高中数学第1课时等差数列的前n项和精品课件同步导学新人教A版必修.pptx
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人教A版高中数学必修五课件2.3等差数列的前n项的和(一).ppt
解：Q Sn 1 2 3 L (n 1) n
Sn n (n 1) (n 2) L 2 1
2Sn (114n4) 4(14 2n) 4L4 4(143n)
n
Sn
n(n 1) 2
(倒序相加法）
3、数列{an}的前 n 项和常用sn表示 ,
即sn = a1 a2 a3L an1+a.n
你知道高斯的妙解吗？
• 高斯的算法： • 首项与末项的和：1+100=101, • 第2项与倒数第2项的和：2+99=101, • 第3项与倒数第3项的和：3+98=101,
• …… • 第50项与倒数第50项的和：50+51=101 • 于是所求的和为：
101 100 5050 2
问题1：1+2+3+…+n=?
=n (a1+an)
即
Sn=n(a1
2
an
)
——等差数列的 前n项和公式
例如： 1+2+3+ ··· +100=100(1 100) 5050
2
因为 an a1 (n 1)d
Sn
n(a1 an ) 2
n[a1
a1
(n 1)d] 2
na1
n(n 2
1)
d
等差数列的前n项和二个公式：
sn 158, an 44, d 3
sn
na1
n(n 1) 2
3 158
an a1 (n 1) 3 44
解得：n=4
答：这个多边形是四边形
5、在小于 100 的正整数中共有多少个被 7 除余 2 的数?这些数的和是多少?
解：这些数构成等差数列{an},且
高中数学必修五2.3.1等差数列的前n项和课件人教A版
������(������-1) ������(������+1) = . 2 2
答案:D 【做一做2-2】 在等差数列{an}中,已知an=2n-1,则其前n项和 Sn= . 解析:易知a1=1,故
Sn=
������(������1 +������������ ) 2
=
������(1+2������-1) = 2
������(������-1) ������ . 2
【做一做2-1】 在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn等于( A.n B.n(n+1)
������(������+1) C.n(n-1) D. 2 ������(������-1) 解析:Sn=na1+ ������ = 2
).
������ +
������2.
-5-
答案:n2
第1课时 等差数列的前n项和
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
等差数列前n项和公式与函数的关系
剖析等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ 可以写为Sn= ������2 + ������1 ������ 2 ������ 2 ������ 2 ������ 2
2.3
等差数列的前n项和
-1-
第1课时
等差数列的前n项和
-2-
第1课时 等差数列的前n项和
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
1.掌握数列前n项和的概念. 2.理解等差数列前n项和公式的推导过程. 3.掌握等差数列前n项和公式及其应用.
【课件】第1课时等差数列的前n项和公式说课课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册 第四章《数列》 第二单元《等差数列》
第3课时等差数列的前n项和
等差数列的前n项和
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
新人教版A版选择性必修第二册教材 第四章第二单元
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
概念，通项公式，性质 承上
等差数列 前n项和
二、教学目标分析---（一）课程标准
课程目标： 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式；
2.理解等差数列通项公式与前n项和公式的关系。
二、教学目标分析---（二）学情分析
已有知识：函数的研究路径、等差数列的定义、通项公式及 其性质
探究方法：经历了研究函数的一般路径
能力水平：学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力
三、教学分析---(三)教学思路
环节四：归纳小结，形成结构 小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位， 应该让学生和教师共同完成。对此，我设计了三个问题： （1）推导等差数列前n项和公式时，用了哪些方法？ （2）等差数列的前n项和公式有几种形式？分别具有什么几何意 义？它们与平均数、等差数列的通项公式又分别有什么关系？ （3）你能画出本节课的知识结构图吗？
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
一、教材内容分析---（二）育人价值
数学史问题情 境归纳、猜想、
证明
抽象问题,形成 数学模型
数学抽象、逻辑推理、 数学运算核心素养
通过创设数学史小故事问题情境，学生通过归纳，猜想，证明，经 历数学抽象，建立数学模型，发展其数学抽样，逻辑推理，数学运 算的核心素养。
环节二：探索求和规律，演绎“推”公式
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n
第3课时等差数列的前n项和
等差数列的前n项和
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
新人教版A版选择性必修第二册教材 第四章第二单元
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
概念，通项公式，性质 承上
等差数列 前n项和
二、教学目标分析---（一）课程标准
课程目标： 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式；
2.理解等差数列通项公式与前n项和公式的关系。
二、教学目标分析---（二）学情分析
已有知识：函数的研究路径、等差数列的定义、通项公式及 其性质
探究方法：经历了研究函数的一般路径
