利用全息透镜阵列实现多通道的分数傅里叶变换_颜才杰
分数阶傅里叶变换的原理与应用
分数阶傅里叶变换的原理与应用一、分数阶傅里叶变换的原理1.1传统傅里叶变换的局限性传统的傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，但其变换后的结果是旋转对称的，并且无法提供选择性的时频分辨率，即无法同时精确地描述信号的瞬时特性和频率特性。
1.2分数阶傅里叶变换的引入为了弥补传统傅里叶变换的不足，分数阶傅里叶变换被引入。
分数阶傅里叶变换是将传统傅里叶变换的旋转对称性由倾斜对称的情况首次引入到信号处理领域。
1.3 分数阶傅里叶变换的定义F(a,b) = ∫f(t)K(a,b,t)dt其中，a和b是变换的参数，f(t)是原始信号，K(a,b,t)为分数阶的核函数，核函数代表了信号在时域和频域中的变换关系，通过核函数可以实现对信号的不同时频特性的描述。
1.4分数阶傅里叶变换的数学表达式F(a,b) = ∫f(t)exp(-jπat²)exp(-jπb²/t²)dt其中，a和b分别代表旋转因子，通过调整a和b的取值，可以实现对信号的不同时频域特性的描述。
二、分数阶傅里叶变换的应用2.1信号处理2.2通信系统2.3图像处理2.4声音和视频处理2.5生物医学信号处理分数阶傅里叶变换在生物医学信号处理中也有广泛应用，如心电信号分析、脑电信号分析、磁共振成像分析等。
通过对生物医学信号进行分数阶傅里叶变换，可以实现对信号的精确分析和刻画，从而有助于疾病的早期诊断和治疗。
总结：分数阶傅里叶变换作为傅里叶变换的一种扩展形式，克服了传统傅里叶变换的不足，通过调整变换的参数，分数阶傅里叶变换可以实现对信号的精确时频分辨率分析，被广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理、声音和视频处理、生物医学信号处理等领域。
随着对分数阶傅里叶变换的进一步研究和应用，相信将会有更多的应用场景被发现，为信号处理和通信领域带来更多创新和发展。
傅里叶光学的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 深入理解傅里叶光学的基本原理和概念。
2. 通过实验验证傅里叶变换在光学系统中的应用。
3. 掌握光学信息处理的基本方法，如空间滤波和图像重建。
4. 理解透镜的成像过程及其与傅里叶变换的关系。
二、实验原理傅里叶光学是利用傅里叶变换来描述和分析光学系统的一种方法。
根据傅里叶变换原理，任何光场都可以分解为一系列不同频率的平面波。
透镜可以将这些平面波聚焦成一个点，从而实现成像。
本实验主要涉及以下原理：1. 傅里叶变换：将空间域中的函数转换为频域中的函数。
2. 光学系统：利用透镜实现傅里叶变换。
3. 空间滤波：在频域中去除不需要的频率成分。
4. 图像重建：根据傅里叶变换的结果恢复原始图像。
三、实验仪器1. 光具座2. 氦氖激光器3. 白色像屏4. 一维、二维光栅5. 傅里叶透镜6. 小透镜四、实验内容1. 测量小透镜的焦距实验步骤：（1）打开氦氖激光器，调整光路使激光束成为平行光。
（2）将小透镜放置在光具座上，调节光屏的位置，观察光斑的会聚情况。
（3）当屏上亮斑达到最小时，即屏处于小透镜的焦点位置，测量出此时屏与小透镜的距离，即为小透镜的焦距。
2. 利用夫琅和费衍射测光栅的光栅常数实验步骤：（1）调整光路，使激光束通过光栅后形成衍射图样。
（2）测量衍射图样的间距，根据dsinθ = kλ 的关系式，计算出光栅常数 d。
3. 傅里叶变换光学系统实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在光栅后放置傅里叶透镜，将光栅的频谱图像投影到屏幕上。
（3）在傅里叶透镜后放置小透镜，将频谱图像聚焦成一个点。
（4）观察频谱图像的变化，分析透镜的成像过程。
4. 空间滤波实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在傅里叶透镜后放置空间滤波器，选择不同的滤波器进行实验。
（3）观察滤波后的频谱图像，分析滤波器对图像的影响。
五、实验结果与分析1. 通过测量小透镜的焦距，验证了透镜的成像原理。
透镜的傅里叶变换性质
j
2
x
f
x0
y
f
y0 dx0dy0
c
t(x0, y0 )
f
x
x f
,
f
y
y f
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在透镜的后 焦面上得到物体的准确的傅里2 透镜的傅里叶变换性质 物理解释
后焦面上光场分布与频谱的对应关系
物分布t (x0,y0)是一个复杂结构, 含有多种空
x
d0
)
,
(q
y
d0 )
仍为物体的F.T., 但
1.仍有二次位相因子 2. 频谱面取值fx =xf /qd0), qd0), 随距离d0 而变. 通过调整d0, 可改变频谱的尺度
fy = yf /
当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都是等
价的。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面， 则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关 系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。
关系。
利用菲涅耳公式，透镜前表面:
dUl
( x0
',
y0
';
x,
y)
exp( jkd0 )
jd0
(
x0
x0
,
y0
y0
)
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d0
y
y0
)2
dx0dy0
可写成:
exp[ jkd0
jd 0
]
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d 0
