最新全国2015年高等教育自学考试高等数学模拟试题

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2015年高考数学模拟试题及答案

2 2
（1）求数列 a n 的通项公式；（2）设 bn
1 ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn 2 . 2 an
20．（本小题共 13 分）若双曲线 E :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的离心率等于 2 ，焦点到渐近线的距离为 1，直线 y kx 1 与双 a 2 b2
D C
A．
3 10 10
B．
10 10
C．
5 10
D．
5 15
E
B A 7．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 2, CC1 2 2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面 BED
的距离为 A．2 B．
3
C． 2
D．1
8．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级 2 人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为
(2)由（1）可知 bn 20．（本小题共 13 分）
c a 2 1 2 解：（1）由 a 得 b2 1 b 1
设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，由
故双曲线 E 的方程为 x y 1
2 2
y kx 1 得 1 k 2 x 2 2kx 2 0 2 2 x y 1

x 1 0 ，则 A B x 3
2 3
D． (, 1)
A． (3, )
B． (1, )
2 3
C． ( ,3)
2
2. 设 x R ， i 是虚数单位，则“ x 3 ”是“复数 z ( x 2 x 3) ( x 1)i 为纯虚数” 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是

2015年高校自主招生数学模拟试卷(3)

A．B．C．D．
解：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．
OH⊥PB，OH⊥面PAB，OH⊥HC，OH⊥PC，
又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．
而OCH的面积在OH=HC=时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．
当OH=时，由PO=2，知∠OPB=30，OB=POtan30=．
解：由和都是正整数可知，于是有
，故选A．
2．设锐角使关于的方程有重根，则的弧度数为( )
A． B．或 C．或 D．
解：由方程有重根，故=4cos2－cot=0，
∵0<<，2sin2=1，=或．选B．
3．已知，．若对于所有的，均有，则的取值范围是( )
A．[－，]B．(－，)C．(－，]D．[－，]
又解：连线如图，由C为PA中点，故VO－PBC=VB－AOP，
而VO－PHC∶VO－PBC==(PO2=PH·PB)．
记PO=OA=2=R，∠AOB=，则
VP—AOB=R3sincos=R3sin2，VB－PCO=R3sin2．
===．VO－PHC=R3．
∴令y=，y==0，得cos2=－，cos=，
A．B．C．D．
二．填空题(本题满分54分，每小题9分)
7．在平面直角坐标系xOy中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是；
8．设函数f：R→R，满足，且对任意，都有，则；
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；
10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；
2015年高校自主招生数学模拟试卷（3）

2015年高考数学模拟试题及答案

2015年高考数学模拟试题及答案本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。

第一卷1至2页，第二卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟。

第一卷（选择题共60分）注意事项：1. 作答第一卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔填写在答题卡上，并认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否正确。

