2012年佛山一模(文科数学)

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学 (文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 棱锥的体积公式：13V Sh =. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1． 已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，则集合()U A B = ðA ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x > 2．等差数列{}n a 中，2=d ，且431,,a a a 成等比数列，则=2a A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-3．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A ．y x =B ．sin y x =C ．x x y e e -=+D ．3y x =-4．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且(1i)1i m n +=+，则2i i m n m n +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ．iB ．i -C ．1D ．1-5．已知椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值为A ．3BCD ．253或36．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为 A ．sin(2),3y x x π=-∈R B ．sin(2),3y x x π=+∈RC ．1sin(),26y x x π=+∈R D ．1sin(),26y x x π=-∈R 8．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是 A ．①② B ． ②③ C ．③④ D ． ①④9. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数．．．大约是 A ．31.6岁 B ．32.6岁 C ．33.6岁 D ．36.6岁10. 已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4=a b ，则12x y+的最小值为 A ．32B ．2C ．94D ．二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分） (一)必做题(11～13题)11. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________.12. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y x y ， 表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，则y x z +=2的最大值为 . 13. 对任意实数b a ,，函数()1(,)||2F a b a b a b =+--，如果函数2()23,f x x x =-++ ()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于 .(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为21)3cos(=-πθρ，则点)2,1(πM 到直线l 的距离为__________.15.（几何证明选讲）如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的 切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知AC AB ⊥， 1,2==PC PA .则圆O 的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若60B =， 且1411)cos(-=+C B . （1）求C cos 的值；（2）若5=a ，求△ABC 的面积.17．（本题满分12分）文科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为1W 、2W 、3W ，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为1W 、2W 、3W .（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的所有可能结果（如三科成绩均为A 记为()123,,W W W ）；（2）求该同学参加这次水平测试获得两个A 的概率；（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由. 18．（本题满分14分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠= ， 4===CA BC PB ，E 为PC 的中点， M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ； （3）求三棱锥ABE F -的体积.19．（本题满分14分）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，圆1C ,2C 关于直线l 对称. （1）求直线l 的方程；（2）直线l 上是否存在点Q ，使Q点到(A -点的距离减去Q点到B 点的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.AP20．（本题满分14分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-. （1）讨论函数()f x 的单调区间和极值;（2）已知1 2.71828)x e =L 和2x 是函数()f x 的两个不同的零点, 求a 的值并证明:322x e >.21．（本题满分14分）设*n N ∈，圆n C ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ，与曲线y =的交点为(,)n n N x y ，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a .（1）用n x 表示n R 和n a ；（2）若数列{}n x 满足：1143,3n n x x x +=+=.①求常数p 的值使数列{}1n n a p a +-⋅成等比数列； ②比较n a 与23n⋅的大小.2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．150 12．6 13． 3 14．213- 15．π49三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本题满分12分） 解：（1）∵1411)cos(-=+C B , ∴ 1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-= …………………6分 （2）由（1）可得734cos 1sin 2=-=C C …………………8分 在△ABC 中，由正弦定理AaB bC c sin sin sin == ∴8sin sin ==A C a c , 5sin ==aAb b …………………10分∴310238521sin 21S =⨯⨯⨯==B ac . …………………12分 17．