2009-2010线性代数期中试题
2010年7月自考线性代数（经管类）试卷及答案
2010年7月自考线性代数（经管类）试卷及答案第一篇：2010年7月自考线性代数(经管类)试卷及答案全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184 说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.＊一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中α（为A的列向量，若|B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=(C)ii=1,2,3）A.-12 C.6B.-6D.12 解析: αi（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列0 -2 0 2 10 5 0 0 0 -2 0-2 3 -2 32.计算行列式=（A)A.-180 C.120B.-120 D.180 解析: =3*-2*10*3=-1803.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=（C)1A.B.2 2C.4 解析:=23D.8 | A |=8*1/2=44.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有（B)n+1个n维向量线性相关A.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1可由α2，α3，α4线性表示B.α1，α2，α3，α4线性相关D.α1不可由α2，α3，α4线性表示B.3n-r(A)=解向量的个数=2,n=6 D.5 5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=（C)A.2 C.4 6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则（C)A与B合同⇔r(A)=r(B)⇔PTAP=B, P可逆 A.A与B相似 C.A与B等价B.| A |=| B | D.A与B合同7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=（D)，| A |=所有特征值的积=0 A.0 C.3B.2A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3*2 D.248.若A、B相似，则下列说法错误的是（B)．．A.A与B等价 C.| A |=|B |B.A与B合同D.A与B有相同特征值A、B相似⇔A、B特征值相同⇔| A |=| B |⇔r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价）9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=（D)A.-2 C.2B.0 D.4σβT=0, 即1*2-2*3+1*t=0，t=410.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（B)，所有特征值都大于0，正定； A.A正定B.A半正定所有特征值都小于0，负定；C.A负定D.A半负定所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
09年10月线性代数(经管类)试题答案
全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式=21A （ B ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=C （ A ） A ．ABB ．BAC ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c A 的行列式1|-=A |，则=-1*)(A （ A ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d cb aB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb as 21（）的秩不为零的充分必要条件是（ B ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ C ） A ．n A r =)(B ．m A r =)(C ．n A r <)(D ．m A r <)(7．已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则下列矩阵中可逆的是（ D ） A ．AB ．A E -C ．A E --D ．AE -2．．A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101011001433241214321A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001010A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ D ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z --- C ．232221z z z -- D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a_________．12．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C =，则=C _________．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333022A ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-121A _________．14．已知矩阵方程B XA =，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111B ，则=X _________．15．已知向量组a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a _________．16．设)0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则21,ββ的秩为_________．17．设3元方程组增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++01001010a a ，若方程组无解，则a 的取值为_______．19．已知向量k )2,,3(=α与k ),1,1(=β正交，则数=k _________．20．已知321321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的取值范围是_________． 21．计算行列式1111111111111111---+-----+=x x x x D 的值．解：1111111111111111111111111111---+-----=---+-----+=x x x x x xx x x x x D 4000000000111x xx xx =--=．22．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求||B ．解：由E B BA +=，得E E A B =-)(，1)(--=E A B ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111110012112E A ，21111||=-=-E A ，21||||1=-=-E A B ． 23．