2. 第一卷答案必须用2B 铅笔填涂在答题卡上，在其他位置作答一律无效。

每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincos22a b a ba b +-+= sin sin 2cossin22a b a ba b +--= cos cos 2cos cos22a b a ba b +-+=cos cos 2sinsin22a b a ba b +--=- 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，由它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()C (1)kk n k n n P k p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均值一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 设集合{}1,2A =，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()AB C =(A ){}1,2,3(B ){}1,2,4(C ){}2,3,4(D ){}1,2,3,4(2) 函数123()x y x -=+∈R 的反函数的解析表达式为(A )22log 3y x =- (B )23log 2x y -= (C )23log 2xy -= (D )22log 3y x=- (3) 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=(A ) 33(B ) 72(C ) 84(D ) 189(4) 在正三棱柱111ABC A B C -中，若2AB =，11AA =，则点A 到平面1A BC 的距离为(A )34(B )32(C )334(D )3(5) ABC △中，3A p=，3BC =，则ABC △的周长为 (A )43sin()33B p ++ (B )43sin()36B p++(C )6sin()33B p ++ (D )6sin()36B p++(6) 抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是(A )1716(B )1516(C )78(D ) 0(7) 在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4 8.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(A ) 9.4，0.484 (B ) 9.4，0.016 (C ) 9.5，0.04 (D ) 9.5，0.016(8) 设a 、b 、g 为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：① 若a g ⊥，b g ⊥，则//a b ；② 若m a ⊂，n a ⊂，//m b ，//n b ，则//a b ；③ 若//a b ，l a ⊂，则//l b ；④ 若l a b =，m b g =，n g a =，//l g ，则//m n ．其中真命题的个数是 (A ) 1(B ) 2(C ) 3(D ) 4(9) 设1,2,3,4,5k =，则5(2)x +的展开式中k x 的系数不可能．．．是 (A ) 10 (B ) 40(C ) 50(D ) 80(10) 若1sin()63p a -=，则2cos(2)3pa += (A )79-(B )13- (C )13(D )79(11) 点(3,1)P -在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上．过点P 且方向为(2,5)=-a 的光线，经过直线2y =-反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 (A )33 (B )13 (C )22(D )12 (12) 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的．现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 (A ) 96(B ) 48(C ) 24(D ) 0S 数学试题第 3 页（共 4 页）第二卷（非选择题共90分）注意事项：请用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔在答题卡上指定区域内作答，在试题卷上作答一律无效。

000201510高等数学一00020 高等数学(一)自考历年真题

2015年10月全国高等教育自学考试《高等数学(一)》试题课程代码：00020一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1. 方程0232=+-x x 的根为A. 2,121==x x B. 2,121=-=x x C. 2,121-==x x D. 2,121-=-=x x 2. 2)2(x x f =+，则=)(x fA. 22-xB. 2)2(-xC. 22+xD. 2)2(+x3. 极限=-+→42lim 22x x x A.-2 B. 0C. 2D. ∞4.函数x z e x x x f +-+=11)(的所有间断点是 A. 0=xB. 1-=xC. 1,0==x xD. 1,1=-=x x 5.设函数)(x f 可导，则极限=∆-∆+→∆xx f x x f x )()2(lim 0 A. )('21x f B. )('21x f - C. )('2x f D. )('2x f -6．曲线x y sin =在点(0，0)处的切线方程是 A.x y = B. x y -= C. x y 21= D. x y 21-= 7．设函数)(x f 可导，且0)('0=x f ，则)(x f 在0x x =处A ．一定有极大值B ．一定有极小值C. 不一定有极值D. 一定没有极值8. 曲线2323+-=x x y 的拐点为A ．（0，1）B ．（1，0）C. （0，2）D. （2，0）9. 不定积分=+⎰dx x )1(sec 2 A. x x +sec B. c x x ++secC. x x +tanD. c x x ++tan 10. 设函数yx ye x y x f y x ++=-2),(，则=)1,2(f A. e +6 B. 16-+eC. e +4D. 14-+e二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 判断函数x x x f --=22)(的奇偶性。

全国2015年4月自考《高等数学（一）》试题答案详解

全国2012年4月自考《高等数学（一）》试题答案详解课程代码：00020试卷总体分析：试卷详解：一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.函数y=f(x)的图形如图所示，则它的值域为( )A.[1,4）B.[1,4]C.[1,5)D.[1,5]答案：C知识点：函数值域解：由图像观察可得。

2.当x→0时，下列变量为无穷小量的是( )A.21sinxxB.1sin xxC.xe- D.年华一去不返，事业放弃在难成。

-第 1 页共8 页年华一去不返，事业放弃在难成。

-第 2 页共 8 页答案：A知识点：无穷小量解：201lim sin0x x x→= 3.设函数f(x)可导，且0(1)(1)lim 1x f f x x→--=-，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A.1B.0C.-1D.-2答案：C知识点：导数的几何意义解：00(1)(1)(1)(1)'(1)limlim 1x x f x f f f x f x x→→----===-- 4.曲线21(1)y x =-的渐近线的条数为 ( )A.1B.2C.3D.4答案：B知识点：曲线的渐近线解：2211lim0(1)1lim ,(1)x x x x →∞→=-=∞-因为，则原曲线有水平渐近线y=0因为则原曲线有竖直渐近线x=15.下列积分中可直接用牛顿-莱布尼茨公式计算的是( )A.111dx x-⎰ B.111d x x -⎰2（2+1）C.1211d x x -⎰D.1x -⎰答案：D知识点：牛顿-莱布尼茨公式解：函数要在积分区间上连续。

