南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案

4 R 时，球面 Σ 在球面 Σ 0 内部的那部分面积最大. 3
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十二、 （本题满分 8 分） 注：科技学院考生只作第 1 题, 其他考生只作第 2 题. 1.计算 I = ∫
L
( x − 1)
x2 + y2
2
+y
2
ds ，其中曲线弧 L 为： x 2 + y 2 = 2 x ， y ≥ 0 .
D
2π t
(
)
(
x 2 + y 2 dxdy + t 4 ，
)
其中 D 是由 x + y = t 所围成的闭区域，求当 x ∈ (0,+∞ ) 时 f ( x ) 的表达式.
2 2 2
f ( t ) = 2∫ dθ ∫ r 2 f ( r ) rdr + t 4
= 4π 两边对 t 求导得
∫ r f ( r ) dr + t
1 8 1 . 4
令 y′ = 0 得 y = 2 x ，代入原方程解得 x = , y =
y′′
1 1 x= , y= 8 4
=
( y′ − 2 ) ( 3 y 2 − x ) − ( y − 2 x )( 6 yy′ − 1)
(3 y
2
− x)
2
1 1 x = , y = , y′ = 0 8 4
三、求由方程 x 2 + y 3 − xy = 0 所确定的函数 y = y ( x ) 在 (0,+∞ ) 内的极值，并判断是极大值 还是极小值.
对 x 2 + y 3 − xy = 0 两边求导得 2 x + 3 y 2 y′ − ( y + xy′ ) = 0 ，
y′ =
y − 2x ， 3y2 − x
(
)
当 0 < R < 1 时 (0,0 ) ∉ D ,由格林公式知, I = 0 .
ε x = cos θ 当 R > 1 时, (0,0 ) ∈ D ,作足够小的椭圆曲线 C : , θ 从 0 到 2π . 2 y = ε sin θ
当 ε > 0 充分小时, C 取逆时针方向,使 C ⊂ D ,于是由格林公式得 ∫
∫
b
a
xf ( x )dx ,
∫
b
a
xf ( x )dx ≥
b a 1 1 F ( b ) − F ( a ) = b ∫ f ( x ) dx − a ∫ f ( x ) dx . 2 0 0 2
九、设 ϕ (u, v ) 具有连续偏导数，由方程 ϕ ( x − az, y − bz ) =0 确定隐函数 z = z ( x, y ) ，求
∫∫
D
2π l rρ ∂z ∂z 1 + + dxdy = ∫ dθ ∫ dρ , 0 0 ∂x ∂ 2 r2 − ρ 2 2 2
= 2π r r −

r2 . 2R
令 S ′ ( r ) = 0 得驻点 r = 容易判断当 r =
4 R, 3
L +C −
xdy − ydx = 0， 4x2 + y 2
因此 ∫
xdy − ydx xdy − ydx = ∫C 2 2 L 4x + y 4x2 + y 2
2π
=∫
0
1 2 ε 2 dθ
ε2
=π
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六、设函数 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 内具有连续的导数，且满足
f (t ) = 2 ∫∫ x 2 + y 2 f
(1)
y = 2x −x2 , 1− x y′ = , 2 2x − x
ds = 1 + y′2 dx =
将(1)、(2)代入 I = ∫
1 2x − x2
dx ，
(2)
L
( x − 1)2 + y 2
2
x2 + y2
ds 得 dx
I = ∫0 2 x
= 2∫ =4. 2.计算曲面积分 I =
2 0
x 0
b x
∫ f ( t )dt + xf ( x ) , F ( b ) − F ( a ) = ∫ F ′ ( x )dx = ∫ ∫ f ( t )dt + xf ( x ) dx
b a
a 0
≤ ∫ xf ( x ) + xf ( x ) dx a
b
=2 于是
a
∂z ∂z +b . ∂x ∂y
