泉州市2020届高三下学期期初线上适应性数学文科测试试题含答案解析
2020年福建省泉州市2020届高三毕业班适应性线上测试 文科数学试题
11．欧拉公式 eix cos x i sin x （ i 为虚数单位， x R ）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函
数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公
式可知，下面结论中正确的是
A． eπi 1 0
B． eix 1
C． cos x eix eix 2
22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分）
x 4t,
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l1
的参数方程为
y
kt
（ t 为参数），直线 l2 的普通方程为
y
1 k
x
，设
l1 与 l2
的交点为
P
，当
k
变化时，记点
P
的轨迹为曲线
C
．以
O
为极点，x
轴正半轴为
极轴建立极坐标系．
（1）求 C 的极坐标方程；
20．（12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F (0,1) ，点 P 满足以 PF 为直径的圆与 x 轴相切.
（1）求 P 的轨迹 C 的方程；
（2）设直线 l 与 C 相切于点 P ，过 F 作 PF 的垂线交 l 于 Q ，证明： FQ FO 为定值.
21．（12 分）
已知函数
f
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二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。不选或选出的选项中含有错误选项的得 0 分，只选出部分正确选项的得 3 分，选出全部正确选 项的得 5 分。
2020年4月福建省泉州市普通高中2020届高三下学期第一次质量检查(一模)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前福建省泉州市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次教学质量检查(一模)数学(文)试题(解析版)2020年4月一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|(2)(1)0N x x x =∈+-≤Z ，则MN =（ ） A. {}1,0,1-B. {}0,1,2C. 1,0,1,2D. {}2,1,0,1,2-- 【答案】A【解析】【分析】求解集合N ，计算M N ⋂即可.【详解】由(2)(1)0≤x x +-得21x -≤≤，{}2,1,0,1N ∴=--，{}1,0,1M N ∴⋂=-.故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解,集合的交集运算.2.若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数,则x y +=（ ） A. 0B. 3C. －1D. 4 【答案】C【解析】【分析】 计算3121i i i+=+-,由共轭复数的概念解得,x y 即可.【详解】3121i i i+=+-,又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-, 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算,共轭复数的概念.3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-,416S =-,则6a =（ ）A. 5B. 3C. －12D. －13 【答案】B【解析】 【分析】由题得15a d +=-,1434162a d ⨯+=-,解得17a =-,2d =,计算可得6a . 【详解】25a =-,416S =-,15a d ∴+=-,1434162a d ⨯+=-,解得17a =-,2d =, 6153a a d ∴=+=.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前n 项和公式,考查了学生运算求解能力.4.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,若点(2,1)P -在角α的终边上,则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 45- B. 45 C. 35 D. 35【答案】D【解析】【分析】由题知cos α=,又2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭,代入计算可得.【详解】由题知cos α=,又23sin 2cos 22cos 125πααα⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭.。
泉州市 2020 届高三毕业班适应性线上测试卷和答案
泉州市2020 届高三毕业班适应性线上测试卷24、战国时期，士人“择木而栖”现象非常普遍，卫国人商鞅先后在魏国、秦国任要职；齐国人邹衍成为燕昭王之师；吴起一生中曾在鲁、魏、楚等国为官，每当遭到诬陷，便另投明主。
这种现象A.强化了“家国一体”的观念B. 推动了百家争鸣的深入开展C.促进了诸侯国之间和平交往D. 反映君主专制体制弊端严重25、西汉实行盐铁官营政策，只注重产量，质量差，价格高，生产的农具多而不适用；同时还存在不准挑选、购买不便、强买强卖等问题。
这反映了西汉A.私营手工业成为市场主体B.政府支配市场的弊端C.官营手工业技术相对落后D.家庭手工业发展缓慢26、有学者认为，玄武门事变是两个不同社会阶层的斗争，即以李建成为首的关陇军事贵族集团和以李世民为首的下层士兵及各地农民武装的斗争。
据此推知，玄武门之变A．削弱世家大族势力B．延续隋朝末年农民起义C．促使皇权不断加强D．导致下层民众控制政权27、明清时期，我国戏曲总类丰富多彩，除“国粹”京剧外，还有流行于江浙的越剧、安徽的黄梅戏、河南的豫剧等，这表明当时A．统治思想兼容并蓄B．农耕经济高度发展C．市民阶层生活需要D．君主专制走向衰落28、表3 近代早期苏州上层绅商的产业及收入分布情况据此可知，表3 的现象A．直接导致民族工业长期萧条B．折射中国民族工业的特殊性C．导致资本主义萌芽发展受阻D．取决于中央集权的政治制度29.1912 年2 月12 日，清政府颁布《清帝逊位诏书》，“……即由袁世凯以全权组织临时共和政府，与民军协商统一办法，总期人民安堵，海宇乂安，仍合满、汉、蒙、回、藏五族完全领土，为一大中华民国……”。
据此可知，清帝退位A．宣告了清末新政的结束B．推动了中华民国的成立C．有利于维护国家的统一D．导致了革命果实被窃取30.1925 年，国民党在广州、武汉等地培训大量农民运动干部，并利用各种刊物发表了一系列以农村、农民为题材的文章。
(文科答案)泉州市2020届高三毕业班适应性测试试题解析
分别记为 a1，a2，a3，a4， 被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在[600，700] 的有 0.0001×100×100=1 人，记为 b ，
由
Sn
363得 3（1 3n） 13
363 .....................................................................................3
分
得 3n 243 ，解得 n 5 .
第 4页 共 10页
所以 n 的值为 5 .
泉州市 2020 届高三毕业班适应性测试（一）
文科数学试题答案及评分参考
评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难
度，可视影响的程度决定后继部分的给分（思想方法分），但不得超过该部分正确解答应给分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
（一）必考题：共 60 分。
17.【命题意图】本小题主要考查等比数列的定义、通项公式、数列求和等基础知识，考查推理论证能力
和运算求解能力，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素 养的关注．满分 12 分
解析：（1）由 an1 3an 得数列 an 是首项 a1 3 ，公比 q 3 的等比数列；.....1 分
泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查(文科数学)2020市4月质检解答题填空题参考答案
市质检数学（文科）参考答案与评分标准第1页（共10页）泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查数学（文科）参考答案与评分标准三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置。
13．214．),0[+∞15．2-，14π316．2.四、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．【命题意图】本题主要考查数列n a 与n S 的关系、等比数列的通项公式、前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查发展数学抽象、数学运算及数学建模等核心素养．解：（1）当1n =时，111a S ==，·······················································································1分当2n ≥时，1n n n a S S -=-······················································································2分22(1)n n =--··················································································3分21n =-，·······················································································4分因为11a =适合上式，·························································································5分所以21n a n =-(N )n *∈．·················································································6分（2）由（1）得11b =，39b =，················································································7分设等比数列{}n b 的公比为q ，则2319b b q =⋅=，解得3q =±．··································8分。
泉州市2020届高三5月质检(文科数学)及其参考答案
1
BC
，故选
B
.
3
3
33
解法二：如图，由平面向量基本定理及向量的平行四边形法则，
结合选项易得
BE
BM
BN
1
BA
1
BC
.
解法三：因为
BD
1
BC
，
DE
1
DA
3
，所以
3 BD
DC
，
AE
2
AD
.
