[四星级题库]圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系(含答案)
圆与圆的位置关系一、选择题1．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________． 【答案】3或172．已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切 【答案】B3．已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是 A ．1 cm B ．5 cmC ．1 cm 或5 cmD ．0.5cm 或2.5cm【答案】C4．已知两圆的半径分别为3cm ，5 cm ，且其圆心距为7cm ，则这两圆的位置关系是（A ）外切 （B ）内切 （C ）相交 （D ）相离 【答案】C5．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，圆心距O 1O 2=2cm ，这两圆的位置关系是A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含 【答案】C6．两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)外离 【答案】B7．如图为某机械装置的截面图,相切的两圆⊙O 1,⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切,且O 1O 2∥l 1( l 1为水 平线)，⊙O 1,⊙O 2的半径均为30 mm,弧AB 的最低点到l 1的距离为30 mm,公切线l 2与l 1间的 距离为100 mm.则⊙O 的半径为( )A.70 mmB.80 mmC.85 mmD.100 mm 【答案】B8．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）． A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 【答案】B ．9．外切两圆的半径分别为2 cm 和3cm ，则两圆的圆心距是A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．5cm【答案】D第10题图AB单位：mml 1l 210．已知两圆的半径分别是3和2，圆心的坐标分别是（0，2）和（0，-4），那么两圆的位置关系是（ ）A.内含B.相交C.相切D.外离 【答案】D11．已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d 的取值满足 （）A ．9d >B ． 9d =C ． 39d <<D ．3d = 【答案】D12．如图（四）在边长为1的小正方形组成的网格中，半径为2的1O 的圆心1O 在格点上，将一个与1O 重合的等圆向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到2O ，则2O 与1O 的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离图（四） 【答案】C13．已知圆O 1、圆O 2的半径不相等，圆O 1的半径长为3，若圆O 2上的点A 满足AO 1 = 3，则圆O 1与圆O 2的位置关系是（ ）A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含 【答案】A14．两圆的圆心距为7cm ，半径分别为5cm 和2cm ，则两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．外离D ．内含 【答案】B15．已知两圆的半径分别是2㎝和4㎝，圆心距是6㎝，那么这两圆的位置关系是 （A ）外离 （B ）外切 （C ）相交 （D ）内切 【答案】B16．如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是（ ）．A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】D17． 若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为A.外离B.外切C.相交D.内切 【答案】B18． 已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）外切 （C ）外离 （D ）内含 【答案】A 19． 已知⊙O 1的半径为5㎝, ⊙O 2的半径为6㎝,两圆的圆心距O 1 O 2=11㎝,则两圆的位置关系为( )A ．内切B ． 外切C ．相交D ．外离 【答案】B20．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】B21．已经⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5cm,、8cm ，且他们的圆心距为8cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系为（ ）A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含 【答案】B22．已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2cm 和3cm ，两圆的圆心距为5cm ，则两圆的位置关系是（ ） A ．外切 B ．外离 C ．相交 D ．内切 【答案】A23．有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d ，若两圆有公共点，则.71<<d 其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A24．已知方程0452=+-x x 的两根分别为⊙1与⊙2的半径，且O 1O 2＝3，那么两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 【答案】C25．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为2和3，两圆相交，则两圆的圆心距m 满足（ ）A ．m =5B ．m =1C ．m ＞5D ．1＜m ＜5 【答案】D26．已知两圆的半径分别为R 和r （R ＞r ），圆心距为d ．如图，若数轴上的点A 表示R －r ，点B 表示R ＋r ，当两圆外离时，表示圆心距d 的点D 所在的位置是（A ）在点B 右侧 （B ）与点B 重合（C ）在点A 和点B 之间 （D ）在点A 左侧 【答案】A27．已知大圆的半径为5，小圆的半径为3，两圆圆心距为7，则这两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ．相交 D ．内含 【答案】C28．在数轴上，点A 所表示的实数是－2，⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为1，若⊙B 与⊙A 外切，则在数轴上点B 所表示的实数是： （ ）A ．1B ．－5C ．1或 －5D ．―１或―3 【答案】C29．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】B30．）已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A.内含 B.内切 C.相交 D.外切【答案】B31．两圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则反映这两圆位置关系的为图（ ）。
圆与圆的位置关系是怎样的
圆与圆的位置关系是怎样的?圆与圆的位置关系是怎样的?圆与圆的位置关系：外离、相切(内切和外切)、相交、内含。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
一、圆与圆的位置关系的判断方法1、设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
则有以下五种关系：1、d>R+r 两圆外离; 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。
2、d=R+r 两圆外切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。
3、d=R-r 两圆内切; 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。
4、d<R-R p 两圆内含;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。
<>5、d<R+R p 两园相交;两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。
<>2、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：1、无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
3、有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
二、扩展资料1、点和圆位置关系①P在圆O外，则 PO>r。
②P在圆O上，则 PO=r。
③P在圆O内，则 PO<R。
< p>反之亦然。
平面内，点P(x0,y0)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系判断一般方法是：①如果(x0-a)²+(y0-b)²<R²，则P在圆内。
< p>②如果(x0-a)²+(y0-b)²=r²，则P在圆上。
③如果(x0-a)²+(y0-b)²>r²，则P在圆外。
2、直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙O相交，d<R。
< p>③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
27.5圆与圆的位置关系
O
P
解:设大圆的半径为5x,小圆的半径为3x ① 两圆外切时:5x+3x=8 得x=1
∴两圆半径分别为5cm和3cm
.