∂z ∂z + ϕ 2′ −b = 0 , ∂x ∂x ∂z ∂z 两边对 y 求偏导得 ϕ1′ − a + ϕ 2′ 1 − b = 0 , ∂y ∂y ∂z ϕ1′ ∂z ϕ2′ = ， = , ∂x aϕ1′ + bϕ 2′ ∂x aϕ1′ + bϕ 2′
∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ Σ
3
2
+
− 1) dxdy = ∫∫∫ 6 ( x 2 + y 2 + z ) dv
Ω
1 1− r
2
1
=6
∫
2π
0 1
dθ ∫ dr ∫
0
0
( z + r ) rdz
2
= 12π
2 1 r (1 − r 2 ) + r 3 (1 − r 2 ) dr ∫0 2
1 2x − x 2
1 dx 2− x
3 3 2
被平面 z = 0 所截出部分的上侧. 记 Σ 1 为 xoy 平面上被园 x 2 + y 2 = 1 所围成的部分的下侧， 为由 Σ 与 Σ 0 围成的空间闭 Ω 区域.由高斯公式知
3
∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ
− 1) dxdy ，其中 ∑ 是曲面 z = 1 − x 2 − y 2
理工类)试题答案 第六届 (理工类)试题答案
一、 单项选择题(每题 3 分，共 15 分) 1、B. 2、D. 3、A. 4、A. 5、C.
二、 选择题(每空 3 分，共 15 分)
1、1.
2、 xf x 2 .
( )
3、 ∫π3 dθ ∫
4
π
2 sec θ
0
f (r )rdr .
4、8 π .
5、 a .
(1 − xy )
2
=
1 , 1+ x2
2x ∂ 2u =− 2 ∂x 1+ x2
(
)
2
.
五、 计算曲线积分 I = ∫
L
xdy − ydx ，其中 L 是以点（1，0）为中心， R 为半径的圆周 4x2 + y 2
R > 0, R ≠ 1 ,取逆时针方向.
P ( x, y ) =
−y x ∂P y 2 − 4x 2 ∂Q , Q ( x, y ) = , 当 ( x, y ) ≠ (0,0) 时, = = 2 2 2 2 2 ∂y ∂x 4x + y 4x + y 4x 2 + y 2
1 1 − , n +1
1 1 1 − = an an +1 π
n 1 1 n 1 1 1 1 Sn = ∑ − − =∑ = a ak +1 k =1 π k k +1 π k =1 k 1 1 1 S = lim 1 − = n →∞ π π n +1
∂z ∂z 1+ + = ∂x ∂ 2
2 2
r r 2 − x2 − y2
.
球面 Σ 与球面 Σ 0 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程为 x 2 + y 2 = r 2 −
r4 ，令 4R2
r4 l= r − 2 4R
2
所求曲面面积为 S ( r ) =
∫∫ 2 x dydz + 2 y dzdx + 3 ( z Σ
3 3
1
=2 π .
2
− 1) dxdy = −
∫∫
x 2 + y 2 ≤1
−3dxdy =3 π
I = 2π − 3π = −π
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= − 32<0. 故当 x =
1 1 时， y 取极大值 . 8 4
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x+ y ∂u ∂ 2 u 四、 设 u = arctan ，求 , . 1 − xy ∂x ∂x 2
∂u = ∂x
1 x+ y 1+ 1 − xy
2
1 − xy + ( x + y ) y
两边对 x 求偏导得 ϕ1′ 1 − a
a
∂z ∂z + b =1. ∂x ∂y
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十、设 x n = 2 n −
1 1
−
1 2
−L−
1 n
k
，判别数列 {xn }的敛散性.
定义 x0 = 0 ，令 uk = xk − xk −1 ，则
∑u
k =1
n
= xn ,
当 n ≥ 2 时， un = xn − xn −1 = 2 n −
1 − 2 n −1 , n
=
2 n + n −1
−
1 n − n −1 = = n n n + n −1 n