2
3
3
不妨令 ABC 为等腰三角形，建立平面直角标系，且 A (0,3) ， B (1, 0) ，
准考证号________________
姓名________________
（在此卷上答题无效）
保密★启用前
泉州市 2020 届普通高中毕业班第二次质量检查
文科数学
本试卷共 23 题，满分 150 分，共 5 页．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
3.【解析】设等比数列{an} 的公比为 q .由 S2 6a3 ，得 a1 a1q 6a1q2 ；由 a1 0 ，得 (3q 1)(2q 1) 0 ；
市质检数学（文科）试题 第 1 页（共 21 页）
由数列各项均为正数，得 q 0, 3q 1 0 ，故 q 1 . 2
所以
a5
a2q3
2(k2
k1)
2 3
|
，
市质检数学（文科）试题 第 2 页（共 21 页）
当 k1 =k2 时， |x1
x2| 取得最小值
2 3
.
又已知
泉州市2020届高三下学期期初线上适应性数学文科测试试题含答案解析
姓名________________
（在此卷上答题无效）
保密★启用前
泉州市 2020 届高三毕业班适应性线上测试（一）
文科数学
本试卷共 23 题，满分 150 分，共 5 页。考试时间 120 分钟。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．D
2．B
3． A
4．C
5．A
6．D
7．D
8． C
9．B
10．B
1．解析：
z
2i 1 i
2i (1 i) (1 i) (1 i)
i
1 ，故
z
1i
，故选
D.
2．解析： A {x x(x 3) 0}={x 0 x 3} ， B {x x 2}， ðR B {x x 2} ， 则 A I (ðR B) {x 0 x 3}I{x x 2}={x 0 x 2} ，故答案选 B.
15．已知函数 f (x) sin(x ) ( 0, π ) 的最小正周期为 π ，其图象向左平移 π 个单位后所得图
2
6
象关于 y 轴对称，则： f ( x) ____________；当 x [ π , π] 时， f ( x) 的值域为___________．（本题 44
第一空 2 分，第二空 3 分）
泉州市 2020 届高三毕业班线上适应性测试（一）
文科数学试题答案及评分参考
(文科数学)泉州市2020届高三毕业班适应性练习卷(二)
已知抛物线 C : y2 2 px 的焦点为 F ，准线为 l .过 F 的直线与 C 交于 P,Q 两点， PD l 于 D ， QE l 于 E .当 △PDF 为等腰直角三角形时，其周长等于 6 3 2 . （1）求 C 的方程； （2）记 △PDF ， △QEF 的面积分别为 S1, S2 ，若 S1 16S2 ，求直线 PQ 的方程.
A. 7 2 10
B. 7 2 10C.Fra bibliotek 2 10D. 2 10
6．执行如图所示的程序框图，则输出的 S
A． 0
1
B．
2
C． 3 2
D． 3
7.
已知椭圆 C : x2 6
y2 b2
1 上的左、右顶点分别为 A1, A2 ，四边形 PA1QA2 的顶点均在 C 上.若四边形
PA1QA2 的最大面积为 4 3 ，则 C 的焦距为
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. 已知集合 M x x2 4 ， N x 0 x 3 ，则 M N
A. x 0 x 2
两点，求
1 |OA
|
1 |OB
|
的取值范围．
23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分） 设函数 f (x) x 2a 2x 3 (a 0). a
（1）若 g(a) f (0), 解不等式 g(a) 5 ；
（2）证明： f (x) 2 3.
市适应性练习（二）数学（文科）试题 第 6 页（共 6 页）
参考公式：相关系数 r
(答题全析——小题部分)2020年泉州市单科质检文科数学试题及答案
2
A．
2
5 1
B．
2
12
C． 或
22
2 5 1
D． 或
2
2
【试题解析】依题意，由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成
一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只需考虑以下三种情况：
（1）如图 11-1，若以顶点 D 焦点 B 为菱形顶点，C 为中心，则 DC BC ，由勾股定理得， (a2 b 2) a2 (a c) 2 ，由 b 2 a 2 c 2 化简得 c2 ac a2 0 ，
7．“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，
粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于
A．12
B． 8
C． 6
D． 4
市单科质检数学（文科）试题 第 2 页（共 8 页）
【试题简析】由已知可得该“堑堵”是直三棱柱，其体积V 1 2 3 2 6 ，故选 C． 2
3．若 sin( π ) cos( π ) 2 ，则 cos 2
4
4
5
A． 4 5
B． 2 5
2
C．
5
4
D．
5
【试题简析】由 sin( π ) cos( π ) 2 ，得 sin( π 2) 4 ，即 cos 2 4 ，故选 A．
5．设 E 是中心在坐标原点的双曲线．若 A(2, 0) 是 E 的一个顶点， F (4, 0) 是 E 的一个焦点，则 E 的一
条渐近线方程为
A． y 1 x 3
B． y 3 x 3
C． y 3x
2020届福建省泉州中学数学学科联盟高三考前冲刺适应性模拟卷(文)试题
绝密★启用前泉州中学数学学科联盟2020届高三考前冲刺适应性模拟试卷文科数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足i 2i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合2{20}A x x x =∈--≤N|，{1,1,2}B =-，则AB =A ．{1,1,2}-B ．{1,2}C ．{1,1}-D ．{1}3．若椭圆14922=+y x 的焦点和顶点分别是双曲线E 的顶点和焦点，则E 的离心率是A ．553B ．554C ．13133D ．35 4．甲、乙、丙三部门组织人员报名参加一项志愿者活动，已知甲、乙两部门各报了2人，丙部门报了1人，若从这5人中随机抽取3人，则这3人来自不同部门的概率为 A ．13B ．23C ．310D ．255．已知函数)(x f y =是R 上的奇函数，当0>x 时，()2sin f x x x =+，则)(x f 在2x π=-处的切线的斜率为A ．πB ．π-C ．π1-D ．π1+6．执行如图所示的程序框图，若输入的]1,1[-∈x ，则输出的y 的取值范围是 A ．]1,1[-B ．]41,1[- C ．]41,2[-D ．]1,0[7．已知某圆锥的母线与底面所成的角为60，轴截面的面积为34，则该圆锥的侧面积为A ．43πB ．4πC ．8πD ．16π 8．2020年是5G 的爆发之年，5月中国信通院发布了2020年4月国内手机市场运行分析报告，该报告统计了从2019年7月到2020年4月这十个月国内手机市场总出货量与国内5G 手机出货量占同期手机出货量比重变化情况（简称市场占比），得到下面两个统计图，则下列描述不正确的是A ．2020年4月国内5G 手机出货量是这十个月中的最大值B ．从2019年7月到2020年2月，国内5G 手机出货量保持稳定增长C ．相比2020年前4个月，2019年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定D ．2019年12月到2020年1月国内5G 手机市场占比的增长率比2020年1月到2月的增长率大9．若0c b a >>>，则A ．c ca b a b->-B ．2ln ln ln b a c <+C ．b c c b a b a b >D ．log log a b c c > 10．ABC △中，角A 的平分线交BC 于D ，已知422===AD AC AB ，则=BCA ．23B ．3C ．22D ．3611．已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=.0,1)1(,0,)(2x x f x x x f 则x x f x g -=)()(在(,3]-∞的所有零点之和等于A ．0B ．2C ．5D ．612．已知半径为1的球O 与正方体1111D C B A ABCD -的六个面均相切，P 为球O 的球面上的动点，若C A P D 11⊥，则P 的轨迹对应的曲线长度为 A ．π36 B ．π32 C ．π34D ．π362 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置． 13．已知向量()()2,1,1,==-t a b ，且()⊥-a a b ，则实数=t _____________．14．角α的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点1(,)2P b ，则sin(2)2απ=+_____________．15．若椭圆13:22=+y x E 的左焦点是F ，坐标原点为O ，给定E 上的任意一点P ，则22||||PF PO +的最小值为_____________．16．点P (,())44f ππ为函数()sin()(0)8f x x ωωπ=+>图象C 上一点，已知P 向右平移2π个单位后仍落在C 上． ①*{|4,}N k k ωωω∈=∈②存在这样的ω，使得C 上任一点向左平移4π后仍在C 上③存在这样的ω，使得C 上的点(())1212f ππ,向右平移56π后仍在C 上 ④若()f x 在19()542ππ,单调递减，则274ω= 上述四个结论中，所有正确结论的编号为_____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，已知n n n S a a 422=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n T 为正项等比数列{}n b 的前n 项和，且21a b =，283=T ，若1562≥+nn T ，求n 的最小值．18．（12分）某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为49，方差为33.87．①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若公司规定，分店一年（按360天计算）中日销售额不低于58万的天数应不少于90天，结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？（2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．19．（12分）-中，底面ABCDEF是边长为4的正六边形，如图，在六棱锥P ABCDEF==．PA PC27（1）点Q在侧棱PE上，且PB∥平面CFQ，证明：Q为PE的中点；PB=，求点E到平面PCD的距离．（2）若2520．（12分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 21．（12分）已知点()0,1F ，直线:1=-l y ，直线l '垂直l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交l '于点Q ． （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点(),2-H a 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，记△HAB 的外接圆为G ，不论a 取何值，试判断以HG 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为12sin 2=θρ，将曲线1C 绕点O 顺时针旋转4π得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的极坐标方程和直角坐标方程；（2）过点()11P -，的直线l 交曲线2C 于B A ,两点，求PB PA ⋅的最小值． 