2020高三年级理科数学第三次质量检测试卷

xx 届高三年级理科数学第三次质量检测试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为1—8题，共40分，第II 卷为9—21题，共110分。

全卷共计150分。

考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A={}4,3,2,1，那么A 的真子集的个数是（ ） A ．3 B ．16 C ．15 D ．42．已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且a ∥b ，则x = （ ）A ．9B ．6C ．5D ．13．函数12sin cos y x x=++的最大值是 （ ）A ．21- B ．21+ C ．21-D ． 21-- 4． 若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ） A ．32 B ．1 C ．-1 D ．-325．若函数ln y x ax =-的减区间为(1,0)-，则a 的值是 （ ）A.01a <<B.01<<-aC. 1a =-D. 1a = 6． 在ABC ∆中，“A>B ”是“sin sin A B >”成立的 （ ）A ．充要条件B ．2充分部必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为s n ，若s n+1，s n ，s n +2成等差数列，则公比q 为 （ ）A ．2-=qB ．1=qC．12=-=q q 或D ．12-==q q 或8．已知函数()d cx bx ax x f +++=23的图象如右图，则 （ ）A ． ()0,∞-∈bB ．()1,0∈bC ．()2,1∈bD ．()+∞∈,2b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．计算2111333324()3a b a b ---÷-= （其中0,0a b >>） ；10．曲线sin y x =在点（32π）处的切线方程为 ；11．从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是 ；12．在的面积则中，若ABC BC AB A ABC ∆===∠∆,7,5,1200＝ ；13．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点 1 , 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆的方程是 ；14．（不等式选讲选做题）不等式|4||3|2x x -+-<的解集是 ；15．（几何证明选讲选做题）,,,D EF AD C O EF O AB 于于切圆的直径是圆⊥2,6,AD AB ==则AC 长为_______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求：（I ）角C 的大小；（II ）△ABC 最短边的长.17. （本小题满分12分）在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是32.，每次命中与否互相独立. (Ⅰ) 求油罐被引爆的概率.(Ⅱ) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望；18. (本小题满分14分）BAOFCED 第15题设S n 是正项数列}{n a 的前n 项和，且4321412-+=n n n a a S ， （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）n n n nn b a b a b a T b +++==Λ2211,2求已知的值19． (本小题满分14分）据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元（a ＞0）。

（I ）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（II ）在（I ）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。

20．(本小题满分14分）设21,x x 是函数322()(0)32a b f x x x a x a =+->的两个极值点，且2||||21=+x x （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）求证：43||b ≤. 21．（本小题满分14分）已知二次函数t t t t y l c bx ax x f .20(8:,)(212≤≤+-=++=其中直线为常数）；2:2=x l .若直线l 1、l 2与函数f （x ）的图象以及l 1，y 轴与函数f （x ）的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （Ⅰ）求a 、b 、c 的值（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S （t ）的解析式；（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.参考答案一．选择题：CBBA CAAA二．填空题：9、6a -； 10、203x y π-=； 11、43105615C C C ⋅60143=；12、4315； 13、2cos 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 14、59{}64x x <<； 15、三．解答题：16．解：（I ）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）11tan tan 231111tan tan 123A B A B ++=-=-=---⨯ ∵0C π<<， ∴34C π=……………………5分 （II ）∵0<tanB<tanA ，∴A 、B 均为锐角, 则B<A ，又C 为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c ……………………7分由1tan 3B =，解得sin B = ……………………9分由sin sin b c B C =，∴1sin sin c B b C ⋅=== ………………12分 17.解：（I ）“油罐被引爆”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则P (A )=C 5415313132⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛…………4分 ∴P (A )=1-2432323131325415=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛•C答：油罐被引爆的概率为232243…………6分（II ）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5， …………7分P (ξ=2)=94322=⎪⎭⎫⎝⎛， P(ξ=3)=C 27832313212=... ，P(ξ=4)=C 274323132213=⎪⎭⎫ ⎝⎛..， P(ξ=5)=C 913131324314=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛. …………10分故ξ的分布列为：E ξ=2×94+3×278+4×274+5×91=2779 …………12分 18．解（Ⅰ）当n = 1时，21111113,424a s a a ==+-解出a 1 = 3 , …………1分 又4s n = a n 2 + 2a n －3 ①当2n ≥时 4s n －1 = 21-n a + 2a n-1－3②①－② 221142()n n n n n a a a a a --=-+-, 即0)(21212=+----n n n n a a a a …………3分∴)2)((11=--+--n n n n a a a a ,2011=-∴>+--n n n n a a a a Θ（2≥n ）…………5分}{n a 数列∴是以3为首项，2为公差的等差数列12)1(23+=-+=∴n n a n …………7分（Ⅱ）123252(21)2n n T n =⨯+⨯+++⋅L③又23123252(21)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+-⋅++L④ …………9 分④－③ 13212)12()222(223++++++-⨯-=n n n n T Λ …………11分112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n …………13分 22)12(1+-=+n n …………14分19. 解：（I ）由题意得（100-x ）·3000·（1+2x%）≥100×3000，即x 2－50x ≤0，解得0≤x≤50， ……………………4分 又∵x ＞0 ∴0＜x≤50； ……………………6分 （II ）设这100万农民的人均年收入为y 元，则y= (100－x )×3000×(1+2x %)+3000ax 100 = －60x 2+3000(a +1)x +300000100=－35[x －25(a +1)]2+3000+475(a +1)2 (0<x ≤50) ………………9分（i ）当0<25(a +1)≤50，即0＜a ≤1，当x=25(a +1)时，y 最大； ………………11分（ii ）当25(a +1)＞50，即a ＞1，函数y 在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y 取最大值。

