培优班数列补习资料

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数列培优专题复习题

数列培优专题复习题数列是高中数学中的一个重要概念，也是数学竞赛中常见的题型。

掌握数列的性质和求解方法对于提高数学水平、应对竞赛题目至关重要。

本文将以数列培优专题复习题为主题，通过一系列的问题和解答，帮助读者巩固数列相关知识。

问题一：已知等差数列的首项是3，公差是2，求第10项的值。

解答一：根据等差数列的性质，第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差。

代入已知条件，可得a10 =3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。

问题二：已知等差数列的首项是1，公差是3，求前10项的和。

解答二：根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = n(a1 + an)/2，其中Sn表示前n项的和。

代入已知条件，可得S10 = 10(1 + 1 + (10-1)3)/2 =10(1 + 1 + 27)/2 = 10(29)/2 = 145。

问题三：已知等比数列的首项是2，公比是3，求第5项的值。

解答三：根据等比数列的性质，第n项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项的值，a1表示首项的值，r表示公比。

代入已知条件，可得a5 = 2* 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162。

问题四：已知等比数列的首项是1，公比是2，求前5项的和。

解答四：根据等比数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = a1 * (1 -r^n)/(1 - r)，其中Sn表示前n项的和。

代入已知条件，可得S5 = 1 * (1 -2^5)/(1 - 2) = 1 * (1 - 32)/(-1) = 1 * (-31)/(-1) = 31。

问题五：已知斐波那契数列的前两项分别是1和1，求第10项的值。

解答五：根据斐波那契数列的性质，从第3项开始，每一项都是前两项的和。

代入已知条件，可以逐步计算得到第10项的值。

第3项：1 + 1 = 2，第4项：1 + 2 = 3，第5项：2 + 3 = 5，第6项：3 + 5 = 8，第7项：5 + 8 = 13，第8项：8 + 13 = 21，第9项：13 + 21 = 34，第10项：21 + 34 = 55。

高二数学培优系列数列(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】数列考点一等差、等比数列的概念与性质例1：已知{}n a 为等比数列，且364736,18.a a a a +=+=（1）若12n a =，求n ；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求8S .练：已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=例2：设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足56S S +15=0。

（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1；（Ⅱ）求d 的取值范围。

考点二求数列的通项与求和例3. 已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2121N n n n S S n n ∈++=+（1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈（（2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ；3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。

例4：在数列{n a }中，311=a ，并且对任意2,≥∈*n N n 都有n n n n a a a a -=⋅--11成立，令)(1*∈=N n a b nn ．（Ⅰ）求数列{n b }的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n 项和n T ．考点三数列与不等式、函数等知识的联系例5：已知数列{}n a 是等差数列，()*+∈-=N n a a c n n n 212（1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。

若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由。

培优增分第6讲数列的奇偶项与子数列问题

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限时规范训练
解：设数列{an}的前p项中有数列{bn}的q项，p－q＝100，则2q≤p，即2q≤100＋q. 易得满足2q≤100＋q的最大正整数q为6， ∴数列{cn}的前100项，由数列{an}中的前106项去掉和数列{bn}中相同的6项得到，
∴
T100
＝
S106－(2Fra bibliotek＋22
＋
…
＋
26)
限时规范训练
23
限时规范训练
当k＝12时，项数为90. 故T95相当于是前12组的和再加上－23，1，2，22，23，即T95＝[1＋(－1)＋(－3)＋…＋(－21)]＋[20＋(20＋21)＋(20＋21＋22) ＋…＋(20＋21＋…＋211)]＋(－23＋1＋2＋22＋23)． 20 ＋ (20 ＋ 21) ＋ (20 ＋ 21 ＋ 22) ＋ … ＋ (20 ＋ 21 ＋ … ＋ 211) 可看成是数列 {cn}(cn＝2n－1)的前12项和，
(2)若 cn＝S2n，n为奇数，设数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求 T2n. bn，n为偶数，
123456
29
限时规范训练
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)， ∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，
∴3q＋＋43d＋－32＋q＝d＝3＋102，d，解得dq＝＝22，， ∴an＝2n＋1，bn＝2n－1.
19
限时规范训练
解：(1)法一：记{an}的公差为 d，由 3a2＋2a3＝S5＋6 得 3(a1＋d)＋2(a1 ＋2d)＝5a1＋5×2 4d＋6，得 d＝－2，
所以 Sn＝na1＋n（n2－1）×(－2)＝－n2＋(a1＋1)n. 若数列{Sn}为递减数列，则 Sn＋1－Sn＜0(n≥1)恒成立，即 an＋1＝a1－2n＜0(n≥1)恒成立，得 a1＜2n(n≥1)恒成立，则 a1＜2.

必修五复习培优班第8讲数列综合(2)(P)

数列综合 (2)【知识要点】1．你熟练等差等比数列的通项公式及前n 项和的求法吗？2．你会将一些特殊的数列问题转化为等差等比数列来求通项和前n 项和吗？【典型例题】例1．求和147103215251255n n n S --=+++++例2．已知函数()13+=x x x f ，数列{}n a 满足11=a ，()()*1N n a f a n n ∈=+．（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列；（2）记()n n n a x a x a x x S +++= 221．求()x S n .例3．在数列{}n a 中，1*112,22(2,)n n n a a a n n N +-==+≥∈（1）求n a（2）令12231111,2n n n n n n a b T b b b b b b +==++，对任意*n N ∈都有12log ,n T m m <求的范围。

例4．在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；例5．(2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2）设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；（3）记b n =211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1.【课堂训练及作业】1．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 2、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)6(144,324,3666>===-n S S S n n ，则n 为（） (A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 153、等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于（）(A)2)12(-n (B))12(31-n (C)14-n (D) )14(31-n4、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）(A)130 (B)170 (C)210 (D)2605．（2006年广东卷）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( )A.5B.4C. 3D.26．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .7.设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根，则=+20072006a a _____.8. 已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件： 1121,()(2,3,4,...),n n a a a f a n a a -===≠， 11()()()(2,3,4,...),n n n n f a f a k a a n ---=-= 其中a 为常数，k 为非零常数。

培优增分第4讲数列中的构造问题

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C 因为 an＋1＝a2n＋an2，所以an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n(an≠0，an＋1≠0)，即an1＋1－a1n＝12. 又a11＝12，故数列{a1n}是首项为12，公差为12的等差数列，
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限时规范训练
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B 因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.
限时规范训练
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限时规范训练
14
限时规范训练
反思感悟
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0 的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求an.
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限时规范训练
训练2 若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________．
∵an＋1＝3an＋3n，∴a3nn＋＋11－a3nn＝13， ∴数列{a3nn}是等差数列，公差为13，又a31＝13，∴a3nn＝13＋(n－1)×13＝n3， ∴an＝n·3n－1.
答案：n·3n－1
12
限(形如an＋1＝pan＋qan－1型)
例4 已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．

高考提优专训—数列选择培优

数列专项训练一、知识要点：1.等差数列公式变形:)(1d a dn a n -+=，等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，n 的系数是公差。

2.等差数列求和公式变形为：=s nn da n d )2(212-+，是关于n 的二次函数，且无常数项，n 2的系数是公差的一半。

可设前n 项和为：2n S An Bn =+.3.若等差数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n，T n ，则T S n n n nb a 1212--=4.若{}a n 共有2n 项,则)(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a nn s s 1+=奇偶.5.若{}a n 共有2n －1项,则a n n n s )12(12-=-； a n s s -=-奇偶；nn s s 1-=奇偶.6.如S n为等差数列的前n 项和，则,...,,232S S S S S k k k k k --构成的数列是等差数列.如S n为等差数比的前n 项和，则,...,,232S S S S S k k k k k --构成的数列是等比数列.7.若{}a n 是等比数列，且各项均为正数，则{}n a a log 成等差数列。

典型例题1．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a a +=+（*n N ∈），若11()(1)n nb n a λ+=-+（*n N ∈），1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（）A ．2λ>B ．2λ<C ．3λ>D ．3λ< 2．已知数列{}n a 满足()()111,,n n a P a a n N *+=∈在直线10x y -+=上，如果函数()()12111 (2)f n n N n n a n a n a *=+++∈≥+++，则函数()f n 的最小值为（）A.13 B.14 C.712 D.5123．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，公差为d ，若100172017172017=-SS ，则d 的值为（）A.201B.101 C.10 D.204．如题图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =，()n E n N +∈为边AC 上的列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中10,1n a a >=，则{}n a 的通项公式为（）A ．1322n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-5．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]11 (111)1[201621a a a _____________. 6．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11sin,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为___________．7．对于数列{}n x ,若对任意*n N ∈,都有212n n n x x x +++<成立,则称数列{}n x 为“减差数列”.设2122n n tn nb t --=-,若数列5b ,6b ,7b ,…,n b （5n ≥,*n N ∈）是“减差数列”,则实数t 的取值范围是．8．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则=++++++]1...11[201620162211a a a a a a _____________.9．在数列{}n a 及{}n b中，1n n n a a b +=++1n n n b a b +=+，11a =，11b =．设112()n n n nc a b =+，则数列{}n c 的前n 项和为． 10．对于数列{}n a ，定义na a a H nn n 12122-+++= 为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”，记数列{}kn a n -的前项和为n S ，若5S S n ≤对任意的恒成立，则实数k 的取值范围是_________． 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当数列{}n a 的通项公式为*1,1n a n N n =∈+时，我们记实数λ为2n n S S -的最小值，那么数列1100n b n λ=-，*n N ∈取到最大值时的项数n 为 .12．已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 .12n Hn +=n n13．已知数列{}n a 的前n 项和为()1211,1,3,432n n n n S a a S S S n +-===-≥，若对于任意*n N ∈，当[]1,1t ∈-时，不等式21211121n x tx a a a ⎛⎫+++<++ ⎪⎝⎭恒成立，则实数x 的取值范围为__________ . 14．在数列{}n a 中，122111,33232(2)n n n n n a a a n ----==-⋅+≥，n S 是数列1{}n a n+的前n 项和，当不等式*1(31)()1()3()m n mn S m m N S m ++-<∈-恒成立时，m n ⋅的所有可能取值为 . 15．若数列{}n a 满足2132431n n a a a a a a a a +->->->⋅⋅⋅>->⋅⋅⋅，则称数列{}n a 为“差递减”数列．若数列{}n a 是“差递减”数列，且其通项n a 与其前n 项和()*n S n N ∈满足()2321n n S a n N λ*=+-∈，则实数λ的取值范围是__________．16．已知数列{}n a 满足12a =，210n n a a n +++=，则31a =_____________. 17．已知数列{}n a 中，11a =，*1()nn na n n N a a +=∈-，则2016a = .18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且()()()122212n n n n a n N n n n ++⋅-=∈++，则n S =_________.19．设数列{a n }满足：a 1＝，a n ＋1＝[a n ]＋，其中，[a n ]、{a n }分别表示正数a n 的整数部分、小数部分，则a 2 016＝____________.20．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，若1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数，是奇数，且329S =，则2015S = ．21．如果一个实数数列{}n a 满足条件：d a a n n =-+21（d 为常数，*N n ∈），则称这一数列 “伪等差数列”， d 称为“伪公差”。

