简约大气人教版初中数学九年级上册《解一元二次方程》教学PPT课件
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人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？当 a = 0 时bx＋ Nhomakorabea = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
(1)若公园绿化带被划为四个同等矩形，长比宽多2，面积为100，求矩形边长x;
x2＝560 x2-15x+5＝0 x2-20x +20＝0以上三个式子是方程吗？有什么共同特点呢？
1、等号的两边都是整式2、只含有一个未知数3、未知数的最高次数是2次
2.同学们，结合一元一次方程、方程组的概念的学习，你知道上面的方程是什么吗？你能归纳出这类方程的概念吗？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
①等号左右两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次
使方程左右两边相等的未知数的值
一元二次方程
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-20x +20＝0.
任务3 建造观景亭在公园中心要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？当 a = 0 时bx＋ Nhomakorabea = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
(1)若公园绿化带被划为四个同等矩形，长比宽多2，面积为100，求矩形边长x;
x2＝560 x2-15x+5＝0 x2-20x +20＝0以上三个式子是方程吗？有什么共同特点呢？
1、等号的两边都是整式2、只含有一个未知数3、未知数的最高次数是2次
2.同学们，结合一元一次方程、方程组的概念的学习，你知道上面的方程是什么吗？你能归纳出这类方程的概念吗？
常见形式
解(又叫做根)
概念
一般形式：ax2+bx+c=0 其他形式：ax2＋c = 0，ax2＋bx = 0 ，ax2 = 0注意：a,b,c为常数，且a ≠0
①等号左右两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次
使方程左右两边相等的未知数的值
一元二次方程
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-20x +20＝0.
任务3 建造观景亭在公园中心要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
人教版九年级上册一元二次方程的解法PPT公开课优秀课件
方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
（3）b2-4ac<0
方程无实数根
新知探究
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判 别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac
即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 反之，
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
Δ的值 1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
0 0
15 0
17 0
1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值。
根的 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
3、判别根的情况，得出结论.
15 ,
3、判别根的情况，得出结论.
6
6
3
配根∴△方据=法 题(-和意4)公2 -式4(×法r +4是×5解)12=一×0元π=二2次r2π方.程重要方x1法,要作3为一3种1基5本,技x能2来掌握3. 3 15 .
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是 （ ）
新知探究
∴△= (-4)2 -4×4×1=0
例2 用公式法解下列方程： 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
例2 用公式法解下列方程: 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
判别式，配方法 因式分解法
(1)x 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根2 - 4x -7=0
人教版九年级上册数学21.2.2 解一元二次方程课件 (29张PPT)
本课小结
公式法
求根 公式
步骤
b b2 4ac x
2a
根的判别式b2-4ac
务必将方程化 为一般形式
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）
（3）方程4x2－4x+1=0中，a= 4 ，b= -4 ， c= 1 ； b2－4ac= 0 .
课堂练习
2.解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
（4）３y2 1 2 3y.
答案:
1 x1 2; x2 4.
探究：根的判别式
已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必 有两个不相等的实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
★公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
3x2 4x 4 0 1 x2 x 1 0 x2 1 0
3
3
0
1
4
3
有两个相等 的实数根没Leabharlann 实数根有两个不相 等的实数根
根的判别式
★根的判别式使用方法
1、化为一般式，确定a、b、c的值.
2、计算的值，确定 的符号.
3、判别根的情况，得出结论.
例题：公式法解方程
x
b 2a
2
人教版九年级上册21.1一元二次方程课件 (共21张PPT)
1 1 20 x2 x
（C）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；
（D）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；
（E）ax2＋bx＋c＝０
1
2.将下列方程化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数 项：
5x 1 4x；
2
一般式： 5x 2
2 4x
2
81 ；
1 5x2 1 4x
应有如下关系:
C
设雕像下部高xm,于是得方程
AC BC 2 2 AC 即 BC BC 2
2
x
B
x 2(2 x) 整理得 x2 2 x 4 0
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形 , 然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为 3600 平方厘米 , 那么铁皮各角应切 去多大的正方形? 分析:
50㎝
设切去的正方形的边长为 3600 xcm,则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm . x 100㎝ 根据方盒的底面积为 3600cm2,得 (100 2 x)(50 2 x) 3600 即
x2 75 x 350 0
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1)
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版初中数学九年级上册教学课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 教学课件 公式法
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9 .