彩电二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数2,||1(),1,||1x f x x ≤⎧=⎨⎩>则f [f(1)]=______. 答案：1年华一去不返，事业放弃在难成。

2015成人高考专升本数学模拟试题及答案解析1

2015年成人高考专升本《数学》模拟试卷及答案解析目录2015成人高考专升本《数学》模拟试卷及答案解析（1） (1)一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

............................................................. 1 二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。

................................................ 2 三、解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。

(3)2015成人高考专升本《数学》模拟试卷及答案解析（1）一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

*1. 设函数f x x x x ()[)=-+∈+∞2442，，，g x ()是f x ()的反函数，则（） A. g x x ()=-2 B. g x x ()=+2 C. g x x ()=--2 D. g x x ()=-+2令y f x x x x ==-+=-()()22442 ⇒-=⇒=+x y x y 22，反函数为y x =+2，选B *2. 若x 0是f x ()的极值点，则（） A. f x '()0必定存在，且f x '()00=B. f x '()0必定存在，但f x '()0不一定等于零C. f x '()0可能不存在D. f x '()0必定不存在应选C 。

例：y x =在x =0处取得极小值，但该函数在x =0处不可导，而f '()0不存在 *3. 设有直线x y z043==-，则该直线必定（） A. 过原点且垂直于x 轴 B. 过原点且平行于x 轴 C. 不过原点，但垂直于x 轴 D. 不过原点，且不平行于x 轴直线显然过（0，0，0）点，方向向量为{} l =-043，，，x 轴的正向方向向量为{}v =100，，，l v l v ⋅=⨯+⨯+-⨯=⇒⊥1040300()，故直线与x 轴垂直，故应选A 。

2015年1月全国自考高等数学基础模拟试卷(一)

2015全国自考高等数学基础模拟试卷(一)一、单项选择题(本大题共12小题，每小题2分，共24分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

第1题在空间直角坐标系中，点（2，0，3）在（）A. x轴上B. y轴上C. xz面上D. xy面上【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第2题平面2x+3y+4z+5=0与平面6x+9y+12z+15=0的位置关系是（）A. 互相垂直B. 互相平行C. 相交而不垂直D. 重合【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第3题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第4题【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第5题 A、B、C为同阶矩阵，且A可逆，下列式子中必成立的为()A. 若AB=AC,则B=CB. AC=CAC. 若｜AC｜=0，则C=0D. 若BC=0，则B=0【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第6题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第7题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第8题【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第9题下列函数中，在指定区间内有界的是()【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第10题【正确答案】 B【你的答案】本题分数2分第11题初等函数f(x)在其有定义的区间［a,b］上一定（）A. 连续B. 可导C. 可微D. 以上都不对【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第12题A. 充分条件，但不是必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分也不是必要条件【正确答案】 C二、填空题（本大题共8题，每小题2分，共16分）第1题答案为：___，___。

