2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块三+考前增分篇一回扣教材纠错例析+6.解析几何+Word版含解析
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题三 数 列 第1讲 精品
(2)解 由题设可求 a2＝λ－1，∴a3＝λ＋1， 令 2a2＝a1＋a3，解得 λ＝4，故 an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n－1＝4n－3； {a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n＝4n－1. 所以 an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数通项公式：an＝a1＋(n－1)d， (2)求和公式：Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n－2 1）d， (3)性质：①若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.
热点二 等差、等比数列的判定与证明 【例 2】 (2016·南师附中月考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，
a1＝14，且 Sn＝Sn－1＋an－1＋12(n∈N*，且 n≥2)，数列{bn}满 足：b1＝－1149，且 3bn－bn－1＝n(n≥2，且 n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列. (1)解 由 Sn＝Sn－1＋an－1＋12，得 Sn－Sn－1＝an－1＋12， 即 an－an－1＝12(n∈N*，n≥2)，则数列{an}是以12为公差的 等差数列，又 a1＝14，∴an＝a1＋(n－1)d＝12n－14.
4.(2013·江苏卷)在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝ 3.则满足 a1＋a2＋…＋an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值 为________.
解析 设数列{an}的公比为 q(q＞0)，由已知条件得12q＋12q2＝3，即 q2＋q－6＝0，解得 q＝2，或 q＝－3(舍去)，an＝a5qn－5＝12×2n－5＝ 2n－6，a1＋a2＋…＋an＝312(2n－1)，a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝ 2n2－211n，由 a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，可知 2n－5－2－5>2n（n－2 11）， 由 2n－5－2－5>2n（n－2 11），可求得 n 的最大值为 12，而当 n＝13 时， 28－2－5<213，所以 n 的最大值为 12. 答案 12
2018届高三数学(理科)二轮复习讲义模块三考前增分篇三中档大题规范特训“3+2选1”限时规范练(三)含解析
三、中档大题，规范特训 “3＋2选1”限时规范练(三)(时间：45分钟)1．如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．[规范解答及评分标准] (1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B.(2分)∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(5分)(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5， ∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.(9分)在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49.∴CD ＝7.(12分)2．某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了如下对照表：根据表中数据，试求线性回归方程y ＝bx ＋a ，并预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间．参考公式：b^＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x－2，a^＝y－－b^x－.[规范解答及评分标准](1)设被污损的数字为a，则a有10种情况．由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a＋99，得a<8，(2分)∴有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，所求概率为810＝45.(4分)(2)由表中数据，计算得x－＝35，y－＝3.5，(6分)b^＝∑i＝14x i y i－4x－y－∑i＝14x2i－4x－2＝525－4×35×3.55400－4×352＝7100，a^＝y－－b^x－＝3.5－7100×35＝2120.(8分)∴y^＝7100x＋2120.(10分)当x＝50时，y^＝4.55.即预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间为4.55小时．(12分)3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AB＝BC＝2，∠ACB＝30°，∠C1CB＝120°，BC1⊥A1C，E为AC的中点．(1)求证：A1C⊥平面C1EB；(2)求二面角A1－AB－C的余弦值．[规范解答及评分标准](1)∵BA＝BC，E为AC的中点，∴BE ⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BE ⊂平面ABC，∴BE⊥平面A1ACC1.(2分)又A1C⊂平面A1ACC1，∴BE⊥A1C.又BC1⊥A1C，BE∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1EB.(4分)(2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝x，∠A1AC＝θ，则B(1，3，0)，C(0,23，0)，E(0，3，0)，C1(0,23＋x cosθ，x sinθ)．(6分)∴CB →＝(1，－3，0)，CC 1→＝(0，x cos θ，x sin θ)． 由cos 〈CB →，CC 1→〉＝CB →·CC 1→|CB →|·|CC 1→|＝－12，得－3x cos θ2x ＝－12，∴cos θ＝33.则A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33x ，63x ，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23＋33x ，63x .于是A 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23－33x ，－63x ，BC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，3＋33x ，63x ， ∵A 1C →⊥BC 1→，∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋33x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－33x －63x ·63x ＝0，即x 2－x －6＝0，解得x ＝3或x ＝－2(舍)，(9分) 故AA 1＝3，则A 1(0，3，6)，于是AA 1→＝(0，3，6)，AB →＝(1，3，0)． 设平面A 1AB 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n 1·AA 1→＝0n 1·AB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋6z ＝0x ＋3y ＝0.取y ＝1，则z ＝－22，x ＝－3，∴n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，1，－22.(11分)易得平面ABC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－2292×1＝－13，由图易知二面角A 1－AB －C 为锐角， 故二面角A 1－AB －C 的余弦值为13.(12分)请考生在第4、5题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．4．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos φy ＝－2＋sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积． [规范解答及评分标准] (1)将C 的参数方程化为普通方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，(1分)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，(3分)圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(5分)(2)将θ＝π4代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋32ρ＋4＝0，解得ρ1＝－22，ρ2＝－2，|MN |＝|ρ1－ρ2|＝2，(8分)∵圆C 的半径为1，∴△CMN 的面积为12×2×1×sin π4＝12.(10分)5．选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－12x (a >0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )<0；(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )<a 2＋a2恒成立，求实数a 的取值范围．[规范解答及评分标准] (1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ，即|x －3|－12x <0，(1分)原不等式等价于－x 2<x －3<12x ，(3分)解得2<x <6，故不等式的解集为{x |2<x <6}．(5分)(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a2，原不等式等价于|x －a |－|x |<a 2，(6分)由三角绝对值不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，(8分)原不等式等价于|a |<a 2，又a >0，∴a <a 2，解得a >1.(10分)。
2018届高三理科数学二轮复习：模块三 考前增分篇3-1
2019年5月18日
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4．子集个数的计算 对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子 集、非空真子集的个数依次为 2n,2n－1,2n－1,2n－2. [ 对 点 专 练 4] 满 足 {1,2} M ⊆ {1,2,3,4,5} 的 集 合 M 有 ________个．
2019年5月18日
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9．集合、区间的规范应用 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合 或区间表示，不能直接用不等式表示． [对点专练 9] 不等式－3x2＋5x－2>0 的解集为________．
[答案] 23，1
2019年5月18日
∴22aa≤ >4a或＋a3＋3<－1 ， 解得 a<－4 或 2<a≤3. ∴实数 a 的取值范围是 a<－4 或 2<a≤3.
2019年5月18日
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[错因分析] 由并集定义容易知道，对于任何一个集合 A， 都有 A∪∅＝A，所以错解忽视了 B＝∅时的情况．
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2．集合的表示方法 描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合 的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|f(x)}——函数 的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集． [对点专练 2] 集合 A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}， 则 A∩B＝________.
②若和 x＋y 是定值 s，则当 x＝y 时，积 xy 有最大值14s2.
2019年5月18日
2018年高考数学大二轮、小三轮复习培优讲义全版 课标理科