23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）已知函数3)(+--=x a x x f ．（1）当2=a 时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）[3,3]x ∀∈-，()4f x x -≤，求a 的取值范围．泉州中学数学学科联盟2020届高三考前冲刺适应性模拟卷文科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．D2．B3．A4．D5．A6．B 7．C8．B9．C10．A11．C12．D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置． 13．解法一：由已知()()2,1,1,t ==-a b ，得()3,1t -=-a b ，根据()⊥-a a b 得()231(1)70t t ⋅-=⨯+⋅-=-=a a b ，解得7t =． 解法二：由()⊥-a a b ，得,,-a b a b 构成以b 为斜边的直角三角形，又==-=a b a b ，由勾股定理，得()225911++-=+t t ，即5920+-=t ，解得7=t ．14．由已知可得，2211sin(2cos 22cos 121222αααπ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭+）． 15．解法一：由已知，得(),0,2-F 设),(y x P ，则()2222222||||y x y x PF OP ++++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=3223344223423122222222x x x x x x x 25254233481542322334222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x )33(≤≤-x解法二：设()θθsin ,cos 3P，(),0,2-F所以()θθθθ222222sin 2cos 3sin cos 3||||++++=+PF POθθθθθcos 62cos 442cos 62sin 2cos 6222++=+++=令[]1,1cos -∈=θt ，则4624||||222++=+t t PF PO ， 当46-=t ，().251640162464||||min22==-=+PF PO解法三：由中线定理，得()1222222||||2222222+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+PM PM OMPMPF PO 设()θθsin ,cos 3P ，,0,22⎪⎪⎭⎫⎝⎛-M 则θθ22sin 22cos 3+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=PM （令[]1,1cos -∈=θt ） ≥++=++=236t 223cos 6cos 222t θθ23862324=-⨯⨯，[]1,1-∈t所以()251432122||||22222=+⨯≥+=+=+PMOMPM PF PO ．16．由已知可得，图象C 的周期为(2k k π∈Z)，或一条对称轴为14222x πππ=+⨯=， 故4k ω=或324k ω=+，所以①错误； 存在8ω=，4T π=，所以②正确；因为图象有一条对称轴为2π=x ，则(())1212f ππ,关于2π=x 的对称点为11(,())1212f ππ，故存在ω，使得C 上的点(())1212f ππ,向右平移11512126ππ-=π后仍在C 上，所以③正确； 因为114ω=时，()f x 在)42ππ（,单调递减，且)42ππ（,19()542ππ⊇,，故114ω=时，()f x 在19()542ππ,单调递减也成立，所以④错误．故选②③． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，已知n n n S a a 422=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n T 为正项等比数列{}n b 的前n 项和，且21a b =，283=T ，若1562≥+nn T ，求n 的最小值． 心素养．解析：（1）当1=n 时，112142S a a =+，可得21=a ． ················ 1分当2≥n 时，由n n n S a a 422=+①，可得112142---=+n n n S a a ②． ······ 2分 ①—②得：121222--+=-n n n n a a a a ． ·················· 3分 整理得()()0211=--+--n n n n a a a a ．因为0>n a ，所以()221≥=--n a a n n ，········································· 5分所以()n n a n 2212=⋅-+=． ····················· 6分（2）依题意，设q 为{}n b 的公比，421==a b ，()281423213=++=++=q q b b b T ，又0>q ，所以2=q ， ························ 8分所以()()12421214-=--=n nn T ， ····················· 10分所以42524242-⋅=+-⋅=+nn n n n T ，由156425≥-⋅n，得5≥n ，故所求n 的最小值为5． ·········· 12分18．（12分）某百货公司旗下有甲、乙两家分店．为了调查两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：（1）经计算得到甲店日销售额的平均数为49，方差为33.87．①估计乙店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ②若公司规定，分店一年（按360天计算）中日销售额不低于58万的天数应不少于90天，结合上图，分析两家分店上个年度是否都有达到这一规定的要求？（2）如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．解法一：（1）①估计算乙店的日销售额平均数为200.1250.3250.5100.7200.947x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙． ······· 4分②日销售额超过58万的天数占比不少于4136090=， ············· 6分 甲日销售额不低于58万的概率约为(6058)0.03200.0075200.00250.26-⨯+⨯+⨯=， ··········· 8分乙日销售额不低于58万的概率约为(6058)0.0125200.005200.0100.325-⨯+⨯+⨯=，两者均大于41，两店均有达到这一规定的要求． ·············· 10分 （2）答案不唯一，但需结合数据与统计概率相关知识加以说理，方能给分．答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，经计算，乙店方差为771，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；答案二：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知，甲店的销售额方差明显低于甲店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；答案三：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在80万-100万出现的概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店． ·· 12分解法二：（1）①同解法一． ····························· 4分②日销售额超过58万的天数占比不少于4136090=； ············ 6分 由甲店的频率分布直方图可知，若甲店日销售额不低于x 万元时的概率不低于41， 则0.250.0075200.00252016058580.033x -⨯-⨯=-=>， ········ 8分由乙店的频率分布直方图可知，乙店日销售额不低于60万元的概率约为1200.005200.0100.34⨯+⨯=>，两店均有达到这一规定的要求． ···· 10分 （2）同解法一． ····························· 12分19．（12分）如图，在六棱锥P ABCDEF -中，底面ABCDEF 是边长为4的正六边形，27PA PC ==．（1）点Q 在侧棱PE 上，且PB ∥平面CFQ ，证明：Q 为PE 的中点； （2）若25PB =，求点E 到平面PCD 的距离．【命题意图】本题主要考查线面平行、线面垂直、多面体的体积、点面距等基础知识；考查空间想象、运算求解、推理论证等基本能力；考查转化与化归、数形结合等基本思想；取向数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．解析：（1）设CFBE R =，在正六边形ABCDEF 中，易知R 为BE中点． ······································· 1分因为PB ∥平面CFQ ，PB ⊂平面PBE ，平面PBE 平面CFQ QR =，所以PB QR ∥． ···························· 3分 因为R 为BE 中点，所以Q 为PE 的中点． ················· 4分（2）设ACBE O =，连结PO ．在正六边形ABCDEF 中，易得AC BE ⊥，AO CO =．又因为PA PC =，所以PO AC ⊥． ··················· 5分 在正六边形ABCDEF 中，4AB BC ==，所以23AO CO ==2BO =． 又因为27PA PC ==4PO =．因为5PB =222PB BO PO =+，即PO BO ⊥． ·········· 6分PO AC ⊥，PO BO ⊥，BO AC O =，,BO AC ⊂平面ABCDEF ，所以PO ⊥平面ABCDEF ． ······················· 8分PO ⊥平面ABCDEF ，PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCDEF ，又因为BE ⊂平面ABCDEF ，BE AC ⊥，平面PAC平面ABCDEF AC =，所以BE ⊥平面PAC ，又因为CD BE ∥，所以CD ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以CD PC ⊥，易得74=PCD S △． ······· 10分 记h 为点E 到平面PCD 的距离，由E PCD P CDE =--V V ，34=CDE S △ ······ 11分 可得1133PCD CDE S h S PO ⋅⋅=⋅⋅，可得421h =． ············· 12分 20．（12分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 解法一：（1）()()()()211122(0)x ax f x ax a x x x x+-'=+--=>． ············ 1分①当0a ≤时，10ax -<，所以()0f x '<，所以()f x 在),0(+∞上递减． ··· 2分 ②当0a >时，由()0f x '>可得1x a >，由()0f x '<可得10x a<<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增． ············ 4分（2）①当0a ≤时，由（1）可知，()f x 在),0(+∞上递减，不可能有两个零点． ·· 5分②当0a >时，()min11(2)11ln 1ln a f x f a a aa a a -⎛⎫⎡⎤==+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，令()11ln g a a a =-+，则()2110g a a a'=+>，所以()g a 在()0,+∞上递增，而()10g =， ······························ 7分当1a ≥时，()()min 0g a f x =⎡⎤≥⎣⎦，从而()f x 没有两个零点．