2018-2019学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量优质课件 北
数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量教案 北师大版选修2 1 教案
从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力. 四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计2.学案导学（学案详见附1）知识要点：(1)空间向量的有关概念空间向量的概念及表示自由向量向量的模(或长度)④向量a,b的夹角、X围及垂直与平行(共线)⑤单位向量⑥零向量⑦相等向量⑧相反向量⑨共面向量(2)向量、直线、平面激励主动学习，培养自主探究能力.(1)对于让学生感受到维度改变(平面到空间)对概念产生的影响，培养类比的意识；对于④⑤⑥⑦⑧让学生感受直接由平面向量类比得到空间向量的相关概念所得到的成就感；对于⑦结合数量适时引出“向量不能比较大小”的结论；对于④直线l的方向向量平面α的法向量适时回顾区分向量与异面直线的夹角概念的区别,对于⑦引出“空间任何两个向量都共面”的结论.(2)对于直线的方向向量与平面的法向量主要由教师随后引导完成概念教学.5.教师引导性讲解向量、直线、平面直线l的方向向量平面 的法向量借助多媒体向同学引入直线的方向向量和平面的法向量的概念，并且完成问题(7)(8).八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.。
第2章空间向量与立体几何知识点清单-高二下学期数学湘教版选择性
新教材湘教版2019版数学选择性必修第二册第2章知识点清单目录第2章空间向量与立体几何2. 1 空间直角坐标系2. 2 空间向量及其运算2. 3 空间向量基本定理及坐标表示2. 4 空间向量在立体几何中的应用第2章空间向量与立体几何2. 1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz.2. 相关概念：在空间直角坐标系O-xyz中，点O叫坐标原点，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.二、空间点的坐标表示1. 空间直角坐标系点的坐标的概念在空间直角坐标系O-xyz中，若点P与有序实数组(x，y，z)之间为一一对应关系，此时，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标.2. 特殊点的坐标在空间直角坐标系中，原点O的坐标为(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y 轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z). 记忆方法：无谁谁为0.三、空间两点间的距离公式1. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.2. 特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|=√x2+y2+z2.3. 线段中点坐标公式已知空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为(x1+x22，y1+y22，z1+z22).4. 三角形重心坐标公式已知△ABC的三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为(x1+x2+x33，y1+y2+y33，z1+z2+z33).5. 空间中的对称问题在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有如下结论：(1)点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)；(2)点P关于横轴(x轴)对称的点是P2(x，-y，-z)；(3)点P关于纵轴(y轴)对称的点是P3(-x，y，-z)；(4)点P关于竖轴(z轴)对称的点是P4(-x，-y，z)；(5)点P关于xOy平面对称的点是P5(x，y，-z)；(6)点P关于yOz平面对称的点是P6(-x，y，z)；(7)点P关于xOz平面对称的点是P7(x，-y，z).记忆方法：关于谁对称谁不变，其余坐标变为相反数.四、空间直角坐标系点的坐标的确定1. 建立空间直角坐标系应遵循的原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性；(3)充分利用图中已有的垂直关系.2. 确定空间中点的坐标的方法(1)垂面法：找到点P在三条坐标轴上的射影. 方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A，B，C三点(A，B，C即为点P在三条坐标轴上的投影)，点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则(x，y，z)就是点P的坐标.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度(2)垂线法：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1，由P1P及其方向确定竖坐标z，再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z).五、空间两点间的距离公式的应用1. 计算空间两点间的距离(1)若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式求解.(2)若点的坐标未知，则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系求出点的坐标，再代入空间两点间的距离公式求解.2. 利用空间两点间的距离公式确定点的坐标设出点的坐标，利用空间两点间的距离公式构造方程求解. 此外，要注意点的坐标的巧设，如在x轴上的点的坐标可设为(x，0，0)，在xOy平面上的点的坐标可设为(x，y，0).3. 根据两点间的距离公式可求出三角形的三边长，从而判断三角形的形状.2. 2 空间向量及其运算一、空间向量的基本概念1. 空间向量的基本概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量.(2)向量的模：空间向量a 的大小(或长度)称为a 的模，记为|a |.(3)表示：从空间中任意一点A 出发作有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，使AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与a 相同，长度与|a | 相等，则有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量a ，记作a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 通常把A 称为向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点，B 称为向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的终点. 2. 几类特殊的空间向量 名称定义 零向量长度为0的向量 相等向量方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量二、空间向量的加减法1. 空间向量的加减法法则平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立.(1)对于空间任意两个向量a ，b ，在平面α内任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则a +b =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a -b =BA⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)对于空间三个或更多的向量的求和，与平面内多个向量的加法类似，可将它们依次用首尾相接的折线来表示，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量即为这些向量的和向量.2. 空间向量的加法运算律(1)加法交换律：a +b =b +a .(2)加法结合律：(a +b )+c =a +(b +c ).三、向量与实数相乘1. 向量与实数相乘的定义：任何一个向量a 都可看作某平面上的向量，它与实数λ相 乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa |=|λ||a |.当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反.空间向量的加法、减法、数乘三种运算统称为空间向量的线性运算.2. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a ，可得到与它方向相同的唯一单位向量e =1|a|a . 3. 共线向量：对于空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，若b =λa ，其中λ为实数，则b 与a 共线或平行，记作b ∥a .4. 零向量与任意向量共线.5. 空间向量与实数的乘法的运算律(1)对向量加法的分配律：λ(a +b )=λa +λb .(2)对实数加法的分配律：(λ1+λ2)a =λ1a +λ2a .四、向量的数量积1. 向量的夹角：作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作<a ，b >，其取值范围为[0，π]. 两向量同向时，夹角为0；两向量反向时，夹角为π.2. 向量的数量积：定义a·b =|a ||b |·cos<a ，b >为a 与b 的数量积.3. 零向量与任意向量的数量积为0，即0·a =0.4. 向量数量积的性质(1)向量垂直的关系式： a ⊥b ⇔a ·b =0.注：零向量与任意向量垂直.(2)模长公式：a·a =|a |2=a 2，|a |=√a 2 .(3)夹角公式：若a ，b 均为非零向量，则cos<a ，b >=a⋅b |a||b|.5. 向量数量积的运算律(1)(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(λ∈R).(2)交换律：a·b =b·a .(3)分配律：a ·(b +c )=a·b +a·c .6. 向量数量积的几何意义(1)投影向量与投影长：如图，将空间任意两个向量a ，b 平移到同一个平面内，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，<a ，b >=α，过点B 作BB 1⊥OA，垂足为点B 1，则OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为OB⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量，投影向量的模|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||cos α|称为投影长， 称|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos α为OB⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影.