【正确答案】 2,(1,0,0)【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第2题答案为：___【正确答案】直圆柱面【你的答案】本题分数2分修改分数你的得分___第3题答案为：【正确答案】 {x|x>0且x≠1}【你的答案】本题分数2分修改分数你的得分___第4题答案为：【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第5题若Ax=b有唯一解时，则Ax=0，有___解.【正确答案】唯一零【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第6题答案为：___【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第7题过点（1，2，3）且与z轴平行的直线方程是___.【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数2分你的得分第8题方程组Ax=b，有唯一解的条件是___.【正确答案】 r(A)=r(A,b)=n【你的答案】三、计算题（一）(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 第1题【正确答案】【你的答案】本题分数4分你的得分修改分数第2题已知a=2i+3j+k，b=i+3j-k，求(a-b)·(a+b).【正确答案】【你的答案】本题分数4分你的得分修改分数第3题【正确答案】【你的答案】本题分数4分你的得分修改分数第4题设a=｛3,-1,2｝,b=｛1,2,-1｝求：(1)a·b；(2) a×b；(3) (2a+b)×b.【正确答案】【你的答案】四、计算题（二）(本大题共4小题，每小题4分，共16分)第1题求使两平面α:2x+ay+3z-5=0与β:bx-6y-z+2=0平行的a和b.【正确答案】【你的答案】本题分数你的得分修改分数4分第2题【正确答案】【你的答案】本题分数4分你的得分修改分数第3题【正确答案】【你的答案】本题分数4分你的得分修改分数第4题求过原点，且与平面α，β都平行的直线方程，并写出它的参数方程.其中α:x+y-z=4β:x+2y-4z=0.【正确答案】【你的答案】五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）第1题【正确答案】【你的答案】本题分数8分修改分数你的得分第2题【正确答案】【你的答案】。

2015年1月全国自考高等数学(工专)模拟试卷(一)

2015年1月全国自考高等数学（工专）模拟试卷(一)一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

第1题A. a＞0，b=0B. a＜0，b≠0C. a＞0，b为任意实数D. a＜0，b为任意实数【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第2题【正确答案】 D【你的答案】本题分数2分第3题【正确答案】 A【你的答案】本题分数2分第4题A. k=1B. k=-1C. k≠-1,4D. k=4【正确答案】 C【你的答案】本题分数2分第5题A. 1/2B. -1/2C. 1D. 0【正确答案】 B二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

___第1题图中空白处答案应为：【正确答案】【你的答案】本题分数3分修改分数你的得分___第2题图中空白处答案应为：【正确答案】一【你的答案】修改分数本题分数3分你的得分第3题图中空白处答案应为：___【你的答案】本题分数3分修改分数你的得分___第4题图中空白处答案应为：【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数3分你的得分第5题方程xy′+y=2的通解为___.【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数3分你的得分___第6题图中空白处答案应为：【正确答案】【你的答案】修改分数本题分数3分你的得分第7题图中空白处答案应为:___【正确答案】 0 【解析】本题考查极限的计算.由limn→∞sin(n+1)n+a知sin(n+1)∈［-1,1］,n→∞∴limn→∞sin(n+1)n+a=0【你的答案】修改分数本题分数3分你的得分:___第8题图中空白处答案应为【正确答案】 y轴【解析】本题考查函数的对称性.令f(x)=ex+e-x则f(-x)=e-x+ex即f(-x)=ex+e-x=f(x)∴函数的图形y轴对称.【你的答案】本题分数3分修改分数你的得分______第9题图中空白处答案应为：由y=f(ex)得dy=exf′(ex)dx【你的答案】修改分数本题分数3分你的得分第10题横线处应填的内容为___。

2015年高校自主招生数学模拟试卷(2)

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|＝4，4z122z1z2＋z22＝0，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
(A)8(B)4(C)6(D)12
求：的最大值及取得最大值时椭圆C的率心率e的值．
2015年高校自主招生数学模拟试卷（2）
参考答案
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．对于每个自然数，抛物线与轴交于两点，以表示该两点间的距离，则的值是( )
(A) 2015(B) 2016(C) (D)
解：，∴ |AnBn|＝－，
于是＝，选C．
解：cos∠OZ1Z3＝＝－．即∠OZ1Z3＝＝120°，
(A)8(B)4(C)6(D)12
解：＝cos±isin．∴|z2|＝8，z1、z2的夹角＝60°．S＝·4·8·＝8．选A．
6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10＋x)＝f(10x)，f(20x)＝f(20＋x)，则f(x)是
(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数
解：因为，所以，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，接近2S，故选A．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b1)，且，都是方程logx＝logb(4x－4)的根，则△ABC( )
(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形
(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
(D)
3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记，则λ一定满足( )