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313232121ax x a x x a x x ，（1）讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3121321110110011101110011),(a a a a a a a b A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--→32121000110011a a a a a ，0321=++a a a 时，方程组有解． （2）),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000011001121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→0000110101221a a a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=333213211x x x a x x a a x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110221k a a a ． 24．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3130631120140121),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------3130643024700121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------2470643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------612210643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------15500930031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3100310031300121 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000310031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310060303021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310020103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000310020101001，向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组，=4α32132ααα+-．25．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1205B ，存在TT )1,1(,)2,1(21-==αα，使得,511αα=A 22αα-=A ；存在T T )1,0(,)1,3(21==ββ，使得2211,5ββββ-==B B ．试求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：由题意，A 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,αα；B 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,ββ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1211),(211ααP ，则1P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005111AP P ；令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1103),(212ββP ，则2P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005212BP P ． 由上可得=-111AP P 212BP P -，从而B P P A P P=--)()(121112，即B P P A P P =---)()(1211121，令=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--13/113/23101121131110312111121P P ，则P 是可逆矩阵，使得B AP P =-1．26．已知323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．解：原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ．=-||A E λλλλ111111------λλλλλλλλ1111111)2(1212112-----=-------==++-=101011001)2(λλλ)2()1(2-+λλ，A 的特征值为=1λ12-=λ，23=λ．对于=1λ22=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，取=1α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011，=2α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101， 先正交化：11αβ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011，1211222||||),(βββααβ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12/12/101121101． 再单位化：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==02/12/1||||1111ββp ，==222||||1ββp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6/26/16/1． 对于23=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------211121112→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110101 ，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，取=3α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，单位化为==333||||1ααp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/13/13/1．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，经过正交变换Py x =后，原二次型化为标准形 2322212y y y +--． 四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ线性无关．。
《线性代数》期中考试参考答案
2009至2010第 2 学期 课程名称 线性代数 信电学院期中考试试卷参考答案考试性质： 闭卷 考试时间 120 分钟说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．A; 2．A; 3．D; 4．D; 5. A; 6．C; 7．D; 8．C ． 9. D; 10.A二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11，21)(-n n ; 12．35-; 13．A nλ; 14． A -; 15．⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1716213213012; 16．.91；17. 1; 18. 1 ; 19. 1123324411233442,a a a a a a a a -. 20. 1;三、证明题（本大题共3小题，每小题10分，共计30分）21. 已知TTA ααββ=+，Tα为α的转置，T β为β的转置.（1）求证2≤)(A R ；（2）若,αβ线性相关，则2<)(A R . 证明： (1) 因为)1()1)(()()1)(()()1)(()(分分分分2≤+≤+≤+=βαββααββααR R R R R A R T T T T ，所以2≤)(A R （5分）。
