2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理
2018版高考数学一轮复习第九章解析几何第3讲直线与圆圆与圆的位置关系理
第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 法一 (直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离 d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故选C. 法二 (数形结合法)画图可得，故选C.答案 C2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 满足的关系是( )A ．a 2＋2a ＋2b －3＝0B ．a 2＋b 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析 即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案 C4．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )． A ．－32B ．－3 C ．3 D ．3 2解析 易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2；圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a2＋b22， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)，∴a ＋b 的最大值为3 2.答案 D 5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 C1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点； 当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 答案 B6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )．解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与。
2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系课件文新人教A版20171013319
圆的切线：注意切线的条数． 过 点 (2,3) 作 圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 的 切 线 ， 则 切 线 方 程 为
5x－12y＋26＝0 或 x－2＝0 _________________________________ ．
解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为 x－2＝0. 当切线斜率存在时，设切线方程为 y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0， 由圆心到切线的距离等于半径得 5 解得 k＝ ， 12 5 所以切线方程为 y－3＝ (x－2)， 12 即 5x－12y＋26＝0. 综上可知，切线方程为 5x－12y＋26＝0 或 x－2 ＝0. |3－2 k| k ＋1
为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径 r＝3，圆心 |a＋1－a－1＋2a | |2a＋2| 到直线的距离 d＝ . 2 2 ＝ 2 a＋1 ＋a－1 2a ＋ 2
2 2 4 a ＋ 8 a ＋ 4 7 a －4a＋7 2 2 再根据 r －d ＝9－ ＝ ， 2a2＋2 a2 ＋1
(2)两种研究方法：
相交 相切 相离 相交 相切 相离
2 r2－d2
(3)圆的切线方程常用结论： ①过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y ＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程 为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切 点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
3 y＝± 3 (x＋1) _______________________．
(2)若直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2恰有一个公共点， 则 b 的取值范围是( D ) A．b∈(－1,1] B．b＝－ 2 C．b＝± 2 D．b∈(－1,1]或 b＝－ 2
最新-2018届高考数学一轮复习 直线、圆的位置关系课件 精品
考点二
圆的切线问题
已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的 截距相等，求直线l的方程； (2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．
[自主解答] (1)将圆 C 配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
解：当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，直线 OP⊥l，
∴直线 OP 的方程为 2x＋y＝0.
解方程组22xx＋－y4＝y＋0，3＝0， 得点 P 的坐标为(－130，35)．
若本例(2)中求|PM|的 最小值呢？
|PM|＝|PO|＝ －1302＋352＝3105.
求经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程． 解：将点(1，－7)代入x2＋y2得12＋(－7)2＝50>25，故点在 圆外，过圆外一点与圆相切的切线方程的求法有三种．
解析：圆心到直线 x－2y＋5＝0 的距离为 d＝ 15＋4＝ 5， 则弦|AB|＝2 8－5＝2 3.
答案：2 3
5．过点(－4，－8)作圆(x＋7)2＋(y＋8)2＝9的切线，则切线 的方程为__________．
解析：由于 －4＋72＋－8＋82＝3， ∴点(－4，－8)在圆上，从而切线方程为 x＝－4.
由点 C 到直线 AB 的距离公式： |－k22k＋－－6＋152|＝2，得 k＝34. k＝34时，直线 l 的方程为 3x－4y＋20＝0. 又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x＝0. ∴所求直线的方程为 3x－4y＋20＝0 或 x＝0.