(2)数量积的几何意义：a 与b 的数量积等于a 的模|a |与b 在a 方向上的投影|b |·cos α的乘积，也等于b 的模|b |与a 在b 方向上的投影|a |cos α的乘积.五、空间向量的三角不等式1. 如果a ，b 都是空间向量，那么||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.六、空间向量的线性表示1. 空间向量的线性表示的步骤(1)在空间中选三条不在同一个平面内的向量；(2)利用向量的线性运算表示空间中的其他向量.七、利用数量积求距离问题1. 求解两点间距离问题时，转化为求以两点为端点的有向线段表示的向量的模的问题，然后将此向量表示为已知的几个向量和或差的形式，求出已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|=√a⋅a(推广公式：|a±b|=√(a±b)2=√a2±2a⋅b+b2)求解即可.八、利用数量积求解夹角问题1. 求空间两个向量的夹角的方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；求cos<a，b>，最后确定<a，b>.(2)先求a·b，再利用公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|2. 求两条异面直线所成的角的步骤(1)根据题设条件在两条异面直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值；(4)由于异面直线所成的角为锐角或直角，因此向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成的角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的大小.九、利用数量积证明两直线垂直1. 由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的非零向量，然后证明这两个向量的数量积为0即可.2. 用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题.2. 3 空间向量基本定理及坐标表示一、共面向量1. 共面向量的概念：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.2. 平面向量基本定理：如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=x e1+y e2.3. 相关结论：在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面.二、空间向量的基本定理1. 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p=x e1+y e2+z e3，此表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=x e1+y e2+z e3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'.2. 我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量，(x，y，z)称为向量p=x e1+y e2+z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标.三、空间向量的直角坐标表示1. 标准正交基：空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基.2. 向量的坐标：空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p=x i+y j+z k，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p=(x，y，z).3. 与向量坐标有关的结论：一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标.四、空间向量运算的坐标表示1. 空间向量的坐标运算法则设a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).设a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).四、拓展1. 四点共面的充要条件空间中任一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)， 使MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，或对空间中任一点O ，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x-y)·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ).2. 定比分点坐标公式已知A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)两点，点M 在直线AB 上，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R 且λ≠-1)则称点M 为有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的定比分点，其坐标为(x 1+λx 21+λ，y 1+λy 21+λ，z 1+λz 21+λ). 五、利用基向量解决几何问题1. 用基向量表示向量的步骤(1)定基向量：若未给定基向量，则应根据已知条件，确定三个不共面的向量作为空间的基向量.(2)找目标：用已给定或确定好的基向量表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量及向量的相关运算进行变形、化简.(3)下结论：将变形、化简后的目标向量进行整理，得到最终结果. 注意此结果中只能含有基向量，不能含有其他形式的向量.六、空间向量平行与垂直的坐标表示的应用1. 利用空间向量的坐标运算判断向量平行、垂直借助向量的坐标，可将向量的平行与垂直问题代数化，即借助代数运算达到判断向量平行或垂直的目的. 求解此类问题要抓住两个核心关系式：(1) a∥b (a ≠0)⇔x 2=λx 1，y 2=λy 1，z 2=λz 1，λ∈R；(2) a⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0. 其中，a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).2. 由平行、垂直求参数的值利用平行、垂直关系和上述的两个核心关系式列出方程，即可求出参数的值.3. 利用空间向量的坐标运算证明线线平行或垂直(1)在两直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)利用向量的坐标运算判断两向量的平行或垂直关系；(3)若两向量平行，且两直线不重合，则两直线平行；若两向量垂直，则两直线垂直.七、利用空间向量的坐标运算求夹角和线段的长1. 利用空间向量的坐标运算求夹角和线段长的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用题设条件写出相关点的坐标，进而得相关向量的坐标；(3)利用空间向量的模长公式与夹角公式求解.2. 4 空间向量在立体几何中的应用2. 4. 1 空间直线的方向向量和平面的法向量2. 4. 2 空间线面位置关系的判定一、空间直线的方向向量和平面的法向量1. 位置向量：在空间中，取一定点O 作为原点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示， OP⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的位置向量. 2. 直线的方向向量：一般地，如果非零向量v 与直线l 平行，就称v 为l 的方向向量.由此可知，在直线l 上任取两点A ，B ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (或BA⃗⃗⃗⃗⃗ )就是直线l 的方向向量. 3. 平面的法向量：如果非零向量n 所在直线与平面α垂直，则称n 为平面α的法向量.二、空间线面位置关系的判定1. 设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1=(x 1，y 1，z 1)，v 2=(x 2，y 2，z 2)，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1=(a 1，b 1，c 1)，n 2=(a 2，b 2，c 2)，则三、三垂线定理及其逆定理1. 点在平面内的射影：过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影.2. 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直. 可简记为：垂直于射影，则垂直于斜线.3. 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直. 可简记为：垂直于斜线，则垂直于射影.四、利用空间向量证明垂直关系1. 利用向量法证明线线垂直的两种思路(1)坐标法：建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示出来，再证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的线性运算，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，再利用数量积运算证明两方向向量的数量积为0.2. 利用向量法证明线面垂直的两种思路(1)求平面的法向量，然后证明直线的方向向量与平面的法向量平行.(2)证明直线与平面内不共线的两直线分别垂直，线线垂直则利用向量法证得.3. 利用向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明一个平面过另一个平面的垂线，其实质是转化为利用向量法证明线线垂直.(2)证明两个平面的法向量互相垂直.五、利用空间向量证明平行关系1. 利用向量法证明线线平行的两种思路(1)建立空间直角坐标系，利用向量平行的坐标表示证明两直线的方向向量平行.(2)用空间的一组基表示两直线的方向向量，通过向量的线性运算，结合向量共线的充要条件证明两直线的方向向量平行.2. 利用向量法证明线面平行的三种思路(1)设平面α外的直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，要证明l∥α，只需证明v⊥n，即v·n=0即可.(2)根据线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行，证明线线平行则可转化为证明两直线的方向向量平行.(3)根据平面向量基本定理，要证线面平行，则只需证明这条直线的方向向量能够用平面内的两个不共线的向量线性表示即可.3. 利用向量法证明面面平行的两种思路(1)先分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行.(2)证明一个平面内有两个不共线的向量平行于另一个平面，转化为线面平行问题.六、利用空间向量解决立体几何中的探索性问题1. 