透镜的傅立叶变换性质全文
U
(
x,
y)
c
exp
jk
( f d0)(x2 2[q( f d0 )
y2)
f
d0
]
t(x0 , y0 )
exp
jk
f (x0x y0 y) q( f d0 ) fd0
dx0dy0
二次位相 因子
F.T.的核
(1) d0=f, 输入平面位于透镜前焦面:
U (x, y) c
2.无论物体相对于透镜的距离d0是多少，后焦面上 的强度分布不受影响,它仍然是物体的功率谱。
I x f , y f
A
f
2
T
xf
f
, yf
f
2
3.透镜的后焦面通常称为傅立叶变换平面或频谱面。
作业
一个边长为 a 的方孔，放在焦距为 f 的透镜的前焦面上，孔中心位于透镜
的光轴。用波长为 的单色平面波垂
y0
z
yl
yi
d0
di
分析时注意：
确定坐标系. 一个特定平面用一组固定的xy坐标描述, 不要混淆 正确描述入射光波复振幅U (x, y)
(平面波:垂直入射或斜入射; 球面波:会聚或发散) 光波由左向右传播,传播距离标绝对值 遇到孔径: 乘上透过率函数t(x, y), 遇到透镜: 乘上位相变换因子 传播过程: 看成菲涅耳衍射, 采用适当的形式
U0 (x0,y0,0-) x0 U0 (x0,y0,0+) y0 t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
实现位相变换:
Ul '(x',
y')
Ul (x',
4.2透镜的傅里叶变换特性
1 1 1 − = di d0 f
σ=
(d 0 − d1 )d i (d 0 − d1 ) f
d0 = d0 + f
d1 = − f
(∞ + f )(− f + f ) = 0 µ=
(∞ − f ) f 2
1 1 ⇒ = di f di = f
1 1 1 ⇒ − = di ∞ f
U ( xi , yi ) = C ℑ{t ( x1 , y1 )}
透镜的傅里叶变换特性dxdy把前面各式代入且用c表示积分号前的常量将指数式中平方项展开并进行合并可得dxdydydxjkdxdydydxjk物平面的共轭面得到物的像dydx的位相因子外便是tx根据第三章对会聚光照明下的菲涅耳衍射的讨论可知观察面上得到的将是的傅里叶变换可以写作可以看到通过光源共轭点的观察面上得到的是的傅里叶变换和一个二次位相因子的乘积
(
)
(
)
(
)
U (x i , y i
)=
C
∫
∫∞ ∫ −
∞
η ∫∞ t (x 1 , y 1 ) exp jk 2 dx 1 dy 1 dxdy −
∞
1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 − x1 + y1 + xi + y i + − − x + y2 η= d −d d d di d1 f 0 1 i x i x1 y i y1 − 2 − x − 2 − y d d d1 d1 i i
k 2 2 U ( x i , y i ) = C exp j µ ( x i + y i ) ℑ {t ( x1 , y1 )} 2
傅立叶变换全息图
五、 结论
定影、显影之后在全息干板上形成一个黒色的斑点，将全息干板放回原处， 挡住物频谱光，用参考光照射（也可用激光直接照射）黑色斑点，调节全息干板 法线方向与参考光的夹角，就会在全息干板后的光屏上发现全息像，此像为实像；
逆着激光束方向，从全息干板的背面透过激光束照射的黑色斑点往里看（注意不 要让激光直接射入你的眼睛），就可以看到另一全息像，此像为虚像。
傅里叶变换全息图的存储的是物体的频谱信息，在底板上成像所占的面积很 小，而且在底板同一位置用不同方向的参考光可以记录不同物分布的频谱，用不 同方向的激光可以分别再现出原来的像，只要满足一定条件，这些再现的像是不 会重合的。因此同样的底板可以记录更多的信息，存储容量大。
四、 实验内容
实验光路 (一)
激光器
透镜 1 反射镜
透镜 2
屏
B
透镜 5 物体
快门 反射镜
A
半透半反
透镜 4
透镜 3 反射镜
图 2 傅里叶变换全息拍摄光路图
实验步骤： 1． 打开 He-Ne 激光器，调节激光器，使出射的激光与光学实验平台水平， 激光束的高度应与小孔相匹配，因为小孔、透镜的高度可变范围较小。 在实际调整中，激光的水平高度以中心最高的透镜为标准。 2． 放入反射镜和分束镜，调节各镜面的俯仰角，使经过分束和反射的激 光束所在平面与光学实验平台水平，物光强度要弱很多。 3． 调节透镜 L 的前后位置，使其出射光为平行光。调节过程中拿一纸片， 前后移动，观察出射光束的半径是否变化，如有变化，调节透镜 L 前 后位置，直到出射光束的半径无明显变化。再调节一下透镜 L 的高度 和镜面与光束的夹角，使光束穿过透镜 L 的光心。 4． 再放入透镜 L1，其位置选择要合适，使其与透镜 L 的距离大于其自身 焦距，并且同样要调节其高度和与光束的夹角，使光束穿过光心，即 要求整个光学系统共轴等高。拿一光屏，找到透镜 L1 的后焦点，放上 光屏，即放全息干板的位置，用米尺量取光屏到透镜 L1 的光心的距离， 在其右边量取同样的距离，即是其前焦点，放上物。 5． 调节参考光路的反射镜的位置，要求物光的光程和参考光的光程相 等，物光和参考光照在同一点上，且物光光束和参考光束的夹角在 10-30o 之间。 6． 拍摄全息图：配好显影液，定影液。盖上激光器，关灯。在底板位置 装上感光胶片后，开始拍摄傅立叶变换全息图。在底板的一个位置拍 摄，时间长 5S，移动底板，换另外一个位置拍摄，时间长为 10S，再 移动底板，换另外一个位置拍摄，时间长为 15S。 7． 取下底板放入显影液中显影二分钟，用清水冲洗一下。再放入定影液
透镜傅里叶变换
透镜傅里叶变换透镜傅立叶变换一、定义透镜傅立叶变换（Lens Fourier Transformation），是一种基于蒙特卡罗法（而不是傅立叶变换）的非线性变换，它利用光学镜头将光线聚集在非正弦函数中，从而将其转换为波形，生成新的函数，其中会出现极大的变化，有时被称为“大波形变换”。