…………13分答：在0＜a ≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大 ………………14分20．解证：（I ）易得22')(a bx ax x f -+=…………………………………………1分)(,21x f x x 是Θ的两个极值点，0)(,'21=∴x f x x 是的两个实根，又a ＞0abx x a x x -=+<-=2121,0……………………………………………………3分∴1212||||||x x x x +=-==∵2||||21=+x x ， )1(44444232222a a a a b a ab -=-==+∴，即1002≤<∴≥a b Θ ……………………………………………7分（Ⅱ）设,44)(322a a a gb -==则)32(4128)(2'a a a a a g -=-= 由''22()0,0,()0133g a a g a a ><<<<≤得由得 ………………10分 ∴()g a 在2(0,)3上单调递增；在2(,1)3上单调递减………………12 分∴23x =时，()g a 取得极大值也是最大值 max 216[()]()327g a g ∴==，b ∴………………………………………14分 22．（本小题满分14分）解：（I ）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16则220188080416,4c a a b c b c ac b a⎧⎪==-⎧⎪⎪⋅+⋅+==⎨⎨=⎪-⎪⎩=⎪⎩解之得：， ∴函数f （x ）的解析式为x x x f 8)(2+-=…………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=xx y t t y 8822得,8,,0)8(8212t x t x t t x x -==∴=--- ∵0≤t ≤2，∴直线l 1与f （x ）的图象的交点坐标为（)8,2t t t +-…………………………6分由定积分的几何意义知：222220()[(8)(8)][(8)(8]ttS t t t x x dx x x t t dx =-+--++-+--+⎰⎰23322220[(8)(4)][(4)(8)]33ttx x t t x x x t t x =-+--++-+--+⋅32440101633t t t =-+-+………………………………9分 （Ⅲ）令.ln 68)()()(2m x x x x f x g x ++-=-=ϕ因为x ＞0，要使函数f （x ）与函数g （x ）有且仅有2个不同的交点，则函数m x x x x ++-=ln 68)(2ϕ的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点)0()3)(1(2682682)(2'>--=+-=+-=∴x xx x x x x x x x ϕ∴x=1或x=3时，0)('=x ϕ当x ∈（0，1）时，)(,0)('x x ϕϕ>是增函数； 当x ∈（1，3）时，)(,0)('x x ϕϕ<是减函数 当x ∈（3，+∞）时，)(,0)('x x ϕϕ>是增函数∴;7)1()(-=m x ϕϕ极大值为153ln 6)3()(-+=m x ϕϕ极小值为……………12分 又因为当x →0时，-∞→)(x ϕ；当+∞→+∞→)(x x ϕ时， 所以要使0)(=x ϕ有且仅有两个不同的正根，必须且只须⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧<=0)1(0)3(0)3(0)1('ϕϕϕϕ或 即⎩⎨⎧>-=-+⎩⎨⎧<-+=-070153ln 60153ln 607m m m m 或， ∴m=7或.3ln 615-=m ∴当m=7或.3ln 615-=m 时，函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有两个不同交点。