高考数学一轮复习必备 第57课时 第七章 直线与圆的方程-简单的线性规划
2020届高三一轮复习数学精品资料：第七章直线与圆的方程(74页精美word)
2020届高三一轮复习数学精品资料：第七章直线与圆的方程（74页精美word ）§ 7.1直线的方程自主学习刖础自测x 轴的交点是P ,且倾斜角为，假设将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为+45°, 那么 A.0 ° < V 180° C 0°v < 135 〔 〕 B.0 ° < V 135° D. 0°V V 135 ° 答案 D2.〔2018 •全国I 文〕曲线y=x 【2x+4在点〔1 , 3〕处的切线的倾斜角为 A30 ° B45 ° C.60 A.1 B.4 C.1 或 3 答案 A4.过点 P 〔-1 , 2〕且方向向量为a=〔-1 , 2〕的直线方程为A.2 x+y=0B. x-2 y+5=0C. x-2 y=0 答案 B 3.过点M 〔-2 , m 〕，N 〔 m 4〕的直线的斜率等于1,那么m 的值为 答案 A5.（2018 •株州模拟）一条直线通过点 A 〔-2 , 2〕,同时与两坐标轴围成的三角形的面积为 〔 〕 D120 °（）D.1 或 4〔 〕 D. x+2y-5=01,那么此直线的方程为答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 典例剖析例 1 三点 A 〔 1 , -1〕，B 〔 3 , 3〕，C〔 4 , 5〕求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明方法一 •/ A 〔 1 , -1 丨，B 〔3 , 3〕，C 〔 4 , 5〕，--k AB =k BC , ••• A 、B 、C 三点共线.方法二•/ A 〔 1 , -1 丨，B 〔 3 , 3〕, C 〔 4 , 5〕,「•I AB=2 J5 , | BC=岳，| AC=3 厉,•••IAB+| Bq=| AC ,即 A 、B 、C 三点共线.方法三•/ A 〔 1 , -1〕，B 〔 3 , 3〕, C 〔 4 , 5〕,• AB =〔 2 , 4〕, BC =〔1 , 2〕，• AB =2 BC .又T AB 与BC 有公共点B , • A 、B 、C 三点共线.例 2 实数 x, y 满足 y=x 2-2x+2 (-1 <x < 1).试求：y 3的最大值与最小值.x 2解 由L2的几何意义可知，它表示通过定点P 〔-2 , -3丨与曲线段AB 上任一点〔x,y)的直线的斜率k,如图可知：k pAx 2 < k < k pB ,由可得：A 〔 1 , 1〕，B 〔-1 , 5〕， 4 / k <8,3故-__3的最大值为8，最小值为4 .x 2 3例3求适合以下条件的直线方程：〔1〕通过点P 〔3, 2〕，且在两坐标轴上的截距相等；〔2〕通过点A 〔-1，-3〕，倾斜角等于直线y=3x 的倾斜角的2倍. 解 〔1〕方法一 设直线I 在x, y 轴上的截距均为a, 假设a=0，即I 过点〔0, 0〕和〔3，2〕， /• I 的方程为 y=?x ,即 2x-3 y=0.3 假设a 工0，那么设I 的方程为-1 ,a b •/ I 过点〔3, 2〕，••• 3 - 1 ,a a a=5,「. I 的方程为 x+y-5=0,综上可知，直线I 的方程为2x-3 y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率 k 存在且k 工0,设直线方程为y-2=k(x-3),令 y=0,得 x=3- 2 ,令 x=0,得 y=2-3 k,k 由 3- - =2-3 k ，解得 k=-1 或 k= 2, k 3 直线I 的方程为： y-2=-〔 x-3 丨或 y-2=2(x-3),3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.〔2〕由：设直线y=3x 的倾斜角为 那么所求直线的倾斜角为 2 .又直线通过点A 〔-1 , -3丨， 因此所求直线方程为 y+3=- 3 (x+1),4即 3x+4y+15=0.例4 〔 12分〕过点P 〔2, 1〕的直线I 交x 轴、y 轴正半轴于 A B 两点，求使:〔1 ]△ AOB 面积最小时I 的方程； 〔2〕| PA • | PB 最小时I 的方程.■/ tan =3, • • tan2=2 tan1 tan 21. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，假如 A 〔 a ，a 3〕、B 〔b ，b 3〕、C 〔c ，c 3〕在解方法一设直线的方程为x 1 1 ( a >2, b > 1), a b由可得2 1 1. a b2,：?b 三 I 1=「a b >8.--S ^AOB = ab 》4.2当且仅当2=1 = 1，即a=4, b=2时，S A AOB 取最小值4，现在直线I 的方程为\ a b 2 4 -=1,即 x+2y-4=0. 6 2〔2〕由 2 + 丄=1，得 ab-a-2 b=0, a b 变形得(a-2)( b-1)=2,| PA • |PB| =.(2 a)2(1 0)2 • .(2 0)2(1 b)=.[(2 a)2 1] [(1 b)2 4]> 2(a 2) 4(b 1). 10当且仅当a-2=1, b-1=2,即 a=3, b=3 时，| PA| • | PE| 取最小值 4. 现在直线I 的方程为x+y-3=0.方法二 设直线I 的方程为y-仁k(x-2) ( k v 0), 那么I 与x 轴、y 轴正半轴分不交于 12A 21,0、 kE 〔0，1-2k 丨. 〔1〕 1 S A AOE =— 2 21 k 〔1-2 k 〕 =1 2 x 4 ( 4k) ( 1) > 1• 〔4+4〕 =4.当且仅当-4 k=- 1 ,即k=- 1时取最小值，现在直线k 2 1I 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+2y-4=0.2当且仅当 4 =4k 2,即k=-1时取得最小值，现在直线I 的方程为y-1=-( x-2),即x+y-3=0.k 26分12 分知能迁移2〔2〕| PA • |PE|=同一直线上，求证：a+b+c=0. 证明■/ A>7B 、C 三点共线，k AB =k AC ,33 3 3/• a__b a1，化简得 a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2, a b a c /• b 2- c 2+ab- ac=0,〔 b-c 〕〔a+b+c 〕=0, ■/a 、b 、c 互不相等，b-c 工0,「. a+b+c=O. 2.〔 2018 •宜昌调研丨假设实数x, y 满足等式（x-2） 2+y 2=3,那么X 的最大值为〔〕xA. -B.C ±1D. J 32 3 2答案 D3. 〔 1〕求通过点A 〔-5 , 2〕且在x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的2倍的直线方程；〔2〕过点A 〔 8, 6〕引三条直线丨1,丨2,丨3,它们的倾斜角之比为 1 : 2 : 4，假设直线丨2的方程是y=£x,求直线I4 程.解 〔1〕①当直线I 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为 y=kx, 将〔-5 , 2〕代入y=kx 中，得k=- 2，现在，直线方程为 y=- 2x,5 5 即 2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为 A 2=1,2a a 将〔-5 , 2〕代入所设方程， 解得a=- 1 ,2现在，直线方程为x+2y+仁0.综上所述，所求直线方程为 x+2y+1=0或2x+5y=0. 〔2〕设直线l 2的倾斜角为 ， ,那么tan=3 4因此 1 tan = 1 4cos = 5 12sin 3 35tan2=2 tan3 2 - 4241 tan 21 (3)2J 7因此所求直线l 1的方程为y-6=丄（x-8）,3即 24x-7y-150=0.4. 直线l 通过点P 〔 3, 2〕且与x , y 轴的正半轴分不交于 A B 两点，△ OAB 的面积为12，求直线l 的方程.1, l 3的方即x-3y+10=0,13的方程为24 y-6=丝(x-8),5.通过点〔1，4〕的直线在两坐标轴上的截距差不多上正的，且截距之和最小，那么直线的方程为〔解 方法一 设直线I 的方程为x 1 1〔a > 0, b >0〕a bA( a,0), B(0, b).ab 24,解得1.6,b 4. 二所求的直线方程为^1=1 6 4 即 2x+3y-12=0.方法二 设直线I 的方程为y-2= k( x-3), 令y=0,得直线I 在x 轴上的截距a=3- 2 , k 令x=0,得直线I 在y 轴上的截距b=2-3 k. 2 2二 3 - (2-3 k)=24.解得 k=- 一 .k 3 二所求直线方程为y-2二2 (x-3).3 即 2x+3y-12=0.、选择题A 0,B. — ?4,4C. _______4 , 4D- 0--4 4答案D2.直线 l 过点〔a,1) ,〔a+1,tan +1),那么A 一定是直线l 的倾斜角B. 一定不是直线 l 的倾斜角C不一定是直线 l 的倾斜角A 0,B. 0,42C. D.---------4, 2答案 4.过点1,作直线l ，假设通过点〔a , 0〕和〔0, b 〕，且a G N , B.2C.3b G N ,那么可作出的D.4的条数为〔 〕 A.1答案 1.直线 xcos +y-1=0 (G R)的倾斜角的范畴是D.180 ° - 一定是直线l 的倾斜角 答案 C3.直线l 通过A 〔 2, 1〕，B 〔 1, m 〕〔 m€ R 〕两点，那么直线l 的倾斜角的取值范畴是〔A. x+2y-6=0 C x-2y+7=0 答案 B6. 假设点A 〔 2, -3〕是直线a i x+biy+仁0和a 2X+b ?y+仁0的公共点，那么相异两点〔a i , b i 〕和〔a ?, b 2〕所确定的直线方程 是〔〕A2x-3y+仁0 B.3x-2y+仁0 C.2 x-3 y-1=0 D.3 x-2y-仁0答案 A 二、 填空题7. 〔 2018 •浙江理，11〕a > 0,假设平面内三点 A 〔 1, -a 〕，B 〔 2, a 2〕，C 〔 3, a 3〕共线，那么 a= . 答案 1+ 28. 两点A 〔-1，-5丨，B 〔 3，-2丨，假设直线I 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，那么I 的斜率是 . 答案13三、 解答题假设直线I : x+my+mF0与线段PQ 有交点，求m 的取值范畴.k AP =丄」=-2 , k AQ =—=30 1 0 2 2 13 1那么-丄＞ 3或-丄K -2 ,m 2 m又T m=0时直线x+my+m=0与线段PQ 有交点, 所求m 的取值范畴是-2 < n K 1.3 2 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y-1= 2_ ( x+1),即 y=[x+4,2 13 3代入 x+my+m=0,解得-2 K m K 1.3 210. 直线I 与两坐标轴围成的三角形的面积为 〔1〕过定点A 〔-3 , 4〕；〔 2〕斜率为 丄.6解 〔1〕设直线I 的方程是y=k(x+3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分不是-4 -3 , 3k+4,k 由，得〔3k+4〕〔 4 +3〕=± 6, kB.2 x+y-6=0 D. x-2 y-7=09.线段PQ 两端点的坐标分不为〔-1 , 1〕、〔2, 2〕， 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A 〔 0, -1丨点. 整理，得x=-7m m 33，分不求满足以下条件的直线 I 的方程:解得 k i =- 2 或 k 2=- 8 .3 3直线I 的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.〔2〕设直线I 在y 轴上的截距为b,那么直线I 的方程是y = [x+b,它在x 轴上的截距是-6b,6 由，得卜6 b • b|=6，二 b=± 1. 直线I 的方程为x-6 y+6=0或x-6y-6=0. 11. 两点 A 〔-1，2〕，B 〔 m, 3〕.〔1〕求直线AB 的方程； 〔2〕实数m€X 3 1J3 1，求直线AB 的倾斜角 的取值范畴3解 〔1〕当m=-1时，直线AB 的方程为x=-1, 当m^-1时，直线AB 的方程为y-2=二 (x+1). m 1 〔2〕①当 m=-1 时， =_;20〕作一直线，使它夹在两直线 丨1: 2x- y-2=0与12： x+y+3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.所求的直线方程为 y=8( x-3), 即 8x-y-24=0.方法二设所求的直线方程为y=k(x-3).解方法一设点 A 〔X y 〕在 l 1上,xX B3由题意知2，• ••B 〔 6-x ，yyB2解方程组2x y 2 0(6 x) ( y) 3 01116x— 0得3二 k= 38 16y11 333-y 〕，°，、3，€ ---------6 , 2综合①②知，直线 AB 的倾斜角.3 ~312.过点 P 〔3, ②当m^ -1时，n+1 €3那么y k(x 3),解得3k 2X A'、k 2 4k y Ak 22x y 20由yk(x 3)>X B解得3k 3 k 1x y 3 06ky Bk 1V P(3,0)是线段AB的中点，/. y A+y B=O,即卩4k + 6k =0,k 2 k 1/• k1 2-8k=0,解得k=0 或k=8.又*••当k=0 时，X A=1,X B=-3,现在乂竺J 3,k=0舍去，2 2所求的直线方程为y=8( x-3),即8x-y-24=0.§ 7.2两直线的位置关系----- —自主学习 --------------匕基础自测1•假如直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么实数a等于〔〕3 2A-3 B.-6 C.- 3 D. 22 3答案 B2.直线2x+y-2=0和m*y+1=0的夹角为—，那么m的值为〔〕4A-1或-3 B -33C-1或3D丄或-333答案C3.过点A〔-2 , m〕和B〔m, 4〕的直线与直线2x+y=1平行，那么m的值为〔〕A.0B.-8C2 D.10答案B4. 直线11: y=2x+3，直线丨2与11关于直线y=x对称，直线丨3丄丨2，那么l 3的斜率为〔〕1 1A 丄 B.-丄C-2 D.22 2答案 C5. 〔2018 •岳阳模拟丨假设直线I通过点〔a-2，-1〕和〔-a-2 ,1〕且与通过点〔-2 , 1〕，斜率为--的直线垂直，那么实312 分例 1 直线 l i ：ax+2y+6=0 和直线 l 2：x+(a-1) y+a 2-1=0,I 1〕试判定l 1与l 2是否平行；〔2〕I i 丄丨2时，求a 的值.解 〔1〕方法一 当 a=1 时，I i ： x+2y+6=0, I 2： X=0, I 1不平行于I 2； 当 a=0 时，11： y=-3, I 2： x-y-仁0, I 1不平行于I 2； 当a 工1且a 工0时，两直线可化为 I 1： y =- — x -3, I 2： y = — x -( a+1),21 aa1I 1 / I 22 1 a ，解得 a=-1,3 (a 1) 综上可知，a=-1 时，I 1/ l 2，否那么l 1与I 2不平行方法二 由 A 1B 2-A 2B 1R ，得 a 〔 a-1〕-1 x 2=0, 由 AdAe 工 0,得 a(a 2-1)-1 x 6 工 0,// I 2a(a 2 1) 4 2 0a(a 21) 1 6 0a 2 a 20 2 a =-1,a(a 21)6故当a=-1时，I" I 2，否那么I 1与12不平行.〔2〕方法一 当 a=1 时，I 1： x+2y+6=0,1 2：x=0, I 1与I 2不垂直，故a=1不成立. 11： y=- a x-3,2方法二 由 AA+BB 2=0,得 a+2(a-1)=0 a=2 .3例2求过两直线I 1：x+y+1=0, I 2：5x-y-仁0的交点，且与直线 3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.4解 设所求直线方程为x+y+1+ (5 x- y-1)=0, 即(1+5)x+(1-)y+1-=0.4I 2： y= x -( a+1),1 a数a 的值为 . 答案-23典例剖析丄=-1 1 a2 a=. 3因为所求直线与直线 3x+2y+1=0的夹角为—,451 31 2 因此tan 5 1 11.解得=-菩 •••所求直线方程为x+5y+5=0.又直线l 2：5x-y-仁0与直线3x+2y+1=0的夹角 满足tan 1.=，故直线l 2也是符合条件的一解 4综上所述，所求直线方程为 x+5y+5=0 或 5x- y-1=0.例3 〔 12分〕直线l 过点P 〔 3，1〕且被两平行线l 1：x+y+1=0,l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解方法一假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x=3,现在与l !,l 2的交点分不是 A 〔3，-4 丨，B 〔 3, -9 丨， 截得的线段长|AB=|-4+9|=5,符合题意.假设直线l 的斜率存在时，那么设直线I 的方程为y=k(x-3)+1, 分不与直线l 1,l 2的方程联立，由 y k(x 3) 1 x y 1 0 解得 A 3k 2 1 4k .k 1 ' k 1 由y k(x 3) 1,解得x y 6 0 由两点间的距离公式，得 3k 2 3k 7 2+ £ k 1 k 1k 3k 7 1 9k k 1 k 14k 」2=25,k 1方法二 设直线l 与11, 12分不相交于Agy", B(X 2, y 2). 