《运动型问题》初三数学
运动型问题-中考数学综合专题训练试题
第三节 运动型问题近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题．动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．,中考重难点突破)动点类【例1】(梅州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以3cm /s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t s (0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM ＝BN ，求t 的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．【解析】(1)由已知条件得出AB ＝10，BC ＝5 3.由题意知：BM ＝2t ，CN ＝3t ，BN ＝53－3t ，由BM ＝BN 得2t ＝53－3t ，解方程即可；(2)分两种情况：当△MBN∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；②当△NBM∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；(3)过M 作MD⊥BC 于点D ，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD ＝t ，四边形ACNM 的面积y ＝△ABC 的面积－△BMN 的面积，得出y 是t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【答案】解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°， ∴AB ＝10，BC ＝53，BN ＝53－3t ， 由BM ＝BN 得2t ＝53－3t ， 解得t ＝532＋3＝103－15；(2)①当△MBN∽△ABC 时， ∴MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52； ②当△NBM∽△ABC 时，∴NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得t ＝157.∴当t ＝52或157 s 时，△MBN 与△ABC 相似；(3)过M 作MD⊥BC 于点D.∵∠MBD ＝∠A BC ，∠BDM ＝∠BCA＝90°， ∴△BMD ∽△BAC ， ∴MD AC ＝BM AB ，∴MD 5＝2t 10， ∴MD ＝t.设四边形ACNM 的面积为y.∴y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD＝12×5×53－12(53－3t )·t ＝32t 2－532t ＋2532＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋7583. ∴根据二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小．此时，y 最小＝7583.1．(2016遵义升学三模)如图，P ，Q 分别是等边△ABC 的AB 和AC 边延长线上的两动点，点P 由B 向A 匀速移动，同时点Q 以相同的速度由C 向AC 延长线方向移动，连接PQ 交BC 边于点D ，M 为AC 中点 ，连接PM ，已知AB ＝6.(1)若点P ，Q 的速度均为每秒1个单位，设点P 运动时间为x ，△APM 的面积为y ，试求出y 关于x 的函数关系式；(2)当时间x 为何值时，△APM 为直角三角形？(3)当时间x 为何值时，△PQM 面积最大？并求此时y 的值． 解：(1)∵y＝12×(6－x)×332，∴y ＝－334x ＋932；(2)在Rt △APM 中，当PM⊥AC 时，则x ＝0， 当PM⊥AB 时，∠AMP ＝30°，AP ＝12AM ＝32，∴x ＝6－32＝92；(3)S △PQM ＝12·(3＋x)·32(6－x)，＝－34(x ＋3)(x －6)， 当x ＝－3＋62＝32时，△PQM 的面积最大，此时y ＝2738. 2．(汇川升学一模)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y 轴相交于点C(0，－4)．(1)求该二次函数的解析式；(2)若点P ，Q 同时从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．①当点P 运动到B 点时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；②当P ，Q 运动到t s 时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请直接写出t 的值及D 点的坐标．,备用图)解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－83，c ＝－4.∴y ＝43x 2－83x －4；(2)①存在．如答图，过点Q 作QD⊥OA 于D ，此时QD∥OC. ∵A(3，0)，B(－1，0)， C(0，4)，O(0，0)， ∴A B ＝4，OA ＝3，OC ＝4， ∴AC ＝5.∵当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，AB ＝4， ∴AQ ＝4.∵Q D ∥OC ，∴QD OC ＝AD AO ＝AQAC ，∴QD 4＝AD 3＝45， ∴QD ＝165，AD ＝125.ⅰ作AQ 的垂直平分线，交AO 于E ，此时AE ＝EQ ，即△AEQ 为等腰三角形，设AE ＝x ，则EQ ＝x ，DE ＝AD －AE ＝|125－x|，∴在Rt △EDQ 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫125－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝x 2，解得x ＝103.∴OA －AE ＝3－103＝－13，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0；ⅱ以Q 为圆心，AQ 长为半径画圆，交x 轴于E ，此时QE ＝QA ＝4， ∵ED ＝AD ＝125，∴AE ＝245，∴OA －AE ＝3－245＝－95，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0； ⅲ当AE ＝AQ ＝4时，当E 在A 点左边时， ∵OA －AE ＝3－4＝－1，∴E(－1，0)． 当E 点在A 点右边时，∵OA ＋AE ＝3＋4＝7，∴E(7，0)．综上所述，E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0或(－1，0)或(7，0)；②t ＝14564，D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－58，－2916.动线类【例2】(青岛中考)已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝12 cm ，BD ＝16 cm .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm /s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动．连接PF ，设运动时间为t(s )(0＜t ＜8)．解答下列问题：(1)当t 为何值时，四边形APFD 是平行四边形？(2)设四边形APFE 的面积为y(cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式． 【解析】本题考查相似三角形性质；二次函数的有关性质． 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12BD ＝8.在Rt △AOB 中，AB ＝62＋82＝10. ∵EF ⊥BD ，∴EF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DCO ， ∴DF DC ＝QD OD ，即DF 10＝t 8，∴DF ＝54t. ∵四边形APFD 是平行四边形， ∴AP ＝DF.即10－t ＝54t ，解得t ＝409，∴当t ＝409 s 时，四边形APFD 是平行四边形；(2)过点C 作CG⊥AB 于点G. ∵S 菱形ABCD ＝AB·CG＝12AC ·BD ，即10·CG＝12×12×16，∴CG ＝485，∴S 梯形APFD ＝12(AP ＋DF)·CG＝12(10－t ＋54t )·485＝65t ＋48. ∵△DFQ ∽△DCO ，∴QD OD ＝QF OC ，即t 8＝QF 6，∴QF ＝34t. 同理，EQ ＝34t ，∴EF ＝QF ＋EQ ＝32t ，∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝12×32t ×t ＝34t 2，∴y ＝S 梯形APFD －S △EFD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65t ＋48－34t 2＝－34t 2＋65t ＋48.【规律总结】解决运动问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程，以静制动，抓住其中的特殊位置或特殊图形，通过数形结合、分类讨论、函数等思想方法解决问题．3．(红花岗中考)如图，已知⊙O 的直径AB ＝4，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA ，PB ，且∠APC ＝∠BAP，设PC 的长为x(2＜x ＜4)．(1)若直线l过点A，判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当x＝2.5时，在线段AP上是否存在一个点M，使得△AOM与△ABP相似．