(2) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=（2分）. 于是())1()()()1)(()()(分分2112<≤≤=+=+=βββββββααR R k R R A R T T T T ，即2<)(A R （3分）。
22、设向量组4321,,,ββββ线性无关,且43214432134321243211,,,ββββαββββαββββαββββα+---=-+--=--+-=---=证明向量组432,,,1αααα线性无关. 证明：[][]1234123411111111,,,,,,11111111ααααββββ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦ …………………2分 111111110,11111111P P P ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=≠⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦设可逆 …………………2分 [][]112341234,,,,,,P ββββαααα-=,12341234,,,,,,,ββββαααα即可由线性表示 …………………2分 12341234,,,,,,.ααααββββ向量组与等价 …………………2分 1234,,,,αααα由等价的向量组秩相等所以线性无关. ………2分23. 设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，T B ),,,(001 =，求证()1n A n a =+.证明： 记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立(1分)． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立（2分）． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-（3分）21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+（3分）故 ||(1)nA n a =+（1分）.四、解答题（共30分）24. 问λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ，(1)有唯一解; (2)无解;(3)有无穷多个解，并在无穷多个解时，求方程组的通解.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. ……………………………2分 (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.……2分(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故(1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解. …………………………………………………2分 (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0.因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.这时原来方程组等价于1231x x x ++=，所以原方程通解为 12123111100010x x c c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,c c 为常数。
09-10第一学期3学分(A卷)参考答案
⎛2 5 4 5 5⎞ 解方程组 ( A − E ) x = 0 求得 λ = 1 的一个特征向量为 ξ1 = ( 2, 4,5 ) ，单位化得 p1 = ⎜ ⎜ 15 , 15 , 3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
T
T
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 0 2 ξ1 = p1 − p3 = ( p1 + p2 ) − ( p2 + p3 ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 0 1 ξ 2 = p2 − p4 = ( p2 + p3 ) − ( p3 + p4 ) = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠
T T
为 A 相应于 λ2 的两个线性无关的特征向量，证明向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关。 （1）解：由 b1 , b2 ," , bn 由 a1 , a2 ," , an 的线性表出关系式可知 B = AK ，其中
T (kB) = A(kB) − ( kB)T A = kAB − kBT A = kT ( B) 故 T 是 V 上的一个线性变换。
(2). T ( E11 ) = ⎜
⎛ 0 −2 ⎞ ⎛0 1⎞ ⎟ = −2 E12 − 2 E21 ， T ( E12 ) = ⎜ ⎟ = E12 − E21 − 4 E22 ⎝ −2 0 ⎠ ⎝ −1 − 4 ⎠
A = ( a1
a2
a3 " an ) ， B = ( b1
2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题和参考答案
2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A.-2B.-1C.1D.2答案：B2.A.AB.BC.CD.D答案：C3.A.AB.BC.CD.D答案：A4.A.AB.BC.CD.D答案：A5.A.AB.BC.CD.D答案：B6.A.A2 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案3B.BC.CD.D答案：C7.A.AB.BC.CD.D答案：D8.下列矩阵中不是初等矩阵的为()A.AB.BC.CD.D答案：D9.A.1B.2C.3D.4答案：B10.4A.AB.BC.CD.D答案：D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.图中空白出应为：___答案：22.图中空白出应为：___答案：3.图中空白出应为：___ 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案5答案：4.图中空白出应为：___9.图中空白出应为：___答案：5.图中空白出应为：___答案：16.图中空白出应为：___答案：27.图中空白出应为：___答案：-18.图中空白出应为：___答案：246 自考资料,自考白皮书72009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案8答案：-110.图中空白出应为：___答案：-3＜a ＜1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1.答案：2. 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案9答案：3.答案：4.答案：5.答案：10 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案116.答案：四、证明题（本题6分）1.12 自考资料,自考白皮书2009年10月全国自考线性代数（经管类）真题参考答案13答案：。