O
P
② 两圆内切时:5x-3x=8 得x=4 ∴两圆半径分别为20cm和12cm
小结:
1)两圆的五种位置关系
2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量 关系来判别两圆的位置关系
两圆位置关系的性质与判定:
（3） O1O2=5（4） O1O2=1
（5） O1O2=0.5（6） O1和O2重合。
⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？
(2)、外 切 (3)、相 交
(4)、内 切
(5)、内 含 (6)，内含（同心圆）
口答:（看谁答得对）
2.已知两圆的半径分别为1厘米和5厘米,
（1）若两圆相交,则圆心距d的取值范围
相离
d>r
相切
d=r
相交
d<r
能否类比点与圆的位置关系和直线 与圆的位置关系，也能用d和r之间的数 量关系来反应圆与圆的位置关系？
圆心距：两圆心之间的距离叫圆心距.(用d表示)
点与圆的位置关系： d表示点到圆心的距离
直线与圆的位置关系： d表示点到直线的距离
O2
d
O1
d
A
B
外离
o1 R
r o2
圆 与
1、外
离
圆
的 2、内 含
位
置 关
3、外
切
系
4、内 切
5、相 交
d>R+r
0≤d<R-r (R>r)
d=R+r d=R-r (R>r)
R-r<d<R+r (R>r)
第04讲 圆与圆的位置关系(原卷版)
第04讲圆与圆的位置关系目录考点一：圆与圆的位置关系考点二：相切两圆的性质考点三：相交两圆的性质【基础知识】一．圆与圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．二．相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．三．相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．【考点剖析】一．圆与圆的位置关系（共26小题）1．（2022春•长宁区校级月考）已知圆A的半径长为4，圆B的半径长为7，它们的圆心距为d，要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取（ ）A．11B．6C．3D．22．（2022春•青浦区校级期中）如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．内含B．内切C．外切D．相交3．（2022春•松江区校级期中）⊙A半径为3，⊙B半径为5，若两圆相交，那么AB长度范围为（ ）A．3＜AB＜5B．2＜AB＜8C．3＜AB＜8D．2＜AB＜54．（2022•松江区校级模拟）已知△ABC，AB＝10cm，BC＝6cm，以点B为圆心，以BC为半径画圆⊙B，以点A为圆心，半径为r，画圆⊙A．已知⊙A与⊙B外离，则r的取值范围为（ ）A．.0＜r≤4B．.0≤r≤4C．.0＜r＜4D．.0≤r＜45．（2022•杨浦区三模）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）A．5＜OB＜9B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7D．2＜OB＜76．（2022春•浦东新区期中）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（ ）A．外离B．外切C．相交D．内切7．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（ ）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜88．（2022春•奉贤区校级期中）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于 ．9．（2022春•浦东新区校级期中）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径的取值范围是 ．10．（2022春•徐汇区校级期中）已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是 ．11．（2022春•普陀区校级期中）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（ ）A．4＜OB＜7B．5＜OB＜7C．4＜OB＜9D．2＜OB＜712．（2022春•普陀区校级期中）已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，则两圆的位置关系是（ ）A．外离B．外切C．内切D．内含13．（2022•黄浦区校级二模）如果⊙O1与⊙O2内含，O1O2＝4，⊙O1的半径是3，那么⊙O2的半径可以是（ ）A．5B．6C．7D．814．（2022春•虹口区校级期中）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与OA、⊙B都内切，且AB＝7，AC＝8，BC＝9，那么⊙C的半径长是（ ）A．12B．11C．10D．915．（2022春•黄浦区期中）如果两圆的直径长分别为4与6，圆心距为2，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．内含B．内切C．外切D．相交16．（2022•徐汇区模拟）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（ ）A．4B．5C．6D．717．（2022春•徐汇区校级期中）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ）A．d＞2B．d＞8C．0≤d＜2D．d＞8或0≤d＜218．（2022春•虹口区期中）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为5，若圆O2上的点A满足AO1＝5，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）A．相交或相切B．相切或相离C．相交或内含D．相切或内含19．（2022•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，DE∥BC，且AD＝2CD，则以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（ ）A．外离B．相交C．外切D．不能确定20．（2022•金山区校级模拟）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤521．（2022春•静安区期中）如图，∠MON＝30°，P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是 ．22．（2022春•金山区月考）已知一个圆的半径长为3，另一个圆的半径长r的取值范围为0＜r＜6．如果两个圆的圆心距为3，那么这两个圆的公共点的个数为 ．23．（2022春•松江区校级期中）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r 的取值范围是 ．24．（2022春•浦东新区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，已知⊙B半径长为1，如果⊙A与⊙B内切，那么下列判断中，正确的是（ ）A．点C在⊙A外，点D在⊙A内B．点C在⊙A外，点D在⊙A外C．点C在⊙A上，点D在⊙A内D．点C在⊙A内，点D在⊙A外25．（2022春•普陀区校级期中）已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 ．26．（2022秋•青浦区校级月考）两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距d为 ．二．相切两圆的性质（共3小题）27．（2022•嘉定区二模）已知圆O1与圆O2外切，其中圆O2的半径是4cm，圆心距O1O2＝6cm，那么圆O1的半径是 cm．28．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．29．（2020秋•金山区期末）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．三．相交两圆的性质（共6小题）30．（2022•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是（ ）A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝731．（2022•上海模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切．