能力水平：学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力
三、教学分析---(三)教学思路
环节四：归纳小结，形成结构 小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位， 应该让学生和教师共同完成。对此，我设计了三个问题： （1）推导等差数列前n项和公式时，用了哪些方法？ （2）等差数列的前n项和公式有几种形式？分别具有什么几何意 义？它们与平均数、等差数列的通项公式又分别有什么关系？ （3）你能画出本节课的知识结构图吗？
一、教材内容分析---（一）教材地位和作用
一、教材内容分析---（二）育人价值
数学史问题情 境归纳、猜想、
证明
抽象问题,形成 数学模型
数学抽象、逻辑推理、 数学运算核心素养
通过创设数学史小故事问题情境，学生通过归纳，猜想，证明，经 历数学抽象，建立数学模型，发展其数学抽样，逻辑推理，数学运 算的核心素养。
环节二：探索求和规律，演绎“推”公式
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n
等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册 (2)
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项
和.
21 2 3 (n 1) n n(n 1)
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
一、数列前n项和的定义:
设数列｛ an ｝： a1，a2 ，a3 ，…，an ，…
我们把a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an叫做数列 ｛ an ｝的前n项和，记作Sn .
放着120层铅笔，且自下而上各层的 铅笔数成等差数列，将其记｛an｝，
则有a1=1, a120=120.根据等差
数列前n项和的公式：
sn
n(a1 2
an )
s120
120 (1 120) 2
7260
答：V形架上共放着7260支铅笔。
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个,
问题:
如何求一般等差数列的前n项和
问题分析
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ],①
Sn an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
S10 1050010(1201)50 7250
答：2001～2010”年,该市在“校校 通”工程中的总投入是7250元.
公式应用
练：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
§2--2.2--第1课时-等差数列的前n项和.PPT课件
4 、 已 知 等 差 数 列 { a n } 中 ， a n 1 1 3 n ， 求 S n .
n(n1) Sn123 n 2 .
2021/1/27
-
10
1. 根据下列条件，求相应的等差数列{an}的前n项和Sn.
(1 )a 1 5 ,a n 9 5 ,n 1 0 ;
10(595)
S10
2
500.
(2 )a 1 1 0 0 ,d 2 ,n 5 0 ;
S 5 0 5 0 1 0 0 5 0 （ 2 5 0 1 ) ( 2 ) 2 5 5 0 .
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-
7
Sn123 n,
抽象概括： 设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
S n a 1 a 2 a 3 a n
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 2 d ) [ a 1 ( n 1 ) d ] ,①
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
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11
2. 求前n个正奇数的和.
解 由等差数列前n项和公式，得
1 3 5 （ 2 n 1 ） n (1 2 n 1 ) n 2 . 2
2021/1/27
-
12
3. 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以 中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京 天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是 一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始， 每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：
2021/1/27
-
4
思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它 的值呢？
计1 算 2 ： 3 9 9 100
n(n1) Sn123 n 2 .
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1. 根据下列条件，求相应的等差数列{an}的前n项和Sn.
(1 )a 1 5 ,a n 9 5 ,n 1 0 ;
10(595)
S10
2
500.
(2 )a 1 1 0 0 ,d 2 ,n 5 0 ;
S 5 0 5 0 1 0 0 5 0 （ 2 5 0 1 ) ( 2 ) 2 5 5 0 .
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Sn123 n,
抽象概括： 设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
S n a 1 a 2 a 3 a n
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 2 d ) [ a 1 ( n 1 ) d ] ,①
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
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2. 求前n个正奇数的和.