那么 X 1+/1+1=0, X 2+y 2+6=0,两式相减，得(X 1-X 2)+( y 1-y 2)=5① 又(X 1-X 2) 2+( y 1-y 2)2=25 ②联立①②可得X1 X 2 5或X1 X 2 0 Jy 1 y 2 0 y 1 y 5由上可知，直线l 的倾斜角分不为 0° 和 90°，故所求的直线方程为 x=3或y=1.解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l 的方程为x=3或y=1.4分8分10 分 12 分6 分10 分例4求直线I i： y=2x+3关于直线I : y=x+1对称的直线12的方程.解方法一由y 2x 3y x 1知直线l i与I的交点坐标为〔-2 , -1丨，设直线丨2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线I上任取一点〔1，2〕，由题设知点〔1，2〕到直线丨1、丨2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k 2 2k 1 = |2 2 3|,12 k2,22 ( 1)2解得k=l(k=2舍去)，2直线丨2的方程为x-2y=0.方法二设所求直线上一点P〔x,y〕，那么在直线I1上必存在一点R〔x o, y o〕与点P关于直线I对称.由题设：直线PP与直线I垂直，且线段PP的中点卩2存，宁在直线I上.也y?1 1 “...xo X ，变形得Xo yy y o x x o 1y o x 12 2代入直线I 1：y=2x+3,得x+1=2X (y-1)+3,整理得x-2y=o.因此所求直线方程为x-2y=o.知能迁移1. 两条直线11：(3+ m)x+4y=5-3 m I 2：2 x+(5+n) y=8.当m分不为何值时，I 1 与12：〔1〕相交？〔2〕平行？〔3〕垂直？解当m=5时，明显，11与I 2相交；当m^-5时，易得两直线I1和I2的斜率分不为k2=-k’=-它们在y轴上的截距分不为b1=^^m，b2=_J4 5 m〔1〕m^ -7 且m工-1.•••当m^ -7且m^ -1时，11与I 2相交.12 分(x >200).288xx3 m2〔2〕由 k1 k 2 , ,得45 m， m=-7 bi b 2,5 3m 84 5 m•••当 m=-7时，l 1 与 I 2平行.〔3〕由 k i k 2=-1,得3 m 得-•2 =-1 ， m=-13 45 m3• 当 m=-兰时，1 1与 1 2垂直•32. 某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如下图，塔高 BC=80〔米〕，塔所在的山高 OB=220〔米〕，OA=200〔米〕， 图中所示的山坡可视为直线 I ,且点P 在直线I 上，I 与水平地面的夹角为，tan =1 .试咨询，此人距水平地面多高时，2 观看塔的视角/ BPC 最大〔不计此人的身高〕？解 如下图，建立平面直角坐标系,那么 A 〔 200，0〕，B 〔0，220〕，C 〔 0，300〕. 直线I 的方程为y=(x-200)tan,那么y= x 200 .2设点P 的坐标为〔x, y 〕，那么P 〔x, x 200〕(x >200).2由通过两点的直线的斜率公式 x 200 k pc = —2—— xtan / BPC= kPBkPC1602xx 800 x 6402x 2x64xx 288x 160 64064 160 640300 x 800 2x k pB =□ 220 x 6401要使tan / BPC 达到最大，只需x+160 640-288达到最小，由均值不等式x x +160 640 -288 > 2 160 640 -288, x当且仅当x=16° 640时上式取得等号. x 故当x=320时，tan /BPC 最大. 这时，点P 的纵坐标y 为y= _200 =60. 2 由此实际咨询题知 0 v/ BPG _ ,因此tan / BPC 最大时，/ BPC 最大.故当此人距水平地面 60米高时，观看铁塔的视角 2/ BPC 最大. 3.三条直线11: 2x-y+a=0〔 a > 0〕,直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3： x+y -仁0,且l i 与12的距离是 7. 5. 10(1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P,使得P 点同时满足以下三个条件①P 是第一象限的点；②P 点到I 1的距离是P 点到12的距离的Z ；③P 点到|12的距离与P 点到 13的距离之比是 ,2 : ..5.假设能，求P 点坐标；假设不能，讲明理由. 1解(1)1 2 即为 2x- y- =0,2「•I 1与丨2的距离a( 2)d= .22 ( 1)2 107、5 10a > 0, • • a=3. ⑵假设存在如此的P 点.设点P(X 0,y 。
高考数学复习《直线和圆的方程》知识点
直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。
高三数学高考一轮复习系列教案第七章 直线和圆的方程 大纲版
第七章直线和圆的方程知识结构高考能力要求1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．会用二元一次不等式表示平面区域．3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用．4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法．5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．高考热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等．高考复习建议本章的复习首先要注重基础，由于本章的基本公式较多，直线方程和圆的方程又有多种形式，且这些知识在解题中使用频率高，在解题中要求使用很灵活，因此对基本知识、基本题型要掌握好。
求直线方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形。
曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此，必须透彻理解．既要掌握求曲线方程的常用方程和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线问题与弦长问题以及对称问题都是高考中的热点问题，解决它们主要以方程思想和数形结合的方法来处理；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，另外还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算．7．1 直线的方程知识要点1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为_________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．例题讲练【例1】 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m－1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．【例2】若直线l 过点M(a ，3)，N(1，2)， (1)求直线l 的斜率和倾斜角； (2)已知]13,133[++-∈a ，求直线l 的倾斜角α的范围．【例3】 已知△ABC 的顶点分别为A (－3，0)，B (9，5)，C (3，9)，直线l 过点C 且把三角形的面积分成1︰2的两部分，求l 的方程．【例4】 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程． 小结归纳1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距. 基础训练题 一、选择题1． 在同一坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 （ ）A2． 设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足 （ ） A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0 D ．a －b ＝03． 直线A x ＋B y ＋C ＝0，通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足的条件 （ ） A ．A 、B 、C 同号 B ．AC<0，BC<0C ．C ＝0，AB< 0D ．A ＝0，BC<04． 设2π<α<π，则直线y ＝x cos α＋m 的倾斜角的取值范围是 （ ） A ．(2π，π) B ．(2π，43π)C ．(4π，43π)D ．(43π，π)5． 已知A(－2，3)，B(3，0)，直线l 过O(0，0)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 （ ） A ．－23≤k ＜0 B ．k ≤－23或k ≥0C ．k ≤0或k ≥23D ．0≤k ≤236． 设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为 （ ） A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题7． 直线y ＝mx ＋2m ＋1恒过一定点，则此点的坐标为 ．8． 若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)，共线x则ba 11+的值等于 ． 9． C 是以A(2，3)、B(－1，－2)为端点的线段AB 外一点，且＝2，则过C 垂直于AB 的直线方程为 ．10．实数x 、y 满足3x －2y －5＝0(1≤x ≤3)，则xy 的最大值、最小值分别是 ．三、解答题11．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．12．如图，在△ABC 中，已知点B (－1，0)，C (1，0)，2=ACAB ，AB 边上的高1=CD ，求直线AC的斜率．13．直线l 过点M (2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程．提高训练题14．已知直线l ：(a ＋2)x ＋(1－2a )y ＋4－3a ＝0．(1)求证直线l 经过第三象限；(2)若直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． 15．已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C 、D 两点．(1) 证明：C 、D 和原点O 在同一直线上．(2) 当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．7．2 直线与直线的位置关系知识要点 （一）平面内两条直线的位置关系有三种________． 1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1．P(x0，y0)到直线A x＋B y＋C＝0 的距离为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：A x＋B y＋C1＝0 l2：A x＋B y＋C2＝0，则l1与l2的距离为．（三）两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．（五）五种常用的直线系方程.①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).②与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).③过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④与A x＋B y＋C＝0平行的直线系方程设为A x＋B y＋m＝0 (m≠C).⑤与A x＋B y＋C＝0垂直的直线系方程设为B x－A y＋C1＝0 (AB≠0).例题讲练【例1】已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使：(1) l1与l2相交于点p (m，－1)；(2) l1‖l2；(3) l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1．【例2】已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为4π，求直线l的方程．【例3】直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．【例4】设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使PBPA+为最小，并求出这个最小值．小结归纳1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4．基础训练题一、选择题1．已知点M(a、b)，若点N与M关于x轴对称，点P 与N关于y轴对称，点P与点Q关于直线x＋y＝0对称，则点Q的坐标为（）A．(a、b) B．(b、a)C．(－a、－b) D．(－b、－a)2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y －1＝0平行，则m的值为（）A．0 B．－8C．2 D．103．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边长，则直线l1：与sin=++⋅cayxA yBbxl⋅-sin:2sin=+C的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直4．若0≤θ≤2π，当点(1，cosθ)到直线x sinθ＋y cosθ－1＝0的距离是41时，这条直线的斜率为（）A．1 B．－1C．23D．－335． 已知直线l 1的方向向量为a ＝（1，3），直线l 2的方向向量为b ＝（－1，k ），若直线l 2经过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为 （ ） A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝06． 已知两直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围为 （ ） A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3)D ．(1，3)二、填空题7． 点P （4cos θ，3sin θ）到直线x ＋y －6＝0的距离的最小值等于 ．8． 已知曲线c :y ＝x 2，则它关于x －y －2＝0对称的曲线方程是 ．9． 已知点O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，2)，P 是线段OA 的垂直平分线上一点，若∠OP A 为锐角，则P 的横坐标的取值范围是 ． 10．两条平行直线分别过点A(6，2)和点B(－3，－1)，各自绕A 、B 旋转至这两条平行线距离取最大值时两直线的方程分别为 和 ．三、解答题11．已知P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α(0<α<2π)，所得直线方程为l 1：3x －y －4＝0，若继续绕P 点逆时针方向转2π－α，则得直线l 2的方程为x ＋2y ＋1＝0，求直线l 的方程．12．一光线从点A (3，2)出发经直线x －y ＋1＝0反射后经过点B (－1，－1)．试求反射光线所在的直线方程．13．已知过点A （1，1）且斜率为－m (m >0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．提高训练题14．过点P(6，8)作两互相垂直的直线PA 、PB 分别交x轴正半轴于A ，y 轴正半轴于B ． (1) 求线段AB 中点轨迹的方程．(2) 若S △AOB ＝S △APB ，求PA 与PB 所在直线的方程． 15．（05年广东），在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若拆痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在的直线方程．7．3 线性规划知识要点1．二元一次不等式表示的平面区域．⑴ 一般地，二元一次不等式A x ＋B y ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线A x ＋B y ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式A x ＋B y ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线．⑵ 对于直线A x ＋B y ＋C ＝0同一侧的所有点(x 、y )使得A x ＋B y ＋C 的值符号相同．因此，如果直线A x ＋B y ＋C ＝0一侧的点使A x ＋B y ＋C>0，另一侧的点就使A x ＋B y ＋C<0，所以判定不等式A x ＋B y ＋C>0(或A x ＋B y ＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线A x ＋B y ＋C ＝0的一侧任意取一点(x 0，y 0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划⑵ 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ① 设出所求的未知数；② 列出约束条件(即不等式组)；③ 建立目标函数；④ 作出可行域和目标函数的等值线；⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解．（有些实际问题应注意其整解性） 例题讲练【例1】 若△ABC 的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC 区域（含边界）表示的二元一次不等式组．【例2】已知x 、y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 分别求：⑴ z ＝2x ＋y⑵ z ＝4x －3y⑶ z ＝x 2－y 2的最大值、最小值？【例3】 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？【例4】 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？小结归纳 1．二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：① 直线确定边界；② 特殊点确定区域．2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法．3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束．4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。