高中数学培优复习专用教材第3章数列数列综合应用改好309页最新版

高考第一轮复习用书·数学（理科）
第三章
3.(2014 年北京联考)已知 f(x)=log2x-logx2(0<x<1),数列{an}满足 f(2�� )=2n(n∈N*),则数列{an}( ). A.有最大项无最小项 B.有最小项无最大项 C.既有最大项又有最小项 D.无最大项也无最小项
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第三章
1.(2015 年南昌一中)若数列{an}的通项公式为 an=-2n2+13n,关于该数列有下列四种说法:①该数列有无穷多个正数项;②该数列有 2 无穷多个负数项;③该数列的最大项就是函数 f(x)=-2x +13x 的最大值;④-70 是该数列中的一项;其中正确命题的序号为( ). A.①② B.②④ C.①③ D.③④
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第三章
பைடு நூலகம்
2.(2015 年高安中学第二次月考)数列{an}满足 an+1+an-1=an,且
a1=1,a2=5,那么 a1-a2+a3-…+a15-a16+a17 的值为
.
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第三章
【解析】由 an+1+an-1=an,得 an-1-an+an+1=0,那么 a3-a4+a5=0,a6-a7+a8=0,…,a15-a16+a17=0,于是 a1-a2+a3-… +a15-a16+a17=a1-a2=-4. 【答案】-4
2�� +1
列{an}有最小项 a1,无最大项. 【答案】B
an+1-an=(n+1- (�� + 1) + 1)-(n- ��2 + 1)=1-( (�� + 1) + 1��2 + 1)=12�� +1

高中数学暑期培优讲义数列部分

C.99
D.100
(2)数列{an}满足12a1+212a2+213a3+…+21 an=2n+1,则数列{an}的通项公式为
.
变式题 (1)若数列{an}满足 a1+a2+a3+…+an=3n-2,则数列{an}的通项公式为 ( )
A.an=2×3n-1
B.an=3×
1 2
-1
C.an=3n-2
1, = 1, D.an= 2 × 3 -1, ≥ 2
(2)已知数列
(
+ 4)
2 3
的最大项是第 k 项,则 k=
.
变式题 (1)已知数列{an}满足 a1>0,且 an+1= +1an,则数列{an}的最大项是 ( )
A.a1
B.a9
C.a10
D.不存在
(2)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9>0,S10<0,则 2 ,22,…,29中最大的是 ( )
+1 2
(2)数列- 1 , 1 ,- 1 , 1 ,…的一个通项公式为 1×2 2×3 3×4 4×5
an=
.
变式题写出下列数列的一个通项公式:
(1)-1,1,-1,1,-1,…; 2 34 5
(2)3,5,9,17,33,…;
(3)0.8,0.88,0.888,…;
(4)2,-1,10,-17,26,…;
.
2. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-5,S9=27,则公差 d=
.
3.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8=

数列补课资料

数列补课资料1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 三种方法由递推式求通项a n 的方法： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法；(2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法； (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．5．等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N )都成立；(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ；(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An ＋Bn .1．已知数列，1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( )．A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项2．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( )．A ．27B ．28C ．29D ．30 3在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )．A ．103 B.8658 C.8258 D ．1084．数列1,2,4,7,11,16，…的一个通项公式a n ＝________. 数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x 的值为________． 5写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….6.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．7．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.8．(10分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，求a n . 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________.9.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________ 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(2)a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)；(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n .(4)a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n －1(n ≥2)；(5)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n . 10已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋24n (n ∈N *)．(1)求{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？11已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n 的最小值为________．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )．A ．12B ．18C ．22D ．4412．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．13．(2012·杭州质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )．A ．13B ．35C ．49D ．6315．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )．A ．31B ．32C ．33D ．3416．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( )．A ．4B ．5C ．6D ．717►已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求a n 的表达式．18已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6.(1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．19►设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．20(1)设数列{a n }的首项a 1＝－7，且满足a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋…＋a 17＝________.(2)等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．21．(2011·重庆)在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.22．(★)(11分)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1；(2)求d 的取值范围．23．(★)(10分)在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23.(1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．。

(培优五)数列求通项公式

培优讲义（五）数列求通项公式【类型1】 1n n a pa q +=+（其中p ，q 均为常数，((1)0)pq p -≠）解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：1()n n a t p a t +-=-，其中1q t p =-，再利用换元法转化为等比数列求解。

【例1】已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .【变式1】已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的通项公式；【练习1】已知数列{}n a 满足：111,43n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.【类型2】递推公式为1n n n a pa p +=+（其中p 为常数）解法：等式两边同时除以1n p +，得111n n n n a a p p p ++=+，再构造数列n n n a b p =化为11n n b b p --=，用等差数列公式求得：11(1)n n a a n p p p=+-. 【例2】已知数列{}n a 满足：1111,44n n n a a a ++==+，求数列{}n a 的通项公式.【变式1】已知数列{}n a 满足：111,22n n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.【练习1】已知数列{}n a 满足：111,33n n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.。

培优增分第7讲数列中的综合问题

23
限时规范训练
解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意知a2＋a3＝2(a1＋2)，所以q＋ q2＝6，解得q＝2或q＝－3(舍)，所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)由题知 ck＝a4＝8，c1，c2，c3，…，ck 是以 8 为末项，2 为公差的等差数列，所以 ck＝c1＋2(k－1)＝8，解得 c1＝10－2k，所以 c1＋c2＋c3＋… ＋ck＝k（8＋2 c1）＝k(9－k)，所以 S2k－1＝c1＋c2＋…＋ck＋…＋c2k－1＝(c1＋ c2＋…＋ck)＋(ck＋ck＋1＋…＋c2k－1)－ck＝2k(9－k)－8＝18k－2k2－8.所以 32 ＝18k－2k2－8，即 k2－9k＋20＝0，解得 k＝4 或 k＝5.
123456
31
则有 f(x)在(0， 30)上为减函数，在( 30，＋∞)上为增函数，因为 n∈N*，且 f(5)＝f(6)＝11，所以当 n＝5 或 n＝6 时，bn 有最大值112.
123456
限时规范训练
32
限时规范训练
3．已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在同一列，{bn}为等差数列，其前n 项和为Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3.
限时规范训练
20
限时规范训练
(2)由(1)知，数列{an}的通项公式为an＝n＋2，又由数列{bn}的通项公式为bn＝2n，根据题意，得新数列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，则T4n＋3＝b1＋a1＋a2＋b2＋b3＋a3＋a4＋b4＋…＋b2n－1＋a2n－1＋a2n＋ b2n＋b2n＋1＋a2n＋1＋a2n＋2 ＝(b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n＋1)＋(a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n＋2)

第二节数列求和及应用-学而思培优

第二节数列求和及应用-学而思培优1. 引言本节课将介绍数列求和及其应用领域的相关知识。

通过研究本节内容，学生将能够掌握数列求和的基本方法和技巧，并了解数列求和在实际问题中的应用。

2. 数列求和的概念数列求和是指对数列中的所有项进行求和运算的过程。

对于一个数列 {a₁, a₂, a₃, ..., aₙ}，其求和表示为：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃+ ... + aₙ。

其中，Sₙ 表示数列前 n 项的和。

3. 求和公式数列求和可以使用求和公式来简化计算过程。

常用的求和公式包括等差数列求和公式和等比数列求和公式。

- 等差数列求和公式：对于等差数列 {a, a+d, a+2d, ..., a+(n-1)d}，其前 n 项和可以表示为：Sₙ = (n/2)(2a + (n-1)d)。

- 等比数列求和公式：对于等比数列 {a, a*r, a*r², ..., a*r^(n-1)}，其中r≠0为公比，其前 n 项和可以表示为：Sₙ = a(rₙ-1)/(r-1)。

4. 数列求和的应用数列求和在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：- 财务分析：数列求和可用于计算投资回报率、利润预测等财务指标。

- 游戏策略：数列求和可用于计算游戏得分、关卡难度等游戏策略问题。

- 数据分析：数列求和可用于计算数据集中的总和、平均值等统计指标。

5. 总结本节课介绍了数列求和的概念、求和公式以及应用领域。

数列求和在数学中有着重要的作用，并且在现实生活中也应用广泛。

通过掌握数列求和的基本方法和技巧，我们可以更好地解决实际问题，并应用数学知识进行分析和决策。

参考资料：- 学而思培优数学课程教材。

第1章数列(培优课数列求和)课件高二上学期数学选择性

可得a1和d的值,即可得{an}的通项公式an;由等比数列的性质求得b1和b4的
值,进而可得数列{bn}的公比和通项公式,最后分组求和.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
1 + 7 = 1,
1 = -6,
由题意可知
解得
16×15
161 + 2 = 24,
= 1,
所以an=-6+(n-1)=n-7.
8×7
9(1-97 )
9 14
S15=(a1+a3+…+a15)+(a2+a4+…+a14)=8×1+ ×4+
=120+ (3 -1).
2
1-9
8
(2)当 n 为偶数时,令 n=2m(m∈N+),Sn=1+5+…+(4m-3)+9+92+…+9m
(4-2)
9(1-9 )
=
+
2
1-9
当
=
(-1)
-1
(-6+2-8)
1-4
4
2
+(b1+b3+b5+…+b2n-1)=
+
=n
-7n+
.
2
1-4
3
规律方法分组求和法的解题策略
当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以
拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列时,就可以用分组求
和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.
【例2】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,2Sn= 2 +an-2

高考数学重难点培优讲义之数列(典型题型含答案解析)