法二：当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k， 则直线的方程为 y－5＝kx，即 y＝kx＋5， 联立直线与圆的方程yx＝2＋kyx2＋＋54，x－12y＋24＝0， 消去 y 得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0，① 设方程①的两根为 x1，x2，
2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系理
第九章 解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ³ ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( ³ )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( ³ )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )1．(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离答案 B解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2³1－2－5|22＋1＝5<6且2³1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016²全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1³a ＋4－1|1＋a2＝1，解之得a ＝－43. 3．(2016²西安模拟)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋ －12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．(2016²黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y－4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1 D.17答案 B解析 圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3,4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为 3－2 2＋ 4＋3 2－1－3＝52－4.5．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为________． 答案 94解析 由两圆外切可得圆心(a ，－2)，(－b ，－2)之间的距离等于两圆半径之和， 即(a ＋b )2＝(2＋1)2，即9＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ， 所以ab ≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab 的最大值是94.题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定(2)(2016²江西吉安月考)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案 (1)B (2)C解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ²0＋b ²0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．(2)直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2³1＋4³(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内．直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．答案 相切解析 由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a ＋b 2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan θ2＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切． 题型二 圆与圆的位置关系例2 (1)(2016²山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离(2)(2017²重庆调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________． 答案 (1)B (2)(－22，0)∪(0,22) 解析 (1)∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝ 1－0 2＋ 1－2 2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2.∴a∈(－22，0)∪(0,22)．思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切；(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，5－1 2＋ 6－3 2＝11＋61－m，解得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m－11＝5，解得m＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为2 11 2－ |4³1＋3³3－23|42＋322＝27.题型三直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题例3 (2016²全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________.答案 4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝23，|AB|＝23，所以|OM|＝3，解得m＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4.命题点2 直线与圆相交求参数范围例4 (2015²课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →²ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4 1＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →²ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k 1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(1)(2015²课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N两点，则|MN |等于( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10(2)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( ) A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 答案 (1)C (2)A解析 (1)由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)， 则AB →²BC →＝3³(－3)＋(－1)³(－9)＝0， 所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径， 得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26， 所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32， 故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.7．高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015²湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. (2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大． 此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan∠OPH ＝－33)． 答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015²重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)． ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2³0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.答案 (1)C (2)A1．(2017²广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 答案 C解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9.3．(2016²南昌二模)若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2 答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )． 化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.4．(2016²泰安模拟)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 答案 A解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．6．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△PAB 面积的最大值是( ) A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6 答案 C解析 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1. 由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y 2＝1， 即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322， 点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1， ∴△PAB 面积的最大值为12³22³32＋22＝3＋2，故选C. 7．(2016²全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.8．(2016²天津四校联考)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案 22解析 ∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l . ∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22. 9．(2015²山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →²PB →＝________.答案 32解析 由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →²PB →＝|PA →||PB →|²cos∠APB ＝3³3³cos 60°＝32. 10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，且M ∩N ≠∅，求a 的最大值和最小值．解 M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，即{(x ，y )|x 2＋y 2＝2a 2，y ≥0}，表示以原点O 为圆心，半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)． N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，表示以O ′(1，3)为圆心，半径等于a 的一个圆．再由M ∩N ≠∅，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切．当半圆和圆相外切时，由|OO ′|＝2＝2a ＋a ，求得a ＝22－2；当半圆和圆相内切时，由|OO ′|＝2＝2a －a ，求得a ＝22＋2，故a 的取值范围是[22－2,22＋2]，a 的最大值为22＋2，最小值为22－2.*13.(2016²湖南六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心C (a,0)(a >－52)， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1 ，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k ＋1，x 1x 2＝k 2－4k ＋1.若x轴平分∠ANB，则k AN＝－k BN⇒y1x1－t＋y2x2－t＝0⇒k x1－1x1－t＋k x2－1x2－t＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒2 k2－4k2＋1－2k2 t＋1k2＋1＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．。
最新-2018届高考数学第一轮复习考纲直线与圆的位置关系课件21 文 精品
则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋ 3)2＝7＋4 3，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－ 3)2＝7－4 3. 涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利
用数形结合求解，一般地： (1)形如 u＝yx－ －ba形式的最值问题，可转化为动直线斜率的
最值问题． (2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距
第4讲 直线与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1)几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判 断，设圆心到直线的距离为 d，圆半径为 r，若直线与圆相离， 则_d_>_r__；若直线与圆相切，则_d_＝__r _；若直线与圆相交，则_d_<_r__.
(2)代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数 来判断，即通过判别式来判断，若Δ>0，则_直__线__与__圆__相__交_；若Δ ＝0，则_直__线__与__圆__相__切____；若Δ<0，则直线与圆相离．
方法三：设入射光线方程为 y－3＝k(x＋3)， 反射光线所在的直线方程为 y＝－kx＋b， 由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切，
－3－ k 3k＝bk ∴|2k＋1＋2－k2b|＝1
，消去 b 得|51k＋＋5k2|＝1.
即 12k2＋25k＋12＝0，∴k1＝－43，k2＝－34. 则 l 的方程为 4x＋3y＋3＝0 或 3x＋4y－3＝0.
