阶的方法数。
2、 {1,2,3,}n S n = 的一个子集为交替的：如果按递增次序列出该子集的元素时，它们的奇偶性为：奇、偶、奇、偶、 。
空集也算作交替的。
求n S 的交替自己的树木。
3、 某人有n 元钱，他一天买一样东西，或一元钱的甲、或二元钱的乙、或二元钱的丙，问他用完这n 元钱有多少种方法？4、 求{,,}S a b c =∞⋅的n 排列数，要求在排列中a 与a 不相邻。
5、 设40nn i a i ==∑，0n ≥，求n a 。
6、 求1003102-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
7、 平面上有n 条直线，其中任意两条都相交于一点，但没有三条相交于同一点，求这n 条直线将平面分成的区域数。
8、 空间中有n 个平面，其中任意两个都有唯一交线，任意三个都有唯一一个交点，但没有四个相交于同一点。
求这n 个平面将空间分成的区域数。
9、 在平面上画一个圆，然后再依次画n 条与圆都相交的直线，其中当k 是大于1的奇数时，第k 条直线只与前面(1)k -条直线中的一条在圆内相交，当k 是偶数时，第k 条直线与前面(1)k -条直线都在圆内相交，又没有三条直线在圆内相交于同一点。
求这n 直线将圆分成的区域数。
10、求{1,2,3}S =∞⋅的k 排列的个数，要求在排列中同一元素至多连续出现两次。
11、 将一个凸(1)n +边形用它的对角线划分成三角形，要求所用的对角现在多边形内部无交点，求划分的方法数。
12、 设一克、三克、七克重的砝码分别有1枚、3枚、2枚。
问用这些砝码能称出哪些重量？称每一重量又各有几种方案？13、 有两种拆分：（1）1{1,12,3,14,}S =∞⋅⋅∞⋅⋅ ；（2）23{1,2,3,}S =⋅ 。
证明对同一正整数n ，这两种拆分的拆分数相等。
14、证明：周长为2n ，边长为整数的三角形的个数等于将n 拆分成恰好三项的拆分数。
卢开澄组合数学--组合数学第二章
(2-1-2)式等号的两端对x求导可得：
C(n,1) 2C(n,2) 3C(n,3) nC(n, n)
n2n1
(2 -1- 5)
等式(2-1-5)两端令x=1，得：
C(n,1) 2C(n,2) 3C(n,3) nC(n, n)
n2n1
(2 -1- 5)
§2.1 母函数
5的n位十进制数。
bn 9bn1 an1也有类似解释。
§2.2 递推关系
(2-2-2)是关于序列{an}和 {bn} 的连立关系。
设序列{an}的母函数为 A(x)，序列{bn}的母
函数为 B( x) 。
即：
A(x) a1 a2 x a3x2
B(x) b1 b2 x b3x2
A
B
C
§2.2 递推关系
上述算法是递归的运用。n=2时已给出 算法；n=3时，第一步便利用算法把上面 两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转 移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到 柱C上。N=4，5，…以此类推。
§2.2 递推关系
算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要 的转移盘次。根据算法先把前面n-1个盘子 转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最 后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。
§2.2 递推关系
因为：
H (x) h(k)xk k 1
h(k) 2k 1
§2.2 递推关系
例2. 求n位十进制数中出现偶数个5的数 的个数。
先从分析n位十进制数出现偶数个5的数的
结构入手 p1 p2 pn1 是n-1位十进制数，若含
有6，偶7数，个8，5，9九则个p数n中1 取的5一以个外，的若0，p11，p22，p3n，14， 只有奇数个5，则取 pn 5 ，使 p1 p2 pn1 pn
图论与组合数学期末复习题含答案
组合数学部分第1章 排列与组合例1：1)、求小于10000的含1的正整数的个数；2、)求小于10000的含0的正整数的个数；解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套用。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。
不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。
例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。
例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个内点值则记入序列。
如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。
