中考数学热点专题八 能力型创新问题

热点专题八 能力型创新问题【考点聚焦】能力型创新问题已成为近年中考中较难题或压轴题的主要方向，主要有以下四种类型： 【热点透视】 热点1：探索性问题探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果索因的工作，从而定格于“条件———演绎———结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．例1 （2008荆门）将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边长为1．（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．（2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到111Rt B C D △的位置，四边形11ABC D 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________．（3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为________时，四边形11ABC D 为矩形，其理由是_______________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形11ABC D 为菱形，其理由是_________________．（图3、图4用于探究）解：（1）是，此时AB 平行且等于CD ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（2）是，在平移过程中，始终保持AB 平行且等于11C D ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（3190ABC ∠= ，有一个角是直角的平行四边形是矩形．Ｄ与点1B 重合，11AC BD ⊥，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．点评：条件探索型———结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．例2 （2008郴州）如图5，矩形纸片ABCD 的边长分别为a 、b （a b <）．将纸片任意翻折（如图6），折痕为PQ ．（P 在BC 上），使顶点C 落在四边形APCD 内一点C '，PC '的延长线交直线AD 于M ，再将纸片的另一部分翻折，使A 落在直线PM 上一点A '，且A M '所在直线与PM 所在直线重合（如图7）折痕为MN ．（1）猜想两折痕PQ MN ，之间的位置关系，并加以证明．（2）若QPC ∠的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ MN ，间的距离有何变化？请说明理由．（3）若QPC ∠的角度在每次翻折的过程中都为45（如图8），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC QD '，及四边形BPA N '的周长与a 、b 有何关系，为什么？解：（1）PQ MN ∥．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，且M 在AD 直线上，则有AM BC ∥， ∴AMP MPC ∠=∠，由翻折可得：12MPQ CPQ MPC ∠=∠=∠， 12N M PA M N A M P ∠=∠=∠，∴MPQ NMP ∠=∠，故PQ MN ∥．（2）两折痕PQ ，MN 间的距离不变，过P 作PH MN ⊥，则sin PH PM PMH =∠， ∵QPC ∠的角度不变，∴C PC '∠的角度也不变， 则所有的PM 都是平行的．又∵AD BC ∥，∴所有的PM 都是相等的， 又∵PMH QPC ∠=∠， 故PH 的长不变． （3）当45QPC ∠= 时，四边形PCQC '是正方形， 四边形C QDM '是矩形． ∵C Q CQ '=，C Q QD a '+=， ∴矩形C QDM '的周长为2a ．同理可得矩形BPA N '的周长为2a ，所以两个四边形的周长都为2a ，与b 无关．点评：结论探索型———给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．例3 （2008岳阳）如图10，抛物线23y x =-+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点Ｃ，顶点为D ． （1）求A 、B 、C 的坐标．（2）把△ABC 绕AB 的中点M 旋转180，得到四边形AEBC ： ①求E 点坐标．②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由．（3）试探索：在直线BC 上是否存在一点P ，使得△P AD 的周长最小，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）2y x x =令0x =，得y =令0y =，即20x x =， 2230x x +-=， ∴11x =，23x =-．∴A B C ，，三点的坐标分别为(30)A -，，(10)B ，，(0C ．（2）①(2E -；②四边形AEBC 是矩形．理由：四边形AEBC 是平行四边形，且90ACB ∠= ．（3）存在．37P ⎛- ⎝⎭． 作出点A 关于BC 的对称点A '，连结A D '与直线BC 交于点P ． 则点P 是使PAD △周长最小的点．求得(3A '，13D ⎛- ⎝⎭，．过A '，D 的直线为y x =过B C ，的直线为y =两直线的交点为37P ⎛- ⎝⎭． 点评：存在探索型———在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目． 热点2：开放性问题开放性试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题．观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用．例4 （2008福州）如图11，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA PB ，，构成PAC ∠、APB ∠、PBD ∠三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）（1）当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；（2）当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立（直接回答成立或不成立）？ （3）当动点P 在第③部分时，全面探究PAC ∠、APB ∠、PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图12（１）．延长BP 交直线AC 于点E ．∵AC BD ∥，∴PEA PBD ∠=∠． ∵APB PAE PEA ∠=∠+∠， ∴APB PAC PBD ∠=∠+∠． 解法二：如图12（2）．过点P 作FP AC ∥，∴PAC APF ∠=∠． ∵AC BD ∥，∴FP BD ∥，∴FPB PBD ∠=∠． ∴APB APF FPB PAC PBD ∠=∠+∠=∠+∠． 解法三：如图12（3）．∵AC BD ∥，∴180CAB ABD ∠+∠= ， 即180PAC PAB PBA PBD ∠+∠+∠+∠=． 又180APB PBA PAB ∠+∠+∠=， ∴APB PAC PBD ∠=∠+∠．（2）不成立．（3）（a ）当动点P 在射线BA 的右侧时， 结论是PBD PAC APB ∠=∠+∠．（b ）当动点P 在射线BA 上，结论是PBD PAC APB ∠=∠+∠，或PAC PBD APB ∠=∠+∠或0APB ∠= ，PAC PBD ∠=∠（任写一个即可）．