均值不等式典型错误案例分析
均值不等式错例分析
均值不等式错因分析彭国勇不等式的应用是高中数学的重难点，用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相同。
本文就几类典型的错误，予以剖析，以飨读者。
一、应用均值不等式的各部分不可能相等，或不满足定值条件例1 求函数)0(,322>+=x x x y 的最小值。
错解一：因为2231222y x x x x x =+=++≥所以3min 43=y 。
错解二：232y x x=+≥ 当x x 322=即2123=x 时， 633m in 3242123221262==⋅=y 。
正解：233222y x x x =++≥，当且仅当2322x x=时等号成立，所以min y = 错因分析 错解一在拼凑定值的过程中，参与不等式的各部分不可能相等，故而等号不可能成立；错解二错在根本就没有配出定值，不符合正、定、等中的定值条件。
二、 多次套用均值不等式，前后等号成立的条件不能同时成立例2 已知正数x ，y 满足x+2y=1，求yx 11+的最小值. 错解一: 因为x+2y=1，所以y x 11+= (x+2y) ( yx 11+)≥2xy 2·2xy 1=42。
故yx 11+的最小值为42. 错解二: 因为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+221221y y x x ， ①+② 得 x+2y+y x 11+≥2+2 ，所以yx 11+≥1+22。
所以yx 11+的最小值为1+22. ① ②正解: 因为x+2y=1，所以y x 11+= ( y x 11+) (x+2y)=3+y x x y +2≥3+22。
所以yx 11+的最小值为3+22. 错因分析 以上错误解法问题都是多次使用均值不等式，却没有注意所有均值条件都必须同时成立。
错解一“2,x y x y ==”显然不可能成立，故而错；错解二yx 11+≥1+22成立时必须满足“1,2x y ==”，但这显然不符合已知条件，又错。
高考数学热点问题专题练习——均值不等式知识归纳及典型例题分析
利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：n G =（3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：2nn a Q ++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求23y x x=+的最小值。
此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。
例如：上式中24y x x=+为了乘积消掉x ，则要将3x 拆为两个2x ，则22422y x x x x x =+=++≥=② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。
则考虑变积为和后保证x能够消掉，所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
事业单位数量关系：均值不等式
在行测考试中，我们经常会遇到求极大值和极小值这一类的题目，我们把这类题目统称为极值问题。
当题干或者问法中出现最大或最小、最多或最少，至多或至少这样的字眼时都是求极值的问题，今天我们就来学习一种方法求解极值方法，均值不等式。
一、什么是均值不等式结论：和一定的两个数，差越小，积越大(针对两个数取不到相等的情况);积一定的两个数，差越小，和越小(针对两个数取不到相等的情况)。
二、均值不等式的应用和一定，求积的最大值【例1】某外贸公司生产运动服，每套的成本是144元，售价是200元。
一个经销商订购了120套运动服，并提出：如果每套运动服的售价每降低2元，就多订购6套。
按经销商的要求，该外贸公司获得最大利润需售出的套数是：A.144B.136C.128D.142【解析】A。
最大的利润=每套利润×销售套数，现在要求的是销售的套数，题目中告诉每套运动服的售价每降低2元，就多订购6套，但是具体降低了多少钱未知，可以设每套运动服的的售价降低2X元，则多订购了6X套。
原来每套的利润为200-144=56元，则所获总利润为(56-2X)(120-6X)=12(28-6X)(20 +X)，因为(28-X)与(20+X)之和为定值，可以根据均值不等式原理，当且仅当2 8-X=20+X，即x=4 时，所获利润最大，此时售出的套数是120+6×4=144 套。
【例2】一款笔记本以每本2元的价格批发，可出售10万本。
若该笔记本价格每提高0.2元，销量将减少5000本，则该款笔记本可能的最大销售收入为多少万元?A.25.5B.24.5C.23.5D.22.5【解析】D。
销售收入=单价×销量，题目告诉该笔记本价格每提高0.2元，销量将减少5000本，但是具体提高了多少钱未知，可以设价格提高了0.2X元，则销量为(10-0.5X)万本，销售收入=(2+0.2X)×(10-0.5X)=0.1×(10+X)×(20-X)，因为(10+X)与(20-X)(20-X)之和为定值。
均值不等式的常见题型
均值不等式的常见题型一、基本练习 1、已知：b n m a yx =+=+2222,且ba ≠，则nymx+的最大值为( )(A)ab(B)2b a + (C)222ba + (D)222b a +2、若+∈R y x a ,,，且yx a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( )(A)22(B)2(C)2 (D)13、已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)((≥++ba b a (B)ababba 222≥+(C)21≥+abab (D)abba ab ≤+25、设+∈R b a ,且2242,12ba ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+6、若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)4327、已知0,0,0a b c >>>且1a b c ++=则14a bc++的最小值是（ ）A 13.5B 12C 10D 98、已知1,01a b ><<则log log a b b a +的取值范围是（ ） A (2,)+∞ B [2,)+∞ C (,2)-∞- D (,2]-∞-9、较难：设0a b c >>>，则221121025()a ac caba ab ++-+-的最小值是（ ）10、若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx11+的最小值为 .11、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则abb a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .A ．2B ．4C ．25D ．512、若正数b a ,满足3++=b a ab，则ab的取值范围是 .13、已知:x > 0, y > 0,且,191=+yx求 x + y的最小值14、已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求ba11+的最小值15、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值16、已知：x > 0,y > 0,134=+y x 求x + 3y 的最小值二、典型例题分析1、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a2、是否存在常数c ，使得不等式yx y yx x c yx y yx x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立，试证明你的结论. 注：考虑y x =的特殊情况.【课外作业】：1、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---zyx2、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求425)1)(1(≥++bb aa .3、证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy yx +≥+4、若a > b > 0,求)(162b a b a -+的最小值5、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值6、已知x > 0,y > 0,且143=+y x ,求xy 的最大值。
均值不等式应用及例题解析(PPT教案)
a/4 (x=a/8)
练习3
练习4 :已知2a b 2 求f ( x) 4a 2b的最值及此时的 a和b.
