高中总复习第二轮数学第一部分 专题七 7.3 空间向量及其应用(B)
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。
设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。
2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。
三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。
4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。
高二数学空间向量知识点总结归纳
高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。
在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。
本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。
一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。
通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。
表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。
假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。
二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。
设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。
三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
平行向量的数量积为零。
2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。
垂直向量的叉积也为零。
3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。
本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。
3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。
4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。
点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。
5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。
叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。
三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。
2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。
3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。
4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。
5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
高中全程复习方略配套课件：77空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理
(2)若b0为b的单位向量，称_a_·__b_0_=_|_a_|_c_o_s_〈__a_,_b_〉为向量a在向量 b上的投影. 向量的坐标等于它在_坐__标__轴__正__方__向__上的投影. (3)空间向量基本定理 如果向量e1,e2,e3是空间三个_不__共__面__的向量，a是空间任一向量， 那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3，使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. 空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个_____.
xy11
λx 2 λy2 ,
λ
R
_z_1___λz_2______;
(8)a⊥b⇔_a_·__b_=_0_⇔_x_1_x_2+_y_1_y_2_+_z_1z_2_=_0_.
【即时应用】 (1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则 A B 与 C A 的夹角θ的大小是________． (2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则｜b-a｜的最小值为 _________. (3)已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2)，若a∥b，则 λμ=_________． (4)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直， 则k=_________.
空间两点间的距离 【方法点睛】 1.求空间两点间距离的步骤 (1)建立坐标系，写出相关点的坐标； (2)利用公式求出两点间的距离. 2.两点间距离公式的应用 (1)求两点间的距离或线段的长度； (2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值； (3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.
【例2】(1)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。
接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。
一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。
它与平面向量类似，但存在于三维空间中。
一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。
零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。
单位向量：长度为\（1\）的向量。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。
若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。
高三数学空间向量及应用PPT教学课件
样题4:
如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=2,AA1=1， 直线BD与平面AA1BB1所成的角为300，AE垂直BD于E, F为A1B1的中点． （Ⅰ）求异面直线AE与BF所成的角；
（Ⅱ）求平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小；
（Ⅲ）求点A到平面BDF的距离
A1
D1
F B1
线和平面所成的角,二面角及其平面角,点到 平面的距离
知识整合: 用空间向量可以解决的立体几何问题有: ㈠利用两个向量共线的条件和共面向量定理,可以 证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题
㈡利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线 线,线面,面面垂直问题
㈢利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问 题
PBC所成角的大小；
P
D
C
A
O
B
热点题型3: 二面角及点到面的距离的求法
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的 正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
D
C
AF
B
E
㈣利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以 求解有关的距离问题
热点题型1: 求异面直线所成的角角
D1 A1
D A
C1 B1
C B
热点题型2: 求直线与平面所成的角角
如＝面图 A12 BP，CA在．，三点棱O、锥DP－分A别B是C中AC，、APBC⊥的B中C，点A，BO＝PB⊥C底
(Ⅰ)求证OD∥平面PAB (Ⅱ) 求直线OD与平面
课时考点17 空间向量及其应用
高考考纲透析： 线线,线面,面面的平行与垂直,空间角与距离,棱柱,棱 锥,球,空间向量
高中高三数学《空间向量及其应用》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对空间向量相关知识，设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论。
2.教学内容：
-设计问题：如空间向量的线性组合、线性相关性的判断等；
-小组讨论：学生在小组内部分享观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和建议。
-学生自主总结：让学生用自己的语言描述空间向量的概念、坐标表示、线性运算等。
3.教师引导：引导学生从知识、方法和情感等方面进行总结，提升学生的综合素质。
4.学生参与：学生积极参与总结过程，分享自己的学习心得和感悟，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对空间向量的理解，提升学生的解题能力，特布置以下作业：
作业要求：
1.学生需认真对待每一次作业，确保作业质量；
2.提交作业前，相互检查，确保答案正确，书写规范；
3.教师将对作业进行认真批改，并及时给予反馈，学生应认真对待教师的评价和建议；
4.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、探索，形成自己的解题思路和方法。
2.增强学生解决问题的信心，让学生在面对复杂问题时，能够运用所学知识进行分析、求解；
3.培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学习效率；
4.培养学生的团队合作精神，使学生认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题。
二、学情分析
本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了平面向量的基本概念与运算，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。在此基础上，学生对空间向量的学习具备以下特点：
4.学生参与：让学生观察三维坐标系，尝试用自己的语言描述空间向量的特点。在此基础上，引导学生讨论空间向量在现实生活中的应用。
高考数学一轮总复习 第7章 立体几何 第6节 空间向量的运算及应用课件 理 新人教版
向量和 向量差
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝_(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_ a－b＝_(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3)_
数量积 共线 垂直
夹角公式
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a·b＝_a_1_b_1＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_
数λ的值为
()
A．－2
B．－134
C．154
D．2
解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.
答案：D
3．(教材习题改编)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)， c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 ________． 答案：675
xOA＋(1－x)OB
yOA＋(1－x－y) OB
[即时应用] 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1 和BC上，且满足 AM ＝k AC1 ， BN ＝kBC (0≤k≤1)． 向量 MN 是否与向量 AB， AA1 共面？
解析
考点三 利用向量证明平行与垂直问题 重点保分型考点——师生共研
[典例引领] (2016·汕头模拟)如图所示，在四棱锥P -ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2， 在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°， AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝ 4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD.
证明
考点一 空间向量的线性运算 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 空间向量及其应用
师生共研
例 1 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满 足O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C). (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面；
解 由题知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， 所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， 所以M→A，M→B，M→C共面.
