解三角形讲义
高中数学竞赛_解三角形【讲义】
第七章 解三角形一、基础知识在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2cb a p ++=为半周长。
1．正弦定理：CcB b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。
推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足)sin(sin a ba a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。
先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理BbA a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。
2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp qc p b -++（1）【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222a c b AD -+=（2）海伦公式：因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2(1-cos 2A)=41b 2c 21614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。
解三角形复习讲义
解三角形复习讲义【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系1．边的关系：两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>；两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<；2．角的关系：ABC ∆中，A B C π++=,222C B A ++=2π （1）互补关系：sin()sin()sin A B C C π+=-=cos()cos()cos A B C C π+=-=-tan()tan()tan A B C C π+=-=-（2）互余关系：sin sin()cos 2222A B C C π+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-= tan tan()cot 2222A B C C π+=-= 要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
即：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎫=+-⎪=+-⎬⎪=+-⎭⇒222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角.(4) 利用余弦定理判断三角形形状：①勾股定理是余弦定理的特殊情况，22290cos 0a b c C C +=⇔=︒⇔=. ②在ABC ∆中，222222cos 0902b c a c b a A A bc +-+>⇔=>⇔<︒，所以A 为锐角；若222a c b +>，222a b c +>，同理可得角B 、C 为锐角.当222a c b +>，222a b c +>，222c b a +>都成立时，ABC ∆为锐角三角形． ③在ABC ∆中，若222222cos 0902b c a c b a A A bc +-+<⇔=<⇔>︒，所以A 为钝角，则ABC ∆是钝角三角形．同理：若222a cb +<，则ABC ∆是钝角三角形且B 为钝角；若222a b c +<，则ABC ∆是钝角三角形且C 为钝角．要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中，已知,a b 和角A 时，解的情况如下： (1)若A 为锐角时：a bsin A a bsin A ()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角(2)若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.要点诠释：1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能． 要点四、三角形面积公式1．12a S a h =⋅（a h 表示a 边上的高）； 2．111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===； 3．22sin sin sin S R A B C =；4．4abc S R=； 要点五、实际问题中的常用角1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0°～360°.如图，点B 的方位角是0135α=。
解三角形(讲义)
解三角形（讲义）➢知识点睛1.解三角形（1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角．（2）常见的可解三角形①2边1角②2角1边③3边④1边1角表达AB=mACAB+BC=n➢精讲精练1.如图，在△ABC中，AB=BC=11，tan B=12，则AC=________，sin C=________．2.如图，在△ABC中，AC=ABC=150°，BC=8，则AB=______，sinA=________．3.如图，在钝角三角形ABC中，∠CAB＞90°，AB=10，BC=14，∠C=45°，则AC=_______．4.如图，在△ABC中，tan B=12，∠C=45°，BC=12，则AB=_________．5.如图，在△ABC中，tan A=12，∠ABC=135°，BC=AB=___________．6.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=6，则∠B的正切值为_________．7.如图，在△ABC中，BC∠C=45°，AB AC，则AC的长为_________．8.如图，在矩形ABCD中，AB=4，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF=12，则CE=_______．9. 如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC′，DC′与AB 交于点E ，连接AC′，若AD =AC′=2，BD =3，则点D 到BC′的距离为（）A ．2B ．7C D10. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ，AD ，则两个三角形重叠部分的面积为________．第10题图第11题图11. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE =12∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =23，点E ，点D 分别是边AB ，AC 上一点，AE =3，AD =4，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 于点F ．若EF =2ED ，则AC 的长为__________．13. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =BC△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C ，则sin ∠ACB′=________．14.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB BC=4，点D是AB上一点，BD=2，点E是线段AC上一动点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在线段CD上，此时tan∠A′BC=__________．15.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为__________．16.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为__________．【参考答案】1.5；4 52.3.4.5. 26.7. 28.9. B10.311.112.23 213.4 514.1 1815.16.52或53。
高三第一轮复习讲义【15】-解三角形
高三第一轮复习讲义【15】-解三角形一、知识梳理： 1、三角形面积公式以△ABC 的顶点A 为坐标原点，AB 边所在的直线为x 轴， 建立直角坐标系，过C 作x 轴的垂线CD ，垂足为D ， 则(,0)B c ，(cos ,sin )C b A b A ，sin CD b A =， ∴11sin 22ABC S AB CD cb A ∆=⋅=，即：1sin 2ABC S bc A ∆=； 同理：11sin sin 22ABC S ca B ab C ∆==； 这就是说：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。