最新高考数学大二轮、小三轮精准复习课堂讲义专题一函数第1讲函数的图象与性质1第2讲基本初等函数9第3讲分段函数与绝对值函数15第4讲函数的零点问题21第5讲函数的综合应用28专题二导数第6讲曲线的切线35第7讲函数的单调性40第8讲函数的极值与最值45第9讲导数及其应用53专题三不等式第10讲三个“二次”的问题62第11讲基本不等式与线性规划68专题四三角函数、向量与解三角形第12讲三角函数的化简与求值74第13讲三角函数的图象及性质79第14讲正、余弦定理及其应用84第15讲平面向量数量积89第16讲向量与三角函数的综合问题93专题五立体几何第17讲直线与平面的位置关系98第18讲平面与平面的位置关系103第19讲立体几何中的计算108专题六解析几何第20讲直线与圆115第21讲隐性圆问题121第22讲圆锥曲线的基本量计算125第23讲圆锥曲线中定点、定值问题130第24讲圆锥曲线中最值、范围问题138第25讲圆锥曲线中探索性问题144专题七数列第26讲等差、等比数列的基本运算151第27讲等差、等比数列的判定与证明155第28讲等差、等比数列的综合应用161第29讲数列的求和及其运用166第30讲数列中的创新性问题171专题八思想方法第31讲函数方程思想177第32讲数形结合思想183第33讲分类讨论思想190第34讲化归转化思想198专题九理科附加第35讲曲线与方程205第36讲空间向量与立体几何212第37讲随机变量及其分布列219第38讲数学归纳法225第39讲计数原理与二项式定理230课后训练专题一函数第1讲函数的图象与性质235第2讲基本初等函数238第3讲分段函数与绝对值函数240第4讲函数的零点问题243第5讲函数的综合应用246专题二导数第6讲曲线的切线249第7讲函数的单调性251第8讲函数的极值与最值253第9讲导数及其应用255专题三不等式第10讲三个“二次”的问题258第11讲基本不等式与线性规划261专题四三角函数、向量与解三角形第12讲三角函数的化简与求值264第13讲三角函数的图象及性质267第14讲正、余弦定理及其应用270第15讲平面向量数量积272第16讲向量与三角的综合问题274专题五立体几何第17讲直线与平面的位置关系277第18讲平面与平面的位置关系280第19讲立体几何中的计算282专题六解析几何第20讲直线与圆285第21讲隐性圆问题287第22讲圆锥曲线的基本量计算291第23讲圆锥曲线中定点、定值问题294第24讲圆锥曲线中最值、范围问题297第25讲圆锥曲线中探索性问题300专题七数列第26讲等差、等比数列的基本运算303第27讲等差、等比数列的判定与证明305第28讲等差、等比数列的综合应用307第29讲数列的求和及其运用310第30讲数列中的创新性问题312专题八思想方法第31讲函数方程思想315第32讲数形结合思想318第33讲分类讨论思想321第34讲化归转化思想324专题九理科附加第35讲曲线与方程327第36讲空间向量与立体几何330第37讲随机变量及其分布列333第38讲数学归纳法335第39讲计数原理与二项式定理338小三轮回归第一部分知识微专题——回归课本第1练函数图象与性质340第2练基本初等函数342第3练函数与方程344第4练用导数研究函数的性质346第5练不等式的解法348第6练基本不等式与线性规划350第7练三角函数化简与求值352第8练解三角形354第9练三角函数与平面向量356第10练等差数列与等比数列358第11练数列的通项与求和360第12练直线与圆362第13练圆锥曲线364第14练立体几何366第二部分热点微专题——抢分冲刺第1练多元函数的最值问题369第2练三角形中的三角函数371第3练解析几何中最值与范围问题374第4练实际应用性问题377第5练探索与创新性问题380第三部分压轴预测——考前热身2018年江苏高考预热卷(一)3832018年江苏高考预热卷(二)388专题一 函 数 第1讲 函数的图象与性质1. 函数的图象与性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．2. 函数的图象与性质会涉及如下题型：(1) 函数“二域三性”的考查；(2) 函数性质在解决不等式问题中的应用；(3) 函数与方程问题；(4) 函数性质在数列等问题中的应用；(5) 利用导数来刻画函数的性质．1. 根据函数f(x)＝x 2＋1的图象，若0<x 1<x 2，则f(x 1)________f(x 2)． 答案：<解析：作出函数图象，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x 1)<f(x 2)． 2. (2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x －2)≤1的x 的取值范围是________．答案：[1，3] 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝1，不等式－1≤f(x －2)≤1，即f(1)≤f(x －2)≤f(－1)．因为f(x)单调递减，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，故x 的取值范围是[1，3]．3. 若关于x 的方程|x|＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 答案：(0，＋∞)解析：由题意a ＝|x|＋x ，令y ＝|x|＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x|＋x 只有一解，则a>0.4. (2017·山东卷)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x ＋4)＝f(x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．答案：6解析：由f(x ＋4)＝f(x －2)可知周期T ＝6，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6., 一) 研究函数的单调性, 1) 已知函数f(x)＝a －1|x|.(1) 求证：函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2) 若f(x)<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(1) 证明：当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f(x 2)－f(x 1)＝(a －1x 2)－(a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2) 解：由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x ＋1x，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h(x 1)－h(x 2)＝(x 1－x 2)(2－1x 1x 2)．因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0，所以h(x 1)<h(x 2)，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h(1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．已知a 为实常数，y ＝f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x －a 3x2＋1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．解：(1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)上的单调性即可．f ′(x)＝2＋2a 3x3，令f′(x)＝0，得x ＝－a.① 当a ≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)上单调递增； ② 当a ＞0时，x ∈(－∞，－a)，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a)上单调递增；x ∈(－a ，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a ，0)上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；当a ＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a)．(2) 因为f(x)为奇函数，所以当x ＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2x －a 3x 2＋1)＝2x ＋a 3x2－1.① 当a ＜0时，要使f(x)≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋a3x2≥a 对一切x ＞0成立．当x＝－a2＞0时，有－a ＋4a ≥a ，所以a ≥0，与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．② 当a ＝0时，f(x)＝2x －1＞－1＝a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求． ③ 当a ＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，所以f min (x)＝f(a)＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求．综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．, 二) 研究函数的最值 , 2) 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝a|x －1|.(1) 若关于x 的方程|f(x)|＝g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围；(2) 求函数h(x)＝|f(x)|＋g(x)在区间[－2，2] 上的最大值(直接写出结果，不需给出演算步骤)．解：(1) 方程|f(x)|＝g(x)，即|x 2－1|＝a|x －1|，变形得|x －1|(|x ＋1|－a)＝0，显然，x ＝1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x ＋1|＝a 有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得a<0或a ＝2.(2) 因为h(x)＝|f(x)|＋g(x)＝|x 2－1|＋a|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －a －1，x ≥1，－x 2－ax ＋a ＋1，－1≤x<1，x 2－ax ＋a －1，x<－1.① 当a2>1，即a>2时，结合图形可知h(x)在[－2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且h(－2)＝3a ＋3，h(2)＝a ＋3.经比较，此时h(x)在[－2，2]上的最大值为3a ＋3.② 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知h(x)在[－2，－1]，[－a2，1]上递减，在[－1，－a 2]，[1，2]上递增，且h(－2)＝3a ＋3，h(2)＝a ＋3，h(－a 2)＝a24＋a ＋1.经比较，知此时h(x)在[－2，2]上的最大值为3a ＋3.③ 当－1≤a2<0，即－2≤a<0时，结合图形经比较，知此时h(x)在[－2，2]上的最大值为a ＋3.④ 当－32≤a2<－1，即－3≤a<－2时，结合图形经比较，知此时h(x)在[－2，2]上的最大值为a ＋3.⑤ 当a 2<－32，即a<－3时，结合图形可知h(x)在[－2，2]上的最大值为h(1)＝0.综上所述，当a ≥0时，h(x)在[－2，2]上的最大值为3a ＋3； 当－3≤a<0时，h(x)在[－2，2]上的最大值为a ＋3； 当a<－3时，h(x)在[－2，2]上的最大值为0.设a 为实数，函数f(x)＝x 2＋|x －a|＋1，x ∈R .(1) 讨论f(x)的奇偶性； (2) 求f(x)的最小值．解：(1) 当a ＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此时f(x)为偶函数．当a ≠0时，f(a)＝a 2＋1，f(－a)＝a 2＋2|a|＋1，f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)．此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2) ① 当x ≤a 时，函数f(x)＝x 2－x ＋a ＋1＝(x －12)2＋a ＋34.若a ≤12，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a 2＋1；若a ＞12，则函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(12)＝34＋a ，且f(12)≤f(a)．② 当x ≥a 时，函数f(x)＝x 2＋x －a ＋1＝(x ＋12)2－a ＋34.若a ≤－12，则函数f(x)在[a ，＋∞)上的最小值为f(－12)＝34－a ，且f(－12)≤f(a)；若a ＞－12，则函数f(x)在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a ，＋∞)上的最小值为f(a)＝a 2＋1.综上，当a ≤－12时，函数f(x)的最小值是34－a ；当－12＜a ≤12时，函数f(x)的最小值是a 2＋1；当a ＞12时，函数f(x)的最小值是a ＋34.点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助．因为x ∈R ，f(0)＝|a|＋1≠0，由此排除f(x)是奇函数的可能性．运用偶函数的定义分析可知，当a ＝0时，f(x)是偶函数，第(2)题主要考查学生对分类讨论思想、对称思想的运用．, 三) 研究函数的图象 , 3) 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)为二次函数，且满足f(2)＝1，f(x)在(0，＋∞)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f(x)在R 上的解析式；(2) 作出f(x)的图象，并根据图象讨论关于x 的方程f(x)－c ＝0(c ∈R )根的个数．解：(1) 由题意，当x>0时，设f(x)＝a(x －1)·(x －3)(a ≠0)， 因为f(2)＝1，所以a ＝－1，所以f(x)＝－x 2＋4x －3. 当x<0时，－x>0，因为f(x)为R 上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)2＋4(－x)－3]＝x 2＋4x ＋3， 即x<0时，f(x)＝x 2＋4x ＋3.因为f(x)是奇函数，所以当x ＝0时，得f(0)＝0，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3，x>0，0，x ＝0，x 2＋4x ＋3，x<0.(2) 作出f(x)的图象(如图所示)，由f(x)－c ＝0得c ＝f(x)，在图中作y ＝c ，根据交点讨论方程的根：当c ≥3或c ≤－3时，方程有1个根； 当1<c<3或－3<c<－1时，方程有2个根； 当c ＝－1或c ＝1时，方程有3个根； 当0<c<1或－1<c<0时，方程有4个根； 当c ＝0时，方程有5个根．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>b>c)的图象经过点A(m 1，f(m 1))和点B(m 2，f(m 2))，且f(1)＝0.若a 2＋[f(m 1)＋f(m 2)]·a ＋f(m 1)·f(m 2)＝0，则b 的取值范围是________．答案：[0，＋∞) 解析：因为f(1)＝0，所以c ＝－(a ＋b)．又由a>b>c 可知a>0，c<0.由a 2＋[f(m 1)＋f(m 2)]·a ＋f(m 1)·f(m 2)＝0可得a ＝－f(m 1)或a ＝－f(m 2)，即f(x)＋a ＝0的两个根分别为m 1，m 2，即ax 2＋bx ＋c ＋a ＝0有两个根m 1，m 2.所以ax 2＋bx －b ＝0有两个根m 1，m 2，所以Δ＝b 2－4a(－b)＝b(b ＋4a)≥0，所以b ≥0或b ≤－4a.当b ≤－4a 时，4a ＋b ≤0，所以4a ＋b ＋c<0，所以a＋b ＋c<0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾，所以b ≥0., 四) 函数图象与性质的综合应用, 4) (2017·张家港模拟)已知函数f(x)＝x|x －a|＋2x(a ∈R )． (1) 当a ＝4时，解不等式f(x)≥8；(2) 当a ∈[0，4]时，求f(x)在区间[3，4]上的最小值；(3) 若存在a ∈[0，4]，使得关于x 的方程f(x)＝tf(a)有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1) 当a ＝4时，不等式可化为x|x －4|＋2x ≥8. 若x ≥4，则x 2－2x －8≥0，所以x ≥4； 若x<4，则x 2－6x ＋8≤0，所以2≤x<4. 综上，不等式的解集为{x|x ≥2}．(2) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a －2）x ，x ≥a ，－x 2＋（a ＋2）x ，x<a＝⎩⎨⎧（x －a －22）2－（a －22）2，x ≥a ，－（x －a ＋22）2＋（a ＋22）2，x ＜a.下面比较a －22，a ＋22，a 的大小：因为a ∈[0，4]，所以当a ∈[0，2]时，a －22－a ＝－a －22<0，a ＋22－a ＝2－a2≥0，所以作出函数f(x)的图象如图1.