2019-2020年高三数学第一轮复习 第七章直线与圆方程(小结)教案
2019-2020年高三数学第一轮复习 第七章直线与圆方程（小结）教案一．基础训练：1．点在直线上，为原点，则的最小值是 （ ） 22．过点，且横纵截距的绝对值相等的直线共有 （ ） 1条 2条 3条 4条 3．圆与轴交于两点，圆心为，若，则（ ） 84．若圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且只有两个点到直线距离等于，则半径取值范围是 （ ）5．直线与直线的交点为，则过点的直线方程是___________________。
6．已知满足38150536025100x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则的最大值为________，最小值为________。
二．例题分析：例1．过点作直线交轴，轴的正向于两点；（为坐标原点） (1)当面积为个平方单位时，求直线的方程；(2)当面积最小时，求直线的方程； (3)当最小时，求直线的方程。
例2．设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程。
例3．设正方形（顺时针排列）的外接圆方程为，点所在直线的斜率为；（1）求外接圆圆心点的坐标及正方形对角线的斜率；（2）如果在轴上方的两点在一条以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程；（3）如果的外接圆半径为，在轴上方的两点在一条以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程。
三．课后作业： 班级 学号 姓名1．若方程22(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于轴的直线，则（ ） 或 1 不存在2．将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是（ ）3．是任意的实数，若在曲线上，则点也在曲线上，那么曲线的几何特征是 （ ）关于轴对称 关于轴对称 关于原点对称 关于对称4．过点任意的作一直线与已知直线相交于点，设点是有向线段的内分点，且，则点的轨迹方程是 （ ）5．如果实数满足不等式，那么的最大值是 （ ）6．过点作直线交圆于两点，则 。
高考数学 必看之知识点总结 直线和圆的方程 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高中数学第七章-直线和圆的方程 考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的间隔．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由条件列出曲线方程．圆的HY 方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：〔1〕理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件纯熟地求出直线方程．〔2〕掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的间隔公式可以根据直线的方程判断两条直线的位置关系．〔3〕理解二元一次不等式表示平面区域．〔4〕理解线性规划的意义，并会简单的应用．〔5〕理解解析几何的根本思想，理解坐标法．〔6〕掌握圆的HY 方程和一般方程，理解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．§07.直线和圆的方程知识要点一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或者重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或者12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x . 注：假设232--=x y 是一直线的方程，那么这条直线的方程是232--=x y ，但假设)0(232≥--=x x y 那么不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，假设b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点〔0，b 〕的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线.②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或者无视其中任一个“前提〞都会导致结论的错误.〔一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，那么1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或者21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠〕推论：假设两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα那么1l ∥212αα=⇔l .⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，那么有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在.②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或者02=k ，且1l 的斜率不存在.〔即01221=+B A B A 是垂直的充要条件〕4.直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角〔方向角〕；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，那么有21121tan k k k k +-=θ. 5.过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内〕6.点到直线的间隔：⑴点到直线的间隔公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的间隔为d ，那么有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的间隔公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的间隔：||OP = 2. 定比分点坐标分式。
【复习方案】高考数学一轮复习 第7单元 直线与圆的方程课件 文 大纲版
横截距为 a，纵截距 为 b(a≠0，b≠0)
A2＋B2≠0
不包含垂直 x 轴 的直线
不包含平行与垂 直 x 轴的直线
不包含坐标轴、 垂直于坐标轴及
过原点的直线
注意：除一般式外，其他形式都有限制条件．
第41讲 │ 要点探究
要点探究
► 探究点 1 直线的倾斜角与斜率
第41讲 │ 知识梳理
(2)经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率公式：
y2－y1 k＝__x_2_－__x_1 _(x1≠x2)．
(3)斜率与倾斜角的关系：当 α＝90°时，k 不存在；当 α≠90°时， k＝tanα；k≥0⇔___0_≤__α_＜__9_0_°___，且 α＝__a_rc_t_a_n_k____；
第七单元 │ 使用建议
(3)掌握圆的方程的三种形式(标准方程、一般方程、参数方程)的求 法及转化，学会直线与圆位置关系的判断；注意利用圆的平面几何 知识以及综合运用方程、函数、三角、不等式等方面的知识解决直 线与圆位置的关系问题；(4)由于一次函数的图象是一条直线，因此 有关函数、数列、不等式等代数问题往往借助直线方程进行解决， 考查学生的综合能力及创新能力．
第41讲 │ 要点探究
[点评] 解答本题的关键在于合理选择直线方程的形式：对于 (1)、(3)宜采用点斜式；对于(2)截距式更为恰当；另外对于(3)，要防 止漏掉垂直 x 轴的解．
第41讲 │ 要点探究
变式题 求过点 P(2,3)并且在两轴上的截距相等的直线方程．
[解答] 在两轴上的截距都是 0 时符合题意， 此时直线方程为 3x－2y＝0； 若截距不为 0，则设直线方程为xa＋ya＝1， 将点 P(2,3)代入得2a＋3a＝1，解得 a＝5， ∴直线方程为x5＋y5＝1，即 x＋y－5＝0. 综上，所求直线方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
高考理科数学第一轮复习第七章直线和圆的方程 第4课时 简单的线性规划及实际应用
简单的线性规划及实际应用一、 内容归纳 1知识精讲：（1）二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则 ①若B>0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的上方，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的上方的区域；②若B>0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的下方，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方的区域；（注：若B 为负，则可先将其变为正） （2）线性规划：①求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题； ②可行解：指满足线性约束条件的解（x,y ）; 可行域：指由所有可行解组成的集合；2重点难点: 准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题 3思维方式: 数形结合.4特别注意: 解线性规划时应先确定可行域；注意不等式中)(><与)(≥≤对可行域的影响；还要注意目标函数by ax z +=中0<b 和0>b 在求解时的区别. 二、问题讨论1、 二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1、画出下列不等式（或组）表示的平面区域（2）．(优化设计P109例1)求不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积。
解：（1）不等式x-2y+1>0表示直线x-2y+1>0右下方的点的集合 不等式x+2y+1≥0表示直线x+2y+1≥0右上方的点的集合不等式321≤-<x 可化11<≤-x 或53≤<x ，它表示夹在两平行线x=-1和x=1之间或夹在两平行线x=3或x=5之间的带状区域，但不包括直线x=1或x=3上的点 所以原不等式表示的区域如图所示()⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≥++>+-3210120121x y x y x解（2）先画出2=+y x 的图形，由对称性得2=+y x 表示的图形，如图1：， 再把图形向右、向左都平移1个单位得211=-+-y x 的图形， 如图22|1||1|≤-+-y x 表示图2中的正方形内部，故所求的平面区域的面积为S=8（单位）【评述】画图时应注意准确，要注意边界，若不等式中不含“=”号，则边界应画成虚线，否则应画成实线。
2019-2020年高考数学复习第57课时第七章直线与圆的方程-简单的线性规划名师精品教案新人教A版
2019-2020年高考数学复习第57课时第七章直线与圆的方程-简单的线性规划名师精品教案新人教A 版课题：简单的线性规划 一．复习目标：1．了解用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用； 2．通过以线性规划为内容的研究课题与实习作业，提高解决实际问题的能力． 二．知识要点：已知直线，坐标平面内的点．1．①若，，则点在直线的 方；②若，，则点在直线的 方． 2．①若，表示直线 方的区域；②若，表示直线 方的区域． 三．课前预习：1左上方 右上方 2220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩2201002x y x y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩ 2201002x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩2201002x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩3则的值为（ ）4．原点和点在直线的两侧，则的取值范围是 ．5.由及表示平面区域的面积是 . 四．例题分析：例1．某人上午时乘船出发，以匀速海里/时（）从港到相距海里的港去，然后乘汽车以千米/时（）自港到相距千米的市去，计划在当天下午至时到达市.设乘船和汽车的时间分别为和小时，如果已知所要的经费（单位：元）1003(5)(8)P x y =+⋅-+-，那么，分别是多少时所需费用最少？此时需要花费多少元？例2．某运输公司有辆载重量为吨的型卡车与载重量为吨的型卡车，有名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天的成本费型车元，B 型车元.问每天派出型车与型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？五．课后作业：1．三个点、、中，在由方程确定的曲线所围成区域中的个数有 （ ）个 个 个 个2．已知集合，集合{(,)|()()}0B x y y x y x =-+≤，，则的面积是 ．3．已知整点在不等式组430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则为 ．4．某人有楼房一幢，室内面积共180，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？5现在将的食物和的食物及的食物混合，制成100的混合物.如果这100的混合物中至少含维生素44000单位与维生素48000单位，那么为何值时，混合物的成本最小？6．设函数2()(,,0)f x ax c a c R a =-∈≠，又，，求的最小值、最大值以及取得最小值、最大值时的值．2019-2020年高考数学复习第62课时第八章圆锥曲线方程-双曲线名师精品教案新人教A 版课题：双曲线一．复习目标：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二．知识要点：1．双曲线的定义（1）第一定义： ．（2）第二定义： ．2．标准方程： ；与共渐进线的双曲线方程 ．3．性质： ． 4．共轭双曲线方程： ．三．课前预习：1．平面内有两个定点和一动点，设命题甲，是定值，命题乙：点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 （ ）充分但不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分也不必要条件2．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，则应满足的关系是（ ）3．直线与双曲线有公共点时，的取值范围是（ ）以上都不正确4．已知，是曲线上一点，当取最小值时，的坐标是 ，最小值是 ．5．如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是 ． 四．例题分析：例1．已知双曲线的左右焦点分别为，左准线为，能否在双曲线的左支上求一点，使是到的距离与的等比中项？若能，求出的坐标，若不能，说明理由．例2．过双曲线的右焦点作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线，垂足为， 与双曲线的左、右支的交点分别为．（1）求证：在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．例3．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为；（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．五．课后作业：1．双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）或2．双曲线的离心率，则的取值范围是（）3．双曲线上一点的两条焦半径夹角为，为焦点，则的面积为．4．与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹方程为．5．过点作直线，如果它与双曲线有且只有一个公共点，则直线的条数是____________________．6．双曲线的一条准线被它的两条渐进线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐进线的距离，则该双曲线的离心率为．7．过双曲线的一个焦点且垂直于实轴的弦，若为另一个焦点，且有，则此双曲线的离心率为．8．一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为，一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．9．设双曲线两焦点，点为双曲线右支上除顶点外的任一点，，求证：．10．已知双曲线的两个焦点为，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线过点，且与线段的夹角为，，直线与线段的垂直平分线的交点为，线段与双曲线的交点为，且，求双曲线方程．。