2、正弦定理 将111sin sin sin 222bc A ca B ab C ==中等号分开的式子都除以12abc 得： sin sin sin A B C a b c ==，即有：sin sin sin a b c A B C==。
正弦定理中比值的几何意义：如图，设O 是△ABC 的外接圆的圆心，连CO 并延长交圆于D ， 连BD ，,D A ∠=∠CD 为直径90CBD ⇒∠=，那么2sin 2sin a R D R A =⋅=。
所以有：2sin aR A=， 即正弦定理为：2sin sin sin a b cR A B C===abc其中2R 为△ABC 外接圆的直径。
3、余弦定理以△ABC 的顶点A 为坐标原点，AB 边所在的直线为x 轴， 建立直角坐标系，过C 作x 轴的垂线CD ，垂足为D ，则(,0)B c ，(cos ,sin )C b A b A ，根据两点间距离公式：||a BC ==2222cos a b c bc A =+-。
同理可得：2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-。
也就是说：三角形的一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值乘积的两倍。
这个结论称为余弦定理。
余弦定理还可以表示为：222cos 2b c a A bc +-=， 222cos 2a c b B ac+-=， 222cos 2a b c C ab +-=。
解直角三角形讲义
解直角三角形24．1 锐角三角函数锐角三角函数概念：B规定：在Rt△BC 中，∠C=90 ，斜边c∠A的对边 a ∠A 的对边记作a，∠B 的对边记作b，∠C 的对边记作c．A C∠A的邻边b 在Rt△BC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA，即sinA= =ac ．sinA ＝A的对边 aA的斜边 c把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，A的邻边 a记作cosA ，即cosA= = ；斜边c把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA ，即tanA= A的对边A的邻边=ab ．例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90 °，求值．B sinA= cosA=3 tanA= sinB=A4 C cosB= tanB=(1)sinA= cosA=_BtanA= sinB=__C_A_特殊角的三角函数值：130°45°60°siaAcosAtanA例2：求下列各式的值．（1）cos260°+sin260°．（2）260°+sin260°．（2）c os 45sin 45-tan45°．练习：1、2、计算：解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
直角三角形ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有以下等量关系(1)边角之间关系sina b aA ; cos A ; tan A ; cotc c bAbasinb a bB ; cos B ; tan B ; cotc c aBab如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.sin 的对边斜边；cos的邻边斜边；tan的对边的邻边；cot的邻边的对边(2)三边之间关系(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．2 2 2a +b =c (勾股定理)以上三点正是解直角三角形的依据．例3：在Rt△ABC 中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，c 35 2 ，求∠A、∠B，b；(2)已知：a 2 3 ，b 2 ，求∠A、∠B，c；2sin A(3)已知： 3，c 6，求a、b；3(4)已知：tan B , b 9, 求a、c；2(5)已知：∠A＝60°，△ABC 的面积S12 3,求a、b、c 及∠B．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．例4、如图，大海中某岛C 的周围25km 范围内有暗礁．一艘海轮沿正东方向航行，在 A 处望见C 在北偏东60°处，前进20 km 后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续沿正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据：≈ 1.41，≈ 1.73）练一练：1、某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象．已知A、B 两点相距 6 米，探测线与地面的夹30°和45°，试确定生命所在点 C 的深度．（精确到0.1 米，参考数据：≈ 1.41，角分别是≈ 1.73）2、如图，一艘轮船航行到 B 处时，测得小岛 A 在船的北偏东60°的方向，轮船从 B 处继续向正东方向航行200 海里到达 C 处时，测得小岛 A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈ 1.732）例5、如图，湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥P D ，在小道上测得如下数据：AB =60 米，∠PAB =45°，∠PBA =30°．请求出小桥PD 的长．练一练：1、如图，A，B，C 分别表示三所不同的学校，B，C 在东西向的一条马路边， A 学校在 B 学校北偏西15°方向上，在 C 学校北偏西60°方向上，A，B 两学校之间的距离是1000 米，请求出∠BAC 的度数以及A，C 两学校之间的距离．2、如图，小明在楼顶处测得对面大楼楼顶点处的仰角为52°，楼底点处的俯角为13°．若两座楼与相距60 米，则楼的高度约为米．（结果保留三个有效数字）（，，，，，）坡度与坡角坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），即坡角的正切值「即tan ∠α」。
解三角形复习讲义
《解三角形》复习讲义基本知识一.正弦定理：1.正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2=== ③边化角 R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin ===二.余弦定理1.余弦定理：)cos 1(2)(cos 22222A bc c b A bc c b a +-+=-+=)cos 1(2)(cos 22222B ac c a B ac c a b +-+=-+=)cos 1(2)(cos 22222C ab b a C ab b a c +-+=-+= 2.变形：bc a c b A 2cos 222-+= ac b c a B 2cos 222-+= ab c b a C 2cos 222-+= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a 三.三角形面积：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =，解三角形．巩固练习1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．巩固练习2. 在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A.例3. △ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．巩固练习3. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．巩固练习4.在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．例4. 已知在∆ABC 中，∠B =30︒，b =6，c a 及∆ABC 的面积S ．巩固练习5. 在△ABC 中，a =b =1cos 3C =，则ABC S =△_______课后作业1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+2．在△ABC 中，若====c C B b 则,135,30,200（ ）A ．22 B.32 C.362 D.363．在△ABC 中，1,6a b A π==∠=，则∠B 等于（ ） A ．3π B ． 6π或56π C ．3π或23π D ．6π 4.已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶ 2∶ 3B ．2∶ 3∶ 1C ．1∶ 3∶ 2D ．3∶ 1∶ 25.若ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos cos a A b B =，则（ ） A ．ABC △为等腰三角形 B ．ABC △为直角三角形C ．ABC △为等腰直角三角形D ．ABC △为等腰三角形或直角三角形6.在△ABC 中，若 ac b c a 3222=-+ ,则角B 的值为__________7.在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A =_______8.已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为_________.9.已知a ＝33，c ＝2，B ＝30°，求边b 的长及三角形面积10. 在ABC △中，角A,B,C 所对的三边a,b,c ，且cos 3cos C a c B b -= （1）求sinB(2 )若b=求ABC △的面积。
