26[1].1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质获奖课件
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二次函数的图象和性质PPT教育课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
第14页
4．小结
（1）一个函数是否为二次函数关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
第15页
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
第16页
课件说明
• 本课是在学生已经学习了一次函数基础上，继续进 行函数学习，学习二次函数定义，这是对函数知 识完善与提升．
第2页
课件说明
• 学习目标： 经过对实际问题分析，体会二次函数意义．
• 学习重点： 了解二次函数定义．
第3页
1．由实际生活引入二次函数
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们形状是怎样画出来？
第13页
3．练习、巩固二次函数定义
练习2 填空： （1）一个圆柱高等于底面半径，则它表面积 S 与底面半径 r 之间关系式是____S_=__4_π_r；2 （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
第10页
3．练习、巩固二次函数定义
解：（1）由题意，得 2x 2 y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
∴ x 取值范围是
＜92x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
第11页
3．练习、巩固二次函数定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形长为 x m，宽为 y m，面积为 S m2（x＞y）．
（1）假如用 18 m 建筑材料来修建绿地边缘 （即周长），求 S 与 x 函数关系，并求出 x 取值范 围．
（2）依据小区规划要求， 所修建绿地面积必 须是 18 m2，在满足（1）条件下，矩形长和宽各为多 少m？
4．小结
（1）一个函数是否为二次函数关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
第15页
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
第16页
课件说明
• 本课是在学生已经学习了一次函数基础上，继续进 行函数学习，学习二次函数定义，这是对函数知 识完善与提升．
第2页
课件说明
• 学习目标： 经过对实际问题分析，体会二次函数意义．
• 学习重点： 了解二次函数定义．
第3页
1．由实际生活引入二次函数
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们形状是怎样画出来？
第13页
3．练习、巩固二次函数定义
练习2 填空： （1）一个圆柱高等于底面半径，则它表面积 S 与底面半径 r 之间关系式是____S_=__4_π_r；2 （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
第10页
3．练习、巩固二次函数定义
解：（1）由题意，得 2x 2 y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
∴ x 取值范围是
＜92x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
第11页
3．练习、巩固二次函数定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形长为 x m，宽为 y m，面积为 S m2（x＞y）．
（1）假如用 18 m 建筑材料来修建绿地边缘 （即周长），求 S 与 x 函数关系，并求出 x 取值范 围．
（2）依据小区规划要求， 所修建绿地面积必 须是 18 m2，在满足（1）条件下，矩形长和宽各为多 少m？
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
和一次项同时提取公因数a，再进行配方会更简便.
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
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2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
经典人教版26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质.ppt
2 x 22 7 7
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
.精品课件.
17
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线 y 2x2 8x 1 有最低 点，所以y有最小值，
因为－ b
8
4ac b2 2,
4 21 82
7
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
3 半的平方
老师提示:
配方后的表达
3x
12
2 3
化简:去整理:前三项 化为平方形式,后两项 合并同类项
式通常称为配
3x 12 2.
掉中括号
方式或顶点式
.精品课件.
7
归纳
二次函数 画法：
y=
—12 x2－6x
+21图象的
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
.精品课件.
18
例6已知函数
y
1 2
x2
3x
1 2
，当x为何值
时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一：a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y 1 x2 3x 1 1 x2 6x 9 9 1
2
22
2
1 x 32 9 1
2
22
1 x 32
2
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
图你像能的说特出征二吗次？函数y=—21 x2－6x＋21
.精品课件.
4
如何画出y 1 x2 6x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
.精品课件.
17
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线 y 2x2 8x 1 有最低 点，所以y有最小值，
因为－ b
8
4ac b2 2,
4 21 82
7
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
3 半的平方
老师提示:
配方后的表达
3x
12
2 3
化简:去整理:前三项 化为平方形式,后两项 合并同类项
式通常称为配
3x 12 2.
掉中括号
方式或顶点式
.精品课件.
7
归纳
二次函数 画法：
y=
—12 x2－6x
+21图象的
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标；
.精品课件.