高考数学一轮总复习 第七章 直线和圆课件 理
①如果两条直线 l1,l2 的斜率存在,且分别为 k1,k2,则 l1⊥ l2⇔k1·k2=-1.当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条 直线垂直.
②对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.l1⊥ l2⇔A1A2+B1B2=0.
6.两条直线相交
②倾斜角的范围为[0°,180°).
(2)直线的斜率
①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,常 用小写字母 k 表示,即 k=tan α.倾斜角为 90°的直线斜率不存在.
②过两点的直线的斜率公式: 经过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式为
k=������2-������1.
(3)两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的 距离 d=|������1-������2|.
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,则有 l1∥ l2⇔k1=k2.特别地,当直线 l1,l2 的斜率都不存在时,亦有 l1∥l2.
②对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. l1∥l2⇔A1B2=A2B1 且 A1C2≠A2C1(或 B1C2≠B2C1).
的关系. 5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行
直线间的距离.
1.(2015 年广东省中山期中)设直线 l 的倾斜角α满足α∈(π,π)∪
42
(π,3π),则直线 l 的斜率 k 的取值范围为
高三一轮复习数学精品资料：第七章 直线与圆的方程
第七章直线与圆的方程 §7.1 直线的方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则（ ）A .0°≤α＜180°B .0°≤α＜135°C . 0°＜α≤135°D . 0°＜α＜135°答案 D2.（2008·全国Ⅰ文）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A .30°B .45°C .60°D .120° 答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A .1B .4C .1或3D .1或4 答案 A4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为（ ）A .2x +y =0B .x -2y +5=0C .x -2y =0D .x +2y -5=0答案 A5.(2009·株州模拟)一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .答案 x +2y -2=0或2x +y+2=0例1 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.证明 方法一 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5∴k AB =1313-+=2,k BC =3435--=2，∴k AB =kBC∴A 、B 、C 三点共线.方法二 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5∴|AB |=25，|BC |=5，|AC |=35∴|AB |+|BC |=|AC |，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5 ∴AB =（2，4），BC =（1，2），∴AB =2BC. 又∵AB 与BC 有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线.例2已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1).基础自测试求：23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB ,由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8， 故23++x y 的最大值为8，最小值为34. 例3 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =32x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+bya x ， ∵l 过点（3，2），∴123=+aa ， ∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k2,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32, ∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=32(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43. 又直线经过点A （-1，-3）， 因此所求直线方程为y +3=-43(x +1), 即3x +4y +15=0.例4 （12分）过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：（1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |·|PB |最小时l 的方程.解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得112=+ba . 2分（1）∵2ba 12∙≤b a 12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥4.4分当且仅当a 2=b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即x +2y -4=0. 6分 （2）由a 2+b1=1,得ab -a -2b =0,变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |·|PB |=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+- =]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a .10分当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |·|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.12分方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫⎝⎛-k 12（1-2k ） =21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0. 6分（2）|PA |·|PB |=22441)1(k k ++=84422++k k≥4, 当且仅当24k=4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.12分·1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a +b +c =0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =kAC∴ca c ab a b a --=--3333，化简得a 2+ab +b 2=a 2+ac +c 2∴b 2-c 2+ab -ac =0，（b -c ）（a +b +c ）=0∵a 、b 、c 互不相等，∴b -c ≠0，∴a +b +c =0.2.（2009·宜昌调研）若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （A .21B .33 C .23D .3答案D3.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =43x ,求直线l 1,l 3的方程.解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中， 得k =-52，此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为ay a x+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-21， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=43. 于是tan2α=ααsin cos 1-=3153541=-, tan2α=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-αα, 所以所求直线l 1的方程为y -6=31(x -8), 即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=724(x -8), 即24x -7y -150=0.4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24b a ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1, 即2x +3y -12=0.方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3). 即2x +3y-12=0.一、选择题1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是（ ） A .[)π，0B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 答案D2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则（A .α一定是直线l B .α一定不是直线l C .α不一定是直线lD .180°-α一定是直线l答案C3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A .[)π，0B .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，D .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ，22,4 答案 B4.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A .1B .2C .3D.4答案B5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（A .x +2y -6=0B .2x +y -6=0C .x -2y +7=0D .x -2y -7=0答案B6.若点A （2，-3）是直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是（A .2x -3y +1=0B .3x -2y +1=0C .2x -3y -1=0D .3x -2y -1=0答案A二、填空题7.（2008·浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+28.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围.解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34, 代入x+my +m =0, 整理，得x =-37+m m. 由已知-1≤-37+m m≤2, 解得-32≤m ≤21. 10.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k +4，由已知，得（3k +4）（k4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ·b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0. 11.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=2π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-， ∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33， ∴α∈⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ . 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ.12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B By y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k =833110316=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0， ∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时32312≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.§7.2两直线的位置关系1.如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行，那么实数a 等于（A .-3B .-6C .-23D .32答案B2.已知直线2x +y -2=0和mx -y +1=0的夹角为4π,那么m 的值为 （A .-31或-3 B .31C .-31或3D .31或-3答案C3.已知过点A （-2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x +y =1平行，则m 的值为（A.0B .-8C .2D.10答案B4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为 （A .21B .-21 C.-2 D.2答案C基础自测5.（2009·岳阳模拟）若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -32例1 已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a-11-(a +1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a =-1,综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1×2=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2-1)-1×6≠0,∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =-1,故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. （2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立.当a ≠1时，l 1:y =-2ax -3, l 2:y =x a-11-(a +1), 由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ·a-11=-1⇒a =32.