最小值 4 ，当2a=b时 有最小值(a=1/2 b=1)
三不等，改用“单调性”
例11.求函数 y
x2 5 x 4
2
的最小值. 5/2(x=0)
变形:
1 利用对勾函数 y t t
(t>0)的单调性.
练习：（ 1 ）求函数y （2）求函数y
2
x 5
2
x 1
2
的最小值；
sin x 5
2
sin x 1 1 1 （3）求函数y x 在 ， 3上的值域。 x 2
的最小值；
例 1２: 用三元均值不等式求最值
构造三 解: 1 x 0, 个数相 1 2 y x (1 x) x x (2 2 x) 加等于 2 定值.
注意:各项必须为正数
一 不 正 , 常 用 a b 2 a b ( a 0, b 0 )
二边乘-1不等式要变号
2x x 3 例8、（ 1 ）已知函数f（x） （x 0) x 求f ( x)的最大值，以及此时 x的值。
2
解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值 （凑积定）
（拆项时常拆成两个相同项）。
五、错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错， 指出有错误的地方。 1 1 1. 已 知 a， b R ， 且 a 2 b 1， 求 的 最 小 值 . a b
1 1 1 1 解法二：由a 2b 1及a、b R , ( a 2b)( ) a b a b 1 1 1 2 2ab 2 , 的最小值为 4 2 . 因为二不定 ab a b
均值定理中的易错题剖析
均值定理中的易错题剖析应用均值不等式解题时，要把握均值不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。
忽略了任何一个条件，就会导致解题错误，下面用例子说明如下： 1忽视变量是负数的情况 例1 求e x y x log ln +=的值域错解e x y x log ln +=2log ln 2=⋅≥x x e ，e x y x log ln +=的值域是[)+∞,2错解分析：当e x ≤<0时，0ln <x ，不能应用均值定理，正确解法：当1>x，x ln 0>，e x log 0>，e x x log ln +2log ln 2=⋅≥x x e当1<x，x ln 0<，e x log 0<，，－x ln 0>，－e x log 0>，)log ()ln (e x x -+-2)log ()ln (2=-⋅-≥x x e ∴e x x log ln +2-≤e x y x log ln +=的值域是(]⋃-∞-2,[)+∞,22忽视定值问题例2设12,0,022=+≥≥b a b a ，则21b a +的最大值为 错解：=+21b a ()()214211221222b a b a ++⋅≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=22121222b a a 4323211212122≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a 错解分析：本题错误运用均值定理2214b a++不是定值导致错误的结果。
正确解法1222=+b a ，232122=++b a ;=+21b a 4232212212222=++⋅≤+⋅⋅b a b a 。
∴21b a+的最大值为423例3 已知y x ,为正实数，且12=+y x ，求y x 2的最大值错解：323⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅⋅=y x x y x x y x ；不等式等号成立的条件y x x ==又12=+y x ；∴31==y x时2712≤y x ，y x2的最大值271错解分析：错误在于运用均值定理，式子y x x ++和不是定值，导致错误的结果，以上过程只能说明31==y x 时2712=y x 但不只能保证说明时2712≤y x正 确 解 法：y x ,为正实数()2722742413241441332=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅⋅=y x y x x y x x y x 均值不等式等号成立的条件y x 4=时又12=+y x ；∴61,32==y x时2722≤y x 取等号，y x2的最大值2723.忽视均值不等式等号成立的条件 例4 . 求)(4522R x x x y ∈++=的最小值。
均值不等式常见错解及解决办法
For personal use only in study and research; not forcommercial use例析均值不等式常见错解及解决办法运用均值不等式a b +≥*,a b R ∈，当且仅当“a b =”时取等号）是求解最值的一种常用方法，也是高考考查的重点内容之一．笔者在教学中发现，不少同学在使用时不能很好的抓住本质要求，造成了很多不该发生的错误．本文就教学过程中的几个典型问题举例说明．例1 已知01x <<，求4lg lg y x x=+的最值．错解 ∵4lg 4lg x x ⋅=为定值， ∴4lg 4lg x x +≥=， ∴4lg lg y x x=+的最小值为4． 错解剖析 虽然4lg 4lg x x ⋅=为定值，但是因为01x <<，lg 0x <，所以此时不能直接应用均值不等式，需要将负数转化为正数后再使用均值不等式．正解 ∵01x <<，∴lg 0x <，lg 0x ->， ∴4(lg )4lg y x x -=-+≥-，即4y ≤-，当且仅当4lg lg x x-=-即1100x =时等号成立， ∴4lg lg y x x=+的最大值为4-． 例2 已知0x π<<，求2sin sin y x x=+的最小值．错解 ∵0x π<<，∴sin 0x >，∴2sin sin y x x=+≥ 错解剖析 本题虽有2sin sin x x ⋅为定值2，但是2sin sin x x =不可能成立，所以等号成立前提下的最小值正解 设sin x t =，则2y t t=+ ((0,1])t ∈，易证函数2y t t =+在(0,1]t ∈上是减函数， ∴1t =即2x π=时，函数的最小值为3． 例3 已知490,0,1,x y x y>>+=求x y +的最小值．错解 由491x y +=≥144xy ≥，再有x y +≥24x y +≥， ∴x y +的最小值为24．错解剖析 运算过程中两次用到了均值不等式，但是两次运用时等号成立的条件并不一致（491x y +=≥8,18x y ==，而x y +≥x y =）从而24x y +≥中的等号不可以取到．