2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：112223344567。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数_版24样版
1 1 x 2
n 1x n
n 0
sfsf
16
2.1母函数
例 从n双互不相同的袜子（每双袜子中的两只相同）中取出r只， 要求没有任何两只是成对的，共有多少种不同的取法？
解：生成函数为: G( x ) (1 x )
sfsf
13
2.1母函数
例 求不定方程k1+k2+k3+k4=20的解数。其中, 限制k1可取0,2,4; k2可取1,3,5; k3可取6,7;k4可取8,9。 G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
= (1+x2+x4) (1+x2+x4)x(1+x)x6(1+x)x8
例 确定苹果、香蕉、橘子和梨的n-组合的个数，其中在每个n组合中要求：苹果的个数必须是偶数，香蕉的个数必须是5的倍 数，橘子的个数最多4个，梨的个数为0或1个。 解：生成函数为:
G( x) (1 x 2 x 4 ....)(x 0 x 5 ....)(1 x x 2 x 3 x 4 )(1 x)
sfsf
12
2.1母函数
例 求不定方程k1+k2+k3+k4=20的解数。其中, 限制k1可取0,2,4; k2可取1,3,5; k3可取6,7;k4可取8,9。
解：设不定方程k1+k2+k3+k4=k的解组数目为ck，本例中m=4, k=20。 注意到对ki(i=1,2,3,4)的限制，序列{ck}对应的生成函数为: G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
组合数学第二篇习题解答
n0
k 0
(c)an C(n 3,3), n {0,1,2,...}
n
(b)G 2 an xn , 其中an (k 1)(n 1 k )
n0
k 0
G2 (1 2x 3x2 ... (n 1)xn ...)(1 2x 3x2 ... (n 1)xn ...)
an 1 (n 1) 2 (n) ... (k 1) (n k 1) ...
G(x) 1 23 x 1 ...(n 1)3 xn 1 ...
1 x 1 x
1 x
1 (1 23 x ...(n 1)3 xn ...) 1 x
G(x)
1 1 x
1 4x x2 (1 x)4
1 4x x2 (1 x)5
2.16 用数学归纳法证明 C(m,m),C(m+1,m),C(m+2,m),...,C(m+n,m),...的母函数为 (1-x)-m-1
按叠加原理 an 4an1 3 4n 的特解为hn4n , 代入替推关系 hn4n 4h(n 1)4n1 3 4n , h 3 一般解为: r4n 3n4n 10 5n
2.28
an
a a 3
10
n 1
n2
两边求对数
ln an 3 ln an1 10 ln an2 令bn ln an bn 3bn1 10bn2 0, 特征根为 : r1 5, r 2 2,
1 ln 4
a [3n 3( 1)n ] 0
ln a a 1[3n (1)n ]
1[3n 3( 1)n ]
14
04
a a a 1[3n ( 1)n ]
1[3n 3( 1)n ]
n
14
04
母函数与递推关系
归纳法 计算这个数列前几项:
1, 3, 7, 15, 31, … 看起来有点象
hn=2n-1, n=1,2,… 根据递归关系(3.3)用归纳法即可证之.
8
例2 (Fibonacci问题): Fibonacci数列是递推关系的又一典型
问题, 数列的本身有着许多应用. (1) 问题的提出：假定初生的一对雌雄兔
14
母函数把数列的所有成员用一种非常 巧妙的方法联系在一起, 虽然这样做并 不一定能得到数列的简单公式, 可是也 许能够给出一个幂级数和的简单公式, 展开这个和函数, 所得到的幂级数的系 数就是我们所要找的数列.
比如我们学习到的Fibonacci 数列, 它 满足一个递归关系
Fn+1=Fn+Fn-1 (n>2; F1=F2=1).
《图论与组合优化》
第四讲
母函数与递归关系
1
例1(Hanoi塔问题)：n个圆盘依其半径大 小, 从下而上套在柱A上, 如图3.1所示. 每次只允许取一个转移到柱B或C上, 而且不允许大盘放在小盘上方. 若要求 把A上的n个盘转移到C柱上. 请设计一 种方法, 并估计要移动几个盘次. 现在 只有A, B, C三根柱子可供使用.
子, 从出生的第2个月之后每个月都可 以生出另外一对雌雄兔. 如果第1个月 只有一对初生的雌雄兔子, 问n个月之 后共有多少对兔子？
9
1月 2月 3月 4月
10
(2) 求递推关系: 设满n个月时兔子对数 为Fn, 其中当月新生兔数目设为Nn对. 第n-1个月留下的兔子数目设为Qn对. Fn= Nn+ Qn.