___a_21＋__a_22_＋__a_23__
夹角 余弦值
cos〈a，b〉＝ a·b (a≠0，b≠0) |a||b|
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 __a_21_＋__a_22_＋__a_23·__b__21＋__b_22_＋__b_23 _
5.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表 示的向量，一条直线的方向向量有无数个. (2)平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量.显 然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.
数量积 共线 垂直 模
向量表示 a·b
a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0)
|a|
坐标表示 __a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_ _a_1_＝__λ_b_1_，_a_2_＝__λ_b_2_，__a_3＝__λ_b_3_ __a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_＝__0_
表示 0
a＝b a的相反向量为－a
共线向量 共面向量
表示空间向量的有向线段所在的直 线互相_平__行__或__重__合__的向量
平行于同一个_平__面__的向量
2025版新教材高考数学全程一轮总复习第七章立体几何第五节空间向量及应用学生用书
第五节空间向量及应用【课标标准】 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简洁应用空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示.3.驾驭空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示．能用向量的数量积推断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行与垂直关系．必备学问·夯实双基学问梳理1.向量共线与向量共面定理(1)共线向量定理：对空间随意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________．(2)共面对量定理：假如两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使________．2．空间向量基本定理假如三个向量a，b，c不共面，那么对随意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得________．3．空间向量的数量积(1)两向量的夹角①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：0≤〈a，b〉≤π.(2)两个非零向量a，b的数量积：a·b＝________________．4．空间向量的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·b____________________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)____________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)____________________模夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos 〈a，b〉＝5．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上随意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α平面，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．6．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)l1∥l2u1∥u2⇔∃λ∈R，使得________________ l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔________________直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2) l∥α(l⊄α)u⊥n⇔u·n＝0⇔__________________l⊥αu∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn⇔____________n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)分别是平面α，β的法向量α∥βn1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2⇔________α⊥βn1⊥n2⇔n 1·n2＝0⇔________________[常用结论]1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则点P的坐标为()．2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是＝x＋y＋z(其中x＋y＋z ＝1)，O为空间中随意一点．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中随意两非零向量a，b共面．( )(2)对于非零向量b，由a·b＝b·c，得a＝c.( )(3)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )(4)若是A，B，C，D空间随意四点，则有＝0.( )2．(教材改编)若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是( )A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}3．(教材改编)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________．4．(易错)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( )A．9 B．－9C．－3 D．35．(易错)在正方体ABCD- A1B1C1D1中，＝，＝＋y()，则x＝______，y＝________．关键实力·题型突破题型一空间向量的线性运算例1 如图所示，在平行六面体ABCD- A1B1C1D1中，O为AC的中点．设＝a，＝＝c.(1)用a，b，c表示；(2)设E是棱DD1上的点，且＝，用a，b，c表示.[听课记录]题后师说空间向量线性运算中的三个关键点巩固训练1[2024·河南郑州二中模拟]如图，三棱锥O - ABC中，M，N分别是棱OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是( )A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝题型二向量共线、共面定理的应用例 2 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满意＝.(1)推断三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．[听课记录]题后师说证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)＝x＋y；(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；(4)∥(或∥或∥)．巩固训练2(1)[2024·河南洛阳模拟]已知a＝(2，1，3)，b＝(－1，4，2)，c＝(3，x，y)，若a∥(b －c)，则x＋y＝( )A．6 B．8 C．12 D．14(2)[2024·安徽池州一中期末]在三棱锥A - BCD中，M是平面BCD上一点，且5＝3＋，则t＝( )A．1 B．2 C． D．题型三空间向量的数量积及其应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，G分别是AB，CD的中点．(1)求证：EG⊥AB；(2)求EG的长；(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．[听课记录]题后师说空间向量数量积的3个应用(1)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．巩固训练3如图，在平行六面体ABCD- A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求：(1)·；(2)AC′的长．题型四向量法证明平行、垂直例4 如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．(1)证明：A1B∥平面ADC1；(2)证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C.