18
例6已知函数
y
1 2
x2
3x
1 2
，当x为何值
时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一：a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y 1 x2 3x 1 1 x2 6x 9 9 1
2
22
2
1 x 32 9 1
2
22
1 x 32
2
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
图你像能的说特出征二吗次？函数y=—21 x2－6x＋21
.精品课件.
4
如何画出y 1 x2 6x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》ppt课件
老师提示:
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质ppt课件
而减小，则实数b的取值范围是(
D)
习
A.b≥－1
B.b≤－1
C.b≥1
D.b≤1
课 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图
y
堂
练 象如图所示，则下列结论：
习 （1）a、b同号；
（2）当x＝－1和x＝3时，函数值相等；
（3）4a＋b＝0；
（4）当其y中＝正－确2时的，是x的（值2）只能. 取0；
解：y=(x2-2x)+1
解：y=2(x2-2x)+6
y=(x2-2x+12)+1-1×12
y=2(x2-2x+12)+6-2×12
y=(x-1)2
y=2(x-1)2-4
顶点坐标为(1，0)
顶点坐标为(1，4)
探 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
索 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨 求
a、b异号
对称轴在y轴的_右___侧
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴交于__正___半轴
c＜0
与y轴交于__负___半轴
典 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
例 精
①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
D
y
其中正确
析 的个数是(
)
A．1
B．2
当x＜h时,y随着x的增大而 增大；当x＞h时， y随着x的增大而减小.
最值
x=h时，y最小=k
x=h时，y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(1)》名师课件
43;1的图象的对称轴是x=1， 在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上 两点， 1＜2＜3， ∴y1＜y2. 【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴， 再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性 质吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质 活动 师生共研，探究性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质： (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸. a＞0 b (2)对称轴是直线 x , 2a b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ). 2a 4a b (3)在对称轴的左侧，即相当于 x＜ 时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即相当于 x 时， 简记为“左减右增”. 2a y随x的增大而增大；
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 ( x 12 x 42) 2 1 2 ( x 12 x 36 6) 2 1 ( x 6)2 3 2
所以它的开口向上，对称轴是x=6， 顶点坐标是（6，3）.
对称轴和顶点坐标．
同学们自己画图！ 归纳： 一般式化为顶点式的思路：
b 4ac b 2 则： h , k . 2a 4a
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
b 4ac b 2 h ,k . 2a 4a
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上 两点， 1＜2＜3， ∴y1＜y2. 【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴， 再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性 质吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质 活动 师生共研，探究性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质： (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸. a＞0 b (2)对称轴是直线 x , 2a b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ). 2a 4a b (3)在对称轴的左侧，即相当于 x＜ 时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即相当于 x 时， 简记为“左减右增”. 2a y随x的增大而增大；
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 ( x 12 x 42) 2 1 2 ( x 12 x 36 6) 2 1 ( x 6)2 3 2
所以它的开口向上，对称轴是x=6， 顶点坐标是（6，3）.