2015年全国高校自主招生数学模拟试卷2

但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M的最小值≤log2．
∴所求值=log2．
三、（本题满分20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－×2=．
∴cosxsinycosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2=．即最小值．
(A)x100a，S100=2ba(B)x100b，S1002ba
(C)x100b，S100=ba(D)x100a，S100ba
解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，
又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A．
(由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=，x=时，cosxsinycosz=．
∵cosxsinycosz=cosz×[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos2z－coszsin(x－y)．
三、（20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
四、(20分)
设双曲线xy1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
(2)设P(1，1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．
解：f(x)的对称轴为x=，
易得，0<α<<<β<<<γ<<<δ<．选B．

2015年高校自主招生数学模拟试卷(6)

2015年高校自主招生数学模拟试卷（6）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P−ABCD 中，∠APC ＝60°，则二面角A−PB−C 的平面角的余弦值为（）A. 71B. 71-C. 21D. 21-2. 若21sin cos =-x x ，则=-x x 33sin cos （） A.83 B.1611 C. 1611-D. 83-3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于（） A.8152B.8159 C.8160 D.8161 4. 设函数1cos 2sin 3)(++=x x x f ．若实数a 、b 、c 使得1)()(=-+c x bf x af 对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（） A. 21-B.21 C. −1 D. 15. 设b a ,是不共线的两个向量．已知k +=2，+=，32-=，若S Q P ,,三点共线，则k 的值为_______．A. 1-B. 3-C. 34-D. 53-6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集．若n ∈A 时总有B n ∈+22，则集合A ∪B 的元素个数最多为（） A. 62B. 66C. 68D. 74DP二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则PD PC PB PA +++的最小值为__________．8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________．9. 已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________．10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数．若a 1＝d ，b 1＝d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________．11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为________． 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）．三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 求证：3131211333<++++n．14. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1>+=x xx y 交于两个不同点M 和N ．求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹．15. 设函数)(x f 对所有的实数x 都满足)()2(x f x f =+π．求证：存在4个函数)4,3,2,1)((=i x f i 满足：（1）对4,3,2,1=i ，)(x f i 是偶函数，且对任意的实数x ，有)()(x f x f i i =+π；（2）对任意的实数x ，有x x f x x f x x f x f x f 2sin )(sin )(cos )()()(4321+++=．2015年高校自主招生数学模拟试卷（6）参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P−ABCD 中，∠APC ＝60°，则二面角A−PB−C 的平面角的余弦值为（ B ）A. 71B. 71-C. 21D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M ．连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角．不妨设AB ＝2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM ．在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC ．2.若21sin cos =-x x ，则=-x x 33sin cos （） A.83 B.1611 C. 1611-D. 83-解：因为21sin cos =-x x ，有832211sin cos 2=-=x x ， )sin cos sin )(cos sin (cos sin cos 2233x x x x x x x x ++-=-=+⨯=)831(211611．故选B ．3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式a −2b ＋10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92＝81个．由不等式a −2b ＋10>0得2b ＜a ＋10，于是，当b ＝1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、DPM9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5＝45种；当b ＝6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b ＝7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b ＝8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b ＝9时，a 只能取9，有1种．