而若采用代换便可以只使用一次均值不等式得出结果．解法一 4994()1()()133625x y x y x y x y x y y x +=+⋅=++=++≥+=， 当且仅当94x y y x =且491,x y+=即10,15x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为25． 解法二 ∵491,x y +=∴94x y x =-， ∴9936363636913(4)4444x x x y x x x x x x x x -++=+=+=++=+-+----， 又∵904x y x =>-且0x >，∴40x ->，∴3613(4)13254x x +-+≥+-， 当且仅当3644x x -=-，即10x =时等号成立（0x >），此时15y =，x y +的最小值为25． 解法三 ∵490,0,1,x y x y >>+=设224csc ,9sec x y θθ==(,)2k k Z πθ≠∈， ∴22222244csc 9sec 44cot 99tan 13(9tan )tan x y θθθθθθ+=+=+++=++1325≥+=， 当且仅当2249tan tan θθ=，即22tan 3θ=时等号成立， 此时2224csc 4(1cot )10,9sec 15x y θθθ==+===，∴x y +的最小值为25．例4 已知22224,9a b x y +=+=，求ax by +的最大值．错解 ∵22222,2a x ax b y by +=+=， ∴222213222a x b y ax by +++≤+=, ∴ax by +的最大值为132． 错解剖析 取到最大值132的前提是a x =且b y =，但是此时2222a b x y +=+，即49=，显然等号不能成立，所以本题不能直接运用均值不等式，但仍然可以用如下方法予以解决．解法一 令2cos ,2sin ,3cos ,3sin a b x y θθϕϕ====，∴6cos cos 6sin sin 6cos()ax by θϕθϕθϕ+=+=-，∴ax by +的最大值为6．解法二 令(,),(,)m a b n x y ==，由平面向量的数量积的性质||||m n m n ⋅≤，得6a x b y +≤，当且仅当m 和n 同向，即ay bx =时等号成立（注意：不能表示为a b x y=）， ∴ax by +的最大值为6．解法三 由柯西不等式2222211221212()()()m n m n m m n n +≤++，可知 22222()()()36ax by a b x y +≤++=，即66ax by -≤+≤， ∴ax by +的最大值为6．可见，在应用均值不等式求解最值时，应该时刻注意“一正”、“二定”、“三相等”这三个条件，必须充分理解并掌握这些要点，并且要在解题时注意灵活运用．类题练习：1． 若1,01,a b ><<则log log a b b a +的取值范围是 ．2． 求函数2y =3． 已知0,0x y >>，且21x y +=，求11x y+的最小值．4． 已知1,9a b c x y z ++=++=，且,,,,,a b c x y z 最大值为 ．5 23．3+4．3参考答案：1．(,2]-∞-2．仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
立体几何问题常见的典型错误及应对策略
@评价^ 立体几何问题常见的典型错误及应对策略王淼生#立体几何在高中数学中占有极其重要的地位.其 本质就是培养学生空间想象能力，优化数学思维品 质.但在命制或解答过程中，无论是教师还是学生甚 至专家都会出现这样或那样的典型错误.与高中数学 中其他知识模块不同的是，立体几何中出现的错误的 主要根源在于概念掌握不清.寻觅有效应对并减少乃 至杜绝这些错误的策略成为一线教师必须面对的课题•笔者从教三十余年，最大、最深的感受就是概念 及概念教学的重要性.概念是数学之魂、数学之根.笔 者近年来对高中数学主要知识模块（如三角、数列等）及核心概念（如定积分、基本（均值）不等式等）在教 授或应用过程中出现的常见典型错误进行深度剖析，有幸先后发表拙文[1] ~[1〇]等，其中文[3]、[6]、[7]全文转载在人大复印资料《高中数学教与学》上. 笔者有一个梦想,那就是渴望并继续将高中数学主要 知识模块及核心概念中常见、主要的典型错误归类，为师生奉献一份实用且珍贵的资料，让考生会且对、X#且全.基于这一心愿，本文在文[4 ]基础上进一步探究立体几何问题中常见的典型错误及应对策略.不当之处，敬请批评指正.1.书写不规范而导致错误【案例1】（注:这类案例在作业与考试中随处可见,囿于篇幅所限，此处略去具体案例）典型错误:证明过程中缺少关键词“相交直线”“直线在平面内”“在平面外'等等•应对策略:教师们批改作业时叹声一片:“为何这样粗心呢？为何不守规矩呢？……”其实教师并非责怪学生不会解答某一类试题，而是惋惜学生书写不规范，也就是常说的“会而不对，对而不全立体几何中，像这类因书写不规范而导致的常见典型错误主要有：① 证明直线与平面垂直时，没有强调“两条相交 直线”；② 证明平面与平面平行时，没有强调“两条相交 直线”；③ 证明直线与平面平行时，没有强调“平面内一 条直线、平面外一条直线”；*本文系全国教育科学“十二五”规划2015年度单位资助教育部规划课题“基于数学教学内容知识(MPCK)视角下的概念教学案例研究”（课题批准号FHB150464)研究成果.**王淼生,单位系福建省厦门第一中学，正高级教师，数学学科带头人，中国数学奥林匹克高级教练，厦门市专家型教师，厦门市杰出教师.68备考教学0)④证明直线与平面平行时，以为利用空间向量 (基底法或坐标法）求出直线方向向量与平面法向量 数量积为零即可，而没有强调“这条直线在平面外”.此外还有翻折问题中没有交代翻折前后角度及 距离是否变化;过点作平面垂线时没有铺垫两个平面 垂直，等等.2. 解答不严谨而导致错误【案例2】（注:这类案例在作业与考试中比比皆 是，囿于篇幅所限，此处略去具体案例）典型错误:求解三类角（异面直线所成角、直线与 平面所成角、二面角的平面角）时没有指明，更没有强 调所求角的取值范围.应对策略:教师们阅卷时痛心疾首:“这种问题天 天在强调！都已经讲过N 遍……”其实教师心塞的是 千叮咛、万嘱咐要特别注意立体几何中三类角的取值 范围，可学生在具体实施操作时根本就不顾及.像这 类因解答不严谨而导致的常见典型错误主要有：① 求异面直线所成角时，把角写成钝角或余弦值为负数；② 通过平移直线求异面直线所成角时往往说“则 就是……”，而没有指明“则(或其补角）就是……”；③ 求直线与平面所成角时，把角写成钝角或余弦值为负数；④求二面角的平面角时，一律看作锐角或者钝 角，而不会依据题意、图形先判断角的范围.