解决探索性问题的基本方法(1)对于存在型问题，应先假设存在，把要成立的结论当作已知条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“是否有解”或“是否有规定范围内的解”的问题.(2)对于位置探究型问题，通常是借助向量，引入参数，综合已知条件和结论列方程或方程组，解出参数，从而确定位置.2. 4. 3 向量与夹角 2. 4. 4 向量与距离一、向量与夹角(1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平面所成的角. 两个平面平行时，它们所成的角为0.二、向量与距离三、利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角时，要注意空间角的范围与向量夹角的范围的区别.1. 两异面直线所成角的向量求法(1)基向量法：在一些不容易建立空间直角坐标系的题中，我们经常用基向量法求解. 求向量v1，v2的夹角时，先把v1，v2用同一组基向量表示出来，再利用向量的夹角公式求解.(2)坐标法：找出或作两条异面直线的方向向量，再利用向量夹角的坐标公式计算两直线的方向向量的夹角.2. 直线与平面所成角的向量求法法向量法：利用直线的方向向量和平面的法向量求直线与平面所成的角.3. 求二面角的两种方法(1)基向量法：在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线，利用向量的线性运算法则对两条直线的方向向量进行转化，求出两方向向量的夹角，进而求得二面角的大小.(2)法向量法：找出或作两个半平面的法向量，应用向量的夹角公式求解.四、利用空间向量求空间距离1. 用向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，过已知点作直线的垂线段，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法.(2)直接套用点线距公式求解.2. 用向量法求点面距的步骤(1)求出平面的一个法向量；(2)找出从已知点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离.3. 用向量法求线线距、线面距、面面距(1)求线面距、面面距都可转化为求点面距，求两直线间的距离可转化为求一条直线上任一点到另一条直线的距离；(2)求线线距、线面距、面面距的前提分别是线线、线面、面面平行.五、利用空间向理解决与夹角、距离有关的探索性问题1. 利用空间向量解决与夹角、距离有关的探索性问题的解题步骤(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标；(3)得到有关向量的坐标；(4)利用空间角、空间距离的计算公式列关系式求解；(5)根据解的情况做出判断.。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量及其运算教案 北师大版选修2-1-北师大版高二
空间向量及其运算【教学目标】1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积【知识梳理】复习：平面向量有加减以及数乘向量运算1. 空间向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2.空间向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝.(2)当λ＞0时，λa 与a. ；当λ＜0时，λa 与a. ；当λ＝0时，λa ＝.(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a ， b (b ≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .3. 空间向量加法和数乘向量，以下运算律仍然成立：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 数乘交换律: λa=a λ加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘结合律：a a )()(λμμλ=数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb a a a μλμλ+=+)(小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例3三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.追踪训练1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c 5．3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝04.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.。
北师大版数学高二-高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(21OB OA OP +=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15B ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=(+λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)
一、选择题1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512D ．7122．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．105C ．155D ．2153．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD B λ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1313B ．21313C ．2613D ．226135．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．()0,63D ．()63,+∞6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，AMB ∠=（ ）A ．512π B ．3πC ．4π D ．6π 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B 2C ．223λD 258．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个 ①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等；③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A ．3λB ．22C ．23λ D ．5510．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>11．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ） A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--12．已知a =（λ+1，0，6），b =（2λ+1，2μ﹣1，2）．若//a b ，则λ与μ的值分别为（ ） A ．﹣5，﹣2B ．1152--，C ．5，2D ．2152-，二、填空题13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =A 到平面11BD A的距离为_______ .14．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为______．15．在空间四边形ABCD 中，E F 、分别是AB CD 、中点，且5,EF =又6,8AD BC ==，则AD 与BC 所成角的大小为____________.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,E 为1AB 的中点,在面ABCD 中取一点F ,使1EF FC +最小,则最小值为__________.17．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形； ⑤当1CQ =时，S 618．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，且(1,2,5)m =-，(3,6,)n z =-，则z =__________.19．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，面11A ADD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AD =，3CD =，面11A D DA 为菱形，160A AD ∠=，O 是AD 的中点，M 为CD 的中点，问AN =_______时，面DNC ⊥面1AOM ．20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ； ③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.三、解答题21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点.（1）证明：AE //平面BDC 1；（2）若123AA =DE 与平面BDC 1所成角的正弦值. 22．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为13，求PE 的长．24．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值．（2）点A 到平面BDM 的距离．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是直角三角形，侧面11ABB A 是矩形，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，13BC =．（1）证明：BC 1⊥AC ．（2）E 是棱CC 1的中点，求直线B 1C 与平面ABE 所成角的正弦值． 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，PA PD ⊥，PA PD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若1BC =，2AD CD ==，求二面角A PC B --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--，1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ． 【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=． 2．