[听课记录]题后师说(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，精确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍旧离不开立体几何的有关定理．巩固训练4如图所示，四棱锥P - ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E 为PD上一点，PE＝2ED.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．专题突破❼与球有关的切、接问题[常用结论]1．长方体的外接球(1)球心：体对角线的交点；(2)半径：R＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球：球心是正方体的中心，半径R＝a(a为正方体的棱长)；(2)内切球：球心是正方体的中心，半径r＝(a为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心，半径r′＝a(a为正方体的棱长)．3．正四面体的外接球与内切球(1)外接球：球心是正四面体的中心，半径R＝a(a为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心，半径r＝a(a为正四面体的棱长)．微专题1 外接球问题探讨多面体的外接球问题，既要运用多面体的学问，又要运用球的学问，并且还要特殊留意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心．角度1 定义找心例1 [2024·山东青岛模拟]《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形态的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF∥平面ABCD，EF＝2，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为( )A．π B．πC．π D．4π[听课记录]题后师说到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心肯定在垂线上，再依据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．巩固训练1[2024·河南豫北名校期末]四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，CD＝BC＝2，若二面角A-CD-B的大小为60°，则四面体ABCD的外接球的体积为________.角度2 补形找心例2 (1)已知在三棱锥S- ABC中，AC⊥平面SBC，AC＝4，BC＝2，∠BSC＝60°，则该三棱锥外接球体积为( )A．64π B．πC．48π D．π(2)[2024·河南商丘期末]在四棱锥P - ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝AD＝2，AB＝2，则四棱锥P - ABCD的外接球的体积为________．[听课记录]题后师说补形法的解题策略巩固训练2(1)已知三棱锥P - BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，BC＝1，PB＝CD＝2，则该三棱锥的外接球的体积为( )A．π B．πC．π D．π(2)三棱柱ABC - A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，AA1＝2，则三棱柱ABC - A1B1C1的外接球的表面积为( )A．32π B．16πC．12π D．8π角度3 截面找心例3 已知长方体ABCD- A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则三棱锥B1 - C1EC的外接球的表面积为( )A．12π B．20πC．24π D．32π[听课记录]题后师说选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．巩固训练3正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为________．微专题2 内切球问题例1 (1)[2024·河南六市联考]已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的全部母线和底面都相切，则球与圆锥的体积之比为( )A．B．C．D．(2)在三棱锥A - BCD中，AB＝CD＝4，AC＝BD＝AD＝BC＝3，则该三棱锥的内切球的表面积为( )A．B．17πC．D．[听课记录]题后师说内切球问题的解题策略巩固训练4(1)[2024·天津南开中学模拟]圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O的体积为( )A．B．C．16π D．12π(2)在封闭的直三棱柱ABC- A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．真题展台1.[2024·新高考Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形态看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)() A．1.0×109 m3B．1.2×109 m3C．1.4×109 m3D．1.6×109 m32．[2024·新高考Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A．B．C．D．[18，27]3．[2024·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．100πB．128πC．144π D．192π4．[2024·全国甲卷]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面绽开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若＝2，则＝( )A．B．2C．D．5．[2024·全国乙卷]已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )A．B.C．D．6．[2024·新高考Ⅰ卷]已知圆锥的底面半径为，其侧面绽开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2 B．2C．4 D．47．[2024·新高考Ⅱ卷]正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )A．20＋12B．28C．D．8．[2024·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O - ABC的体积为( )A．B．C．D．9．[2024·新高考Ⅱ卷](多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB.记三棱锥E - ACD，F - ABC，F - ACE的体积分别为V1，V2，V3，则( )A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2D．2V3＝3V110．[2024·新高考Ⅱ卷]已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB 的中点，则三棱锥A - NMD1的体积为________．专题突破❽建立空间直角坐标系的方法与技巧微专题1 利用共顶点的相互垂直的三条棱建立空间直角坐标系例1 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角的正弦值．[听课记录]题后师说由题意知，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，三条棱DA，DC，DD1两两相互垂直且交于一点D，可考虑以点D为原点，三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，此为依据题目中现有的条件，干脆建立空间直角坐标系．微专题2 利用线面垂直关系建立空间直角坐标系例2 如图，四棱锥P - ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)求BC；(2)求二面角A - PM - B的正弦值．[听课记录]题后师说由条件中的垂直关系PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形，进而PD，AD，DC两两垂直且共点于D，可建立空间直角坐标系，此为通过先证明题目中建系的条件，建立空间直角坐标系．微专题3利用面面垂直关系建立空间直角坐标系例3[2024·新高考Ⅰ卷]如图，在三棱锥A - BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O 为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E- BC- D 的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积．