数列【题型1 等差、等比数列的基本量的求解】 (4)【题型2 等差、等比数列的判定与证明】 (5)【题型3 数列通项公式的求解】 (6)【题型4 等差、等比数列的综合问题】 (8)【题型5 数列性质的综合问题】 (9)【题型6 数列求和】 (10)【题型7 数列问题的实际应用】 (12)【题型8 数列不等式问题】 (14)【题型9 以数列为载体的新定义或情境题】 (15)数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，小题重点考查等差数列、等比数列的基础知识、性质以及数列的递推关系，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；解答题的难度中等或稍难，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合，与不等式结合时“放缩”思想及方法尤为重要，需要灵活求解.【知识点1 判断数列类型的技巧方法】1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n-a n-1为同一常数.即作差法，将关于a n-1的a n代入a n-a n-1，在化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n-1=a n+a n-2（n≥3，n∈N*）都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论： (1)通项公式：a n =pn +q （p ,q 为常数）是等差数列.(2)前n 项和公式：S n =An 2+Bn （A ,B 为常数）是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.3.证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列；(2)为等比数列；(3)通项公式法：（k ，q 为常数）为等比数列；证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可；在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n =1的情形进行验证. 【知识点2 数列通项公式的求解策略】1.含n S ，n a 的式子求通项的方法：在处理含n S ，n a 的式子时，一般情况下利用公式n a =1*1,1,2,nn S n S S n n − =⎧⎨−∈⎩N ≥且，消去n S ，进而求出{}n a 的通项公式；但是有些题目虽然要求{}n a 的通项公式，但是并不便于运用n S ，这时可以考虑先消去n a ，得到关于n S 的递推公式，求出n S 后再求解n a ．2.形如1()n n a a f n +−=的递推关系式求通项的方法：遇到形如1()n n a a f n +−=的递推关系式，可利用累加法求{}n a 的通项公式，遇到形如1()n na f n a +=的递推关系式，可利用累乘法求{}n a 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．3.构造数列求通项的方法：遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：(1)形如1n n a pa q +=+（1p ≠，0q ≠），可变形为111n n qq a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪−−⎝⎭，则1n q a p ⎧⎫+⎨⎬−⎩⎭是以11q a p +−为首项，以p 为公比的等比数列，由此可以求出n a ；(2)形如11n n n a pa q ++=+（1p ≠，0q ≠），此类问题可两边同时除以1n q +，得111n n n n a a p q q q ++=⋅+，设nnna b q =，从而变成1n b +=1n pb q+，从而将问题转化为第(1)个问题； (3)形如11n n n n qa pa a a ++−=，可以考虑两边同时除以1n n a a +，转化为11n n q p a a +−=的形式，设1n nb a =，则有11n n qb pb +−=，从而将问题转化为第(1)个问题．【知识点3 数列的单调性与最值问题的解题策略】1.判断数列单调性的方法 (1)比较法（作差或作商）； (2)函数化（要注意扩展定义域）．2.求数列最值的方法 (1)利用数列的单调性；(2)设最大值项为n a ，解方程组11n n n n a a a a −+⎧⎨⎩≥≥，再与首项比较大小（以最大值项为例，最小值项同理）．公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础；其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和，然后利用等差或等比数列的求和公式进行求解.注意利用等比数列求和公式时，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．2.裂项相消法求和：用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，1k=−，1111()n n k k n n k ⎛⎫=− ⎪++⎝⎭，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．3.错位相减法求和：用错位相减法求和时的注意点：(1)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“n n S qS −”的表达式；(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论． 4.分组（并项）法求和：分组（并项）法求和的常见类型：(1)若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组（并项）法求{}n a 的前n 项和； (2)若通项公式为,, n n nb n ac n ⎧=⎨⎩奇数偶数，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组（并项）法求和.【题型1 等差、等比数列的基本量的求解】【例1】（2023·江西新余·统考二模）记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 2=S 3，a 1a 3=S 4，则数列{a n }的公差为（）A ．−2B ．−1C ．2D ．4【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=1，S 4=8．若S n −2a n =6，则n =（）A ．5B ．6C ．7D ．8【变式1-2】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 3=30,S 4=120，则其公比q =（）A ．1B ．2C ．3D ．1或3【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列{a n }满足2a 2a 5=a 32，若log 12a 1+log 12a 2+⋯+log 12a 10=55，则a 1=（）A ．12B ．32C ．2D ．52【题型2 等差、等比数列的判定与证明】【例2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a 2=2，且对于任意n ≥2，n ∈N ∗，S n+1+S n−1=2(S n +1)恒成立，则（）A ．{a n }是等差数列B ．{a n }是等比数列C ．S 9=81D ．S 10=91【变式2-1】（2023·江苏淮安·统考模拟预测）设数列{a n }的前n 项和为S n .记命题p ：“数列{a n }为等比数列”，命题q ：“S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 成等比数列”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列{a n }满足a 1=23，且a n+1=2a n a n +1.(1)求证：数列{1a n−1}是等比数列；(2)若1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n<100，求满足条件的最大整数n .【变式2-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n⬚+2+3S n= 4S n⬚+1−2a n，a1=1，a2=3．(1)证明：数列{a n⬚+1−2a n}是等差数列；(2)记(a n+1)b n=n+2n2+n，T n为数列{b n}的前n项和，求T n．【题型3 数列通项公式的求解】【例3】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1,a2,a4成等比数列．(1)求数列{a n}的前n项和S n；(2)若数列{b n}的首项b1=1,b n+b n+1=(√2)a n，求数列{b2n}的通项公式．【变式3-1】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列{a n}的前n项和为S n，S2=1，a n+1=(1 2+12n)a n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：S n <2．【变式3-2】（2023·山东·山东校联考模拟预测）已知数列{a n }前n 项和为S n ，且对任意的正整数n,n 与S n 的等差中项为a n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：n2−13<a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1<n2(n ∈N *).【变式3-3】（2023·广西南宁·校考模拟预测）数列{a n }满足2a 2k+1=a 2k−1+a 2k+3，a 2k+2a 2k=q （k ∈N *,q 为正常数），且a 2=2a 1=2，a 32=a 2⋅a 6，a 1+a 2+a 3=a 5.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【题型4 等差、等比数列的综合问题】的等比数列{a n}的前n项和为S n，且−S2,S4,3S3成等差数【例4】（2023·四川德阳·统考一模）已知首项为12列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{S n+1}的最大项.S n【变式4-1】（2023·四川南充·统考一模）已知数列{a n}是首项为2的等比数列,且a4是6a2和a3的等差中项．(1)求{a n}的通项公式；,求{b n}的前2023项和T2023．(2)若数列{a n}的公比q>0,设数列{b n}满足b n=1log2a n⋅log2a n+1【变式4-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，b2−b1=2，b3−b2=6.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，若S6=b3，S12=b4，求S n.【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知公差不为0的等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，a3+b2=−1，a5+b3=3.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若T n为数列{1a n a n+1}的前n项和，求使T n+nb3≤0成立的n的取值范围.【题型5 数列性质的综合问题】【例5】（2023·四川雅安·统考一模）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a1+a5+a9=9,b2b5b8=3√3，则a2+a81+b2b8=（）A．2B．√3C．32D．√33【变式5-1】（2023·上海·统考模拟预测）已知数列{a n}的各项均为实数，S n为其前n项和，若对任意k>2022，都有|S k|>|S k+1|，则下列说法正确的是（）A．a1,a3,a5,⋯,a2n−1为等差数列，a2,a4,a6,⋯,a2n为等比数列B．a1,a3,a5,⋯,a2n−1为等比数列，a2,a4,a6,⋯,a2n为等差数列C．a1,a2,a3,⋯,a2022为等差数列，a2022,a2023,a2024,⋯,a n为等比数列D．a1,a2,a3,⋯,a2022为等比数列，a2022,a2023,a2024,⋯,a n为等差数列【变式5-2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列{a n}的公差为d，共前n项和为S n，已知S16>0，S17<0，则下列结论不正确的是（）.A．a1>0，d<0B．S8与S9均为S n的最大值C．a8+a9>0D．a9<0【变式5-3】（2023·山东潍坊·山东校考模拟预测）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，a2019a2020>1，a2019−1a2020−1<0，下列结论正确的是（）A．S2019<S2020B．S2019S2020−1<0C．T2020是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最大值【题型6 数列求和】【例6】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知等差数列{a n}的首项a1≠0，公差为d，S n为{a n}的前n项和，{S na n}为等差数列．(1)求a1与d的关系；(2)若a1=1，T n为数列{1a n a n+1}的前n项和，求使得T n<79成立的n的最大值．【变式6-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数f(x)满足f(x)+f(1−x)=2，若数列{a n}满足：a n=f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b1=23，b n=1a n⋅a n+1（n≥2），数列{b n}的前n项和为S n，若S n<λa n+1对一切n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围.