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
线性代数期中测试题
－24
b a L b
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
答案将于今日中午12点在公共邮箱公布 答案将于今日中午 点在公共邮箱公布 下次上课点评 xxdaishu@ 密码： 密码： cumtdaishu
5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？ 的值为多少？
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])
x09线性代数期中考试卷及答案详解
(C) B 2 − A 2 = ( B + A)( B − A)
(C) A + B = A + B
(D)
A⋅B = A ⋅ B
) (D) A1,A2 都不一定可逆
⎛ A1 7. 设分块矩阵 A = ⎜ ⎜A ⎝ 3
O⎞ ⎟ ，其中的子块 A1, A2 为方阵，O 为零矩阵，若 A 可逆，则 ( A2 ⎟ ⎠
n
设
⎛1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ，则 A = 1 ， B = 1 ，而 A + B = 0 ， A − B = 4 ⎜ 1⎟ ⎟, B=⎜ − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. (C)； 解：由于 A = 8. (B)； 解：用初等矩阵去左乘一个矩阵 A，相当于对 A 作相应的初等行变换，故选项(C)(D)不正确；由于题设初等矩阵是由 E 作 初等行变换 r2 ↔ r3 得到的，因此选项(B)正确。 9. (B)； 解：显然 P 是可逆矩阵，根据矩阵秩的性质，有 R ( PA) = R ( A) = 2 ，选项(B)正确。 10. (C) 解：对于非齐次线性方程组 Ax=b，①有解的充要条件 R( A) = R( A, b) ，[等价命题为：无解的充要条件 R( A) ≠ R( A, b) ]； ②有唯一解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) = A 的列数(即未知量的个数)； ③有无穷多解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) < A 的列数。 故选项(C)正确。
线性代数期中测验
线性代数期中测验一、 选择题1.设行列式==1111034222,1111304zy x zy x 则行列式（ ） A.32 B.1C.2D.38 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）3.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14-C.14D.1 4.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.85.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ6.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为07．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 8.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.129.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示10．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B. 3 C ．4 D ．511.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一12.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.313．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出二、 填空题1.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.3.行列式111123149=___________.4．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ． 5．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 6．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.7．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.8.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.10.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.三、 解答题1.求行列式D=.0120101221010210的值2.计算行列式D =333222c c b b a a c b a cb a +++的值。
线性代数期中测试题及答案
一、填空题（每小题5分，共30分）1、三阶方阵A=1230 0 0 0 0 0λλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（其中1230 λλλ≠）的逆矩阵A -1 = 。
2、已知A= 3 5 01-1 -2 02 0 0 2⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A*是矩阵A 的伴随矩阵，则 (A*)-1 = 。
3、n 阶方阵A ，B 满足A+B=AB ，则B-E 可逆且（B-E ）-1 = 。
4、A 为三阶方阵， 1A =，则 1*(2) A A -- =________ 。
5、A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对调得到矩阵B ，则 AB -1 = 。
6、111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121111132221212332313133 a a a a B a a a a a a a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，10 1 01 0 00 0 1P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2 1 0 10 1 00 0 1P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则B = 。