[听课记录]题后师说由已知条件平面ABD⊥平面BCD，结合其他已知证得AO⊥平面BCD，选取OB，OA所在的直线分别为x，z轴后，y轴就可由以下三个限制条件确定：①必需在平面BCD内且过点O；②必需垂直于OB；③方向必需符合右手直角坐标系．微专题4利用正棱锥的底面中心与高所在的直线建立空间直角坐标系例4 如图，正四棱锥S - ABCD中，SA＝4，AB＝2，E为棱SC上的动点．(1)若E为棱SC的中点，求证：SA∥平面BDE；(2)若E满意SE＝3EC，求异面直线SA与BE所成角的余弦值．[听课记录]题后师说解决有关正棱锥的题目时，一般要利用正棱锥的底面的中心与正棱锥的高所在的直线构建空间直角坐标系．微专题5利用底面正三角形建立空间直角坐标系例5 如图，在正三棱柱ABC - A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．[听课记录]题后师说解决底面为正三角形的几何体建系时，一般将正三角形底边中线和与底边中线垂直的直线作为建立的空间直角坐标系的x轴，y轴，再结合其他条件确定z轴．第五节空间向量及应用必备学问·夯实双基学问梳理1．a＝λb p＝x a＋y b2．p＝x a＋y b＋z c3．(1)①∠AOB(2)|a||b|cos 〈a，b〉4．a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝06．(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) a1a2＋b1b2＋c1c2＝0夯实双基1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：A：因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能构成基底，解除A；B：因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能构成基底，解除B；D：因为a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，所以a＋b，a－b，a＋2b共面，不能构成基底，解除D；C：若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，则a，b，c 共面，与{a，b，c}为空间向量的一组基底相冲突，故c，a＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底，C正确．故选C.答案：C3．解析：∵a∥b，∴＝＝，∴x＝－4.答案：－44．解析：∵a，b，c三向量共面，∴存在实数m，n，使得c＝m a＋n b，∴，解得λ＝－9.答案：B5．解析：由向量加法的三角形法则得＝＋，由平行四边形法则得：＝．∵＝，＝，＝，∴＝＋＝＝)＝＋)，∴x＝1，y＝.答案：1关键实力·题型突破例1 解析：(1)因为O为AC的中点，＝a，＝b，＝c，所以＝＝)＝(a＋b)，所以＝＋＝－c＋a＋b＝a＋b－c.(2)因为＝，所以＝＝－(a＋b)＝－c－b＋(a＋b)＝a－b－c.巩固训练1 解析：∵＝＝＝)＝－()]＝＝)＋＝，∴x＝，y＝，z＝.故选D.答案：D例2 解析：(1)共面，理由如下：∵＝，∴3＝，∴＝()＋()，∴＝＝－，∴共面．(2)由(1)可知共面，且共过同一点M，∴四点M、A、B、C共面，∴点M在平面ABC内．巩固训练2 解析：(1)b－c＝(－4，4－x，2－y)，因为a∥(b－c)，所以∃λ∈R，使，解得，所以x＋y＝14.故选D.(2)依据向量的减法运算可得＝，又5＝3＋t，所以5＝3＋t，所以6＝3＋t，所以＝，又M是平面BCD上一点，所以＝x＋y，所以＝x()＋y()，所以＝(1－x－y)＋x＋y，所以1－x－y＝，x＝，y＝，所以x＝，y＝，t＝2.故选B.答案：(1)D (2)B例3 解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，由题意知＝)＝(b ＋c－a)，所以·＝(a·b＋a·c－a2)＝(1×1×＋1×1×－1)＝0.故⊥，即EG⊥AB.(2)由(1)知＝－a＋b＋c，||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝，即EG的长为.(3)＝)＝b＋c，＝＝－b＋a，cos 〈〉＝＝＝＝－，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.巩固训练3 解析：(1)·＝·cos ∠A′AB＝5×4×＝10.(2)∵＝＝，∴2＝()2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋0＋2×4×5×＋2×3×5×＝85，∴＝，即AC′的长为.例4 证明：(1)在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB⊥AC，∴以A1为原点，A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝AC＝AA1＝2，则A1(0，0，0)，B(2，0，2)，A(0，0，2)，C(0，2，2)，D(1，1，2)，C1(0，2，0)，则＝(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，－2)，设平面ADC1的法向量n＝(x，y，z)，则，取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，∵n·＝2＋0－2＝0，且A1B⊄平面ADC1，则A1B∥平面ADC1.(2)∵＝＝(－1，1，－2)，设平面BB1C1C的一个法向量m＝(a，b，c)，则，取a＝1，得m＝(1，1，0)，又平面ADC1的法向量n＝(1，－1，－1)，则n·m＝1－1＋0＝0，则n⊥m.∴平面ADC1⊥平面BB1C1C.巩固训练4 解析：(1)证明：∵PA＝AD＝1，PD＝，∴PA2＋AD2＝PD2，∴PA⊥AD，又PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD、CD⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD.(2)点A为原点，以AB，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E(0，)，故＝(1，1，0)，＝(0，)，设平面AEC的法向量n＝(x，y，z)，则，即，令y＝1，则x＝－1，z＝－2，故n＝(－1，1，－2)，假设侧棱PC上存在一点F，且＝λ＝(－λ，－λ，λ)，使得BF∥平面AEC，即·n ＝0，又因为＝＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，故·n＝(－1)×(－λ)＋1×(1－λ)＋(－2)×λ＝1－2λ＝0，即λ＝，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC.专题突破❼与球有关的切、接问题例1 解析：连接AC，BD交于点M，取EF的中点O，则OM⊥平面ABCD，取BC的中点G，连接FG，作GH⊥EF，垂足为H，如图所示．由题意可知，HF＝，FG＝，所以HG＝＝，所以OM＝HG＝，AM＝，所以OA＝＝1，又OE＝1，所以OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝1，即这个几何体的外接球的球心为O，半径为1，所以这个几何体的外接球的体积为V＝πR3＝×π×13＝π.故选B.答案：B巩固训练1 解析：因AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，即有AB⊥CD，而BC⊥CD，AB∩BC ＝B，AB，BC⊂平面ABC，则CD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，CD⊥AC，因此∠ACB是二面角A - CD - B的平面角，即∠ACB＝60°，则AB＝2，而BD＝2，有AD＝2，取AD中点O，连接OB，OC，如图，由于△ACD，△ABD都是以AD为斜边的直角三角形，因此有OC＝OB＝OD＝OA＝，即四面体ABCD的外接球是以点O为球心，R＝为半径的球，所以四面体ABCD的外接球体积是V＝R3＝.答案：例2 解析：(1)如图，将三棱锥S - ABC补成以AC为侧棱的直棱柱，设△BCS外接圆圆心为O1，半径为r，设△ADE外接圆圆心为O2，连接AO2，CO1，O1O2，取O1O2的中点O，则点O为三棱锥S - ABC外接球球心，连接CO，设该三棱锥外接球半径为R，在△BCS中，＝＝4＝2r，所以r＝2.在Rt△OC O1中，R＝＝4，所以该三棱锥外接球体积为πR3＝π.故选B.(2)如图，构造长方体ABCD - PB1C1D1，则长方体ABCD - PB1C1D1的外接球即为四棱锥P - ABCD的外接球，即四棱锥P - ABCD的外接球球心O为PC(或AC1)的中点．设外接球半径为r，则2r＝＝4，可得r＝2，故四棱锥P - ABCD的外接球的体积为π·23＝π.答案：(1)B (2)π巩固训练2 解析：(1)如图所示，将三棱锥P - BCD放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，则三棱锥P - BCD的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球的直径PD＝＝＝3，∴该球的体积为π×()3＝π.