二、原理透镜傅立叶变换是一种基于蒙特卡罗法的变换，它利用光学镜头将光线聚焦在一族非正弦函数中，从而转换成波形，看上去它们细微不同。
非正弦函数以一种分布变化的形式，把函数变成一种局部性。
透镜傅立叶变换是一种非线性变换，通过对数据进行非线性变换，可以把数据从某种特定的形式变换为另一种特定的形式。
它可以使数据和信号以新的方式展示出来，使得原本不能描述的特性可观察到，从而创造出新的信息。
三、应用1. 图像处理：利用透镜傅立叶变换，可以从图像中提取出特征和细节，这在图像压缩、模式识别、图像复原等方面具有重要的作用；2. 声音处理：透镜傅立叶变换可以精确定位和检测声音中的特定频率，从而实现音频处理；3. 量子计算：透镜傅立叶变换可以模拟量子里的特殊事件，从而帮助实现量子计算；4. 高斯投影：透镜傅立叶变换可以将几何图形映射到平行的高精度平面图上，从而实现高斯正变化；5. 光学成像：透镜傅立叶变换可以用来分析和估计光场的分布，以推导出小型微片、大型成像系统的行为。
四、优点1. 精确可控：透镜傅立叶变换对所处理数据的可控性非常强，变换的分布可以实时调节；2. 高效率：比起傅立叶变换，透镜傅立叶变换更加简单高效，一般来说比傅立叶变换快得多；3. 全面直观：透镜傅立叶变换可以更好地揭示数据背后潜在的一致性，能够全面直观地展示所传输的信息。
光全息中傅里叶变换透镜设计
光全息中傅里叶变换透镜设计王刚;孙杰;郭俊;王文生【摘要】针对光学全息再现像质较差,本文提出四片式近似全对称傅里叶变换透镜的设计.该设计根据电寻址液晶和CCD对傅里叶变换透镜的匹配要求确定设计参数.为了缩短总长,系统采用双远距结构,并利用ZEMAX自动设计软件进行优化设计.将设计结果应用于实验,获得了清晰的光学全息再现像.实验结果表明,该设计的各项指标与实验系统相匹配,具有结构简单,像质好,满足较大孔径和视场要求等优点.%A design of Fourier transform lens which adopt four-approximate symmetric structure was designed based on poor quality of optical holographic reconstructed image. The lens parameters were determined by the matching requirements of Electrically Addressed Liquid Crystal Displays (EALCD) and CCD. A double long-range structure was adopted in order to decrease total length, and optimized by ZEMAX of auto designed software. The designed result had been applied to the experiment and clear optical holographic reconstructed images were obtained. The experimental result indicates that each index of the Fourier transform lens has matched the holography system and has many advantages, such as simple and compact structure, cheap material and high-quality imaging.【期刊名称】《光电工程》【年(卷),期】2011(038)011【总页数】5页(P141-145)【关键词】傅里叶变换透镜;ZEMAX;全息光学再现;电寻址液晶【作者】王刚;孙杰;郭俊;王文生【作者单位】长春理工大学现代光学测试实验室,长春130022;长春理工大学现代光学测试实验室,长春130022;长春理工大学现代光学测试实验室,长春130022;长春理工大学现代光学测试实验室,长春130022【正文语种】中文【中图分类】O438.1随着信息光学的发展，信息处理技术已经不仅仅局限在电子元件和计算机上，把图像作为媒介的光学信息处理系统也迅速发展起来。
用多焦点全息透镜实现多重谱分数傅里叶变换_王红霞
第31卷第9期 光 子 学 报 Vol.31No.9 2002年9月 ACTA PHO TONICA SINICA September2002 用多焦点全息透镜实现多重谱分数傅里叶变换王红霞 何俊发 赵选科 竹有章 李 俊 姜 娜(第二炮兵工程学院物理室,西安710025)摘 要 提出用多焦点全息透镜实现多重谱分数傅里叶变换.利用全息方法通过一次曝光制作出多焦点的全息透镜,分析了用此全息元件实现这种变换的条件,并在实验上实现了多重谱分数傅里叶变换.实验结果表明这种变换方法简便可行,可广泛应用于多通道光学信息处理系统及多目标图像识别系统中.关键词 全息透镜;分数傅里叶变换;多重谱;光学信息处理0 引言 傅里叶变换在科学技术的许多领域中有着广泛的应用,在光学信息处理中也取得的显著的成果.分数傅里叶变换是近年来出现的一个崭新概念,它是一种更广义的傅里叶变换,其变换阶数可以是整数、分数,因而也将具有更为宽广的应用领域和将发挥更重要的作用.1993年M endlovic和Ozaktas把分数傅里叶变换引入到光学领域,在梯度型介质中用光线理论给出了分数傅里叶变换的意义1.随后,Lohm ann采用Wigner函数也定义了光学分数傅里叶变换并给出了任意阶数的傅里叶变换的单透镜和双透镜光学实现装置2.此后,它成为信息光学中一个崭新的研究热点,在光学领域特别是在光学信息处理方面具有大量潜在的应用3～5,对分数傅里叶变换的研究必将推动光学信息处理领域的进一步发展.