（本题满分12分）解：（1）该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A 的可能结果有8种，分别为123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）； …………………4分 （2）由（1）可知，有两个A 的情况为123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）三个， 从而其概率为38P = …………………8分（3）方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件概率大于85%， …………………10分 理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件有如下七种情况：123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）， 概率是70.87585%8P ==>. …………………12分 方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个A 的事件概率大于85%， …………………10分 理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A 的事件有如下七种情况：123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）、123,,W W W （）， 概率是70.87585%8P ==>. ……………………12分 18．（本题满分14分）（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ …………………1分由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ …………………………2分又 PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分 注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥ …………………………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥ …………………………5分PC AC C = ， ∴BE ⊥平面PAC …………………………6分 （2）取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，∵E 为PC 中点，2FA FP =，∴//EF CG . ……………7分 ∵CG ⊄平面,BEF EF ⊂平面BEF ， ∴//CG 平面BEF . ……………8分同理可证：//GM 平面BEF .又CG GM G = ， ∴平面//CMG 平面BEF . …………9分 ∵CD ⊂平面CDG ，∴//CD 平面BEF . …………10分 （3）由（1）可知BE ⊥平面PAC又由已知可得22=BE .238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF …………12分 ∴93231=⋅==∆--BE S V V AEF AEF B ABE F所以三棱锥ABE F -的体积为932. …………14分19．（本题满分14分）解：（1）因为圆1C ,2C 关于直线l 对称，圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)， ……………………2分 显然直线l 是线段12C C 的中垂线， ……………………3分 线段12C C 中点坐标是(2,1)，12C C 的斜率是1212021402y y k x x --===---， ……………………5分所以直线l 的方程是11(2)y x k-=--，即23y x =-. ……………………6分 （2）假设这样的Q 点存在，因为Q点到(A -点的距离减去Q点到B 点的距离的差为4， 所以Q点在以(A -和B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q 点在曲线221(2)44x y x -=≥上， ……………………10分 又Q 点在直线l 上， Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解， ……………………12分消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解，所以点P 的轨迹上是不存在满足条件的点Q . ……………………14分 20．（本题满分14分） 解：在区间()0,+∞上,11()axf x a x x-'=-=. ……………………2分 ①若0a ≤,则()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,无极值； ……………………4分 ②若0a >,令()0f x '=得: 1x a=. 在区间1(0,)a上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a+∞上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数; 在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11()ln1ln 1f a a a=-=--. 综上所述，①当0a ≤时,()f x 的递增区间()0,+∞,无极值； ……………………7分 ③当0a >时，()f x 的是递增区间1(0,)a ，递减区间是1(,)a+∞，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--. ……………………9分(2) 0,f =∴102-=，解得:a =……………………10分∴()ln f x x x =. ……………………11分又323()022e f e =->Q ,5325()022ef e =-<,3522()()0f e f e ∴⋅< ……………………13分 由(1)函数()f x在)+∞递减,故函数()f x 在区间3522(,)e e 有唯一零点,因此322x e >. ……………………14分 21．（本题满分14分） 解：(1)y n C 交于点N ,则2222,nn n n n n R x y x x R =+=+= ……………………2分 由题可知，点M 的坐标为()0,n R ，从而直线MN 的方程为1n nx y a R +=, ……………………3分 由点(,)n n N x y 在直线MN 上得:1n nn nx y a R +=, ……………………4分将n R =n y =代入化简得: 1n n a x =++ ……………………6分(2)由143n n x x +=+得：114(1)n n x x ++=+， ……………………7分又114x +=，故11444n n n x -+=⋅=，442n n nn a ∴=+=+ ……………………8分①11142(42)(4)4(2)2n n n n n n n n a p a p p p +++-⋅=+-⋅+=-⋅+-⋅，22112142(42)(164)4(42)2n n n n n n n n a p a p p p ++++++-⋅=+-⋅+=-⋅+-⋅令211()n n n n a p a q a p a +++-⋅=-⋅得：(164)4(42)2(4)4(2)2n n n n p p q p q p -⋅+-⋅=-⋅+-⋅ ……………………9分由等式(164)2(42)(4)2(2)nnp p q p q p -⋅+-=-⋅+-对任意*n N ∈成立得：164(4)842(2)6p q p pq p q p p q -=-=⎧⎧⇔⎨⎨-=-+=⎩⎩，解得：24p q =⎧⎨=⎩或42p q =⎧⎨=⎩故当2p =时，数列{}1n n a p a +-⋅成公比为4的等比数列；当4p =时，数列{}1n n a p a +-⋅成公比为2的等比数列。