若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由；(3)当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？解：(1)直线l与⊙O相切．理由如下：∵∠APC＝∠BAP∴AB∥CP.∵PC⊥AC，∴BA⊥CA.∵AB为⊙O的直径，∴直线l与⊙O相切；(2)存在．当AM＝102或4105时，△AOM与△ABP相似；(3)过O作OE⊥PD，垂足为E.∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED.又∵∠CEO＝∠ECA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE＝OA＝2.又∵PC＝x，∴PE＝ED＝PC－CE＝x－2，PD＝2(x－2)，∴CD＝PC－PD＝x－2(x－2)＝4－x，∴PD·CD＝2(x－2)·(4－x)＝－2x2＋12x－16＝－2(x－3)2＋2，∵2＜x＜4，∴当x＝3时，PD·CD的值最大，最大值是2.4．(湖州中考)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位长度，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BC D相似，请直接写出所有点P的坐标．(直接写出结果，不必写解答过程)解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y＝－x2＋bx＋c得⎩⎪⎨⎪⎧－32＋3b ＋c ＝1，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝4， ∴二次函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋4，配方得y ＝－(x －1)2＋5，∴点M 坐标为(1，5)；(2)设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ，把点A(3，1)，点C(0，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝1，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，c ＝4，∴直线AC 解析式为y ＝－x ＋4.如图所示，对称轴直线x ＝1与△ABC 两边分别交于点E ，点F ， 把x ＝1代入直线AC 解析式y ＝－x ＋4， 解得y ＝3，则点E 坐标为(1，3)，点F 坐标为(1，1)， ∴1＜5－m ＜3，解得2＜m ＜4；(3)所有符合题意的点P 坐标有4个，分别为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，113，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，133，P 3(3，1)，P 4(－3，7)。
中考数学专项训练--运动型问题
中考数学专项训练--运动型问题近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题．动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．动点类【例1】(梅州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以3cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为t s(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【解析】(1)由已知条件得出AB＝10，BC＝5 3.由题意知：BM＝2t，CN＝3t，BN＝3－3t，由BM＝BN得2t＝53－3t，解方程即可；(2)分两种情况：当△MBN∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；(3)过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD＝t，四边形ACNM的面积y＝△ABC的面积－△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴AB＝10，BC＝53，BN＝53－3t，由BM＝BN得2t＝53－3t，解得t＝532＋3＝103－15；(2)①当△MBN∽△ABC时，∴MBAB＝BNBC，即2t10＝53－3t53，解得t＝52；②当△NBM∽△ABC时，∴NBAB＝BMBC，即53－3t10＝2t53，解得t＝157.∴当t＝52或157s时，△MBN与△ABC相似；(3)过M作MD⊥BC于点D.∵∠MBD＝∠ABC，∠BDM＝∠BCA＝90°，∴△BMD∽△BAC，∴MDAC＝BMAB，∴MD5＝2t10，∴MD＝t.设四边形ACNM的面积为y.∴y＝S△ABC －S△BMN＝12AC·BC－12BN·MD＝12×5×53－12(53－3t)·t＝32t2－532t＋2532＝32⎝⎛⎭⎪⎫t－522＋7583.∴根据二次函数的性质可知，当t＝52时，y的值最小．此时，y最小＝7583.1．(2016遵义升学三模)如图，P，Q分别是等边△ABC的AB和AC边延长线上的两动点，点P由B向A匀速移动，同时点Q以相同的速度由C向AC延长线方向移动，连接PQ交BC边于点D，M为AC中点，连接PM，已知AB＝6.(1)若点P，Q的速度均为每秒1个单位，设点P运动时间为x，△APM的面积为y，试求出y关于x的函数关系式；(2)当时间x为何值时，△APM为直角三角形？(3)当时间x为何值时，△PQM面积最大？并求此时y的值．解：(1)∵y＝12×(6－x)×332，∴y ＝－334x ＋932；(2)在Rt △APM 中，当PM⊥AC 时，则x ＝0， 当PM⊥AB 时，∠AMP ＝30°，AP ＝12AM ＝32，∴x ＝6－32＝92；(3)S △PQM ＝12·(3＋x)·32(6－x)，＝－34(x ＋3)(x －6)， 当x ＝－3＋62＝32时，△PQM 的面积最大，此时y ＝2738. 2．(汇川升学一模)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y 轴相交于点C(0，－4)．(1)求该二次函数的解析式；(2)若点P ，Q 同时从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．①当点P 运动到B 点时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；②当P ，Q 运动到t s 时，△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请直接写出t 的值及D 点的坐标．,备用图)解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－4)，∴⎩⎨⎧9a ＋3b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0，c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－83，c ＝－4.∴y ＝43x 2－83x －4；(2)①存在．如答图，过点Q 作QD⊥OA 于D ，此时QD∥OC.∵A(3，0)，B(－1，0)， C(0，4)，O(0，0)， ∴A B ＝4，OA ＝3，OC ＝4， ∴AC ＝5.∵当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，AB ＝4， ∴AQ ＝4. ∵Q D ∥OC ，∴QD OC ＝AD AO ＝AQ AC， ∴QD 4＝AD 3＝45， ∴QD ＝165，AD ＝125. ⅰ作AQ 的垂直平分线，交AO 于E ，此时AE ＝EQ ，即△AEQ 为等腰三角形，设AE ＝x ，则EQ ＝x ，DE ＝AD －AE ＝|125－x|，∴在Rt △EDQ 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫125－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝x 2，解得x ＝103.∴OA －AE ＝3－103＝－13，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0； ⅱ以Q 为圆心，AQ 长为半径画圆，交x 轴于E ，此时QE ＝QA ＝4， ∵ED ＝AD ＝125，∴AE ＝245，∴OA －AE ＝3－245＝－95，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0； ⅲ当AE ＝AQ ＝4时，当E 在A 点左边时， ∵OA －AE ＝3－4＝－1，∴E(－1，0)． 当E 点在A 点右边时，∵OA ＋AE ＝3＋4＝7，∴E(7，0)．综上所述，E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0或(－1，0)或(7，0)；②t ＝14564，D 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－58，－2916.动线类【例2】(青岛中考)已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16 cm.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)(0＜t＜8)．解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？(2)设四边形APFE的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式．【解析】本题考查相似三角形性质；二次函数的有关性质．