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0
∴m=
9 8
.
8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜ 9 .
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根： x1
x2
b ; 2a
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.
x 6 60 . 23
x1
3 3
15
,
x2
3-
15 3
.
探究新知
知识点 2 一元二次方程的根的情况
用公式法解下列方程： （1） x2＋x－1 = 0
（2）x2－2 3 x＋3 = 0
（3） 2x2－2x＋1 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根 的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数 项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情 况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
人教版初中数学课标版九年级上册21.2解一元二次方程(共20张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 10日星 期二2021/8/102021/8/102021/8/10
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021
51
5
②
x1x2
b7 a3
x1x2
c93 a3
我能行1
例1、根据一元二次方程根与系数的关系，求下 列方程两根的和与积
① x26x15 0 ② 3x27x90 ③ 5x14x2
解：③ 原方程可化为：4x25x10
b 5 5 x1x2a44
x1
x2
c a
1 4
1、不解方程，求下列方程两根的和与积
(1)x2 3x15
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/10
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》PPT课件
面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出
方程
10×6x2=1500.
①
整理，得 x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即
x1=5， x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱
长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
感悟新知
归纳
01 当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ) 有两个不等的实数根x1＝－ p ，x2＝ p ；
知识点 2 一元二次方程根的情况的判别
知2－讲
一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数裉．
感悟新知
例 1 不解方程，判断下列方程根的情况． (1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
知2－练
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 4 1 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
感悟新知
(2)原方程化为: x2 2x 1 0, 3
2 2 41 1 = 2 0, 33 ∴ 方程有两个不相等的实数根
感悟新知
3 将代数式 x2－10x＋5 配方后，发现它的最小值 为( B )
知1－练
A． －30 B． －20 C． －5
D．0
4 不论x，y为何实数，代数式 x2＋y2＋2x－4y＋7
的值( A )
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
方程
10×6x2=1500.
①
整理，得 x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即
x1=5， x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱
长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
感悟新知
归纳
01 当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ) 有两个不等的实数根x1＝－ p ，x2＝ p ；
知识点 2 一元二次方程根的情况的判别
知2－讲
一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数裉．
感悟新知
例 1 不解方程，判断下列方程根的情况． (1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
知2－练
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 4 1 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
感悟新知
(2)原方程化为: x2 2x 1 0, 3
2 2 41 1 = 2 0, 33 ∴ 方程有两个不相等的实数根
感悟新知
3 将代数式 x2－10x＋5 配方后，发现它的最小值 为( B )
知1－练
A． －30 B． －20 C． －5
D．0
4 不论x，y为何实数，代数式 x2＋y2＋2x－4y＋7
的值( A )
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
最新人教部编版九年级数学上册《21.2解一元二次方程【全套】》精品PPT优质课件
知识点2 降次
你认为应怎样解方程(x+3)2=5?
由方程x2=25得x=±5. 以此类推：
由方程(x+3)2=5，可得
x3 5
x 3 5,或x 3 - 5
x 3 5，x 3 5
1
2
解方程 (x+3)2=5 ，实质上是把一个一元二次方程降次， 转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得 原方程的解.
移项时需注意改变符号.
思考2：说说配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
怎样解方程x2+6x+4=0?
分析：我们已经会解方程(x+3)2=5. 因为它的左边是含 有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降 次解方程.那么，能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直 接降次的形式再求解呢？
移项 x2+6x+4=0
x2+6x=－4
两边加9 使左边配成
x2+2bx+b2的形式
p m
n ，x2
pn
m,
当p<0时，方程(mx+n)2=p 无实数根 .
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。
课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！
谢谢观赏！
再见！
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法 第2课时 配方法
x+m=0，方程的两根为x1=x2=-m. ③当n<0时，因为对任意实数x，都有
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
1） (x 3)(3x 4) (x 2)2
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什 么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝ 2，b≠0时是一元一次方程；
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
3600
50㎝
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整
理，都可以化为 ax2 bx c 的0形式,我们把
ax2 bx c 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
一元二次方程解的概念