6
(2) 算法分析：令hn表示n个圆盘所需要 的转移次数. 根据算法先把前面n-1个 盘子转移到B上; 然后把第n个盘子转 移到C上; 最后再一次将B上的n-1个盘 子转到C上.
组合数学讲义及答案 2章 母函数
x1 x 1 x 3
1 x
6x
4
1 x
ex
-ln(1- a x)
《组合数学》
第二章
母函数
ak ak
k 1 ＝ 2k ! k 1 ＝
cos x
ak ＝
2k 1!
1k
1 sin x x
2k 1
1 arctan x x
n
n r r r 2 x r 0
n
n r 即不同的取法共有 a r r 2 种。 n 由于每类元素最多只能出现一次， 故 G(x)＝ 1 2 x 中不能
有 x 2 项，再由同双的两只鞋子有区别知，x 的系数应为 2。 解法二：用排列组合。先从 n 双鞋中选取 r 双，共有 r 种 r 选法，再从此 r 双中每双抽取一只，有 2 种取法，由乘法原理， 即得结果同上。 解法三： 仍用排列组合。 先取出 k 只左脚的鞋， 再在其余 n k
r 组合数为 x r 之系数 C n 。
r
(2.1.2)
为
推论2 S e1 , e2 ,, en ，则 r 无限可重组合的母函数
j 1 G(x)＝ x 1 x n j0
3/49
n
(2.1.3)
《组合数学》
第二章
母函数
5 i 6 i 7 i 10 i G1(x)＝ x x x x i 0 i 0 i 0 i 0 4 28 ＝ 1 4 x 35 x x
与
6/49
《组合数学》
第二章
母函数
0 , 当r n为奇数 ar rn r n , 当r n为偶数 C n 2 1 , 2
组合数学第二章081126
1 C (m.1) x C (m.2) x
2
.... C (m.m) x
n m
得：
C(m+n,r )=C(m,0)C(n,r)+C(m,1)C(n,r-1)+…+C(m,r)C(n,0)
第二章 母函数与递推关系
2.1 母函数的引入 同样利用
1 x 1 1/ x
第二章 母函数与递推关系
2.6 指数型母函数 1 问题提出 设有 n 个元素， 其中元素 a1 重复了 n1 次， 元素 a2 重复了 n2 次， …， ... ak 重复了 nk 次，n=n1+n2+ +nk 从中取 r 个排列，求不同的排列数 如果 n1=n2= =nk=1，则是一般的排列问题。 现在由于出现重复，故不同的排列计数便比较复杂。先考虑 n 个 元素的全排列，若 n 个元素没有完全一样的元素，则应有 n!种排列。 若考虑 ni 个元素 ai 的全排列数为 ni! ，则真正不同的排列数为
...
第二章 母函数与递推关系
2.6 指数型母函数 解的分析 先讨论一个具体问题：若有 8 个元素，其中设 a1 重复 3 次，a2 重 复 2 次，a3 重复 3 次。从中取 r 个组合，其组合数为 cr，则序列 c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7 的母函数为
从 x 的系数可知，这 8 个元素中取 4 个组合，其组合数为 10。这 10 个组合可从下面展开式中得到
第二章 母函数与递推关系
2.1 母函数的引入
... 定义：对于序列 a0，a1，a1， ，定义 G x a0 a1 x a2 x ... 为序
2
... 列 a0，a1，a1， 的母函数。
《组合数学》教案 2章(母函数)及课后习题讲解
第二章母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法新方法：母函数方法。
基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。
2.1 母函数（一）母函数（1）定义【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例【例2.1.1】有限数列rn C （r ＝0, 1, 2, …, n ）的普母函数：()x G ＝nn n n n nx C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数：()x G ＝ +++++nx x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个。
● 数列{}n a 与母函数一一对应。
{0, 1, 1, …, 1, …}↔ +++++n x x x 20＝xx -1 ● 将母函数视为形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”。
（4）常用母函数（二） 组合问题 （1）组合的母函数【定理2.1.1】组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r r r x a 0其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0, 1, 2, …, n 。
理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应。