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝6，OB＝OD＝12BD＝8.在Rt△AOB中，AB＝62＋82＝10.∵EF⊥BD，∴EF∥AC，∴△DFQ∽△DCO，∴DFDC＝QDOD，即DF10＝t8，∴DF＝54t.∵四边形APFD是平行四边形，∴AP＝DF.即10－t＝54t，解得t＝409，∴当t＝409s时，四边形APFD是平行四边形；(2)过点C作CG⊥AB于点G.∵S菱形ABCD ＝AB·CG＝12AC·BD，即10·CG＝12×12×16，∴CG＝485，∴S梯形APFD ＝12(AP＋DF)·CG＝12(10－t＋54t)·485＝65t＋48.∵△DFQ ∽△DCO ，∴QD OD ＝QF OC， 即t 8＝QF 6，∴QF ＝34t. 同理，EQ ＝34t ，∴EF ＝QF ＋EQ ＝32t ，∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝12×32t ×t ＝34t 2，∴y ＝S 梯形APFD －S △EFD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65t ＋48－34t 2＝－34t 2＋65t ＋48.【规律总结】解决运动问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程，以静制动，抓住其中的特殊位置或特殊图形，通过数形结合、分类讨论、函数等思想方法解决问题．3．(红花岗中考)如图，已知⊙O 的直径AB ＝4，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA ，PB ，且∠APC＝∠BAP，设PC 的长为x(2＜x ＜4)．(1)若直线l过点A，判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当x＝2.5时，在线段AP上是否存在一个点M，使得△AOM与△ABP相似．若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由；(3)当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？解：(1)直线l与⊙O相切．理由如下：∵∠APC＝∠BAP∴AB∥CP.∵PC⊥AC，∴BA⊥CA.∵AB为⊙O的直径，∴直线l与⊙O相切；(2)存在．当AM＝102或4105时，△AOM与△ABP相似；(3)过O作OE⊥PD，垂足为E.∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED.又∵∠CEO＝∠ECA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE＝OA＝2.又∵PC＝x，∴PE＝ED＝PC－CE＝x－2，PD＝2(x－2)，∴CD ＝PC －PD ＝x －2(x －2)＝4－x ，∴PD ·CD ＝2(x －2)·(4－x)＝－2x 2＋12x －16＝－2(x －3)2＋2，∵2＜x ＜4，∴当x ＝3时，PD ·CD 的值最大，最大值是2.4．(湖州中考)如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c(b ，c 为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M ，过点A 作AB∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M 的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位长度，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部(不包括△ABC 的边界)，求m 的取值范围；(3)点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标．(直接写出结果，不必写解答过程)解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 得⎩⎨⎧－32＋3b ＋c ＝1，c ＝4，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4， ∴二次函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋4，配方得y ＝－(x －1)2＋5，∴点M 坐标为(1，5)；(2)设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ，把点A(3，1)，点C(0，4)代入，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝1，b ＝4，解得⎩⎨⎧k ＝－1，c ＝4，∴直线AC 解析式为y ＝－x ＋4.如图所示，对称轴直线x ＝1与△ABC 两边分别交于点E ，点F ，把x ＝1代入直线AC 解析式y ＝－x ＋4，解得y ＝3，则点E 坐标为(1，3)，点F 坐标为(1，1)，∴1＜5－m ＜3，解得2＜m ＜4；(3)所有符合题意的点P 坐标有4个，分别为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，113，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，133，P 3(3，1)，P 4(－3，7)。
河北中考数学专题七 运动型问题
题型突破
题型一 动点问题
动点问题常分为单动点问题和双动点问题,一般是探索某个几何图形中一个 或几个点在运动变化过程中形成的等量关系或变量关系、图形的特殊状 态、图形之间的特殊关系等.解题时必须关注动点的运动方向、范围(直线、 射线、线段)和速度,以便确定是否需要分类讨论.
∴ 6 t+t=6,
5
解得t= 30 .
11
故当t= 1310 时,点Q与点D重合.
(2)当☉Q经过A点时,如图,OQ=OA-QA=4.
∴t= 14 =4,
∴PA=4,BP=AB-PA=6. 过点P作PE⊥OB于点E,☉P与OB相交于点F、G,连接PF,
∵OA⊥OB,∴PE∥OA.
∴△PEB∽△AOB,∴ PE = BP ,
名师点拨 本题中的运动情况属于动线问题,求解的关键是将运动问题转化 为静止问题,即(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数的表达式;(2)
①利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+6x+ 72 ;②利用三角形的面积公式找
出S△DPQ=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t.
题型三 动图问题
9 4
代入y=mx+n,
得
7
2
1m 2 m
n
n
7 4 9 4
,
解得
,
m 1,
n
5. 4
∴直线PQ的表达式为y=-x+ 5 .
4
如图,过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E,设点D(x,-x2+2x+3),则点E x,x
初三数学中考专题复习之运动型问题2
初三数学中考专题复习之运动型问题九峰实验学校庄凤娣教学目标：1、从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“动点的运动”研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，培养学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力.2、能运用运动变化、数形结合的方法，力求动中求静，灵活运用有关数学知识解决有关问题.3、数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想.教学难点：在变化中找到不变的性质从而找到解决数学“动点型问题”关键.练习：1、如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形。
直线l经过O、C两点，点A的坐标（8,0），B（11,4 )，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM⊥X轴，与折线O —C—B相交于点M. 当P、Q两点中有一点到达终点时，另一个也随之停止运动，设点P、Q 运动的时间为t 秒（t＞0）, △MPQ的面积为S.(1)点C的坐标为__________；直线l的解析式为_____________.（2）试求点Q与点M相遇前S与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；(3) 试求题（2）中当t 为何值时，S的值最大？最大值是多少？考点伸展：①第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t 的函数关系式是怎样的？②随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△ QMN等腰△？请直接写出t的值.2、 在直角坐标平面内，点A 的坐标为（3,0），第一象限内点P 在直线y=2x 上，∠PAO =45°.（1） 求点P 的坐标；（2） 如果二次函数的图像经过P 、O 、A 三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标M ；（3） 如果将第（2）小题的二次函数的图象向上或向下平移，使它的顶点落在直线y=2x 上的点Q 处，求△A PM 与△A PQ 的面积之比.考点伸展：在第（2）题的抛物线上，点N 是直线AP 上方的抛物线上的一个动点，当△A PN 的面积最大时，点N 的位置在哪里？思考题：如图，△ABC 中，∠C=90°, AC =6, tan B = 34,D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作 ∠DEF=90°, EF 交射线BC 于点F ，设BE =x, △BED 的面积为y.(1) 求y 关于x 的函数关系式， 写出自变量x 的取值范围；（2）如果以线段BC 为直径的圆与以线段AE 为直径的圆相切，求线段BE 的长；(3) 如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与△BED 相似，求△BED 的面积.x yO A D · C B AD E F CB ·。