此外还有不按右手法则建立空间直角坐标系;不 标明坐标轴;不加论证就默认三条直线两两垂直而建 系，等等.如果说上述两类典型错误的根源在于书写不规 范、论证不严谨，那么立体几何问题中，更多的错误根 源在于概念混淆、模糊不清.3. 对“平面”理解不透而导致错误【案例3】一个正四棱锥和一个正四面体的所有棱长都相等，将它们的一个三角形面重合在一起拼接 成一个新的几何体，则新的几何体是（）A .五面体B .六面体C .七面体D .八面体典型错误:命题专家认为有两个面重合，且重合 后“淹没”在新的空间几何体里面而“看不见”，因此 拼接得到的新几何体共有5 +4 -1 -1 = 7个面，即七面 体，故选C .错因及应对策略:案例3是一道美国竞赛试题， 那新的几何体到底有多少个面呢？请看：设满足条件的正四棱锥A与正四面体中的A 山重合，不难求得二面角与的平面角的余弦值分别为cos a = -f ，COS 0= ^■，故有= 即正四棱锥的面B y 与正四面体山的面在同一平面上， 同理可证正四棱锥的面C W 与正四面 体山M C 的面A 4'也在同一平面上，因此根据题意 可构成一个三棱柱，即为五面体，如图1，故选A .图1“平面”是不加以定义而直接描述的概念，是立体几何中最基础、最原始的概念.不少学生认为“平面” “简单”得可有可无，不少教师认为它“容易”得可讲 可不讲.事实上，“平面”是构建空间几何体最基本的 “原材料”，是一切空间图形的“基石”，因此必须舍得 花时间、花精力，采用“温火”方式细细“咀嚼”并贯穿 整个立体几何始终，方能品出其中内涵.4.因“凸凹”模糊不清而导致错误 【案例4】在棱长为6的正方体从中，36^ = 2^l 2拉 = ^X，连接E F ，F B ，E D ，，则几何体EFQ 的体积为_______________•典型错误1:如图2所示，由已知可得C = 4，求学^69C ，= 3，则心£F C i = 6，、■； = 18，依据台体体积公式可得V e f c _dbc = -^~x 6x (6+I S +^/6x 18 ) = 48 + 12v ^".◎评价D x Ecx图2典型错误2:连接仰，E C ，将几何体E F Q -/^C 分割成三棱锥扭X ：和四棱锥E -BCC ，，如图3所 示.由已知可得心£ = 4，(：，=3，依据锥体体积公式 可得图3错因及应对策略:上述两种解法看似正确，结果 却截然不同，原因何在呢？ “擒贼先擒王既然是求 空间几何体体积，那么必须从多面体概念“由若干个 平面多边形围成的几何体叫作多面体”入手.多面体 的概念看似极其简单，但要真正理解，却十分不易.我们顺着典型错误1的思路，即按棱台处理.要 利用棱台的体积公式来计算体积，首先几何体EFCi -必须是多面体，那这个几何体是多面体吗？显 然，由图2可知、A M C 、四边形DCC '、四边形5CC ，都是平面图形，但四边形根本就不是 平面四边形，为什么？我们从反证法视角来看:若四 边形是平面四边形，由于平面M C i )与平面 山仏平行，依据平面与平面平行的性质定理可得与平行，又与平行，则E F 与平行，这是不可能的，因为C = 4，C ，= 3.因此四边形B m F 不是平面四边形，当然几何体E F Q -Z )M不可能是多面体.既然不是多面体，那更不可能是棱台，这 正是上述典型错误1的根源所在.事实上，棱台可以视为用平行于棱锥底面的平面 去截棱锥，底面和截面之间的部分.既然棱台的“祖 宗”是棱锥，那么棱台就可以还原为棱锥，即棱台各条 侧棱延长后必然相交于一点.我们从逆否命题视角来看:若侧棱延长不相交于一点，那么就不是棱台.为此 我们假设的延长线与的延长线相交于点P ，则P 点必然在直线C Q 上，利用相似的性质可得PC , _FC x_3 PC , _EC X_ A、3 _4出现矛盾！故几何体E F Q -D B C 不可能是棱台， 再一次说明这种解法是错误的.初看典型错误2似乎正确，其实不然！因为由图 4发现几何体-D B C 其实是凹多面体，而上述典 型错误2本质上默认了所求几何体E F q -D B C 是凸 多面体，这正是上述典型错误2的症结所在.那正确 解法是什么呢？请看：连接，将几何体E F Q -D B C 分割成三棱 锥和四棱锥，如图4所示.由已知可得C '= 4，Q F = 3，依据锥体体积公式可得图4这一凸一凹正好相差6，这就是为何上述典型错 误2比正确解答的结果多6的原因所在.7〇EhM^目前各种版本教科书上呈现的几何体大多是凸多面体（注：教科书中的面积及体积公式也是针对凸多面体而言的），因此学生（甚至部分教师）误 以为多面体都是凸多面体，因此教师在教学中应该 明确指出并非所有几何体都是凸多面体，并适当举 一些凹多面体案例让学生辨析，同时恳请教科书主 编在再版时适当添加凸多面体概念，这样可以更加 有效地降低这些错误发生的概率.正如文[6]所 言，剖析概念就是“照镜子”，即深刻反思教师概念 教学中的失误之处，诚恳看作检查自己教学效果的 一面镜子，提高自身业务水平；剖析概念也是“治 病根”，即顺着思路，追根溯源，深究错误起因、深 挖错误根源，从本源上找出“元凶”、铲除“土壤”、肃清“根基”，真正巩固概念.类似错误经常发生在对复杂空间几何体分割或补体中.5."正棱柱”概念一知半解而导致错误【案例5】一个棱柱是正四棱柱的条件是（)A. 底面是正方形，有两个侧面是矩形B. 底面是正方形,有两个侧面垂直底面C. 底面是菱形，有一个顶点处的三条棱两两垂直D. 每个侧面都是全等矩形的四棱柱典型错误:几乎绝大部分考生不假思索地否定C 或D而毫不犹豫地选择A或B.错因及应对策略:案例5是某地高三模拟试题，是依据教材习题改编而来，看似简单但得分的统计结 果让人大跌眼镜，仅仅不到5%的学生答对！为什么？因为正棱柱定义明确要求底面必须是正多边形.殊不 知，正方形就是特殊的菱形，就是菱形与矩形的“交 集'况且正棱柱还有一个“致命”条件，即必须满足是 直棱柱，A中“两个侧面是矩形”并不能保证侧棱与底 面垂直;同理B中“两个侧面垂直于底面”也不能确保 侧棱与底面垂直，因而A和B都是错误的.其实只要 将A与B条件中添加两个汉字“相邻”，那么都是正 确的.因为“相邻两个侧面是矩形”与“相邻两个侧面 垂直于底面”的棱柱都可以证明是直棱柱，鉴于此，选 择支D必然是直棱柱，但是其底面可能是菱形，故只能选择C.由C中条件“有一个顶点处的三条棱两两 垂直”不仅容易证明侧棱与底面垂直，而且还可以得 到底面四边形有一个内角为直角，结合已知“底面是 菱形”，则底面是正方形，因此选择支C才是正确的.