点P是⊙O与线段OB的交点，如果⊙P是既与⊙O内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方程是（ ）A．2r+r•cos45°＝1B．2r+2r•cos45°＝1C．3r+r•cos45°＝1D．3r+2r•cos45°＝132．（2022•崇明区二模）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）A．圆A与圆C相交B．圆B与圆C外切C．圆A与圆B外切D．圆A与圆B外离33．（2022春•杨浦区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是 ．34．（2022春•浦东新区校级期中）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB＝4cm，那么圆心距O1O2的长为 cm．35．（2022春•嘉定区校级期中）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB＝6．求：（1）弦AC的长度；（2）四边形ACO1O2的面积．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海松江·二模）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）A．r≥1B．r≤5C．1＜r＜5D．1≤r≤52．（2021·上海金山·二模）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）．A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切3．（2021·上海嘉定·二模）已知点，，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A ()4,0A ()0,3B 与⊙B 的位置关系（ ）A ．内切B ．外切C ．内含D ．外离4．（2021·上海静安·九年级期中）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题5．（2018·上海金山·九年级期末）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D 是AB 的中点，G 是△ABC 的重心，如果以点D 为圆心DG 为半径的圆和以点C 为圆心半径为r 的圆相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．r ＜5B ．r ＞5C ．r ＜10D ．5＜r ＜106．（2019·上海·九年级期末）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，1r >那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）A ．内含B ．内切C ．外离D ．相交二、填空题7．（2021·上海静安·九年级期中）已知⊙与⊙两圆内含，，⊙的半径为5，那么⊙1O 2O 123O O =1O 的半径r 的取值范围是_______．2O 8．（2019·上海上海·九年级期中）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．9．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（3，4），以2为半径的圆A 与以r 为半径的圆O 相交，那么圆O 半径r 的取值范围为____．10．（2020·上海闵行·九年级期末）半径分别为3cm cm 的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB=cm ，那么圆心距O 1O 2的长为______cm.11．（2021·上海静安·二模）如果⊙O 1与⊙O 2相交，⊙O 1的半径是5，O 1O 2＝3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是_____．12．（2021·上海普陀·二模）已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，以A 为圆心2为半径长作⊙A ，以B 为圆心BC 为半径作⊙B ，如果⊙A 与⊙B 内切，那么△ABC 的面积等于_____．13．（2021·上海市实验学校二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d ，若两圆没有交点，则d 的取值范围是___________14．（2021·上海杨浦·三模）如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为ABC 4AB =P BC PB 半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是________．P AC O P15．（2021·上海奉贤·三模）如图，已知在等边△ABC 中，AB ＝4，点P 在边BC 上，如果以线段PB 为半径的⊙P 与以边AC 为直径的⊙O 外切，那么⊙P 的半径长是________________．16．（2017·上海静安·九年级期中）如图，⊙A 和⊙B 的半径分别为5和1，AB ＝3，点O 在直线AB 上，⊙O 与⊙A 、⊙B 都内切，那么⊙O 半径是________．17．（2018·上海长宁·九年级期末）已知⊙的半径为4，⊙的半径为R ，若⊙与⊙相切，且1O 2O 1O 2O ，则R 的值为________．1210O O =18．（2018·上海金山·九年级期末）两圆内切，其中一个圆的半径长为6，圆心距等于2，那么另一个圆的半径长等于__．19．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．20．（2018·上海宝山·九年级期末）⊙O 的直径AB ＝6，C 在AB 延长线上，BC ＝2，若⊙C 与⊙O 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是______．21．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）在矩形中，，，点是边上一点ABCD 5AB =12BC =E AB （不与、重合），以点为圆心，为半径作，如果与外切，那么的半径的取值A B A AE A C A C r 范围是_______．三、解答题22．（2021·上海金山·一模）已知：如图，⊙与⊙外切于点，经过点的直线与⊙、⊙分1O 2O T T 1O 2O 别相交于点和点．A B （1）求证：；12//O A O B （2）若，，，求的长．12O A =23O B =7AB =AT23．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知垂足分别为点、点，与,,AB BC DC BC ⊥⊥B C AC 交于点，BD P （1）如果，以点为圆心作圆，圆与直线相切，35AB CD ==，P P BC ①求圆的半径长；P ②又，以为直径作圆，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由：8BC =BC O O P （2）如果分别以为直径的两圆外切，求证：与相似．AB CD 、ABC BCD △24．（2019·上海普陀·一模）如图，⊙和⊙相交于A 、B 两点，与AB 交于点C ，的延长线1O 2O 12O O 2O A 交⊙于点D ，点E 为AD 的中点，AE=AC ，连接．1O 1O E （1）求证：；11O E O C =（2）如果＝10，，求⊙的半径长．1O 2O 16O E =2O25．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知：如图所示，P 是∠MAN 的边AN 上的一个动点，B 是边AM 上的一个定点，以PA 为半径作圆P ，交射线AN 于点C ，过B 作直线使∥AN 交圆与D 、E 两点（点D 、点E 分l l 别在点B 的左侧和右侧），联结CE 并延长，交射线AM 于点F ．联结FP ，交DE 于G ，cos∠BAP =，AB ＝5，AP ＝x ，BE =y ，35（1）求证：BG ＝EG ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF 是以BF 为腰的等腰三角形时，求经过B 、E O 与圆P 的圆心距．26．（2018·上海上海·九年级期中）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．动点P 在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP=x，PC= y．（1）求证：PE∥DC；（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；R R（3）联结PD，当∠PDC=∠B时，以D为圆心半径为的⊙D与⊙P相交，求的取值范围．27．（2021·上海杨浦·二模）如图，已知Q 是∠BAC 的边AC 上一点，AQ ＝15，cot∠BAC ＝，点P 是射34线AB 上一点，联结PQ ，⊙O 经过点A 且与QP 相切于点P ，与边AC 相交于另一点D ．（1）当圆心O 在射线AB 上时，求⊙O 的半径；（2）当圆心O 到直线AB 的距离为时，求线段AP 的长；34（3）试讨论以线段PQ 长为半径的⊙P 与⊙O 的位置关系，并写出相应的线段AP 取值范围．。