中考专题复习——运动型问题
初三数学中考专题复习——运动型问题一．教学目标1. 知识与技能目标通过动点，线，图形的运动找出特殊点，线，图形，根据特殊点的特殊图形求解.2.问题解决目标掌握住不变的量，利用已知条件，学会将条件转化，作辅助线，理解题意，构建特殊图形，利用图形的性质求未知量.3.感情态度价值观目标参与数学活动的探索，感受数学的严谨性及数学结论的确定性；形成质疑和思考的习惯.二．重点难点重点：通过动点，线，图形的运动找出特殊点，线，图形，根据特殊点的特殊图形求解.难点：掌握住不变的量，利用已知条件，学会将条件转化，作辅助线，理解题意，构建特殊图形，利用图形的性质求未知量.三．学情分析初三年级的学生即便掌握一定的数学知识，对于解决动态问题的能力还是能力不足，尤其较为复杂的动态问题。
有必要对几类动态问题进行训练.四．教学过程所谓“运动型问题”是探究几何图形(点、直线、三角形、四边形)在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．【中考热身】1．（2013无锡18）．已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，－a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为 .2．（2016无锡17）．如图，已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．【精讲点拨】例1. 问题1：在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？思考1：P 、Q 两点在运动过程中，△PBQ 能否为等腰直角三角形？思考2：△PBQ 能否与△ABC 相似？ 如果能，请你求出时间t 的取值.问题2：如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动（不与B 点重合），动直线QD 从AB 开始以2cm /s 速度向上平行移动，并且分别与BC 、AC 交于Q 、D 点，连结DP ，设动点P 与动直线QD 同时出发，运动时间为t 秒，（1）试判断四边形BPDQ 是什么特殊的四边形？（2）设四边形BPDQ 的面积是S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）求t 为何值时，四边形BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？CB A问题3：如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，若⊙Q，圆心Q 从点B 以2cm/s 的速度向点C 运动，你会想到什么？例2.如图，己知Rt ABC V 的直角边AC 与Rt DEF V 的直角边DF 在同一条直线上，且60AC =cm , 45BC =cm , 6DE =cm , 8EF =cm .现将点C 与点F 重合，再以4 cm /s 的速度沿CA 方向移动DEF V ;同时，点P 从点A 出发，以5 cm /s 的速度沿AB 方向移动，设移动时间为t (s ).以点P 为圆心，3t (cm )长为半径的⊙P 与AB 相交于点M 、N .当点F 与点A 重合时，DEF V 与点P 同时停止移动.在移动的过程中，(1)连接ME ，当//ME AC 时，t = s ；(2)连接NF ，当NF 平分DE 时，求t 的值；(3)是否存在⊙P 与Rt DEF V 的两条直角边所在的直线同时相切的时刻?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.课堂小结1.解题思路：在运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程．在变化中找到不变的性质是解决数学“运动型”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质．2.解题方法：对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决．当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．。
专题六 运动型问题
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专 题 强 化 训 练
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6．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两 边分别在 x 轴和 y 轴上，OA＝8 2 cm，OC＝8 cm， 现有两动点 P，Q 分别从 O，C 两点同时出发，P 在 线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2 cm 的速度匀速运 动，Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度 匀速运动．设运动时间为 t 秒． (1)用 t 的式子表示△OPQ 的面积 S； (2)求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；
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考 题 类 型 展 示
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【正确解答】(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象经过点C(0，－3)，∴c＝－3. 将点A(3,0)，B(2，－3)代入y＝a2＋bx＋c得
0＝9a＋3b－3， －3＝4a＋2b－3.
解得：a＝1，b＝－2. ∴y＝x2－2x－3. 配方得：y＝(x－1)2－4，所以对称轴为x＝1.
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专 题 强 化 训 练
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3．如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上， 且a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运 动，直到EG与BC重合，运动过程中Rt△GEF与矩形ABCD重合部 分的面积(S)随时间(t)变化的图象大致是( )
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A．(0,0) 1 1 C．(－ ，－ ) 2 2
B．(
2 2 ，－ ) 2 2 2 2 ，－ ) 2 2
D．(－
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解析：点到直线的连线中垂线段最短，故过点A作AP⊥BP.设P 点的坐标为(x，y)，因为在直线y＝x上，所以x＝y，即∠AOP＝ 45° ，所以直角△APO为等腰直角三角形．过点P作PE⊥OA于E， 1 1 1 易知PE＝OE＝ ，又P点在第三象限，故P点坐标为(－ ，－ )． 2 2 2 答案：C
中考数学专题复习 运动型问题学案-人教版初中九年级全册数学学案
运动型问题【题型特征】用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等).【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.类型一点的运动典例1(2015·某某)如图(1),AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是☉O上半部分的一个动点,连接OP,CP.(1)求△OPC的最大面积;(2)求∠OCP的最大度数;(3)如图(2),延长PO交☉O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是☉O的切线.(1)(2)【全解】 (1)∵AB=4,∴OB=2,OC=OB+BC=4.在△OPC中,设OC边上的高为h,∴当h最大时,S△OPC取得最大值.观察图形,当OP⊥OC时,h最大,如图(1)所示: (1)此时h=半径=2,S△OPC=22=4.∴△OPC的最大面积为4.(2)当PC与☉O相切时,∠OCP最大.如图(2)所示: (2)∴∠OCP=30°.∴∠OCP的最大度数为30°.(3)如图(3),连接AP,BP.(3)∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD.∵=,∴=.∴AP=BD.∵CP=DB,∴AP=CP.∴∠A=∠C.∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C.在△ODB与△BPC中,∴△ODB≌△BPC(SAS).∴∠D=∠BPC.∵PD是直径,∴∠DBP=90°.∴∠D+∠BPD=90°.∴∠BPC+∠BPD=90°.∴DP⊥PC.∵DP经过圆心,∴PC是☉O的切线.【技法梳理】本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.(1)在△OPC中,底边OC长度固定,因此只要OC边上高最大,则△OPC的面积最大;观察图形,当OP⊥OC时满足要求;(2)PC与☉O相切时,∠OCP的度数最大,根据切线的性质即可求得;(3)连接AP,BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC,从而求得PC是☉O的切线.举一反三1.