所以f(x)在(－∞，a]，[a ，＋∞)上为增函数， 即f(x)在R 上是增函数，所以f(x)在区间[3，4]上的最小值为f(3)＝15－3a.,图1) ,图2)当a ∈(2，4]时，a －22－a ＝－a －22<0，a ＋22－a ＝2－a 2<0，a ＋22≤3.所以作出函数f(x)的图象如图2.所以f(x)在(－∞，a ＋22]，[a ，＋∞)上为增函数，在[a ＋22，a]上为减函数，所以若a ≤3，则f(x)在区间[3，4]上为增函数，最小值为f(3)＝15－3a ； 若3<a ≤4，则f(x)在区间[3，4]上的最小值为f(a)＝2a.(3) 由(2)知当a ∈[0，2]时，如图1，关于x 的方程f(x)＝tf(a)不可能有3个不相等的实数根．当a ∈(2，4]时，要存在a ，使得关于x 的方程f(x)＝tf(a)有3个不相等的实数根，则f(a)<tf(a)<f(a ＋22)有解，所以1<t<⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f （a ＋22）f （a ）max (2<a ≤4)， f （a ＋22）f （a ）＝18(a ＋4a ＋4)，且函数y ＝a ＋4a 在区间(2，4]上为增函数，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f （a ＋22）f （a ）max ＝98，所以1<t<98.(2017·南通三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥a ，x 3－3x ，x<a.若函数g(x)＝2f(x)－ax 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案：(－32，2)解析：(解法1)要使g(x)＝2f(x)－ax 有2个不同的零点，只需y ＝f(x)的图象与直线y ＝12ax 有两个不同的交点，考虑直线x ＝a ，y ＝12ax 与y ＝x 3－3x 交于同一点时的临界状态可求出a ＝－32(如图1)和a ＝2(如图2)，当a 从－32连续变化到2时，直线y ＝12ax 绕着原点逆时针转动，分析可得a ∈(－32，2)． ,图1) ,图2),图3)(解法2)可将条件转化为“若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥a ，x 2－3，x<a ，且y ＝2f(x)－a 恰有1个零点”求解．点评：本题考查分段函数、函数的零点，意在考查考生分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程的数学思想．填空题中的零点问题常利用分离函数、分离参数，继而数形结合得到处理，解答题中的零点问题常利用导数研究函数的性质，常考虑区间端点处函数值的符号、极值的符号，常通过零点赋值法由零点存在性定理处理．1. (2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝2x 3＋x 2，则f(2)＝________．答案：12解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.2. (2017·山东卷)设f(x)＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1.若f(a)＝f(a ＋1)，则f(1a )＝________．答案：6解析：当0<a<1时，a ＋1>1，由f(a)＝f(a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)＝2a ，解得a ＝14，此时f(1a)＝f(4)＝2×(4－1)＝6；当a ≥1时，a ＋1≥2，由f(a)＝f(a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，此时方程无解．综上可知，f(1a )＝6.3. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0.若f(f(a))≤2，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，2]解析：∵ 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0，它的图象如图：由f(f(a))≤2，可得f(a)≥－2.当a ＜0时，f(a)＝a 2＋a ＝(a ＋12)2－14≥－2恒成立；当a ≥0时，f(a)＝－a 2≥－2，即a 2≤2，解得0≤a ≤ 2. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．4. (2017·天津卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|＋2，x<1，x ＋2x，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是________．答案：[－2，2]解析：(解法1)由题意可知，函数y ＝f(x)的图象恒不在函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象下方，画出函数y ＝f(x)和函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2的图象，如图所示．当a ＝0时，显然f(x)>⎪⎪⎪⎪x 2＋a ；当a<0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象由函数y ＝⎪⎪⎪⎪x2的图象向右平移|2a|个单位长度得到．由图可知，当函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x<－2a 部分的图象经过点(0，2)时，a 取得最小值，此时a ＝－2；当a>0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象由函数y ＝⎪⎪⎪⎪x2的图象向左平移2a 个单位长度得到，由图可知，当函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x>－2a 部分的图象经过点(0，2)或与函数y ＝f(x)在x>1部分的图象相切时，a 取得最大值，而经过点(0，2)时，a ＝2，当函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x>－2a 部分的图象与函数y ＝f(x)在x>1部分的图象相切时，设切点为P(x 0，y 0)(x 0>1)，因为x>1时，f ′(x)＝1－2x 2，则1－2x 20＝12，解得x 0＝2，所以y 0＝3.又点P(2，3)在函数y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在x>－2a 部分的图象上，所以⎪⎪⎪⎪22＋a ＝3，解得a ＝2，因此a 的最大值为2.综上所述，a 的取值范围是[－2，2]．(解法2)不等式f(x)≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 转化为－f(x)≤x 2＋a ≤f(x)，当x<1时，有－|x|－2≤x 2＋a ≤|x|＋2，即－|x|－2－x 2≤a ≤|x|＋2－x 2.因为当x<0时，－|x|－2－x 2＝x 2－2<－2，|x|＋2－x 2＝－3x2＋2>2，当0≤x<1时，－|x|－2－x 2＝－3x 2－2≤－2，|x|＋2－x 2＝x2＋2≥2，所以－2≤a ≤2；当x ≥1时，有－x －2x ≤x 2＋a ≤x ＋2x ，即－3x 2－2x ≤a ≤x 2＋2x .又－3x 2－2x ≤－23，x 2＋2x≥2，所以－23≤a ≤2.综上，－2≤a ≤2.5. (2016·浙江卷)已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋b(a ＞0)在区间[1，3]上有最大值5，最小值1.设f(x)＝g （x ）x.(1) 求a ，b 的值；(2) 若f(|lg x －1|)＋k·2|lg x －1|－3k ≥1对任意x ∈[1，10)∪(10，100]恒成立，求k 的取值范围．解：(1) g(x)＝a(x －1)2＋b －a ，因为a ＞0，所以g(x)在区间[1，3]上是增函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝1，g （3）＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2) 由已知和(1)可得f(x)＝x ＋2x－2，f(|lg x －1|)＋k·2|lg x －1|－3k ≥1，即|lg x －1|＋2|lg x －1|－2＋2k|lg x －1|－3k ≥1.令t ＝|lg x －1|，则t ∈(0，1]，t ＋2＋2kt－3k －3≥0对任意t ∈(0，1]恒成立．令h(t)＝t ＋2＋2kt－3k －3，t ∈(0，1]，则① 当k ＝－1时，h(t)＝t ≥0成立；② 当k ＜－1时，h(t)＝t ＋2＋2k t－3k －3在(0，1]上为增函数，t →0＋时，h(t)→－∞，舍去；③ 当k ＞－1时，h(t)在(0，2＋2k]上为减函数，在[2＋2k ，＋∞)上为增函数，若2＋2k ＜1，即－1＜k ＜－12时，h min (t)＝h(2＋2k)＝22＋2k －3k －3≥0，得－1≤k ≤－19，即－1＜k ＜－12； 若2＋2k ≥1，即k ≥－12时，h(t)在(0，1]上为减函数，h min (t)＝h(1)＝－k ≥0，即－12≤k≤0.综上，k 的取值范围是[－1，0]．(本题模拟高考评分标准，满分16分) 已知函数f(x)＝1＋x ＋1－x. (1) 求函数f(x)的定义域和值域；(2) 设F(x)＝a2·[f 2(x)－2]＋f(x)(a 为实数)，求F(x)在a<0时的最大值g(a)；(3) 对(2)中g(a)，若－m 2＋2tm ＋2≤g(a)对a<0所有的实数a 及t ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 由1＋x ≥0且1－x ≥0，得－1≤x ≤1，所以定义域为[－1，1]．(2分) 又f 2(x)＝2＋21－x 2∈[2，4]，由f(x)≥0得值域为[2，2]．(4分)(2) 令t ＝f(x)＝1＋x ＋1－x ，则1－x 2＝12t 2－1，所以F(x)＝m(t)＝a(12t 2－1)＋t ＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]．(6分)由题意知g(a)即为函数m(t)＝12at 2＋t －a ，t ∈[2，2]的最大值．注意到直线t ＝－1a 是抛物线m(t)＝12at 2＋t －a 的对称轴．因为a<0时，函数y ＝m(t)，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，① 若t ＝－1a ∈(0，2]，即a ≤－22，则g(a)＝m(2)＝ 2.(7分)② 若t ＝－1a ∈(2，2]，即－22<a ≤－12，则g(a)＝m(－1a )＝－a －12a .(8分)③ 若t ＝－1a ∈(2，＋∞)，即－12<a<0，则g(a)＝m(2)＝a ＋2.(9分)综上有g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2，－12<a<0，－a －12a ，－22＜a ≤－12，2，a ≤－22.(10分)(3) 易得g min (a)＝2，(11分)由－m 2＋2tm ＋2≤g(a)对a<0恒成立， 即要使－m 2＋2tm ＋2≤g min (a)＝2恒成立⇒m 2－2tm ≥0，令h(t)＝－2mt ＋m 2，对所有的t ∈[－1，1]，h(t)≥0成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）＝2m ＋m 2≥0，h （1）＝－2m ＋m 2≥0，(14分)求出m 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．(16分)1. 已知函数f(x)＝log 2a －x1＋x为奇函数，则实数a 的值为________．答案：1解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，即log 2a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x ，a －x 1＋x ＝1－xa ＋x，解得a 2＝1.因为a ≠－1，所以a ＝1.2. 已知函数f(x)＝2x －ax的定义域为(0，1](a 为实数)．(1) 当a ＝1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 求函数y ＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x 的值．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝2x －1x ，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f(x 1)－f(x 2)＝2(x 1－x 2)－(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)(2＋1x 1x 2)．∵ 1≥x 1＞x 2＞0，∴ x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0. ∴ f(x 1)＞f(x 2)，∴ f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，∴ f(x)的值域为(－∞，1]．(2) 当a ≥0时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值， 当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f(x)＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a 2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f(x)在(0，－a 2]上单调递减，在[－a2，1]上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a.3. 设函数f(x)，g(x)的定义域均为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)＋g(x)＝e x ，其中e 为自然对数的底数．(1) 求f(x)，g(x)的解析式，并求证：当x>0时，f(x)>0，g(x)>1；(2) 设a ≤0，b ≥1，求证：当x>0时，ag(x)＋(1－a)<f （x ）x<bg(x)＋(1－b)．(1) 解：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，即有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，f(x)＋g(x)＝e x ，f(－x)＋g(－x)＝e －x ，即为－f(x)＋g(x)＝e －x ，∴ f(x)＝12(e x －e －x )，g(x)＝12(e x ＋e －x )．证明如下：当x>0时，e x >1，0<e －x <1，故f(x)>0.又由基本不等式，有g(x)＝12(e x ＋e －x )>e x e －x ＝1，即g(x)>1.