【例2.1.3】设有6个红球，7个黑球，8个白球，问 （1） 共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2） 若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？ （解）（1）元素符号化（x ，y ，z ↔红、黑、白球），元素的个数以符号的指数区分。
母函数G (x , y , z ) ＝(1＋x ＋x 2) (1＋y ) (1＋z )＝1＋(x ＋y ＋z )＋(x 2＋xy ＋xz ＋yz )＋(x 2x ＋x 2x ＋xxx )＋( x 2yz )5种情况：① 数字1表示一个球也不取的情况，共有1种方案； ② 取1个球的方案有3种，即红、黑、白三种球只取1个； ③ 取2个球的方案有4种，即2红、1红1黑、1红1白、1黑1白； ④ 取3个球的方案有3种，即2红1黑、2红1白、三色球各一； ⑤ 取4个球的方案有1种，即全取。
卢开澄《组合数学》习题答案第二章
2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B AG （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
组合数学第二章母函数与递推关系习题解答剖析
II 当n为奇数时
由I的讨论知， ar 比ar3 多了a+b-c=1
的三角形。
而这种三角形可知
a b n1 2
当 n 1 能被2整除时，这种三角形有 n 1
个2
2
当 n 1 不能被2整除时，这种三角形有
2 n 1 个
2
n1
an
an3
n (1) 4
2
(2)
n1
n1
an
an3
[ n (1) 8
x10系数即为所求。
4. 题目 解：A、B、C、D组成的全排列数为
P (1 x x2 )4 1! 2!
e4x
出现A后，其后续字母必为A、B、C、D
中的一个，其概率相等。
P
(1
x
)3
[1
3
x
(
3 4
x)2
]
1!
4
2!
e3x
3x
e4
15 x
e4
AB至少出现一次的排列为
P
P
P
e4x
特征方程为 x2 x 1 0
x1
1 2
5,
x2
1 2
5
设 Ax1n Bx2n
代入得
A
B
5 5
3
10 3
5 5
10
an
53 10
5 (1 2
5)n 5 3 10
5 (1 2
5)n
20. 题目 解：
设所求为 an
则 an (n 1)an1 (n 1)an2
21. 题目 解：
x
2
1 x 6
ln(G ( x))
ln
母函数与递推关系
2 3 4 5 6 7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为 f ( x ) [1 x x 2 ][1 x 2 ( x 2 )2 ( x 2 )3 ] 1 1 1 x 1 x2 1 (1 x )(1 x ) 2
1 2
1 (a b c ) x ( a ab ac b bc c ) x
2 3 2 2 2 2 2 2 2
( a a b ab a c ac abc b b c bc c ) x ...
3 2 2 3 3
母函数与递推关系
母函数与递推关系
算法复杂度为：
h(n) 2h(n 1) 1, h(1) 1
2 3
(*)
H ( x ) h(1) x h(2) x h(3) x ,(**) H(x)是序列 h(1), h(2), h(3), 的母函数。给
定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也 一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而 知了。当然，利用递推关系(*)式也可以依次求 得 h(2), h(3), ，这样的连锁反应关系，叫做递 推关系。
所以
5 4 1 an , n 1, 2,... 4
n n
母函数与递推关系
§2 递推关系
定义：设(a0,a1,…,an,…)是一个序列，把该序列 中 an 与它前面几个ai(0≤i<n)关联起来的方程称 为递推关系。序列中的一些已知条件称为初始 条件。 例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
组合数学 第2章习题解答
( a )G
2
= (1 − x )
−4
= ∑ C ( n + 3,3) x n
n=0
∞
2.4 已知母函数 1 − x − 56 x 2，求对应的序列
注意到 1－x-56x2=(1-8x)(1+7x)， 用A/(1-8x)+B/(1+7x)的分子等于3-9x 待定A，B的方程组为： A + B = 3 7 A − 8 B = −9 解出A＝1，B＝2 G(x)=1/(1-8x)+2/(1+7x) 利用基本母函数1/(1-x) an=8n-7n
• 解：G(x)=/Sum{0,n}(anxn) • 参考p61，例2－13，2－14， • 参考p111， 例2－63
2.48有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个， 问从中取出10个球，试问有多少种不同的取法？ 用指数型母函数，可得母函数 x x2 4 x x 2 x3 3 G ( x) = (1 + + ) ⋅ (1 + + + ) 1! 2! 1! 2! 3!