解 由等差数列前n项和公式，得
1 3 5 （ 2 n 1 ） n (1 2 n 1 ) n 2 . 2
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3. 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以 中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京 天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是 一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始， 每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：
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4
思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它 的值呢？
计1 算 2 ： 3 9 9 100
【课件】等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
2
解得n 10或n 10(舍去).
∴原等差数列的前10项的和等于 100.
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 .
4a1 6d 6
3
1
解：根据题意,得
,解得a1 ,d .
4
2
8a1 28d 20
3 16 15 1
∴S16 16
72.
4
2
2
课本P23
04
目标检测 检验效果
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.
15 14
解：
由题意,得15a1
d 5[a1 d a1 5d a1 (k 1)d ].
2
整理得( k 16)d 0.
101
101
101
101
（2 99）（3 98） （50 51）
（1 100）
50对
100
（100 1） 5050
2
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ①
前100项的和的问题.
03
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求
2
n
an
a1
n
a1
an
(n-1)d
n(n 1)
Sn na1
d
2
04
例题练习 巩固理解
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1) 若a1 7,a50 101,求S50 ；
5
(2) 若a1 2,a2 ,求S10 ；
解得n 10或n 10(舍去).
∴原等差数列的前10项的和等于 100.
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 .
4a1 6d 6
3
1
解：根据题意,得
,解得a1 ,d .
4
2
8a1 28d 20
3 16 15 1
∴S16 16
72.
4
2
2
课本P23
04
目标检测 检验效果
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.
15 14
解：
由题意,得15a1
d 5[a1 d a1 5d a1 (k 1)d ].
2
整理得( k 16)d 0.
101
101
101
101
（2 99）（3 98） （50 51）
（1 100）
50对
100
（100 1） 5050
2
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ①
前100项的和的问题.
03
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求
2
n
an
a1
n
a1
an
(n-1)d
n(n 1)
Sn na1
d
2
04
例题练习 巩固理解
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1) 若a1 7,a50 101,求S50 ；
5
(2) 若a1 2,a2 ,求S10 ；
等差数列的前n项和(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
可设为｛an｝且a1=5,d=1,an=80
∴5+(n-1)=80
∴n=76(也可根据数列特征求出80-4=76）
∴S76=3230，∴5+6+7+…+79+80=3230
应用新知
思考：如何求下列数列的和？
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
思考1：上述两个式子是什么数列的和？
高斯（1777---1855），
德国数学家、物理学家和
天文学家。他和牛顿、阿
基米德，被誉为有史以来
的三大数学家。有“数学
王子”之称。
创设情景
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
……
50+ 51=101
101×50=5050
a1
n
an
n(a1 an )
Sn
2
识记新知
我们可结合梯形的面积公式来理解记忆
等差数列前 n 项和公式.
a1
n
a1
n(n 1)
S n na1
d
2
an (n-1)d
将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.
应用新知
分析：
（1）可以直接利用公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =
( + )
求和；
（2）可以先利用 和 的值求出d，再利用公式 = +
∴5+(n-1)=80
∴n=76(也可根据数列特征求出80-4=76）
∴S76=3230，∴5+6+7+…+79+80=3230
应用新知
思考：如何求下列数列的和？
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
思考1：上述两个式子是什么数列的和？
高斯（1777---1855），
德国数学家、物理学家和
天文学家。他和牛顿、阿
基米德，被誉为有史以来
的三大数学家。有“数学
王子”之称。
创设情景
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
……
50+ 51=101
101×50=5050
a1
n
an
n(a1 an )
Sn
2
识记新知
我们可结合梯形的面积公式来理解记忆
等差数列前 n 项和公式.
a1
n
a1
n(n 1)
S n na1
d
2
an (n-1)d
将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.
应用新知
分析：
（1）可以直接利用公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =
( + )
求和；
（2）可以先利用 和 的值求出d，再利用公式 = +
等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册全
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
++ + +
+++
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1
加 法
// // // //
// \\ \\
2S100=101+101+101+…+101+101+101
多1少00个个110011 ?