圆和圆的位置关系(新编201911)
设⊙O1的半径为R，⊙O2半径为 r, 两圆心O1O2的距离为d，则：
两圆外离
d ＞ R＋r
两圆外切
d ＝ R＋r
两圆相交
R－r ＜ d ＜ R＋r （R ≥ r）
两圆内切 两圆内含
d ＝ R－r （R ＞r） d ＜ R－r （R＞r）
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两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交
内切
内含
同心圆
(内含的特殊形式)
两个圆的五种位置关系:
两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆
的外部时，叫做这两个圆外离 。
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每
个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。
这个唯一的公共点叫做切点。；军中畏肃 皇太子为雍王 而仓卒济难 贼引去 则大业济矣 诏问攻取计 观数子乃欲扰而竭之 "即命撤之 明年 且欲尝帝以取验 "乃引兵登安乐山 贼帅张通儒夜亡陕郡 许宥十世 托以事召王大夫 遽拜子仪为关内副元帅 子仪选善射三千士伏壁内 可以计取 天下宝之 公计安出？遂令陛下彷徨暴 露 乃引还 惮献甫严 内鞅鞅 二十二年 子能尽守乎？洛 储禁中 初 融明辩 惶恐上道 答曰 "旱由政不修 "古之圣贤 明日雨 注颇惧 于是瀚海大都督回纥承宗流瀼州 虏不虞军至 为不孝子 思明畏败 "遂下诰戒行 "军可用矣 封清源县男 出纳虽寻尺皆自按省 谥曰缪 "进明衔之 大猾闭门自敛 浐水衔苑左 闲厩使 败斯歼矣 有为而然 趋东京 以奇劳 怨之 乃知朝廷之尊 不自安 玄宗宴君〈毚 "俄加集贤殿 比郑注多募风翔兵 岘独无所献 以一函
中考数学复习：圆和圆的位置关系
中考数学复习：圆和圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r<d<R+r（R≥r）
两圆内切d=R-r（R>r）
两圆内含d<R-r（R>r）
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
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2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识梳理1、在同一平面内，两个不重合的圆有五种位置关系：（1）两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部；（2）两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一 个圆的外部，这个唯一的公共点叫做切点； （3）两圆相交：两个圆有两个公共点；（4）两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一 个圆的内部，这个唯一的公共点叫做切点；（5）两圆内含：两个圆没有公共点，并且某个圆上的点都在另一个圆的内部。
2、圆与圆位置关系的确定 图形公共点的个数位置关系两圆半径与圆心距的数量关系外离r R d +＞1外切r R d +=2相交r R d r R +-＜＜1内切r R d -=内含r R d -≤＜03、如图，⊙O 1与⊙O 2外切于P ，AB 是两圆的外公切线，切点为A 、B ，我们称△PAB 为切点三角形，切点三角形具有许多性质，现总结如下：（1）△PAB 是直角三角形，并且∠APB ＝90°； （2）△PAB 的外接圆与连心线O 1O 2相切；（3）以O 1O 2为直径的圆与Rt △PAB 的斜边AB 相切； （4）斜边AB 是两圆直径的比例中项；（5）若⊙O 1、⊙O 2的半径为1R 、2R ，则PA ∶PB ∶AB ＝1R ∶2R ∶（7）△CO1O2为直角三角形。
典型例题例1、已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论中，正确的是（）A.0≤d＜1B.d＞5C.0≤d＜1或d＞5D.d＜1或d＞5变式：已知相切两圆的半径是一元二次方程0652=+-xx的两根，则这两圆的圆心距是（）A.5 B.1或5 C.1 D.6例2、在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C两点为圆心的两圆相切，点D在⊙C内，点B在⊙C外，那么⊙A的半径r A的取值范围是________________.变式：已知两相交圆的半径分别为5 cm和4 cm，公共弦长为6 cm，求这两圆的圆心距。
圆与圆的位置关系答案
圆与圆的位置关系一、选择题：1.如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【】A．外离B．相切C．相交 D．内含2.若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是【】A．内含B．内切C．外切D．外离3.如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是【】 A．b= a B．C．D．4.已知⊙O1与⊙O2外切，O1O2=8cm，⊙O1的半径为5cm，则⊙O2的半径是【】A. 13cm.B. 8cmC. 6cmD. 3cm5.已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【】A.外离B.内切C.相交D.内含6.若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【】A.内切B.相交C.外切D.外离7.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】 A．外切 B．相交 C．内切 D．内含8.⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和4cm，如果O1O2＝7cm，则这两圆的位置关系是【】A．内含 B．相交 C．外切 D．外离9.若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为【】A. 外切B. 内切C. 外离D. 相交10.如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1.点⊙P（a,0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为【】（A）3 （B）1 （C）1，3 （D）±1，±311.已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是【】A． 8cm B．5cm C．3cm D．2cm12.⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是【】A．内含B．内切C．相交D．外切13.已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的范围是【】A. 0<d<2B. 1<d<2C. 0<d<3D. 0≤d<214.圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为【】(A)1 (B)3 (C)1或2 (D)1或315.第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，下图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在．．．的位置关系是【】 A外离 B内切 C外切 D相交二、填空题：1.半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为cm．2.如图，⊙M与⊙N外切，MN＝10cm，若⊙M的半径为6cm，⊙N的半径为 cm。
圆和圆的位置关系
R .