（用12,,A P P 表示B ）答案：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0 /10 1/ 0 1/ 0 0 123λλλ 2、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2 0 0 0 2- 1-0 5 3 2 3、A-E 4、-1/8 5、E n (i,j ) 6、A P 2P 1二、（30分）1、计算行列式123410123110125D =--- （10分）解：7014101231107-25D =---327 1 4 (1)(1) 1 1 2 7 -2 -5+=-- 6 0 21 1 2 9 0 -1=226 2(1)-249 -1+=-=2、计算行列式D n = a a a b a a b aa b a a b a a a----(a ≠-b ) (10分)解：将第2、3、…、n 列同时加到第一列，并提取公因子，得n 1 a a b 1 a b aD [(n 1)a b] .................................1 b a a 1 a a a--=---0 0 0 -b-a 0 0 -b-a 0[(n 1)a b] .................................0 -b-a 0 0 1 a a a=--n(n 1)n 1n 12(1)(1)(b a)[(n 1)a b]---=--+--(n 1)(n 2)n 12(1)(a b)[(n 1)a b]-+-=-+--3、求下列矩阵的逆矩阵（10分）11000130000020********001A ⎛⎫⎪- ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭答案： 341400014140000012000001200001-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪⎝⎭三、（40分）1. 已知011111010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，112113B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且满足AX +B =X ，用初等变换法求X （10分） 解：由AX +B =X 知 B =X -AX =(E -A )X()100011111010111101001010011E A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭且10E A -=≠所以E -A 可逆，由此得1()XE A B -=-()111111012101113E A B ---⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭010121012101113---⎛⎫⎪−−→-⎪⎪⎝⎭ 010121002200101---⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ 100220101200101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪⎪⎝⎭2、已知矩阵A =0 1 01 2 00 0 -1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A *是矩阵A 的伴随矩阵，若矩阵B 满足（B-E ）-1 =A *-E ， 求矩阵B 。
线性代数(经济类)期中B卷答案_
一、填空题（每小题4分，共20分1.100020000001000n n＝ 答案 11!n n 2. 对于行列式0341433323221014D ，413121,,A A A 是代数余子式，则 413121A A A 答案03. 设A 为3阶方阵，且2|| A ，求||1A= ， |)31(|*1A A = 答案11,224. 若齐次线性方程组50403z y kx z y z ky x 只有零解，则k 满足 答案3,1k k5. 设方阵满足022E A A , 求 1)3(E A 答案 124A E二、选择题（每小题4分，共20分）1. 设,A B 均为n 阶方阵，则以下结论正确的是（ ）答案B （A ）0|| AB ，则O A ，或O B（B ）0|| AB ，则0|| A ，或0|| B（C ）O AB ，则O A ，或O B（D ）O AB ,则O A ，或O B2. 设,A B 是n 阶可逆方阵， 为实数，则下列结论错误的是（ ）答案C （A ） 1)(AB 1 B 1 A （B ） ||AB ||BA （C ）2)(AB 2A 2B （D ） ||A n ||A3. 设3阶矩阵,A B 按列分块为 322,2,γγ A ， 32,,γγ B ，已知4|| A ，2|| B ，则 ||B A （ ）答案C （A ）1（B ）3（C ）-1（D ）04. A 为n 阶可逆矩阵，判断下列命题错误的是（ ）答案B （A ）n 元齐次线性方程组O AX 只有零解（B ）n A R )(（C ）n 元非齐次线性方程组 AX 必定有解 （D ）0|| A 5. ,A B 均为n 阶方阵，,A B 等价，则以下列命题错误的是（ ）答案D（A ）若0|| A ，则B 可逆（B ）若A 与E 等价，则B 与E 等价（C ）存在可逆矩阵,P Q ，使得B PAQ （D ）若0|| A ，则0|| B三、（10分）计算行列式：1413120114322153答案39四、（10分）计算n 阶行列式：.aa a a x a a a x aaa x a a ax a a a xa a a a答案 1121(1)()n n n x n a x a五、（10分）设矩阵4300520000310042A ，求2A,||8A ,.1 A 答案:8820003/2200513001/2100,14,,001930004/75/7001831003/72/7六、（10分）求解矩阵方程 213132321X213345666. 答案:111011001七、（10分）矩阵1042113212111001123A ，求A 的行最简形矩阵、标准形、A 的秩R (A ).答案:345100219/6010223/60,,3001111/60000000E八、（10分） 取何实值时，方程组41433221x x x x x x x x 有唯一解，无穷多解，无解？在无穷多解情况下求通解.答案:当1 时，4)()( A r A r ，方程组有唯一解；当1 时，)()(A r A r ，方程组无解；当1 时，4)()( A r A r ，方程组有无穷多解，01011111c X ，其中c 为任意常数.。
高等代数09-10(2)_期中试题答案
北 京 交 通 大 学2009-2010学年第二学期高等代数II 期中考试试卷答案一． 填空题(每题3分,共30分)1. 复数域C 看做实数域R 上的线性空间,其维数为 2 , 一组基可取为 1,i 。
2. 4R 中基 10001100,,,11101111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭到基10000100,,,00100001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵是 1111111⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭. 3. 设线性变换A 在基ε1, ε2, ⋯, εn 下的矩阵是A , 向量α在 此基下的坐标是(x 1, x 2, ⋯, x n )T , 则A (α)在此基下的坐标是 A (x 1, x 2, ⋯, x n )T .4. 设线性空间V 的线性变换A 在基ε1, ε2, ε3下的矩阵是123456789⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则A 关于基3ε2, 2ε3, ε1的矩阵为 454371292661⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.5. 设111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭是12533102a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征向量，则a = 2 ．6. 设矩阵11100000A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有3个线性无关的特征向量，则 x = 07.设D 是线性空间4[]P x 中定义的求微商的变换，则D 的值 域为 3[]P x ．D 的核的维数为 1 ． 8. 以下和12V V +是直和的有 ( A )(A) n n R ⨯的两个子空间12,V V ，其中1V 是全体n 阶实对称矩阵，2V 是全体n 阶实反对称矩阵；(B) 4[]P x 的两个子空间12,V V ，其中1V 是D 的值域， 2V 是D 的核，D 是4[]P x 上的微分变换，(C) n n R ⨯的两个子空间12,V V ，其中1V 是全体迹为0的n 阶实方阵，2V 是全体n 阶实上三角阵；(D) n R 的两个子空间 {}111(,...,)| 0n n n V x x R x x =∈++=，{}2111(,...,)| 0n n n V x x R x x -=∈++=。