概念是数学的细胞，概念是数学的灵魂，概念是 形成数学能力的根基，唯有厘清概念才是解决问题的 法宝.类似错误也常见于正棱锥、正棱台的有关问题 中，应该引起师生的高度关注.6.难以构造恰当模型而导致错误【案例6】已知a,6是两条异面直线，以下四个 命题：① 过不在^ 6上的任意一点，可作一个平面与^ 6都平行；② 过不在a,6上的任意一点，可作一条直线与a, 6都相交；③ 过不在a,6上的任意一点，可作一条直线与a, 6都平行；④ 过a可以并且只可以作一个平面与6平行.其中假命题的序号为___________•典型错误:学生普遍对相关概念模糊不清，认为 命题①与命题②是真命题.错因及应对策略:面对案例6,很多考生几乎无 从下手，一会儿感觉上述命题都是真命题，可又无法 严密论证;一会儿感觉上述命题都是假命题，可又举 不出反例，只能瞎蒙.某地曾将案例6作为招聘教师 的考题，结果90%的教师答错.事实上，新课标教科 书与原来教科书之间的差异不仅体现在内容编排顺 序上,更凸显在课改理念上.新课标教科书自始至终 贯彻“直观感知、动手操作、论证推理、度量计算”的 理念，其中将“直观感知”突出体现在最熟悉、最简 单、最有效的“长方体”模型上.因此在解决立体几何 问题，尤其是涉及异面直线的问题时,我们更应该牢 记“长方体”这一最佳、最美载体，正可谓“得长方体 者得立体几何天下也其实,对于①，如图5所示，我们把棱皂R所 在直线分别看作异面直线《，6,确实存在过不在异面备考教学0)71直线a，6上的某些点，可以作一个平面与a，6都平行.比如过长方体从的棱C Q上的点M (不包括端点）所作的平行于平面的平面M7VP(?都满足条件.那么究竟有哪些点不满足呢？我 们知道对于异面直线a，6来说，必然存在一对分别过 a，6的平行平面a(即为平面皂)，（即为平面 ABC/))，此时只要点F落在平面a或平面0内（如图6 所示），那么过点F就不能得到满足题意的平面，故① 是假命题.这样做不仅使学生真正理解概念，而且心 中明白到底哪些点满足、哪些点不满足.学生一旦掌 握，以后再也不会出现类似错误.◎评价对于②，同理可得当F e平面从C D或点F e平 面皂仏Q仏（如图6所示），不可能作一条直线同时与 a，6都相交.至于③，利用反证法可以立即予以否定.④的本质就是求异面直线所成角时，将直线6平移到直线6'，且直线6'与直线a相交，此时相交直线确定 唯一的平面，即为所求作的唯一平面（如图7所示），故④是真命题.因此假命题的序号为①②③.新课标人教版教科书主编在书首“主编寄语”中明确指出，数学是清楚的.清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论.数学中的命题，对就是对，错就是 错，不存在丝毫的含糊.阐述数学概念，既可以从正面 给予严密论证，也可以从反面结合模型（即反例）进行 否定，这样一正一反，相得益彰，交相辉映，从而实现 概念清晰化、准确化、精致化.72 k h___7.无法与其他知识综合运用【案例7】如图8所示，在A从(：中，从= BC= 2, Z从C= 120。
(完整word版)多次运用基本不等式错解例析
多次运用基本不等式错解例析在《不等式》的学习中,我们结识了一个重要的不等式定理，即基本不等式(又叫均值定理)，这个定理在解题中应用十分广泛，运用基本不等式时除了要注意 “一正、二定、三相等” 的条件以外，当多次运用基本不等式时,如果忽视了取等号的条件也一样会功败垂成,前功尽弃.例1.设x ∈(0,π),则函数f(x)=sinx+xsin 4的最小值是( ) A ．4 B. 5 C.3 D.6 【典型错误】因为x ∈(0,π),所以sinx>0,x sin 4>0, f(x)=sinx+x sin 4≥2x x sin 4sin ⋅=4 因此f(x)的最小值是4.故选A.【错因分析】忽略了均值不等式a+b ≥2ab (a>O,b>0)中等号成立的条件：当且仅当a=b 时等号成立．事实上，sinx=xsin 4不可能成立，因为它成立的条件是sinx ＝±2，这不可能． 【正确解答1】f(x)=sinx+x sin 4=sinx+x sin 1+x sin 3,因为sinx+xsin 1≥2, 当且仅当sinx=1，即x=2π时等号成立.又x sin 3≥3，当且仅当sinx=1,即x=2π时等号成立．所以f(x)=sinx+xsin 4≥2+3=5,f(x)的最小值是5. 故选B. 【正确解答2】令sinx=t,因为x ∈(0,π)，所以0<t ≤1，所给函数变为y=t+t 4易知此函数在区间(0,1]上是减函数，所以，当t=1时,y 取最小值5.故选B.例2.若实数m,n,x,y 满足条件m 2+n 2=a,x 2+y 2=b(a ≠b) ,则mx+ny 的最大值是 .【典型错误】因为a+b=m 2+x 2+n 2+y 2≥2mx+2ny,所以mx+ny ≤2b a +，即mx+ny 的最大值为2b a +. 【错因分析】m 2+x 2≥2mx 的等号成立的条件是m=x,n 2+y 2≥2ny 的等号成立的条件是n=y.所以m 2=x 2，n 2=y 2⇒m 2+n 2=x 2+y 2即a=b,与a ≠b 矛盾．因此mx+ny 不可能取到最大值2b a +． 【正确解答】令m=a cos α,n=a sin α,x=b cos β,y=b sin β，则mx+ny=ab (cos αcos β+sin αsin β)=ab cos(α-β)≤ab ,所以mx+ny 的最大值是ab ．例3.求函数f(x)=x 2+324-x x (x 2>3)的最小值． 【典型错误】f(x)=x 2+33233)3(23333224224224≥+=+-⋅-≥+-+-=-x x x x x x x x x ，因此函数f(x)的最小值为3.【错因分析】上述解答中两个等号成立的条件不一致，第一个等号成立的条件是x 2-3=324-x x ，即x 2=23；第二个等号成立的条件是x 2=0.因此f(x)=3不可能取到.【正确解答】f(x)=x 2+324-x x =x 2+39)3(6)96(2224-++++-x x x x =(x 2-3)+ 26939)3(2339)3(6)3(222222≥+-+-=+-+-+-x x x x x +9,当x 2=3+23时取等号,因此函数f(x)的最小值为62+9.。
例析均值不等式的两种典型应用
龙源期刊网
例析均值不等式的两种典型应用
作者：柳荣
来源：《理科考试研究·高中》2013年第06期
均值不等式是高中数学中非常重要的一个不等式类型，要求学生能利用均值不等式
a+b≥2ab，已知a与b的积为定值会求a+b的最值；能充分理解均值不等式的适用条件“一正二定三相等”.本文将通过举例来说明如何灵活利用均值不等式求函数的最值.