(2) 证明：由(1)得f ′(x)＝12(e x －1e x )′＝12(e x ＋e x e 2x )＝12(e x ＋e －x)＝g(x) ①，g ′(x)＝12(e x ＋1e x )′＝12(e x －e x e 2x )＝12(e x －e －x)＝f(x) ②，当x>0时，f （x ）x>ag(x)＋(1－a)等价于f(x)>axg(x)＋(1－a)x ③，f （x ）x<bg(x)＋(1－b)等价于f(x)<bxg(x)＋(1－b)x ④， 于是设函数h(x)＝f(x)－cxg(x)－(1－c)x.由①②，有h′(x)＝g(x)－cg(x)－cxf(x)－(1－c)＝(1－c)[g(x)－1]－cxf(x)．当x>0时，若c ≤0，则h′(x)>0，故h(x)在(0，＋∞)上为增函数，从而h(x)>h(0)＝0，即f(x)>cxg(x)＋(1－c)x ，故③成立．若c ≥1，则h′(x)<0，故h(x)在(0，＋∞)上为减函数，从而h(x)<h(0)＝0，即f(x)<cxg(x)＋(1－c)x ，故④成立．综合③④得，当x ＞0时，ag(x)＋(1－a)<f （x ）x<bg(x)＋(1－b)．请使用“课后训练·第1讲”活页练习，及时查漏补缺！第2讲 基本初等函数1. 高考对指数、对数函数的考查主要与其他基本初等函数知识相结合，考查函数的单调性及其基本性质，考查指数式的运算．2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 指数与对数的基本运算、对数的运算性质；(2) 与指数式综合考查比较大小；(3) 有关图象的识别问题．1. (2017·南京、盐城二模)函数f(x)＝ln 11－x的定义域为________．答案：(－∞，1)解析：由11－x＞0，得1－x ＞0，即x ＜1.2. y ＝(log 12a)x 在R 上为减函数，则a ∈________．答案：(12，1)解析：因为y ＝(log 12a)x 在R 上为减函数，所以0＜log 12a ＜1，所以12＜a ＜1，即a ∈(12，1)．3. (2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R 上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a ＝g(－log 25.1)，b ＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案：b<a<c解析：由函数f(x)为奇函数且在R 上单调递增，可知当x>0时，f(x)>0，所以g(x)＝xf(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝g(3)>a ＝g(－log 25.1)＝g(log 25.1)>g(2)，b ＝g(20.8)<g(2)，所以b<a<c.4. 已知函数f(x)(x ∈R ，且x ≠1)的图象关于点(1，0)对称，当x>1时f(x)＝log a (x －1)，且f(3)＝－1，则不等式f(x)>1的解集是________．答案：(－∞，－1)∪(1，32)解析：由题意，f(x)＝－f(2－x)，因为当x ＞1时，f(x)＝log a (x －1)，且f(3)＝－1，所以log a 2＝－1，所以a ＝12.所以当x ＞1时，不等式f(x)＞1可化为log 12(x －1)＞1，所以1＜x ＜32；当x ＜1时，2－x ＞1，不等式f(x)＞1可化为－log 12(1－x)＞1，所以x ＜－1., 一) 基本初等函数的性质研究, 1) 已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1) 求a ，b 的值；(2) 解关于t 的不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0. 解：(1) 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a.由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.经检验，当a ＝2，b ＝1时，f(x)为奇函数．(2) 由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． 因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－1)＝f(－2t 2＋1)． 因为f(x)是减函数，由上式推得t 2－2t>－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t>1或t<－13，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|t>1或t<－13.已知函数f(x)＝a －22x ＋1(a ∈R )．(1) 试判断f(x)的单调性，并证明你的结论； (2) 若f(x)为定义域上的奇函数，求： ① 函数f(x)的值域；② 满足f(ax)<f(2a －x 2)的x 的取值范围． 解：(1) 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(x)＝a －22x ＋1，任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝a －22x 2＋1－a ＋22x 1＋1＝2（2x 2－2x 1）（2x 2＋1）（2x 1＋1）.因为y ＝2x 在R 上单调递增，且x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0， 所以f(x 2)－f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数． (2) 因为f(x)是定义域上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，即a －22－x ＋1＋(a －22x ＋1)＝0对任意实数x 恒成立，化简得2a －(2·2x 2x ＋1＋22x ＋1)＝0，所以2a －2＝0，即a ＝1.① 由a ＝1得f(x)＝1－22x ＋1.因为2x ＋1>1，所以0<12x ＋1<1，所以－2<－22x ＋1<0，所以－1<1－22x ＋1<1，故函数f(x)的值域为(－1，1)．② 由a ＝1得f(x)<f(2－x 2)，且f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以x<2－x 2，解得－2<x<1. 故x 的取值范围是(－2，1)．, 二) 基本初等函数的图象变换, 2) 设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0<a<b. (1) 若a ，b 满足f(a)＝f(b)，求证：ab ＝1；(2) 在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f(a ＋b2)所得到的关于b 的方程g(b)＝0，存在b 0∈(3，4)，使g(b 0)＝0.证明：(1) 结合函数图象，由f(a)＝f(b)，0<a<b 可判断a ∈(0，1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，即ab ＝1.(2) 因为0<a<b ，所以a ＋b2>ab ＝1.由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0.设g(b)＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g(3)<0，g(4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3，4)内一定存在零点， 即存在b 0∈(3，4)，使g(b 0)＝0.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x(a>1)的图象上，则实数a 的值为________．答案： 2解析：设A(t ，3log a t)(t>0)，因为正方形ABCD 的边长为2， 所以B(t ，2log a t)，C(t 2，2log a t)，则⎩⎪⎨⎪⎧t 2－t ＝2，3log a t －2log a t ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－t －2＝0，log a t ＝2， 解得⎩⎨⎧t ＝2，a ＝2，即所求的实数a 的值为 2., 三) 基本初等函数与不等式综合, 3) 已知f(log 2x)＝x.(1) 若f(x)＋x ＝10的根x 0∈(k 2，k ＋12)，k ∈Z ，求k 的值；(2) 设g(x)＝f （x ＋1）＋af （x ）＋b(a<b)为其定义域上的奇函数，求实数a ，b 的值．解：(1) 令t ＝log 2x ，则x ＝2t ， 所以f(t)＝2t ，即f(x)＝2x .方程f(x)＋x ＝10即为2x ＋x ＝10.设h(x)＝2x ＋x －10，显然h(x)在R 上为增函数，因为h(2)＝22＋2－10＝－4<0，h(3)＝23＋3－10＝1>0，h(52)＝252＋52－10＝42－152<0， 所以函数h(x)的零点x 0∈(52，3)，所以符合条件的整数k ＝5.(2) g(x)＝2x ＋1＋a2x ＋b，因为g(x)为其定义域上的奇函数， 所以g(－x)＋g(x)＝0恒成立，即2－x ＋1＋a 2－x ＋b ＋2x ＋1＋a 2x ＋b＝0恒成立， 所以2＋a·2x 1＋b·2x ＋2x ＋1＋a 2x ＋b＝0，即(2＋a·2x )(2x ＋b)＋(1＋b·2x )(2x ＋1＋a)＝0恒成立，化简为(a ＋2b)22x ＋2(ab ＋2)2x ＋(a ＋2b)＝0恒成立，所以a ＋2b ＝0，且ab ＋2＝0， 解得a ＝2，b ＝－1或a ＝－2，b ＝1. 因为a<b ，所以a ＝－2，b ＝1.已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x.(1) 当x ∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2) 如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f(x 2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2]． (2) 由f(x 2)·f(x)>k·g(x)， 得(3－4log 2x)(3－log 2x)>k·log 2x.令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ① 当t ＝0时，k ∈R ；② 当t ∈(0，2]时，k<（3－4t ）（3－t ）t恒成立，即k<4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值范围是(－∞，－3)．, 四) 基本初等函数与方程综合, 4) 已知a>0，且a ≠1，函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a 11－x，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．(1) 求函数F(x)的定义域D 及其零点；(2) 若关于x 的方程F(x)－m ＝0在区间[0，1)内有解，求实数m 的取值范围．解：(1) F(x)＝2f(x)＋g(x)＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x (a>0且a ≠1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1，所以函数F(x)的定义域D 为(－1，1)．令F(x)＝0，则2log a (x ＋1)＋log a 11－x＝0 (*)．方程变为log a (x ＋1)2＝log a (1－x)， 即(x ＋1)2＝1－x ，即x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3，经检验x ＝－3是方程(*)的增根，所以方程(*)的解为x ＝0， 即函数F(x)的零点为0.(2) m ＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x ＝log a x 2＋2x ＋11－x ＝log a (1－x ＋41－x－4)(0≤x<1)，a m ＝1－x ＋41－x －4，设1－x ＝t ∈(0，1]，函数y ＝t ＋4t在区间(0，1]上是减函数，当t ＝1时，x ＝0，y min ＝5，所以a m ≥1. ① 若a>1，则m ≥0，方程有解； ② 若0<a<1，则m ≤0，方程有解．所以，当a ＞1时，m ≥0；当0＜a ＜1时，m ≤0.已知函数f(x)＝log a x －1x ＋1(其中a ＞0且a ≠1)．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性；(2) 已知关于x 的方程log a m（x ＋1）（7－x ）＝f(x)在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围．解：(1) 由对数有意义可得x －1x ＋1＞0，解得x ＜－1或x ＞1，所以f(x)＝log a x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝log a －x －1－x ＋1＝log a x ＋1x －1＝－log a x －1x ＋1，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m（x ＋1）（7－x ）＞0，x －1x ＋1＞0，m （x ＋1）（7－x ）＝x －1x ＋1.问题转化为求函数m ＝(x －1)(7－x)在x ∈[2，6]上的值域，该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，所以当x ＝2或6时，m 取最小值5；当x ＝4时，m 取最大值9. 所以m 的取值范围是[5，9]．1. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调增区间是________．答案：(4，＋∞) 解析：函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8＞0解得x ＞4或x ＜－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x 2－2x －8)的单调增区间为(4，＋∞)．2. (2017·山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x)的定义域为B ，则A ∩B ＝ ________．答案：[－2，1)解析：由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，所以A ＝{x|－2≤x ≤2}；由1－x>0得x<1，所以B ＝{x|x<1}．故A ∩B ＝{x|－2≤x<1}．3. (2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x －(13)x ，则f(x)是________函数．(选填“奇”或“偶”)答案：奇解析：因为f(－x)＝3－x －(13)－x ＝(13)x －3x ＝－3x ＋(13)x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．4. (2017·山东卷)若函数e xf(x)(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数为________．(填序号)① f(x)＝2－x ；② f(x)＝3－x ；③ f(x)＝x 3；④ f(x)＝x 2＋2. 答案：①④解析：令g(x)＝e x f(x)．