(2015·某某某某)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D 出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.(1)求线段CD的长.(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?(第1题)【小结】解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解.类型二线的运动典例2(2015·某某)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC 出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于点E,F,H,当点P到达点C 时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).备用图(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形.(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP 的长.(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.【解析】 (1)如图(1)所示,利用菱形的定义证明;(2)如图(2)所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;(3)如图(3)(4)(5)所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.【全解】 (1)当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点,如图(1)所示.(1)∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线.∴AE=DE,AF=DF.∵AB=AC,AD⊥BC于点D,∴AD⊥BC,∠B=∠C.∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C.∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.(2)如图(2)所示,由(1)知EF∥BC,(2)∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.(3)存在.理由如下:①若点E为直角顶点,如图(3)所示,(3)此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.∵PE∥AD,此比例式不成立,故此种情形不存在.②若点F为直角顶点,如图(4)所示,(4)此时PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10-3t.∵PF∥AD,.③若点P为直角顶点,如图(5)所示.(5)过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.∵EM∥AD,【技法梳理】这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.举一反三2.(2015·某某某某)如图,直线AB与x轴相交于点A(-4,0),与y轴相交于点B(0,3),点P 从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动.同时,将直线以每秒0.6个单位长度的速度向上平移,交OA于点C,交OB于点D,设运动时间为t(0<t<5)秒.(1)证明:在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形;(2)当t取何值时,四边形ACDP为菱形?请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由.(第2题)【小结】这是一道“线运动型”的动态几何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化(如三角形、平行四边形等),问题常以求图形面积的最值,或者探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现.解决此类问题时,一是要选择适当的求图形面积的方法.若是规则图形,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形,一般情况下选择割补法,通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决;二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形的运动变化规律.有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形,确定线段运动变化的不同阶段,从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置.类型三面的运动典例3(2015·某某某某)如图(1),在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=4,DE=4,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题:(1)如图(2),当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME的度数.(2)如图(3),在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长.(3)在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h 之间的函数表达式,并求出面积S的最大值.(1)(2)(3)【全解】 (1)如图(1),(1)∵在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).∴OA=OB.∴∠OAB=45°.∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OCE=60°.∴∠CMA=∠OCE-∠OAB=60°-45°=15°.∴∠BME=∠CMA=15°.(2)如图(2),(2)∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4,∴∠OBC=∠DEC=30°.∵OB=6,∴BC=4.(3)①h≤2时,如图(3),作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,且OE交AB于点k.(3)∵CD=4,DE=4,AC=h,AN=NM,∴=4-FM,AN=MN=4+h-FM.∵△CMN∽△CED,【技法梳理】本题是一道面平移型动态问题.综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理,难度较大.对于第(3)题这类有关于动态问题,需要分类讨论,以防漏解有一定的难度.(1)如图(1),由对顶角的定义知,∠BME=∠CMA,所以欲求∠BME的度数,需求∠CMA的度数.根据三角形外角定理进行解答即可;(2)如图(2),通过解直角△BOC来求BC的长度;(3)需要分类讨论:①h≤2时,如图(4),作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,S=S △EDC-S△EFM;②当h≥2时,如图(3),S=S△OBC.举一反三3.(2015·某某某某)如图(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且∠DOE=∠B.(1)证明△COF是等腰三角形,并求出CF的长;(2)将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N(如图(2)),当CM的长是多少时,△OMN与△BCO相似?(1)(2)备用图【小结】解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确.1.(2015·某某某某)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P 从点A出发,沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8),则t=秒时,S1=2S2.(第1题)(第2题)类型二3.(2015·某某某某)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x 秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.(1)(2)(第3题)4.(2015·某某某某)在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验.如图,表盘是△ABC,其中AB=AC,∠BAC=120°,在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC后立即以相同的旋转速度返回A,B,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB处开始旋转计时,旋转1秒,时光线AP交BC于点M,BM的长为(20-20)cm.(1)求AB的长.(2)从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时AP与BC边交点在什么位置?若旋转2015秒,此时AP与BC边交点在什么位置?并说明理由.(第4题)类型三5.(2015·某某某某)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为().(第5题)A.1B.1或5C.3D.56.