C解析：C 【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(AE =，()2,1,0BG =-， 设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则2020n AG x y n AE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，z = 所以，平面AGE的一个法向量为(1,2,n =-，从而cos ,22n BG n BG n BG⋅<>===⋅， 故直线BG 与平面AGE =.故选：C. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.4．C解析：C 【解析】 【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 1（3，1，2），A （310，，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32）， 1A E =（3-，0，12-），1AC =（3-，﹣1，2），设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ， 则cosθ1111226131384A E AC A E AC ⋅===⋅⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为2613． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．C解析：C【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO . OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30AO OB ∴==. 在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.故选C.【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 6．B解析：B【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π，22||1cos 6||||1m n m n a b π∴==++， 解得22331a b +=， ∴当|1|B M 最小时，0b =，33BM a ==， 1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．故选B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．D解析：D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 .【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =， ∴点G 到平面1D EF 的距离为25EG nd n ⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.8．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 9．D解析：D【分析】由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||225||55EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为55 故选：D ．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题 10．D 解析：D【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1F ，022)，1(2O ，12，0)，(0E ，02，1(1B ，12)， 111(,2)22OB =，112(,22OE =--， 1122(,22OF =-，12EB =，2)EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =， 则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-， 同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--，平面OEF 的法向量272(,,3)22p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．C解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M 与点A 、B 、C 一定共面，则存在实数x ，y ，使得AM xAB yAC =+，即(1)OM x y OA xOB yOC =--++，判断标准是验证OA ，OB ，OC 三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M ，A ，B ，C 一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，对于A 由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M 在面ABC 上； 对于B ，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面对于C ，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M 与,,A B C 一定共面对于D ，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面综上知，能得到点M 与,,A B C 一定共面的一个条件为C .故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．12．D解析：D【分析】利用共线向量的性质直接求解．【详解】(1a λ=+，0，6)，(21b λ=+，21μ-，2)，//a b ，∴6(21)2(1)λλ+=+，且021μ=-， 解得25λ=-，12μ=． λ∴与μ的值分别为21,52-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中共线向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题13．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为则取得所以到平面的距离故答案为：【点睛】本题主要考查了【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解A 到平面11BD A 的距离【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2)A A B D , 所以11(0,1,2),(1,1,2),(0,1,0)BA BD BA =-=--=-， 设平面11BD A 的法向量为(,,)n x y z =，则112020n BA y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取1z =，得(0,2,1)n =， 所以A 到平面11BD A 的距离2633n BAd n ⋅===. 故答案为：63． 【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用，合理利用空间向量运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．【解析】【分析】由题意设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系利用空间向量求解即可得到答案【详解】设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系则0211异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为故答案为 30【解析】【分析】由题意，设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解，即可得到答案．【详解】设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，M(2,1，2)，N(1,1，2)，()BM 0,1,2∴=-，()AN 1,1,2=-，BM AN30cos BM,AN 56BM AN ⋅∴===⨯⋅ ∴异面直线BM 与AN 30 故答案为3010．【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【分析】将平移到一起利用勾股定理求得线线角为【详解】解：取中点连接中分别为的中点且同理可得且与所成的直角或锐角就是异面直线与所成角中得即异面直线与所成角等于故答案为：【点睛】方法点睛：平移法是立体几解析：90【分析】将,AD BC 平移到一起，利用勾股定理求得线线角为90.【详解】解：取BD 中点G ，连接EG FG 、，ABD 中，,E G 分别为,AB BD 的中点，//EG AD ∴且132EG AD ==， 同理可得//,FG BC 且142FG BC ==， EG ∴与FG 所成的直角或锐角就是异面直线AD 与BC 所成角， EFG △中，3,4,5EG GF EF ===，222EG FG EF ∴+=，得90,EGF ∠=︒即异面直线AD 与BC 所成角等于90，故答案为：90.【点睛】方法点睛：平移法是立体几何中求线线角的常用方法之一，平移时通常结合三角形中位线定理把欲求的角平移到一个三角形中，然后再解三角形即可.16．【解析】如图将正方体关于面对称则就是所求的最小值 解析：142. 【解析】 如图，将正方体1111ABCD A BC D -关于面ABCD 对称，则1EC 就是所求的最小值，2221131141242EC EN NC ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭． 17．①②④【解析】①项时为而时线段上同理存在一点与平行此时为四边形且是梯形故命题①为真；②项是等腰梯形故命题②为真；③项当时如图所示∵点是的中点∴∴∴与的交点满足故命题③为假④项如图所示为五边形故命题④解析：①②④【解析】①项，12CQ =时，S 为APQD ， 而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行， 此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；②项，1AP D Q =，1AD PQ ，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项当34CQ =时，如图所示，0AP DC ⋂=， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==，∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =， 故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；⑤项，如图所示，S 为菱形，面积为221526222222⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．18．3【详解】∵且平面与平面的法向量分别为∴解得：解析：3 【详解】∵αβ⊥，且平面α与平面β的法向量分别为m ，n ， ∴(1,2,5)(3,6,)31250m n z z ⋅=-⋅-=--+=， 解得：3z =．19．