在光学信息处理中经常需要两个或更多级次的分数傅里叶变换进行级联,有时还需要同时产生多重频谱分布,由于分数傅里叶变换的特殊性质,要求级联的前一级结构的标准焦距等于后一级结构的的标准焦距,这样对不同分数阶的傅里叶变换,需要不同焦距的变化透镜,有时所需的焦距值还是非整数值,这在实验室是不容易满足的.为此,人们想到用全息方法可方便制作任意焦距的全息透镜实现分数傅里叶变换6,7,本文研究一种多焦点的全息透镜,利用它实现多重谱的分数傅里叶变换,多重谱可以作多通道光信息处理、多目标识别等.收稿日期:2002-11-111 多焦点全息透镜的制作 多焦点全息透镜相当于多个叠加在一起的全息透镜.在实验室中,可以通过拍摄多点源全息图方便制得.在一次曝光记录中,各物点源同时与参考光干涉形成多焦点的全息透镜.图1为记录光路.从He-Ne激光器出来的激光束,图1 多焦定点全息透镜记录光路Fig.1 Optical setup for reco rding multi-focus hololens 经分束镜BS后分成两束,一束经L1和L2扩束准直后形成平行光照射到正交相位光栅G上,经傅氏透镜FT变换后在其后焦面上形成离散的谱点阵;另一束激光经L3和L4扩束准直后作为平行参考光.将P面上所选定的谱点源和平行参考光同时在全息干版H上曝光,经暗室处理后即可得到多焦点全息透镜,谱点到干版H的距离Z0即是全息透镜的焦距.拍摄时注意要抑制各谱点之间由于干涉产生的无用条纹,方法是提高参考光的强度,但参考光过强,会使衍射效率降低,需要通过多次拍摄实验决定参物光强度比. 由于全息透镜具有较大象差,用上述方法拍摄的多焦点全息透镜去实现准确的分数傅里叶变换,必须对象差进行控制.分析如下:在图1中,各谱点源在H 面上的复振幅分布为O (x ,y )=∑iO oi (x ,y )ex p [j oi (x ,y )](1)其中 o i 为谱点源的位相因子,由全息理论可知8o i =(2π/λ){[(x -x o i )2+(y -y o i )2 +z o 2]1/2-(x o i +y o i +z o 2)1/2}(2)x o i 、y o i 、z o 为谱点在P 面上的坐标值.多焦点全息透镜的位相函数为二次位相因子时,才能得到较好的分数傅里叶变换结果,为此,将式(2)展开得 o i =(2π/λ){(x 2+y 2)/2z o -(xx o i +yy o i )/ z o +([(x -x o i )2+(y -y o i )2-x 2o i -y 2o i ])2/8z 3o +…}(3)上式中第一项为二次位相因子,第二项为偏转因子,第三项是象差,应使该项满足{[(x -x o i )2+(y -y o i )2-[x 2o i -y 2o i ]2}/ 8z 3o λ(4)由上式可知,对于焦距较大的多焦点全息透镜,其分数傅里叶变换的结果较好,另外对于较低空间频谱的输入物体,因所利用的多焦点全息透镜的有效面积较小(x ,y 值小),因而也能较好的满足式(4),能得到比较准确的分数傅里叶变换谱阵.图2是拍摄的焦距为f 0=500mm 的多焦点全息透镜的焦点分布和由它形成的多重像.图2多焦点全息透镜的焦点分布(a )及形成的多重像(b )F ig .2T he focal point distributio n fo rmed by multi -focushololens (a )and multi -imaging (b )2 多重谱分数傅里叶变换实验对于输入函数g (x ),Lohmann 给出的光学分数傅里叶变换的定义为2G p(v )=C ∫+∞-∞g (x )exp {(i π/λf e )[(x 2+y 2)/ tan -2xv /sin ]}d x (5)式中 =p π/2,p 为变换分数级次,f e =f sin 称为标准焦距,λ为入射光波长.用多焦点全息透镜实现多重谱分数傅里叶变换的光学实验如图3所示,注意将多焦点全息透镜反向放置,用共轭参考光照射,实验必须满足条件 f =f e sin (p π/2)(6)Z =f e tan (p π/4)(7)图3 多重谱分数傅里叶变换光学实验结构Fig .3 T he experimental structure of the multiple -spectrum fractional fourier transform图4是用焦距为500mm 的4焦点全息透镜对物体进行不同阶多重谱分数傅里叶变换的实验结果,(a )为输入物体,(b )为p =0.67时的变换结果,(c )为p =0.9时变换结果.(a )T he input object (b )T he ermansform resccle of P =0.67 (c )The transo rm resule of P =0.9 图4 多重谱分数傅里叶变换实验结果 Fig .4 Expriment results of multiple -spectrumfractio nal fourier transform3 结论实验结果表明,用多焦点全息透镜产生多重谱分数傅里叶变换是可行的.采用全息方法制作多焦点全息透镜,简单方便,成本低廉.由它产生分数傅里叶变换的多谱结构,可广泛应用于多通道的光学信息处理系统中.多焦点全息透镜的质量易受记录材料和暗室处理工艺的影响,如采用高质量的记录材料和特殊工艺制作这种透镜,有望使这种变换在实用中发挥更大的作用.1110 光 子 学 报 31卷参考文献1 M endlovic D ,O zaktas H M .Fractional Fourier transforms and their optical implementation :1.J O pt Soc A m (A ),1993,10(9):1875～18812 Lohmann A W .Image rotation ,Wigner ro tatio n and the fractional Fourier transfo rm .J Opt Soc A m (A ),1993,10(10):2181～21863 M endlovic D .Ozaktas H M ,Lohmann A W .F ractional co