对于①，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x 2－x ＝(e 2)x 在R 上单调递增，具有M 性质；对于②，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x 3－x ＝(e 3)x 在R 上单调递减，不具有M 性质；对于③，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x x 3，g ′(x)＝e x x 3＋3x 2e x ＝e x (x 3＋3x 2)>0在R 上不恒成立，所以g(x)在R 上不单调递增，不具有M 性质；对于④，f(x)的定义域为R ，g(x)＝e x (x 2＋2)，g ′(x)＝e x (x 2＋2)＋2xe x ＝e x (x 2＋2x ＋2)>0在R 上恒成立，所以g(x)在R 上单调递增，具有M 性质．故填①④.5. (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝e x (e x －a)－a 2x. (1) 讨论f(x)的单调性；(2) 若f(x)≥0，求a 的取值范围．解：(1) 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e 2x －ae x －a 2＝(2e x ＋a)(e x －a)． ① 若a ＝0，则f(x)＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增． ② 若a ＞0，则由f′(x)＝0得x ＝ln a.当x ∈(－∞，ln a)时，f ′(x)＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x)＞0.故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③ 若a ＜0，则由f′(x)＝0得x ＝ln(－a2)．当x ∈(－∞，ln(－a 2))时，f ′(x)＜0；当x ∈(ln(－a2)，＋∞)时，f ′(x)＞0.故f(x)在(－∞，ln(－a 2))上单调递减，在(ln(－a2)，＋∞)上单调递增．(2) ① 若a ＝0，则f(x)＝e 2x ，所以f(x)≥0.② 若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a 2ln a ．从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f(x)≥0.③ 若a ＜0，则由(1)得当x ＝ln(－a 2)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln(－a 2))＝a 2[34－ln(－a 2)]．从而当且仅当a 2[34－ln(－a2)]≥0，即a ≥－2e 34时，f(x)≥0. 综上，a 的取值范围是[－2e 34，1]．(本题模拟高考评分标准，满分16分)定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．举例：f(x)＝x ，D ＝[－3，2]，则对任意x ∈D ，|f(x)|≤3，根据上述定义，f(x)＝x 在[－3，2]上为有界函数，上界可取3，5等等．已知函数f(x)＝1＋a·2x ＋4x，g(x)＝1－2x1＋2x.(1) 当a ＝1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；(2) 求函数g(x)在[0，1]上的上界T 的取值范围；(3) 若函数f(x)在(－∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝1＋2x ＋4x ，设t ＝2x ，x ∈(0，＋∞)，所以t ∈(1，＋∞)， y ＝t 2＋t ＋1，值域为(3，＋∞)， 不存在正数M ，使x ∈(0，＋∞)时，|f(x)|≤M 成立，即函数在(0，＋∞)上不是有界函数．(5分)(2) 设t ＝2x ，t ∈[1，2]，g(t)＝1－t 1＋t ＝21＋t－1在t ∈[1，2]上是减函数，值域为[－13，0]，要使|g(x)|≤T 恒成立，则T ≥13.(10分)(3) 由已知x ∈(－∞，0]时，不等式|f(x)|≤3恒成立，即|1＋a·2x ＋4x |≤3， 设t ＝2x ，t ∈(0，1]，不等式化为|1＋a·t ＋t 2|≤3. (解法1)讨论：当0＜－a 2≤1，即－2≤a ＜0时，1－14a 2≥－3且2＋a ≤3，得－2≤a<0；当－a 2≤0或－a2＞1，即a ＜－2或a ≥0时，－3≤2＋a ≤3，得－5≤a ＜－2或0≤a ≤1.综上，－5≤a ≤1.(16分)(解法2)不等式1＋at ＋t 2≥－3且1＋at ＋t 2≤3在t ∈(0，1]上恒成立．分离参数法得－a ≤t ＋4t 且－a ≥t －2t在t ∈(0，1]上恒成立，得－5≤a ≤1.(16分)1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ＋1，x ≤0，则f(f(14))的值是________．答案：109解析：由题意可得f(14)＝log 214＝－2，∴ f(f(14))＝f(－2)＝3－2＋1＝109.2. 已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R )．(1) 若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x>0，－f （x ），x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2) 若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1) 由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴ f(x)＝(x ＋1)2.∴ F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x>0，－（x ＋1）2，x<0. ∴ F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2) 由a ＝1，c ＝0，得f(x)＝x 2＋bx ，从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又在区间(0，1]上，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴ －2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．3. 已知a ∈R ，函数f(x)＝log 2(1x＋a)．(1) 当a ＝5时，解不等式f(x)＞0；(2) 若关于x 的方程f(x)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝5时，f(x)＝log 2(1x＋5)，由f(x)＞0，得log 2(1x＋5)＞0，即1x ＋5＞1，即x ＞0或x ＜－14， 即不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞0或x ＜－14.(2) 由f(x)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，得log 2(1x ＋a)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0，即log 2(1x ＋a)＝log 2[(a －4)x ＋2a －5]，即1x＋a ＝(a －4)x ＋2a －5＞0 ①， 则(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0， 即(x ＋1)[(a －4)x －1]＝0 ②，当a ＝4时，方程②的解为x ＝－1，代入①，成立； 当a ＝3时，方程②的解为x ＝－1，代入①，成立；当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝－1或x ＝1a －4，若x ＝－1是方程①的解，则1x＋a ＝a －1＞0，即a ＞1；若x ＝1a －4是方程①的解，则1x ＋a ＝2a －4＞0，即a ＞2.则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2.综上，若方程f(x)－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1<a ≤2或a ＝3或a ＝4.请使用“课后训练·第2讲”活页练习，及时查漏补缺！第3讲 分段函数与绝对值函数1. 分段函数和绝对值函数是高考的重点内容，主要考查分类讨论思想，关键弄清楚为什么要分类，需要分几类，如何分，做到不重不漏．2. 涉及的题型主要有：一是明确在各个分段上的函数解析式，然后对各个分段进行性质讨论；二是结合函数图象，寻求解题方法．1. (2017·启东模考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x －1，x<0，－x 2＋x ，x ≥0，则f(f(2))＝________．答案：3解析：因为f(2)＝－4＋2＝－2，f(－2)＝(12)－2－1＝3，所以f(f(2))＝3.2. (2017·盐城模考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1.若f(0)＝3，则f(a)＝ ________．答案：9解析：由f(0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f(a)＝f(5)＝9.3. (2017·盐城期中)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x<a ，|x ＋1|，x ≥a在区间(－∞，a)上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案：[－1，0]解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x<a ，|x ＋1|，x ≥a ，根据反比例函数的性质可知，在区间(－∞，0)上单调递减，要使函数f(x)在区间(－∞，a)上单调递减，则a ≤0.因此函数f(x)＝|x ＋1|在区间(a ，＋∞)上单调递增，那么a ＋1≥0，解得a ≥－1.所以实数a 的取值范围是[－1，0]．4. (2017·苏北四市一模)已知函数f(x)＝|x 2－4|＋a|x －2|，x ∈[－3，3]．若f(x)的最大值是0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－5] 解析：(解法1)因为函数f(x)的最大值为0，故f(x)≤0在[－3，3]上恒成立，从而f(3)≤0，解得a ≤－5.又f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4＝（x ＋a 2）2－a 24－2a －4，x ∈[2，3]，－x 2－ax ＋2a ＋4＝－（x ＋a 2）2＋a24＋2a ＋4，x ∈（－2，2），x 2－ax ＋2a －4＝（x －a 2）2－a 24＋2a －4，x ∈[－3，－2]. 因为a ≤－5，所以－a 2≥52，当－a 2∈[52，3]时，画出f(x)的草图，结合图象可知函数f(x)在[－3，a 2]上单调递减，在[a 2，2]上单调递增，在[2，－a 2]上单调递减，在[－a2，3]上单调递增．因为f(2)＝0，故f(－3)≤0且f(3)≤0，解得a ≤－5.当－a2≥3，即a ≤－6时，f(x)在[－3，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)≤0恒成立．故a ≤－5.(解法2)因为f(x)＝|x －2|(|x ＋2|＋a)，|x －2|≥0，且函数f(x)的最大值为0，故|x ＋2|＋a ≤0在[－3，3]上恒成立，从而a ≤－|x ＋2|在[－3，3]上恒成立．因为(－|x ＋2|)min ＝－5，故a ≤－5., 一) 绝对值函数的图象与性质, 1) 已知函数f(x)＝x|x －2|. (1) 写出f(x)的单调区间； (2) 解不等式f(x)<3；(3) 设a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值． 解：(1) f(x)＝x|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1，x ＜2， 所以f(x)的单调增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)； 单调减区间是[1，2]．(2) 因为x|x －2|<3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－2x －3＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x<2，x 2－2x ＋3>0，解得2≤x ＜3或x ＜2，所以不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}．(3) ① 当0＜a ＜1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1≤a ≤2时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1>0，解得a>1＋ 2. (ⅰ) 当2<a ≤1＋2时，此时f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； (ⅱ) 当a>1＋2时，此时f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0<a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1<a ≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a>1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．点评：对于绝对值函数可以转化为与它等价的分段函数，然后结合函数的单调区间和图象，对于每一段上的函数进行研究，得出相应的结论，最终将各段得出的结论进行综合，就可以得到问题的解．(2017·南通平潮中学模考)设函数f(x)＝|lg x|.若方程f(x)＝(110)x 有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)，试比较x 1x 2与1的大小．解：由题意，|lg x 1|＝(110)x 1，|lg x 2|＝(110)x 2，因为x 1<x 2，由图知，0<x 1<1<x 2.所以－lg x 1＝(110)x 1，lg x 2＝(110)x 2，所以(110)x 2－(110)x 1＝lg x 2＋lg x 1＝lg x 1x 2.因为x 1<x 2，所以(110)x 2－(110)x 1<0，所以lg x 1x 2<0，从而x 1x 2<1., 二) 分段函数的图象与性质, 2) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1) 设x<0，则－x>0，。
2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第一部分 专题一 第六讲 导数应用二 含解析 精品
[师生共研·析重点] [例](2016·重庆适应性测试)设 f(x)＝(ax＋b)e－2x，曲线 y＝f(x)在点 (0，f(0))处的切线方程为 x＋y－1＝0. (1)求 a，b； (2)设 g(x)＝f(x)＋xln x，证明：当 0<x<1 时，2e－2－e－1<g(x)<1.