2．两圆的的位置关系 设两圆半径分别为 r1、r2，圆心距为 d. 若两圆相外离，则_d_>_R_＋__r__，公切线条数为_4__； 若两圆相外切，则_d_＝__R_＋__r_，公切线条数为_3__； 若两圆相交，则_R_－__r_<_d_<_R_＋__r_，公切线条数为_2__；
【K12教育学习资料】课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系
§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系考纲展示►1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考点1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：________、________、________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.答案：(1)相交相切相离(2)①相交相切相离②相交2r2－d2相切 相离(1)[教材习题改编]圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交过圆心D ．相离 答案：B解析：由题意知，圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________． 答案：x －3y ＋2＝0解析： 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上． 易知切线的斜率存在，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0， ∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33， ∴切线方程为y －3＝33(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点(2,3)作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为________． 答案：5x －12y ＋26＝0或x －2＝0解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x －2＝0. 当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心到切线的距离等于半径得|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以切线方程为y －3＝512(x －2)，即5x －12y ＋26＝0.综上可知，切线方程为5x －12y ＋26＝0或x －2＝0.[典题1] (1)[2017·湖北七市联考]将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 [答案] B[解析] 依题意得，直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．(2)[2017·陕西西安一模]直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[答案] B[解析] 解法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9， 故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3， 圆心到直线的距离d ＝a ＋－a －＋2a |a ＋2＋a －2＝|2a ＋2|2a 2＋2. 再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1， 而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0， 故有r 2＞d 2，即d ＜r ，故直线与圆相交． 解法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )， 整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．(3)已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. ①求证：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； ②求直线l 被圆C 截得的最短弦长． 解法一：①[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －2＋y ＋2＝12消去y ，得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． ②[解] 设直线与圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34；当t ≠0时，因为k ∈R ， 所以Δ＝16－4t (t －3)≥0， 解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.则直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.解法二：①[证明] 因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝r ，所以点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．②[解] 由平面几何知识知，过圆内定点P (0,1)的弦，只有与PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点， 由勾股定理知，|AB |＝212－5＝27， 即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.[点石成金] 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点2 切线、弦长问题[教材习题改编]过点P (1,0)的直线l 被圆O ：(x －1)2＋(y －1)2＝1截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．答案：1或－1解析：点P (1,0)在圆O 上，而圆O 的半径为1，由图(图略)可知直线l 的斜率为1或－1.1.圆的弦长问题：几何法．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________． 答案：2 3解析：由题意可知，圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|0＋3×0－2|12＋32＝1， 则|AB |＝222－12＝2 3.2．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法．过点P (－1,0)作圆(x －1)2＋y 2＝1的切线，则切线方程是________． 答案：y ＝±33(x ＋1) 解析：作出图形(图略)，可知过点P (－1,0)的圆的切线的倾斜角为30°或150°， 所以切线方程为y ＝±33(x ＋1).[典题2] (1)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则圆的半径 r ＝|a ＋1|， 圆心(a,0)到y ＝x ＋1的距离为|a ＋1|2，由截得的弦长为22，得|a ＋1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋2，解得a ＝－3，所以过圆心且与 l 平行的直线为 y －0＝x ＋3，即x －y ＋3＝0. (2)已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. ①求过点P 的圆C 的切线方程；②求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意，得圆心C (1,2)，半径r ＝2. ①∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22－1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. ②∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时， 直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝－2＋－2＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1. [点石成金] 1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .[提醒] 若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则过点M 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. [提醒] 代数法计算量较大，我们一般选用几何法.1.[2017·重庆调研]过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 答案：A解析：由题意，得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1,2)． 过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－－＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.2．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．答案：4解析：将圆的方程化为标准方程(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径为 5. 由题意可设切线方程为y ＝kx ，则圆心(3,4)到直线y ＝kx 的距离等于半径， 即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点P ，Q 的坐标分别为(4,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，由两点间的距离公式得|PQ |＝4.考点3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).12121212d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解(1)[教材习题改编]圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝4与圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________．答案：相交解析：两圆圆心分别为O 1(－2,0)，O 2(2,1)， 半径长分别为r 1＝2，r 2＝3. ∵|O 1O 2|＝[2－－2＋－2＝17，3－2<17<3＋2，∴两圆相交．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 答案：2 2解析：由 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2， 所以所求弦长为2 2.两圆相切：注意是内切还是外切．若两圆x 2＋y 2＝1与(x －a )2＋(y ＋a )2＝4(a >0)相切，则a ＝________.答案：22或322解析：两圆的圆心距为2a ，半径分别为r 1＝1，r 2＝2. 当两圆内切时， 2a ＝2－1＝1，得a ＝22； 当两圆外切时， 2a ＝2＋1＝3，得a ＝322.[典题3] 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94 D ．2 3[答案] C[解析] 由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.