rrelation .Appl Opt ,1995,34(2):303～3094 Ozaktas H M ,Arikan O .Space -bandw idth -efficient realizations of linear systems .O pt Lett ,1998,23(14):1069～10715 Renu T ,G our S P ,K ehar S .Nonlinear processing and fractional -order filtering in a joint fractional Four -transfo rmcorrelator :performance evaluation in multiobject recognition .Appl O pt ,2001,40(17):2844～28596 黄奇中,杜惊雷,张怡霄等.用全息透镜实现分数傅里叶变换.四川大学学报,1999,36(5):892～8957 郭永康,黄奇中,杜惊雷等.用全息元件实现变形分数傅里叶变换.中国激光,2000,27(8):719～7238 于美光.光全息学及其应用.北京:北京理工大学出版社,1996:72～75IMPLEMENTATION OF THE MULTIPLE -SPECTRUMFRACTIONAL FOURIER TRANSFORM USINGMULTI -FOCUS HOLOLENSWang Hongxia ,He Junfa ,Zhao Xuanke ,Zu Youzhang ,Li Jun ,Jiang NaDepartment of Physics ,Second Artillery Engineering College ,X i ′an 710025Received date :2002-01-11A bstract The fractional fourier transform is a new concept which is put fo rw arded recently and has muchimportant application in optical information processing field .In this paper ,a method for implementatio n of the multiple -spectrum fractional fourier transform using a multi -focus hololens is proposed .The multi -focus hololens is made w ith holographic method and the conditions for using it as a transfo rm element is analyzed in theory .In laboratory ,the m ultiple -spectrum fractional fourier transform is realized .The experimental result show s this transform method is simple and feasible ,and it can be used in multi -channel optical information processing systems and m ulti -object recognitio n systems .Keywords Hololens ;Fractional fourier transfo rm ;M ultiple -spectrum ;Optical informationprocessingWang Hongxia w as born in Henan Province ,China .She received her BS degree from the Physics Department of Northern Jiaotong University in 1991.Now she is w orking in the Second Artillery Engineering College .Her major research is optical holog raphy and optical information processing .11119期 王红霞等.用多焦点全息透镜实现多重谱分数傅里叶变换。
2.3傅里叶全息图PPT演示课件
k
exp j
z
x y
C'exp j
k
z
x y
O
fx,fy
（9）
16
• 参考光波：
R
x,y
R
exp
j
k z
x y
exp
jf xb
f
x
x z
• 曝光光强：
U4 C*R0O* fx, f y exp j2fxb
exp
j
k 2z0
x2
y2
exp
j
k 2
1 zc
1 z0
x2
y2
(12)
与原始像对称的（-b，0）处可得共轭像，是倒立实像。 其放大率与原始像的规律相同，取决于 zC 与z0 的关系
2.3 傅里叶变换全息图
• 物体的信息由物光波所携带，全息记录了 物光波，也就记录下了物体所包含的信息。 物体信号可以在空域中表示，也可以在频 域中表示，也就是说，物体或图像的光信 息既表现在它的物体光波中，也蕴含在它 的空间频谱内。因此，用全息方法既可以 在空域中记录物光波，也可以在频域中记 录物频谱。物体或图像频谱的全息记录， 称为傅里叶变换全息图。
• （3）再现像的分辨率：再现像的分辨率取决于全 息图的宽度，它所记录的空间频率越丰富（即高频 信息越多），分辨率就越高。因而透镜孔径的限制 将起很大作用，孔径越大，截止频率越高。最理想 的是将物紧靠透镜。
12
• （4）和菲涅耳全息一样，光源尺寸及再现光 源线宽都会影响再现像的质量。再现时产生的 像的线模糊和色模糊会影响分辨率，因而对记 录时点源的尺寸及再现光源线宽要严格限制。
第十六讲多种全息图及全息衍射效率的计算.