解直角三角形讲义
解直角三角形讲义关键信息项：1、讲义的使用范围2、解直角三角形的教学目标3、讲解的重点和难点4、示例和习题的数量及类型5、教学方法和策略6、考核方式和标准7、讲义的更新频率8、版权归属11 协议背景为了提高学生对于解直角三角形的理解和应用能力，特制定本讲义协议，以规范讲义的编写、使用和管理。
111 讲义的使用范围本讲义适用于初中数学教学，主要针对具体年级的学生。
112 解直角三角形的教学目标1121 学生能够理解直角三角形中边与角的关系。
1122 掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义和计算方法。
1123 能够运用三角函数解决与直角三角形相关的实际问题。
113 讲解的重点和难点1131 重点11311 三角函数的概念和计算。
11312 解直角三角形的基本方法和步骤。
11313 常见的实际问题模型，如测量物体高度、距离等。
1132 难点11321 三角函数值的准确计算和应用。
11322 复杂实际问题中数学模型的建立和求解。
114 示例和习题的数量及类型1141 示例数量不少于X个，涵盖各种类型的题目，包括基础概念的示例、典型解题方法的示例和实际应用的示例。
1142 习题分为课堂练习、课后作业和拓展提高三种类型。
课堂练习不少于X道，课后作业不少于X道，拓展提高题目不少于X道。
115 教学方法和策略1151 采用多媒体教学手段，通过图形、动画等方式直观展示直角三角形的特点和解题过程。
1152 结合实际生活中的例子，引导学生发现问题、分析问题和解决问题。
1153 组织小组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力和思维能力。
116 考核方式和标准1161 考核方式包括课堂表现、作业完成情况、测验和考试。
1162 课堂表现占总成绩的X%，主要考察学生的参与度、回答问题的准确性等。
1163 作业完成情况占总成绩的X%，根据作业的完成质量、正确率等进行评估。
1164 测验和考试占总成绩的X%，测验主要考察阶段性学习成果，考试则全面评估学生对解直角三角形的掌握程度。
人教A版(2019)必修第二册《解三角形》专题9 涉角平分线 专题讲义(Word版含答案)
（3套2页，含答案）知识点：典型例题：1. 已知在ABC ∆ 中，2,B A ACB =∠ 的平分线CD 把三角形分成面积比为4:3的两部分，则cos A =① . （不用等面积法）2. 在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足22sin cos 212B C A ++=， （1）求角A 的大小；（②）（2）若a =3BA AC ⋅=-，A ∠的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.（等面积法）随堂练习：1. 如图，在△ABC 中，C ＝π4，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，且tan ∠CBD ＝12. (1)求sin A ；（③）(2)若CA →·CB →＝28，求AB 的长．（不用等面积法）2. 在①2a -b=2ccosB,②2+b 2-c 2),③sin(A+B)=1+22sin 2C 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题。
在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,设ΔABC 的面积为S,已知 .（1)求角C 的值；（④）（2)（中档）若b=4,点D 在边AB 上，CD 为LACB 的平分线，ΔCDB ,求a 的值。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
（等面积法）1. 已知△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且2cos 2c B b a ⋅-=. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）设角A 的平分线交BC 于D ，且AD 3b 2ABC 的面积. ⑤（不用等面积法）2. 已知的内角所对的边分别为，.（1）；（2）若的平分线交于点，且，求的长.⑥《解三角形》专题9-3 涉角平分线1. 如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4c =，2b =，2cos c C b =，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．（1）求线段AD 的长；（2）求ADE ∆的面积．（⑦）2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2acosC －c ＝2b ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3 ，求a ．（⑧）ABC ∆,,A B C ,,a b c sin 2sin ,23A C b c ==cos C B ∠AC D ABC ∆315BD① 【答案】23；② 3A π=；6sin 6021()sin 30552bc AT b c ︒∴===+︒-； .解：（1）22sin cos 212B C A ++=，即为cos 2cos()0A B C -+=， 可得22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍去） ， 由0A π<<，可得3A π=； （2）3BA AC ⋅=-，即为2cos 33cb π=-，可得6bc =， 由22222cos ()27a b c bc A b c bc bc =+-=+--=，可得5b c +==，由ABC ABT ACT S S S =+△△△得，111sin 60sin 30sin 30222bc b AT c AT ︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒6sin 6021()sin 30552bc AT b c ︒∴===+︒-③17．解析：(1)设∠CBD ＝θ，因为tan θ＝12， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故sin θ＝55，cos θ＝255， 则sin ∠ABC ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×55×255＝45， cos ∠ABC ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×45－1＝35， 故sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋2θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2θ＝22(sin 2θ＋cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫45＋35＝7210. (2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin ∠ABC， 即BC 7210＝AC 45，所以BC ＝728AC ， 又·＝22||||＝28，所以||||＝282，所以AC ＝42，又由AB sin C ＝AC sin ∠ABC ，得AB 22＝AC 45，所以AB ＝5. ④ 答案：（10分）解：（1）若选①：a b B c -=22cos ，则由正弦定理得，即，∵，∴，则． …………………（4分） 若选②：，则， 化简得，∴． …………………（4分）， 化简得π2sin 26C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ62C +=，故π3C =. …………………（4分） （2）在ABC ∆中，BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，所以，︒⋅⋅=︒⋅⋅+︒⋅⋅60sin 2130sin 2130sin 21CB CA CD CA CD CB ⇒a CD CD a 341=+⨯. ① 又33241=⨯=∆CD a S CDB . ② 由①②，23242=⇒=+a a a 或34-（舍）. 