········ 8分 当01a <<时，()()min 0g a f x =⎡⎤<⎣⎦，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上取1e x =，2211112(2)ln 10e e e e e e e a af a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=++-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在11,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点； ··················· 10分在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上取311x a a =->，因为()23333331121ln 11ln 10f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有1个零点．综上所述，a 的取值范围为()0,1． ··· 12分解法二：（1）同解法一． ······························ 4分（2）方程2(2)ln 0ax a x x +--=等价于22ln x xa x x+=+，所以()f x 有两个零点等价于22ln x xa x x+=+有两个解， ······················ 5分令()22ln x xG x x x +=+，则()()()()()222122ln 21x x x x x x G x x x ⎛⎫++-++ ⎪⎝⎭'==+()()()22211ln x x x x x +-+-+， ·· 7分 令()1ln H x x x =-+，则()110H x x'=+>，所以()H x 在()0,+∞上递增， · 8分 而()10H =，所以当01x <<时，()0H x <，()0G x '>，当1x >时，()0H x >，()0G x '<，所以()G x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减． ··· 10分 ()11G =，当0x +→时，()G x →-∞，当x →+∞时，()0G x +→．若()f x 有两个零点，则y a =与()G x 有两个交点，所以a 的取值范围是()0,1． ·· 12分解法三：（1）同解法一． ······························ 4分（2）问题等价于方程2(2)ln 0ax a x x +--=有两个解，即()ln 12xa x x+-=． 令()()12k x a x =+-，()ln xx xϕ=， 则()f x 有两个零点等价于()y k x =与()y x ϕ=有两个交点． ········ 6分 因为()21ln xx x ϕ-'=，由()0x ϕ'>可得0e x <<，由()0x ϕ'<可得e x >，所以()x ϕ在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，()1e eϕ=，当x →+∞时，()0x ϕ+→． ··································· 8分()y k x =是斜率为a ，过定点()1,2A --的直线．当()y k x =与()y x ϕ=相切的时候，设切点()00,P x y ，则有()00000020ln 121ln x y x y a x xa x ⎧=⎪⎪⎪=+-⎨⎪-⎪=⎪⎩，消去a 和0y ，可得()000200ln 1ln 12x x x x x -=+-， 即()()00021ln 10x x x ++-=，即00ln 10x x +-=． ············· 10分 令()ln 1p x x x =+-，显然()p x 是增函数，且()10p =，于是01x =，此时切点()1,0P ，斜率1a =． ················· 11分 所以当()y k x =与()y x ϕ=有两个交点时，01a <<，所以a 的取值范围是()0,1． ········································· 12分 21．（12分）已知点()0,1F ，直线:1=-l y ，直线l '垂直l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交l '于点Q ． （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点(),2-H a 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，记△HAB 的外接圆为G ，不论a 取何值，试判断以HG 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【命题意图】本题主要考查曲线的方程、垂直平分线的性质等基础知识；考查运算求解能力；体现数形结合思想；取向逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养．解析：（1）依题意，得=FQ PQ ， ························· 1分假设Q 点的坐标为(),x y1=+y ， ············· 3分化简，得到24=x y ，所以点Q 的轨迹C 的方程是24=x y . ·········· 4分（2）解法一：假设22112211(,),(,)44A x xB x x ，(),2-H a ， 抛物线方程化成214y x =，求导，得12y x '=， ·············· 5分112=HAk x ，中垂线HA 的斜率是12,k x =-HA 中点坐标是2118(,),28x a x A +-HA 的中垂线方程是21118282x x a y x x -+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ··········· 6分 又()121142,8x a x x --=-+即21128,x ax -= 代入上面式子，得111242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭同理可得HB 的中垂线方程是222242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ········· 7分 联立方程，得圆心坐标是23(,1)22+a G a . ·················· 8分以HG 为直径的圆的方程为()()23210.22a x a x a y y ⎛⎫⎛⎫--++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ····· 9分化简整理，得22225120222-++--+=a x ax y y y a ，即()222252224=++--+ax x y ay a················· 10分由a 的任意性，得()222222240=⎧⎪⎨++--+=⎪⎩x x y a y a ， 即()()201240=⎧⎪⎨⎡⎤---=⎪⎣⎦⎩x y y a ，解得01=⎧⎨=⎩x y ， ·············· 11分所以以HG 为直径的圆恒过定点()0,1． ················· 12分解法二：（1）同解法一； ······························ 4分（2）假设22112211(,),(,)44A x xB x x ，(),2-H a ， 抛物线方程化成214y x =，求导得12y x '=， ·············· 5分112=HAk x ，中垂线HA 的斜率是12,k x =-HA 中点坐标是)88,2(211-+x a x ，HA 的中垂线方程是21118282x x a y x x -+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，··········· 6分又()121142,8x a x x --=-+即21128,x ax -= 代入上面式子，得111242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭同理可得HB 的中垂线方程是222242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ········ 7分 联立方程，得圆心坐标23(,1)22+a G a . ·················· 8分由对称性可知，定点存在且必在y 轴上，设为点()00,M y ，则203(,1)22=---a GM a y ，0(,2)=-+HM a y ············ 9分则2222200000033(1)(2)222222⋅=⋅+--+=++----a a GM HM a a y y a y y y y a22000112022⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭y a y y ············· 10分 由a 的任意性，得0200112220⎧-=⎪⎨⎪+-=⎩y y y ，解得01=y ， ··········· 11分所以以HG 为直径的圆恒过定点()0,1． ················ 12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为12sin 2=θρ，将曲线1C 绕点O 顺时针旋转4π得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的极坐标方程和直角坐标方程；（2）过点()11P -，的直线l 交曲线2C 于B A ,两点，求PB PA ⋅的最小值．【命题意图】本题主要考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程、参数几何意义基础知识；考查推理论证、运算求解等基本能力；考查数形结合、化归与转化等基本思想；取向数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．解析：（1）设()θρ,M 是曲线2C 上任意一点，则()θρ,M 绕点O 逆时针旋转4π得到点⎪⎭⎫ ⎝⎛+'4π,θρM ············ 2分 因为'M 在曲线1C 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛+4π2sin 2θρ=1， 化简得曲线2C 的极坐标方程是12cos 2=θρ． ··············· 3分12cos 2=θρ可得1sin cos 2222=-θρθρ，将y x ==θρθρsin ,cos 代入即得曲线2C 直角坐标方程122=-y x ． ···················· 5分 （2）设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=，，ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数） ············· 6分代入2C 直角坐标方程122=-y x 得()01cos sin 22cos 2=-++⋅t t ααα， ··· 7分设点B A ,对应的参数分别为21,t t ，则α2cos 121-=t t ， ··········· 8分由参数t 的几何意义得α2cos 121==⋅t t PB PA ， ············· 9分当且仅当0=α时，PB PA ⋅取得最小值1． ················ 10分23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）已知函数3)(+--=x a x x f ．（1）当2=a 时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）[3,3]x ∀∈-，()4f x x -≤，求a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式基础知识；考查运算求解基本能力；考查函数与方程、分类与整合、数形结合等基本思想；取向数学运算核心素养．解析：（1）当2=a 时，5,3()2312,325,2x f x x x x x x -⎧⎪=--+=---<⎨⎪->⎩≤≤当3x -≤时，()51f x =≤无解，故不成立； ................................. 1分 当32x -<≤时，()121f x x =--≤，解得12x -≤≤； ....................... 3分 当2x >时，()51f x =-≤恒成立，综上所述，x ≥-1． ....................... 5分 （2）[3,3]x ∀∈-，34x a x x --+-≤等价于7x a -≤， ....................... 7分即77+≤≤-a x a ， ...................................................... 8分 得44≤≤-a ． ......................................................... 10分。