20092010学年第二学期十一期中联考高三数学试卷理
2009～2010学年度第二学期十一县（市）高三年级期中联考数学（理）试卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填入答题卷）1、若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1>a B ．11<<-a C ．1-<a D ．11>-<a a 或2、若集合}5|{},0162|{52≤=≤--=x C x B x x x A ，则B A ⋂中元素个数为 （ ） A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个3、已知无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且lim(2)1n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围（ ）A ．)0,1(-；B ．)1,2(--；C ．)0,2(-；D ．)0,1()1,2(--- ；4、设随机变量ξ服从正态分布2(2,2)N ，则()23P ξ<<可以被表示为 A ．()11P ξ-< B.()1212P ξ-<C ．()01P ξ<<D.()112P ξ+<w.w.^w.k.s.5 5、给出下面的三个命题：①函数|32sin |⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx y 的最小正周期是2π②函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23s i n πx y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ上单调递增③45π=x 是函数⎪⎭⎫⎝⎛+=652sin πx y 的图象的一条对称轴。
其中正确的命题个数（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．36、设α、β、γ是三个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列4个命题： ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β； ③若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β；④若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b . 其中正确命题是:( )A. ③B. ④C. ①③D. ②④7、已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两焦点,以线段12F F 为边作正三角形12MF F ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是（ ）A .4+1 C.1 8、在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≥-+01101y ax x y y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为：( )A. 3B.31C.3或31D.219、为预防和控制甲流感，某学校医务室欲将23支相同的温度计分发到高三年级10个班级中，要求分发到每个班级的温度计不少于2支，则不同的分发方式共有 A 、120种 B 、175种 C 、220种 D 、820种10、在直角坐标系xoy 中，设A 是曲线)0(1:31>+=a ax y C 与曲线25:222=+y x C 的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是：（ ） A.2 B ．1 C ．33 D ．411、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AB 、11A D 的中点，则经过E 、F 的球截面的面积最小值是（ ）A ．38πB ．2πC ．58πD ．78π12、如图，点P (3，4)为圆2225x y +=上的一点，点E ，F 为y 轴上的两点，△PEF 是以点P 为顶点的等腰三角形，直线PE ，PF 交圆于D ，C 两点，直线CD 交y 轴于点A ，则sin ∠DAO 的值为 ( )A ．54B ．53C ．52D ．43第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，请将正确答案填入答题卷）13、设(1-2x)10=a 0 + a 1x + a 2x 2+…+ a 10x 10，则a 1+22a +232a +…+9102a 则的值为 . 14、已知()y f x =有反函数),(1x f y -=又)2(+=x f y 与1(1)y f x -=-互为反函数，则 11(2010)(1)f f ---的值为_____ ____. 15、在△ABC 中，3,7,1===AC BC AB ，若O 为△ABC 的垂心，则AO AC ⋅的值为 .16、在平面上取定一点O ，从O 出发引一条射线Ox ，再取定一个长度单位及计算角的正方向，合称为一个极坐标系。
2009-2010(秋)线性代数考试试题(A)
中国农业大学2009 ~2010学年秋季学期线性代数（B ）课程考试试题（2010.1）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -= ；2．已知矩阵A =101021000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩R A =() ；3．设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -= ；4．设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则 A x b =的通解x = ；5．设A 是n 阶方阵，0A ≠，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()12*A -必有一个特征值是 ．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．3阶方阵A =33()ij a ⨯，A 的行列式A =3-，ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式，则2111112121313()++a A a A a A 2112112221323()+++a A a A a A 2113112321333()+++a A a A a A =【 】 ； (A) -3； (B) 2； (C) 9； (D) 0．2． 已知线性方程组0,235,2.+=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩x y x y x y a有解，则=a 【 】；(A) 2； (B) 1-； (C) 3 ； (D) 0．考生诚信承诺1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。
2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。