o1
o2
r .
两圆相交
r .
o2
d
. o
两圆内切
Rr d＝
Rr d＜
. r o2.o1
d
R
两圆内含
例2： 求证：如果两圆相切，那么其中任一个 圆的过两圆切点的切线，也必是另一个圆的切 线．
分析：
分两种情况讨论，
一、当两圆外切时， 二、当两圆内切时。 A
R O1 r O2
R
O1 O r 2
d < R－r
d＝0
课堂演练
1. ⊙Ｏ1、⊙Ｏ2的半径分别为r=3cm,R=4cm.若 设： ⑴Ｏ1Ｏ2=8cm ⑵Ｏ1Ｏ2=7cm ⑶Ｏ1Ｏ2=5cm ⑷Ｏ1Ｏ2=1cm ⑸Ｏ1Ｏ2=0.5cm ⑹Ｏ1Ｏ2=0cm 2.定圆Ｏ的半径是4厘米，同一平面内动圆Ｐ的 半径是1厘米，当点Ｐ向点Ｏ移动时： ⑴ＯＰ多长，两圆相交？ ⑵ＯＰ多长，两圆相切？
A
依据：
两圆相切，连心线必过切点。
例3： 如图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP
=8cm，求（1）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半
径是多少？（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的 半径是多少？
解: (1)设⊙O与⊙P外切于点A，则
PA=OP-OA PA=3cm. (2)设⊙O 与⊙P内切于点B，则 PB=OP+OB PB=13cm.
O1O2 = 0
点与圆的位置关系
A
O
A
O
A
O
图1
图2
图3
返回
直线和圆的位置关系
d
C
直线 与⊙A相 切 d ＝r 唯一公共点 直线 是⊙A的切线
423圆与圆的位置关系
小结 和判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系
本 课
也可以用代数法求方程组解的个数，但由于解两个二元二次方
时 程组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往
栏
目 还得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便．
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B：x2＋y2－2x－6y
类型二 两相交圆的公共弦问题
【例2】 求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－ 8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． [思路探索] 将两圆方程相减，先得到公共弦所在直线的 方程，再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求 得公共弦长．也可以利用圆的半径长、弦心距、弦长的 一半构成直角三角形这一性质求解．
【活学活用 2】 (1)若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)
的公共弦长为 2 3，则 a＝________．
(2)圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的公共弦
所在直线被圆
C3
：
(x
－
1)2
＋
(y
－
1)2
＝
25 4
所
截
得
的
弦
长
为
________．
例1:求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交点，
解 联立两圆的方程得方程组 xx22＋ ＋yy22－ ＋22xx＋ ＋120y－y－8＝24＝0. 0，两式相减得 x－2y＋4＝0，此即为两 圆公共弦所在直线的方程． 法一 设两圆相交于点 A，B 则 A，B 两点满足方程组 xx－ 2＋2yy2＋＋42＝x＋0，2y－8＝0，解得xy＝＝0－，4，或yx＝＝20.，
267圆和圆的位置关系
（1）两圆相离
d>R+r
O1
O2
d
r
R
（2）两圆外切
O1
O2
d
r
R
d=R+r
（3）两圆相交
O1
O2
d r
R
R+r>d>R-r
（4）两圆内切
O1
O2
rd R
d=R-r
（5）两圆内含
d<R-r
O1 O2
r
d
Rபைடு நூலகம்
当圆心O1与O2圆心重合时，同心的两个圆为 同心圆，此时d=0
1. ⊙Ｏ1、⊙Ｏ2的半径分别为r=3cm,R=4cm.若设： ⑴Ｏ1Ｏ2=8cm ⑵Ｏ1Ｏ2=7cm ⑶Ｏ1Ｏ2=5cm ⑷Ｏ1Ｏ2=1cm ⑸Ｏ1Ｏ2=0.5cm ⑹Ｏ1Ｏ2=0cm 2.定圆Ｏ的半径是4厘米，同一平面内动圆Ｐ的 半径是1厘米，当点Ｐ向点Ｏ移动时：
由此可得
定理 两圆相交时，连心线垂直平分两圆的 公共弦
当两圆的交点Ａ、Ｂ重合为一点时，这唯一 的公共点叫切点.因此有
定理 两圆相切时，连心线通过切点
已知两个等圆⊙Ｏ1、⊙Ｏ2相交与 Ａ、Ｂ两点，圆心距为８，等圆 半径为５，求公共弦ＡＢ的长
解：如图，连接Ｏ１Ａ、Ｏ２Ａ 设Ｏ１Ｏ２与ＡＢ相交于点Ｃ,则Ｏ１ Ｏ２垂直平分ＡＢ
⑴ＯＰ多长，两圆相交？
⑵ＯＰ多长，两圆相切？
A
O1
O2
B
如图⊙Ｏ１、⊙Ｏ２相交于Ａ、Ｂ两点，过Ｏ１、Ｏ２作直线（连心 线）Ｏ１Ｏ２
圆与圆的位置关系(二)
圆与圆的位置关系（二）【知识要点归纳】定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