故选B.(2)把三棱柱ABC - A1B1C1放入长方体中，如图所示：所以长方体的外接球即是三棱柱ABC - A1B1C1的外接球，∵AB＝1，BC＝，AA1＝2，∴长方体的外接球的半径R＝＝，∴三棱柱ABC - A1B1C1的外接球半径为，∴三棱柱ABC - A1B1C1的外接球的表面积为4π()2＝8π.故选D.答案：(1)B (2)D例3 解析：如图，因为在三棱锥B1 - C1EC中，B1C1⊥平面C1EC且△C1EC为直角三角形，所以外接球球心是B1C的中点，不妨设球的半径为R，则2R＝＝，R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝20π.答案：B巩固训练3 解析：∵正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，且点S、A、B、C、D都在同一球面上，∴该球的球心恰好为底面ABCD的中心，∴球的半径r＝，则此球的体积为V＝πr3＝π.答案：π例4 解析：(1)设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，记球的体积为V1，圆锥的体积为V2，所以r＝R，V1＝πr3＝π·(R)3＝R3，V2＝πR2×R＝πR3，所以球与圆锥的体积之比为＝.故选B.(2)如图，在长方体AHDG - EBFC中，设EC＝c，EB＝b，EA＝a，则a2＋b2＝16，c2＋b2＝9，a2＋c2＝9.∵a＝b＝2，c＝1，故四面体ABCD的体积V＝abc－4×abc＝abc＝.四面体ABCD的表面积S＝4S△ABC＝4××4×＝8，依据等体积可得＝×8×r，r＝.该三棱锥的内切球的表面积为4π×()2＝.故选A.答案：(1)B (2)A巩固训练4 解析：(1)设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以πR2·2R＝16π，解得：R＝2，则球O的体积为πR3＝π.故选A.(2)要使球的体积V最大，必需使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为，此时球的体积为πR3＝.答案：(1)A (2)真题展台——知道高考考什么？1．解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋)＝×(140＋180＋60)≈3×106×(140＋180＋60×2.65)≈1.4×109(m3)．故选C.答案：C2.解析：设该球的半径为R，则由题意知πR3＝36π，解得R＝3.如图，连接AC，BD，相交于点E，连接PE并延长，交球于点Q，连接QD，则PQ＝2R＝6.易知PD⊥QD，DE⊥PQ，所以由射影定理，得PD2＝PE·PQ，所以PE＝，所以DE＝＝，所以DC＝DE ＝×，所以正四棱锥的体积V＝×(×)2×＝(l4－)，则V′＝(4－)．令V′＞0，得3≤l＜2，令V′＜0，得2＜l≤3，所以V＝(l4－)在[3，2)上单调递增，在(2，3 ]上单调递减，所以V max＝V(2)＝.又因为V(3)＝，V(3)＝＞，所以V min＝，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选C.答案：C3．解析：设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝＝6，2r2＝＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝＋t2＝＋(t－1)2，即R2＝9＋t2＝16＋(t－1)2，解得所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.答案：A4．解析：设甲、乙两个圆锥的母线长都为l，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2.因为两圆锥的侧面绽开图的圆心角之和为2π，所以＝2π，则r1＋r2＝l.又＝2，所以πr1l＝2πr2l，所以r1＝2r2，所以r1＝l，r2＝l，所以h1＝＝l，h2＝＝l，所以＝＝＝.故选C.答案：C5．解析：设四棱锥的底面为四边形ABCD.设四边形ABCD的外接圆圆心为O′，半径为r.S四边形ABCD＝S△AO′B＋S△AO′D＋S△BO′C＋S△CO′D＝r2sin ∠AO′B＋r2sin ∠AO′D＋r2sin ∠BO′C＋r2sin ∠CO′D＝r2(sin ∠AO′B＋sin ∠AO′D＋sin ∠BO′C＋sin ∠CO′D)．因为∠AO′B＋∠AO′D＋∠BO′C＋∠CO′D＝2π，且当θ＝时，sin θ取最大值1，所以当∠AO′B＝∠AO′D＝∠BO′C＝∠CO′D＝时，S四边形ABCD最大，即当四棱锥O - ABCD的底面为正方形时，四棱锥O- ABCD的体积取得最大值．设AB＝a(a>0)，则正方形ABCD的外接圆的半径r＝a，四棱锥O- ABCD的高h＝，则1－a2>0，解得0<a<，所以V O - ABCD＝a2h＝.令f(x)＝(0<x<)，则f′(x)＝4x3－3x5＝x3(4－3x2)．当x∈(0，)时，f′(x)>0；当x∈()时，f′(x)<0.所以f(x)在(0，)上单调递增，在()上单调递减．当x2＝时，f(x)取得极大值，也是最大值，即V O- ABCD 取得最大值，此时四棱锥O - ABCD的高h＝＝.故选C.答案：C6．解析：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π×，解得l＝2.故选B.答案：B7.解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝＝，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝×(16＋4＋)＝.答案：D8．解析：如图所示，因为AC⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O - ABC的体积V＝×OO1＝×1×1×＝.故选A.答案：A9．解析：设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝×2×2＝，V2＝×2×1＝.如图，连接BD交AC于点M，连接EM，FM，则FM＝，EM＝，EF＝3，所以S△EMF＝＝，所以V3＝S△EMF·AC＝2，所以V3＝V1＋V2，2V3＝3V1.故选CD.答案：CD10．解析：因为正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，所以＝VD1 - AMN＝×1×1×2＝.答案：专题突破❽建立空间直角坐标系的方法与技巧例1 解析：(1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1＝C1，B1C1⊂平面EB1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz，则C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，E(1，0，1)，＝(1，0，0)，＝＝(0，0，2)．设平面EBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即所以可取n＝(0，－1，－1)．设平面ECC1的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则即所以可取m＝(1，1，0)．于是cos 〈n，m〉＝＝－.所以，二面角B - EC - C1的正弦值为.例2 解析：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系．(1)连接BD，因为PD⊥平面ABCD，且AM⊂平面ABCD，所以PD⊥AM，又因为PB⊥AM，PB∩PD＝P，所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，所以AM⊥BD，从而∠ADB＋∠DAM＝90°，因为∠MAB＋∠DAM＝90°，所以∠ADB＝∠MAB，所以△ADB～△BAM，于是＝，所以BC2＝1，即BC＝，(2)A(，0，0)，B(，1，0)，M，P(0，0，1)，设平面PAM的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则＝(－，1，0)，＝(－，0，1)，由，取x1＝，可得m＝(，1，2)，设平面PBM的法向量为n＝(x2，y2，z2)，＝(－，0，0)，＝(－，－1，1)，由，取y2＝1，可得n＝(0，1，1)．cos 〈m，n〉＝＝＝，所以，sin 〈m，n〉＝＝，因此，二面角A-PM-B的正弦值为.例3 解析：(1)因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO⊂平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.(2)由题意知AO⊥平面BCD，明显AO⊥OB.以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z 轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系．因为△OCD是边长为1的正三角形，且点O为BD的中点，所以OC＝OB＝OD＝1，所以B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(－，0)．