2020届福建省泉州市高三毕业班3月适应性线上测试(一)数学(文)试题(解析版)
2020届福建省泉州市高三毕业班3月适应性线上测试（一）数学（文）试题一、单选题1．若复数z 满足()12z i i +=，则z 的值是（ ） A ．-1-i B ．-1i +C ．1-iD ．1i +【答案】C【解析】先用复数除法进行化简，之后求共轭复数即可. 【详解】 因为()12z i i +=故：()()()()21211111i i i z i i i i i i -===-=+++- 故其共轭复数为：1i - 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，涉及共轭复数，属基础题.2．集合{}230A x x x =-<，2{}0|B x x =-≥，则()A B =R I ð( ) A ．{|02}x x <≤ B ．{}2|0x x << C ．{|23}x x ≤< D ．{}|03x x <<【答案】B【解析】利用集合的交、补运算即可求解. 【详解】}{}{(3)003A x x x x x =-<=<<，}{2B x x =≥，}{2R B x x =<ð，则(){}{}{}03202R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<ð， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的交、补运算，属于基础题.3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3416a a +=，530S =，则1a =（ ）【解析】根据条件建立关于1a 和d 的方程组，求解1a . 【详解】解析：由3416a a +=，530S =得12516a d +=且151030a d +=，解得12a =-. 故选：A 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，属于简单题型.4．下图是某地区2010年至2019年污染天数y （单位：天）与年份x 的折线图，根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型11ˆyb x a =+，22ˆy b x a =+，33ˆy b x a =+，则（ ）A ．123b b b <<，123a a a <<B ．132b b b <<，132a a a <<C ．231b b b <<，132a a a <<D ．231b b b <<，321a a a <<【答案】C【解析】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，由ˆb和ˆa 的的几何意义直接判断选项. 【详解】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，2010至2014年，y 随x 的增加，平缓的下降，2015年到2019年y 随着x 的增加，下降迅速，根据回归直线方程中ˆb的几何意义可知，210b b <<，由点的分布可知，()321,b b b ∈，所以231b b b << ， 根据散点图可知132a a a <<.本题考查回归直线方程和散点图的关系，重点考查对图象的分析能力，属于基础题型. 5．已知1sin cos 2αα=+，则cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．34C．D【答案】A【解析】1sin cos 2αα-=，两边平方后可得3sin 24α=，再根据诱导公式直接计算结果. 【详解】 解析：由1sin cos 2αα=+，得1sin cos 2αα-=，平方得11sin 24α-=，所以3sin 24α=， 所以3cos 2sin 224παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.6．已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线经过点()12,9，且其焦距为10，则C 的方程为（ ） A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．221916x y -=D ．221169x y -= 【答案】D【解析】由条件建立关于,,a b c 的方程组，直接求解双曲线C 的方程；或是利用排除法获得选项. 【详解】解析：依题意可得2229125b a c c a b ⎧=⋅⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得4a =，3b =，故方程为221169x y -=.另解：由焦距得5c =，又由222c a b =+快速排除AB 选项：点()12,9代入选项C ，不满足，排除C ， 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线标准方程和几何性质，重点考查基础知识，属于基础题型.7．若实数x ，y 满足约束条件022085400y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．313D ．373【答案】D【解析】首先画出可行域，然后画出初始目标函数20x y +=，再平移直线，得到函数的最大值. 【详解】 如图画出可行域，令20x y +=，作出初始目标函数，当初始目标函数平移至点C 时，2x y +取得最大值，22085400x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得：53x = ，163y =， 此时2x y +的最大值516372333+⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查线性规划，重点考查作图和识图能力，属于基础题型.8．已知函数2,0()32,0xx b x f x b x ⎧++>=⎨+≤⎩，若()f x 在实数集上为增函数，则常数b 满足（ ） A ．0b < B ．0b >C ．01b ≤≤D ．1b >【答案】C【解析】由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在R 上递增，则有221b b b -≤⎧⎨+≥+⎩，解得不等式，即可求出结果． 【详解】因为()f x 在实数集上为增函数，所以001221b b b b -≤⎧⇒≤≤⎨+≥+⎩，故选C. 【点睛】在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果．9．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的焦距为2c ，1F ，2F 是E 的两个焦点，点P是圆222()4x c y c -+=与E 的一个公共点.若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为（ ）A B 1C ．D 1【答案】B【解析】首先由条件判断2190PF F ∠=︒，再结合椭圆定义得到椭圆的离心率. 【详解】依题意可得122F F PF =2c =，又因为12PF F ∆为直角三角形，所以2190PF F ∠=︒，故112PF F F222c c a += ，解得:1c a ==所以1e =.【点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，重点考查灵活应用几何性质，本题的关键是判断2190PF F ∠=︒，属于中档题型.10．已知函数1,(0)()ln 2,(0)x xe x f x x x x ⎧+≤=⎨-->⎩，若函数()y f x a =-至多有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,1(1,)e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U C ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．[1,1]e +【答案】B【解析】首先画出函数()y f x =的图象，转化为y a =与函数图象至多有2个零点时，求a 的取值范围. 【详解】解析：由()0f x a -=，得()f x a =，1x y xe =+ 0x ≤()1x y x e '=+，当1x =-时，0y '=，当(),1x ∈-∞-时，0y '<，函数单调递减， 当()1,0x ∈-时，0y '> ，函数单调递增， 所以0x ≤时，函数的最小值()111f e-=-，且()01f = ln 2y x x =-- ，0x >，11y x'=-，当1x =时，0y '=， 当()0,1x ∈时，0y '<，函数单调递减， 当()1,x ∈+∞时，0y '>，函数单调递增， 所以0x >时，函数的最小值()11f =-，作出函数()y f x =与y a =的图象，观察他们的交点情况，可知，11a e<-或1a >时，至多有两个交点满足题意，故选：B. 【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，重点考查利用导数判断函数的单调性和最值，并能数形结合分析问题的能力，属于中档题型.二、多选题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ） A ．10i e π+=B ．1ixe=C ．cos 2ix ix e e x --=D ．12i e 在复平面内对应的点位于第二象限【答案】AB【解析】根据欧拉公式的定义，代入x π=，判断选项A ，根据模的计算公式判断B ，令x x =-，两个式子联立解方程组判断C,令12x =，则12i e 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos12,sin12)，判断D. 【详解】解析：1cos sin 10i e i πππ+=++=，A 对；|cos sin |1ixex i x =+=，B 对：cos 2ix ixe e x -+=，C 错；依题可知ix e 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos ,sin )x x ，故12i e 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos12,sin12)，显然该点位于第四象限；D 错； 故选：AB.本题考查新定义和复数的计算和性质，属于基础题型，本题的关键是读懂新定义. 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos b c A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是（ ） A ．34AC =B ．8AB =C ．18CD BD =D ．ABD ∆的面积为374【答案】ACD【解析】首先根据余弦定理，并结合条件判断2C π=，并根据二倍角公式得到3cos 4CAD ∠=，依次计算,AC AB 的值，根据面积比值ACD ADB S S ∆∆，判断C 和D.