考点二 利用导数证明不等式
试题 解析
考点一 考点二 考点三 考点四
2．(2016·高考全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明当 x∈(1，＋∞)时，1＜xln－x1＜x； (3)设 c＞1，证明当 x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
考点二
试题 解析
考点三 利用导数研究方程根(函数零点)的问题
试题 解析
考点一 考点二 考点三 考点四
3．(2016·高考全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2 有两个 零点． (1)求 a 的取值范围； (2)设 x1，x2 是 f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.
考点三
考点一 考点二 考点三 考点四
考点一
考点一 考点二 考点三 考点四
试题 解析
(2)由(1)知，若 k＝1， 当 x>1 时，f(x)<f(x)极大值＝0，即不存在 x0>1，当 x∈(1，x0)时，恒有 f(x)>0； 若 k>1， 当 x>1 时，f(x)＝2ln x－(x－1)2－2k(x－1)<2ln x－(x－1)2－2(x－ 1)<0，即不存在 x0>1，当 x∈(1，x0)时，恒有 f(x)>0； 若 k<1，f(x)＝2ln x－(x－1)2－2k(x－1)， ∴f′(x)＝2x－2x＋2－2k＝x2[－x2＋(1－k)x＋1]， 令 f′(x)＝0，即－x2＋(1－k)x＋1＝0，
2018届高考数学二轮复习浙江专用课件 考前增分指导三 3 精品
易错警示 投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、
负数或零.
[回扣问题 10] (1)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m)，若向量 a，
b 的夹角为π6 ，则实数 m＝(
)
A.2 3
B. 3
C.0
D.－ 3
(2)已知 a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，
则 λ 的取值范围是________.
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan
α＝ sin
cos
α α.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
－α
π－α π＋α 2π－α
sin －sin α sin α －sin α －sin α
π 2 －α
cos α
cos cos α －cos α －cos α cos α sin α
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
tan(α±β)＝t1a∓ntanα±αttaann
β β.
cos2α＝1＋co2s 2α，sin2α＝1－co2s 2α，tan 2α＝12－tantanα2α.
[回扣问题4] (1)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最 大值为________.
(2) 已 知
cos
π4 ＋x
＝
3 5
，
17π 12
＜
x
＜
7π 4
，
则
sin
2x＋2sin2 1－tan x
x
＝
________.
答案 (1)1 (2)－2785
5.在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]； α＋π4 ＝(α＋β)－β－π4 ，α＝α＋π4 －π4 .
【高考数学】2018届高三数学(理)二轮复习课件：知识板块3(高频考点汇总PPT课件)
(5)
a2＋b2 a＋b 2 ≥ 2 ≥ ab(a>0，b>0)．
2．可行域的确定 “线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代 入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域． 3．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax (2)ax
n n
不等式nnFra bibliotek2．简单分式不等式的解法 f x f x (1) >0⇔f(x)g(x)>0， <0⇔f(x)g(x)<0. g x gx
fxgx≥0， fx fxgx≤0， f x (2) ≥0⇔ ≤0⇔ g x gx gx≠0， gx≠0.
2
a>0， ＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 Δ<0. a<0， ＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 Δ<0.
2
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第二部分 方法攻略——高效提分宝典
攻略六
再温九个知识板块
知识板块三 一、牢记概念与公式 1．不等式的性质 (1)a>b，b>c⇒a>c. (2)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (3)a>b⇒a＋c>b＋c. (4)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (5)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (6)a>b>0，n∈N，n>1⇒a >b ， a> b.
f x (3)对于形如 >a(≥a)的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转 gx 化为(1)或(2)的形式求解．
2018届高考数学二轮复习第3部分专题2考前“三注意”课件(全国通用)
考前应试技巧
பைடு நூலகம்
考前“三注意”
(对应学生用书第 80 页)
1．做“熟题”找感觉 挑选部分有代表性的习题演练一遍，体会如何运用基础知识解决问题，提炼 具有普遍性的解题方法，以不变应万变最重要．掌握数学思想方法可从两方 面入手：一是归纳重要的数学思想方法；二是归纳重要题型的解题方法．还 要注意典型方法的适用范围和使用条件，防止形式套用时导致错误．顺应时 间安排：数学考试安排在下午，故而考生平时复习数学的时间也尽量安排在 下午时段．每天必须坚持做适量的练习，特别是重点和热点题型，保持思维 的灵活和流畅．
2．先易后难多拿分 改变解题习惯：不要从头到尾按顺序做题．无论是大题还是小题，都要先抢 会做的题，接着抢有门的题，然后才拼有困难的题，最后再抠不会的题．先 抢占有利地势，可以保证在有限的时间内多拿分．
3．新题难题解不出来先跳过 调整好考试心态，有的同学碰到不会做或比较新颖的题就很紧张，严重影响 了考试情绪．高考会出现新题，遇到难题或新题时，要学会静下来想一想， 如果暂时还想不出来，跳过去做另一道题，没准下道题目做出来后你已经比 较冷静了，那就再回过头来解答．在近期复习中，抓容易题和中档题，不宜 去攻难题．因为这段时间做难题，容易导致学生心理急躁，自信心丧失．通 过每一次练习、测试的机会，培养自己的应试技巧，提高得分能力．
18版高考数学二轮复习第3部分考前增分策略专题1考前教材重温2函数与导数教学案理180306398
2.函数与导数■要点重温…………………………………………………………………………· 1．几种常规函数：(1)一次函数：f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．当b ＝0时，f (x )为奇函数．[应用1] 若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为1，则f (x )的解析式为________．[答案] f (x )＝23x ＋53，或f (x )＝－23x ＋73.(2)二次函数：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)；④区间最值：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．[应用2] 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是[2,2b ]，则b ＝________.【导学号：07804160】[答案] 2[应用3] 设函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋1在区间(－∞，4)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] a ≤－3(3)三次函数的解析式的两种形式： ①一般式：f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)； ②零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(x －x 3)(a ≠0)．[应用4] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图2，则b 的取值范围是________．图2[答案] b ＜0[应用5] 若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为________． [答案] a >2或a <－1(4)反比例函数：y ＝cx(x ≠0)平移⇒y ＝a ＋cx －b(x ≠0)(中心为(b ，a ))．(5)分段函数：分段处理，有时结合函数图象来研究问题．[应用6] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________. [解析] 当a ＜0时，－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，a ＝－34；当a ＞0时，－(1＋a )－2a ＝2(1－a )＋a ，a ＝－32(舍)；综上可知a ＝－34.[答案] －34[应用7] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2， 若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________.【导学号：07804161】[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞) [应用8] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x －2a ＋2，x <1log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是_______．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32(6)指数函数、对数函数 ①指数与对数的关系：a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，a ≠1，N >0) ，换底公式log a b ＝log c blog c a； ②对数的运算法则：log a M ＋log a N ＝log a MN ；log a M －log a N ＝log a M N；③解对数函数问题时，注意到真数与底数的限制条件(真数大于0，底数大于0且不等于1)；④字母底数范围不明确时需分类讨论．[应用9] 2log 32－log 3329＋log 38－5log 53＝________.[答案] －1[应用10] 已知函数f (x ) ＝log a (x ＋1)的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是________． [答案] 2[应用11] 设a ＞0，a ≠1，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，则不等式log a (x －1)＞0的解集为________．[解析] 因为x 2＋x ＋1有最小值，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，所以0＜a ＜1，所以log a (x －1)＞0＝log a 1⇔0＜x －1＜1，解得1＜x ＜2. [答案] (1,2)(7)对勾函数： f (x )＝x ＋a x①函数f (x )是奇函数；②单调性： a ＜0时，区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数； a ＞0时，在(0，a ]，[－a ，0)递减，在(－∞，－a ]，[a ，＋∞)递增；③在[c ，d ]上的最值：当等号能取到时，利用基本不等式求解；当等号不能取到时，利用单调性．[应用12] 已知a ＞0，求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a的最小值．[答案] 0＜a ≤1时，y min ＝2；a ＞1时，y min ＝a ＋1a2．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)． (3)对称变换：①函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；②函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[应用13] 已知函数f (x )＝e|ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )[解析] ∵f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，1x，x ≥1，又y ＝f (x ＋1)的图象可由y ＝f (x )向左平移1个单位得到， 所以结合选项可知A 正确． [答案] A 3．函数的常用性质研究函数的性质时，树立定义域优先的原则． (1)函数的单调性与最值①判断函数单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；②求函数最值(值域) 的常用方法：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、有界函数法．[应用14] 已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的范围为________． [答案] (1,2)[应用15] 函数f (x )＝e x－x ＋1(e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． [答案] e (2)函数的对称性①轴对称：若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则图象关于x ＝a ＋b2对称. 特别地，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．②中心对称：若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则图象关于(a,0)成中心对称. 特别地，若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． [应用16]f (x )＝(1＋x ) 1－x1＋x是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．[答案] 非奇非偶[应用17] 函数f (x )＝12－x 的图象与函数g (x )＝2sin π2x (0≤x ≤4)的图象的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________.【导学号：07804162】[解析] 如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.[答案] 12(3)函数的周期性①f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ； ②f (x ＋a )＝1f x(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a ；③f (a ＋x )＝f (x ＋b )，则周期T ＝|a －b |.[应用18] 设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.[答案] －1 (4)函数的零点函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，求f (x )＝g (x )根的个数时，可在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理．[应用19] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，且x ∈[0,1]时，f (x )＝4x，x ∈(1,2)时，f (x )＝f x，令g (x )＝2f (x )－x －4，x ∈[－6,2]，则函数g (x )的零点个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵x ∈[0,1]时，f (x )＝4x，∴f (1)＝4， ∴x ∈(1,2)时，f (x )＝f x＝4x，∵g (x )＝2f (x )－x －4，x ∈[－6,2]， 令g (x )＝2f (x )－x －4＝0，即f (x )＝12x ＋2.∵函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )＋1，即自变量x 每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y ＝f (x )在x ∈[－6,2]，y ＝12x ＋2的图象，∴y ＝f (x )在x ∈[－6,2]，y ＝12x ＋2有8个交点，故函数g (x )的零点个数为8个．故选C. [答案] C[应用20] 已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)f (x )＋f (2－x )＝0，(2)f (x －2)＝f (－x )，(3)在[－1,1]上表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2x ∈[－1，0]cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x x ，1]，则函数f (x )与函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤01－x x >0的图象在区间[－3,3]上的交点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 由(1)f (x )＋f (2－x )＝0可得f (x )关于(1,0)对称，(2)f (x －2)＝f (－x )可得f (x )关于直线x ＝－1对称，作出示意图， 知函数f (x )与函数g (x )有6个交点．][答案] B4．导数在研究函数性质中的应用(1)导数几何意义：k ＝f ′(x 0)表示曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．注意过某点的切线(即使点在曲线上)不一定只有一条．[应用21] 过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程为________． [解析] 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0 ＝3x 20－2. ∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)． 又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)， 整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12)，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0. [答案] x －y －2＝0 或5x ＋4y －1＝0 (2)求函数单调性的步骤：明确函数y ＝f (x )的定义域⇒求导数⇒解不等式f ′(x )>0得增区间(解不等式f ′(x )<0得减区间)．