高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程练习含解析新人教B版选修

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程
练习含解析新人教B版选修
课时过关·能力提升
1.抛物线y2=12x的焦点坐标是()
A.(12,0)
B.(6,0)
C.(3,0)
D.(0,3)
答案:C
2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是()
A.y2=4
3x B.y2=9
2
x
C.y2=−4
3
x D.y2=4x
答案:B
3.抛物线y2=4
3
x的准线方程是()
A.x=1
3B.x=2
3
C.x=−2
3D.x=−1
3
答案:D
4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为()
A.(x-1)2+y2=64
25B.x2+(y-1)2=64
25
C.(x-1)2+y2=1
D.x2+(y-1)2=1
答案:C
5.设点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于()
A.3
B.6
C.9
D.12
解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x知x
2
=4.由抛物线定义知l=h,又
l=d+x
2,故d=l−x
2
=x−x
2
=10-4=6.
答案:B
6.设定点x(3,10
3
)与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为()
A.(0,0)
B.(1,√2)
C.(2,2)
D.(1
8,-1
2
)
解析:连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2的最小值是|MF|,当且仅当M,P,F三点共线时,等
号成立,而直线MF的方程为y=4
3(x-1
2
),与y2=2x联立求得x=2,y=2;x=1
8
,y=−1
2
(舍去),此时,点P
的坐标为(2,2).
答案:C
7.动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为 . 答案:y 2
=8x
8.抛物线x=2y 2
的焦点坐标是 . 答案:(1
8,0)
9.已知y 2
=2px (p>0),求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为直线3x+4y-12=0与x 轴的交点; (2)焦点到直线x=-5的距离是8.
解:(1)直线与x 轴的交点为(4,0),则x
2
=4,∴p=8,
∴方程为y 2=16x.
(2)焦点在x 轴上,设为(x 2
,0),∴x
2
+5=8,
解得x
2=3,则其焦点为(3,0),
∴p=6,故方程为y 2=12x 或y 2=-52x.
★10.
如图,已知直线AB 是抛物线y 2
=2px (p>0)的焦点弦,F 是抛物线的焦点,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),求证: (1)y 1y 2=-p 2
,x 1x 2=x 24
;
(2)|AB|=x 1+x 2+p =
2x sin 2x
(θ为直线AB 的倾斜角);
(3)1
|xx |+1
|xx |为定值.
分析:设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.
证明:(1)由已知,得焦点F (x
2,0),
当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=k (x -x
2)(k ≠0),
由{
x =x (x -x
2),x 2
=2xx ,
消去x ,得ky 2
-2py-kp 2=0.
①
由一元二次方程根与系数的关系,得y 1y 2=-p 2
,y 1+y 2=2x
x .又由y=k (x -x 2),得x=1x y+x
2,故
x 1x 2=(1x x 1+x 2)(1x x 2+x 2)=1x 2y 1y 2+x
2x (y 1+y 2)+
x 24
=1
x 2(-p 2
)+x 2x ·
2x
x
+
x 24
=
-x 2
x 2
+x 2x 2+
x 24
=
x 24
.
当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为x=x
2,则y 1=p ,y 2=-p ,则y 1y 2=-p 2
,
x 1x 2=x 122x ·x 2
2
2x
=
(x 1x 2)2
4x 2
=
x 24
.
综上,y 1y 2=-p 2
,x 1x 2=
x 24
.
(2)当直线AB 的斜率存在时,由抛物线的定义知,
|AF|=x 1+x 2,|BF|=x 2+x
2, ∴|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+p.
②
又y=k (x -x
2)(k ≠0),∴x=1
x y+x
2
,
∴x 1+x 2=1x (y 1+y 2)+p.由①知y 1+y 2=2x
x ,
∴x 1+x 2=2x
x 2+p ,代入②得|AB|=2x
x 2+2p=2p (1+1
x 2)=2p (1+1
tan 2x )=2x
sin 2x .
当直线AB 的斜率不存在,即θ=π
2
时,A (x 2
,x ),B (x 2
,-x ),|AB|=2p=x 2
+x 2
+p=
2x sin 2
π
2
.
综上,|AB|=x 1+x 2+p=2x sin 2x
.
(3)
1|xx |
+
1|xx |
=
1
x 1+x
2
+
1
x 2+x
2
=
x 1+x 2+x x 1x 2+x
2(x 1+x 2)+
x 24
,
将x 1x 2=x 24
,x 1+x 2=|AB|-p ,
代入上式,得
1|xx |
+
1|xx |
=|xx |x 2
4
+x
2
(|xx |-x )+
x 24
=2
x
.
故1
|xx |+1
|xx |为定值2
x .。