题后小结当题中出现两个变量的一次式与倒数和式时，不可以多次用均值不等式求最值及范围（因为多次用时等号成立条件不一定相同），而是一次式与倒数和式相乘展开就会凑到均值不等式的“变量a，b的积为定值求a+b的最值”.这样只需用一次均值不等式即可.。
平均数计算的常见错误与纠正：人教版教学实例分享
平均数计算的常见错误与纠正：人教版教学实例分享平均数是数学中常见的统计量，它可以帮助我们了解一组数据的总体趋势。
然而，在计算平均数的过程中，常常会出现一些错误。
本文将通过人教版教学实例分享，介绍一些常见的错误，并提供纠正方法，以帮助读者正确计算平均数。
一、忽略数据项在计算平均数时，常见的错误之一是忽略了数据集中的某些项。
这种错误可能导致计算结果的偏差。
例如，一个班级有30名学生，但在计算平均年龄时，有人只考虑了其中的20名学生，而忽略了其他10名学生的年龄。
正确的做法是将所有数据项都纳入考虑范围，确保计算结果是全面准确的。
二、未考虑数据的权重有时候，数据项可能具有不同的权重，但在计算平均数时却未予以考虑。
例如，一个班级里有20名男生和10名女生，如果在计算平均身高时简单地将男生和女生的身高加总后再平均，就会出现误差。
正确的做法是将男生和女生的身高分别加总，然后按照各自的人数进行加权平均。
三、未排除异常值在计算平均数时，异常值的存在可能会对结果产生较大影响。
但有时候，人们未能正确识别和排除异常值，从而导致计算结果的失真。
例如，一个班级里有29个年龄在10岁左右的学生，但有一个学生的年龄是50岁，如果直接计算平均年龄，结果将被异常值拉高。
正确的做法是先检查数据，确定是否存在异常值，并在计算平均数时将其排除。
四、未考虑数据的测量单位在计算平均数时，必须考虑数据的测量单位，以确保计算结果的准确性。
例如，如果一个班级的学生身高数据一部分以厘米为单位，一部分以米为单位，如果直接进行加总再平均，结果将产生严重的误差。
正确的做法是将数据统一转换为同一种测量单位后再进行计算。
五、未明确计算平均数的方法计算平均数有多种方法，包括算术平均数、几何平均数、加权平均数等。
未明确计算平均数的具体方法可能导致结果无法达到预期。
在教学中，要确保学生清楚地理解什么是平均数以及如何计算，并根据具体情况选择合适的计算方法。
通过人教版教学实例的分享，我们可以看到在教学中计算平均数时可能出现的一些常见错误，并且了解到纠正这些错误的方法。
例谈应用均值不等式要注意的问题
例谈应用均值不等式要注意的问题
应用均值不等式时，要注意以下几个问题：
1.指定正确的变量：应该选择满足均值不等式要求的变量，否则就会得出错误的结论；
2.常数项不能过小：加入常数项来引导收敛到最优解，如果常数项过小，就会使迭代不收敛；
3.允许噪声：当作为替代均值平方误差时，允许噪声，可以更好地拟合实际数据；
4.避免异常值的影响：应该避免异常值的干预，这样可以保证模型对数据的准确性；
5.正确选择梯度方法：采用均值不等式的情况下，要选择适当的梯度方法，以正确反映数据特征。
均值不等式解题教学中逻辑错误的纠正
均值不等式解题教学中，逻辑错误的纠正对于学生的学习应用非常重要。
均值不等式
是数学学习中常用的一种技巧，它可以用来帮助学生解决复杂的数学问题。
然而，由于解题教学中存在着一些逻辑错误，学生往往会被这些细节问题困扰，甚至无法正确理解均值不等式的含义。
首先，教师在解题教学中应该充分讲解均值不等式的基本概念，包括它的定义、公式
以及其含义，以便学生能够正确理解均值不等式。
其次，教师应该正确引导学生，使学生
能够正确地利用均值不等式解决问题。
在解题过程中，教师应该让学生自己思考，学会根
据实际情况和问题的特点，正确地运用均值不等式，以达到解决问题的目的。
此外，教师还应该尽可能多地给予学生实际的操作练习，以让学生能够更好地理解均值不等式的实际意义。
最后，教师应当经常对学生的解题过程进行检查，及时纠正学生在解题过程中出现的逻辑错误，从而让学生能够更好地理解均值不等式的概念，以及正确地
运用它来解决数学问题。
综上所述，均值不等式解题教学中逻辑错误的纠正是非常重要的。
教师应当正确引导
学生，使学生能够正确地理解均值不等式的概念，并正确地运用它来解决数学问题；此外，教师还应当给予学生足够的操作练习，及时纠正学生在解题过程中出现的逻辑错误，从而
使学生能够更好地理解和应用均值不等式。
让学生在思维碰撞中把握数学本质——关于均值不等式应用的教学案例及思考
2013-05教学实践普通高中课程标准实验教科书数学必修5第99页的例1（（1）用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？）是一个应用均值不等式求函数最大（小）值的实际应用问题，该例题经过拓展就能得到如下一个重要的数学结论：已知x ，y 都是正数，（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x=y 时，和x+y 有最小值2P √；（2）如果和x+y 是定值S ，那么当且仅当x=y 时，积xy 有最大值14S 2.以往的教学经验告诉我们，学生对这一结论的理解有着相当大的困难，究其原因就是对该结论数学本质的把握不到位，从而造成学生在解题过程中乱用结论的现象屡屡发生.教学中究竟如何有效地突破这一难点？笔者有幸听到这样一节课，听后非常耐人寻味.一、部分课堂教学实录1.设疑———引发认知冲突完成例1教学之后，老师要求学生解答这样一道思考题：“已知x >1，求函数y=x+1x -1的最小值.”经过学生充分的思考、研究，教师稍加巡视后，叫了两位学生在黑板上板演.学生甲：解：∵x >1，∴x -1>0∴y=x+1x -1≥2x ·1x -1√=2x x -1√.当且仅当x=1x -1时，即x 2-x-1=0，亦即x=1+5√2时，上式等号成立.将x=1+5√2代入y=x+1x -1，得y min =1+5√.学生乙：解：∵x >1，∴x -1>0由均值不等式得y=x+1x -1=（x -1）+1x -1+1≥2（x -1）·x x -1√+1=3当且仅当x -1=1x -1，即x =2时，y min =3.2.激疑———讨论交流两位学生得到了两种答案，究竟哪个答案正确呢？这时课堂气氛一下子活跃了.此时，教师因势利导，干脆放手让学生充分地进行探讨、交流.在此基础上，要求学生发表各自的见解.学生丙：我认为乙的答案正确，因为我的答案与他的一样.但我是用一元二次方程根的分布知识求解的.