【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1=4,a2+18是a1与a3的等差中项．数列{b n}满足b n+1−b n=a n，且b1=1．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=[log2b n+1]（其中，符号[x]表示不超过x的最大整数），求数列{b n⋅c n}的前n项和S n．【变式6-3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2．正项数列{b n}的前n 项和为S n，且2S n=b n2+b n．(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；(2)若c n ={a n ,n 为奇数2b n ,n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．【题型7 数列问题的实际应用】【例7】（2023·广东潮州·统考模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设f (x )={10x +1,x >11−5x,0<x ≤1，则f (a )=（）A ．−5B ．7C ．13D ．26【变式7-1】（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i （i =1，2，…，16）匹马的日行路程是第i +1匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取1.0517=2.292）（）A ．7750里B ．7752里C ．7754里D ．7756里【变式7-2】（2023·上海金山·统考一模）近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a万元，再将剩余资金继续投入直播平合.(1)若a=100，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）【变式7-3】（2023·湖南郴州·统考三模）“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则S=.A(1+r)n其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为A=S(1+r)n现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案方案一：一次性付全款25万元；方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率为2.5%，试讨论两种方案哪一种更好？(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率2.5%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）参考数据：(1+2.5%)10≈1.28【题型8 数列不等式问题】【例8】（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列{a n }中，a 1=5，且2a n+1=a n +2，S n 为其前n 项的和． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求满足不等式|S n −2n −6|<12023的最小正整数n 的值；(3)设b m =(m −3)2+λ2，C n =nλ(43)n−1(a n −23)，其中λ>0，若对任意m ，n ∈N ∗，总有b m −c n >73成立，求λ的取值范围．【变式8-1】（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）数列{a n }中，a 1=49，对任意正整数n 都有(3n +9)⋅(n +1)2a n+1=(n +2)3a n . (1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和为S n ，证明： ①a n <(13)n⋅(n +1)；②S n <54−2n+54⋅3n.【变式8-2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S 4=10，数列{b n }满足：b 1=3，b n+1=2b n −1(n ∈N ∗)． (1)证明：{b n −1}是等比数列； (2)证明：S 2n+1⋅b n >2S n ⋅b n+1；(3)设数列{c n }满足：c n ={a n+1a n 2a n+22,n 为奇数a 2nb n,n 为偶数．证明：∑c k 2n k=1<94．【变式8-3】（2023·广西南宁·校考模拟预测）函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (0)=0，f (x )=f (−1−x )，且与直线y =−2x −2相切. (1)求实数a ，b ，c 的值；(2)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且点(a n ,4S n )在函数f (x )的图象上，若不等式S n +8>(−1)n ⋅λa n 对于任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【题型9 以数列为载体的新定义或情境题】【例9】（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为N (N ≥3)的数列A N :a 1,a 2,⋯,a N 满足：a 1=1,a i ∈N *(i =2,3,⋯,N )，且存在M ∈{2,3,⋯,N −1}，使得a n+1−a n ∈{{1,2},1≤n ≤M −1{−1,−2},M ≤n ≤N −1，则称数列A N 具有性质P .(1)①若N =3，写出所有具有性质P 的数列A 3； ②若N =4,a 4=3，写出一个具有性质P 的数列A 4；(2)若N=2024，数列A2024具有性质P，求A2024的最大项的最小值；(3)已知数列A N:a1,a2,⋯,a N,B N:b1,b2,⋯,b N均具有性质P，且对任意i,j∈{1,2,⋯,N}，当i≠j时，都有a i≠a j,b i≠b j．记集合T1={a1,a2,⋯,a N}，T2={b1,b2,⋯,b N}，求T1∩T2中元素个数的最小值.【变式9-1】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知有限数列{a n}，从数列{a n}中选取第i1项、第i2项、⋯、第i m项（i1<i2<⋯<i m），顺次排列构成数列{b k}，其中b k=a ik，1≤k≤m，则称新数列{b k}为{a n}的长度为m的子列．规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的子列，若数列{a n}的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{a n}为完全数列．设数列{a n}满足a n=n，1≤n≤25,n∈N∗．(1)判断下面数列{a n}的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．(2)数列{a n}的子列{b k}长度为m，且{b k}为完全数列，证明：m的最大值为6；(3)数列{a n}的子列{b k}长度m=5，且{b k}为完全数列，求1b1+1b2+1b3+1b4+1b5的最大值．【变式9-2】（2023·北京朝阳·统考一模）已知有穷数列A:a1,a2,⋯,a N(N∈N∗,N≥3)满足a i∈{−1,0,1}(i= 1,2,⋯,N)．给定正整数m，若存在正整数s，t(s≠t)，使得对任意的k∈{0,1,2,⋯,m−1}，都有a s+k=a t+k，则称数列A是m−连续等项数列．(1)判断数列A:−1,1,0,1,0,1,−1是否为3−连续等项数列？是否为4−连续等项数列？说明理由； (2)若项数为N 的任意数列A 都是2−连续等项数列，求N 的最小值；(3)若数列A:a 1,a 2,⋯,a N 不是4−连续等项数列，而数列A 1:a 1,a 2,⋯,a N ,−1，数列A 2:a 1,a 2,⋯,a N ,0与数列A 3:a 1,a 2,⋯,a N ,1都是4−连续等项数列，且a 3=0，求a N 的值．【变式9-3】（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）若一个数列的奇数项为公差为正的等差数列，偶数项为公比为正的等比数列，且公差公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表示为a n ={a 1+n−12d,n =2k −1a 2qn−22,n =2k，k ∈N ∗，a 2=q ，若数列{a n }(n ∈N ∗)为“摇摆数列”且a 1=1，a 1+a 2=a 3，a 2a 3=20 (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n =na n ，求数列{b n }的前项和T 2n ．（注：∑i 2ni=1=n(n+1)(2n+1)6）1．（2023·北京·统考高考真题）已知数列{a n}满足a n+1=14(a n−6)3+6(n=1,2,3,⋯)，则（）A．当a1=3时，{a n}为递减数列，且存在常数M≤0，使得a n>M恒成立B．当a1=5时，{a n}为递增数列，且存在常数M≤6，使得a n<M恒成立C．当a1=7时，{a n}为递减数列，且存在常数M>6，使得a n>M恒成立D．当a1=9时，{a n}为递增数列，且存在常数M>0，使得a n<M恒成立2．（2023·全国·统考高考真题）记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{S nn}为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列{a n}的各项均为正数，前n项和S n，若a1=1，S5=5S3−4，则S4=（）A．158B．658C．15D．404．（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a5=12,a9=192，则a7=；数列{a n}所有项的和为．5．（2022·北京·统考高考真题）已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和S n满足a n⋅S n=9(n=1,2,⋯)．给出下列四个结论：①{a n}的第2项小于3；②{a n}为等比数列；的项．③{a n}为递减数列；④{a n}中存在小于1100其中所有正确结论的序号是．6．（2023·北京·统考高考真题）已知数列{a n},{b n}的项数均为m(m>2)，且a n,b n∈{1,2,⋯,m},{a n},{b n}的前n项和分别为A n,B n，并规定A0=B0=0．对于k∈{0,1,2,⋯,m}，定义r k=max{i∣B i≤A k,i∈{0,1,2,⋯,m}}，其中，maxM表示数集M中最大的数.(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；(2)若a1≥b1，且2r j≤r j+1+r j−1,j=1,2,⋯,m−1,，求r n；(3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2,⋯,m}，满足p>q,s>t,使得A p+B t=A q+B s．7．（2023·全国·统考高考真题）设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2=1,2S n=na n．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n+1}的前n项和T n．2n8．（2023·天津·统考高考真题）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5=16,a 5−a 3=4．(1)求{a n }的通项公式和∑a i 2n−1i=2n−1(n ∈N ∗)．(2)设{b n }是等比数列，且对任意的k ∈N *，当2k−1≤n ≤2k −1时，则b k <a n <b k+1，（Ⅰ）当k ≥2时，求证：2k −1<b k <2k +1；（Ⅱ）求{b n }的通项公式及前n 项和．9．（2023·全国·统考高考真题）已知{a n }为等差数列，b n ={a n −6,n 为奇数2a n ,n 为偶数，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4=32，T 3=16． (1)求{a n }的通项公式； (2)证明：当n >5时，T n >S n ．10．（2022·北京·统考高考真题）已知Q:a 1,a 2,⋯,a k 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的n ∈{1,2,⋯,m}，在Q 中存在a i ,a i+1,a i+2,⋯,a i+j (j ≥0)，使得a i +a i+1+a i+2+⋯+a i+j =n ，则称Q 为m −数学是打开科学大门的钥匙-培根连续可表数列．(1)判断Q:2,1,4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由； (2)若Q:a 1,a 2,⋯,a k 为8−连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若Q:a 1,a 2,⋯,a k 为20−连续可表数列，且a 1+a 2+⋯+a k <20，求证：k ≥7．11．（2022·全国·统考高考真题）记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n+n =2a n +1．(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4,a 7,a 9成等比数列，求S n 的最小值．12．