• 体积全息图胶膜厚度满足关系式
nd h
式中d表示干涉条纹周期，n为记录介质的折射率，为记录波长
体积全息图的记录
先讨论物光波和参考光波都是平面波的情形。根据光的干涉原理， 在记录介质内部应形成等间距的平面族结构，称为体光栅，如下 图示
布喇格定律与布喇格条件
条纹面应处于 R 和 O 两光夹角的角平分线，它与两束光的夹角 θ 应 满足关系式： θ = (θ 1-θ 2 )/2 体光栅常数Λ 应满足关系式 2Λsinθ = λ 式中λ 为光波在介质内传播的波长。 体积全息图对光的衍射作用与布喇格（Bragg ）对晶体的X 射线衍射 现象所作的解释十分相似，因而常借用所谓的“布喇格定律”来 讨论体积全息图的波前再现， 上式称为“布喇格条件”，角度θ 称为“布喇格角”。
exp[ j1 cos2f x x ]
• 其中 Jm(φ
1
m
m j J m (1 ) exp(- jm2f x x)]
)是m阶贝塞尔函数。第m阶衍射光的效率公式应为 η = |j m J m ( φ 1 ) |2 • φ 1 的值取决于记录介质特性以及记录和处理条件。φ 1 不同， Jm 的值有很大差别，这一点从书中图 5.19 所示的 Jm—φ 1 曲线可 以看出，从中我们可得到最大衍射效率的理论值为： η max = 33.9 %
透射体全息
透射体全息图的情形： 物光和参考光从介质的同侧射入，介质内干涉面几乎与介质表面 垂直，因而再现时表现为较强的角度选择性。当用白光再现时， 入射角度的改变将引起再现像波长的改变
反射体全息
反射体全息图的情形： 物光和参考光从介质的两侧相向射入，介质内干涉面几乎与介质 表面平行，再现时表现为较强的波长选择性 反射体全息能避免色串扰的出现，是一种较好的白光再现全息图， 用白光再现反射体全息时 ，只能得到单色再现像 由于记录介质在后处理过程中发生乳胶的收缩，条纹间隔变小，使 再现像波长发生“兰移”
利用全息透镜阵列实现多通道分数傅里叶变换_颜才杰
第35卷 第10期 激光与红外V o.l35,N o.10 2005年10月 LA SER ＆ I N FRARED O c t ober,2005 文章编号:1001-5078(2005)10-0762-03利用全息透镜阵列实现多通道分数傅里叶变换颜才杰,金伟民(浙江师范大学信息光学所,浙江金华321004)摘 要:提出利用全息透镜阵列来实现多通道分数傅里叶变换技术。
分析了全息透镜阵列的制作原理,对多个物体实现了分数阶次各不相同的多通道分数傅里叶变换,并与光学透镜实现的实验结果进行了比较,两者的分数频谱互相一致。
这种技术在多通道光学信息处理系统及多目标图像识别系统等方面有非常重要的应用。
关键词:分数傅里叶变换;全息透镜阵列;多通道中图分类号:TB877 文献标识码:AI mple m entation of t heM ultichannel Fractional Fouri erTransfor m Usi ng Hol ograph i c Lens ArrayYAN C ai-jie,JI N W ei-m in(Infor m a tion O ptics Instit u t e,Zhe jiang N or m a lU nive rsity,Ji nhua321004,Ch i na)Ab stract:In this pape r,a techno l ogy o f i m ple m entati on o f t he mu ltichanne l fracti onal F ou ri e r transf o r m(FRT)is pro-posed using ho lographic lens a rray.The pri nciple ofm aking ho l og raph i c l ens array is ana l yzed.The mu ltichanne l FRTw ith d iffe rent frac tiona l order is i m p l em en t ed fo r severa l objects.W e have co m pared t he expe ri m en tal resu lts o f FRTusing ho l og raphic l ens a rray w ith t hat using op tical l ens.A s a re s u lt,bo t h frac ti ona l spectra a re consist en.t The mu-tichanne l FRT can be applied in the mu lti channe l op tical i nfo r m ation p rocessing and t he m utitarg et recogn ition.K ey w ord s:fraacti ona l Fourier transfo r m;ho l og raph i c lens array;m ultichannel1 引 言分数傅里叶变换是傅里叶变换的更为一般化的形式。
分数傅里叶变换合成计算全息与数字重现
１引言分数傅里叶变换是一个较新的概念。
最早由Ｎａｍｉａｓ［３］给出，９０年代Ｍｅｎｄｌｏｖｉｃ和Ｏｚａｋｔａｓ把数学中的分数傅里叶变换引入光学领域形成新的分支，用一个新的观点去审视光的传播、成像、信息处理等问题。
随后，Ｌｏｈｍａｎｎ［４］采用Ｗｉｇｎｅｒ分布函数重新定义了光学分数傅里叶变换，并给出了任意阶的傅里叶变换的单透镜及双透镜光学实验装置。
Ｐｅｌｌａｔａｆｉｎｅｔ最先把菲涅耳衍射与分数傅里叶变换联系起来，并利用波前相因子判别法给出了二者在物理过程和光场分布状态上的等效性。
随后研究者们发现［６～８］：分数傅里叶变换对分数阶变化的连续性对应着光的传播由原始光场经过菲涅耳衍射区一直到无穷远处夫琅和费衍射区的全过程。
因此，用分数傅里叶变换来描述衍射的全过程是很理想的。
菲涅耳衍射积分可以看作输入复振幅分布与二次位相因子乘积的傅里叶变换。
因此在合适的采样条件下，可以用快速傅里叶变换对衍射作数值计算。
但是在文献［１］中作者证明了在整个菲涅耳衍射光场中，用统一的采样频率来离散衍射积分是不成立的，用上面的方法直接估算菲涅耳衍射积分只适用于菲涅耳中、远场的条纹强度计算［１３］，而当衍射距离较小时，由于二次相位因子的震动非常剧烈，仍用远场时的采样频率就会导致估计不准确。
为了不增加计算复杂度，此时可以采用角谱［１３］的方法来计算，这样就导致了整个衍射光场的算法不统一，而分数傅里叶变换的数值计算解决了这个问题。