学院： 班级： 学号： 姓名：3．设A 是4阶方阵，且A 的行列式0A =，则A 中【 】； (A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任意列向量是其余列向量的线性组合．4． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 相似于对角阵15-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭λ，则=λ【 】； (A) 1-； (B) 2； (C) 3； (D) 0．5． 若二次型()2221231231223,,22f x x x x x x x x ax x =++++是正定二次型，则a 的取值范围是【 】．．(A)2-<<a (B)2<a ； (C) 22-<<a ； (D) 22<<-a ．三、（本题满分14分）1．已知4阶行列式1111201212112101---=D ，求1121314122A A A A +++；2．计算1n+阶行列式12112111231231111nnnnb a a aa b a aDa a a ba a a a--+=．学院：班级：学号：姓名：四、(本题满分14分)设n阶方阵A和B满足条件：A B AB+=．(1) 证明：A E-是可逆矩阵，其中E是n阶单位矩阵；(2) 已知矩阵130210002B-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求矩阵A．五、(本题满分14分) 当a 、b 为何值时，线性方程组()123423423412340,221,32,32 1.x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．学院： 班级： 学号： 姓名：六、(本题满分10分) 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，123,,ξξξ是对应的齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，证明： (1) 0123,,,ηξξξ线性无关；(2) 0102030,,,ηξηξηξη+++线性无关．七、（本题满分12分） 二次型22212312312(,,)2f x x x x x x x x =+++经正交变换x Py =变为标准形23222y y +，求出该正交变换．学院： 班级： 学号： 姓名：八、(本题满分6分) 设,ξξ12是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，A 为n 阶方阵，证明：(1) 存在一个非零向量与A 的每一个行向量都正交； (2) 0A =．。
线性代数期中考试试题+答案
.一、填空题（共30分，每填对一空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿方向(1,2,3)有最大方向导数，最大方向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ∂=∂22y x y+，.22z x ∂=∂()2222xyx y -+．3、函数(,)z z x y =由方程230zx y z e ++-=确定；则 z x ∂=∂21z x e -， z y ∂=∂231z ye -．.4、微分方程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =⎰⎰14，(,)f x y =14xy +．二、单项选择题（共20分，每题4分）1、设函数(,)z x x y y=+，则点=的全微分d d dz f x y..(0,0)O (D) ．(A) 不是(,)f x y 的连续点； (B) 不是(,)f x y 的极值点； (C) 是(,)f x y 的极大值点； (D) 是(,)f x y 的极小值点．2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在；.(B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+⎰⎰，.332sin()d d DI x y x y =+⎰⎰，443sin()d d DI x y x y =+⎰⎰，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则.()d d Df xy x y ⎰⎰等于 (D) ．(A) 11d ()d x f xy y -⎰⎰；(B) 2002d ()d y f xy x ⎰⎰；(C) 2sin 200d (sin cos )d f r r πθθθθ⎰⎰； (D) 2sin 200d (sin cos )d r f r r πθθθθ⋅⎰⎰．5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的一个充分条件.是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=； (C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)lim 0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分方程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解 特征方程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次方程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原方程的特解*2()xy ax b e =+并代入原方程，解得: *2xy xe = -----9分.原方程的通解: 212x x xy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L ：2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩ 在点(1,2,1)P -处的切线和法平面方程．解 对x 求导，得 222010x yy zz y z ''++=⎧⎨''++=⎩在点(1,2,1)P -处，211y z y z ''-+=-⎧⎨''+=-⎩，得0y '=，1z '=- ------6.分切线方程： 121101x y z -+-==- -----8分法平面方程： 0x z -= -----10分五、（10分）计算二重积分 2(3)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D ：221x y +≤．解 2222(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+⎰⎰⎰⎰.（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2DDx y x y x y x y x y ⎡⎤=+++=+⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==⎰⎰ ------10分六、（10分）在曲面S ：22221x y z ++=上求距离.平面26x y z +-=的最近点、最远点． 解 点(,,)x y z 到平面的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=⎧⎪'=+--+=⎪⎨'=-+--+=⎪⎪'=++-=⎩ ------6分解得 最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲面S ：22221x y z ++=上求距离平面∏：26x y z +-=的最近点、最远点． 解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球面S 过0P 切平面方程1000:2 1.x x y y z z ∏++=.令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)又： 222021x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --定理 设0000(,,)P x y z S ∈，而S 为实二次曲面22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,.Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则二次曲面S在0000(,,)P x y z 处的切平面方程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内二阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =.满足22220z zx y∂∂+=∂∂，求()f u ．解u =，则 ()z xf u x u∂'=∂，222232()()z y x f u f u x u u ∂'''=+∂；()z yf u y u∂'=∂，222232()()z x y f u f u y u u ∂'''=+∂. --4分代入原方程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即.()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从而 1()u f u c '=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东商学院试题纸