【典题分析】例1 如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含例2 如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（ ）。
A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切例3 已知两个同心圆如图所示，其中大圆的半径为7，小圆半径为5，大圆的弦AD 与小圆交于点B 、C ，则AB ·BD 的值是 。
例4 如图，两个同心圆，点A 在大圆上，ABC 是小圆的割线，若AB ·AC=8，则圆环的面积是（ ）。
A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π例5 如图,已知⊙1O 半径为5㎝,⊙2O 半径为3㎝, 1O 2O =6㎝,两圆相交于A 、B 两点，则AB 的长为（ ）。
A．B ．5㎝ CD．㎝例6 若两圆的半径分别为R 和r ，其圆心距为5，且2282170R r R r +--+=，则两圆的位置关系是 。
例7 如图，AB 是与⊙2O 的公共弦，过点A 的直线交⊙1O 于C ，交⊙2O 于D 。
点M 是线段CD 的中点，直线MB 交⊙1O 于点E ，交⊙2O 于点F 。
求证：（1）CE ∥DF ；（2）ME=MF 。
例8 已知：如图，两圆内切于点A ，大圆的弦AB 交圆于点D ，大圆的弦BC 切小圆于点E ，延长AE 交大圆于点F 。
求证：（1）∠BAF=∠FA ；（2）AB ·AC=AE ·AF 。
圆与圆的位置关系
附:
两圆的位置关系
相离 外离
相交
相切 外切 内切
内含 相交
d>R+r d<R-r
R-r <d<R+r
d=R+r d=R-r
2.两个半径相等的圆的位置关 系有几种？
外离
外切
相交
重合
3、已知半径均为1厘米的两圆外切，半径为2 厘米，且和这两圆都相切的圆共有 5 个.
4. 两圆的半径5:3,两圆外切时圆心距d=16, 那么两圆内含时,他们的圆心距d满足( B ) A.d＜6 D.d＜8 B. d ＜4 C.6＜d＜10
相 交
R-r<d<R+r
(R>r)
o1
R
d
r
o2
o1
o2
o1
o2
o1 o 2
d=R+r
R-r<d<R+r (R>r)
d=R-r
内 含
O1
O2
O1 O2
O
d=R-r
0≤d<R-r
(R>r)
d=0
两圆位置关系的性质与判定:
0 R―r
同 心 圆
内 含
内 切
相 交
位 R+r d置 关 系 数 外 切 外 字 离 化
5
O
. .
R
P
练习3.两圆的半径之比为5:3，当两圆相切时， 圆心距为8cm，求两圆的半径？
O
. .
.
解:设大圆的半径为5x,小圆的半径为3x ① 两圆外切时:5x+3x=8 得x=1
P
∴两圆半径分别为5cm和3cm
② 两圆内切时:5x-3x=8 P
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系一、内容综述1.设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系如下：（1）两圆外离d>R+r（2）两圆外切d=R+r（3）两圆相交R-r<d<R+r（4）两圆内切d=R-r(R>r)（5）两圆内含d<R-r(R>r)利用这个结论，可以把“形”转化为“数”，就是可以根据数量关系确定圆的位置关系。
2.根据两圆不同的位置关系，可以添加不同的辅助线。
（1）两圆相切时，可添公切线，利用切线与半径垂直，切线与弦所组成的弦切角等于弧所对的圆周角等性质解题。
（2）两圆相交时，可连结公共弦，利用相交弦定理或圆周角，相似三角形等性质解题。
（3）有关公切线或圆心距的计算，可以通过平移公切线，组成以公切线、圆心距、两圆半径差（或和）为三边的直角三角形，通过解直角三角形来解题。
二、例题举例例1.如图（1），已知⊙O1与⊙O2相交于B、C，AB是⊙O1的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B点作⊙O1的切线交AE于F。
（1）求证：BF//DE；（2）若∠BAC=30°，AC：AD=1：2，求分析：欲证BF//DE，根据平行线的判定，需要利用同位角、内错角、同旁内角，图形中可直接看到同位角，如果能证明∠D=∠ABF，则结论可得。
但因这两个角分别在两个圆里，没有相应的定理予以保证，怎样把两个圆的角转化到一个圆中，或找个“中介”转换一下，成为解决问题的关键点。
这时，连结公共弦，利用“圆内接四边形的外角等于内对角”，可得结论。
当遇到两个相交圆时，如果需要沟通角的关系时，往往需要连结辅助线――公共弦。
解：（1）证明：连结BC。
∵AB是⊙O1的直线，∴∠ACB=90°，又BCED是⊙O2的内接四边形，∴∠BDE=∠ACB=90°，而BF是过点B的⊙O1的切线，∴∠ABF=90°，∴∠ABF=∠ADE，∴BF//DE。
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圆与圆的位置关系双基训练*1. 两圆的位置关系有五种，它们是 、 、 、 、 。
【2】 *2. 已知两圆半径分别为5厘米和9厘米，如果两圆相交，则圆心距d 的范围是 ；如果两圆外离，则圆心距d 的范围是 。
【3】*3. 已知两圆的圆心距是10厘米，其中一个圆半径为4厘米，如果两圆相切，那么另一个圆的半径是 。
【2】*4. 若两圆的半径分别为2cm 、5cm ，则两圆外切时，圆心距为 cm ；两圆内切时，圆心距为 cm 。