【分析】证明出平面然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设点利用空间向量法结合面面可求得的值即可得出结论【详解】因为四边形为菱形则为的中点由余弦定理可得平面平面平面平面平面所以平面以点解析：43【分析】证明出1AO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()1,,0N t ，利用空间向量法结合面DNC ⊥面1AOM 可求得t 的值，即可得出结论. 【详解】因为四边形11A D DA 为菱形，2AD =，则12AA =，O 为AD 的中点，160A AD ∠=，1AO ∴=，由余弦定理可得22211112cos 3AO AA AO AA AO A AD =+-⋅∠=，22211AO AO AA ∴+=， 1AO AD ∴⊥， 平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11A ADD 平面ABCD AD =，1AO ⊂平面11A ADD ，所以，1AO ⊥平面ABCD ， 以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O、(13A 、31,,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0,0D -、(13C -,设点()1,,0N t ，设平面DNC 的法向量为()111,,m x y z =，()2,,0DN t =，(13DC =-，由11111120330m DN x ty m DC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取13x t =，则123y =-16z t =+， 可得()3,23,6m t t =-+，设平面1AOM 的法向量为()222,,n x y z =，(13OA =，31,,02OM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由12223032n OA z n OM x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x =，则22y =，20z =，可得()3,2,0n =， 因为平面DNC ⊥平面1AOM ，则()3322333430m n t t ⋅=⨯+⨯-=-=，解得43t =. 因此，当43AN =时，平面DNC ⊥平面1AOM . 故答案为：43. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用面面垂直求线段长度，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，将面面垂直的问题转化为法向量垂直来求解.20．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x 列出AE+EC1关于x 的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解解析：①③④ 【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x ，列出AE +EC 1关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④． 【详解】 如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ， ∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确； 当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ， ∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确； 设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC 12211(2)x x =++-由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为④正确． 故答案为①③④ 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题三、解答题21．（1）证明见解析；（2）20. 【分析】（1）以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明//AE 平面1BDC ．（2）求出平面1BDC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出DE 与平面1BDC 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0A ，0，0)，B 3，0)，(0C ，6，0)，E ，92，0)，设12AA t =，(0D ，0，)t ，1(0C ，6，2)t ， 33(2AE =，92，0)，(33DB =3，)t -，1(0DC =，6，)t ，设平面1BDC 的法向量(n x =，y ，)z ，则1333060n DB x y tz n DC y tz ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =，则(3n =-，1，6)t -，0AE n ⋅=，AE ⊂/平面1BDC， //AE ∴平面1BDC ．（2）1CC =，(0D，0，33(2DE =，92，， 由（1）知，平面1BDC 的法向量(3n =-，1，，即(3n =-，1，-，设DE 与平面1BDC 所成角为θ， 则DE 与平面1BDC 所成角的正弦值为：||6sin ||||430DE n DE n θ⋅===⋅．【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 22．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，由平面几何证得四边形CMEF 为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；（2）由已知以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，运用二面角的向量求解方法可求得平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，则//AM BC=，∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC∴=，四边形ABEF 为矩形 //AB EF ∴=，//MC EF∴=， ∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM∴=， 又CF ⊂/平面ADE ，M E ⊂平面ADE ， //CF ∴平面ADE ；（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F ，(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =-设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩，(2,2,1)n ∴=，又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉==⋅，∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值. 23．（1）证明见解析 ；（2）22PE =. 【分析】（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，由//OE PB 即可证明； （2）建立空间坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，因为O ，E 分别为BD ，PD 的中点， 所以//OE PB又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以//PB 平面AEC（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PA AC ⊥，由1PA =，3PC =，得2AC =， 因为底面ABCD 为菱形且1AB =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以底面ABCD 为正方形，从而,,AB AD AP 两两互相垂直， 分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ， 不妨设(0,1,1)PE PD λλ==-，所以(0,0,1)(0,,)(0,,1)AE AP PE λλλλ=+=+-=-，(1,1,0)AC =，(1,1,1)PC =-，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，由()100n AEy z x y n AC λλ⎧⊥⎧+-=⎪⇒⎨⎨+=⊥⎩⎪⎩，令1x =，则1y =-，1z λλ=-，所以1,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设直线PC 与平面AEC 所成角为α，则21sin |cos ,|||||3111PC nPC n PC n λλαλλ⋅-=〈〉==⋅⎛⎫++ ⎪-⎝⎭．由1sin 3α=，解方程得12λ=，故22PE =．【点睛】方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后求直线与法向量的夹角，取绝对值可得线面角的正弦值． 24．（1）225；（2）22． 【分析】（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式n nAM ⋅，即可求出点A 到平面BDM 的距离. 【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， 又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -， (0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，00n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=， 422cos 5||||25n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅⋅，∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为25；（2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =，∴点A 到平面BDM 的距离4|||cos |||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为【点睛】方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||n PBn PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解；（2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.25．