方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a +2(a -1)=0⇒a =32.例2 求过两直线l1:x +y +1=0,l 2:5x -y -1=0的交点，且与直线3x +2y +1=0的夹角为4π的直线方程.解 设所求直线方程为x +y +1+λ(5x -y-1)=0, 即(1+5λ)x +(1-λ)y +1-λ=0. 因为所求直线与直线3x +2y +1=0的夹角为4π, 所以tan 4π=.123·115123115=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫⎝⎛---+λλλλ解得λ=-132.∴所求直线方程为x +5y +5=0.又直线l 2:5x -y -1=0与直线3x +2y +1=0的夹角θ满足tan θ=.12351235=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ∴θ=4π，故直线l 2也是符合条件的一解.x +5y +5=0或5x -y-1=0.例3 （12分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程.解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l 的斜率存在时， 则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1.10分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.12分方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0, 两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ①6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25②联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.12分例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =21(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=∙--122110000x x y y x x yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x ,代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2×(y -1)+3, 整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y=0.1.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 当m=-5时，显然，l 1与l 2相交； 当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m+52，它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=m+58. （1）由k 1≠k 2,得-43m +≠-m+52，m ≠-7且m ≠-1.∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.（2）由⎩⎨⎧≠=,,2121b b k k ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠-+-=+-m m m m584355243，m =-7. ∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +·⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-313时，l 1与l 2垂直. 2.某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC =80（米），塔所在的山高OB =220（米），OA =200（米），图中所示的山坡可视为直线l ，且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α,tan α=21.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC解则A （200，0），B （0，220），C （0，300）. 直线l 的方程为y =(x -200)tan α,则y =2200-x.设点P 的坐标为（x ,y ），则P （x ,2200-x ）(x ＞200).k PC =xx x x 28003002200-=--,k PB =x x x x 26402202200-=--. 由直线PC 到直线PBtan ∠BPC =xx x x x k k k k PCPB PCPB 2640·280012160·1--+=+-=2886401606464016028864-⨯+=⨯+-2xx x x x (x ＞200). 要使tan ∠BPC 达到最大，只需x +x640160⨯-288x +x640160⨯-288≥2640160⨯-288, 当且仅当x =x640160⨯时上式取得等号.故当x =320时，tan ∠BPC 最大.这时，点P 的纵坐标y 为y =2200320-=60. 由此实际问题知0＜∠BPC ＜2π,所以tan ∠BPC 最大时，∠BPC 最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大.3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -21=0, ∴l 1与l 2的距离d =1057)1(2)21(22=-+--a , ∴521+a =1057,∴21+a =27, ∵a ＞0,∴a =3.(2)假设存在这样的P 点.设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，且53-C =52121+C ，即C =213或C =611，∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+611=0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式53200+-y x =52×2100-+y x ，即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意.联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-042021320000y x y x ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=,21,300y x (舍去).由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,042,061120000y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==18379100y x ∴假设成立，点P ⎪⎭⎫⎝⎛1837,91即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由⎩⎨⎧=+-=+-.0723,052y x y x得⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴反射点M 的坐标为（-1,2）.又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点）,（00y x P '，由P P '⊥l 可知, k PP ′=-32=500+x y . 而PP ′的中点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2500y x ,Q 点在l 上，∴3·250-x -2·20y+7=0. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.1332,131700y x 根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ), 则3200-=--x x y y , 又PP ′的中点Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在l 上，∴3×20x x +-2×2y y ++7=0, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⨯-=--07)(23320000y y x x x x yy 可得P 点的坐标为x 0=1342125-+-y x ，y 0=1328512++y x ，代入方程x -2y +5=0中， 化简得29x -2y +33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、 选择题1.（2008·全国Ⅱ文）原点到直线x +2y -5=0的距离为（ ）A .1B .3C .2D .5答案 D2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（ ）A .2x -y -1=0B .x +y -5=0C .2x +y -7=0D .2y -x -4=0答案 B3.已知直线l 1的方向向量a =(1,3),直线l 2的方向向量b =(-1,k ),若直线l 2经过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为（ ）A .x +3y -5=0B .x +3y -15=0C .x -3y +5=0D .x -3y +15=0 答案 B4.已知三条直线l 1:y =3x -1,l 2:y =1,l 3:x +y +1=0,l 1与l 2的夹角为α,l 2与l 3的夹角为β，则α+β的值为（ A .75B .105°C .165°D .195答案B5.曲线f （x ，y ）=0关于直线x -y -2=0对称的曲线方程是（A .f (y +2,x )=0B .f (x -2,y )=0C .f (y +2,x -2)=0D .f (y -2,x +2)=0答案C6.设△ABC 的一个顶点是A （3，-1），∠B ，∠C 的平分线方程分别为x =0，y =x ，则直线BC 的方程是（ ）A .y =2x +5B .y =2x +3C .y =3x +5D .y =-21x +25答案A二、填空题7.设直线l 经过点A （-1，1），则当点B （2，-1）与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为 .答案 3x -2y +5=08.直线2x +3y -6=0关于点M （1，-1）对称的直线方程是 . 答案 2x +3y +8=0 三、解答题9.已知直线l1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m（1）l1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合.解（1）由已知1×3≠m (m -2), 即m 2-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交.（2）当1·（m -2）+m ·3=0， 即m =21时，l 1⊥l 2. （3）当21-m =3m ≠m26, 即m =-1时，l 1∥l 2. （4）当21-m =3m =m26即m =3时，l 1与l 2重合.10.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）.解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0， ∴k AB ·k BC =0≠-1，即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. （1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴xy 3-=0，即y =3. 此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为（3，3）. （2）若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =x y 3-，k CD =3-x y. 由于AD ⊥AB ，∴xy 3-·3=-1. 又AB ∥CD ，∴3-x y=3. 解上述两式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,59,518y x 此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛59,518,综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或⎪⎭⎫⎝⎛59,518.11.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P 到Q 的长度.解 （1）设点),(y x Q '''为Q 关于直线l 的对称点且Q Q '交l 于M 点，∵k l =-1，∴k QQ ′=1. ∴Q Q '所在直线方程为y -1=1·（x -1） 即x -y =0.由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--21,21.又∵M 为QQ ′的中点， 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+21212121''yx .解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.2,2''y x ∴Q '（-2，-2）.设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q '共线. 则P （2，3），Q '（-2，-2），得入射线方程为 222232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是QQ ′的垂直平分线，因而|NQ |=||'NQ . ∴|PN |+|NQ |=|PN |+|NQ ′|=||'PQ =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.12.已知直线l 经过两条直线l 1:x +2y =0与l 2:3x -4y -10=0的交点，且与直线l 3:5x -2y +3=0的夹角为4π,求直线l 的方程.解 由,0104302⎩⎨⎧=--=+y x y x解得l 1和l 2的交点坐标为（2，-1）. 设所求直线l 的方程为y +1=k (x-2). 又253=l k ,由l 与l 3的夹角为4π 得tan4π=,·133ll k k k k +-, 即1=371255225125-=⇒±=+-⇒+-k k k k k 或k =73. 故所求的直线ly +1=-37(x -2)或y +1=73(x-2),即7x +3y -11=0或3x -7y-13=0.§7.3 简单的线性规划基础自测1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是.答案 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤++01340132012y x y x yx2.（2008·天津理，2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-，y x ，y x ，y x 1210则目标函数z =5x +y 的最大值为（A .2B.3C.4D.5答案D3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x +y +m =0的两侧，则m 的取值范围是 （A .m <-5或m ＞10B .m =-5或m=10 C .-5＜m ＜10D .-5≤m ≤10答案C4.（2008·北京理，5）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则z =3x +2y的最小值是（A.0B.1C .3D.9答案B5.（2008·福建理，8）若实数x 、y 满足,001⎩⎨⎧>≤+-x y x 则x y的取值范围是（A .（0，1）B .（0，1］C .（1，+∞）D .［1，+答案C例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x ,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?解 (1)不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合.x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合, x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.所以,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x .表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈325，,y ∈［-3,8］. (2)由图形及不等式组知⎩⎨⎧∈≤≤-+≤≤-Z,325x x x y x 且 当x =3时,-3≤y ≤8,有12个整点; 当x =2时,-2≤y ≤7,有10个整点;当x =1时,-1≤y ≤6,有8个整点; 当x =0时，0≤y ≤5，有6 当x =-1时,1≤y ≤4,有4个整点; 当x =-2时,2≤y ≤3,有2个整点;2+4+6+8+10+12=42(个).