于是，所求事件的概率为816181135745=++++．4. 设函数1cos 2sin 3)(++=x x x f ．若实数a 、b 、c 使得1)()(=-+c x bf x af 对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ C ） A. 21-B.21 C. −1 D. 1解：令c ＝π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )＋f (x−c )＝2，于是取21==b a ，c ＝π，则对任意的x ∈R ，af (x )＋bf (x−c )＝1，由此得1cos -=acb ．一般地，由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ϕ，其中20π<<ϕ且32tan =ϕ，于是1)()(=-+c x bf x af 可化为 1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ，即0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ，所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ．由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+)3(01)2(0sin )1(0cos b a c b c b a ，若b ＝0，则由(1)知a ＝0，显然不满足(3)式，故b≠0．所以，由(2)知sin c ＝0，故c ＝2kπ＋π或c ＝2kπ(k ∈Z )．当c ＝2kπ时，cos c ＝1，则(1)、(3)两式矛盾．故c ＝2kπ＋π(k ∈Z )，cos c ＝−1．由(1)、(3)知21==b a ，所以1cos -=ac b ． 5. 设,是不共线的两个向量．已知k +=2，+=，32-=，若S Q P ,,三点共线，则k 的值为__C __．A. 1-B. 3-C. 34-D. 53-解：由b k a PQ +=2，又b a RS QR QS 23-=+=，又因为 S Q P ,,三点共线，所以Q ∥，所以 k 34-=，即34-=k ，故选C ． 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集．若n ∈A 时总有2n ＋2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ B ） A. 62B. 66C. 68D. 74解：先证|A ∪B |≤66，只须证|A |≤33，为此只须证若A 是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n ∈A ，使得2n ＋2∈B ．证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个．由于A 是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ，即存在n ∈A ，使得2n ＋2∈B ．如取A ＝{1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}， B ＝{2n ＋2|n ∈A }，则A 、B 满足题设且|A ∪B |≤66．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |的最小值为5223+ ．解：如图，设AC 与BD 交于F 点，则|PA |＋|PC |≥|AC |＝|FA |＋|FC |，|PB |＋|PD |≥|BD |＝|FB |＋|FD |，因此，当动点P 与F 点重合时，|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |取到最小值5223||||+=+BD AC ．8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于32．解：因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅BF AB AC BE AB AB ，即22=⋅+⋅+⋅+BF AC AB AC BE AB AB ．因为12=AB ，P FDCB1133236133133-=⨯⨯-+⨯⨯=⋅，-=，所以21)(1=--⋅+，即2=⋅BC BF ．设EF 与BC 的夹角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θ，即3cos θ＝2，所以32cos =θ． 9. 已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于635π．解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上．在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为332=AE ，AA 1＝1，则61πAE A =∠．同理6πBAF =∠，所以6πEAF =∠，故弧EF 的长为ππ936332=⋅，而这样的弧共有三条．在面BB 1C 1C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为33，2πFBG =∠，所以弧FG 的长为ππ63233=⋅．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为635633933πππ=⨯+⨯． 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数．若a 1＝d ，b 1＝d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于 21．解：因为22111212121321232221114)2()(qq q b q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1＋q ＋q 2为m 14，其中m 为正整数．令mq q 1412=++，则 mmm q 4356211144121-+-=-++-=．由于q 是小于1的正有理数，所以3141<<m，即5≤m ≤13且m m 4356-是某个有理数的平方，由此可知21=q ． 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为554．解：实际上)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y ＝g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)＝g (x 1)．于是)(2)(2)(2)()(22212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45,43[上是减函数，所以554)45()(=≥f x f ，即f (x )在]45,41[上的最小值是554． 