[应用22] 函数f (x )＝1x ln x(x >0且x ≠1)在________上是减函数，在________上是增函数.【导学号：07804163】[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e[应用23] 已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， 所以2a ≥83，即a ≥43.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (3)求函数极值、最值的步骤：①求导；②变形；③求解；④列表；⑤作答． 特别提醒：①导数为零的点并不一定是极值点， f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要不充分条件； ②给出函数极大(小)值的条件，既要考虑f ′(x 0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(或“左负右正”)．[应用24] 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________．[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧f＝3＋2a ＋b ＝0， ①f ＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时， f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时， f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7. [答案] －7(4)利用导数解决不等式问题的思想①证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，再证明h (x )max <0. ②不等式恒成立问题可利用分离参数法或直接求含参数的函数的最值．[应用25] 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x －2 017)2f (x －2 017)－4f (2)>0的解集为( ) A ．(2 014，＋∞) B ．(0,2 014) C ．(0,2 019)D ．(2 019，＋∞)[解析] 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2且x >0，得2xf (x )＋x 2f ′(x )>x 3>0.令g (x )＝x 2f (x )(x >0)，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为g (2)＝4f (2)，g (x －2 017)＝(x －2 017)2f (x －2 017)，所以不等式(x －2 017)2f (x －2 017)－4f (2)>0等价于g (x －2 017)>g (2)，所以x －2 017>2，解得x >2 019，故选D.] [答案] D■查缺补漏…………………………………………………………………………· 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( )【导学号：07804164】A ．f (x )＝－xB ．f (x )＝1x2C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝－cos xB [对于A ，偶函数与单调递减均不满足；对于B ，符合题意；对于C ，不满足单调递减；对于D ，不满足单调递减，故选B.]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f x ，0<x <1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．12D ．－12C [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1232<1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＝f (2-12)， 又2－12<1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＝f (2-12) ＝f (212)＝log 2212＝12.]3．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln 3C ．4＋ln 3D ．4－ln 3D [由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形如下图中的阴影部分所示：其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，B (1,1)，C (3,3)，所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1y d y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2－ln y ⎪⎪⎪31＝4－ln 3，故选D.]4．函数y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x－1的图象大致为( )A B C DD [y ＝f (x )＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1＝2x cos 6x4x －1，f (－x )＝2－x －6x 4－x －1＝2xcos6x 1－4x ＝－f (x )是奇函数，排除A ，又在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12上，f (x )>0，排除B ，当x →＋∞时，f (x )→0，排除C ，故选D.]5．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )【导学号：07804165】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)B [当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，在0<x ≤12内它的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫log a 12，＋∞，而y＝4x 的值域为(1,2]，所以此时有2<log a 12⇔log a a 2<log a 12，∴a 2>12，解得22<a <1；当a >1时，y ＝log a x 是增函数，在0<x ≤12内它的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，log a 12，而y ＝4x 的值域为(1,2]，所以此时有log a 12<log a 1＝0，显然不符合题意，综上22<a <1.]6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f ⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12恒成立，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈(－2,0)时，f (x )＝( ) A ．2＋|x ＋1| B ．3－|x ＋1| C ．|x －2|D ．x ＋4B [∵∀x ∈R ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是最小正周期为2的函数．令0≤x ≤1，则2≤x ＋2≤3，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ， ∴f (x ＋2)＝x ＋2， ∴f (x )＝x ＋2，x ∈[0,1]， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (x )＝－x ＋2，x ∈[－1,0]， 令－2≤x ≤－1， 则0≤x ＋2≤1，∵f (x )＝x ＋2，x ∈[0,1]， ∴f (x ＋2)＝x ＋4，∴f (x )＝x ＋4，x ∈[－2，－1]，当－2<x <0时，函数的解析式为：f (x )＝3－|x ＋1|.]7．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图3所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：图3①对于任意一个圆O ，其“优美函数“有无数个”；②函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y ＝f (x )是“优美函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形. 其中正确的命题是：( )A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④A [对于①，过圆心的任一直线都可以满足要求，所以正确； 对于②，可以做出其图象，故不能是某圆的优美函数；对于③，只需将圆的圆心放在正弦函数的图象的对称中心上即可，所以正弦函数是无数个圆的优美函数；对于④，函数是中心对称图形时，函数是优美函数，但是优美函数不一定是中心对称，如图所示：故选A.]8．已知y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0，则关于x 的函数g (x )＝f (x )＋1x的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或2C [因为函数g (x )＝f (x )＋1x，可得x ≠0，所以g (x )的零点跟xg (x )的非零零点是完全一样的， 故我们考虑xg (x )＝xf (x )＋1的零点， 由于当x ≠0时，f ′(x )＋f xx>0， ①当x >0时，(xg (x ))′＝(xf (x ))′＝xf ′(x )＋f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋f x x >0，∴在(0，＋∞)上，函数xg (x )单调递增．又f (x )在R 上可导，∴当x ∈(0，＋∞)时，函数xg (x )＝xf (x )＋1>1恒成立，因此，在(0，＋∞)上，函数xg (x )＝xf (x )＋1没有零点．②当x <0时，因为(xg (x ))′＝(xf (x ))′＝xf ′(x )＋f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫fx ＋f x x <0，故函数xg (x )在(－∞，0)上是递减函数，函数xg (x )＝xf (x )＋1>1恒成立，故函数xg (x )在(－∞，0)上无零点．综上得，函数g (x )＝f (x )＋1x在R 上的零点个数为0.]9．若函数f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)是偶函数，则实数a 的值为________.【导学号：07804166】0 [由题意知，f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)为偶函数，即ln(x 2－ax ＋1)＝ln(x 2＋ax ＋1)，即x 2－ax ＋1＝x 2＋ax ＋1，显然a ＝0.] 10．若偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.3 [因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3.]11．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________． (－2,2) [因为f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．因为f (x )<0，f (2)＝0.所以f (|x |)<f (2)． 又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以|x |<2，所以－2<x <2.]12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≥0，x 2－ax ，x <0.若f (x )的最小值是a ，则a ＝________.－4 [若a ≥0，函数的值域为(0，＋∞)，不符合题意；若a <0，则函数的最小值为1＋a 或－a 24.所以1＋a ＝a 或－a 24＝a ，解得a ＝－4.] 13．已知函数f (x )＝x 3＋x ，函数g (x )满足g (x )＋g (2－x )＝0，若函数h (x )＝g (x )－f (x －1)有10个零点，则所有零点之和为________．10 [易知函数f (x )为奇函数，其对称中心为(0,0)，所以函数y ＝f (x －1)的对称中心为(1,0)．由函数g (x )满足g (x )＋g (2－x )＝0，知函数g (x )的对称中心为(1,0)，函数h (x )＝g (x )－f (x －1)有10个零点， 即函数y ＝g (x )与y ＝f (x －1)有10个交点，并且(1,0)对称，所以函数h (x )＝g (x )－f (x －1)有10个零点，则所有零点之和为10.]14．已知函数f (x )＝a x ＋x a －⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)证明：当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )没有零点(提示：ln 2≈0.69) [解] (1)因为f (x )＝a x ＋x a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ln x ＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋a 2x －a 2－x ，所以f ′(x )＝x ＋x －a 2ax 2.因为x >0，所以当x ∈(0，a 2)时，f ′(x )<0，当x ∈(a 2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以，函数f (x )的单调递增区间为(a 2，＋∞)，单调递减区间为(0，a 2). 当x ＝a 2时，f (x )取得极小值f (a 2)＝1a[a 2＋1－(a 2－1)ln a 2]．(2)证明：由(1)可知：当x ＝a 2时，f (x )取得极小值，亦即最小值．f (a 2)＝1a[a 2＋1－(a 2－1)ln a 2]，又因为12≤a ≤2，所以14≤a 2≤4.设g (x )＝x ＋1－(x －1)ln x ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤x ≤4，则g ′(x )＝1x －ln x ，因为g ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4上单调递减，且g ′(1)>0，g ′(2)<0，所以g ′(x )有唯一的零点m ∈(1,2)，使得g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，m 上单调递增，在(m,4]上单调递减，又由于g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝5－6ln24>0，g (4)＝5－6ln 2>0,所以g (x )>0恒成立．从而f (a 2)＝1a[a 2＋1－(a 2－1)ln a 2]>0恒成立，则f (x )>0恒成立．所以当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )没有零点. 15．设函数f (x )＝4ln x －12ax 2＋(4－a )x (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若函数f (x )存在极值，对于任意的0<x 1<x 2，存在正实数x 0，使得f (x 1)－f (x 2)＝f ′(x 0)·(x 1－x 2)，试判断x 1＋x 2与2x 0的大小关系并给出证明.【导学号：07804167】[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x－ax ＋(4－a )＝－x ＋ax －x.当a ≤0时，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，则由f ′(x )＝0得，x ＝4a，x ＝－1(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，＋∞上单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a >0时，f (x )存在极值．f (x 1)－f (x 2)＝4(ln x 1－ln x 2)－12a (x 21－x 22)＋(4－a )(x 1－x 2)＝4(ln x 1－ln x 2)－12a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(4－a )(x 1－x 2)． 由题设得f ′(x 0)＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝x 1－ln x 2x 1－x 2－12a (x 1＋x 2)＋(4－a )．又f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝8x 1＋x 2－a ·x 1＋x 22＋4－a ，所以f ′(x 0)－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝x 1－ln x 2x 1－x 2－8x 1＋x 2＝4x 2－x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－ln x 1－x 2－x 1x 2＋x 1＝4x 2－x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln x 2x1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1. 设t ＝x 2x 1，则t >1，则ln x 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1＝ln t －t －t ＋1(t >1)．令g (t )＝ln t －t －t ＋1(t >1)，则g ′(t )＝t －2t t ＋2>0，所以g (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (t )>g (1)＝0，故ln x 2x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1>0.又因为x 2－x 1>0，因此f ′(x 0)－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0，即f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f ′(x 0)．又由f ′(x )＝4x －ax ＋(4－a )知f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，所以x 1＋x 22>x 0，即x 1＋x 2>2x 0.。
2018届高三数学理二轮复习课件：3.1.1 精品
【典例2】(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边 AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运 动，记∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f(x)，则f(x)的图象大致为( )
【解析】选B.由已知得,当点P在BC边上运动时,即
0≤x≤ 时,PA+PB= tan2x+t4anx,
2
且 f( ) 且f( 轨)，迹非直线型.