[题点发散1] 把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切，得a ＋b2＋－2＋2＝1.即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立， 故ab 的最大值为14.[题点发散2] 把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解：由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①，得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程．[题点发散3] 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离， 故a ＋b2＋－2＋2>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.∴圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离．[点石成金] 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案：B解析：两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．2．过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.[方法技巧] 1.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．3．当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． [易错防范] 1.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案：A解析：由已知可得，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A. 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10答案：C解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴ 圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴ |MN |＝46，故选C.3．[2015·重庆卷]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案：C解析：∵直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， ∴ 圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴ 2＋a －1＝0，∴ a ＝－1， ∴ A (－4，－1)． ∴ |AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴ |AB |2＝40－4＝36. ∴ |AB |＝6.4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案：4解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．答案：(x －1)2＋y 2＝2解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.课外拓展阅读 圆与线性规划的综合应用[典例] 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．[审题视角] 求解本题应先画出点P 所在的平面区域，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ |的最小值．[解析] 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示．由题意，得|PQ |的最小值为圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离为 |0－－＋1|12＋22＝5，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内， 故|PQ |的最小值为5－1. [答案] 5－1方法点睛本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题．。
高考数学一轮复习第九章解析几何第三节直线与圆圆与圆的位置关系实用课件理20180529338
本节主要包括2个知识点： 1.直线与圆的位置关系； 2.圆与圆的位置关系.
01
突破点(一) 直线与圆的位置关系
02
突破点(二) 圆与圆的位置关系
03
全国卷5年真题集中演练——明规律
04
课时达标检测
01 突破点(一) 直线与圆的位置关系
自学区 抓牢双基· 完成情况
(2)∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2<r2.圆x2＋y2＝r2
的圆心为O(0,0)，故由题意得OP⊥m.又kOP＝
b a
，∴km＝－
a b
，
∵直线l的斜率为kl＝－
a b
＝km，圆心O到直线l的距离d＝
a2r＋2 b2>rr2＝r，∴m∥l，且l与圆相离．故选C. [答案] (1)D (2)C
－6＝0的距离为d＝
|3－2－6| 32＋－12
＝
210，由
|AB|
2
2＝r2－d2，得
|AB|2＝45－52＝10，即|AB|＝ 10.
答案： 10
(4)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的切线，则切线长为 ________． 解析：将圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，设切 点为A，圆心为B，则|OB|＝5，由题意知|OB|2＝|BA|2＋ |OA|2，即25＝5＋|OA|2，∴|OA|＝2 5，即切线长为2 5.
答案：2 5
讲练区 研透高考· 完成情况
[全析考法]
直线与圆的位置关系问题
判断直线与圆位置关系的方法
(1)明确圆心的坐标和半径，将直线方程化为一般 几 式； 何 (2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 法 d；
课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理20171014
§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系考纲展示►1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考点1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：________、________、________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.答案：(1)相交相切相离(2)①相交相切相离②相交2r2－d2相切相离(1)[教材习题改编]圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交过圆心D ．相离 答案：B解析：由题意知，圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________． 答案：x －3y ＋2＝0解析： 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上． 易知切线的斜率存在，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0， ∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33， ∴切线方程为y －3＝33(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点(2,3)作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为________． 答案：5x －12y ＋26＝0或x －2＝0解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x －2＝0. 当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心到切线的距离等于半径得|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以切线方程为y －3＝512(x －2)，即5x －12y ＋26＝0.综上可知，切线方程为5x －12y ＋26＝0或x －2＝0.[典题1] (1)[2017·湖北七市联考]将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 [答案] B[解析] 依题意得，直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．(2)[2017·陕西西安一模]直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[答案] B[解析] 解法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9， 故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|a ＋1－a －1＋2a |a ＋12＋a －12＝|2a ＋2|2a 2＋2 . 再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1， 而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0， 故有r 2＞d 2，即d ＜r ，故直线与圆相交． 解法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )， 整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．(3)已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. ①求证：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；②求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解法一：①[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －12＋y ＋12＝12消去y ，得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． ②[解] 设直线与圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34；当t ≠0时，因为k ∈R ， 所以Δ＝16－4t (t －3)≥0， 解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.则直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.解法二：①[证明] 因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝r ，所以点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．②[解] 由平面几何知识知，过圆内定点P (0,1)的弦，只有与PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点， 由勾股定理知，|AB |＝212－5＝27， 即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.[点石成金] 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点2 切线、弦长问题[教材习题改编]过点P (1,0)的直线l 被圆O ：(x －1)2＋(y －1)2＝1截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．