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 3960 种（用数字作答）．解：使2个a 既不同行也不同列的填法有C 42A 42＝72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C 42A 42＝72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有C 161A 92＝16×72种．所以，符合题设条件的填法共有722−72−16×72＝3960种．三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 求证：3131211333<++++n．证明1：111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m mm mm m m m m=（2111)1111-++⋅⋅+--m m mm m而m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式＜1＋111141213111+--++-+-n n ＝3111222<+--+n n证明2：)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n11)1(1121---=-+-<n n n n n n n nn n n n n nn 111)1(121--=---<原式〈323)1113121211(21<-=--++-+-+nnn14. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1>+=x xx y 交于两个不同点M 和N ．求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹．解：设点M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为l 1、l 2，其交点P 的坐标为(x p ，y p )．若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=11kx y xx y ，消去y ，得11+=+kx x x ，即(k −1)x 2＋x −1＝0．由题意知，该方程在(0，＋∞)上有两个相异的实根x 1、x 2，故k ≠1，且Δ＝1＋4(k −1)>0…(1)，01121>-=+k x x …(2)，01121>-=k x x …(3)，由此解得143<<k ．对xx y 1+=求导，得211x y'-=，则2111|1x y'x x -==，2211|2x y'x x -==，于是直线l 1的方程为))(11(1211x x x y y --=-，即))(11()1(12111x x x x x y --=+-，化简后得到直线l 1的方程为1212)11(x x x y +-=…(4)．同理可求得直线l 2的方程为2222)11(x x x y +-=…(5)．(4)−(5)得022)11(212122=-+-x x x x x p ，因为x 1≠x 2，故有21212x x x x x p +=…(6)．将(2)(3)两式代入(6)式得x p ＝2．(4)＋(5)得)11(2))11(2(2212221x x x x x y p p +++-=…(7)，其中111212121=+=+x x x x x x ，12)1(212)(2)(112122121222121221222122212221-=--=-+=-+=+=+k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x ，代入(7)式得2y p ＝(3−2k )x p ＋2，而x p ＝2，得y p ＝4−2k ．又由143<<k 得252<<p y ，即点P 的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）．15. 设函数)(x f 对所有的实数x 都满足)()2(x f x f =+π．求证：存在4个函数)4,3,2,1)((=i x f i 满足：（1）对4,3,2,1=i ，)(x f i 是偶函数，且对任意的实数x ，有)()(x f x f i i =+π；（2）对任意的实数x ，有x x f x x f x x f x f x f 2sin )(sin )(cos )()()(4321+++=．证明：记2)()()(x f x f x g -+=，2)()()(x f x f x h --=，则f (x )＝g (x )＋h (x )，且g (x )是偶函数，h (x )是奇函数，对任意的x ∈R ，g (x ＋2π)＝g (x )，h (x ＋2π)＝h (x )．令2)()()(1πx g x g x f ++=，⎪⎩⎪⎨⎧+=+≠+-=202cos 2)()()(2πk πx πk πx x πx g x g x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=k πx k πx xπx h x h x f 0sin 2)()()(3，⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=2022sin 2)()()(4k πx k πx x πx h x h x f ，其中k 为任意整数．容易验证f i (x )，i ＝1，2，3，4是偶函数，且对任意的x ∈R ，f i (x ＋π)＝f i (x )，i ＝1，2，3，4．下证对任意的x ∈R ，有f 1(x )＋f 2(x )cos x ＝g (x )．当2πk πx +≠时，显然成立；当2πk πx +=时，高等院校自主招生数学模拟试卷戴又发编第11页因为2)()()(cos )()(121πx g x g x f x x f x f ++==+，而 )()2()2())1(223()23()(x g πk πg πk πg πk πk πg πk πg πx g =+=--=+-+=+=+，故对任意的x ∈R ，f 1(x )＋f 2(x )cos x ＝g (x )．下证对任意的x ∈R ，有f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ＝h (x )．当2k πx ≠时，显然成立；当x ＝kπ时，h (x )＝h (kπ)＝h (kπ−2kπ)＝h (−kπ)＝−h (kπ)，所以h (x )＝h (kπ)＝0，而此时f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ＝0，故h (x )＝f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ；当2πk πx +=时， )()2()2())1(223()23()(x h πk πh πk πh πk πk πh πk πh πx h -=+-=--=+-+=+=+，故)(2)()(s i n )(3x h πx h x h x x f =+-=，又f 4(x )sin2x ＝0，从而有h (x )＝f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ．于是，对任意的x ∈R ，有f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ＝h (x )．综上所述，结论得证．。