已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
错解: an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
∵an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，
∴数列{an}是等差数列．
辨析:an＝Sn－Sn－1 是在 n≥2 的条件下得到的，a1 是否满足需另外计算验证．
【解析】由已知得 an1 Sn1 Sn Sn1 Sn ，
两边同时除以 Sn1 Sn ，
得
1 Sn1
1 Sn
1，
1
故数列
Sn
是以-1
为首项，-1
为公差的等差数列，
则
1 Sn
1 (n 1)
n ，
1
所以 Sn n ．
例 已知数列{an}满足 a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，求 an.
创设情境
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
高中数学人教A版必修《.等差数列的前n项和》课件
因此，等差数列 - 10， - 6， - 2，， 2 前 9 项的和是 54
注：本题体现了方程的思想.
列 a 等 差 数 列 ， 若 a a a 1 2 , 例3、数 n为 1 2 3 a a a 7 5 , 求 S . 8 9 1 0 1 0
a d4 ， ， a 1 ， a1 a2 a3 12 1 1 解： 由 a 8 d2 5 d3 . 1 a8 a9 a10 75
2＋99 =101，
第3项与倒数第3项的和： ······
3＋98 ＝101，
第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101， 100 5050. 于是所求的和是： 101 2
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
m n p qaaaa . m n p q
情景2
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、 5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
梯形面积公式记忆
（ n a1 an ) Sn 2
（ nn 1 ) S n a d n 1 2
a1
n
a
n
等差数列前n项和公式的函数特征：
1 d2 d S n a n n 1 d n a n n 1 1 2 2 2
1 6 ( a a ) 1 1 6 S 8 ( a a ) 1 6 1 1 6 2
81 8 1 4 4 .
（ n a1 a n ) 2 （ n n 1) S n na1 d 2 Sn
例 5 、 求 集 合 M m | mn 7 , nN , 且 m 1 0 0
等 差 数 列 a 中 ， 例4、在 n 已 知 a a a a 3 6 , 求 S . 2 5 1 2 1 5 1 6
高中数学人教A版必修数列等差数列的前n项和课件
首尾相加配对，第一项与倒数第一项配对，第二项 与倒数第二项配对，以此类推，它们的和都相等
高中数学人教Aபைடு நூலகம்必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
探究发现
问题1：图案中，利用高斯算法求第1层到第21层 一共有多少颗宝石？
配对不完全，11落单了 这是求奇数 个项和的问题， 通过前后比较知： 高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项讨论
2Sn n(a1 an )
an a1 (n 1)d
[a1 （n 1)d ] [an (n 1)d ]
公式1
Sn
n(a1 2
an )
公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
公式应用 选用公式
例１2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通
知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时 间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通” 工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的 总投入是多少？
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
公式应用 变用公式
高中数学人教Aபைடு நூலகம்必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
探究发现
问题1：图案中，利用高斯算法求第1层到第21层 一共有多少颗宝石？
配对不完全，11落单了 这是求奇数 个项和的问题， 通过前后比较知： 高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、 偶个项讨论
2Sn n(a1 an )
an a1 (n 1)d
[a1 （n 1)d ] [an (n 1)d ]
公式1
Sn
n(a1 2
an )
公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
公式应用 选用公式
例１2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通
知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时 间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通” 工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的 总投入是多少？
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
高中数学人教A版必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和课件(共20张PPT)
公式应用 变用公式
高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和课件新人教A版必修5-推荐ppt版本
列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于
(C )
A．1
B．53
C．2
D．3
a1＋2d＝6 [解析] 由题意得3a1＋12×3×2d＝12， 解得ad1＝＝22.
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C
– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
6
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n＋5)，求ab1100的值．
由题意得 SS′1919＝54××1199＋＋153＝43， 所以ab1100＝43.