(2015·某某某某)在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图(1),DE与AC交于点P,易证:BD=DP.(无需写证明过程)(1)在图(2)中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.(2)在图(3)中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?请直接写出你的结论,无需证明.(1)(2)(3)(第6题)参考答案【真题精讲】1.(1)如图(1),(第1题(1))∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB=10.∵CD⊥AB,∴线段CD的长为4.8.(2)①过点P作PH⊥AC,垂足为H,如图(2)所示.(第1题(2))由题可知DP=t,CQ=t.则CP=4.8-t.∵∠ACB=∠CDB=90°,∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B.∵PH⊥AC,∴∠CHP=90°.∴∠CHP=∠ACB.∴△CHP∽△BCA.整理,得5t2-24t+27=0.即(5t-9)(t-3)=0.③若QC=QP,过点Q作QE⊥CP,垂足为E,如图(3)所示.(第1题(3))∴C(-0.8t,0),OC=0.8t.∴在Rt△OCD中,CD===t.∵点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动t(0<t<5)秒, ∴AP=t.∴AP=CD=t.∴AP∥CD.∵AP∥CD,AP=CD=t,∴在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形.∵A(-4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3.∴在Rt△OAB中,AB==5.过点D作DE⊥AB于点E,则∠DEB=90°.(第2题)∵在△AOB和△DEB中,∠AOB=∠DEB=90°且∠OBA=∠EBD,∴△AOB∽△DEB.∴点D到直线AB的距离等于☉D的半径.∴以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切.方法二:(在证明☉D与直线AB相切时,也可利用等积法．．．求得点D到直线AB的距离.) 设点D到直线AB的距离为d,则∴点D到直线AB的距离与☉D的半径相等,即d=r.∴以点D为圆心、OD长为半径的☉D与直线AB相切.方法三:(巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”)连接AD,则AD是菱形ACDP的对角线,∴AD平分∠OAB.∵DO⊥AO,∴DO是点D到直线AO的距离.∴点D到直线AB的距离=点D到直线AO的距离(DO).∴以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切.3.(1)∵∠ACB=90°,点O是AB的中点,∴OC=OB=OA=5.∴∠OCB=∠B,∠ACO=∠A.∵∠DOE=∠B,∴∠FOC=∠OCF.∴FC=FO.∴△COF是等腰三角形.过点F作FH⊥OC,垂足为H,如图(1),(第3题(1))∵FC=FO,FH⊥OC,(2)①若△OMN∽△BCO,如图(2),(第3题(2))则有∠NMO=∠OCB.∵∠OCB=∠B,∴∠NMO=∠B.∵∠A=∠A,∴△AOM∽△ACB.②若△OMN∽△BOC,如图(3), (第3题(3))则有∠MNO=∠OCB.∵∠OCB=∠B,∴∠MNO=∠B.∵∠ACO=∠A,∴△CON∽△ACB.过点M作MG⊥ON,垂足为G,如图(3), ∵∠MNO=∠B,∠MON=∠B,∴∠MNO=∠MON.∴MN=MO.∵MG⊥ON,即∠MGN=90°,【课后精练】1.62.-63.(1)∵AB=OB,∠ABO=90°,∴△ABO是等腰直角三角形.∴∠AOB=45°.∵∠yOC=45°,∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°.∴AO⊥CO.∵C'O'是CO平移得到,∴AO⊥C'O'.∴△OO'G是等腰直角三角形.∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x.∴其以OO'为底边的高为x.4.(1)如图(1),过A点作AD⊥BC,垂足为D. (第4题(1))∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=30°.令AB=2t cm..在Rt△AMD中,∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°,∴MD=AD=t.∵BM=BD-MD.即t-t=20-20,解得t=20.∴AB=220=40cm.故AB的长为40cm.(2)如图(2),当光线旋转6秒,(第4题(2))设AP交BC于点N,此时∠BAN=15°6=90°.如图(3),设光线AP旋转2015秒后光线与BC的交点为Q.(第4题(3))由题意可知,光线从边AB开始到第一次回到AB处需82=16秒,而2015=12516+14,即AP旋转2015秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q.∴光线AP旋转2015秒后,与BC的交点Q在距5.B6.如图(1),过点D作DF⊥MN,交AB于点F, (第6题(1))则△ADF为等腰直角三角形,∴DA=DF.∵∠1+∠FDP=90°,∠FDP+∠2=90°,∴∠1=∠2.在△BDF与△PDA中,∴△BDF≌△PDA(ASA).∴BD=DP.(1)BD=DP成立.如图(2),过点D作DF⊥MN,交AB的延长线于点F,(第6题(2))则△ADF为等腰直角三角形,∴DA=DF.∵∠1+∠ADB=90°,∠ADB+∠2=90°,∴∠1=∠2.在△BDF与△PDA中,∴△BDF≌△PDA(ASA).∴BD=DP.(2)BD=DP.如图(3),过点D作DF⊥MN,交AB的延长线于点F, (第6题(3))则△ADF为等腰直角三角形, ∴DA=DF.在△BDF与△PDA中,∴△BDF≌△PDA(ASA).∴BD=DP.。
中考数学总复习 第二篇 专题突破 专题十三 运动型问题课件
如图②所示，当点 P 运动 至 ON 上的任一点时，设其对 应的点 B 为 B1，连结 AP，AB1， B0B1.
∵AO⊥AB0，AP⊥AB1， ∴∠OAP＝∠B0AB1， 又 ∵AB0 ＝ AO·tan 30°， AB1 ＝ AP·tan 30°， ∴AB0∶AO＝AB1∶AP，
2 6. 如图①所示，设动点 P 在 O 点(起点)时，点 B 的
位置为 B0，动点 P 在 N 点(终点)时，点 B 的位置为 Bn，连结 B0Bn.
∵ AO⊥ AB0 ， AN⊥ ABn， ∴∠ OAC＝∠ B0 ABn. 又 ∵AB0＝AO·tan 30°，ABn＝AN·tan 30°，∴AB0∶AO ＝ABn∶AN＝tan 30°，
(2013·台州)如图，已知 边长为 2 的正三角形 ABC 顶点 A 的坐标为(0,6)，BC 的中点 D 在 y 轴上，且在点 A 下方，点 E 是边长为 2，中心在原点的正六 边形的一个顶点，把这个正六边 形绕中心旋转一周，在此过程中 DE 的最小值为( )
A．3 B．4－ 3 C．4 D．6－2 3
【思路点拨】首先得到当点 E 旋转至 y 轴上时 DE 最小，设此时 E 的对应点为 E′，然后分别求出 AD， OE′的长，最后求得 DE′的长即可．
解析：如图，当点 E 旋转 至 y 轴上时 DE 最小，设此时 E 的对应点为 E′.
∵△ABC 是等边三角形，D 为 BC 的中点，
∴AD⊥BC. ∵AB ＝ BC ＝ 2 ， ∴AD ＝ AB·cos B＝ 3.
运动型问题-中考数学综合专题训练试题
, 备用图 )
2
解： (1) ∵二次函数 y＝ ax ＋ bx＋ c 的图象与 x 轴交于 A(3， 0) ，B( － 1， 0) ， C(0 ，－ 4) ，
9a＋ 3b＋ c＝ 0， ∴ a－ b＋c＝ 0， 解得
c＝－ 4，
4 a＝ 3，
8 b＝－ 3， c＝－ 4.
∴
y
＝
4 x
2－
8
x
－
4
；
33
(1) 若 BM＝ BN，求 t 的值； (2) 若△ MBN与△ ABC相似，求 t 的值； (3) 当 t 为何值时，四边形 ACNM的面积最小？并求出最小值．
【解析】 (1) 由已知条件得出 AB＝ 10， BC＝ 5 3. 由题意知： BM＝ 2t ， CN＝ 3t ， BN＝ 5 3－ 3t ，由 BM＝ BN
33 9 3 ∴ y＝－ 4 x＋ 2 ； (2) 在 Rt△ APM中，当 PM⊥AC 时，则 x＝ 0，
13 当 PM⊥AB 时，∠ AMP＝ 30°， AP＝ 2AM＝ 2，
39 ∴ x＝ 6－ 2＝ 2；
1
3
(3)S ＝ △PQM 2· (3 ＋x) · 2 (6 － x) ，
3 ＝－ 4 (x ＋ 3)(x － 6) ，
面积－△ BMN的面积，得出 y 是 t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．
【答案】解： (1) ∵在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ 5，∠ BAC＝ 60°，
∴ AB＝10， BC＝5 3，BN＝ 5 3－ 3t ， 由 BM＝ BN得 2t ＝ 5 3 － 3t ，
53
1
9
综上所述， E 点坐标为 － 3， 0 或 － 5， 0 或 ( － 1， 0) 或 (7 ， 0) ；
中考数学复习专题八 运动型问题
专题八 运动型问题
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形类•相开单所关放• 击谓的性第“某题•此二第运些目处级三动．量编级型解(如问决辑角题这度母”类、版是问线探题段文究的、本周几关长样何键、图是式面形动积中(点及求、相静直关，线的灵、关三活系角运)形的用、变有四化关边或数形其学)中在知存运识在动解的变决函化问过数题程关．系中与的一图
(3)如图③• ，第当四级AB 和 DE 重合时，连接 CO 交半圆 O 于点 F，连接 DF 并延长交 CE 于点
G.