设A(0，0，a)，a>0，因为DE＝2EA，所以E(－，0，)．由题意可知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)．设平面BCE的法向量为m＝(x，y，z)．因为＝(－，0)，＝(－，0，)，所以，即，令x＝1，则y＝，z＝，所以平面BCE的一个法向量为m＝(1，)．因为二面角E-BC-D的大小为45°，所以cos 45°＝＝＝，得a＝1，即OA＝1.因为S△BCD＝BD·CD sin 60°＝×2×1×＝，所以V A-BCD＝S△BCD·OA＝×1＝.例4 解析：(1)连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接OE，∵E为SC的中点，∴SA∥OE，∵SA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴SA∥平面BDE.(2)因为S - ABCD是正四棱锥，∵O为顶点S在底面的射影，故SO⊥底面ABCD，且AC⊥BD，SO＝＝＝故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，∵SA＝4，AB＝2，SE＝3EC，则A(，0，0)，S(0，0，)，B(0，，0)，C(－，0，0)，∵SC上的点E满意SE＝3EC，∴＝，设E(x，y，z)，则(x，y，z－)＝(－，0，－)，∴x＝－，y＝0，z＝，∴E(－，0，)，∴＝(，0，－)，＝(－，－)，则|cos 〈〉|＝＝＝.故异面直线SA与BE所成角的余弦值为.例5 解析：在正三棱柱ABC- A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以}为基底，建立空间直角坐标系O - xyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)．(1)因为P为A1B1的中点，所以P(，－，2)，从而＝＝(0，2，2)，故〉|＝＝＝.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q(，0)，因此＝＝＝(0，0，2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的法向量，则即不妨取n＝(，－1，1)．设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，则sin θ＝，n〉|＝＝＝，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.。
高考数学一轮总复习向量与空间几何应用
高考数学一轮总复习向量与空间几何应用高考数学一轮总复习：向量与空间几何应用向量与空间几何是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中的重要考点之一。
掌握好向量与空间几何的基本概念、性质和应用，对于解题和理解几何概念有着重要的作用。
本文将从几何基础、向量运算以及空间几何应用三个方面展开，帮助大家进行高考数学一轮总复习。
一、几何基础在学习向量与空间几何之前，我们需要先了解一些几何基础。
如何表示向量？如何判断向量共线或平行？在空间几何中，如何确定两个平面的关系？这些都是我们需要掌握的基础概念。
在二维平面中，向量通常由两个坐标表示，如向量AB可以表示为→AB=(x2-x1,y2-y1)。
判断向量共线或平行时，常用的方法是比较两个向量的比值是否相等。
例如，向量a=(2,3)和向量b=(4,6)的比值为2/4=3/6=1/2，因此向量a和向量b共线且平行。
在三维空间中，向量通常由三个坐标表示，如向量AB可以表示为→AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
判断两个平面的关系时，可以比较两个平面法向量的方向是否相等。
如果两个平面的法向量方向相等，则两个平面平行；如果两个平面的法向量方向垂直，则两个平面垂直。
二、向量运算向量运算是向量与向量之间进行的数学操作，常用的向量运算包括加法、减法、数量积和向量积。
了解向量运算的性质和运算规律，可以帮助我们更好地理解向量的性质和应用。
向量的加法和减法满足交换律和结合律。
即对于任意向量a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
数量积也称为点积，可以用向量的坐标表示为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|表示向量的模，θ表示两个向量的夹角。
向量积也称为叉积，可以用向量的坐标表示为a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)。
通过向量的加法、减法、数量积和向量积，我们可以计算向量的模、夹角、投影和面积等，这对于解题和应用非常有帮助。
高中数学各章节内容
第一章集合及函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数及方程3．2函数模型及其应用【必修二】第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积及体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线及方程3．1直线的倾斜角及斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标及距离公式第四章圆及方程4．1圆的方程4．2直线、圆的位置关系4．3空间直角坐标系第一章算法初步1．1算法及程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量间的相关关系第三章概率3．1随机事件的概率3．2古典概型3．3几何概型【必修四】第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象和性质1．5函数的图象1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和及差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换【必修五】第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列的概念及简单表示法2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系及不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题3．4基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1-1命题及其关系1-2充分条件及必要条件1-3简单的逻辑联结词1-4全称量词及存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线及方程2-1曲线及方程2-2椭圆探究及发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2-3双曲线探究及发现2-4抛物线探究及发现阅读及思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章空间向量及立体几何3-1空间向量及其运算阅读及思考向量概念的推广及应用3-2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1-1变化率及导数1-2导数的计算1-3导数在研究函数中的应用1-4生活中的优化问题举例1-5定积分的概念1-6微积分基本定理1-7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理及证明2-1合情推理及演绎推理2-2直接证明及间接证明2-3数学归纳法第三章数系的扩充及复数的引入3-1数系的扩充和复数的概念3-2复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1-1分类加法计数原理及分步乘法计数原理探究及发现子集的个数有多少1-2排列及组合探究及发现组合数的两个性质1-3二项式定理探究及发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列2-2二项分布及其应用阅读及思考这样的买彩票方式可行吗探究及发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2-3离散型随机变量的均值及方差2-4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3-1回归分析的基本思想及其初步应用3-2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题。
高中数学总复习第二轮专题七 7.3 空间向量及其应用(B)