例2 （2008·湖南理，3）已知变量x 、y 满足条件,09201⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥y x y x x 则x +y 的最大值是（A.2B .5C .6D.8答案C例3 （12分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品 1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，1则线性约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+1515,3001032005430049y x y x y x y x4目标函数为z =7x +12y ,6 作出可行域如图，8作出一组平行直线7x +12y =t ,当直线经过直线4x +5y =200和直线3x +10y =300的交点A （20，24）时，利润最大.10 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max =7×20+12×24=428（万元）. 答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.121.（2008·浙江理，17）若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,00y x y x 时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于. 答案12.（2008·全国Ⅰ理，13）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30,030x y x y x 则z =2x -y 的最大值为.答案 93.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20解 依题意设每星期生产x 把椅子，y那么利润p =15x +20y.其中x ,y 满足限制条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≤+≤+**N ,0N ,030012000884y y x x y x y x . x ,y ）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x +8y =8 000 (即AB )，2x +y =1 300(即BC )，x =0(即OA )和y =0(即OC ）.对于某一个确定的p =0p 满足0p =15x +20y ,且点（x ,y )属于 解x ,y 就是一个能获得0p 元利润的生产方案.对于不同的p ,p =15x +20y 表示一组斜率为-43的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p 的最大值，需把直线p =15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y的允许范当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+30012000884y x y x ,得B （200，900当x =200,y =900时，p即p max =15×200+20×900=21 000,即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.一、选择题1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x ,y 满足约束条件:,222⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥x y x x y 则z =x -3y 的最小值为（）A .-2B.-4C .-6D.-8答案D2.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-,,0,22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A .a ≥34 B .0＜a ≤1C .1≤a ≤34 D .0＜a ≤1或a ≥34答案D3.已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z =x +my 取得最小值，则m 等于 （A.-2 B.-1C .1D.4答案C4.（2008·山东理，12）设二元一次不等式组,0142080192⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+y x y x y x 所表示的平面区域为M ,使函数y =a x（a ＞0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（A .［1,3B .［2,10］C .［2,9D .［10,9答案C5.（2009·武汉模拟）如果实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-1,02553034x y x y x 目标函数z =kx +y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为 （A.2 B.-2C .51D.答案A6.（2007·江苏，10）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ={(x ,y )|x +y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ={(x +y ,x -y )|(x ,y )∈A }的面积为（A .2B .1C .21D .41答案B二、填空题7.（2008·安徽理，15）若A 为不等式组,200⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤x y y x ，表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为. 答案47 8.设集合A ={(x ,y )|y ≥|x -2|,x ≥0},B ={(x ,y )|y ≤-x +b },A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是（2）若(x ,y )∈A ∩B ,且x +2y 的最大值为9,则b 的值是. 答案 （1）［2,+∞) （2）29三、解答题9.已知实数x 、y 满足,033042022⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+y x y x y x ，试求z =11++x y 的最大值和最小值.解 由于z =11++x y =)1()1(----xy所以z 的几何意义是点（x ,y ）与点M （-1，-1）连线的斜率，因此11++x y 的最值就是点（x ，y ）与点 M （-1，-1结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max =k MB =3，此时x =0，y=2z min =k MC =21，此时x =1，y =0.10.已知变量x ,y 满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01.033032y y x y x 若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a 的取值范围. 解 依据约束条件，画出可行域.∵直线x +2y -3=0的斜率k 1=-21,目标函数z =ax +y (a ＞0)对应直线的斜率k 2=-a ,若符合题意，则须k 1＞k 2,即-21＞-a ,得a ＞21. 11.两种大小不同的钢板可按下表截成A ,B ,C 三种规格成品:某建筑工地需A ，B ，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.解 设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数为z 张，z =x +y , 约束条件为：.Z,0Z ,027*******⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+y y x x y x y x y x令z =0，作出基准直线l :y =-x ,平行移动直线l 发现在可行域内，经过直线x +3y =27和直线2x +y =15的交点A ⎪⎭⎫⎝⎛539518，可使z 取最小，由于539518，都不是整数，而最优解（x ,y ）中，x ,y 必须都是整数，可行域内点A ⎪⎭⎫⎝⎛539518，通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A ⎪⎭⎫⎝⎛539518，点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点是B (3,9)和C （4，8），它们都是最优解.答第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9 第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8两种方法都最少要截两种钢板共12张. 12.在R 上可导的函数f (x )=31x 3+21ax 2+2bx +c ,当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取得极小值,求点(a ,b )对应的区域的面积以及12--a b 的取值范围. 解 函数f (x )的导数为f ′(x )=x 2+ax +2b ,当x ∈(0,1)时,f (x )取得极大值,当x ∈(1,2)时,f (x )取得极小值,则方程x 2+ax +2b =0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f ′(x )=x 2+ax +2b 的图象与方程x 2+ax +2b =0根的分布之间的关系可以得到⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>'<'>'02,01200)2(0)1(0)0(b a b a b f f f在aOb 平面内作出满足约束条件的点(a ,b )对应的区域为△ABD (不包括边界), 如图阴影部分,其中点A (-3,1),B (-1,0),D (-2,0), △ABDS △ABD =21|BD |×h =21(h 为点A 到a 轴的距离). 点C (1,2)与点(a ,b )连线的斜率为12--a b ,显然12--a b ∈(k CA ,k CB ),即12--a b .1,41⎪⎭⎫⎝⎛∈ §7.4 曲线与方程基础自测1.已知坐标满足方程F (x ，y )=0的点都在曲线C 上，那么（A .曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x ，y ）=0B .凡坐标不适合F （x ，y ）=0的点都不在CC .不在C 上的点的坐标有些适合F （x ，y ）=0，有些不适合F （x ，y ）=0D .不在C 上的点的坐标必不适合F （x ，y ）=0答案D2.到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（A .椭圆B .ABC .线段ABD .答案C3.动点P 到两坐标轴的距离之和等于2，则点P 的轨迹所围成的图形面积是（A .2B .4C .8D .答案C4.（2008·北京理，4）若点P 到直线x =-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A .圆 B .椭圆 C .双曲线D .答案D5.已知直线l 的方程是f （x ，y ）=0，点M （x 0，y 0）不在l 上，则方程f （x ，y ）-f （x 0，y 0）=0表示的曲线是（A .直线lB .与lC .与l 平行的一条直线D .与l答案C例1 如图所示，过点P （2，4）作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程.解 设点M 的坐标为（x ,y ）,∵M 是线段AB∴A 点的坐标为（2x ,0），B 点的坐标为（0，2y ）.∴PA =（2x -2，-4），PB =（-2，2y -4）.由已知·PB =0，∴-2（2x -2）-4（2y -4）=0即x +2y -5=0.∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x +2y -5=0.例2（5分）在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a ,C ⎪⎭⎫⎝⎛0,2a 且满足条件sin C -sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程是（A .2222151616a y a x -=1 (y ≠0)B .222231616a x a y -=1 (x ≠0)C .2222151616a y a x -=1（y ≠0D .222231616a y a x -=1（y ≠0)答案D例3 如图所示，已知P （4，0）是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点， 且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解 设AB 的中点为R ，坐标为（x1，y 1），Q 点坐标为（x ，y则在Rt △ABP 中， |AR |=|PR |又因为R 是弦ABRt △OAR 中，|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-（2121y x +）. 又|AR |=|PR |=2121)4(y x +-所以有（x1-4）2+21y =36-（2121y x +）.即2121y x +-4x 1-10=0. 因为R 为PQ所以x1=24+x ，y 1=20+y .代入方程2121y x +-4x 1-10=0422422-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ·24+x -10=0. 整理得x 2+y 2=56.这就是Q 点的轨迹方程.1.已知两点M （-2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|||MP |+ ·NP =0，求动点P （x ，y ）的轨迹方程.解 由题意：=（4，0），MP =（x +2,y ）, NP =（x -2,y ）,∵|||MP |+·NP =0∴2204+·22)2(y x +++（x -2）·4+y ·0=0两边平方，化简得y 2=-8x .2.已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：（x -3）2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B|MC 1|-|AC 1|=|MA ||MC2|-|BC 2|=|MB |.因为|MA |=|MB |所以|MC2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=3-1=2.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小），这里a =1,c =3,则b 2=8,设点M 的坐标为（x ,y ）,其轨迹方程为x 2-82y =1 (x ≤-1). 3.（2009·宜昌模拟）设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN =2MP ，PM ⊥PF ，当点P在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程.解 设M （x0，0），P （0，y 0），N （x ，y 由=2MP 得（x -x0，y ）=2（-x 0，y 0∴,22000⎩⎨⎧=-=-y y x x x 即.2100⎪⎩⎪⎨⎧=-=yy xx ∵PM ⊥PF ,PM =(x 0,-y 0), PF =(1,-y 0), ∴(x0,-y 0)·（1，-y 0）=0,∴x 0+20y =0. ∴-x +42y =0,即y 2=4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2=4x .一、选择题1.方程x 2+y 2=1 (xy ＜0)的曲线形状是（答案C 2.已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA |=2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A .πB .4πC .8πD .9π答案B3.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，=2CB ，则点C 的轨迹是（A .线段B .C .椭圆D .答案C4.平面直角坐标系中，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OC =λ1+λ2（O 为原点），其中λ1，λ2∈R ，且λ1+λ2=1，则点C 的轨迹是（A .直线B.C.D.答案A5.（2008·成都质检）F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从任一焦点向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹为（A .