【详解】解析：在ABC ∆中，根据余弦定理得，222cos 2b c a bA bc c+-==，即222b a c +=，所以2C π=.由倍角公式得21cos 2cos 18BAC CAD ∠=∠-=，解得3cos 4CAD ∠=. 在Rt ACD ∆中，3cos 4AC AD CAD =∠=，故选项A 正确 在Rt ABC ∆中，1cos 8AC BAC AB ∠==，解得6AB =.故选项B 错误； 11sin 2211sin 22ACD ADBCD AC AC AD CADS S BD AC AB AD BAD ∆∆⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠，解得18CD AC BD AB ==，故选项C 正确； 在ABD ∆中，由3cos 4BAD ∠=得，7sin BAD ∠=，所以1sin 2ABD S AD AB BAD ∆=⋅⋅∠ 1737162=⋅⋅⋅=，故选项D 正确故选：ACD本题考查判断命题的真假，重点考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，数形结合分析问题的能力，属于中档题型.三、填空题13．已知向量(,2)a x =r ，(1,1)b =-r ，若|2||2|a b a b +=-r r rr ，则x =______________.【答案】2【解析】|2||2|a b a b +=-rrrr两边平方后，得到0a b ⋅=rr ，根据向量数量积计算结果. 【详解】|2||2|a b a b +=-r r r r ，两边平方可得0a b ⋅=r r，故20x -+=，得2x =.故答案为：2 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型. 14．已知13a π=，()126b e =，logc e π=，e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系为__________. 【答案】a b c >> 【解析】化简13b e=，根据幂函数13y x =的单调性和图象比较,a b 大小，再根据对数函数可知()0,1c ∈，最后比较,,a b c 的大小关系， 【详解】 解析：因为()11236b ee ==，13a π=，13y x =在定义域内单调递增，1e π>>故1a b >>，又log log 1c e πππ=<=，故a b c >>. 故答案为：a b c >> 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，重点是判断所属函数类型，利用单调性比较大小，或是和特殊值比较，属于基础题型.15．已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移π个单位后所得图象关于y 轴对称，则：()f x =_____________；当,x ππ⎡⎤∈-时，()f x 的值域为___________.【答案】()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】首先根据函数的性质计算函数的解析式，再根据函数的定义域计算x ωϕ+的范围，计算函数的值域. 【详解】 因为2ππω=，可得2ω=，函数向左平移6π个单位后得到sin 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为函数是偶函数， 所以262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭； 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 22,633πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦x ，所以()f x 的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数的性质和解析式，意在考查对称性和函数的值域，属于中档题型. 16．已知三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面30ABC PAB ∠=︒,，6,10AB PA CA CB ==+=.设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为__________. 【答案】34【解析】利用余弦定理求出PAB △是直角三角形，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，CD y =，CA x =，即10CB x =-，由180CDA CDB ∠+∠=︒，利用余弦定理可得：()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，化简配方即可求解. 【详解】由已知易得PAB △是直角三角形， 过点P 作PD AB ⊥，垂足为D，易得93,22PD AD BD ===， 连接CD ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理，可得PD ⊥平面ABC ， 所以PCD θ∠=，tan PD CD θ==CD 取最小值时，tan θ最大. 设CD y =，CA x =，则10CB x =-.因为180CDA CDB ∠+∠=︒，所以cos cos 0CDA CDB ∠+∠=，即()2222229310220932222y x y x y y ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯，所以y =，可得当152x =时，y取得最小值，最小值为即CD的最小值所以tan θ34=. 故答案为：34【点睛】本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.四、解答题17．数列{}n a 中，13a =，13n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）若363n S =，求n ；（2）若3log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）5n =（2）1n n T n =+ 【解析】（1）由题意可知数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，根据等比数列的前n 项和公式求n ；（2）由（1）可知n b n =，代入后()1111n n b b n n +=+，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由13n n a a +=得数列{}n a 是首项13a =，公比3q =的等比数列； 由363nS =得()13336313n-⨯=-.得3243n =，解得5n =. 所以n 的值为5.（2）由（1）知数列{}n a 是首项13a =，公比3q =的等比数列.可得3nn a =33l 3log og n n n b a n ===11111(1)1n n b b n n n n +==-++ 11111111223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L111n =-+ 1n n =+. 所以，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和1n nT n =+. 【点睛】本小题主要考査等比数列的定义、通项公式、数列求和等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.18．新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上买菜”受追捧.某电商平台在A 地区随机抽取了100位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上买菜”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率分布直方图.（1）求m 的值；（2）从“线上买菜”消费总金额不低于500元的被调研居民中，随机抽取2位给予奖品，求这2位“线上买菜”消费总金额均低于600元的概率；（3）若A 地区有100万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不到平均水平一半的居民投放每人10元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的中点值代替，试根据上述频率分布直方图，估计该平台在A 地区拟投放的电子补贴总金额.【答案】（1）0.003m =（2）35（3）1820000元 【解析】（1）根据频率和为1计算m 的值；（2）由频率分布图计算可知消费总金额在[500,600)元的有4人，消费总金额在[]600,700的有1人，采用编号列举的方法，计算这2位“线上买菜”消费总金额均低于600元的概率；（3）首先计算估计A 地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数，并且计算小于平均水平一半的频率，并计算总金额. 【详解】（1）由(0.00110.00240.0020.0010.00040.0001)1001m ++++++⨯=， 得0.003m =.（2）设事件A 为“这2位‘线上买菜’消费总金额均低于600元”被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在[500,600)元的有000041001004⨯⨯=人，分别记为1a ，2a ，3a ，4a被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在[]600,700的有0.00011001001⨯⨯=人，记为b ，从被抽取的居民“线上买菜”消费总金额不低于500元的居民中随机抽取2人进一步调研，共包含10个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，1a b ，23a a ，24a a ，2a b ，34a a ，3a b ，4a b ， 事件包含6个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，23a a ，24a a ，34a a ， 则这2位线上买菜消费总金额均低于600元的概率63()105P A ==. （3）由题意，可得估计A 地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数为500.00111001500.00241002500.0031003500.0021004500.001⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯1005500.00041006500.0001100260⨯+⨯⨯+⨯⨯=估计低于平均水平一半的频率为2601000.00240.110.1822⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭， 所以估计投放电子补贴总金额为10000000.182101820000⨯⨯=元.【点睛】本题考査频率分布直方图、古典概型、用样本估计总体等知识点.考察了学生对统计图表的识读与计算能力，考察了学生的数学建模、数据分析、数学抽象、数学运算等核心素养.19．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为4，D 是AC 的中点，E 在11A C 边上，113EC A E =.（1）证明：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；（2）若F 是侧面11ABB A 内的动点，且//EF 平面1BC D .