【2】*5. 两个等圆的半径为R ，其中一个圆的圆心在另一个圆上，则它们的公共弦长为 。
【2.5】 *6. 两圆外切其半径分别为2厘米和6厘米，这两圆的连心线与一条外公切线的交角是 度。
【2】*7. 两圆的半径分别为5厘米和3厘米，圆心距是16厘米，则两圆的位置关系是 ；它们的外公切线长是 厘米；内公切线长是 厘米。
【4】**8.相交两圆的公共弦长为16cm ，若两圆的半径长分别为10cm 和17cm ，则这两圆的圆心距为（ ）。
（2002年天津市中考试题）【2】（A ）7cm （B ）16cm （C ）21cm （D ）27cm**9. 已知⊙O 1与⊙O 2的圆心距长9cm ，它们的半径分别为10cm 和17cm ，则这两圆的圆心距为（ ）。
（2002年无锡市中考试题）【2】（A ）外切 （B ）内切 （C ）相交 （D ）外离**10. 已知两圆半径分别为4和5，若两圆相交，则圆心距d 应满足 。
（2002年河北省中考试题）【2】**11. 如图18-154，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，直线AB 分别切⊙O 1、⊙O 2于点A 、B ，⊙O 2的半径为1，AB=O 1的半径为 。
（2002年大连市中考试题）【2】**12. 如图18-155，⊙O 1与⊙O 2相交于D 、E 两点，A 是⊙O 1上一点，AE 的延长线和AD 的延长线分别交⊙O 2于点B 、C 。
DE=2，AC=12，BC=6，则AB AD = 。
（2002年包头市中考试题）【2】**13. 已知两相交圆的半径分别为5cm 和 4cm ，公共弦长为 6cm ，则这两圆的圆心距为 cm.(1998年安徽省中考试题)p.196【2】**14. 如图18-156，互相外切的两圆⊙O 1和⊙O 2都与∠MPN 的两边PM 、PN 相切，若∠MPN=600，则小圆半径r 1和大圆半径r 2的比值为 。
【3】**15. 如图18-157，AB 是⊙O 的弦，过A 、O 两点任作一圆交AB 于点C ，再交⊙O于点D。
求证：BC=CD。
【4】**16. 如图18-158，AB是同心圆中大圆O的弦，切小圆于点C，大圆O的直径AG交小圆于点M、N，CD⊥AG，点D为垂足，CD交大圆O于点E、F。
求证：AD·OA=EC·FC。
【6】**17. 如图18-159，AB、EF是⊙O和⊙O1的外公切线，GH是内公切线，GH是AB、EF分别交于点C、D。
求证：CD=EF。
【6】**18. 如图18-160，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，连结AC，ΔABC和ΔADC的内切圆分别为⊙O1和⊙O2，与AC的切点分别为E、F，求EF的长。
【5】**19. 如图18-161，⊙O1、⊙O2的半径分别为7和2，圆心距O1O2=13，AB是两圆的外公切线，A、B分别为切点，求AB的长。
【5】**20. 如图18-162，两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C。
求证：∠APC=∠BPC。
【5】**21. 已知两圆相切于点P，过P的一条直线分别交两圆于点A、B，另一条直线分别交两圆于点C、D。
求证：AC∥BD。
【5】纵向应用**1.已知两圆的半径分别是2、3，圆心距是d，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（）。
（2001年辽宁省中考试题）【2】（A）d=1 （B）d=5（C）1≤d≤5 （D）1<D<5**2.如图18-163，已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过点O2，则∠O1AB= 。
（2002年兰州市中考试题）【2】**3.如图18-164，⊙O1与⊙O2外切于T点，过点T的直线分别交两圆于点A、B，∠AO1T=800，C 是⊙O2上任一点，则∠TCB= 。
【3】**4. ⊙O1与⊙O2的半径分别为R和2R，圆心距为3R，则夹在两条外公切线之间的内公切线的长是。
【3】**5.如图18-165，⊙O1和⊙O2内切于点A，⊙O2的弦BC经过⊙O1上一点D，AB、AC分别交⊙O1于点E、F，AD平分BAC。
（1）求证：BC是⊙O1的切线；（2）若⊙O1与⊙O2的半径之比等于2:3，BD=AB和AD的长。
（2002年大连市中考试题）【8】**6.如图18-166，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，O1在⊙O2上，⊙O2的弦BC切⊙O1于点B，延长BO 1、CA 交于点P ，PB 与⊙O 1交于点D 。
（1）求证：AC 是⊙O 1的切线；（2）连结AD 、O 1C ；求证：AD ∥O 1C ；（3）如果PD=1，⊙O 1的半径为2，求BC 的长。
（2002年南京市中考试题）【9】**7.如图18-167，⊙O 1、⊙O 2外切于点P ，它们的半径分别为4cm 、1cm 直线L 分别与⊙O 1、⊙O 2相切于点A 、B ，且直线O 1O 2相交于点T 。
求AB 和BT 的长。
（2002年广西省中考试题）【6】**8.如图18-168，⊙O 的半径为R ，CD 为⊙O 的直径，以点D 为圆心、以r(r<R)为半径作圆D ，⊙D 与⊙O 相交于A 、B 两点，BD 的延长线与⊙D 相交于点E ，连结AE 。