• 用多项式除法，解出a0，a1均为1
1− x + x
2
1 1
1 1 −x x2
2
• P68 x −x • 将(1-x+x2)分解因子，转化为基本母函数.引 用P59，定理2－1. 并参考p56例子2－11. • 这个题目整体都做的不错
2.18（1）课练，用母函数法求 an-6an-1+8an-2=0
注：这个题目中有同学使用的符号 n指代比较 混乱。虽然最后结果对，但过程中未体现出逻 辑的连贯性。 也有同学用积分和求导渐次推理得到正确结论。 十分可贵。不过有的人在最后写有一个 m次方， 令人困惑
组合数学 第2章 母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。
新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。
其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。
母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。
2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx -1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
（4）常用母函数（二）组合问题（1）组合的母函数定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j ji x 10＝∑=n r r r x a 0 (2.1.1) 其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .定理2.1.1的最大优点在于：● 将无重组合与重复组合统一起来处理；● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。
组合2母函数递推关系
TP SHUAI
16
2.1 递推关系-线性常系数递推关系
定义1 如果序列{an}满足
a n C1a n 1 C 2a n 2 C k a n k b(n), a 0 d 0 ,a1 d1,,a k 1 d k 1, C1 ,C2 ,...C k (C k 0),d 0 ,d1,d k 1是常数
组合数学
帅天平
北京邮电大学数学系 Email: tpshuai@
第二章:递推关系与母函数
1,递推关系引入，Fibonacci数列 2,常系数递推关系求解 3,母函数及其性质 4,用母函数求解递推关系 5,母函数的应用-整数剖分 6指数型母函数及其应用 7,非线性递推关系举例--几类特殊组合数
t t 2 ... t 6 枚举子
TP SHUAI
26
2.2 母函数-引入6
母函数的思想很简单— 即:把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数 列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关 系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. 再看下面的例子.
(1 a 1 x )(1 a 2 x ) (1 anx ) 1 (a 1 a 2 an ) x (a 1a 2 a 1a 3 an 1an ) x 2 a 1a 2 anx n (2-1-1)
) F2 n1 F2 n F2 n2
F1 F3 F5 F2 n1 F2 n
TP SHUAI 13
2.1 递推关系-Fibonacci数列10
3)
证明：
F 2 F22 Fn 2 Fn Fn 1 1
习题1排列组合-2母函数
习题11、 基本题：1～9，14，16，19，22～23，29，312、 加强题：11～12，17，18，21，283、 关联题：10，27，4、 提高题：13，15，20，24～26，30，321-1 在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（解）问题相当于求在相异元素{}9,7,5,3,1中不重复地取1个、2个、…、4个元素的所有排列数，答案为45352515P P P P +++＝5+20+60+120＝2051-2 比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？(1) 每位的数字全不同；(2) 每位数字不同且不出现数字2与7。
（解）（1）分类统计：①一位正整数有919=P 个；②两位正整数有1919P P ⨯＝81个；③三位正整数有2919P P ⨯＝9×9×8＝648个；④千位数小于5的四位数有3914P P ⨯＝4×9×8×7＝2016个；⑤千位数等于5，百位数小于4的数有28141P P ⨯⨯＝4×8×7＝224个。
由乘法法则，满足条件的数的总个数为9＋81＋648＋2016＋224＝2978（2）仿（1），总个数为17P ＋1717P P ⨯＋2717P P ⨯＋3713P P ⨯＋26131P P ⨯⨯＝7＋49＋294＋630＋150＝11301-3 一教室有两排，每排8个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
（解）（1）5人在前排就座，其坐法数为 ()58,P ，4人在后排就座，其坐法数为 ()48,P ，还空7个坐位，让剩下的54514=--个人入坐，就座方式为 ()57,P 种，由乘法法则，就座方式总数为()58,P ()48,P ()57,P ＝28 449 792 000 （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。
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1 1
2
1 2
2
1 3
2
2
，
6
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.
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