• 第五级
求证：CF2＝CG·CE.
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• 单(1击)解此：由处题编意辑可母得：版B文O＝本4样cm式，t＝42＝2(s)
3 2 (c•2m)第解，•二：∴第如级A•三图D第级＝四②A级，O连－接DOO＝与(3切2点－H3)，cm则 OH⊥AC，又∵∠A＝45°，∴AO＝ 2OH＝
y＝34x.∵A• (第－•三4，第级四0)级，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3，在 Rt△
AOB
• 第五级
中，由勾股定理，得
AB＝5.∴sin∠BAO＝35，tan∠DCO＝34.作
PE⊥AO，∴∠PEA
＝∠PEO＝90°∵AP＝t，∴PE＝0.6t.∵OD＝0.6t，∴PE＝OD.∵∠BOC＝90°，∴∠PEA
单[对击应训此练] 处编辑母版标题样式
3．(2015·深圳)如图①，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边 AB 和量角器的
直径 DE 在一条直线上，AB＝BC＝6 cm，OD＝3 cm，开始的时候 BD＝1 cm，现在三角板以
2 •cm单/((s•12击的 ))第当 如速•此图二B度第②与处级三向，O编级右当重移辑A合动C母的．与时版半候文圆，相本求切三样时角式，板求运A动D的；时间；
中考数学复习 专题8 运动型问题数学课件
[对应训练] 3．(2015·深圳)如图①，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边 AB 和量角器的 直径 DE 在一条直线上，AB＝BC＝6 cm，OD＝3 cm，开始的时候 BD＝1 cm，现在三角板以 2 cm/s 的速度向右移动． (1)当 B 与 O 重合的时候，求三角板运动的时间； (2)如图②，当 AC 与半圆相切时，求 AD； (3)如图③，当 AB 和 DE 重合时，连接 CO 交半圆 O 于点 F，连接 DF 并延长交 CE 于点 G，求证：CF2＝CG·CE.
点 D 的坐标为(2，－1)． (2)由▱OABC 得，CB∥OA，CB＝OA＝4.又∵C 点坐标为(－2，3)，
∴B 点的坐标为(2，3)．过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，由平移可知，点 C′在 BE 上，且 BC′＝m.∴BE＝3，OE＝2，∴EA＝OA－OE＝2.∵C′B′∥x 轴
∴△BC′G∽△BEA，∴BBCE′＝CE′AG，即m3 ＝C2′G，∴C′G＝32m.由平移知
A．AE＝12 cm C．当 0＜t≤8 时，y＝156t2
B．sin∠EBC＝
7 4
D．当 t＝9 时，△PBQ 是等腰三角形
线动问题
【例 2】 (2014·衡阳)如图，已知直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点 A(－4，0)，B(0，3)， 点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿直线 AB 向点 B 移动，同时，将直线 y＝34x 以每 秒 0.6 个单位的速度向上平移，分别交 AO，BO 于点 C，D，设运动时间为 t 秒(0＜t＜5)．
第39讲-运动型问题
B为直角顶点．以D为直角顶点、以B为直角顶点的情况存在，此 时点Q的坐标分别是Q1(－2，0)，Q2(6，－4)．
第39讲┃ 运动型问题
【解题方法点析】 关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特
第39讲┃ 运动型问题
探究三 面动型问题
例 3 如图 39－3①，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝ AC，BC＝4 2，另有一等腰梯形 DEFG(GF∥DE)的底边 DE 与 BC 重合，两腰分别落在 AB，AC 上，且 G，F 分别是 AB，AC 的中点．
第39讲┃ 运动型问题
操作：固定△ABC，将等腰梯形 DEFG 以每秒 1 个单位的 速度沿 BC 方向向右运动，直到点 D 与点 C 重合时停止．设运 动时间为 x 秒，运动后的等腰梯形为 DEF′G′(如图②)．
哪几种可能情况？哪些情况存在？此时点Q的坐标是多少？
第39讲┃ 运动型问题
(1)由于A，B，C是抛物线与坐标轴的交点，所以令抛物线解 析式中x或y为0即可求出A，B，C的坐标．
(2)根据平行四边形对边相等，可知CD＝MQ，根据这种数量 关系及位置关系可求出m的值为4.
(3)根据四边形CQMD是平行四边形可知DM CQ，由l∥y轴 及OP＝12OB＝4.可知△BPM∽△BOD，所以BBOP ＝BBMD ＝12，所以
(3)利用(2)中求得的 C 点坐标，怎样求平移后的直线的函 数关系式？
第39讲┃ 运动型问题
(1)将 B 点的纵坐标代入一次函数关系式，可求得 m＝4， ∴B(4，2)．将 B 点坐标代入反比例函数关系式，可求得 y＝8x， (2)△ABC 的面积＝长方形的面积－3 个直角三角形的面 积＝18，设 C 点坐标为x，8x，将△ABC 的面积用含 x 的代数式表示出来，求得 x 的值，从而得 C 点坐标． (3)由于平移前后两条直线平行，故它们的斜率 k 相同且 都为 1，故可设平移后直线的函数关系式为 y＝x＋b，点 C 在平移后的直线上，所以把 C 点坐标代入即可求得．
2024年中考数学总复习第一部分题型突破专题9运动型问题
BC2－BM2 ＝2 7 .∵BM ＝AB ＝CD，∠DEC＝∠BCE ，
∴△BCM≌△CED(AAS)，∴DE＝MC＝2 7 .如图 4，点 E
在边 CD 上时，∵BM＝6，BC＝8，∴MC＝2 7 ，CN＝8－
2 7 .∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，∴△BMC∽△CNE，
∴BM ＝MC ，∴EN＝MC·CN ＝8 7－14 ，∴DE＝EN＝
2 －AF＝6－1＝5，综上所述，满足条件的 AG 的长为 5 或 7；
(3)过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，AN⊥CD 于点 N.
①当点 E 在线段 BM 上时，0＜s≤8，设 EF＝3x，则 BE＝4x，
GH＝EF＝3x.a、若点 H 在点 C 的左侧，s＋8≤10，即 0＜s≤2，
如 图 4 ， CH ＝ BC － BH ＝ 10四边形 AEFD 形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是( A )
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→正方形→菱形 D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
2．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝10，sin B＝35 ，点 E 从点 B 出发沿折线 B－C－D 向终点 D 运动．过点 E 作点 E 所在 的边(BC 或 CD)的垂线，交菱形其它的边于点 F，在 EF 的右 侧作矩形 EFGH.
