第十一章 无穷级数(已改)
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第十一章 无穷级数
一、常数项级数（A:§11.1,§11.2; B:§10.1,§10.2） Ⅰ、内容要求：
（ⅰ）理解无穷级数敛散及和的概念。
（ⅱ）记忆无穷级数收敛的必要条件，了解无穷级数的基本性质。 （ⅲ）记忆等比级数和p 级数的敛散性。
（ⅳ）掌握正项级数的比值审敛法，学会运用正项级数的比较审敛法及其极限形式，了解正项级数收敛的充要条件。
（ⅴ）掌握交错级数的莱布尼兹定理，了解一般项级数绝对收敛与条件收敛的概念及关系。 Ⅱ、基本题型：
（ⅰ）无穷级数基本性质的客观题。 1．是非题：（每题4分）
（1）∑∞
=1
n n u 收敛，则0lim =∞
→n n u ，反之亦然。（ ⨯ ）
（2）∑∞=1
n n u 收敛，∑∞=1
n n v 发散，则∑∞
=+1
)(n n n v u 必发散。（√ ）
（ⅱ）涉及等比级数和p 级数敛散性的客观题。
2．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ C ）
(A)
∑
∞
=1
1n n
(B)
)1(1
∑
∞
=-
n n
(C)
∑
∞
=--1
1
2
)1(n n
n (D)
∑
∞
=1
1n n
3．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ D ）
（A ）∑∞
=1
3n n
（B ）∑
∞
=+1
3
1n n （C ）∑
∞
=+1
1
n n n （D ）∑
∞
=+1
3
1
1n n
（ⅲ）运用比较审敛法及其极限形式判定简单正项级数的敛散性。 4．判别下列级数的敛散性：（每题6分）
（1）∑
∞
=+12
1
n n n （2）∑∞
=1
2sin
n n
π
（3）∑∞
=+
1
)11ln(n n
（4）∑∞
=+1
)1
2(
n n
n n
解：（1）解：11
1
lim
2
=+∞→n
n n
n
∑
∞
=1
1n n
发散 ∴
∑
∞
=+1
2
1
n n n 发散。
（2）解：12
1
21sin
lim
=∞
→n n
n
∑
∞
=1
2
1n n
收敛 ∴
∑
∞
=1
2
sin
n n
π
收敛 。
（3）解：11)11ln(lim
=+∞
→n
n
n
∑
∞
=1
1n n
发散 ∴
∑
∞
=+
1
)11l n (n n
发散。
（4）解：n
n
n n 2
1)
1
2(
≤+
∑
∞
=1
2
1n n
收敛 ∴
∑
∞
=+1
)1
2(
n n
n n 收敛 。
（ⅳ）运用比值审敛法判别正项级数敛散性的题型。 5．判别下列级数的敛散性：（每题6分）
（1）∑
∞
=-1
)
2(12n n
n （2）∑
∞
=12
3n n n
（3）∑
∞
=-1565
n n
n
n
（4）∑∞
=+1
22
sin
)1(n n
n π
（5）∑
∞
=1
!2n n n
n
n ,你能求n
n
n n
n !2lim
∞
→吗？
（1）解：12
2lim
1<=
+∞
→n
n n u u
∴
∑
∞
=-1
)
2(12n n
n 收敛 。
（2）解：13lim
1>=+∞
→n
n n u u
∴
∑
∞
=1
2
3n n n
发散 。