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）根据题意及线面垂直的判定定理，可证明AB ⊥平面BCC 1B 1，即AB ⊥BC 1，根据勾股定理，可证明BC ⊥BC 1，即可证明BC 1⊥平面ABC ，根线面垂直的性质定理，即可得证； （2）如图建系，求得所需点的坐标，进而求得,BA BE ，1BC 向量坐标，即可求得平面ABE 的法向量m 的坐标，根据线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）证明：因为ABC 是直角三角形，所以AB ⊥BC ． 因为侧面11ABB A 是矩形，所以AB ⊥BB 1． 因为BC ∩BB 1＝B ，所以AB ⊥平面BCC 1B 1， 又因为1BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥BC 1．因为BC ＝1，BB 1＝CC 1＝2，1BC 所以22211BC BC CC +=，所以BC ⊥BC 1． 因为BC ∩AB ＝B ，所以BC 1⊥平面ABC ． 因为AC ⊂平面ABC ．所以BC 1⊥AC ．（2）由（1）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，故以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BC 1为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则B （0，0，0），C （1，0，0），A （0，1，0），1302E ⎛ ⎝⎭，，(1103B -，． (01302,1,0),BA BE =⎛ ⎝⎭=，，1BC =（2，0，3- 设面ABE 的法向量为()111m x y z =，，，由00m BA m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11101302y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，， 令z 1＝1，得()301m =-，，． 设直线B 1C 与平面ABE 所成角的大小为θ，则11sin m B C m B Cθ⋅=⋅3332127==⨯ 所以直线B 1C 与平面ABE 321． 【点睛】解题是关键是熟练掌握线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，在用向量法求线面角时，法向量与直线的方向向量所成角的余弦值，即为线面角的正弦值，考查推理证明，计算求值的能力，属中档题. 26．（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）由面面垂直的性质得CD ⊥平面PAD ，从而得CD PA ⊥，再由PA PD ⊥即可得出PA ⊥平面PCD ，即得证；（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥.因为PA PD ⊥，CDPD D =，CD ，PD ⊂平面PCD ， 所以PA ⊥平面PCD .因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD .（2）解：取AD 中点O ，连接OP ，OB ，因为PA PD =，所以.PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 因为PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PO OA ⊥，PO OB ⊥.因为CD AD ⊥，//BC AD ，2AD BC =，所以//BC OD ，BC OD =所以四边形OBCD 是平行四边形，所以//OB CD ，所以OB AD ⊥.以OA ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,1P ，所以()2,2,0AC =-，()1,0,1AP =-，()1,0,0BC =-，()0,2,1BP =-设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则00AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2200x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则()1,1,1n =. 设平面BPC 的法向量为(),,m a b c =，则00BC m BP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020a b c =⎧⎨-+=⎩，令1b =，则()0,1,2m =. 所以15cos ,5||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅.易判断二面角A PC B --为锐角，所以二面角A PC B --的余弦值为5. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。
2019_2020学年高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课件北师大版选修2_1
长度或模，用
→ |AB| 或
|a|
表示
如图，两非零向量 a，b，在空间中任取一点
夹角
定义 O，作O→A＝a，O→B＝b，则 ∠AOB 叫作向 量 a，b 的夹角，记作 〈a，b〉
范围 规定 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 向量平行
π 当〈a，b〉＝ 2 时，向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b 当〈a，b〉＝ 0 或 π 时，向量 a 与 b 平行，记作 a∥b
(2)∵在正方形 ABCD 中，AB⊥BC， ∴〈A→B，B→C〉＝90°. ∵A1B1⊥平面 A1ADD1，又 AD1 平面 A1ADD1， ∴A1B1⊥AD1. ∴〈A→1B1，A→D1〉＝90°.
1．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，π2]，而 向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a，b〉与〈－a，b〉两个角互补，而它们对应的线线 角却是相等的． 2．对于非零向量 a，b 而言，常有以下结论： (1)当 a，b 同向时，夹角为 0°； (2)当 a，b 反向时，夹角为 180°； (3)当 a，b 垂直时，夹角为 90°.
3.如图，在正四面体 ABCD 中，〈A→B，C→D〉的大小为( )
π
π
A.4
B.3
π
π
C.2
D.6
解析：在正四面体 ABCD 中，易证 AB⊥CD，所以〈A→B，C→D〉的大小为π2.
答案：C
4．在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝ 3，AA′＝1，AD＝ 6，求〈A→C，A′ →B〉． 解析：如图，连接 A′C′，BC′. ∵A→C＝A′→C′， ∴∠BA′C′的大小就等于〈A→C，A′→B〉． 由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中 A′B＝ AA′2＋AB2＝2，A′C′＝ AB2＋AD2＝3， BC′＝ AD2＋AA′2＝ 7. ∴cos∠BA′C′＝A′C2′·A2′＋CA′′·BA2′－BBC′2＝12. ∴∠BA′C′＝π3.即〈A→C，A′→B〉＝π3.
高二数学选修2-1_空间向量与立体几何教材分析
空间向量与立体几何教材分析在必修2中，我们已经学习了空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，但必修2中没有证明空间中的距离，点点距、点线距、点面距等、空间中的角，包括异面直线所称的角、线面教、二面角，在必修2中也都只介绍了有关概念，以及很简单的求解题．为了能更好的解决空间中的几何元素的位置、距离、角度问题，教材在这里引入了空间向量．用空间向量处理某些几何问题，为我们提供新的视角，在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率．向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度．本章是选修2-1的第3章，包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容．通过本章的学习，我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养我们的空间想象能力．在空间向量的学习中，我们要注意类比、推广、特殊化、化归等思想方法的应用，充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关的内容相互沟通，又学习了类比、推广、特殊化、化归等思想方法，体会数学探索活动的基本规律，提高对向量的整体认识水平．空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．在空间向量运算中，还要注意与数的运算的对比．另外，通过适当的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行比较，对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行正确的分析．本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．根据问题的特点，以适当的方式（例如构造基向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等），最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．教材还通过例题，引导学生对解决例题几何问题的三种方法（向量方法、解析法、综合法）进行了比较，分析各自的优势，因题而异作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．《普通高中数学课程标准》对《空间向量与立体几何》内容的要求如下：（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量．②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）．④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．通过一定的训练，我们应该达到以下意识和习惯：凡能用向量解决的立体几何问题尽可能用向量解决；另外在解题过程中必须写出规范的格式和必要的步骤，例如建立空间直角坐标系的表述、有关向量的坐标表示等．本章课时安排：3.1空间向量及其运算5课时；3.2立体几何中的向量方法5课时；章末复习课1课时．共11课时。
高中数学第二章空间向量与立体几何本章整合课件北师大选修2_1
专题一 专题二 专题三
证明:如图所示,以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
则E
������ 3
,
������ 3
,0
,F
0,
������ 3
,
2������ 3
,故������������ =
-
������ 3
,0,
2������ 3
.
又������������=(0,a,0)显然为平面 BB1C1C 的一个法向量,而������������ ·
0,
π 2
.