（c ）当动点P 在射线BA 的左侧时， 结论是PAC APB PBD ∠=∠+∠．选择（a ）证明：如图12（4），连结PA ，连结PB 交AC 于M ． ∵AC BD ∥，∴PMC PBD ∠=∠． 又∵PMC PAM APM ∠=∠+∠， ∴PBD PAC APB ∠=∠+∠． 选择（b ）证明：如图12（5）． ∵点P 在射线BA 上，∴0APB ∠= ． ∵AC BD ∥，∴PBD PAC ∠=∠．∴PBD PAC APB ∠=∠+∠或PAC PBD APB ∠=∠+∠或0APB ∠= ，PAC PBD ∠=∠． 选择（c ）证明：如图12（6）． 连结PA ，连结PB 交AC 于F ． ∵AC BD ∥，∴PFA PBD ∠=∠． ∵PAC APF PFA ∠=∠+∠， ∴PAC APB FBD ∠=∠+∠．点评：本题由点P 的位置的改变，让同学们探究由此而引起的三个角之间的变化，将分类思想的考查融入在探索、猜想过程中． 热点3：阅读理解型问题阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势．例5 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点．而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线，如图13（1）可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标(13)，就是方程组121x y x =⎧⎨=+⎩的解13x y =⎧⎨=⎩．在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图13（2）；21y x +≤也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图13（3）．回答下列问题：在直角坐标系（13（3））中，（1）用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解．（2）用阴影表示2220x x x y -⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≥所围成的区域．解：（1）如图14所示，在坐标系中分别作出直线2x =-和直线22y x =-+，这两条直线的交点是(26)P -，．则26x y =-⎧⎨=⎩．是方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解．（2）如图14阴影所示．点评：通过阅读本题所提供的材料，我们要明白两点：方程组的解与两直线交点坐标的关系；不等式组的解在坐标中区域的表示方法． 热点4：方案设计型问题近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的题目．这类命题综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等．能与初中所学的重点知识进行联结．例6 （2008茂名）已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A 出发行驶．（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时．求甲、乙两车的速度；（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A ，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A ，并求出甲车一共行驶了多少千米？解：（1）设甲，乙两车速度分别是x 千米/时和y 千米/时，根据题意得：211902x yx y =⎧⎨+=⨯⎩，解之得：12060x y =⎧⎨=⎩．即甲、乙两车速度分别是120千米/时、60千米/时．（2）方案一：设甲汽车尽可能地远离出发点A 行驶了x 千米，乙汽车行驶了y 千米，则()2001220010x y x y +⨯⎧⎪⎨-⨯⎪⎩≤≤∴2200103x ⨯⨯≤即3000x ≤． 即甲、乙一起行驶到离A 点500千米处，然后甲向乙借油50升，乙不再前进，甲再前进1 000千米返回到乙停止处，再向乙借油50升，最后一同返回到A 点，此时，甲车行驶了共3 000千米． 方案二：（画图法） 如图：此时，甲车行驶了5002100023000⨯+⨯=（千米）．方案三：先把乙车的油均分4份，每份50升．当甲乙一同前往，用了50升时，甲向乙借油50升，乙停止不动，甲继续前行，当用了100升油后返回，到乙停处又用了100升油，此时甲没有油了，再向乙借油50升，一同返回到A 点．此时，甲车行驶了501021*********⨯⨯+⨯⨯=（千米）．点评：此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、方程联系在一起．例7 （2008福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图15（3）、图15（4）、图15（5）中画出三种不同的的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图15（1）、图15（2）只能算一种．解：答案不惟一，如图16：点评：几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是根据线段间的关系来分割，有时根据其它的某些条件来分割，做此类题一般用尺规作图． 【考题预测】 1．观察算式： 211=；21342+==；213593++==；21357164+++==； 213579255++++==；……用代数式表示这个规律（n 为正整数）：9111315(21)n +++++-= ________．2．将图17（1）所示的正六边形进行分割得到图17（2），再将图17（2）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图17（3），再将图17（3）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n 个图形中，共有________个正六边形．3．如图18，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转 2 008次，点P 依次落在点12342008P P P P P ，，，，，的位置，则2008P 的横坐标2008x =________．4．如图19，设抛物线2113424y x x =--交x 轴于A B ，两点，顶点为D ．以BA 为直径作半圆，圆心为M ，半圆交y 轴负半轴于C ． （1）求抛物线的对称轴；（2）将ACB △绕圆心M 顺时针旋转180 ，得到APB △，如图20．求点P 的坐标；（3）有一动点Q 在线段AB 上运动，QCD △的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．5．青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2 700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润＝售价－进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）6．已知一元二次方程20ax c +=的两个根满足12x x -=a ，b ，c 分别是ABC △的第11页 共11页 ∠A ，∠B ，∠C 的对边．若a c =，求∠B 的度数．小敏解得此题的正确答案“120B ∠= ”后，思考以下问题，请你帮助解答．（1）若在原题中，将方程改为20ax c +=，要得到120B ∠= ，而条件“a c =”不变，那么对应条件中的12x x -的值作怎样的改变？并说明理由．（2）若在原题中，将方程改为20ax c +=（n 为正整数，2n ≥），要得到120B ∠= ，而条件“a c =”不变，那么条件中的12x x -的值应改为多少（不必说明理由）？。