2=∴a . …………………（10分）⑤ 答案：解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得222222a c b c a b ac+-⨯=+，整理得222a b c ab +-=-. …2分2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， ………………3分 又在ⅠABC 中，0＜C ＜π， ………………4分∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分 法二：由已知及正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A ⋅-=，又在ⅠABC 中，sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C , . ......……2分Ⅰ2sin C cos B – sin B =2sin B cos C +2cos B sin C ，即2sin B cos C = – sin B ，又sin B ≠0， ………………3分Ⅰ1cos 2C =-，又0＜C ＜π， ………………4分 ∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分2sin cos sin 0B C B -=sin 0B ≠1cos 2C =π3C =)2224S b a c =+-14sin 2cos 2ba C ba C ⋅=tan 3C =π3C =()22sin12C A B +=+1cos 1C C =-+(Ⅰ)由(Ⅰ)23C π=，依题意得如图，在ⅠADC 中，AC =bAD由正弦定理得sin sin AC C CDA AD ⋅∠==， .………………7分 Ⅰ在ⅠADC 中，0＜CDA ∠＜π，C 为钝角， ........………....………8分 ∴4CDA π∠=，故23412CAD ππππ∠=--=. .………………9分 Ⅰ在ⅠABC 中，AD 是角A 的平分线，Ⅰ6CAB π∠=, .……….……10分 ⅠⅠABC是等腰三角形，BC AC == .………………11分 故ⅠABC的面积211sin 232S BC AC π=⋅= .…………….…12分 ⑥ 答案：解:（1）因为，所以.于是，. （2）由可得设的面积为，∴， ∴.则. ∵为的平分线，∴，∴. 又.∴.在中,由余弦定理可得，∴.⑦ 【解析】（1）因为4c =，2b =，所以1cos 24b Cc ==． 由余弦定理得22224161cos 244a b c a C ab a +-+-===， 所以4a =，即4BC =，在ACD ∆中，2CD =，2AC =，所以2222cos6AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠=，所以AD =（2）因为AE 是BAC ∠的平分线， sin 2sin A C =2a c =()2222223272cos 328222c c c a b c C ab c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⨯⨯7cos 8C =sin C =ABC ∆S 113sin 2222S ab C c c ==⋅⋅=24,2c c ==4,3a b ==BD B ∠2a CD c AD==2CD AD =3CD AD +=21CD AD ==,BCD ∆22274224268BD =+-⨯⨯⨯=BD所以1sin 221sin 2ABEACE AB AE BAE S AB S ACAC AE CAE ∆∆⋅⋅∠===⋅⋅∠， 又ABE ACE S BE S EC ∆∆=，所以2BE EC=， 所以1433CE BC ==，42233DE =-=， 又因为1cos 4C =，所以sin C ==，所以1sin 2ADE S DE AC C ∆=⨯⨯⨯=⑧ 答案：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得 2sin A cos C －sin C ＝2sin B ， …2分2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝２sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sinC ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－ 1 2，而A ∈(0, π)，∴A ＝2π3. …6分 （Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BD sin A∴ sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝ 22，∴ ∠ADB ＝π4， …9分 ∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝ 2由余弦定理， BC ＝AB 2+AC 2-2AB ⋅ACcosA ＝ 6. …12分。
初中数学解直角三角形综合讲义
1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。
解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。
高中数学讲义：解三角形中的不等问题
解三⻆形中的不等问题一、基础知识：1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC V 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=Û+-=（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=Þ+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B Ca A=2、余弦定理：2222cos a b c bc A=+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式：（1）12S a h =×（a 为三角形的底，h 为对应的高）（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==××=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和：A B C p ++=，从而可得到：（1）正余弦关系式：()()sin sin sin A B C B C p =-+=+éùëû()()cos cos cos A B C B C p =-+=-+éùëû（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的5、两角和差的正余弦公式：()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=±()cos cos cos sin sin A B A B A B±=m6、辅助角公式：()sin cos a A b B A j +=+，其中tan b aj =7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。
《解直角三角形》 讲义
《解直角三角形》讲义一、直角三角形的基本概念直角三角形是指有一个角为 90 度的三角形。
在直角三角形中，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
我们通常用符号“Rt△”来表示直角三角形。
例如，Rt△ABC 表示三角形 ABC 是直角三角形。
二、解直角三角形的定义解直角三角形，就是由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程。
三、直角三角形的边角关系1、正弦（sin）：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值。
例如，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 的正弦表示为 sinA ＝BC/AB。
2、余弦（cos）：锐角的余弦等于邻边与斜边的比值。
对于∠A，cosA ＝ AC/AB。
3、正切（tan）：锐角的正切等于对边与邻边的比值。
∠A 的正切为 tanA ＝ BC/AC。
这些三角函数的值只与角度的大小有关，而与三角形的大小无关。
四、特殊角的三角函数值我们需要牢记一些特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，这在解题中经常会用到。
1、 30°角：sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2，tan30°＝√3/3。
2、 45°角：sin45°＝√2/2，cos45°＝√2/2，tan45°＝ 1。
3、 60°角：sin60°＝√3/2，cos60°＝ 1/2，tan60°＝√3。