①在答题卡中作出点F 的轨迹，并说明轨迹的形状（不需要说明理由）； ②求三棱锥1F BC D -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）①详见解析②43【解析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据条件可证明以BD ⊥平面11ACC A ；（2）①要总有//EF 平面1BC D ，即作出过点E 的平面，使其与平面1BC D 平行； ②根据①的面面平行可转化为11F BC D E BC D V V --=，再利用等体积转化求解. 【详解】解：（1）在正三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以1AA BD ⊥在等边ABC ∆中，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1AA AC A =I ，所以BD ⊥平面11ACC A .又BD ⊂平面1BC D ，所以平面1BC D ⊥平面11ACC A .（2）①取1AA 的中点M ，11A B 的中点N ，连接MN ，则点F 的轨迹就是线段MN . ②因为//EF 平面1BC D ，所以111F BC D E BC D B EC D V V V ---==.…… 由（1）得BD ⊥平面1EC D ， 又因为113462EC D S ∆=⨯⨯=，23BD =所以11623433B ECD V -=⨯⨯=. 故三棱锥1F BC D -的体积为43.【点睛】本小题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、三棱锥的体积的求解等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考査化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,1F ，点P 满足以PF 为直径的圆与x 轴相切. （1）求P 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 与C 相切于点P ，过F 作PF 的垂线交l 于Q ，证明：FQ FO ⋅u u u r u u u r为定值.【答案】（1）24x y =（2）证明见解析 【解析】（1）设(),P x y ，利用1||2y MF +=，化简求轨迹方程； （2）设()22,P t t，分别求直线FQ 和直线l 的方程，求交点Q 的坐标，再利用坐标表示FQ FO ⋅u u u r u u u r .【详解】（1）设(),P x y ，则PF 的中点为1,22x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意，得1||2y MF +=，2(1)4y +=整理，得24x y =， 所以C 的方程为24x y =.（2）设()22,P t t ，()00,Q x y 则PF 的斜率212t k t-=，故直线QF 的方程为2211ty x t =-+-， 又12y x '=，故可得l 的方程为2y tx t =-，由22211y tx t ty x t ⎧=-⎪⎨=-+⎪-⎩解得01y =-， 又()00,1FQ x y =-u u u r ，(0,1)FO =-u u u r所以012FQ FO y ⋅=-=u u u r u u u r ，故FQ FO ⋅u u u r u u u r为定值.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考査化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注. 21．已知函数()ln x axf x x x e=-+. （1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若1x =是()f x 的唯一极值点，求a 的取值范围. 【答案】（1）增区间是()1,+∞，减区间是()0,1（2）a e ≥- 【解析】（1）利用导数11()(1)x f x x e x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，求函数的单调区间； （2）首先求函数的导数(1)1()(1)x x xe x a x af x x e x e ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭'=-+= ⎪⎝⎭，令()xe g x a x =+，转化为函数()g x 没有变号零点，求a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意可得1()(1)x a f x x ex ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(0)x >当1a =时，11()(1)x f x x e x ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭， 因为0x >，所以110x ex ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以()0f x '>时，01x <<，()0f x '<时，1x >. 所以()f x 的增区间是()1,+∞，减区间是()0,1.（2）(1)1()(1)x x xe x a x af x x e x e ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭'=-+= ⎪⎝⎭，令()xe g x a x =+ 则2(1)()x e x g x x'-=，当01x <<，()0g x '<，当0x >，()0g x '>， 所以()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增， 所以min ()(1)g x g a e ==+①当0a e +>，即a e >-时，()0g x >恒成立， 故01x <<时，()0f x '>；1x >时，()0f x '<故()f x 在()0,1递增，在()1,+∞递减，所以1x =是()f x 的唯一极值点，满足题意. ②当0a e +=.即a e =-时，()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，(1)0g a e =+=.故01x <<时，()(1)0g x g >=，得()0f x '>；1x >时，()(1)0g x g >=，得()0f x '< 故()f x 在()0,1递增，在()1,+∞递减 所以1x =是()f x 的唯一极值点，满足题意. ③当0a e +<，a e <-时，(1)0g a e =+<，2()a e a g a a ---=-，令a t -=，则2()t e t g a t--=，t e >， 令2()t h t e t =-，t e >，()2th t e t '=-令()2tt e t ϕ=-，t e >，()20tt e ϕ'=->，故()t ϕ在(),e +∞递增，故()()0t e ϕϕ>>故()h t 在(),e +∞递增，()()0h t h e >>，故()0g a -> 所以()g x 在()1,+∞存在唯一零点，设为t ，当1x t <<时，()()0g x g t <=，得()0f x '>；当x t >时，()()0g x g t >=，得()0f x '<，所以()f x 在()1,t 递减，(),t +∞递增，所以x t =也是()f x 的极值点， 所以a e <-不符合题意综上所述，a 的取值范围是a e ≥- （注：①②可合并） 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和极值点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为4,,x t y kt =-⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k=，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线C .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 的极坐标方程； （2）已知点,A B 在C 上，4AOB π∠=，求AOB V 的面积的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）；（2）2+.【解析】（1）将直线1l 化为普通方程，与直线2l 联立消去k ，得C 的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.（2）设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，根据三角形的面积公式可得1sin cos 244AOB S OA OB ππθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由4x ty kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()4y k x =-，设(),P x y ，由题意得()4,1.y k x y x k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去k 得C 的普通方程2240(0)x y x y +-=≠.把222x y p +=，cos x ρθ=代入上式，24cos 0ρρθ-=，可得C 的坐标方程为4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）.（2）由题意可设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，121sin cos 2444AOBS OA OB p p ππθθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭V u u u v u u u v ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()4k k Z πθπ=-∈时， AOB V的面积取得最大值，其最大值为2+.【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题. 23．已知关于x 的不等式2321x x a x -+-≥-的解集为R . （1）求a 的最大值m ；（2）在（1）的条件下，若1p >，且22pq p q m --=-，求p q +的最小值. 【答案】（1）4；（2）7.【解析】（1）当1x =时，解得a R ∈；当1x ≠时，分离参数可得2321x x a x -+-≤-，令()2321x x g x x -+-=-，只需()min a g x ≤，根据绝对值的几何意义求出()min g x 即可；（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=，从而()()123p q p q +=-+-+，利用基本不等式即可求解.第 21 页 共 21 页 【详解】（1）当1x =时，20a ≥⋅恒成立，此时a R ∈.当1x ≠时，原不等式可等价转化为2321x x a x -+-≤-.令()2321x x g x x -+-=-，则原不等式恒成立，只需()min a g x ≤.因为()23244411x x x g x x x -+--=≥=--， 当且仅当23x ≤或2x ≥时，“=”号成立， 所以()min 4g x =，即4a ≤.综上知，a 的最大值4m =.（2）由（1）可得22pq p q --=，即()()124p q --=.因为10p ->，所以()20q ->，()()12337p q p q +=-+-+≥=.当且仅当12p q -=-，即3,4p q ==时“=”成立，所以p q +的最小值为7.【点睛】本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.。
福建省泉州市2020届高三5月质检(文科数学)参考答案与评分细则
点B
，所以
OB
OF
tan BFO
cb c
b ，故 B 点坐标是
(0, b) ，以双曲线的顶点及虚顶点 B, B 构造矩形如图所示，
则渐近线必过顶点 A .在 PFO 中，利用相似三角形性质，
得 AB PB PB ,即 1 a OF PF PB BF e c
1 3 1 ，解得 e
3 1.