（2022·天津·统考高考真题）设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1=b 1=a 2−b 2=a 3−b 3=1． (1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和为S n ，求证：(S n+1+a n+1)b n =S n+1b n+1−S n b n ； (3)求∑[a k+1−(−1)k a k ]b k 2nk=1．数列【题型1 等差、等比数列的基本量的求解】 (3)【题型2 等差、等比数列的判定与证明】 (5)【题型3 数列通项公式的求解】 (8)【题型4 等差、等比数列的综合问题】 (12)【题型5 数列性质的综合问题】 (15)【题型6 数列求和】 (17)【题型7 数列问题的实际应用】 (20)【题型8 数列不等式问题】 (23)【题型9 以数列为载体的新定义或情境题】 (28)数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，小题重点考查等差数列、等比数列的基础知识、性质以及数列的递推关系，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；解答题的难度中等或稍难，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合，与不等式结合时“放缩”思想及方法尤为重要，需要灵活求解.(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n-a n-1为同一常数.即作差法，将关于a n-1的a n代入a n-a n-1，在化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n-1=a n+a n-2（n≥3，n∈N*）都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n=pn+q（p,q为常数）是等差数列.(2)前n项和公式：S n=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.3.证明数列是等比数列的主要方法：(1)定义法：（常数）为等比数列；(2)为等比数列；(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可；在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.【知识点2 数列通项公式的求解策略】1.含n S ，n a 的式子求通项的方法：在处理含n S ，n a 的式子时，一般情况下利用公式n a =1*1,1,2,nn S n S S n n − =⎧⎨−∈⎩N ≥且，消去n S ，进而求出{}n a 的通项公式；但是有些题目虽然要求{}n a 的通项公式，但是并不便于运用n S ，这时可以考虑先消去n a ，得到关于n S 的递推公式，求出n S 后再求解n a ．2.形如1()n n a a f n +−=的递推关系式求通项的方法：遇到形如1()n n a a f n +−=的递推关系式，可利用累加法求{}n a 的通项公式，遇到形如1()n na f n a +=的递推关系式，可利用累乘法求{}n a 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．3.构造数列求通项的方法：遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：(1)形如1n n a pa q +=+（1p ≠，0q ≠），可变形为111n n qq a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪−−⎝⎭，则1n q a p ⎧⎫+⎨⎬−⎩⎭是以11q a p +−为首项，以p 为公比的等比数列，由此可以求出n a ；(2)形如11n n n a pa q ++=+（1p ≠，0q ≠），此类问题可两边同时除以1n q +，得111n nn na a p q q q ++=⋅+，设n nn a b q =，从而变成1n b +=1n pb q+，从而将问题转化为第(1)个问题； (3)形如11n n n n qa pa a a ++−=，可以考虑两边同时除以1n n a a +，转化为11n n q p a a +−=的形式，设1n nb a =，则有11n n qb pb +−=，从而将问题转化为第(1)个问题．【知识点3 数列的单调性与最值问题的解题策略】1.判断数列单调性的方法 (1)比较法（作差或作商）； (2)函数化（要注意扩展定义域）．2.求数列最值的方法 (1)利用数列的单调性；(2)设最大值项为n a ，解方程组11n n nn a a a a −+⎧⎨⎩≥≥，再与首项比较大小（以最大值项为例，最小值项同理）．【知识点4 数列求和的几种方法】1.公式法：公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础；其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和，然后利用等差或等比数列的求和公式进行求解.注意利用等比数列求和公式时，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．2.裂项相消法求和：用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，1k=−，1111()n n k k n n k ⎛⎫=− ⎪++⎝⎭，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．3.错位相减法求和：用错位相减法求和时的注意点：(1)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“n n S qS −”的表达式；(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论． 4.分组（并项）法求和：分组（并项）法求和的常见类型：(1)若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组（并项）法求{}n a 的前n 项和； (2)若通项公式为,, n n nb n ac n ⎧=⎨⎩奇数偶数，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组（并项）法求和.【题型1 等差、等比数列的基本量的求解】【例1】（2023·江西新余·统考二模）记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 2=S 3，a 1a 3=S 4，则数列{a n }的公差为（）A ．−2B ．−1C ．2D ．4【解题思路】由等差数列和等差数列的前n 项和公式代入求解即可得出答案.【解答过程】由a 2=S 3可得：a 1+d =3a 1+3d ①，由a 1a 3=S 4可得：a 1(a 1+2d )=4a 1+4×32d ②，由①②可得：d =−2或d =0(舍去). 故选：A.【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=1，S 4=8．若S n −2a n =6，则n =（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解题思路】设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组，解方程求出a 1,d ，即可求出a n ,S n ，代入S n −2a n =6即可得出答案.【解答过程】设等差数列{a n }的公差为d ．由条件可知{a 1+d =1,4a 1+6d =8, 解得{a 1=−1,d =2,所以a n =−1+2(n −1)=2n −3，S n =n (−1+2n−3)2=n 2−2n ．由S n −2a n =6，得n 2−2n −2(2n −3)=6，即n 2−6n =0，解得n =6（n =0舍去）．故选：B ．【变式1-2】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 3=30,S 4=120，则其公比q =（）A ．1B ．2C ．3D ．1或3【解题思路】由a 2+a 4=90结合a 2+a4a 1+a 3=q (a 1+a 3)a 1+a 3求解即可.【解答过程】因为a 1+a 3=30,S 4=120，所以a 2+a 4=90，则a 2+a 4a 1+a 3=q (a 1+a 3)a 1+a 3=q =3.故选：C.【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列{a n }满足2a 2a 5=a 32，若log 12a 1+log 12a 2+⋯+log 12a 10=55，则a 1=（）A ．12B ．32C ．2D ．52【解题思路】设出等比数列的公比q ，利用2a 2a 5=a 32求出q =12，再由log 12a 1+log 12a 2+⋯+log 12a 10=55即可求出a1.【解答过程】设等比数列{a n}的公比为q．由2a2a5=a32，得2a1q⋅a1q4=(a1q2)2，解得q=12，又log12a1+log12a2+⋯+log12a10=log12(a1a2⋯a10)=log12[a110⋅(12)1+2+⋯+9]=log12a110+log12(12)45=10log12a1+45=55得a1=12．故选：A.【题型2 等差、等比数列的判定与证明】【例2】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且对于任意n≥2，n∈N∗，S n+1+S n−1=2(S n+1)恒成立，则（）A．{a n}是等差数列B．{a n}是等比数列C．S9=81D．S10=91【解题思路】推导出a n+1−a n=2(n≥2)，可判断AB选项；求出数列{a n}的通项公式，利用等差数列的求和公式可判断CD选项.【解答过程】因为对于任意n≥2，n∈N∗，满足S n+1+S n−1=2(S n+1)，所以S n+1−S n=S n−S n−1+2，即a n+1−a n=2，且a2−a1=1，所以，数列{a n}不是等差数列，也不是等比数列，A错B错；当n≥2时，a n=a2+2(n−2)=2+2(n−2)=2n−2，所以，a n={1,n=12n−2,n≥2，所以，S9=1+(2+4+6+⋯+16)=1+8(2+16)2=73，C错；S10=S9+a10=73+18=91，D对.故选：D.【变式2-1】（2023·江苏淮安·统考模拟预测）设数列{a n}的前n项和为S n.记命题p：“数列{a n}为等比数列”，命题q：“S n，S2n−S n，S3n−S2n成等比数列”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义、等比数列的定义计算可得.【解答过程】若数列{a n}为等比数列，设公比为q，则当q=1时S n=na1，所以S2n−S n=2na1−na1=na1，S3n−S2n=3na1−2na1=na1，显然a1≠0，所以S n，S2n−S n，S3n−S2n成等比数列，当q≠1时S n=a1(1−q n)1−q，所以S2n−S n=a1(1−q2n)1−q −a1(1−q n)1−q=a1q n(1−q n)1−q，S3n−S2n=a1(1−q3n)1−q−a1(1−q2n)1−q=a1q2n(1−q n)1−q，所以(S2n−S n)2=S n⋅(S3n−S2n)，但是当q=−1且当n为正偶数时，此时S n=0，S2n−S n=0，S3n−S2n=0则S n，S2n−S n，S3n−S2n不成等比数列，故充分性不成立，若S n，S2n−S n，S3n−S2n成等比数列，当n=1时S1=a1，S2−S1=a2，S3−S2=a3成等比数列，当n=2时S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，不妨令a1=m(m≠0)，a2=2m，a3=4m，a4=2m，a5=5m，a6=7m，显然满足S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，但是a1，a2，a3，a4，a5，a6不成等比数列，故必要性不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件.故选：D.【变式2-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列{a n }满足a 1=23，且a n+1=2a na n +1.(1)求证：数列{1a n−1}是等比数列；(2)若1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n<100，求满足条件的最大整数n .【解题思路】（1）由已知得1a n+1−1=12(1an−1)再由等比数列的定义可得答案；（2）由（1）求出1a n=(12)n+1，再由等比数列的求和公式可得1a 1+1a 2+⋯+1a n=n +1−(12)n，令b n =n +1−(12)n，根据{b n }的单调性可得答案.【解答过程】（1）1a n+1=a n+12a n=12+12a n，1a n+1−1=12(1an−1)，a 1=23，1a 1−1=12，{1a n−1}是以12为首项，12为公比的等比数列；（2）由（1）：1a n−1=(12)n，1a n=(12)n+1，1a 1+1a 2+⋯+1a n=n +12(1−(12)n )1−12=n +1−(12)n，令b n =n +1−(12)n，因为y =x +1,y =−(12)x在(1,+∞)单调递增，所以f (x )=x +1−(12)x在(1,+∞)单调递增，∴ {b n }单调递增，b n =n +1−(12)n<100，可得n ≤99，所以满足条件的最大整数为99.【变式2-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ⬚+2+3S n =4S n ⬚+1−2a n ，a 1=1，a 2=3． (1)证明：数列{a n ⬚+1−2a n }是等差数列；(2)记(a n +1)b n =n+2n 2+n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ．【解题思路】（1）由S n ⬚+2+3S n =4S n ⬚+1−2a n 得出a n+2=3a n+1−2a n ，再计算(a n+2−2a n+1)−(a n+1−2a n )，将a n+2=3a n+1−2a n 代入，即可证明；（2）由（1）得a n+1=2a n +1，得出{a n +1}为公比为1的等比数列，根据等比数列的通项公式得出a n +1=。