五、解直角三角形的依据1、三边之间的关系（勾股定理）：a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）2、两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝ 90°3、边角之间的关系：sinA ＝ a/c，cosA ＝ b/c，tanA ＝ a/b 等六、解直角三角形的类型1、已知两条直角边 a、b，求斜边 c 及两个锐角。
解三角形完整讲义
解三角形完整讲义三角形是高中数学中重要的几何概念之一，解三角形则是在已知一些角度和边长条件下，确定三角形的边长和角度的过程。
本文将针对解三角形的方法和步骤进行详细的讲解。
一、基本概念在开始讲解解三角形的方法之前，我们先来了解一些基本概念。
三角形是由三条边和三个角所确定的图形，根据三条边的长度不同，可以把三角形分为三种情况：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
同时，三角形的内角和为180度，这是三角形解题的基本条件之一。
二、解三角形的方法1. 已知两边一角（SAS）当已知两边的长度及夹角时，可以利用余弦定理来求解第三条边的长度。
余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a和b为两边的长度，C为夹角的度数。
2. 已知一边两角（ASA）当已知一条边的长度及与它相邻的两个角时，可以利用正弦定理来求解另外两条边的长度。
正弦定理的公式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b和c分别为三角形的三条边的长度，A、B和C为对应的三个角的度数。
3. 已知三边（SSS）当已知三条边的长度时，可以利用余弦定理或正弦定理来求解三个角的度数。
此外，还可以利用勾股定理判断三条边是否构成直角三角形。
勾股定理的公式如下：c² = a² + b²其中，c为斜边的长度，a和b为直角边的长度。
4. 已知两边一角的情况下，求解余弦定理的其他两边（SAS）在已知两边一角的情况下，求解余弦定理的其他两边的长度时，可以套用余弦定理的公式，将已知的两边和夹角代入，求解未知边的长度。
5. 求解三角形的面积在已知三角形的两边和夹角、三边边长或三个顶点坐标的情况下，可以利用海伦公式或矢量法求解三角形的面积。
海伦公式如下：S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]其中，S为三角形的面积，a、b和c为三角形的三条边的长度，s 为三角形的半周长，即s = (a + b + c) / 2。
高中数学竞赛第七章 解三角形【讲义】
第七章 解三角形一、基础知识在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2cb a p ++=为半周长。
1．正弦定理：CcB b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。
推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足)sin(sin a ba a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。
先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理BbA a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]=21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。
2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp qc p b -++ （1）【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222a c b AD -+=（2）海伦公式：因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2(1-cos 2A)=41b 2c 21614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。
最全面的解三角形讲义
解三角形【高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．6．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．考向探究题型一 正弦余弦定理运用【例题1】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.【例题2】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.【例题3】 （14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. （1）求角A 的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求cb Ca--︒)30sin(的值.【变式】1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a= .2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= .6. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为 .7.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3π.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.题型二判断三角形形状【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【变式】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.题型三测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【变式】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．题型四测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【变式】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．巩固训练1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 三角形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CB sin sin 的值为 .3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= .4.在△ABC 中，BC=2，B=3 ，若△ABC 的面积为23，则tanC 为 .5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= .8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 . 9.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.11. 在△ABC 中，cosB=-135，cosC=54.（1）求sinA 的值；（2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长.12.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x-b=0 (a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S=103，c=7. （1）求角C ；（2）求a ，b 的值.13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin 22B A +-cos2C=27.(1)求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.14．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m15．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°16．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里 B．53海里C．10海里 D．103海里18．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案例题答案题型一 正弦、余弦定理【例题1】 解 ∵B=45°＜90°且asinB ＜b ＜a,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒ =23, 则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=BCb sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或 A=120°,C=15°,c=226-. 