§7.3 空间向量及其应用(B) 考点核心整合叫做原点，向量i、j、k叫做坐标向量，通过两个坐标轴的平面叫做坐标平面③坐标在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使OA=x i+y j+z k，即实数组(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标向量的直角坐标运算设a=（a1,a2,a3）,b=(b1,b2,b3)，则a+b=（a1+b1，a2+b2，a3+b3）,a-b=（a1-b1,a2-b2,a3-b3）,a·b=a1b1+a2b2+a3b3,a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)或11ba=22ba=33ba(b1b2b3≠0),a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0夹角和距离公式①夹角公式设a=（a1,a2,a3）,b=(b1,b2,b3),则cos〈a,b〉=232221232221332211bbbaaabababa++•++++②距离公式设A（x1,y1,z1）,B(x2,y2，z2),则d AB=221221221)()()(zzyyxx-+-+-平面的法向量平面的法向量，如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量平面的法向量主要用于求点面距离【例1】如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是（）A.arccos515B.4πC.arccos510D.2π分析:求异面直线A1E与GF所成的角既可用向量也可构造三角形,解三角形可求角.解法一:EA1=21DD1-11AD,GF=21DD1+DA+21BA,∴EA1·GF=(21DD1-11AD)·(21DD1+DA+21BA)=2121DD +21D D 1·DA +41D D 1·BA -2111A D ·D D 1-11A D ·DA -2111A D ·BA =21×2-1=0.∴A 1E ⊥GF.解法二:以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立直角坐标系,则A 1(1,0,2),E(0,0,1),F(1,1,0),G(0,2,1).∴E A 1=(-1,0,-1),FG =(-1,1,1),E A 1·FG =1-1=0.∴A 1E ⊥FG.解法三:连结B 1G 、B 1F 、FG 、FC,在△B 1GF 中,易求得B 1G=2,B 1F=5,FG=3.故B 1G 2+FG 2=B 1F 2.∴B 1G ⊥GF,即A 1E ⊥FG . 答案:D【例2】如图,已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,AB=2,AA 1=1,直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°,AE 垂直BD 于点E,F 为A 1B 1的中点.(1)求异面直线AE 与BF 所成的角;(2)求平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)的大小;(3)求点A 到平面BDF 的距离.解:在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如下图.由已知AB=2,AA 1=1,可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1).又AD ⊥平面AA 1B 1B,从而BD 与平面AA 1B 1B 所成的角即为∠DBA=30°. 又AB=2,AE ⊥BD,AE=1,AD=332， 从而易得E(21,23,0)、D(0,332,0).(1)∵AE =(21,23,0),BF=(-1,0,1),∴cos 〈AE ,BF〉=||||BF AE BFAE •=221-=-42.故异面直线AE 、BF 所成的角为arccos 42. (2)易知平面AA 1B 的一个法向量m =(0,1,0). 设n =(x,y,z)是平面BDF 的一个法向量,BD =(-2,332,0).由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BD n BF n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⊥=⊥00BD n BF n ⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.3,033220y x z x y x z x 取n =(1,3,1),∴cos 〈m ,n 〉=515513||||=⨯=•n m n m , 即平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)的大小为arccos515. (3)点A 到平面BDF 的距离d,即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影长.d=|AB |·cos 〈AB ,n 〉=||AB |·||||n AB nAB •=||||n n AB •=52=552. 故点A 到平面BDF 的距离为552. 评述:本题主要考查线线角、面面角、点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和推理能力以及利用向量解决问题的能力.【例3】四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB =(2，-1，-4)，AD =(4，2，0)，AP =(-1，2，-1).(1)求证PA ⊥底面ABCD ；(2)求四棱锥P —ABCD 的体积；(3)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算： (a ×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1.试计算(AB ×AD )·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB ×AD )·AP 的绝对值的几何意义.解析：(1)∵AP ·AB =-2-2+4=0，∴AP ⊥AB.又∵AP ·AD =-4+4+0=0，∴AP ⊥AD ，∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD.(2)设AB 与AD 的夹角为θ，则cos θ=||||AD AB ADAB •=1053416161428=+•++-.V=31｜AB ｜·｜AD ｜·sin θ·｜AP ｜=32105·10591-·141++=16. (3)｜(AB ×AD )·AP ｜=｜-4-32-4-8｜它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：｜(AB ×AD )·AP ｜在几何上可表示以AB 、AD 、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积).评述：本题考查空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、 空间向量的夹角运算公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等，主要考查考生 的运算能力，综合运用所给知识解决问题的能力及空间想象能力.【例4】如图，四棱锥P —ABCD 底面ABCD 是平行四边形，PF ⊥平面ABCD ，垂足F 在AD 上，且AF=31FD ，FB ⊥FC ，FB=FC=2，E 是BC 的中点，四面体P —BCF 的体积为38.(Ⅰ)求异面直线EF 与PC 所成的角； (Ⅱ)求点D 到平面PBF 的距离. 解:(Ⅰ)由已知V P —BCF =31S △BCF ·PF=31·21·BF ·CF ·PF=38，∴PF=4.如图所示，以F 点为原点建立空间直角坐标系o —xyz,则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0).FE =(1，1，0)，PC =(0，2，-4).cos 〈FE ,PC 〉=PCFE •=2022⨯=1010. ∴异面直线EF 与PC 所成的角为arccos1010. (Ⅱ)平面PBF 的单位法向量n =(0,±1,0).∵｜FD ｜=43｜BC ｜=232,∠CFD=45°，∴FD =(-23,23,0).∴点D 到平面PBF 的距离为｜FD ·0n ｜=23.链接·提示用向量解题时,坐标系要建合适.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§7.3 空间向量及其应用(B) 考点核心整合
【例1】(2005福建高考，8理)如图,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB=2,AD=1,点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点,则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）
A.arccos
515 B.4π C.arccos 5
10
D.2π
分析:求异面直线A 1E 与GF 所成的角既可用向量也可构造三角形,解三角形可求角. 解法一:
E A 1=2
1D D 1-11A D ,
GF =21D D 1+DA +2
1BA ,
∴
E A 1·G
F =(21D D 1-11A D )·(21D D 1+DA +2
1BA )
=
2
12
1D
D +
2
1D D 1·DA +4
1D D 1·BA -2
111A D ·D D 1-11A D ·DA -2
111A D ·BA =2
1×2-1=0.