2024年高三培优讲义22--- 数列求通项的常见方法

专题4-1 数列求通项的常见方法（1）n S 与n a 同时存在角度1：已知n S 与n a 的关系；或n S 与n 的关系用1n n S S −−，得到n a 例：已知()241n n S a =+，求n a角度2：已知n a 与1n n S S −的关系；或n a 与1n n S S −+的关系1n n S S −−替换题中的n a 例：已知12(2)n n n a S S n −=≥；已知11n n n S a S ++=−角度3：等式中左侧含有：1ni i i a b =∑作差法（类似1n n S S −−）例子：已知123232nn a a a na +++⋯+=求n a前n 项积n T角度1：已知n T 和n 的关系角度1：用1nn T T −，得到na 例子：{}nb 的前n 项之积()(1)*22N n n n T n +=∈.角度2：已知n T 和n a 的关系角度1：用1nn T T −替换题目中na 例子：已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且121n na T +=.因式分解：如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解例：设正项{}n a 的前n 项和为n S（1）若满足263n n n a S a =−,*n N ∈,数列{}n a 的通项公式为__________（2）若113a =，2111(25)3n n n n a a a a ++=−，{}n a 的通项公式为_____________ （3）若12a =，2112(4)n n n n a a a a ++=−，{}n a 的通项公式为____________2021·全国高考乙卷（理）——前n 项积，消n S 求n a 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．题型一递推一项再作差，即消n S 求n a ：用1n n S S −−，得到n a1．已知数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，有()212333323314n n n n a a a n ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅−+，求数列{}n a 的通项公式;重点题型·归类精讲2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅．求数列{}n a 的通项公式.3．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =4．（2023·广东惠州二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+−，求数列{}n a 的通项公式.5．（2023·广东佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足226n n S a +=−， (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记m b 为数列{}n S 在区间()2,m m a a +中最大的项，求数列{}n b 的前n 项和n T ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅,求数列{}n a 的通项公式.7．在数列{}n a 中，23122341n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=++，求{}n a 的通项公式.2024届·湖南师大学附中月考(一)8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()12N*n n a S n +=∈，则有（） A ．{}n a 为等差数列 B ．{}n a 为等比数列 C ．{}n S 为等差数列D ．{}n S 为等比数列2024届·重庆实验外国语学校月考（10月）9．（多选）若数列{}n a 满足12111,12nn a a aa a n+==+++（n 为正整数），n S 为数列{}n a 的前n 项和则（） A ．21a = B ．20241012a =C ．()14n n n S +=D ．121113nS S S ++⋅⋅⋅+<题型二消n a 求n S ：将题意中的n a 用1n n S S −−替换涉及导数10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=S n ,n ∈N *,则S n = .2023届·广东省广州市高三冲刺训练（二）11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知*2,0,12n nn n n a a a S ∀∈>+=N ，求n a12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(1)求n S ；2)求12233411111n n S S S S S S S S ++++⋯+++++13．在数列{}n a 中,2121,21nn n S a a S ==−,则{}n a 的通项公式为 .14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1n n S a a +=≥+，且112()n n n a S S ++=+，求通项公式n a ．15．(多选)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，110n n n a S S +++=，则下列说法正确的有( ) A ．数列{}n a 的前n 项和为1n S n= B ．数列1{}nS 为递增数列C ．数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =−−D ．数列{}n a 的最大项为1a2023·江苏盐城中学三模16．已知正项数列{n a }中，11a =，n S 是其前n 项和，且满足)211n n S S S +=，求数列{n a }的通项公式题型三因式分解（正项数列）浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟17．正项递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*441n n S a n n =+−∈N ，求{}n a 的通项公式；2023届广东省一模18．已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =−∈N ，求数列{}n a 的通项公式.湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第二次月考（2015·高考真题）19．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22nn a a +=43n S +，求{n a }的通项公式.2023届茂名一模20．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，0n a >，224n n n a a S +=,求数列{}n a 的通项公式.21．已知正项数列{}n a 和{}n b ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242n n n S a a =+，()32log 3n n a b =，n *∈N ，求数列{}n a 与{}n b 的通项公式.22．已知各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S =− ，则2163n n S a ++的最小值为（）A ．4B ．3C ．23−2D ．9223．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，20,24n n n n a a a S >+=，求数列{}n a 的通项公式题型四前n 项之积T n对于数列{}n a ，前n 项积记为n T ； ① 1231n n n T a a a a a −=； ②11231(2)n n T a a a a n −−=≥；①÷②：1(2)nn n T a n T −=≥ 2024届·江苏省连云港，南通市调研(一)24．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且1n n a T +=，求{}n a 的通项公式25．已知数列{}n a 前n 项积为n T ，且*1()n n a T n +=∈N ,求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭为等差数列；26．已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，在数列{}n b 中，111b a ==，()1121n n na n a n −−−=−，12313n S n n b b b b b +=，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式27．设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*22n n T a n =−∈N .求证数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；28．记n b 为数列{}n a 的前n 项积，已知13a =，121n na b +=，求数列{}n b 的通项公式专题4-1 数列求通项的常见方法（1）n S 与n a 同时存在角度1：已知n S 与n a 的关系；或n S 与n 的关系用1n n S S −−，得到n a 例：已知()241n n S a =+，求n a角度2：已知n a 与1n n S S −的关系；或n a 与1n n S S −+的关系 1n n S S −−替换题中的n a 例：已知12(2)n n n a S S n −=≥；已知11n n n S a S ++=−角度3：等式中左侧含有：1ni i i a b =∑作差法（类似1n n S S −−）例子：已知123232nn a a a na +++⋯+=求n a前n 项积n T角度1：已知n T 和n 的关系角度1：用1nn T T −，得到na 例子：{}nb 的前n 项之积()(1)*22N n n n T n +=∈.角度2：已知n T 和n a 的关系角度1：用1nn T T −替换题目中na 例子：已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且121n na T +=. 因式分解：如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解例：设正项{}n a 的前n 项和为n S（1）若满足263n n n a S a =−,*n N ∈,数列{}n a 的通项公式为__________（2）若113a =，2111(25)3n n n n a a a a ++=−，{}n a 的通项公式为_____________（3）若12a =，2112(4)n n n n a a a a ++=−，{}n a 的通项公式为____________ 【答案】（1）33(1)3n a n n =+−=；（2）n1()3n a =；（3）2n n a =2021·全国高考乙卷（理）——前n 项积，消n S 求a 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）(),121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪−≥+⎪⎩. 【分析】（1）由已知212n nS b +=得221n n n b S b =−,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=−−−,消积得到项的递推关系111221n n n nb bb b +++=−,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪−≥+⎪⎩. 【详解】（1）[方法一]：由已知212n n S b +=得221n n n b S b =−,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=−−−, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=−−−，所以111221n n n nb bb b +++=−,由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=−，即112n n b b +−=,其中*n ∈N 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】：由已知条件知1231−⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ①于是11231(2)−−=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ②由①②得1nn n b S b −=． ③又212n nS b +=， ④ 由③④得112n n b b −−=．令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列． [方法三]：由212n n S b +=，得22=−nn nSb S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠．又因为111−−=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122−==−n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212−−−=−==≥−−−n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ．故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+−⨯=+,22211n n n b nS b n+==−+, 当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n −++=−=−=−++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪−≥+⎪⎩.题型一递推一项再作差，即消n S 求n a ：用1n n S S −−，得到n a1．已知数列{}n a 满足：对任意*n ∈N ，有()212333323314n n n n a a a n ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅−+，求数列{}n a 的通项公式;【答案】(1)n a n = 【分析】当1n =时，易知11a =，当2n ≥时，有递推关系可知211112133332(1)3314n n n n a a a n −−−−⎡⎤⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=−⋅−+⎣⎦，将其与与原递推关系作差，即可得到结果，再检验1n =是否满足，进而得到结果；【详解】（1）解：当1n =时，133(2331)34a ⋅=⋅−+=，故11a =，当2n ≥时，211112133332(1)3314n n n n a a a n −−−−⎡⎤⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=−⋅−+⎣⎦，则 ()1133323312(1)331344n n n n n nn a n n n −−⎡⎤⋅=⋅−+−−⋅−+=⋅⎣⎦，故n a n =，当1n =时，上式亦满足；综上， n a n =；2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅．求数列{}n a 的通项公式.【答案】12n n a +=【详解】（1）由题2313222222n n n a a a a n ++++=⋅，当1n =时，122a =，∴11a =；当2n ≥时，由2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅，所以231113122222(1)2n n n a a a a n −−−+++⋅⋅⋅+=−⋅，两式相减，重点题型·归类精讲可得1122(1)2(1)2n n n n n a n n n −−=⋅−−=+，∴12n n a +=．当1n =时，1112n a +==满足，∴12n n a +=．3．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =【答案】2*1,123,2,n n n n N −=⎧⎨⨯∈⎩4．（2023·广东惠州二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+−，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】当1n =时，111225S a a ==+−，解得13a =，当2n ≥时，()112215n n S a n −−=+−−．可得()112252215n n n n S S a n a n −−⎡⎤−=+−−+−−⎣⎦，整理得：122n n a a −=−，从而()()12222n n a a n −−=−≥，又121a −=，所以数列{}2n a −是首项为1，公比为2的等比数列；所以()1112222n n n a a −−−=−⋅=，所以122n n a −=+，经检验，13a =满足122n n a −=+，综上，数列{}n a 的通项公式为122n n a −=+；5．（2023·广东佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足226n n S a +=−， (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记m b 为数列{}n S 在区间()2,m m a a +中最大的项，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，则0q >，又226n n S a +=−，当1n =时，1326S a =−，当2n =时，2426S a =−，两式相减可得，2432a a a =−，所以22q q =−，所以2q或1q =−(舍去)，所以1312646S a a =−=−，即13a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为132n n a −=⨯；（2）由132n n a −=⨯，226n n S a +=−，可得()()1211632632322n n n n S a ++=−=⨯−=⨯−，所以113n n n S a a ++=−<，又0n a >，所以n n S a ≥，当且仅当1n =时等号成立，所以122m m m m m a S S a S +++≤<<<，所以11323m m m b S ++==⨯−，所以()2341322223n n T n +++=+−+22233322212312n n n n ++−⨯⨯−==−−−.即222313n n T n +−−=⨯.6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅,求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)12n n a +=【详解】由题2313222222n n n a a a a n ++++=⋅，当1n =时，122a =，∴11a =；当2n ≥时，由2312322222n nn a a a a n +++⋅⋅⋅+=⋅，所以231113122222(1)2n n n a a a a n −−−+++⋅⋅⋅+=−⋅，两式相减，可得1122(1)2(1)2n n n n n a n n n −−=⋅−−=+，∴12n n a +=．当1n =时，1112n a +==满足，∴12n n a +=7．在数列{}n a 中，23122341n a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=++，求{}n a 的通项公式. 【答案】()n 【详解】解：因为23122341na a a a n n n ++++=++，① 则当1n =时，122a =，即14a =，当2n ≥时，21231234n a a a a n n n−++++=−，② ①−②得21na n n =+，所以()21n a n n =+， 14a =也满足()21n a n n =+，故对任意的N n *∈，()21n a n n =+.2024届·湖南师大学附中月考(一)8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()12N*n n a S n +=∈，则有（） A ．{}n a 为等差数列 B ．