2009—2010学年度第1学期线性代数期中试题
一、填空题（每小题3分 ，共30分）
1、行列式3090
20625170
0050
-=--- 。
2、A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------3301113111211111 的秩r(A )= 。
3、=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5
000000c b a 。
4、行列式
21
32312121123
x x x x
x ---中3x 的系数为 。
5、设=D 2
620357
2111
1421
3--，则=+++34333231A A A A 。
6、设1(1,0,0,0,2)
α=，2(0,1,0,0,2)α=，3(0,0,1,0,2)α=，4(0,0,0,1,2)α=，则向量组1234,,,αααα，
线性 。
7、设矩阵A 为3阶矩阵，且2=A ，则14A A -*+= 。
8、设A 为43⨯阶矩阵，且()2r A =,而102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，则()r AB = 。
9、设实矩阵A =≠⨯33)(ij a 0，且≠11a 0，ij a =ij A （ij A 是ij a 的代数余子式），则A = 。
10、设向量1β=32172ααα--，2β=3213ααα++，3β=321153ααα++-，4β=3215
3114ααα--，则1β，2β，3β，4β线性 。
二、选择题（每小题3分 ，共15分）
1、设A 为方阵,则 A =0的必要条件是( )。
（A ） 两行(列)元素成正比例 ； （B ）任一行为其它行的线性组合；
（C ） 必有一行为其它行的线性组合； （D ）A 中至少有一行元素全为0。
2、设非齐次线性方程组A X =b, A X =0为其导出组,下列结论正确的有( )。
（A ） A X =0仅有零解,则A X =b 有唯一解； （B ） A X =0有非零解,则A X =b 有无穷多解；
（C ） A X =b 有唯一解,则A X =0仍有可能有非零解； （D ） A X =b 有无穷多解,则A X =0有非零解。
3、列式0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，而33
3231312322212113
1211111434343a a a a a a a a a a a a D ------=，则=1D ( )。
（A ） M 12； （B ） M 12-； （C ） M 3-； （D ） M 3。
4、设B A ,均为n 阶方阵,A o ≠，且AB o =， 则 ( )。
（A ） B o =； （B ） BA o =； （C ） 222()A B A B -=+； （D ） 0B =或0A =。
5、设A 为m ⨯n 阶矩阵, 则齐次线性方程组0=AX 只有零解的充要条件是( )。
（A ） A 的列向量组线性无关； （B ） A 的列向量组线性相关；
（C ） A 的行向量组线性无关； （D ） A 的行向量组线性相关。
三、计算题（每小题8分 ，共32分）
1、计算行列式 y
y x x -+-+11111
1111111
1
111 。
2、求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=153132543A 的逆矩阵1-A 。
3、已知向量组)4 ,2 ,1 ,1(1-=α，)2 ,1 ,3 ,0(2=α，)14 ,7 ,0 ,3(3=α，
=4α)0 ,2 ,2 ,1(-，试求4321 , , ,αααα的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。
4、求矩阵111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值及其特征向量。
四、综合应用题（每小题9分，共18分）
1、试讨论下列非齐次线性方程组解的情况，若有解，求出其解：
1231232
12
32222x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩
2、已知矩阵A ＝102012220-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
求正交矩阵Q ，使AQ Q T 为对角矩阵。
五、证明题（每小题5分，共5分）
如果向量组123,,ααα线性无关,试证:向量组122313,,αααααα+++线性无关。
附加题：（主要是第四章的内容）
1、已知n 阶方阵A 满足关系式223A A E --＝0，证明A 是可逆矩阵，并求A 的逆矩阵。
2、设(1,0,2,5)α=-，(3,1,0,2)β=-，，则(,)αβ＝ 。
3、设)1,1,1(),2,1,1(-=-=βα，A =βαT E +，则n A =_______________.
4、设三阶实对称矩阵A 有三个不同的特征值321,,λλλ，且21,λλ所对应的特征向量分别为1(1,,1)T a α=，2(,1,1)T a a α=+，则3λ所对应的特征向量3α=________________.
5、已知三阶矩阵A 的特征值为0，1±，则下列结论中不正确的是( )。
(A) 矩阵A 是不可逆的. （B ）矩阵A 的主对角元素之和为0.
(C) 1和-1所对应的特征向量是正交的. （D) A x =0的基础解系由一个向量组成.
6、已知可逆矩阵A 的一个特征值为λ ,则1)2(-A 的特征值为( )。
(A)
λ21； （B ）λ2 ； （C ）λ2 ； （D ）2
λ 。
7、若B A ~ ,则有( )。
（A ）B E A E -=-λλ ； （B ） B A = ；
(C)对于λ,矩阵A 与B 有相同的特征向量 ； （D ）A 与B 均与一个对角矩阵相似。
8、已知4
R 三维向量空间中两个向量12(1,1,1,1),(1,2,1,0)T T αα==-，试求与向量12,αα正交的所有的向量。
9、设矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=320011323A 满足X A XA +=, 求矩阵X 10、设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，已知321 , ,ξξξ是它的3个解向量，且T )5 ,4 ,3 ,2(1=ξ，T )4 ,3 ,2 ,1(32=+ξξ，求该方程组的通解。
11、设123(,2,10),(1,1,4),(2,1,5),(1,,)T T T T a b c αααβ==-=-=，问：
（1）123,,ααα什么时候线性相关？
（2）β什么时候可由123,,ααα唯一线性表示？表示法不唯一？
12、已知矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30001101a 与B ＝⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛b 00030000相似
（1）求a ，b 的值
（2）求正交矩阵Q ，使AQ Q T
为对角矩阵。