00023高等数学(工本)201504【答案在试卷后】

2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(工本) 试卷(课程代码 00023)第一部分选择题一、单项选择题[更多科目真题及答案请访问/zikao.htm](本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．向量a={2，1，-l｝与b={1，2，1｝的夹角为2．已知函数，3. 已知二重积分，则积分区域D为4. 微分方程笔是A．可分离变量的微分方程 B．齐次微分方程C．一阶线性齐次微分方程 D．一阶线性非齐次微分方程5．无穷级数的敛散性为A．条件收敛 B. 绝对收敛 C发散 D．敛散性无法确定第二部分非选择题二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在答题卡上作答。

6．点P(-5，-3，2)到oyz坐标面的距离为________。

7．函数z=z2 y+y2在点(2，1)处的全微分=_________。

8. 设积分区域D：x2+y2≤a2(a﹥0)，且二重积分，则常数a=_______。

9．微分方程y〞+3y=e2x的特解y*=_________。

10．已知无穷级数。

三、计算题(本大题共l2小题，每小题5分，共60分)请在答题卡上作答。

11．求过点M l(3，-l，5)及点M2(-1，2，-3)的直线方程．12．求曲面z=2xy在点处的切平面方程．13．已知方程2xy2—3y2+5z2一z=1确定函数z=z(x,y)，求14．求函数f(x，y)=2xy2--3x2y在点P(1，--1)处沿P(1，-1)到Q(2，0)方向的方向导数．15．计算二重积分，其中D是由y=x2，y=z所围成的区域．16．计算三重积分，其中积分区域Ω：|x|≤1，|y|≤1，|z|≤1．17．计算对弧长的曲线积分，其中C为从点A(2，0)到B(4，0)的直线段．18．计算对坐标的曲线积分，其中C是抛物线z—y2从点0(0，0)到点P(4，2)的一段弧．19．求微分方程的通解．20．求微分方程y〞+yˊ-30y=0的通解．21. 判断无穷级数的敛散性．22．已知f(x)是周期为的周期函数，它在上的表达式为，求f(x)傅里叶级数中系数a6四、综合题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)请在答题卡上作答。

2015成考专升本高等数学(二)模拟考试试题二

高等数学（二）模拟试题一答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。

一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

10、袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，从中一次任取2个乒乓球，则取出的2个球均为白色球的概率为A 、85B 、145C 、365D 、565 二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。

13、设函数⎩⎨⎧≥+<-=0,0,1)(2x a x x x x f 在点0=x 处的极限存在，则=a15、设函数)1ln(x y +=，则=)(n y17、=⎰dx e x 118、=⎰xdx e x cos 20sin π19、dx x⎰+∞+0211=三、解答题：21－28题，共70分。

解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应题号后。

21、（本题满分8分）22、（本题满分8分）设,cos 3xx y =求dy 23、（本题满分8分）计算dx xe x ⎰24、（本题满分8分） dx e x ⎰1025、（本题满分8分）求a ，E （X ）26、（本题满分10分）在半径为R 的半圆内作一内接矩形，其中的一边在直径上，另外两个顶点在圆周上（如图所示），当矩形的长和宽各为多少时矩形面积最大？最大值是多少？27、（本题满分10分）证明：当,1>x 时x x ln 1+>28、（本题满分10分）求二元函数,),(22xy y x y x f ++=在条件42=+y x 下的极值。

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净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将 “答题纸 ” 的相应代
码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1．函数 y log 2 ( x2 9) 的定义域是
A.(3,+ ∞)
B．可能收敛 D．部分和有界
1
4. 若 f (x)dx 2sin x C,则 f ( x)
2
A ． cos x C
2
C． 2cos x C
2
5．设 A 1 1 , B= 1 1 则 AB =
11
11
B． 2sin x
2
D. cos x
2
A. 0 0
00
B. 1 1
11C. Leabharlann 212D. 2 2
22
8．设 y (10 2x)9 ，则 y =______.
9．设函数 y arctan( 3x) ，则 dy =______dx .
10．函数 y x cos x 单调增加的区间是 ______.
11.
π 2
sin x
π2 1 x 2
dx
______.
2
B．（- ∞， -3) (3,+ ∞）
C ．（- ∞， -3 ）
D．（- ∞， -3]
[3,+ ∞）
2．设 f (x) sin( x 1)，则 f ( x) 为
A ．偶函数 C ．奇函数
B．周期为 2π-1 的周期函数 D．周期为 2π的周期函数
3．如果级数的一般项恒大于 0.002 ，则该级数
A ．一定收敛 C．一定发散
绝密 ★ 考试结束前
全国 2014 年 4 月高等教育自学考试
高等数学（工专）试题
课程代码： 00022
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在
答题纸规定的位置上。 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
非选择题部分
注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
6．已知函数 f ( x) 1 ln x, g ( x) x 1 , 则 f [ g (x)] =______.
1
7．极限 limcos[(1 x)x ] =______. x0

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