{}n a 为等比数列 C ．{}n S 为等差数列 D ．{}n S 为等比数列【答案】D【分析】根据1n n n S S a −−=得到21,123,2n n n a n −=⎧=⎨⋅≥⎩，即可判断AB 选项；根据112n n S a +=，11a =得到13n n S −=即可判断CD 选项.【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12N n n a S n +=∈，当2n ≥时，12n n a S −=，两式相减，可得()1122n n n n n a a S S a +−−=−=，可得13n n a a +=，即()132n n a n a +=≥，又由11a =，当1n =时，2122a S ==，所以212aa =，所以数列{}n a 的通项公式为21,123,2n n n a n −=⎧=⎨⋅≥⎩，故数列{}n a 既不是等差数列也不是等比数列，所以AB 错.当2n ≥时，11132n n n S a −+==，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列{}n a 的前n 项和为13n n S −=；又由13n nS S +=，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列，故D 正确，C 错.届·重庆实验外国语学校月考（9．（多选）若数列{}n a 满足12111,12nn a a aa a n+==+++（n 为正整数），n S 为数列{}n a 的前n 项和则（） A ．21a = B ．20241012a =C ．()14n n n S +=D ．121113nS S S ++⋅⋅⋅+< 【分析】直接代入递推公式求得21a =，可知A 正确；根据递推式求1n n a a +−，构造数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，求得数列{}n a 的通项，得20241012a =，B 正确；代入等差数列求和公式可得()11+42n n n S +=，C 错误；先放缩，再利用裂项相消求和可证明D 正确.【详解】1211a a ==，故A 正确；由12112n n a a a a n +=++⋅⋅⋅+知，()1122121n n a a aa n n −=++⋅⋅⋅+≥−，两式相减得()12n n n aa a n n+−=≥，故11n n a a n n +=+，故当2n ≥时，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，故2122n a a n ==，故1,1,,2,2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩，故20241012a =，故B 正确；()12311211222222242n n n n n S +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+ ⎪⎝⎭，故C 错误；()()114114111142n n n S n n n n ⎛⎫=<=− ⎪+++⎝⎭+，故1211111111111141432334121n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<+−+−+⋅⋅⋅+−=+−< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故D 正确题型二消n a 求n S ：将题意中的n a 用1n n S S −−替换涉及导数10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=S n ,n ∈N *,则S n = . 【答案】2n -1解析由a n +1=S n ,得S n +1-S n =S n , 即S n +1=2S n ,n ∈N *,因此数列{S n }是以S 1=1为首项,2为公比的等比数列, 所以S n =2n -12023届·广东省广州市高三冲刺训练（二）11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知*2,0,12n n n n n a a a S ∀∈>+=N ，求n a 【详解】由题意知，1111，又10a >，得11a =．当2n ≥时，由212n n n a a S +=，得()()21112n n n n n S S S S S −−−+=−，得2211n n S S −−=．则数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列．所以()211n S n n =+−=．又0n S >，则=n S n当2n ≥时，11−=−=−n n n a S S n n 又11a =满足上式，所以1=−n a n n12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(1)求n S (2)求12233411111n n S S S S S S S S ++++⋯+++++ 【答案】=n S n【分析】先令1n =求出首项，再由数列的递推公式，当2n ≥时，1n n n a S S −=−代入并结合等差数列的定义和通项公式求出n S .【详解】根据题意可得0n a >，当1n =时，1111112S a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得11a =，由1n n n a S S −=−，2n ≥代入得11112n n n n n S S S S S −−⎛⎫=−+ ⎪−⎝⎭，整理后得111n n n n S S S S −−+=−，即2211n n S S −−=，根据等差数列的定义可知，数列{}2n S是首项为1，公差为1的等差数列，则21(1)1n S n n =+−⋅=，∴=n S n13．在数列{}n a 中,2121,21nn n S a a S ==−,则{}n a 的通项公式为.【答案】11,221231,1n n a n n n ⎧−≥⎪=−−⎨⎪=⎩. 【解析】当,*2n n ≥∈N 时,1n n n a S S −=−,2221112222, 21n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S −−−∴−=⇒−−+=−整理可得:111112,2n n n n n n S S S S S S −−−−=∴−=, 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为公差为2的等差数列,111(1)221n n n S S ∴=+−−=−,11,21,.2123211,1n n n S a n n n n ⎧−≥⎪∴==−−⎨−⎪=⎩14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1n n S a a +=≥+，且112()n n n a S S ++=+，求通项公式n a ．【答案】88,2n a n n ⎧=⎨−≥⎩【详解】111112()()()n n n n n n n n n a S S S S S S S S +++++==−= 1111,1n n S a a a +==−≥10n n S S +>12n n S S +=，即{}n S 是以2为公差，1为首项的等差数列 21n S n =−，即2(21)n S n ∴=−当2n ≥时，221(21)(23)88n n n a S S n n n −=−=−−−=−显然，1n =时，上式不成立，所以1,188,2n n a n n =⎧=⎨−≥⎩.15．(多选)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，110n n n a S S +++=，则下列说法正确的有( ) A ．数列{}n a 的前n 项和为1n S n= B ．数列1{}nS 为递增数列C ．数列{}n a 的通项公式为1(1)n a n n =−−D ．数列{}n a 的最大项为1a【解答】解：由110n n n a S S +++=，得11n n n n S S S S ++−=−， ∴1111n n S S +−=−，即1111n nS S +−=，又11111S a ==，∴数列1{}n S 为以1为首项，以1为公差的等差数列，则11(1)1n n n S =+−⨯=，可得1n S n=，故AB 正确；当2n 时，111111(1)(1)n n n n n a S S n n n n n n −−−=−=−==−−−−， ∴1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨−⎪−⎩，∴数列{}n a 的最大项为1a ，故C 错误，D 正确．故选：ABD ．2023·江苏盐城中学三模16．已知正项数列{n a }中，11a =，n S 是其前n 项和，且满足)211n n S S S +=，求数列{n a }的通项公式【答案】21(N*)n a n n =−∈【详解】（1）正项数列{n a }，11a =，满足)211n n S S S +=11n n S S +=，所以数列n S 是以1为首项1为公差的等差数列，1(1)1n S n n =+−⨯=，所以2n S n =，当2n ≥时，221(1)21(N*)n n n a S S n n n n −=−=−−=−∈，当1n =时也成立，所以21(N*)n a n n =−∈题型三因式分解（正项数列）浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟17．正项递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*441n n S a n n =+−∈N ，求{}n a 的通项公式；【答案】(1)21n a n =−或21n a n =+【详解】（1）当1n =时，21143a a =+，解得11a =或13a =.当11a =时，()222417a a +=+，即222430a a −+=，解得21a =或23a =，∴23a =. 当13a =时，()222437a a +=+，即222450a a −−=，解得25a =. 由2441n n S a n =+−，当2n ≥时，2114(1)1n n S a n −−=+−−，两式相减得22144n n n a a a −=−+，即()2221442n n n n a a a a −=−+=−，当2n ≥时，22a >，所以12n n a a −=−，即12(2)n n a a n −=+≥， ∴21n a n =−或21n a n =+.2023届广东省一模18．已知各项都是正数的数列{}n a ，前n 项和n S 满足()2*2n n n a S a n =−∈N ，求数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）当1n =时，211112a S a a =−=，所以11a =或10a =（舍去），当2n ≥时，有221112,2,n n n n n n a S a a S a −−−⎧=−⎨=−⎩ 两式相减得221112n n n n n n n a a a a a a a −−−−=−+=+，整理得()()111n n n n n n a a a a a a −−−+−=+，因为{}n a 的各项都是正数，所以11n n a a −−=，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以()111n a n n =+⋅−=湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第二次月考（2015·高考真题）19．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22nn a a +=43n S +，求{n a }的通项公式. 【详解】解：（I ）由an 2+2an ＝4Sn +3，可知an +12+2an +1＝4Sn +1+3 两式相减得an +12﹣an 2+2（an +1﹣an ）＝4an +1，即2（an +1+an ）＝an +12﹣an 2＝（an +1+an ）（an +1﹣an ）， ∵an ＞0，∴an +1﹣an ＝2， ∵a 12+2a 1＝4a 1+3， ∴a 1＝﹣1（舍）或a 1＝3，则{an }是首项为3，公差d ＝2的等差数列， ∴{an }的通项公式an ＝3+2（n ﹣1）＝2n +12023届茂名一模20．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，0n a >，224n n n a a S +=,求数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）当1n =时,221111124,2a a S a a +=∴=，0n a >,则12a =,当2n ≥时，224n n n a a S +=，则211124n n n a a S −−−+=,两式相减得：()()22111224n n n n n n a a a a S S −−−+−+=−即()()221114222n n n n n n n a a a a a a a −−−−=−−=+即()()()1112n n n n n n a a a a a a −−−+−=+ ∵0n a >，∴12n n a a −−=,∴数列{}n a 是2为首项，公差为2的等差数列，∴()2212n a n n =+−=.21．已知正项数列{}n a 和{}n b ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242n nn S a a =+，()32log 3n n a b =，n *∈N ，求数列{}n a 与{}n b 的通项公式.【答案】(1)2n a n =，13n n b −=【详解】当1n =时，21111442S a a a ==+，解得：10a =或12a =，又0n a >，12a ∴=；当2n ≥且n *∈N 时，2211144422n n n n n n n a S S a a a a −−−=−=+−−，整理可得：()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−=+−=+，又0n a >，10n n a a −∴+>，12n n a a −∴−=，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，()()2212n a n n n *∴=+−=∈N .()32log 3n n a b =，()3log 3n b n ∴=，则33n n b =，()13n n b n −*∴=∈N .22．已知各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S =− ，则2163n n S a ++的最小值为（）A ．4B ．3C ．23−2D ．92【分析】由数列的递推式可得21(1)4n n S a =+，继而结合1n n n a S S =−﹣求出n a ，从而求得2n S n =，由此求出2163n n S a ++的表达式，利用基本不等式即可求得答案.【详解】各项为正的数列{}n a ,0n a > ,∵1n n a S =，∴21(1)4n n S a =+，∴2n ≥ 时， 221111(1)(1)44n n n n n a S S a a −=+−+=−﹣ ，化为：11(2)0n n n n a a a a +=−−﹣﹣)( ，∵1102n n n n a a a a +∴>−=﹣﹣，, 又1121a a = ，解得11a = ．∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2． ∴12(1)21n a n n =+−=− ,∴2212114n S n n =−+=（）,∴22216216832131n n S n n a n n +++===+−++9121n n ++−+ 921241n n ≥+⋅=+（） ,，当且仅当n =2时取等号, ∴2163n n S a ++的最小值为423．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，20,24n n n n a a a S >+=，求数列{}n a 的通项公式【答案】2n a n =题型四前n 项之积T n对于数列{}n a ，前n 项积记为n T ； ① 1231n n n T a a a a a −=； ②11231(2)n n T a a a a n −−=≥；①÷②：1(2)nn n T a n T −=≥ 2024届·江苏省连云港，南通市调研(一)24．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且1n n a T +=，求{}n a 的通项公式【答案】1n na n =+；【详解】（1）由数列{}n a 的前n 项积为n T ，得12-1n n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅，又1n n a T +=，所以，当2n ≥时，11nn n T T T −+=，整理得111)(1n n T T −+=，即1111n n T T −+=，所以，当2n ≥时，1111n n T T −−=为定值，因为1n n a T +=，令1n =，得111a T +=，112a =，故112T =，所以数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以11n n T =+，得11n T n =+. 所以，当2n ≥时，11111n n n T n n a T n n−+===+，显然112a =符合上式，所以1nn a n =+.25．已知数列{}n a 前n 项积为n T ，且*1()n n a T n +=∈N ,求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭为等差数列；【详解】因为1n n a T +=，所以112n n T a a =−∴=，所以111(2)n n T a n −−=−≥，两式相除，得11(2)1n n n a a n a −−=≥−，整理为112n n a a −=−，再整理得，1111(2)11n n n a a −−=≥−−．所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭为以2为首项，公差为1的等差数列26．已知数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，在数列{}n b 中，111b a ==，()1121n n na n a n −−−=−，12313n S n n b b b b b +=，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式【详解】（1）由已知得，当2n ≥时()()()[]1122111122n n n n n na na n a n a n a a a a −−−=−−+−−−+⋯+−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2212331n n n =−+−+++=.∴()2n a n n =≥当1n =时，11a =，也满足上式．所以()1n a n n =≥ 当2n ≥时，11231112333n n S S n n n nb b b b b b b b b −−++⋯===⋯，∴()133n n b n −=≥当1n =时，11b =，符合上式当2n =时，11233Sb b ⋅==，所以23b =，也符合上式，综上，()131n n b n −=≥ ∴n a n =，13n n b −=.27．设数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*22n n T a n =−∈N .求证数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；因为数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()*22n n T a n =−∈N ，∴当n =1时，11122T a a ==−，则123a =，1132T =. 当n ≥2时，1121222n n n n n T T T T T −−=−⇒=−，∴11112n n T T −−=，所以1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1132T =为首项，12为公差的等差数列28．记n b 为数列{}n a 的前n 项积，已知13a =，121n na b +=，求数列{}n b 的通项公式由题意可得1(2)n n n b a n b −=，因为121n na b +=，所以121(2)n n nb n b b −+=，即12(2)n n b b n −+=，所以12(2)n n b b n −−=. 又11121a b +=，13a =，所以13b =，故{}n b 是以3为首项，2为公差的等差数列，21n b n =+专题4-2 数列求通项的常见方法（2）一、累加法（叠加法）若数列{}n a 满足)()(*1N n n f a a n n ∈=−+，求数列{}n a 的通项时，利用累加法求通项公式。