答案：1或－1解析：点P (1,0)在圆O 上，而圆O 的半径为1，由图(图略)可知直线l 的斜率为1或－1.1.圆的弦长问题：几何法．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________． 答案：2 3解析：由题意可知，圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|0＋3×0－2|12＋32＝1， 则|AB |＝222－12＝2 3.2．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法．过点P (－1,0)作圆(x －1)2＋y 2＝1的切线，则切线方程是________． 答案：y ＝±33(x ＋1) 解析：作出图形(图略)，可知过点P (－1,0)的圆的切线的倾斜角为30°或150°， 所以切线方程为y ＝±33(x ＋1).[典题2] (1)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则圆的半径 r ＝|a ＋1|， 圆心(a,0)到y ＝x ＋1的距离为|a ＋1|2，由截得的弦长为22，得|a ＋1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋2，解得a ＝－3，所以过圆心且与 l 平行的直线为 y －0＝x ＋3，即x －y ＋3＝0. (2)已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. ①求过点P 的圆C 的切线方程；②求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意，得圆心C (1,2)，半径r ＝2. ①∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22－1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. ②∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时， 直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝3－12＋1－22＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1. [点石成金] 1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .[提醒] 若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则过点M 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. [提醒] 代数法计算量较大，我们一般选用几何法.1.[2017·重庆调研]过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 答案：A解析：由题意，得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1,2)． 过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－－1＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.2．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．答案：4解析：将圆的方程化为标准方程(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径为 5. 由题意可设切线方程为y ＝kx ，则圆心(3,4)到直线y ＝kx 的距离等于半径， 即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112， 则切线方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点P ，Q 的坐标分别为(4,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，由两点间的距离公式得|PQ |＝4.考点3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离 ________________ ________________ 外切 ________________ ________________ 相交 ________________ ________________ 内切 ____________ ____________ 内含________________________答案：d >r 1＋r 2 无解 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解(1)[教材习题改编]圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝4与圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________．答案：相交解析：两圆圆心分别为O 1(－2,0)，O 2(2,1)， 半径长分别为r 1＝2，r 2＝3. ∵|O 1O 2|＝[2－－2]2＋1－02＝17，3－2<17<3＋2，∴两圆相交．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 答案：2 2解析：由 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2， 所以所求弦长为2 2.两圆相切：注意是内切还是外切．若两圆x 2＋y 2＝1与(x －a )2＋(y ＋a )2＝4(a >0)相切，则a ＝________. 答案：22或322解析：两圆的圆心距为2a ，半径分别为r 1＝1，r 2＝2.当两圆内切时， 2a ＝2－1＝1，得a ＝22； 当两圆外切时， 2a ＝2＋1＝3，得a ＝322.[典题3] 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94 D ．2 3[答案] C[解析] 由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋22＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.[题点发散1] 把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切，得a ＋b2＋－2＋22＝1.即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 当且仅当a ＝b 时等号成立， 故ab 的最大值为14.[题点发散2] 把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解：由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①，得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程．[题点发散3] 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离， 故a ＋b2＋－2＋22>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.∴圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离．[点石成金] 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案：B解析：两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．2．过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.[方法技巧] 1.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．3．当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． [易错防范] 1.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案：A解析：由已知可得，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10答案：C解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴ 圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴ |MN |＝46，故选C.3．[2015·重庆卷]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案：C解析：∵直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， ∴ 圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴ 2＋a －1＝0，∴ a ＝－1， ∴ A (－4，－1)． ∴ |AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴ |AB |2＝40－4＝36. ∴ |AB |＝6.4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案：4解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．答案：(x －1)2＋y 2＝2解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.课外拓展阅读 圆与线性规划的综合应用[典例] 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．[审题视角] 求解本题应先画出点P 所在的平面区域，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ |的最小值．[解析] 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示．由题意，得|PQ |的最小值为圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离为 |0－2×－1＋1|12＋22＝5， 此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内， 故|PQ |的最小值为5－1. [答案] 5－1方法点睛本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题．。
教育最新K12课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆圆与圆的位置关系学案理