这时，教师把学生丙的解题过程用投影仪展示给大家：解：由y=x+1x -1，得x 2-（y +1）x+y +1=0……※由条件知，方程※至少有一个大于1的实根，因此Δ=（y +1）2-4（y +1）=y 2-2y -3≥0，即y ≤-1或y ≥3……（1）而方程※的两实根x 1，x 2都不大于1时，即x 1≤1且x 2≤1时，应有Δ≥0（x 1-1）+（x 2-1）≤0（x 1-1）（x 2-1）≥0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐，即Δ≥0x 1+x 2≤2x 1x 2-（x 1+x 2）+1≥0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐结合韦达定理，得y 2-2y -3≥0y +1≤21≥0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐∴y ≤-1……（2）由（1）（2）知，方程※至少有一个大于1的实根的条件是y ≥3，因此y min =3.学生丁：我也认为乙的答案正确，因为我利用函数的单调性求出的答案与他一样，至于为什么乙的解法正确而甲的解法错误我说不来.这时，教师又把学生丁的解答过程用投影仪展示给大家：解：设t=x -1，由于x >1，因此t >0且x=t +1，代入y=x+1x -1得y=t+1t +1，利用函数f （x ）=x +a x （a >0），x ∈（0，+∞）的单调性（注：教师以前讲过这个函数的性质）知：在y=t+1t+1在t ∈（0，1］上递减，在t ∈［1，+∞）上递增，因此，当t =1即x -1=1，亦即x =2时，y min =3.3.释疑———巧用方法，突出本质至此，大家已深信学生乙的答案是正确的，但至于为什么，大多数学生还是不明白.教师仍让学生发表见解，这时一位学生站起来说：“甲的解法仅仅说明：当x >1时，函数f （x ）=x +1x -1的函数值总是大于或等于函数g （x ）=2x x -1√的函数值，有且只有一种情况，两者的函数值才相等，即x=1+5√2时，f （x ）=g （x ）=1+5√.但它并没有解决函数f （x ）=x +1x -1（x >1）的最小值是什么的问题.”这位学生继续说道：“学生乙的解法说明：函数f （x ）=x +1x -1（x >1）的值总是大于或等于3的，有且只有一种情况，即x =2时，f （x ）的值才等于3，因此f （x ）min =3.”根据这位学生的回答，教师立即用几何画板画出两函数图象如右：听了这位学生的发言及教师展示的函数图象，大家才恍然大悟.教师对学生的表现给予了积极的评价，学生脸上洋溢着幸福的微笑.当教师引导学生得到“若两个正数的积为定值，则它们的和有最小值（当且仅当这两个正数相等时，和取得最小值）”这样一条结论后，才开始引导学生得出本文一开始提及的数学结论和结论的证明及接下来的教学……二、教学体会与思考以前我听一些教师上这节课时，几乎都是一个模式：先复习让学生在思维碰撞中把握数学本质———关于均值不等式应用的教学案例及思考文/陈森伟董国斌f （x ）=x +1x -1（x >1）g （x ）=2xx -1√（x >1）116--. All Rights Reserved.2013-05教学实践均值不等式：若a，b∈R，则a+b2≥ab√（当且仅当a=b时取“=”号），紧接着讲解例1，并由此归纳出结论：“已知x，y都是正数，（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2P√；（2）如果和x+y是定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值14S2.”然后通过举例，归纳出利用均值不等式求函数最大（小）值必须满足的三个条件：“一正、二定值、三相等”（“一正”是指a，b满足正数条件，“二定值”是指a，b两数的和或积有一个是定值，“三相等”是指等号能否成立），然后是反馈练习与布置课后作业.而上述这位教师却反其道而行之，其教学方法值得人们深思.多年的经验告诉我们，本节课的重点是利用例1的拓展结论求函数的最值，而难点却是对这一结论的实质的把握.传统教学中，尽管学生能够利用这一结论求一些函数的最值，但对“为什么和（积）为定值时，积（和）才达到最大（小）值”这一问题总是理解不透，就像本节课开头中学生不能理解甲的解法的错误是一样的.其主要原因是：学生的学习是在教师讲授下的被动接受和机械模仿，没有经历数学规律的探索过程，缺乏对数学规律的感性认识.而这位教师却恰恰相反，他把学习的主动权交给学生，通过一道思考题的解答，为学生提供了自主探索与合作交流的机会，鼓励学生发现数学的规律，探究问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.事实上，当学生通过思考、讨论、交流而完成了思考题的解答时，本节课的教学重点与难点基本上得到了解决与突破，教师接下来的教学便是水到渠成的事情了.《普通高中数学课程标准》的基本理念之一就是要“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”，该理念认为“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习”的被动学习方式，强调“高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些学习方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程.”教学中要“为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯”.按照这一基本理念，我们的数学教学就应该是在教师指导下的、以学生独立自主学习和合作讨论为前提的数学探究活动，也是教师通过各种措施和途径，把学生数学学习过程中的发现、探索、研究等认识活动突现出来，使学生数学学习过程更多地成为学生发现问题、提出问题、解决问题的过程，从而理解数学概念和数学方法本质的一种再创造过程.这位教师的可贵之处，就在于他能为学生创设适当的问题情境，引起学生认知的冲突，产生疑惑，并能充分利用丰富的、鲜活的课堂资源来激发学生独立思考、讨论交流，并运用恰当的教学方法与手段，引导学生不断探究问题的实质，最终使问题获得圆满解决.体现了以教师为主导、以学生为主体的教学原则，真正实现了教师教学观念的更新和学生学习方式的转变，培养了学生独立思考的习惯、探索精神和合作意识.在数学探究中，使学生体验到数学研究的过程和创造的激情，有利于培养学生对数学的感情，增强学生学习的自信心和克服困难的意志力，提高了学生的数学能力和数学素养.愿我们的数学课堂多出现这样良好的局面.参考文献：徐斌艳.新课标与“数学教学内容”.广西教育出版社，2004-09.（作者单位丽水学院附属高级中学）语文是综合性最强的一门人文学科。