命题方向3 ⇨实际应用问题
• 单例击题 此3 处编辑母版文本样式
– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
[解析] 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每 次付款的数额顺次构成数列{an}．
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第二章
数列 2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
拥有8万个正式座位，1.1万个临时座位的鸟巢堪称世
界•最单大的击体育此场馆处之一编，辑绕鸟母巢一版圈大文约有本4千样米左式右，
普 巢通 的人 观–快 众第走 找一 到二圈 自级需 己要 的看40台分座钟位左，右体．育为场了里方的便入初场次标走志进设鸟
则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， ∴an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－12(n－1) (1≤n≤20，n∈N)． ∴{an}是以60为首项，－12为公差的等差数列， ∴a10＝60－9×12＝55.5，a20＝60－19×12＝50.5. ∴S20＝12×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105. ∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
高中数学人教A版必修5《等差数列的前n项和》第1课时课件(共20张PPT)
S10
10(5 2
95)
500.
Sn
n（a1 2
an
)
(3)a1
2 3
, an
3 2
,n
14;
Sn
n（a1 2
an
)
S14
14[2
/
3 2
(3 /
2)]
35 6
.
等差数列的前n项和公式的其它形式
Sn
n（a1 2
an )
an a1(n1)d
Sn
na1
n（n 1) 2
d
例 例２：等差数列－10，－6，－ 2，2，·······
等差数列的前n项和 （第1课时）
马鞍山中加双语学校数学组 李强
课题导入
世界三大数学家
问题１
1+2+3+···+100=?
高斯，(1777— 1855） 德国著
名数学家。 得到数列 1，2，3，4， … ，100
目标引领
1.掌握等差数列前n项和公式， 能较熟练应用等差数列前n项和 公式求和。
2.了解等差数列前n项和推导过 程，了解倒序求和法的使用
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
引导探究
问题2:图案中，第1层到第21层一 共有多少颗宝石？
1 2 3
21
21 20 19
获得算法：
S21
(1
21) 21 2
1
1 所以S21= 2
(1+21)×21
=231
？总和
1 2
( 首项？ ＋ ？尾项 ）？项数
(一)问题情景
问题 1:
1+2+3+······+100=？
《等差数列的前n项和(一)》新人教数学A版必修五课件
2.3 等差数列的 前n项和 (一)
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数)
讲解范例:
例5. 已知等差数列{an}前四项和为21， 最后四项的和为67，所有项的和为 286，求项数n.
讲解范例:
例6. 已知一个等差数列{an}前10项和为 310，前20项的和为1220，由这些条件 能确定这个等差数列的前n项的和吗？
思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
复习引入
小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时， 有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家 在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时， 高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
讲解范例:
例3. 求集合
M {m | m 7n, n N *且m 100}
的元素个数，并求这些元素的和．
讲解范例:
例4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若 S12＝84，S20＝460，求S28.
练习:
1. 在等差数列{an}中，已知a3＋a99＝200， 求S101.
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数)
讲解范例:
例5. 已知等差数列{an}前四项和为21， 最后四项的和为67，所有项的和为 286，求项数n.
讲解范例:
例6. 已知一个等差数列{an}前10项和为 310，前20项的和为1220，由这些条件 能确定这个等差数列的前n项的和吗？
思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
复习引入
小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时， 有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家 在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时， 高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
讲解范例:
例3. 求集合
M {m | m 7n, n N *且m 100}
的元素个数，并求这些元素的和．
讲解范例:
例4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若 S12＝84，S20＝460，求S28.
练习:
1. 在等差数列{an}中，已知a3＋a99＝200， 求S101.
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• (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为 负数 项(或0)，所 以将这些项相加即得{Sn}的最 小 值；
• (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为 正数 项(或0)， 所以将这些项相加即得{Sn}的最 大 值． • 特别地，若a1>0，d>0，则 a1 是{Sn}的最 小 值；若a1<0， d<0，则 a1 是{Sn}的最 大 值．
• 2.2.3 等差数列的前n
• 第1课时 等差数列的前n项和
• 1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． • 2.掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实际问题． • 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能 够由其中的三个求另外的两个.
• 1.对等差数列前n项和公式的考查是本课的热点． • 2.本课内容常与方程，函数，不等式结合命题． • 3.多以选择题和解答题的形式考查.