§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系考纲展示►1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．考点1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：________、________、________.(2)两种研究方法：(3)圆的切线方程常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.答案：(1)相交相切相离(2)①相交相切相离②相交2r2－d2相切 相离(1)[教材习题改编]圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交过圆心D ．相离 答案：B解析：由题意知，圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________． 答案：x －3y ＋2＝0解析： 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上． 易知切线的斜率存在，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0， ∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33， ∴切线方程为y －3＝33(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.圆的切线：注意切线的条数．过点(2,3)作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为________． 答案：5x －12y ＋26＝0或x －2＝0解析：当切线斜率不存在时，可得切线方程为x －2＝0. 当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)， 即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心到切线的距离等于半径得|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以切线方程为y －3＝512(x －2)，即5x －12y ＋26＝0.综上可知，切线方程为5x －12y ＋26＝0或x －2＝0.[典题1] (1)[2017·湖北七市联考]将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 [答案] B[解析] 依题意得，直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，因此该直线与圆相切．(2)[2017·陕西西安一模]直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[答案] B[解析] 解法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9， 故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3， 圆心到直线的距离d ＝a ＋－a －＋2a |a ＋2＋a －2＝|2a ＋2|2a 2＋2. 再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1， 而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0， 故有r 2＞d 2，即d ＜r ，故直线与圆相交． 解法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )， 整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．(3)已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. ①求证：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； ②求直线l 被圆C 截得的最短弦长． 解法一：①[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －2＋y ＋2＝12消去y ，得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． ②[解] 设直线与圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k21＋k2＝2 11－4k ＋31＋k2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34；当t ≠0时，因为k ∈R ， 所以Δ＝16－4t (t －3)≥0， 解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.则直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.解法二：①[证明] 因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝r ，所以点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．②[解] 由平面几何知识知，过圆内定点P (0,1)的弦，只有与PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点， 由勾股定理知，|AB |＝212－5＝27， 即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.[点石成金] 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．考点2 切线、弦长问题[教材习题改编]过点P (1,0)的直线l 被圆O ：(x －1)2＋(y －1)2＝1截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．答案：1或－1解析：点P (1,0)在圆O 上，而圆O 的半径为1，由图(图略)可知直线l 的斜率为1或－1.1.圆的弦长问题：几何法．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________． 答案：2 3解析：由题意可知，圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为|0＋3×0－2|12＋32＝1， 则|AB |＝222－12＝2 3.2．圆的切线方程问题：代数法或数形结合法．过点P (－1,0)作圆(x －1)2＋y 2＝1的切线，则切线方程是________． 答案：y ＝±33(x ＋1) 解析：作出图形(图略)，可知过点P (－1,0)的圆的切线的倾斜角为30°或150°， 所以切线方程为y ＝±33(x ＋1).[典题2] (1)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在 x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 平行的直线方程为________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则圆的半径 r ＝|a ＋1|， 圆心(a,0)到y ＝x ＋1的距离为|a ＋1|2，由截得的弦长为22，得|a ＋1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋2，解得a ＝－3，所以过圆心且与 l 平行的直线为 y －0＝x ＋3，即x －y ＋3＝0. (2)已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. ①求过点P 的圆C 的切线方程；②求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意，得圆心C (1,2)，半径r ＝2. ①∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22－1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0. ②∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时， 直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝－2＋－2＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1. [点石成金] 1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .[提醒] 若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则过点M 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. [提醒] 代数法计算量较大，我们一般选用几何法.1.[2017·重庆调研]过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 答案：A解析：由题意，得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1,2)． 过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－－＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.2．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．答案：4解析：将圆的方程化为标准方程(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径为 5. 由题意可设切线方程为y ＝kx ，则圆心(3,4)到直线y ＝kx 的距离等于半径， 即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点P ，Q 的坐标分别为(4,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，由两点间的距离公式得|PQ |＝4.考点3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).12121212d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解(1)[教材习题改编]圆O 1：(x ＋2)2＋y 2＝4与圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________．答案：相交解析：两圆圆心分别为O 1(－2,0)，O 2(2,1)， 半径长分别为r 1＝2，r 2＝3. ∵|O 1O 2|＝[2－－2＋－2＝17，3－2<17<3＋2，∴两圆相交．(2)[教材习题改编]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 答案：2 2解析：由 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2， 所以所求弦长为2 2.两圆相切：注意是内切还是外切．若两圆x 2＋y 2＝1与(x －a )2＋(y ＋a )2＝4(a >0)相切，则a ＝________.答案：22或322解析：两圆的圆心距为2a ，半径分别为r 1＝1，r 2＝2. 当两圆内切时， 2a ＝2－1＝1，得a ＝22； 当两圆外切时， 2a ＝2＋1＝3，得a ＝322.[典题3] 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94 D ．2 3[答案] C[解析] 由圆C 1与圆C 2相外切，可得a ＋b2＋－2＋2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本(均值)不等式可知，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C.[题点发散1] 把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切，得a ＋b2＋－2＋2＝1.即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立， 故ab 的最大值为14.[题点发散2] 把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． 解：由题意得，把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0，② 由②－①，得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程．