春季19-高一数学培优版-数列阶段复习-教师版

教师姓名学生姓名年级高一上课时间学科数学课题名称数列阶段复习一．知识梳理：1.对等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式熟练掌握并能应用；2.对等差、等比数列的一些性质进行灵活运用；3.对递推公式的处理要求能观察出变形方向或证明问题二、例题讲解： 1. 公式计算例1．在数列{}n a 中，前n 项和n S 满足lg(1)n S n -= ，则通项n a =________ 答案：11119102n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩例2．若数列{}n a 满足12131...2n n n a a a a n -=⎧=⎨+++≥⎩ ，则通项公式n a =________答案：231322n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩数列阶段复习11n a a ++-2519,636a === 123n⎛⎫⎪⎝⎭{}n a 共2n+1{}n a :12a a =答案： 1006例20．设数列{}n a 的首项411≠=a a ，且⎪⎩⎪⎨⎧+=+为奇数；为偶数；n a n a a n n n ,41,211记4112-=-n n a b ， ,3,2,1=n ，求证：数列{}n b 是为等比数列。

答案：21414112121=--=-++k k kk a a b b ，1．对数列{}n a ：112311111,(2)231n n a a a a a a n n -==+++⋅⋅⋅+≥-.若2009n a =.则n=____. 答案：20092．若数列 {}n a 对任意*n N ∈ 都有0n a > 且33321212()n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ .则n a =______.答案：n3．已知{}n a 满足11,533n n a t s s -=-= ，若 {}n a 是等比数列，则t= 答案：354．已知 {}n a 公比为q ，且|q|>1, 113,,,1,954i a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭(1,2,3i =)，则{}lg ||n a 的前n 项和为n s = 答案：(1)lg 32n n - 5． {}n a 的通项公式n a = (1)(43)nn --，则100s =答案：4032 6．n a =2sin 2n π，则2016s = 答案：0。

等差数列基础知识-小学培优

等差数列基础知识
1、数列定义：
（1） 1，2，3，4，5，6，7，8，…(等差)
（2） 2，4，6，8，10，12，14，16，…(等差)
（3） 1，4，9，16，25，36，49，…(非等差)
若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项
以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8，，100
2、等差数列：
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

我们将这个差称为公差
例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

3、计算等差数列的相关公式：
（1）末项公式：第几项(末项)＝（项数－1）×公差＋首项
（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2
在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。

求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

1、求等差数列3，5，7，的第10项，第30项，第100项?
2、已知数列2、5、8、11、14 ……，47应该是其中的第几项？
3、在等差数列1、5、9、13、17 …… 401中，401是第几项？
4、1+ 2 + 3 + 4 + …… + 49 + 50 =
首项= 末项= 公差= 项数=
5、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝
首项= 末项= 公差= 项数=
6、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝
首项= 末项= 公差= 项数=。

数学【常规春季培优班】第5册 PD 第08讲数列和数表(下)教师版

PD 第08讲数列和数表（下）教学目标：1、通过数表问题处理求解，提升学员对于基础数表的填写能力；2、通过数表知识的运用，解决难度逐级递增的相关应用实际问题；3、在对数表的学习中，让学员体会到数学的规律性，进一步提高学员对数学学习的兴趣。

教学重点：通过数表问题处理求解，提升学员对于基础数表的填写能力。

教学难点：通过数表知识的运用，解决难度逐级递增的相关应用实际问题。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）数列问题的相关特点：1、从数列的具体结构分布出发，找出数列的相应规律；2、根据数列的相应规律对题中要求的数值进行对应计算；3、对于所求出的数列数值进行准确而迅速的检查和验证。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上一层多1根，最下层有33根。

这堆圆木共有几层？一共有多少根？解析部分：此题是等差数列为基础的数列求和问题，针对具体数据特点进行数列的求和。

给予新学员的建议：强调对于题中的各条件的关联进行分析理解，能够正确的做出判断。

哈佛案例教学法：鼓励学员积极地进行课堂发言，调动起整个课堂的积极活跃的气氛和氛围。

参考答案：（33-4）÷1+1=30（层）（4+33）×30÷2=555（根）答：这堆圆木共有30层，一共有555根。

【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中，请问66在第几行、第几列？解析部分：此题是一道数表问题，对于题中所给数表的具体结构特点进行认真分析然后求解。

给予新学员的建议：需要对于题意进行深入有针对的分析理解，进行准确而迅速的操作。

哈佛案例教学法：鼓励学员积极参与小组内的讨论，并积极进行相应的课堂发言。

参考答案：根据周期是10，则有66÷10=6……6，则在第2×6+1+1=14行，第5列。

【环节二：知识拓展、能力提升】【知识点分析——本期知识点】（参考时间-2分钟）数表问题的相关特点：1、找出题中所给数表的具体规律特点和特征；2、根据规律进行题中所要求数值的相关计算；3、对于计算出来的结果进行相应的检查验证。

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惠来一中高二文科培优班补习资料（11年3月25日）第三份数列的综合应用1、（2010上海文数）21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .2、（2010湖南文数）20.（本小题满分13分）给出下面的数表序列：其中表n （n=1,2,3 ）有n 行，第1行的n 个数是1,3,5， 2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1；（Ⅱ）求d 的取值范围。

5、（2010重庆理数）（21）（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）在数列{}n a 中，1a =1，()()1121*n n n a ca c n n N ++=++∈，其中实数0c ≠。

（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若对一切*k N ∈有21k zk a a ->，求c 的取值范围。

6、（2010北京文数）（16）（本小题共13分）已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

（Ⅰ）求||n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式7、（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）记2222323n nnT a a a =+++，证明n 32n T 2n 2<-≤≥（2）.8、（2010湖南理数）21．（本小题满分13分）数列{}*()n a n N ∈中，是函数322211()(3)332n n n f x x a n x n a x =-++的极小值点（Ⅰ）当a=0时，求通项n a ；（Ⅱ）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

9、（2010湖北理数）10、（2010安徽理数）20、（本小题满分12分）设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n n a a a a a a a a +++++=。

11、（2010江苏卷）19、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n S 是公差为d的等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

求证：c 的最大值为29。

1、（2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 解析：(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；由S n +1>S n ，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，最小正整数n =15．2（2010湖南文数）20.（本小题满分13分）给出下面的数表序列：其中表n （n=1,2,3 ）有n 行，第1行的n 个数是1,3,5， 2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（I ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；（II ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12 ，记此数列为{}n b 求和：32412231n n n b b b b b b b b b ++++3、（2010安徽文数）（21）（本小题满分13分)设12,,,,n C C C 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线3y x =相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列. (Ⅰ)证明：{}n r 为等比数列；（Ⅱ）设11r =，求数列{}n nr 的前n 项和.【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设n C 的圆心为(,0)n λ，得2n n r λ=，同理得112n n r λ++=，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{}n r 中1n r +与n r 的关系，证明{}n r 为等比数列；（2）利用（1）的结论求{}n r 的通项公式，代入数列nn r ，然后用错位相减法求和.nn n n n nn+1n+1n+1n n n+1n+1n n n+1n nn 11nn n nn 121sin ,332r 12r 22r r r 2r 2r r 3r r q 3n r 1q 3r 3n *3r 12.....r r x C θθλλλλλλλ--=====++====∏=====+++解：（1）将直线y=的倾斜角记为,则有tan =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。

（）由于，，故，从而，记S 121n 121n 121n 11,r 12*33*3......*31*32*3......(1)*3*33133...3*331333*3()*3,22239139(23)*3()*34224nnnnnnnnnnnn n n n n n n n n S n ----------------=+++=+++-+-=++++--=-=-+-+∴=-+=则有S S ①②,得2S4、（2010浙江文数）（19）（本题满分14分）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足56S S +15=0。

（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1；（Ⅱ）求d 的取值范围。

5、（2010重庆理数）（21）（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）在数列{}n a 中，1a =1，()()1121*n n n a ca c n n N ++=++∈，其中实数0c ≠。

（III ）求{}n a 的通项公式；（IV ）若对一切*k N ∈有21k zk a a ->，求c 的取值范围。

6、（2010北京文数）（16）（本小题共13分）已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

（Ⅰ）求||n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。

因为366,0a a =-=所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得110,2a d =-=所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=- （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-所以824q -=- 即q =3所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1nnn b q S q-==--7、（2010四川理数）（21）（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2（Ⅰ）求a 3，a 5；（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，零m ＝2,n －1,可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6再令m ＝3,n ＝1，可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20………………………………2分 (2)当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8 即 b n ＋1－b n ＝8所以{b n }是公差为8的等差数列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{b n }是首项为b 1＝a 3－a 1＝6,公差为8的等差数列则b n ＝8n －2，即a 2n +=1－a 2n －1＝8n －2 另由已知(令m ＝1)可得a n ＝2112n a a ++-(n －1)2.那么a n ＋1－a n ＝21212n n a a +-+－2n ＋1＝822n -－2n ＋1＝2n 于是c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋……＋2n ＝n (n ＋1)当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋……＋2n ·q n －1.两边同乘以q ，可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋……＋2n ·q n . 上述两式相减得(1－q )S n ＝2(1＋q ＋q 2＋……＋q n －1)－2nq n＝2·11nqq--－2nq n＝2·11(1)1n n n q nqq+-++-所以S n ＝2·12(1)1(1)n nnqn q q +-++-综上所述，S n ＝12(1)(1)(1)12(1)(1)n n n n q nq n q q q ++=⎧⎪-++⎨≠⎪-⎩…………………………12分8、（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）记2222323n nnT a a a =+++，证明n 32n T 2n 2<-≤≥（2）.【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

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