【例题2】 解（1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 2222-+，cosC=ab c b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b+2得:ac b c a 2222-+·2222cb a ab -+=-c a b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac∴cosB=acb c a 2222-+=ac ac2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B=32π.（2）将b=13,a+c=4,B=32π代入b 2=a 2+c 2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac=3.∴S △ABC =21acsinB=433. 【例题3】解（1）∵cosA=bc a c b 2222-+=bc bc 2-=-21,又∵A∈（0°，180°），∴A=120°.（2）由a=3,得b 2+c 2=3-bc,又∵b 2+c 2≥2bc（当且仅当c=b 时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b 时取等号）.即当且仅当c=b=1时，bc 取得最大值为1.（3）由正弦定理得：===CcB b A a sin sin sin 2R, ∴CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒=C B C A sin sin )30sin(sin --︒ =CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- C C C C sin 23cos 23)sin 43cos 43--==21【变式】1. 22. 解（1）由正弦定理得BbA a sin sin =. ∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. (2)由正弦定理得sinC=430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22b c -=43. 3. 1034. 解 依题意得absinC=a 2+b 2-c 2+2ab,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C=2.从而tanC=2tan 12tan22C C -=-34. 5.336. 3π或32π7. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab=4.又因为△ABC 的面积等于3， 所以21absinC=3，所以ab=4. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=2π，B=6π，a=334，b=332.当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a所以△ABC 的面积S=21absinC=332. 题型二 判断三角形形状【例题】 解方法一 已知等式可化为a 2［sin （A-B ）-sin （A+B ）］=b 2［-sin （A+B ）-sin(A-B)］∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA -sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B ＜2π 得2A=2B 或2A=π-2B, 即A=B 或A=2π-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cosAsinB=2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2) 即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a=b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.【变式】 解 方法一 ∵2cos 2B-8cosB+5=0,∴2(2cos 2B-1)-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21. ∵0＜B ＜π,∴B=3π. ∵a，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b. ∴co sB=acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21， 化简得a 2+c 2-2ac=0,解得a=c. 又∵B=3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cosB+5=0，∴2（2cos 2B-1）-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0， 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21,∵0＜B ＜π,∴B=3π, ∵a,b,c 成等差数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3π=3. ∴sinA+sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3， ∴sinA+sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sinA+23cosA=3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A+6π=2π,∴A=3π,∴C=3π,∴△ABC 为等边三角形.题型三 测量距离问题【例题】解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45° 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 【变式】解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620 km.题型四 测量高度问题【例题】解 如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD， ∴BD ＝CDtan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m. 【变式】解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDCsin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例题】解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.【变式】解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6巩固训练1. 等腰；2.53；3. 45°；4. 33；5. 60°；6. 45°或135°；7. 65π； 8. 3或23；9. ①③④10.（1）证明 因为a 2=b(b+c)，即a 2=b 2+bc, 所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cosB=ac b c a 2222-+=acbc c 22+=a cb 2+=ab a 22=b a 2=BA sin 2sin , 所以sinA=sin2B,故A=2B. （2）解 因为a=3b,所以ba=3, 由a 2=b(b+c)可得c=2b, cosB=ac b c a 2222-+=22223443bb b b -+=23, 所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形. 11. 解 (1)由cosB=-135,得sinB=1312, 由cosC=54,得sinC=53. 所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6533. (2)由S △ABC =233,得21×AB×AC×sinA=233. 由(1)知sinA=6533,故AB×AC=65.又AC=CB AB sin sin ⨯=1320AB, 故1320AB 2=65,AB=213. 所以BC=C A AB sin sin ⨯=211.12. 解 （1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x-b=0的两根，则x 1+x 2=ab c 222-，x 1·x 2=-a b .∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+ab4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab.又cosC=abc b a 2222-+=ab ab 2=21,又∵C∈(0°,180°),∴C=60°. (2)S=21absinC=103，∴ab=40 ……① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,即c 2=(a+b)2-2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-2×40×⎪⎭⎫ ⎝⎛+211.∴a+b=13.又∵a＞b ……②∴由①②，得a=8,b=5.13. 解 （1）∵A+B+C=180°,由4sin22B A +-cos2C=27, 得4cos 22C-cos2C=27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C-1)=27,整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得cosC=21, ∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC,即7=a 2+b 2-ab,∴7=(a+b)2-3ab ， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6, ∴S △ABC =21absinC=21×6×23=233. 14.解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A15.解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案 B 16.解析 如图．答案 B17.解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)． 答案 C18.解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75.解得BC ＝56(海里)．答案 5 619.如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)。
(完整版)解三角形完整讲义
正余弦定理知识要点：3、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A 、 B 、 C ），由 A+B+C = π求 C ，由正弦定理求 a 、b ； （2）已知两边和夹角（如 a 、b 、c ），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所 对的角，然后利用 A+B+C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a 、b 、A ），应用正弦定理求 B ，由 A+B+C = π求 C ， 再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边 a 、b 、c ，应余弦定理求 A 、B ，再由 A+B+C = π，求角 C 。
4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定 理及几何作图来帮助理解” 。
6、已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C ，则 S ＝1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ ABC 中， b a cosC c cosA ，⋯8、两内角与其正弦值：在△ ABC 中， A B sin A sinB ，例题】在锐角三角形 ABC 中，有 (A ． cosA>sinB 且 cosB>sinAC ． cosA>sinB 且 cosB<sinA正弦定理专题：公式的直接应用1、已知 △ ABC 中， a2，b 3， B 60o ，那么角 A 等于（ ）A ． 135oB ． 90oC ．45oD ．30o2、在△ ABC 中， a ＝ 2 3 ，b ＝ 2 2 ， B ＝ 45°，则 A 等于（ C ）A ．30°B ． 60°C ．60°或 120°D ． 30°或 150°3、△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若 c 2，b 6，B 120o ，则 a1、 正弦定理a sin Ab sin B 2R 或变形： a:b:c sinCsin A :sin B :sin C .2a b 22c 2bc cos AcosA2、余弦定理：b 22a 2 c 2accosB 或 cosB2cb 2 2 a 2ba cosCcosCb 22c 2 a2bc222a cb 22ac222b 2a c2abB )B ． cosA<sinB 且 cosB<sinA D ． cosA<sinB 且 cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：2S bc，特别地， r 直a b c 斜616、已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若sin A ，b3sinB ，33则 a 等于 ． （ 3 ）336 12 6,12 6 24)2、已知 △ ABC 的周长为 2 1，且sinA sinB 2sinC ．（1）求边 AB 的长；1（2）若 △ ABC 的面积为 sin C ，求角 C 的度数．专题：三角形个数4、已知△ ABC中，A 30o ， C 105o ， b 8，则 a 等于（B ）A ． 4B.4 2C.4 3D.4 55、在△ ABC 中，a＝10，B=60°,C=45° ,则 c 等于 （ B）A ． 10 3B ． 10 3 1C ． 3 1D ． 10 3C ． 3D ． 2等于（ ）A ． 6B ．27、△ ABC 中， B 45o，C60o ， c 1，则最短边的边长等于（B.3: 2两部分，则 cosA （ C ）1 13 A .B .C .324cos2Acos2B119、在△ ABC 中，证2222ab 2a 2b 2D .0证明：cos2Acos2B 1 2sin 2 Ab 21 2sin2 Bb 21 1 sin2 A sin 2 B 222 2 2a b a b由正弦定理得：sin 2 Aa 22sinb 2cos2A 2a专题：两边之和1、在△ ABC 中，A ＝60°， B ＝45°， cos2B b 21b 2ab 12， a ＝；b ＝ .8、△ ABC 中，A:B1: 2，C 的平分线 CD 把三角形面积分成1、△ ABC中，∠ A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ ABC （ C ） A.有一个解 B.有两个解C.无解D.不能确定2、Δ ABC中,a=1,b= 3 , ∠ A=30° ,则∠ B等于（ B ）A．60°B．60°或120° C．30°或150° D．120°3、在△ ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ）A．b = 10，A = 45°， B = 70°B．a = 60，c = 48，B = 100°C．a = 7，b = 5，A = 80°D．a = 14，b = 16，A = 45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= 2 ,∠ A=30°专题：等比叠加D. 32专题：变式应用1、在△ ABC中，若∠ A:∠ B:∠C=1:2:3,则a : b : c 1: 3:22、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3 ∶2，则A∶B∶C等于( A )A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1：3：2D．3：1：23、在△ ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：① a:b:c4:5:6② a:b:c 2: 5 : 6 ③a2cm,b 2.5cm,c 3cm④ A: B:C 4:5:6其中成立的个数是( C )A．0 个B． 1 个C．2个D．3个5、C．a=1,b=2,∠ A=100°C．b=c=1, ∠B=45°在△ ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（A．无解B．一解C．二解B）D．不能确定6、满足A=45 ,c= 6 ,a=2 的△ ABC 的个数记为m, 则 a m 的值为（ A ）7、8、A．4 B．2 C．1 D．不定已知△ ABC 中，a181,b 209,A 121 ，则此三角形解的情况是无解在△ ABC中，已知50 3 ，c 150 ，B 30o，则边长a。
46.解三角形讲义1：代数、几何观点下的解三角形
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
A
代数观点下的解三角形：
问题：解三角形中，代数条件是怎样构造的?