专题一 专题二 专题三
2.直线与平面的夹角. 求直线和平面所成的角有传统法和向量法两种.传统法关键是找 斜线在平面内的射影,从而找出线面角;向量法则可建立空间直角 坐标系,利用向量的运算求解. 3.平面间的夹角. 求平面间的夹角也有传统法和向量法两种.传统法是找到两平面 夹角的平面角,然后解这个角所在的三角形或多边形;向量法是建 立空间直角坐标系,用两平面的法向量研究两平面的夹角,但要结 合图形认真判断.
由 ������·������1������ = 0, 即 ������1-������1 -������1������ = 0, ������·������1������ = 0, ������1������ = 0.
令 x1=1,则 m=(1,1,0),而 n=λ������������1=(0,0,λa). 故 m·n=0,即平面 O1DC 与平面 ABCD 的法向量垂直,故平面 O1DC⊥平面 ABCD.
专题一 专题二 专题三
(2)解:由(1)可知,������������ =
1 3
,0,
【成才之路】高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末归纳总结名师课件 北师大版选修2-1
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、 N分别是C1C、B1C1的中点．
求证：(1)MN∥平面A1BD；
(2)平面A1BD∥平面B1D1C．
[证明] (1)方法一：如图所示，以 D 为坐 标原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的 棱长为 1，则可求得 M(0,1，12)，N(12，1,1)， D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是M→N＝(12，0，12)，D→A1＝(1,0,1)， D→B＝(1,1,0)．
5 5.
∴平面
ANM
与平面
ABCD
夹角的余弦值为
5 5.
如图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一
平面所截得的几何体，截面为 ABC．已知 A1B1
＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2， CC1＝3.
(1)设点 O 是 AB 的中点，证明：OC∥平面 A1B1C1；
(1)求 cos〈A→1D，A→M〉； (2)求直线 AD 与平面 ANM 夹角的正弦值； (3)求平面 ANM 与平面 ABCD 夹角的余弦值．
[分析] 建立恰当空间直角坐标系，求出相应的向量，利 用法向量求解．
[解析] (1)建立空间直角坐标系， 如图．
∵A→M＝(5,2,4)，A→1D＝(0,8，－4)． ∴A→M·A→1D＝0＋16－16＝0，∴A→M ⊥A→1D. ∴cos〈A→1D，A→M〉＝0.
[解析] 如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直 角分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系．
设 PA＝AD＝a，AB＝B．
(1)可知 P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)， C(b，a,0)，B(b,0,0)．
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第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
1．问题导航 (1)空间向量与平面向量有什么区别？ (2)直线的方向向量是如何定义的？一条直线有几个方向向 量？如果只有方向向量是否能确定一条直线？ (3)什么是平面的法向量？利用法向量确定一个平面还需要什 么条件？
2．例题导读 P26例．通过本例学习，理解空间向量的有关概念，如： 相等向量、相反向量、平行向量等． 试一试：教材P27练习T1你会吗？
A．1 个 C．12 个
B．4 个 D．8 个
(2)如图，若直线 l 平行于正方体的棱 AA1，则在正方体中可 以作为直线 l 的方向向量的有 A_→_A_1_，__A→_1_A_，__B_→B__1，__B_→_1B__，__C→_C_1_，__C→ _1_C_，__D_→_D_1_，__D_→1_D____．
3．如图，M，N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A′B′C′D′的 棱 BB′，B′C′的中点，求：
(1)向量A→B与CD→′的夹角； (2)向量M→N与D′ →A的夹角．
解： (1)由正方 体的性质可 以得到A→B ＝D→C，CD→′ 与 C→D 的夹 角为 45°，D→C与CD→′的夹角为 135°.所以向量A→B与C→D′的 夹角为 135°. (2)连接 BC′，因为 M，N 分别是 BB′，B′C′的中点，所以 MN∥BC′.又 BC′∥AD′，因此向量M→N与D′ →A共线反向，其 夹角为 180°.
解析：(1)A→1A，A→A1，B→1B，B→B1，C→1C，C→C1，D→1D，D→D1 均 是平面 A1B1C1D1 的法向量． (2)平行于A→A1(包括A→A1)的非零向量均是直线 l 的方向向量．
空间向量的夹角
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求： (1)〈E→F，A→1C1〉，〈A→1C1，F→E〉； (2)〈A→B，B→C〉，〈A→1B1，A→D1〉； (3)〈E→F，D→1A〉．
2．下列命题中的假命题是( A ) A．若|a|＝|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反 B．只有零向量的模等于 0 C．所有单位向量的模都相等 D．零向量与任意向量都平行 解析：由零向量的定义和规定知 B、D 为真命题；由单位向 量的定义知 C 正确；对 A，|a|＝|b|只能说明两向量的长度相 同，但不能说明方向相同或相反，所以 A 是假命题．
2
所以 EF 綊1AD. 2
取 AD 的中点 M，连接 MF，则由 EF
綊 DM 知四边形 DEFM 是平行四边形，
所以 MF∥DE. 所以F→M就是直线 DE 的一个方向向量．
(2)因为 PD⊥平面 ABCD，所以 PD⊥BC. 又 BC⊥CD，PD∩CD＝D，所以 BC⊥平面 PCD. 因为 DE 平面 PCD，所以 DE⊥BC. 又 PD＝CD，E 为 PC 中点，所以 DE⊥PC. 又 BC∩PC＝C，从而 DE⊥平面 PBC. 所以D→E是平面 PBC 的一个法向量． 由 (1)可 知F→M ＝E→D， 所以F→M就是平面 PBC 的一个法向量．
⑤一个平面的所有的法向量方向相同；
⑥空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 根据相反向量的定义，向量相等的条件可知②、④
正确．①中仅仅是模相等，方向不确定，不能得出 a＝b；③
相等向量与向量的大小、方向有关，与向量的起止点无关；
⑤平面的法向量方向相同或相反；⑥中只给出了向量的大
2．零向量的特殊性 (1)由于零向量的方向任意，规定零向量与任意向量都平行． (2)由于规定零向量与任意向量平行，使共线向量不具有传递 性，即若 a∥b，b∥c，则 a∥c 不一定成立．因为当 b＝0 时， a，c 不一定共线．
空间向量中的概念辨析
给出以下命题： ①若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b； ②若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b|； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量 m、n、p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
解析：(1)①我们只是借助有向线段来表示向量，但并不是说 有向线段就是向量，所以①是假命题；②由于我们用有向线 段的方向表示向量的方向，用有向线段的长度表示向量的 模，所以②是真命题；③由于向量的模为非负实数，能比较 大小，向量只有相等不相等之分，但不能比较大小，所以③ 是假命题． (2)由于平移后，每一个单位向量的终点到它的起点 O 的距 离为 1，所以这些向量的终点组成的图形是以 O 为球心，以 1 为半径的球面．
→ AB
表示，A 叫作向量的起点，B 叫作向量的终点；一种用 a，
→→→
b，c 表示，也可用a，b，c表示．
数 学中 所讨论 的向量 与向 量的起 点无关 ，称 之为 ____自__由__向__量________．
(3)空间向量的模和夹角 ①与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的 _______长__度_________或____模______，用|A→B|或|a|表示． ②如图，过空间任意一点 O 作向量 a，b 的相等向量O→A和O→B， 则∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作__〈__a_，__b_〉_____，规定 0≤ 〈a，b〉≤π.