关于分数傅里叶变换的数值计算已有广泛的研究［２，１２～１４］，本文在这样的研究背景下针对光波衍射的实际情况，提出了一种基于快速傅里叶变换的分数傅里叶数值计算方法，并由此发展了一种新型全息图———分数傅里叶变换全息图［９］，分数傅里叶变换全息图是在分数傅里叶变换域上用全息的方法记录下的物光波的分数傅里叶变换分布，全息图的记录和再现方式的数字式实现是目前全息术发展的一个重要方向。
本文通过记录空间不同位置物体的分数傅里叶全息图得到三维物体的合成分数傅里叶全息图，并用计算机模拟了合成的全息图和数字再现的结果。
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换的无透镜光学实现杨虎李万松提要：利用球面波照射物体的自由空间菲涅耳衍射，完成任意级次分数傅里叶变换的无透镜光学实现，给出了不同条件下无透镜模式基本参量的选择法则及其分数傅里叶变换的数学表达。
计算机模拟实验证明了结论的可靠与可行。
关键词：傅里叶光学变换透镜Non lens optical realization of fractional Fourier transformYang Hu(Department of Physics,ShanXi Normal University,Linfen 041004)Li Wansong(Opto－Electronics Department,Sichuan Union University,Chengdu610064)Abstract:In this paper,we describe the fact that arbitrary orders of fractional Fourier transform can be realized by the Fresnel diffraction in free space.In this case,the object should be illuminated by sphere light wave.We give out the select laws of the basic parameter under different conditions and the mathematic expression of the fractional Fourier transform.Its reliability and feasibility are demonstrated by computer simulation.Key words:Fourier,Optical transform,lens1 引言分数傅里叶变换的概念最早由Namias用于求解各种条件下的薛定谔方程〔1〕，Lohmann于1993年将其引入信息光学〔2〕，用单透镜模式和双透镜模式完成了它的光学实现，并把分数傅里叶变换理解为透镜的位相转换与菲涅耳衍射的组合。
用傅里叶变换全息存储资料
R x , y Gf
* 1 1
G f x1 , f y1 R x1 , y1 G* f x1 , f y1 R * x1 , y1
x1 , f y1 * 1 1 x1
Rx , y G f
, f y1
4、图像再现 : • 图（3）是用再现傅里叶变换全息图的光 路。
变量分离 u( p, t ) U ( p) exp j 2t
可省略
（3）
U ( p) u0 ( p) exp j ( p)
（4）
复振幅表示：
U ( p) u0 ( p) exp j ( p)
复振幅
振幅 位相
（5）
振幅与复振幅的区别:
振幅——P点的振动幅度 。
复振幅——振动在空间的传播，是光波。
M1
F L L
2、调整白屏H的前后位置，使白屏上频谱光斑的 范围最小，然后移动）白屏 H，移动的距离一般 为傅里叶变换透镜焦距F的5％左右，此时光斑直 径扩大了一些，大小约为1—2mm。 3、在白屏上，参考光的光斑大小应比频谱光斑 的范围略大一点，直径一般为 2mm 左右，两光斑 中心必须准确重合。参考光与空间频谱光的光强 比约为3比1，光轴的夹角约为 15°左右。 4 、关闭照明灯，装上全息干板，使乳胶面朝向 入射光，进行曝光。 5、图像再现。
实验设计思想
傅里叶变换全息图存储资料，是把资 料的傅里叶频谱与参考光在全息干板上 相干叠加，形成直径为 1 — 2mm 干涉图形， 用全息的方法记录下来；再现时，重现 出的傅里叶频谱光波，在像平面上相干 叠加产生出被记录资料的像。 所记录的物体一般是平面物体。
• 1、傅里叶变换 • 傅里叶变换又称傅里叶积分变换。 • 指的是两个数学积分式： G(f x , f y )＝ gx, yexp- i2 f x x f y ydxdy （ 1 ） －
分数傅里叶变换对现代光学的影响
分数傅里叶变换对现代光学的影响
分数傅里叶变换( "/"-mode waveform Transform)是现代光学中常用的一种数学工具，具有以下影响：
1. 提高图像处理效率：分数傅里叶变换可以将原始信号转化为频率域上的复数形式，从而简化图像处理过程中的频率成分处理。
这使得在光学中，例如光谱分析、目标检测等操作中，可以大大缩短处理时间，提高效率。
2. 改善信号分析：分数傅里叶变换可以将信号分解成不同频率的成分，更好地分析信号的性质。
例如，在分析光学信号时，可以更好地理解不同频率的光线所表达的特征信息，如颜色、强度等。
3. 改善图像增强：分数傅里叶变换可以用于图像增强技术，例如滤波、压缩等。
通过对图像进行频率分析，可以更好地选择吸收或衰减不同频率的光线，从而增强图像的信息含量。
4. 促进波束形成：分数傅里叶变换可以将光学信号转化为频域形式，更好地分析光学信息的表达形式。
在光学中，波束形成是一个非常重要的问题，分数傅里叶变换可以为波束形成的计算提供更为精确的数学工具。
分数傅里叶变换在现代光学中扮演着非常重要的角色，为光学领域的研究和应用提供了更为高效和精确的数学工具。
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长 方 晶格
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快速平 面波展开 法
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高频 区
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大带 隙
马赫择德光 纤传感器 实验研 究