∴A 1E ⊥GF.
解法二:以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立直角坐标系,则A 1(1,0,2),E(0,0,1),F(1,1,0),G(0,2,1).
∴
E A 1=(-1,0,-1),FG =(-1,1,1),E A 1·FG =1-1=0.∴A 1
E ⊥FG .
解法三:连结B 1G 、B 1F 、FG 、FC,在△B 1GF 中,易求得B 1G=2,B 1F=5,FG=3.
故B 1G 2+FG 2=B 1F 2.∴B 1G ⊥GF,即A 1E ⊥FG . 答案:D 【例2】(2005山东高考，20)如图,已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1,AB=2,AA 1=1,直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°,AE 垂直BD 于点E,F 为A 1B 1的中点.
(1)求异面直线AE 与BF 所成的角;
(2)求平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)的大小;
(3)求点A 到平面BDF 的距离.
解:在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系如下图
.
由已知AB=2,AA 1=1,可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1).
又AD ⊥平面AA 1B 1B,从而BD 与平面AA 1B 1B 所成的角即为∠DBA=30°. 又AB=2,AE ⊥BD,AE=1,AD=
3
3
2， 从而易得E(
21,23,0)、D(0,3
32,0). (1)∵
AE =(2
1,2
3,0),BF =(-1,0,1),
∴cos 〈
AE ,BF 〉=||||BF AE BF
AE ∙=
2
21
-
=-42.
故异面直线AE 、BF 所成的角为arccos 4
2
. (2)易知平面AA 1B 的一个法向量m =(0,1,0). 设n =(x,y,z)是平面BDF 的一个法向量,
BD =(-2,3
32
,0).
由⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥n BF n ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=⊥=⊥00n BF n ⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+-.3,033
220
y x z x y x z x 取n =(1,3,1),
∴cos 〈m ,n 〉=
5
15
513||||=
⨯=∙n m n m , 即平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)的大小为arccos
5
15
. (3)点A 到平面BDF 的距离d,即
AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影长.
d=|
AB |·cos 〈AB ,n 〉
=||AB |·
||||n AB n
AB ∙=|||
|n n AB ∙
=
5
2=
5
5
2. 故点A 到平面BDF 的距离为
5
5
2. 评述:本题主要考查线线角、面面角、点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和推理能力以及利用向量解决问题的能力.
【例3】四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，
AB =(2，-1，-4)，
AD =(4，2，0)，AP =(-1，2，-1).
(1)求证PA ⊥底面ABCD ；
(2)求四棱锥P —ABCD 的体积；
(3)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算： (a ×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1.
试计算(
AB ×AD )·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P
—ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB ×AD )·AP 的绝对值的
几何意义.
解析：(1)∵
AP ·AB =-2-2+4=0，
∴AP ⊥AB.
又∵
AP ·AD =-4+4+0=0，
∴AP ⊥AD ，∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD.
(2)设
AB 与AD 的夹角为θ，则
cos θ=
||||AD AB AD AB ∙
=
105
341616142
8=
+∙++-.
V=
3
1｜AB ｜·｜AD ｜·sin θ·｜AP ｜
=
3
2105·105
9
1-
·141++=16. (3)｜(
AB ×AD )·AP ｜=｜-4-32-4-8｜它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.
猜测：｜(
AB ×AD )·AP ｜在几何上可表示以AB 、AD 、AP
为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积).
评述：本题考查空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、 空间向量的夹角运算公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等，主要考查考生 的运算能力，综合运用所给知识解决问题的能力及空间想象能力.
【例4】如图，四棱锥P —ABCD 底面ABCD 是平行四边形，PF ⊥平面ABCD ，垂足F 在AD 上，且AF=
31FD ，FB ⊥FC ，FB=FC=2，E 是BC 的中点，四面体P —BCF 的体积为3
8
.
(Ⅰ)求异面直线EF 与PC 所成的角； (Ⅱ)求点D 到平面PBF 的距离. 解:(Ⅰ)由已知V P —BCF =
31S △BCF ·PF=31·21·BF ·CF ·PF=3
8
，
∴PF=4.
如图所示，以F 点为原点建立空间直角坐标系o —xyz,则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，
0).
FE =(1，1，0)，PC =(0，2，-4).
cos 〈
FE ,PC 〉=||||PC FE PC
FE ∙
=
20
22
⨯=
10
10. ∴异面直线EF 与PC 所成的角为arccos
10
10. (Ⅱ)平面PBF 的单位法向量
n =(0,±1,0).
∵｜
FD ｜=43｜BC ｜=
2
3
2,∠CFD=45°，
∴
FD =(-23,2
3
,0).
∴点D 到平面PBF 的距离为｜
FD ·0
n ｜=
2
3. 链接·提示
用向量解题时,坐标系要建合适.。