[题点发散3] 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1的位置关系．解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离， 故a ＋b2＋－2＋2>3.∴(a ＋b )2>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3.∴圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|2>1，∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝1相离．[点石成金] 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 答案：B解析：两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．2．过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点的圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.[方法技巧] 1.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．3．当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． [易错防范] 1.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案：A解析：由已知可得，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A. 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10答案：C解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴ 圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴ |MN |＝46，故选C.3．[2015·重庆卷]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案：C解析：∵直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， ∴ 圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上， ∴ 2＋a －1＝0，∴ a ＝－1， ∴ A (－4，－1)． ∴ |AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴ |AB |2＝40－4＝36. ∴ |AB |＝6.4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.答案：4解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．答案：(x －1)2＋y 2＝2解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.课外拓展阅读 圆与线性规划的综合应用[典例] 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．[审题视角] 求解本题应先画出点P 所在的平面区域，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ |的最小值．[解析] 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如图所示．由题意，得|PQ |的最小值为圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离为 |0－－＋1|12＋22＝5，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内， 故|PQ |的最小值为5－1. [答案] 5－1方法点睛本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性，实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题．。
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第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 解析 法一 (直接法)集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故选C. 法二 (数形结合法)画图可得，故选C. 答案 C2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案 C3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 满足的关系是( ) A ．a 2＋2a ＋2b －3＝0 B ．a 2＋b 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析 即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心， 两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0， 将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案 C4．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )． A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2解析 易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2； 圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)，∴a ＋b 的最大值为3 2. 答案 D5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 C1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点； 当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 答案 B6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )．解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O .设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处位置为点M ′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A 在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A 在第三象限为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧的长为l 1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l 2＝2θ×1＝2θ，则l 1＝l 2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M 1与点M ′重合．即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动．点A 在其他象限类似可得，故M ，N 的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A 符合．故选A. 答案 A 二、填空题7．直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．解析 由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝22＝ 2.设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.答案 2 28．设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅，∴m 2≥m 2.∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |，∴2－22≤m ≤2＋ 2.又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2.当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋29．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3， ∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13.答案 (－13,13) 三、解答题11．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12．已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)． (1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．解 (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0， 即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2， 得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a －2)(b －2)＝2得ab ＋2＝2(a ＋b )≥4ab ， 解得ab ≥2＋2(舍去ab ≤2－2)， 当且仅当a ＝b 时，ab 取最小值6＋42， 所以△AOB 面积的最小值是3＋2 2.13．设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0. (1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围； (2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 解 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5， ∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5. (1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P (0，b )，∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必须且只需点P 在圆M 的内部，即|MP |<5，即1＋b 2<5，∴－2<b <2，即b 的取值范围是(－2,2)．(2)当l 过圆心M 时，|AB |的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，此时|MP |最大，|AB |的值最小，|MP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k ＋1k≤1＋22k ·1k＝2，当且仅当k ＝1时取等号．最小值为2r 2－|MP |2＝25－2＝2 3.14．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． (1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1， 则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9.设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。