直线和圆的方程知识与典型例题

直线和圆的方程知识关系

直线的方程一、直线的倾斜角和斜率

1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180

α<

o o

≤.

2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即

tan

kα

=.

注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

②当ο

90

=

α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在.

③过两点

111

(,)

P x y、

222

(,)

P x y

12

()

x x

≠的直线斜率公式21

21

tan

y y

k

x x

α

-

==

-

二、直线方程的五种形式及适用条件

名称方程说明适用条件

斜截式y=kx+b

k—斜率

b—纵截距

倾斜角为90°的直线

不能用此式

点斜式y-y0=k(x-x0)

(x0，y0)—直线上已

知点，

k ──斜率

倾斜角为90°的直线

不能用此式

两点式1

21

y y

y y

-

-

=1

21

x x

x x

-

-

(x1，y1)，(x2，y2)

是直线上两个已知

点

与两坐标轴平行的直

线不能用此式

截距式

x

a

+

y

b

=1

a—直线的横截距

b—直线的纵截距

过（0，0）及与两坐

标轴平行的直线不能

用此式

一般式

A x+

B y+C=0

(A、B不全为零)

A、B不能同时为零

直线和圆的方程

简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4

-，6）在直线0

2

3=

+

-a

y

x的两侧，则实数a的取值范围是

()724

A a a

<->

或()724

B a

-<<()724

C a a

=-=

或（D）以上都不对例14. ABC

∆的三个顶点的坐标为(2,4)

A，(1,2)

B-，(1,0)

C，点(,)

P x y在ABC

∆内部及边界上运动，则2

y x

-的最大值为，最小值为。

例15. 不等式组：

10

x y

x y

y

-+

+

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

≥

≤

≥

表示的平面区域的面积是；

例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？

例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：

根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.

程。

例30.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，⑴求实数m取值范围；⑵求圆的半径r取值范围；⑶求圆心轨迹方程

数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案

例1.A 例2.B 例3.C 例4. 1()2

-、0,3 例5. 02=--y x 例6.B 例7.C 例8. 2x ＋3y ＋10＝0 例9. 0,8, 例10. 135290x y +-=

例11. 解:⑴∵ k BC =5,∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=5

1-

∴ AD 所在直线方程y +1=51-(x -2) 即x +5y +3=0

⑵∵ AB 中点为（3，1），k AB =2,∴ AB 中垂线方程为x +2y -5=0

⑶设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，

则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1，k AB =2,∴ 12112k k k k

+-=-+, ∴ k 2+6k -1=0,∴ k =-3-10（舍），k =-3+10

∴ AE 所在直线方程为(10-3)x -y -210+5=0

评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y )

为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC

=，化简即可。还可注意到，AB 与AC 关于AE 对称。

例12. 解题思路分析：

直线l 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）