• 1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
• A．5或7
B．3或5
• C解．析7：或－S1n＝na1＋2 11D＝．335或. －1
∴na1＋11n＝70，① an＝a1＋(n－1)×2＝11.
∴a1＋2n＝13.②
由①②得 a1＝3 或 a1＝－1.故选 D. 答 案： D
• 1.在等差数列{an}中， • (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8. • (2)已知a2＋a4＝，求S5； • (3)已知a10＝12，a20＝32，Sn＝120，求an和n的值．
• 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大 值．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①{an}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9. • 解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n， 使an≥0，an＋1<0或利用性质求出大] 本题为非常规等差数列求和．解题的关键首
先是确定数列{an}的前20项为负数，其次是当n>20时，用Sn－ S20表示从a21到an这些非负的项的和．本题是此类问题的一个 典型例题，类似问题都可以这样处理．
• 3.已知等差数列{an}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的
方法二：由数列{an}为等差数列，可设 Sn＝An2＋Bn. 由 S10＝310，S20＝1 220，
得140000AA＋＋1200BB＝＝311202，0， 解得AB＝ ＝31， . ∴Sn＝3n2＋n. • [题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可 知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组) 求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过 程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
• 2.已知等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13， • (1)求公差d的值； • (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．
解析：(1)由 11a5＝5a8－13 得 11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－ 13
∵a1＝－3，∴d＝59.
•
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列
• 1．上一节刚学过等差数列，即满足 an＋1－an＝d 的数列 就是等差数列． • 2．等差数列的通项公式是 an＝a1＋(n－1)d ，其中d是等差 数列的公差 ．
• 3．等差数列有一个性质，对于m，n，q，p∈N*，若m＋n
＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq
.
•
4．某仓库堆放的一堆钢管(如图)，
解析： a3＋a17＝a1＋a19＝10 S19＝19a12＋a19＝19×2 10＝95. • 答案： 95
• 4．已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列 前6项的和． 解析： a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3. 又∵a6＝9，a3＝3，∴d＝2，a1＝－1. ∴S6＝6×(－1)＋6×62－1×2＝24.
•
已知数列{an}是等差数列，
• (1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d；
• (2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
• (3)若S10＝310，S20＝1 220，求Sn.
由题目可获取以下主要信息： 由 Sn＝na12＋an，an＝a1＋(n－1)d，联立列方程组． 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用 等差数列的性质解题．
• 2．已知等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n等 于( )
• A．51
B．50
• C．49 解析： 由
Sn＝na1＋nn－2 1d
D．48 得
n×50＋n×n2－1×(－2)＝0
即 n2－51n＝0
∴n＝0(舍去)或 n＝51.故选 A.
答案： A
• 3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19的 值为________．
• 方法三：先求出d＝－2(同方法一)， • 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， • 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14, • 故a13＋a14＝0. • ∵d＝－2<0，a1>0. • ∴a13>0，a14<0， • 故n＝13时，Sn有最大值169.
• 最上面的一层有4根钢管，下面的每一层
• 都比上一层多一根，最下面的一层有9根，
• 怎样计算这堆钢管的总数呢？
•
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
• 1．等差数列的前n项和公式
已 知量
求 和
公 式
首项、末项与
项数
na1＋an 2
Sn＝
首项、公差与项数
na1＋nn－ 2 1d Sn＝
• 2.等差数列前n项和的最值
{|an|}的前n项和．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①数列{an}为等差数列； • ②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d. • 解答本题可先分清哪些项是负的，然后再分段求 出前n项的绝对值之和．
∴数列{|an|}的前 n 项和
Sn′＝－ 32n322－n21＋221322n3＋n1n2≤6020n>20
• (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为 正数 项(或0)， 所以将这些项相加即得{Sn}的最 大 值． • 特别地，若a1>0，d>0，则 a1 是{Sn}的最 小 值；若a1<0， d<0，则 a1 是{Sn}的最 大 值．
• 2.2.3 等差数列的前n
• 第1课时 等差数列的前n项和
• 1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． • 2.掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实际问题． • 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能 够由其中的三个求另外的两个.