对称轴和顶点坐标．
同学们自己画图！ 归纳： 一般式化为顶点式的思路：
b 4ac b 2 则： h , k . 2a 4a
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
b 4ac b 2 h ,k . 2a 4a
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
《二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象与性质》PPT课件3-九年级下册数学北师大版
初中数学
九年级(下册)
2.5 二次函数的图像和性质
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2的图像与y＝x2的图像有什么关系？ 函数y＝ (x＋3)2的图像和y＝x2的图像有什么关系？
y＝x2＋2可以 看成是y＝x2向上 平移两个单位长 度．
y＝ (x＋3)2可以 看成是y＝x2向左 平移三个单位长 度．
5 4
二次函数y＝ (x－1)2 － 6
3
2
的图像和y＝x2的图像的位置 y＝ (x＋3)2 1
有什么关系？
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2、二次函数图象与系数的关系
例1、二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点， 且与x轴的正半轴相交，则下列各式正确 的（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．c=0，ab＜0
C．a≠0，b＜0，c=0
D．a≠0，b≥0， c=0
例2、如图，给出八个结论：①a＞0；②b＞0；
③c＞0； ④a+b+c=0；⑤abc＜0；⑥2a+b ＞0；
(7)a+c=1；⑧a＞1．其中正确的结论的序号是
(
)
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是由y＝x2的图 像如何得到？
吗？
解：y＝ax2＋bx＋c
＝ a (x2＋ b x) ＋c
a
＝
a
(x＋
b 2a
)
2
＋
c－
b2 4a
＝ a (x＋ b ) 2 ＋ 2a
4ac － b2
4a ．
你知道函数 y＝ax2＋bx＋c的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大（或者最小）值？
九年级(下册)
2.5 二次函数的图像和性质
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2的图像与y＝x2的图像有什么关系？ 函数y＝ (x＋3)2的图像和y＝x2的图像有什么关系？
y＝x2＋2可以 看成是y＝x2向上 平移两个单位长 度．
y＝ (x＋3)2可以 看成是y＝x2向左 平移三个单位长 度．
5 4
二次函数y＝ (x－1)2 － 6
3
2
的图像和y＝x2的图像的位置 y＝ (x＋3)2 1
有什么关系？
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2、二次函数图象与系数的关系
例1、二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点， 且与x轴的正半轴相交，则下列各式正确 的（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．c=0，ab＜0
C．a≠0，b＜0，c=0
D．a≠0，b≥0， c=0
例2、如图，给出八个结论：①a＞0；②b＞0；
③c＞0； ④a+b+c=0；⑤abc＜0；⑥2a+b ＞0；
(7)a+c=1；⑧a＞1．其中正确的结论的序号是
(
)
2.5 二次函数的图像和性质
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是由y＝x2的图 像如何得到？
吗？
解：y＝ax2＋bx＋c
＝ a (x2＋ b x) ＋c
a
＝
a
(x＋
b 2a
)
2
＋
c－
b2 4a
＝ a (x＋ b ) 2 ＋ 2a
4ac － b2
4a ．
你知道函数 y＝ax2＋bx＋c的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大（或者最小）值？
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y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
2+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax y
x
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,像二次函数y=a(x-h）2+k的图 象,顶点坐标为（h,k）,通过平移抛物线 y=ax2可以得到。 二次函数y=3x2-6x+5也能化成这种形式 吗？
函数y=ax²+bx+c的图象
怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
如果画出函数y=3x2-6x+5的图象？
列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x …
2
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y 3x 1 2
…
29
14
5
2
5
14
29
…
描表、连线y=3x2-6x+5.gsp
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用 配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
8 x 8;
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
它的对称轴是直线: x b . 2a
b 4ac b 2 它的顶点是 2a , 4a .
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标
?
1. y 3x 2 2 x; 3. y 2 x
2
2. y x 2 2 x;
1 2 4. y x 4 x 3. 2
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
想一想 2+bx+c和 函数y=ax y=ax2的图象之间的关系 是什么？
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax² 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上, 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下, 在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
b 4ac b 2 a x . 化简:去掉中括号 2a 4a
2
c 2 b a x x a c 2
提取二次项系数
顶点坐标公式
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
2
提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.
y 3 x 1 2.
2
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax² 的关系
2.不同点: (0,0).
驶向胜利 的彼岸
b 4ac b 2 (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 2a , 4a 和
(3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4)最值不同:分别是 4ac4a b 和0. 3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象 b b >0时,向右 先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 2a 2a b 平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平 2a 4ac b 4ac b 移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 4ac4a b <0时, 4a 4a 向下平移)得到的.
2 b b b 2 c 配方:加上再 a x x 减去一次项系 a 2a 2a a 数绝对值一半 的平方 2 2 b 4ac b a x 整理:前三项化为平方形 2 2a 4a 式,后两项合并同类项
直线x
2 2 2 2
b 2a
谢谢大家，再会!
结束寄语
•
探索是数学的生命线.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例.求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶 点坐标．
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
例.求次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
y ax2 bx c
老师提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
y 3x 6 x 5 配方: 5 2 3 x 2 x 3 5 2 3 x 2 x 1 1 3 2 老师提示: 2 3x 1 3 配方后的表达 2 式通常称为配 3x 1 2. 方式或顶点式