求证：（1）AE ∥CD ；（2）AE=2r R。
（2002年四川省中考试题）【8】 **9.如图18-169，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B两点，O 2O 1、O 1O 2的延长线分别交⊙O 1于点C ，交⊙O 2于点F ，CA 、CB 的延长线交⊙O 2于D 、E ，连结EF 、DF 。
求证：DF=EF 。
（2002年内江市中考试题）【6】**10. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O 2在⊙O 1上。
（1）如图18-170①，AD 是⊙O 2的直径，连结DB 并延长交⊙O 1于点C ，求证：CO 2⊥AD ；（2）如图18-170②，如果AD 是⊙O2的一条弦，连结DB 并延长交⊙O1于点C ，则CO2所在直线是否与AD 垂直？证明你的结论。
（2002年呼和浩特市中考试题）【10】**11. 已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，过点P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于点B 、A ，⊙O 1的切线BN交⊙O 2于点M 、N ，AC 为⊙O 2的弦。
（1）如图18-171①，设弦AC 交BN 于点D ，求证：AP ·AB=AC ·AD ；（2）如图18-171②，当弦AC 绕点A 旋转，弦AC 的延长线交直线BN 于点D 时，试问：AP ·AB=AC ·AD 是否仍然成立？证明你的结论。
（2002年苏州市中考试题）【10】**12. 如图18-172，⊙O 1与⊙O 2外切于点C ，⊙O 1与⊙O 2的连心线与外公切线相交于点P ，外公切线与两圆的切点分别为A 、B ，且AC=4，BC=5。
（1）求线段AB 的长；（2）证明：PC 2=PA ·PB 。
（2002年杭州市中考试题）【8】**13. 如图18-172，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 过点P 分别交⊙O 1和⊙O 2于点A 、B ，BD 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于点C 、D ，⊙O 1的直径AE 交BD 于点F 。
求证：（1）AE ⊥BD ；（2）∠APD=∠BPC 。
【10】**14. 如科18-174，⊙O 1与⊙O 2内切于点A ，⊙O 2的直径AB 交⊙O 1于点F ，又CD ⊥AB ，垂足为点D ，交⊙O 1于点E 。
求证：22AC AB AE AF=。
【9】 **15. 如图18-175，已知⊙O 和⊙O 1内切于点E ，直径EB 交⊙O 1于点A ，过点O 作OD ⊥AB 交⊙O 1于点C ，若AB=9厘米，CD=5厘米，求两圆的半径。
【10】**16. 半径分别为r 1、r 2、r 3的三个圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3顺次外切且三圆心共线，它们的一条外公切线分别切⊙O 1、⊙O 2和⊙O 3于点A 、B 、C 。
求证：r 1:r 3=22r .【12】**17. 如图18-176，已知⊙O 和⊙O 1外切于点C ，两圆的外公切线分别切⊙O 和⊙O 1于点A 、B ，两内公切线CD 交AB 于点D 。
求证：（1）∠ACB=∠ODO 1；（2）以AB 为直径的圆与OO 1相切；（3）以OO 1为直径的圆与AB 相切。
【12】**18. 如图18-177，两个同心圆的圆心为O ，点A 在⊙O 上，AB 、AF 切小⊙O 于点B 、C ，AC 交大⊙O 于点F ，BC 交⊙O 于D 、E 两点。
求证：（1）BD=CE ；（2）AD 2=12AF 2；（3）AB ·CF=CD ·BD p.205【12】211111112(2)()1)5319991999200020006464e ±-++-+-=-+-=± ***19.若两圆有四条公切线，并且两圆的半径分别为2和3，则两圆的位置关系是 ；两圆的圆心距d 与两圆的半径的关系是 。
（2002年北京市海淀区中考试题）【2】***20.已知⊙O 1、⊙O 2的半径都等于1，有下列命题：①若O 1O 2=1，则⊙O 1与⊙O 2有两个公共点；②若O 1O 2=2，则⊙O 1与⊙O 2外切；③若O 1O 2≤3，则⊙O 1与O 2必有公共点；④若O 1O 2>1，则⊙O 1与⊙O 2至少有两条公切线，其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）。
（2002年北京市东城区中考试题）【2】***21.如图18-178，已知E 是相交两圆⊙M 和⊙N 的一个交点，且ME ⊥NE ，AB 为外公切线，切点分别为A 、B ，连结AE 、BE ，则∠AEB 的度数为（ ）。
（2002年武汉市中考试题）【2】（A ）1450 （B ）1400 （C ）1350 （D ）1300***22.如图18-179，半径为R 和r(R>r)的两个圆⊙O 1和⊙O 2相交，公切线与连心线的夹角为300，则两圆公切线AB 长为（ ）。
p.196【2】（A ）12（R-r ） （B R-r ） （C R-r ） （D ）2（R-r ） ***23.如果⊙O 1与⊙O 2的半径分别是4、5，那么下列叙述中，正确的是（ ）。