3.圆内接四边形的性质与判定

3．圆内接四边形的性质与判定

一、基础知识回顾

1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等，所对的 也相等。

2. 在同圆或等圆中,

如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 。

(1) 半圆(或直径)所对的圆周角是

; 90º的圆周角所对的弦是 .

(2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 .

二、知识延伸拓展

如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。圆内接四边形有以下性质：

性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。

已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。 求证：（1）∠A+∠BCD=180º，∠B+∠D=180º； （2）∠DCE=∠A 。 证明：（1）∵ ，

，

∴ ∵ 和 的度数和是360 º

∴

同理，∠B+∠D=180º。

(2) ∵∠DCE 是四边形ABCD 的外角，

∴∠DCE+∠BCD=180º

由（1）得∠A+∠BCD=180º

图1 E 图2

BAD ⌒ BCD ⌒ ⌒

∠A 所对的弧是BCD ∠BCD 所对的弧是BAD ⌒

⌒ ⌒ m m .

2

1

,21A BAD BCD BCD =∠=∠.1803602

1)(212121︒=︒⨯=+=+=∠+∠BAD BCD BAD BCD BCD A m ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

∴∠DCE=∠A 。

反过来，如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗？

已知：四边形ABCD 中，∠B +∠D=180° 求证：A,B,C,D 在同一圆周上。

分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨设A 、B 、C 三点确定⊙O ，则点D 与⊙O 的位置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内，如果能排除点D 在圆外和在圆内，则点D 必在圆上。

证明：(1)如果点D 在⊙O 外部（如图3）。则∠AEC+∠B=180°

因∠B+∠D=180°得∠ D=∠AEC

与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾。 故点D 不可能在圆外。

(2)如果点D 在⊙O 内部（如图4）。则∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC 同样矛盾。∴点D 不可能在⊙O 内。

综上所述，点D 只能在圆周上，四点共圆。

判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）.

推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.

三、精典例题点拨

例1 已知：如图5，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC 的外接圆交于点D 。 求证：DB=DC 。 证明：∵ AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC=∠DAE 。

∵ 四边形ABCD 内接于圆， ∴∠DCB=∠DAE

∵ 圆周角∠DBC 和∠DAC 所对的弧都是CD ， ∴∠DBC=∠DAC ∴∠DBC=∠DCB

∴ DB=DC 。

例2 如图6，⊙O 1与⊙O 2都经过A,B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙O 1交于点C,与⊙O 2 交于点D ，经过点B 的直线EF 与⊙O 1交于点E,与⊙O 2交与点F.

求证：CE//DF.

图3

图4

图

5

证明：连接AB

∵四边形ABEC 是⊙O 1的内接四边形。 ∴∠BAD=∠E.

∵四边形ADFB 是⊙O 2的内接四边形。 ∴∠BAD+∠F=180° ∴∠E+∠F=180° ∴CE//DF .

例3 如图7，CF 是△ABC 的AB 边上的高，FP ⊥BC,FQ ⊥AC. 求证：A,B,P,Q 四点共圆.

证明：连接PQ 。 在四边形QFPC 中，

∵FP ⊥BC FQ ⊥AC ， ∴∠FQA=∠FPC=90º.

∴Q,F,P,C 四点共圆。 ∴∠QFC=∠QPC. 又∵CF ⊥AB ∴∠QFC 与∠QFA 互余. 而∠A 与∠QFA 也互余. ∴∠A=∠QFC.

∴∠A=∠QPC. ∴A,B,P,Q 四点共圆。

想一想

1.圆内接平行四边形一定是 形；

2.圆内接梯形一定是 形；

3.圆内接菱形一定是 形。

四、随堂练习设计

1.在圆内接四边形ABCD 中，已知∠A=50 º，∠D -∠B=40 º，则∠B= º，∠C= º，∠D= º。

2.如图8，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD=100 º，则∠BAD= º，

∠BCD= º。

3.如图9，以等腰△ABC 的底边BC 为直径的⊙O 分别交两腰AB ，AC 与点E ，D ，连结DE 。求证：DE//BC 。

图7

图

8图9

B

4.任意画一个矩形，再画出它的外接圆。

五、课后作业巩固

1.若圆内接四边形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C 的度数的比是2∶3∶6，则该四边形内角中最大度数是（ ） A.120

B.135

C.90

D.45

2. 如图10，四边形ABCD 内接于⊙O ，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（ ）

A ．2对

B ．4对

C ．6对

D ．8对

3. 如图11，已知PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别是切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB=120°，则∠APB=_________.

4．圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .

5．如图12，四边形ABCD 内接于圆，∠DCE=50°，则∠BOD=____．

6．如图13，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=

，则

Ａ

图10

图11

图

12

图13