易错警示
对空间向量的概念理解不到位致误
下列说法中，错误的个数为( A ) ①在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，→C＝A→1C1； ②若两个非零向量A→B与C→D满足A→B＝－C→D，则A→B，C→D为相
反向量．
③A→B＝C→D的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合．
3.向量与平面 (1)平面的法向量：如图，如果直线 l 垂直于平面 α，那么把直 线 l 的方向向量 a 叫作平面 α 的______法__向__量________．
(2)给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，可以确定唯一一个 过点 A 且垂直于向量 a 的平面．
1．判断正误 (正确的打“√”， 错误的打“×” ) (1)零向量没有方向．( × ) (2)在空间中，单位向量不唯一．( √ ) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ ) (4)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．( √ ) (5)任意两个空间向量都不能比较大小．( √ )
[方法归纳] (1)求直线 l 的方向向量可利用几何体中线与直线 l 的位置关 系．找到与已知直线 l 平行的直线，在平行的直线上取一段 线段，规定好起点和终点就得到了直线 l 的方向向量． (2)求平面的法向量就是利用平面的线面关系，在与平面垂直 的直线上取一方向向量即可．
2．(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可用顶点表示的平面 A1B1C1D1 的法向量有( D )
3．在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中，能与向量A→ A′相等的
向量有( B )
A．0 个
B．3 个
C．6 个
D．9 个
解析：B→ B′＝C→ C′＝D→ D′＝AA→′.
4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 所给出的连线中(如图)，平面 ACD1 的法向量可以是__D_→_B_1_或__B→_1_D____．
2.向量与直线 与平面向量一样，也可以用空间向量描述空间直 线的方向． (1)直线的方向向量：如图，l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任 意两点，则称A→B为直线 l 的____方__向__向__量________． (2)给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，就可以确定唯一一条过 点 A 且平行于向量 a 的直线．
1．向量的概念 (1)空间向量的概念 向量是既有大小又有方向的量．如果把问题的研究范围限定在同 一个平面 上，称之为平面向量； 如果问题的研究范围 扩大到 _____空___间_______中，称之为空间向量． 即空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量．
(2)空间向量的表示
与平面向量一样，空间向量也有两种表示法．一种用有向线段
π
当〈a，b〉＝_____2________时，向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 当〈a，b〉＝____0_或__π_____时，向量 a 与 b 平行，记作 a∥b
(4)几类特殊向量
概念 单位向量
零向量
定义 模为1的向量
模为___0_____的向量，记为____0________．零向 量的方向是任意的
[方法归纳] (1)求 向量 的夹 角一 般要先 运用 平移 方法 把向 量移 到有 公共 起点，把空间向量 的夹角转化为平面向量的夹角． (2)要注 意分析图形特征和向量的方向 ．如〈A→B ，A→C 〉与〈A→B ， C→A 〉 是互补的 ．正确运 用向量所 在的图 形中的几 何特征， 例如平行、垂直等 进行求解．
直线的方向向量和平面的法向量
如图，四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形且 PD＝AD＝CD，E，F 分别是 PC，PB 的中点． (1)试以 F 为起点作直线 DE 的方向向量； (2)试以 F 为起点作平面 PBC 的法向量．
[解] (1)连接 EF， 因为 E，F 分别是 PC，PB 的中点， 所以 EF 綊1BC.又 BC 綊 AD.
[解] (1)如图，连接 AC， 因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点， 所以 EF∥AC， 所以E→F ∥A→1C1，且方向相 同， 所以〈E→F ，A→1C1 〉＝ 0°； 因为A→1C1∥F→E ，且方向相 反，所以〈A→1C1，F→E 〉＝ 180° .
(2)因为在正方形 ABCD 中，AB⊥BC， 所以〈A→B，B→C〉＝90°； 因为 A1B1⊥平面 A1ADD1， 又 AD1 平面 A1ADD1， 所以 A1B1⊥AD1，所以〈A→1B1，A→D1〉＝90°. (3)连接 CD1，则△ACD1 为等边三角形，〈A→C，A→D1〉＝60°. 又E→F∥A→C，D→1A＝－A→D1，所以〈E→F，D→1A〉＝120°.