圆B.C .双曲线D.答案A6.（2008·潍坊模拟）一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把 纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨 迹为 （A.B .双曲线C.D.答案A二、填空题7.已知△ABC 的顶点B （0，0），C （5，0），AB 边上的中线长|CD |=3，则顶点A 的轨迹方程为. 答案 (x -10)2+y 2=36 (y ≠0) 8.平面上有三点A （-2，y ），B （0，2y），C （x ，y ），若⊥，则动点C 的轨迹方程为 . 答案 y 2=8x三、解答题9.如图所示，已知点C 的坐标是（2，2），过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的 直线CB 与y 轴交于点B .设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.解 方法一（参数法）：设M 的坐标为（x ,y ）.若直线CA 与x 轴垂直，则可得到M 的坐标为（1，1）.若直线CA 不与x 轴垂直，设直线CA 的斜率为k ，则直线CB 的斜率为-k1，故直线CA 方程为：y =k (x -2)+2, 令y =0得x =2-k 2,则A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22k.CB 的方程为：y =-k 1(x -2)+2,令x =0,得y =2+k2则B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+k 22,0，由中点坐标公式得M 点的坐标为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=-=+-=k k y kk x 112022112022 ① 消去参数k 得到x +y -2=0 (x ≠1), 点M （1，1）在直线x +y-2=0综上所述，所求轨迹方程为x +y-2=0.方法二 （直接法）设M （x ，y ），依题意A 点坐标为（2x ,0）,B 点坐标为（0，2y ）. ∵|MA |=|MC |，∴,)2()2(）2（2222-+-=+-y x y x x 化简得x +y-2=0. 方法三 （定义法）依题意|MA |=|MC |=|MO|,即:|MC |=|MO |,所以动点M 是线段OC 的中垂线，故由点斜式方程得到：x +y -2=0.10.如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB |=2a （a ＞0）,|CD |=2b (b ＞0)，动点P 满足|PA |·|PB |=|PC |·|PD |.求动点P 的轨迹方程.解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y则A （-a ，0），B （a ，0），C （0，-b ），D （0，b ）,设P （x ，y ），由题意知|PA |·|PB |=|PC |·|PD |∴22）（y a x ++·22）（y a x +-=22）（b y x ++·22）（b y x -+, 化简得x 2-y 2=222b a -.故动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222b a -.11.已知两条直线l 1:2x -3y +2=0和l 2:3x -2y +3=0，有一动圆（圆心和半径都动）与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程.解 设动圆的圆心为M (x ,y ),半径为r ,点M 到直线l1,l 2的距离分别为d 1和d 2.⎪⎩⎪⎨⎧=-=-,242,262222212d r d r 即⎩⎨⎧=-=-,144,169222212d r d r消去r 得动点M 满足的几何关系为2122d d -=25, 即13)232(13)323(22+--+-y x y x =25.化简得（x +1）2-y 2=65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程.12.已知椭圆9222y x +=1上任意一点P ，由P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在线段PQ 上，且=2，点M 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E（2）若过定点F （0，2）的直线l 交曲线E 于不同的两点G ，H （点G 在点F ，H 之间），且满足=2，求直线l 的方程.解 （1）设M （x ,y ）,P (x0,y 0),∵=2，∴,300⎩⎨⎧==y y xx将其代入椭圆方程得922020y x +=1得曲线E 的方程为：22x +y 2=1. (2)设G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2∵FH =2，∴x2=2x 1依题意，当直线l 斜率不存在时，G （0，1），H （0，-1），不满足FH =2.故设直线l :y =kx +2,代入曲线E 的方程并整理得（1+2k 2）x 2+8kx +6=0,（*。
高考第57课直线与圆的位置关系.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第57课直线与圆的位置关系【自主学习】第57课直线与圆的位置关系(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P113例2改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是. 【答案】相交【解析】由题意知圆心(1，-2)到直线2x+y-5=0的距离d=5，0<d<6，故该直线与圆相交但不过圆心.2.(必修2P113例1改编)已知圆O：x2+y2=4，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为.【答案】3x-4y+10=0或x=2【解析】因为点P(2，4)不在圆O 上，所以切线PT 的方程可设为y =k (x -2)+4.根据d =r ，知2|-24|1k k ++=2，解得k =34，所以y =34(x -2)+4，即3x -4y +10=0.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求得另一条切线方程为x =2.3.(必修2P114习题2改编)过点(-1，-2)的直线l 被圆x 2+y 2-2x -2y +1=0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 .【答案】1或177【解析】由条件易知直线l 的斜率必存在，设为k ，由题可知圆心(1，1)到直线y +2=k (x +1)的距离为2|2-3|1k k +=22，解得k =1或k =177，即所求直线l 的斜率为1或177.4.(必修2P103例3改编)直线6x +8y -10=0被圆x 2+y 2=4截得的弦所对应的劣弧所对的圆心角为 .【答案】2π3【解析】由圆心到直线的距离d =1，知劣弧所对圆心角为2π3.1.直线与圆有三种位置关系：相离、相交、相切.2.直线与圆的位置关系的判定有两种方法：代数法和几何法.(1)代数法：联立直线与圆的方程，根据方程组的解的个数，判定它们的位置关系.将直线方程代入圆的方程，得到关于x 或者y 的一元二次方程.若Δ>0，则它们相交；若Δ=0，则它们相切；若Δ<0，则直线与圆相离.(2)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径的大小来判断：当d <r 时，直线与圆相交；当d =r 时，直线与圆相切；当d >r 时，直线与圆相离.3.圆的切线(1)若点P(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，则经过点P(x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2；若点P(x 0，y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时，则经过点P(x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2.(2)当点P(x 0，y 0)在圆外时，切线有两条.求圆的切线方程时，常设出切线的点斜式方程，然后运用点到直线的距离求出斜率.如果只能解出斜率的一个值，要注意斜率不存在的情形.4.(直线与圆相交时)圆的弦(1)当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为R ，则直线被圆截得的弦长为222-R d .(2)若直线y =kx +b 与曲线C 相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则AB=21k +|x 1-x 2|=211k +|y 1-y 2|.【要点导学】要点导学 各个击破直线与圆位置关系的判断例1 (1)过点P(-3，-4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x -1)2+(y +2)2=4有公共点?(2)已知圆C ：(x -1)2+(y -2)2=25，直线l ：(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R )，求证：无论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点.【思维引导】(1)先设出直线方程，然后再用代数或几何方法判断.(2)若直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径；若直线过圆内一点，则直线和圆相交.【解答】(1)方法一：设直线l 的方程为y +4=k (x +3)， 即kx -y +3k -4=0，圆心C(1，-2)到直线l 的距离d =2|23-4|1k k k +++，由d ≤2，即|k +2+3k -4|≤221k +，解得0≤k ≤43.方法二：设直线l 的方程为y +4=k (x +3)， 即y =kx +(3k -4)，代入圆C 的方程得(1+k 2)x 2+2(3k 2-2k -1)x +(9k 2-12k +1)=0，由此方程的判别式Δ≥0，得(3k 2-2k -1)2-(1+k 2)(9k 2-12k +1)≥0，解得0≤k ≤43.(2)由题意，直线方程可变形为(2x +y -7)m +(x +y -4)=0.因为m ∈R ，所以2-703-401x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩，，， 所以直线l 必过定点A(3，1)， 又因为(3-1)2+(1-2)2=5<25，所以点(3，1)在圆C 内，故l 必与圆C 相交.【精要点评】(1)圆与直线的位置关系的判定方法主要有两种：①利用圆心到直线的距离d 与圆的半径R 的关系；②利用一元二次方程根的判别式的符号.(2)若动态直线过定点，且定点在圆内或圆上，则直线必与圆相交或相切.变式 若圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点，则实数k 的取值范围是 .【答案】(-33，)【解析】由题意知221k >1，解得-3<k <3.切线问题例2 (1)求经过点P(1，-3)与圆C ：x 2+y 2=4相切的直线方程. (2)求经过点(1，-7)与圆x 2+y 2=25相切的直线方程.【思维引导】(1)显然点P 在圆C 上，直接用代数法可得答案；(2)将点(1，-7)代入圆的方程得12+(-7)2=50>25，故点(1，-7)在圆外，过圆外一点与圆相切的切线方程的求法有三种.【解答】(1)因为点P(1，-3)在圆C ：x 2+y 2=4上， 所以切线方程为x -3y =4，即x -3y -4=0. (2)方法一：设切线的斜率为k ，由点斜式有y +7=k (x -1)，即y =k (x -1)-7. ①将①代入圆的方程x 2+y 2=25，得x 2+[k (x -1)-7]2=25，化简整理，得(k 2+1)x 2-(2k 2+14k )x +k 2+14k +24=0.所以Δ=(2k 2+14k )2-4(k 2+1)(k 2+14k +24)=0.由此解得k =43或k =-34，代入①可得切线方程为4x -3y -25=0或3x +4y +25=0.方法二：设所求切线的斜率为k ， 则所求直线方程为y +7=k (x -1)， 整理成一般式得kx -y -k -7=0，由圆的切线性质可得2|0-0--7|1k k +=5，化简得12k 2-7k -12=0，所以k =43或k =-34.所以切线方程为4x -3y -25=0或3x +4y +25=0.方法三：设所求切线方程为x 0x +y 0y =25，其中(x 0，y 0)是圆上的点，将坐标(1，-7)代入后，得x 0-7y 0=25.由002200-72525x y x y =⎧⎨+=⎩，，解得004-3x y =⎧⎨=⎩，或00-3-4.x y =⎧⎨=⎩， 故所求切线方程为4x -3y -25=0或3x +4y +25=0.【精要点评】求切线一般有三种方法：①设切点用切线公式法；②设切线斜率用判别式法；③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径法.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在时的情况，三种方法中，③最简捷最常用.变式 过点P(2，6)作圆x 2+y 2=10的切线l ，则切线l 的方程为 . 【答案】6x +3y -56=0 【解析】因为22+(6)2=10，所以点P 在圆上，因此切线只有一条，圆心为C(0，0)，所以k PC =62.又因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以所求的切线的斜率为k =-26=-63，由点斜式可得切线方程为y -6=-63(x -2)，化简得6x +3y -56=0.圆的弦长问题微课12● 典型示例例3 已知直线l ：y =x 和圆C ：(x -2)2+(y -4)2=10. (1)求直线l 与圆C 的交点的坐标； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长.【思维导图】【规范解答】(1)由22(-2)(-4)10x y y x ⎧+=⎨=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，或55x y =⎧⎨=⎩，，即直线l 和圆C 的交点坐标为A(1，1)和B(5，5).(2)方法一：由(1)知，直线l 被圆C 所截得的弦长为AB=22(5-1)(5-1)+=42.方法二：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d =22|2-4|11+=2.于是弦长为222-r d =2210-(2)=42.【精要点评】求直线与圆的交点就是构造方程组，继而求解.求圆的弦长可以先求出交点A ，B 的坐标，再求线段AB 的长度，也可以通过由半弦、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形来处理.● 总结归纳求解关于圆的弦长时，常用的方法有： (1)求弦长对应线段的端点坐标，再求弦长；(2)通过半弦、半径和圆心到直线的距离构造直角三角形，结合勾股定理求解.此处，弦心距是解决问题的关键.● 题组强化1.(2016·苏北四市期中)若直线ax +y +1=0被圆x 2+y 2-2ax +a =0截得的弦长为2，则实数a 的值是 . 【答案】-2【解析】将圆x 2+y 2-2ax +a =0化为标准方程(x -a )2+y 2=a 2-a ，圆心(a ，0)，半径2-a a (a >1或a <0)，由题意知，2211a a ++=2--1a a ，得a =-2，经验证，满足题意，故a =-2.2.若a ，b ，c 是R t △ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2+y 2=4被直线l ：ax +by +c =0所截得的弦长为 . 【答案】23【解析】由题意可知圆C ：x 2+y 2=4被直线l ：ax +by +c =0所截得的弦长为22224-c a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又因为a 2+b 2=c 2，所以所求弦长为23.3.在平面直角坐标系x O y 中，已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线12x -5y +c =0的距离为1，则实数c 的取值范围是 . 【答案】(-13，13)【解析】因为圆半径为2，由题意知圆心(0，0)到直线12x -5y +c =0的距离小于1，即||13c <1，故实数c 的取值范围是(-13，13).4.(2015·泰州二模)若斜率互为相反数且相交于点P(1，1)的两条直线被圆O ：x 2+y 2=4所截得的弦长之比为62，则这两条直线的斜率之积为 . 【答案】-9或-19【解析】显然两直线的斜率是存在的，设一条直线的斜率为k ， 则另一条直线的斜率为-k ，当斜率为k 时，直线方程为y -1=k (x -1)，即kx -y +1-k =0，则圆心到直线的距离d =2|1-|1k k +，其被圆截得的弦长为 222-214-1k k k ++=2 223231k k k +++，用-k 代换k ，可得另外一条弦长为 2223-231k k k ++，所以223233-23k k k k +++=32，整理得3k 2-10k +3=0，解得k =3或k =13，所以-k 2=-9或-k 2=-19，所以两条直线的斜率之积为-9或-19.1.