陈晤英 隋成华 (浙江 工 业 大学理 学院 应 用 物理 系 浙 江 杭州 3 1 0 1 4 0 ) : Ne p r 光 纤组 合 实验 器 件 搭 建 了一 套 最基 本 的 马 赫 t 摘要 基 于光纤 传感这一 现 代科学 技术 利用 ’o ) 一 泽德 (十z 干涉传 感器 装置 通 过 本实验 的练 习 对 于开 阔理 工 科 院校 学生 的视野 提 高
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周寒青
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他们 的学 习 兴 趣具 有 重 要的作用 好 的导 向作用
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对 于 引 导学生 迅速 进 入 工 程应 用的 前沿 领 域 也有 良
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: 一 ) 关性词 马赫一 泽德 (M z
干涉 仪
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光 纤传 感器
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条纹 移 动
E P O N 中突发模式 光模块 的应用
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有 效地研 究 了考虑 自陡峭
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156
李 勇 王 辉 金洪 震
(浙 江师 范 大学信 息光学研 究所 金 华 3 2 1 0 0 4 )
摘要 : 将 全息 图通 过高分辨 率扫描仪扫 入计 算机 根据 全 息 图的频域特性 对 它进行一 维傅 立 叶变 换 频域 涟波 去载频 再逆傅 立叶 变换 求出 全 息面 上 的物 光信息 从 而 实现 三 维场景相 息 图的 制
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作
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D 由 于 采用 了 一 维快速 傅立 叶 变换 (I F盯 )
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大大提 高 了相 息 图的 制作速 度
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两 种大带晾的长 方晶格二 维光子 晶体
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果进 行 了 比较
两 者 的分数频谱 互 相 一 致
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这 种 技术在 多通 道光 学信 息处 理 系统及 多 目标 图像识 别
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系统 等方面有 非常 重要的应用 : 关扭词 分数傅 里 叶变换 (FR T
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全 息透 镜阵列 多通 道
文献标识码 : A 中目分类 号: T 8 7 B 一种 由全 息圈制作 相息图的方法
一 一
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T L 和
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PT 8 3 9 5
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3 5 一T SC 用 C N U 光模 块技术参数和 工 作原理 并给
出在 E PO N 方案 中的具 体硬件 设 计 方 案
: 关性 润 E PO N 突 发接 收 突 发发送 修 正 商阶非线性薛 定诊 方程的显 式行波解
吴 晓飞 浙 江丽水 学院 信息 工 程 系 丽 水 3 2 3 0 0 e 摘 要 : 利 用 扩展 的双 曲正 切 函 数 法 并 借助 于 符 号 计 算 软 件 M 叩 l
王坤
石 旭刚
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杨扬
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( 浙 江 工 业 大 学 浙江 省光 纤重 点实验室
杭州
3 10 0 1
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摘要
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本文 介绍 了
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利用全 息透镜 阵列 实现多通道 的分数傅里 叶变 换
颜才 杰
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(浙江 师范 大 学信息 光学所
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分析 了全 息透 镜 阵列 的制作
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原理
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对 多个物 体 实现 了 分数阶次各不 相 同的 多通 道分 数傅里 叶变换
梁华 秋 摘要
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周 小莉
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台州学院物理 系
浙江 临海
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利用快速 平面 波 展 开 法研 究 了两 种长 方 晶格 光子 晶体
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