• 1.对等差数列前n项和公式的考查是本课的热点． • 2.本课内容常与方程，函数，不等式结合命题． • 3.多以选择题和解答题的形式考查.
• 1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
• A．5或7
B．3或5
• C解．析7：或－S1n＝na1＋2 11D＝．335或. －1
∴na1＋11n＝70，① an＝a1＋(n－1)×2＝11.
∴a1＋2n＝13.②
由①②得 a1＝3 或 a1＝－1.故选 D. 答 案： D
• 1.在等差数列{an}中， • (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8. • (2)已知a2＋a4＝，求S5； • (3)已知a10＝12，a20＝32，Sn＝120，求an和n的值．
• 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大 值．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①{an}为等差数列．②a1＝25，S17＝S9. • 解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n， 使an≥0，an＋1<0或利用性质求出大] 本题为非常规等差数列求和．解题的关键首
先是确定数列{an}的前20项为负数，其次是当n>20时，用Sn－ S20表示从a21到an这些非负的项的和．本题是此类问题的一个 典型例题，类似问题都可以这样处理．
• 3.已知等差数列{an}中，S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的
方法二：由数列{an}为等差数列，可设 Sn＝An2＋Bn. 由 S10＝310，S20＝1 220，
得140000AA＋＋1200BB＝＝311202，0， 解得AB＝ ＝31， . ∴Sn＝3n2＋n. • [题后感悟] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可 知三求二，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组) 求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过 程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
• 2.已知等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13， • (1)求公差d的值； • (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．
解析：(1)由 11a5＝5a8－13 得 11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－ 13
∵a1＝－3，∴d＝59.
•
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列
• 1．上一节刚学过等差数列，即满足 an＋1－an＝d 的数列 就是等差数列． • 2．等差数列的通项公式是 an＝a1＋(n－1)d ，其中d是等差 数列的公差 ．
• 3．等差数列有一个性质，对于m，n，q，p∈N*，若m＋n
＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq
.
•
4．某仓库堆放的一堆钢管(如图)，
解析： a3＋a17＝a1＋a19＝10 S19＝19a12＋a19＝19×2 10＝95. • 答案： 95
• 4．已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列 前6项的和． 解析： a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3. 又∵a6＝9，a3＝3，∴d＝2，a1＝－1. ∴S6＝6×(－1)＋6×62－1×2＝24.
•
已知数列{an}是等差数列，
• (1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d；
• (2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
• (3)若S10＝310，S20＝1 220，求Sn.
由题目可获取以下主要信息： 由 Sn＝na12＋an，an＝a1＋(n－1)d，联立列方程组． 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用 等差数列的性质解题．
• 2．已知等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n等 于( )
• A．51
B．50
• C．49 解析： 由
Sn＝na1＋nn－2 1d
D．48 得
n×50＋n×n2－1×(－2)＝0
即 n2－51n＝0
∴n＝0(舍去)或 n＝51.故选 A.
答案： A
• 3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19的 值为________．
• 方法三：先求出d＝－2(同方法一)， • 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， • 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14, • 故a13＋a14＝0. • ∵d＝－2<0，a1>0. • ∴a13>0，a14<0， • 故n＝13时，Sn有最大值169.
• 最上面的一层有4根钢管，下面的每一层
• 都比上一层多一根，最下面的一层有9根，
• 怎样计算这堆钢管的总数呢？
•
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
• 1．等差数列的前n项和公式
已 知量
求 和
公 式
首项、末项与
项数
na1＋an 2
Sn＝
首项、公差与项数
na1＋nn－ 2 1d Sn＝
• 2.等差数列前n项和的最值
{|an|}的前n项和．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①数列{an}为等差数列； • ②a1＝－60，a17＝－12，可求得公差d. • 解答本题可先分清哪些项是负的，然后再分段求 出前n项的绝对值之和．
∴数列{|an|}的前 n 项和
Sn′＝－ 32n322－n21＋221322n3＋n1n2≤6020n>20