＝∠BDC，∴cos ∠ENC＝ 2 ＝ 6 ，得 EN＝10 ，∴DE＝
EN 10
3
EN
＝
10 3
.∵BM ＝ AB ＝ CD ， MN ＝ AD ＝ BC ，
∴R t △B MN ≌R t △DCB (H L )，∴∠DBC＝∠B N M ，
运动性问题的分类与解题思路
初中数学：运动性问题的分类与解题思路一、图形的平移：（一）、动点问题：1、题型特征：某点规定了运动的路线，确定了起点和终点，在其运动过程中，或在直线（线段）上，或在弧线（圆）上；从已知上看，多与特殊四边形（矩形、正方形、梯形等）和圆的知识内容，以及一次函数的图象有关；从结论上看，多有确定点的坐标、图形的形状及面积（三角形）和相关位置关系、以及运动时间与某量之间的函数表达式、利用函数表达式确定最值问题等。
2、解题思路：（1）结合已知条件和图形特征善于全情说出相关的量和形；（2）善于根据结论的需要猜想可能的状况，由可能分析或验证解题的思路和方法；（3）把运动的问题分解为若干个静止的问题（利用点的特殊位置），解静论动；3、例题解析：例1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的为ycm.（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当y＝1/4cm时，求x的值；分析:（1）变化的两量BP与CQ分处在两个直角三角形中,存在关系必有两个直角三角形相似;（2）点P在运动的过程中,y有最大值,可猜想点P的位置一定是特殊位置即线段BC的中点.例2、如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上.动点D在线段BC上移动（不与点B，C重合），连接OD，过点D 作DE⊥OD，交边AB于点E ，连接OE.记CD的长为t.（1）当t = 1/3时，求直线DE的函数表达式；（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD2+DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标.分析:(1)"数形"互相转化是主要思想,观察点D,E的位置可分别知它们的纵,横坐标,问题自然转化为求CD和AE(或BE)的长;(2)观察图形可发现两个特征,一是梯形COEB中唯一变化的量是底边BE;二是BE的变化是由线段CD的变化而引起;所以BE与CD必然存在关系即△OCD与△DBE一定存在相似.进而套用梯形的面积公式可得S与的函数关系式,利用函数关系式即可判定梯形的面积是否存在最大值;(3)由图形观察可知,OD2+DE2的算术平方根就是OE2,OD2+DE2的算术平方根取最小值时,必有OE取最小值.观察图形可知OE在Rt△OAE中,OA边一定,所以必然有AE取最小值,也即Rt△OAE的面积最小,反之梯形COEB的面积最大,结合第(2)问可得结果.注:动点D运动产生最值时,其位置必然处在特殊位置,即线段CB的中点,可利用解中点的情况的值,判断你的解题思想或结果是否正确.（二）、动线问题：1、题型特征：规定了两个点在某图形中运动的路线，其中一点的运动制约着加另一点的运动，这两点的连线形成了线的运动；从已知中看，多和特殊的四边形、特殊的三角形内容以及函数的图象有关；从结论上看，多有确定点的坐标、图形的形状及面积（三角形）和相关位置关系、以及运动时间与面积间的函数表达式、利用函数表达式确定最值问题等。
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“运动型问题”练习
1．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向不滑动．．．
的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A 经过的路线长为 ．
2．如图，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP
的最小长度是 .
3．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008
次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2008的位置，则点P 2008的横坐标为 ．
4．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在BC 边上运动，连结DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为E ，设DP ＝x ，AE ＝y ，则能反映
y 与x 之间函数关系的大致图象是 （ ）
5．挂钟分针的长为10cm ，经
过45分钟，它的针尖转过的弧长是 （ ）
A ．15π2cm
B ．15πcm
C ．75π2
cm D ．75πcm 6．如图，在钝角三角形ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝12cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动
点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，
点E 运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是 （ ） A ．3秒或4.8秒 B ．3秒 C ．4.5秒 D ．4.5秒或4.8秒
7．如图，A 是半径为12cm 的⊙O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆
时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动.
（1）如果∠POA ＝90°，求点P 运动的时间； （2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB ＝OA ，
那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的
位置关系，并说明理由．
A ．
B ．
C ．
D ．
32
l 1A A A D C B A （第1题）
（第6题）
8．△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2cm ．长为1cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运
动前点M 与点A 重合）．过M 、N 分别作AB 的垂线交直角边于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若△AMP 的面积为y ，写出y 与t
的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；
（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；
（3）t 为何值时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？
9．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在⊙O 上运动．
（1）当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证
明直线CD 与⊙O 相切； （2）当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应
的函数关系式； （3）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．
10．如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上．过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D 与y 轴交于点E ．
（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t ≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为S ，S 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．
①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当2＜t ＜4时，求S 关于t 的
函数解析式； （2）在第（1）题的条件下，当
直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．
上是否存在点P ，使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
M Q
P
C
B A （第8题）
图2 （第10题）
参考答案：
1．12π 2．3 3．2008 4．C 5．B 6．A
7．（1）当∠POA ＝90°时，点P 运动的时间为3s 或9s ．
（2）点P 运动的时间为2s 时，直线BP 与⊙O 相切．
8．（1）①当点P 在AC 上时，y ＝32t 2（0≤t ≤1）；②当点P 在BC 上时，y ＝－36t 2＋233
t （1＜t ≤3）．
（2）当t ＝34
s 时，四边形MNQP 为矩形． （3）当t ＝12s 或34
s 时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC △相似． 9．（1）因为A 、D 、O 三点在同一条直线上，∠ADC ＝90° ，所以∠CDO ＝90°，所以CD 是⊙O 的切线．
（2）①当切点D 在第四象限时，OD 所在直线的函数关系式为y ＝－34
x ；②当切点在第二象限时，OD 所在直线对应的函数关系式为y ＝－43
x. （3）正方形的面积S 与x 之间的函数关系式为S ＝13－5x ．又∵D 点在圆上运动，∴－1≤x ≤1．∴ S 的最大值是18，最小值是8．
10．（1）①AB ＝2；直角梯形OABC 的面积为12；
②当2＜t ＜4时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积S ＝－t 2＋8t －4．
（2）存在点P ，使△PDE 为等腰直角三角形．满足条件的点P 有P 1（－12，4），P 2（－
4，4），P 3（－83
，4），P 4（4，4），P 5（8，4）．。