（解法一图）
（解法二图）
10.【解析】法一：函数
f
x
2x 1, x 1,0,
cos
2
x,
x
0,1
的图象如下图：
对于① f x 1 的图象，可由 f x 的图象上所有点向右平
移 1 个单位长度，所以①正确；
对于②
f
1
x
的图象，它与
f
x
的图象关于点
1 2
，0
对
称，所以②错误；
对于③ f x 的图象，可由 f x 的图象保留 x 轴上方的图象，将 x 轴下方的图象作它关于 x 轴
3.【解析】设等比数列{an} 的公比为 q .由 S2 6a3 ，得 a1 a1q 6a1q2 ；由 a1 0 ，得 (3q 1)(2q 1) 0 ；
市质检数学（文科）试题 第 1 页（共 21 页）
由数列各项均为正数，得 q 0, 3q 1 0 ，故 q 1 . 2
所以
a5
a2q3
因此 y1 x1 1 ex1 x1 1 ．所以 x1 x1 1 x1 1 ，
解得 x1
1 2
5
或1 2
5
（不合，舍去）．所以 x0
2
x1
=
3
2
5
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线上市质检数学（文科）试题
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A ． b1 b2 b3 ， a1 a2 a3
B． b1 b3 b2 ， a1 a3 a2
C． b2 b3 b1 ， a1 a3 a2
5．已知 sin
1 cos ，则 cos( π 2 )
2
2பைடு நூலகம்
D． b2 b3 b1 ， a3 a2 a1
3
A.
4
3
B.
2y 的最大值为
31
37
A. 9
B. 10
C.
D.
3
3
8．已知函数 f ( x)
x
x
3
b
2, x
0,
若
f ( x)
在R
上为增函数，则
2b, x≤0.
A. b 0
B. b 0
C. 0≤ b≤1
D. b 1
2
2
9．已知椭圆
E
:
x a2
y b2
1(a
b
0) 的焦距为 2c ，F1, F2 是 E 的两个焦点， 点 P 是圆 (x
15．已知函数 f ( x) sin( x ) ( 0,
π )
的最小正周期为
π，其图象向左平移
π个单位后所得图
2
6
象关于 y 轴对称，则：
f (x)
____________ ；当 x
[
ππ , ] 时，
f ( x) 的值域为
___________．（本题
44
第一空 2 分，第二空 3 分）
16．已知三棱锥 P ABC 中，平面 PAB 平面 ABC ， PAB 30 ， AB 6 ，PA 3 3，CA CB 10. 设直线 PC 与平面 ABC 所成的角为 ，则 tan 的最大值为 ____________．
2
c)
2
y
2
4c
与 E 的一个公共点．若 △ PF1F2 为直角三角形，则 E 的离心率为
A． 5 1 2
10．已知函数 f (x)
A． (
，1
1 )
e
C． ( 1,1 1) e
B． 2 1
C． 2 2
D． 2 1
xex 1,( x 0),
若函数 y f x a 至多有 2 个零点，则 a 的取值范围是
D ． △ ABD 的面积为 3 7 4
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡的相应位置。
13．已知向量 a x, 2 ， b 1,1 ，若 a 2b a 2b ，则 x ___________．
14．已知 a
1
1
3 ,b (e2 ) 6 , c log e ， e 为自然对数的底数，则 a, b, c 的大小关系为 ___________ ．
4
C.
7
4
D. 7 4
6．已知双曲线
x2 C: 2
y2
2
1 的一条渐近线经过点 (12,9) ，且其焦距为 10，则 C 的方程为
ab
2
2
xy
A．
1
34
2
2
B． x y 1
43
2
2
xy
C．
1
9 16
7．若实数 x, y 满足约束条件
2
2
D． x y 1
16 9
y≥ 0, 2 x y 2≥0, 则 x 8x 5 y 40≤0,
保密 ★启用前
准考证号 ________________
姓名 ________________
（在此卷上答题无效）
泉州市 2020 届高三毕业班适应性线上测试（一）
文科数学
本试卷共 23 题，满分 150 分，共 5 页。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
项的得 5 分。
11．欧拉公式
ix
e
cos x isin x （ i 为虚数单位， x R ）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函
数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为
“数学中的天桥 ”，根据此公
式可知，下面结论中正确的是
A ． eπｉ 1 0
ix
B． e 1
C． cos x
x ln x 2,( x 0).
1 B． ( ,1 ) (1, )
e D． [1,1 e]
线上市质检数学（文科）试题
第 2 页（共 6 页）
二、 多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求。不选或选出的选项中含有错误选项的得
0 分，只选出部分正确选项的得 3 分，选出全部正确选
2．选择题请按本校老师规定的方式作答 . 非选择题及使用钉钉平台阅卷的多项选择题， 请自行 打印答题卡，按照题号顺序在各题目的答题区域内（黑色线框）作答，超出答题区域书写的 答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．没有条件自行打印的，请在空白纸上模仿答题卡 自行画定答题区域 , 标明题号，并在相应区域内答题 , 超出答题区域书写的答案无效。
ix
ix
ee
2
D．
12i
e
在复平面内对应的点位于第二象限
12．在 △ ABC 中，角 A, B , C 所对的边分别为 a,b, c ．若 b c cos A ，角 A 的角平分线交 BC 于点 D ，
AD
1 ， cos A
1
，以下结论正确的是
8
3 A ． AC
4
B ． AB 8
CD 1
C．
BD 8
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第 3 页（共 6 页）
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．（ 12 分）
数列 an 中， a1 3， an 1 3an ， Sn 为 an 的前 n 项和． （ 1）若 Sn 363 ，求 n ；
A． 2
B． 0
C． 2
D． 4
4．下图是某地区 2010年至 2019年污染天数 y （单位：天）与年份 x 的折线图．
根据 2010年至 2014年数据， 2015 年至 2019年的数据， 2010年至 2019年的数据分别建立线性回归模型
y? b1x a1 ， y? b2 x a2 ， y? b3x a3 ，则
C． 1+i
2
2．设集合 A { x x 3x 0} ， B { x x 2 0} ，则 A (eR B)
D．1 i
A ． { x 0 x 2}
B． { x 0 x 2}
C． { x 2 ≤ x 3} D ． { x 0 x 3}
3．记 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和．若 a3 a4 16 ， S5 30 ，则 a1=
3. 答题完毕， 请按学校布置的要求， 用手机拍照答案并上传到指定的地方， 不要多拍、漏拍。
要注意照片的清晰，
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．设复数 z 满足 z(1 i) 2i ，则 z
A． 1 i
B ． 1+i