(1)基于边角恒等式 a bcosC ccos B 构造代数条件；
(2)基于正余弦定理构造代数条件；
(3)基于面积公式、三角形内角和等于 构造代数条件；
4
3
题组六：(几何观点下的解三角形)
(1). sinB 1 sinC 2
(2).BD= 2，AC=1.
谢谢大 家
THANK YOU FOR WATCHING
(4)基于三角方程构造代数条件。
题组二：(代数观点下的解三角形)
3
A
2
3
3
题组三：(代数观点下的解三角形)
二、几何观点下的解三角形
1.解单个三角形问题
★解题思路： (1)已知两角一边，求角直接用sinC sin(A B),cosC cos(A B) ，求边用正弦定理； (2)已知两边一对角，求角可以用正弦定理，求边可以用余弦定理； (3)已知两边一夹角，用余弦定理； (4)已知三边，用余弦定理； (5)已知边角互化条件考虑边化角或者角化边。 ★小技巧：
题组五：(几何观点下的解三角形)
1.(2016 全国Ⅲ)在△ABC 中，B＝π，BC 边上的高等于 1BC，则 cosA＝(
4
3
C
)
A.3 10 10B. 10来自10C．－ 10 10
D．－3 10 10
3
10
2.如图，在△ABC 中，B＝π，BC 边上的高等于 1BC，则 sin A＝________1__0.
思考:解三角形版块中,你掌握了什么方法,你知道命题者 是怎样设计出题目的吗。
精品数学讲义—解三角形问题
解三角形问题.一 基础知识1 三角形性质1.1任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边；1.2三角形中大边对的角也大；三角形中大角对的边也大；2 余弦定理、正弦定理及面积公式2.1余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=,2.2正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（2R 为外接圆直径）. 2.3面积公式2.3.1 三角形的面积等于底边长与其高乘积的一半； 2.3.2 B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===∆； 2.3.3 ))()((c s b s a s s S ---=∆其中s 为三角形周长的一半（海伦公式）.3 其它常用恒等式： 3.1 2cos 2sin,cos )cos( ,sin )sin(A C B A C B A C B =+-=+=+ 3.2 若B A B A cos sin ,2==+π3.3 ;tgAtgBtgC tgC tgB tgA =++ 二、例题：1在三角形ABC 中，已知135cos =A ，53sin =B ，则C c os 的值为（ ） A ．6516 B ．6556 C ．6516或6556D ．6516- 2在三角形ABC 中，3=c ，1=b ， 30=B ，则三角形ABC 的面积积为（ ）A ．23或3B ．23或43C ．43或3D ． 3 3在三角形ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且1)cos(2=+B A ，求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC面积。
4例18在△ABC 中，B ＞Ａ且sin A 、sin B 是方程x 2－( 40cos 2)x +cos 240°－21=0的两根，求cos(2A －B )的值．5已知ΔABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知22（sin 2A-sin 2C ）=(a-b)sinB,ΔABC 的外接圆的半径为2，（1）求角C（2）求ΔABC 面积S 的最大值6已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B)＝53，sin(A －B)＝51。
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解三角形
一．【课标要求】
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．【命题走向】
对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题
三．【要点精讲】
1．直角三角形中各元素间的关系：
如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sin A ＝cos B ＝c a
，cos A ＝sin B ＝c b
，tan A ＝b a。
2．斜三角形中各元素间的关系：
如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C
的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
R C c
B b
A a
2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：
（1）△＝
21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝
21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；
（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A
C b +＝)sin(2sin sin 2B A B
A c +；
（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
（R 为外接圆半径）
（5）△＝R abc
4；
（6）△＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫ ⎝⎛
++=
)(21c b a s ； （7）△＝r ·s 。
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
（1）角与角关系：A +B +C = π；
（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；
（3）边与角关系：
正弦定理 R C c
B b
A a
2s i n s i n s i n ===（R 为外接圆半径）；
余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ；
它们的变形形式有：a = 2R sin A ，
b a B A =sin sin ，b
c a c b A 2cos 222-+=。
5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sin C
B
A C
B
A =+=+；
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。
（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。
在求解和证明三角形中的三角函数问题的两条途径：
一是将角的关系转化为边的关系，二是把边的关系转化为角的关系。
三角形中三角函数问题既具有一般三角函数问题的特点，又具有自身的特点：在三角形中这个限定条件。
从而解决之道在于边角互化，其中正余弦定理是实现互化的基础。
一般说来，如果题目中同时出现角和边的关系，往往就要利用正余弦定理将其转化为仅含有角或仅含有边的关系。