均值不等式典型错误案例分析
均值不等式典型错误案例分析第一篇：均值不等式典型错误案例分析均值不等式典型错误案例分析四川省何成宝题目：已知正数x，y满足x+2y=1，求解法一: ∵x+2y=1 ∴11+的最小值.xy11111+=(x+2y)(+)≥22xy·2=42 xyxyxy11+的最小值为42.xy① 故1⎧x+≥2⎪x⎪解法二: ∵ ⎨1⎪2y+≥22⎪y⎩①+② 得 x+2y+②11+≥2+2 xy ∴11+≥1+22xy11+的最小值为1+22.xy故解法三: ∵x+2y=1∴11112yx+=(+)(x+2y)=3++≥3+2 2 xyxyxy11+的最小值为3+22.xy故以上三种解法得到三个不同答案,显然至少有二个是错误的.那么究竟错在什么地方呢? 错解剖析: ∵ x=2y, 11= 矛盾xy∴不能取等,故解法一错.由①式 x=1⇒x=±1, ∵ x∈R+ ∴x=1 x由②式 2y=122+ , ∵ y∈R∴y=.⇒y=±y22不满足已知条件x+2y=1,故解法二错.当且仅当 2yx =时,等号成立,且满足均值不等式的条件“一要正,二可定,三能等.”xy第二篇：均值不等式均值不等式定义Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
其中：1、调和平均数：2、几何平均数：3、算术平均数：4、平方平均数（均方根）：一般形式设函数（当r不等于0时）；（当r=0时）特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形。
特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：当且仅当时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。
记忆调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
均值不等式的变形(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)证明均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
均值不等式应用与例题解析(教案)
解：y x4 2 x2
1 x2 x2 4 2x2
2
1 x2 x2 4 2x2 3 32
2
3
27
当且仅当x2 4 2x2 ,即x 2 3 3
32 ymax 27
（C ）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
解析：y
3x
12 x2
3x 2
3x 2
12 x2
33
3x 3x 22
5.若 0 x 5 ,当x = 5/4 时,
2
y = x(5 – 2x)有最大值 25/8 .
6.若x>0,则
y
x x2
2
最大值为
.
➢六、一题多解
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
方法讲解：
最大值 2 (a=1 b=2) 变形2：a,b是正数且a b 4，求ab的最值
2
最大值8 (a=2 b=4)
练习 :1.函数 f ( x) x 2 3x 1 ( x 1)
x 1
求函数f(x)的最小值.
换元法凑积定：从高次到低次逐步 用x+1代入分子的x中，边代入边配 项，目的使得有二项相乘为定值， 不管常数。
x
5 log2
x
(0
x
1)
解：（取值需要判别ab正负，x＞0是对对数函数的，
不是对a和b的）
例9. 函数y= x 1 (x ≥ 0)的最小值 x 1
为___1___,此时x=___0___.
二 不 定 ,需 变 形
∴x=0
例10.a,b是正数且a b 4，求ab的最值
均值不等式错用例析
均值不等式错用例析陈具才【期刊名称】《数学教学研究》【年(卷),期】1990(000)001【摘要】均值不等式是指（a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+…+a<sub>n</sub>）/n≥（a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>…a<sub>n</sub>）<sup>1/n</sup>。
其中n∈N,a<sub>i</sub>>0,i=1,2,…,n。
当且仅当a<sub>1</sub>=a<sub>2</sub>=…=a<sub>n</sub>时,等号成立。
这个不等式的含义是:若干正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
均值不等式在初等数学中有着非常重要而广泛的应用。
近年来在各种试题中,涉及它的题目屡见不鲜。
现行中学数学教学大纲中,对n=2,3的情形是作为基本不等式要求学生必须掌握的。
因而在教学中应该予以【总页数】3页(P8-10)【作者】陈具才【作者单位】甘肃渭源县莲峰中学【正文语种】中文【中图分类】G633.6【相关文献】1.均值不等式在数学中的应用——伯努利不等式与指数函数不等式 [J], 宫丽2.均值不等式的巧用例析 [J], 屈昕3.运用均值不等式解题误区例析 [J], 乔建华4.二次函数在闭区间上的最值问题两类轴对称问题的辨析小议辅助角公式的求解策略抽象函数问题分类例析均值不等式的应用与分析对称问题中参数范围的一种求解策略关于解不等式问题的若干策略简化解析几何计算的若干策略“定”，“动”相宜——二次函数在闭区间上的最值问题 [J], 蔡永强5.均值不等式在竞赛数学中的应用——均值不等式等号成立的构造 [J], 张伟; 李娜因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。