直线x +2y =0被圆x 2+y 2-6x -2y +1=0截得的弦长等于 . 【答案】4【解析】圆心(3，1)到直线x +2y =0的距离d =2|32|12++=5，r =3，所以弦长为222-r d =4.2.(2015·苏州调查)已知圆C ：(x -a )2+(y -a )2=1(a >0)与直线y =3x 相交于P ，Q 两点，则当△CPQ 的面积最大时，实数a 的值为 .【答案】52【解析】因为△CPQ 的面积等于12sin ∠PCQ ，所以当∠PCQ=90°时，△CPQ 的面积最大，此时圆心到直线y =3x 的距离为22，因此22=|3-|10a a ，解得a =52.3.(2015·江苏卷改编)在平面直角坐标系x O y 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx -y -2m -1=0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】(x -1)2+y 2=2【解析】由题意得，半径等于2|1|1m m ++=22(1)1m m ++=2211m m ++≤2，所以最大半径为2，所以所求圆的方程为(x -1)2+y 2=2.4.已知直线l：x-2y+m=0，将直线沿着x轴正方向平移2个单位长度，再沿着y轴负方向平移3个单位长度所得的直线与圆(x-2)2+(y+1)=5相切，那么实数m的值为.【答案】-1或9【解析】由题意知，经过两次平移后，所得直线的方程为x-2y+m-8=0，因为此直线与圆相切，所以d=22|2-2(-1)-8|1(-2)m⨯++=5=r，解得m=-1或9.【融会贯通】融会贯通能力提升已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2及点P(2，-1)，过点P作圆的切线，切点分别为A，B.(1)求PA，PB所在直线的方程；(2)求过点P的切线的长度.【思维引导】【规范解答】(1)由题可知圆的切线的斜率存在，设其为k ，则切线的方程为y +1=k (x -2).…………2分因为圆心到切线的距离d =2|-2-2-1|1k k k +=2，…………………..5分所以可解得k =-1或7…………………………………6分所以所求切线为PA ：x +y -1=0，PB ：7x -y -15=0………………………8分(2)因为PC=22(2-1)(-1-2)+=10，………………………11分所以切线长PA=22-PC r =10-2=22.…………………14分【精要点评】求圆的切线方程时应先考虑所过点与圆的具体位置，这一点很重要，因为该位置确定了圆的切线条数与具体的求解方法.题中变化的条件改变了点与圆的位置关系，所以解决的方法不同.需要注意的是过圆外一点的切线有两条，如果只解出一条，就要检查是否有斜率不存在的情况.另外，在求切线长时，要尽量利用圆的性质，用几何方法求解，以减少运算.变式1 已知圆D ：(x -1)2+(y -2)2=1及点P(2，-1)，过点P 作圆的切线，切点分别为A ，B.(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)求过点P 的切线的长度.【解答】(1)由题可知，当切线的斜率不存在时，即直线x =2是圆的切线. 当圆的切线的斜率存在时，设其为k ，则切线的方程为y +1=k (x -2).因为圆心到切线的距离d =2|-2-2-1|1k k k +=1，解得k =-43，即切线方程为4x +3y -5=0.所以所求切线为PA ：x -2=0，PB ：4x +3y -5=0，(2)因为PC=22(2-1)(-1-2) =10，所以切线长PA=22-PC r =10-1=3.变式2 已知圆C ：(x -1)2+(y -2)2=2及点P(2，3)，过点P 作圆的切线，则该切线的方程为 .【答案】x +y -5=0【解析】由题可知，点P 在圆C 上，且直线PC 的斜率为3-22-1=1，所以过点P 的圆C 的切线的斜率为-1.又知点P(2，3)，所以切线的方程为y -3=-(x -2)，即x +y -5=0. 所以所求切线方程为x +y -5=0.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第113~114页.【检测与评估】第57课 直线与圆的位置关系一、 填空题1.(2015·广东卷改编)平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是 .2.(2014·淮安、宿迁摸底)已知过点(2，5)的直线l被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为4，那么直线l的方程为.3.以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为.4.若PQ是圆x2+y2=9的弦，PQ的中点是(1，2)，则直线PQ的方程是.5.(2014·扬州期末)若圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于点A(0，-4)和B(0，-2)，则圆C的方程为.6.(2015·山东卷改编)已知一条光线从点(-2，3)射出，经y轴反射与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切，则反射光线所在的直线的斜率为.7.(2014·黄山三检)若函数y=|x|-2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是.8.在平面直角坐标系x O y中，设点P为圆C：(x-1)2+y2=4上任意一点，点Q(2a，a-3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为.二、解答题9.已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(m∈R).(1)求证：不论m取什么值，圆心在同一条直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离.10.已知圆M：x2+(y-2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M与A，B两点.(1)若AB=423，求MQ及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB 过定点.11.已知圆P 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x -2y =0的距离为55，求该圆的方程，并判断该圆与直线x -y +2=0的位置关系.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.如果圆(x -2a )2+(y -a -3)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，那么实数a 的取值范围是 .13.(2015·南京三模)在平面直角坐标系x O y 中，圆C 的方程为(x -1)2+(y -1)2=9，直线l ：y =kx +3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心、2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 .【检测与评估答案】第57课 直线与圆的位置关系1.2x+y+5=0或2x+y-5=0 【解析】设所求切线方程为2x+y+c=0，依题有2|00|21c +++=5，解得c=±5，所以所求切线的直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.2.x-2=0或4x-3y+7=0 【解析】圆C ：x 2+y 2-2x-4y=0化成标准式为(x-1)2+(y-2)2=5.因为截得的弦长为4，小于直径，故该直线必有两条，且圆心到直线的距离为d=5-4=1.当斜率不存在时，l ：x=2，显然符合要求.当斜率存在时，l ：y-5=k (x-2)，d=2|3-|1k k +=1，解得k=43，故直线l 的方程为4x-3y+7=0.3.(x-2)2+(y+1)2=9 【解析】利用圆心到直线的距离等于半径，得r=2|32-4(-1)5|3(-4)⨯⨯++=3，所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.4.x+2y-5=0 【解析】由圆的性质知，圆心与PQ 中点的连线与PQ 垂直，所以PQ 的斜率为-12.由直线的点斜式方程得y-2=-12(x-1)，即x+2y-5=0.5.(x-2)2+(y+3)2=5 【解析】因为圆过A (0，-4)，B (0，-2)，所以圆心C 的纵坐标为-3.又圆心C 在直线2x-y-7=0上，所以圆心C 为(2，-3)，从而圆的半径r=AC=41+=5，故圆C 的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.6.-43或-34 【解析】点(-2，3)关于y 轴对称的点的坐标为(2，-3)，由题知反射光线的斜率一定存在，所以设反射光线所在直线为y+3=k (x-2)，即kx-y-2k-3=0，则d=2|-3-2-2-3|1k k k +=1，|5k+5|=21k +，解得k=-43或-34.7.{2}∪(4，+∞) 【解析】作出函数y=|x|-2的图象(如图)，易观察当圆x 2+y 2=λ与函数图象相切或λ>2时恰有两个不同的公共点.当相切时，λ=2|-2|11⎛⎫⎪+⎝⎭=2；当λ>2时，λ>4.故所求λ的取值范围是{2}∪(4，+∞).(第7题)8.5-2 【解析】因为点Q 的坐标满足方程x-2y-6=0，故可转化为圆上的点到直线的距离.因为圆心C 到此直线距离d=|1-6|5=5，又知半径为2，故所求最小值为5-2.9. (1) 配方得(x-3m )2+[y-(m-1)]2=25.设圆心为(x ，y )，则3-1x m y m =⎧⎨=⎩，，消去m ，得x-3y-3=0.故不论m 取什么值，圆心在同一条直线l ：x-3y-3=0上.(2) 设与l 平行的直线为n ：x-3y+b=0，则圆心到直线l 的距离d=|3-3(-1)|10m m b +=|3|10b +，由于圆的半径r=5，所以当d<r ，即-510-3<b<510-3时，直线与圆相交； 当d=r ，即b=±510-3时，直线与圆相切；当d>r ，即b<-510-3或b>510-3时，直线与圆相离.10. (1)如图，设直线MQ 交AB 于点P ，则AP=223.又AM=1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得MP=13.又因为MQ=2MA MP ，所以MQ=3.设Q (x ，0)，而点M (0，2)，由222x +=3，得x=±5，则点Q 的坐标为(5，0)或(-5，0).从而直线MQ 的方程为2x+5y-25=0或2x-5y+25=0.(第10题)(2)设点Q(q，0)，由几何性质可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x-q)+y(y-2)=0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx-2y+3=0，所以直线AB恒过定点32⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|. 由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P截x 轴所得的弦长为2r. 故2|b|=2r，得r2=2b2，又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，得2b2-a2=1.又因为P(a，b)到直线x-2y=0的距离为55，所以d=|-2|5a b=55，即有a-2b=±1，综上所述，得222-1-21b aa b⎧=⎨=⎩，或222-1-2-1b aa b⎧=⎨=⎩，，解得-1-1ab=⎧⎨=⎩，或11.ab=⎧⎨=⎩，于是r2=2b2=2.所以所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2 易知，以上两圆与直线x-y+2=0都是相切关系.12.6-05⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由题意知圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4与圆x2+y2=1相交，即1< 22(2-0)(3-0)a a++<3，所以1<5a2+6a+9<9，解得-65<a<0.13.3-4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， 【解析】由题意得MC ≥1对于任意的点M 恒成立，由图形的对称性可知，只需点M 位于AB 的中点时满足即可.由点C (1，1)到直线l 的距离d=2|2|1k k ++≥1，解得k ≥-34.。
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第57课时：第七章 直线与圆的方程——简单的线性规划.
课题：简单的线性规划 一．复习目标：
1．了解用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用； 2．通过以线性规划为内容的研究课题与实习作业，提高解决实际问题的能力． 二．知识要点：
已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点
00(,)P x y ．
1．①若0B >，000Ax By C ++>，则点00(,)P x y 在直线的 方；
②若0B >，
000Ax By C ++<，则点00(,)P x y 在直线的 方．
2．①若0B >，0Ax By C ++>②若0B <，0Ax By C ++>三．课前预习：
1．不等式240x y -->()A 左上方 ()B 右上方2()A 220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩()B 210x y x y -⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩()C 2201002x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩()D 210x y x y -⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩3．给出平面区域（包括边界）则a 的值为（ ）
()A 14 ()
B 35 ()
C 4 ()
D 53
4．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧， 则a 的取值范围是 ．
5.由|1|1y x ≥+-及||1y x ≤-+表示平面区域的面积是 . 四．例题分析：
例1．某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/时（420v ≤≤）从A 港到相距50海里的B 港去，然后乘汽车以ω千米/时（30100ω≤≤）自B 港到相距300千米的C 市去，计划在当天下午4至9时到达C 市.设乘船和汽车的时间分别为x 和y 小时，如果已知所要的经费（单位：元）1003(5)(8)P x y =+⋅-+-，那么v ，ω分别是多少时所需费用最少？此时需要花费多少元？
例2．某运输公司有10辆载重量为6吨的A 型卡车与载重量为8吨的B 型卡车，有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A 型车350元，B 型车400元.问每天派出A 型车与B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？
五．课后作业：
1．三个点(1,1)P 、(2,2)Q 、(0,1)R -中，在由方程|1||1|1x y -+-=确定的曲线所围成区域中的个数有 （ ）
()A 3个 ()B 2个 ()C 1个 ()D 0个
2．已知集合{(,)||||1}A x y x y =+≤，集合{(,)|()()}0B x y y x y x =-+≤，M A B =，则M 的面积
是 ．
3．已知整点(,3)P a 在不等式组430352501
x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则a 为 ．
4．某人有楼房一幢，室内面积共1802
m ，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为182
m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为152
m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游
客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
5．已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示.
现在将
xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果这100kg的混合物中至少含维生素A44000单位与维生素B48000单位，那么,,
x y z为何值时，混合物的成本最小？
6．设函数
2
()(,,0)
f x ax c a c R a
=-∈≠，又4(1)1
f
-≤-≤，1(2)5
f
-≤≤，求(3)
f的最小值、最大
值以及取得最小值、最大值时
,a c的值．。