42
【变式训练】(2015·浙江高考)函数f(x)= (x 1 ) cosx
x
(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为 ( )
【解析】选D.f(x)的定义域关于原点对称,因为f(-x)=
( x 1 ) cosx=- (x 1 ) cosx=-f(x),故函数是奇函数,所
3.解题规律:(1)对于干扰项易于淘汰的选择题,可采用 筛选法,能剔除几个就先剔除几个. (2)使用题干中的部分条件淘汰选项. (3)如果选项中存在等效命题,那么根据答案唯一,等效 命题应该同时排除.
(4)如果选项存在两个相反的,或互不相容的判断,那么 其中至少有一个是假的. (5)如果选项之间存在包含关系,必须根据题意才能判 定.
因为圆C：(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)表示以C(-1，-1)为
圆心，半径为r的圆，
所以由图可得，当半径满足r<CM或r>CP时，圆C不经过
区域D上的点，
因为CM=112 112＝C2P=2，
112 1 32＝2 5，
所以当0<r<2 2或r 时2 ，5 圆C不经过区域D上的点，
4
当点P在CD边上运动时,即 x 3 , x 时，
4
2018年高三数学(理科)二轮复习完整版
专题限时集训 (一)A
基础演练
[ 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 ] (时间： 5 分钟＋ 30 分钟 )
1．设 U＝ {1 ， 2， 3， 4， 5} ， A＝ {1 ， 5} ， B＝{2 ， 4} ，则 B∩ (?UA)＝ ( )
A ． {2 ， 3， 4}
B ． { 2}
C． {2 ， 4}
专题限时集训 (一 )B
[ 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 ] (时间： 5 分钟＋ 30 分钟 )
基础演练
1．已知全集 U＝ R ，A＝ { x|x≤ 0} ，B＝ { x|x≥ 1} ，则集合 ?U(A∪ B) ＝( )
A ． { x|x≥ 0}
B ． { x|x≤ 1}
C． { x|0≤ x≤ 1}
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知集合 M ＝ { x|－ 2≤ x<2} ，N＝{ x|y＝ log 2(x－ 1)} ，则 M ∩ N＝ ( )
A ． { x|－ 2≤ x<0}
B ． { x|－ 1< x<0}
C． { x|1<x<2}
形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度 适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法． 二、时间安排：
1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段， 月 30 日。
时间为 3 月 10—— 4
2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为
7.试卷讲评随意，对答案式的讲评。对答案式的讲评是影响讲评课效益的大敌。评讲的较好 做法应该为，讲评前认真阅卷，讲评时将归类、纠错、变式、辩论等方式相结合，抓错误点、 失分点、模糊点，剖析根源，彻底矫正。 四、在第二轮复习过程中，我们安排如下： 1. 继续抓好集体备课。 每周一次的集体备课必须抓落实， 发挥集体智慧的力量研究数学高考 的动向，学习与研究《考试大纲》 ，注意哪些内容降低要求，哪些内容成为新的高考热点，每 周一次研究课。 2．安排好复习内容。 3．精选试题，命题审核。 4．测试评讲，滚动训练。 5．精讲精练：以中等题为主。
【金版教程】2018届高三数学二轮复习 完整版Word版
8 9 合计
[14,16) [16,18) 200Fra bibliotek4 4
(1)从该校高一年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生该 月参加社团活动的时间少于 14 小时的概率； (2)求统计表中的 x 的值和频率分布直方图中的 b 的值； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计 样本中的 200 名学生该月活动时间的平均数在第几组(只需写出结论)． [审题导引] 观察 计算不少于14 得数据 审表格 ――→ ――→ 求概率 ―→ 审图形 找数据 ――→ 小时学生数 计算b 审图表 ――→ 得出结论 [规范解题] (1)根据频数分布表可知，200 名学生参加社团活动的时间不少于 14 小时的学生人数为 4＋4＝8，所以样本中学生参加社团活动的时间 8 24 少于 14 小时的频率是 1－200＝25，用频率估计概率可得所求概率大 24 约为25. (2)依据频率分布直方图可知 x＝200×0.085×2＝34. 50 200 依据频数分布表和频率分布直方图可知 b＝ 2 ＝0.125. (3)估计样本中的 200 名学生活动时间的平均数在第 4 组．
→ 1 即|AD|＝2 [答案] D
1 → → → → 2 2＝ |AB| ＋2AB· AC＋|AC| 2 36＝3.故选 D.
审结论逆向推 结论是解题的最终目标。解决问题的思维，很多情形下都是在目 标意识下启动和定向的，审视结论要探究已知条件和结论间的联系和 转化规律，善于从结论中捕捉解题信息，确定解题方向． 例2 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. an (1)设 bn＝ n－1，证明：数列{bn}是等差数列； 2 (2)求数列{an}的通项公式． [审题导引]
专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式 第一讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型) 命题全解密 MINGTIQUANJIEMI 1.命题点 集合间的关系、集合的基本运算；四种命题之间的
2018届高三理科数学二轮复习：高考解答题专讲3
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见你
22
当 n＝1 时，T1＝14. 当 n≥2 时，因为 x22n－1＝2n2－n 12＝2n2－n12 2>2n－21n22－1＝ 2n2－n 2＝n－n 1， 所以 Tn>122×12×23×…×n－n 1＝41n. 综上可得对任意的 n∈N*，均有 Tn≥41n.
解得 d＝1，q＝2，a1,2＝2⇒an,2＝2×2n－1＝2n. (2)bn＝2nn，则 Sn＝12＋222＋233＋…＋2nn， 则12Sn＝212＋223＋234＋…＋2nn＋1， 两式相减得12Sn＝12＋212＋213＋…＋21n－2nn＋1＝1－n2＋n＋21 ， 所以 Sn＝2－n＋2n 2.
模
块 专题整合与考点突破篇
二
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见你
1
专
题
数列
三
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见你
2
高考解答题专讲(三) 数列的综合应用
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见你
3
பைடு நூலகம்
一、等差数列、等比数列的证明 证明数列是等差(比)数列的两种基本方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇒{an}是等差数列；aan＋n 1 ＝q(q 是非零常数)⇒{an}是等比数列； (2)等差(比)中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇒{an}是等差数 列；a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)⇒{an}是等比数列．
1 0<a<2.
所以实数 a 的取值范围是0，12.
2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习讲义：第三部分 考前调节
回扣一集合与常用逻辑用语[基础知识看一看]一、牢记概念与公式四种命题的相互关系二、活用定理与结论运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.[易错易混想一想]1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合．但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B ⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．5．注重数形结合在集合问题中的应用．列举法常借助Venn图解题；描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．7．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A 是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[保温训练手不凉]1．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C ＝( )A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．2．“α≠β”是“sin α≠sin β”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 命题“若α≠β，则“sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然是假命题，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．因此，“α≠β是sin α≠sin β”的必要而不充分条件．3．命题p：m>7，命题q：f(x)＝x2＋mx＋9(m∈R)有零点，则p是q的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当m >7时，方程x 2＋mx ＋9＝0的判别式Δ＝m 2－36>0，此时f (x )有两个零点；反过来，当f (x )有零点时，Δ＝m 2－36≥0，即m 2≥36，不能得知m >7.因此，p 是q 的充分不必要条件．4．已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1,0}D ．{0,1,2}解析：选B 不妨设a <b <c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋c ＝2，b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，c ＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |＝1，|a －c |＝2，|b －c |＝1.由此知所求集合为{1,2}．5．已知集合M ＝{x |y ＝1－x }，N ＝{y |y ＝2x}，则M ∩N ＝________. 解析：M ＝{x |x ≤1}，N ＝{y |y >0}，所以M ∩N ＝{x |0<x ≤1}． 答案：(0,1] 6．下面四个命题：①函数y ＝log a (x ＋1)＋1(a >0且a ≠1)的图象必过定点(0,1)； ②“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；③过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直的直线方程为3x ＋2y －1＝0. 其中所有真命题的序号是________．解析：①中，当x ＝0时，y ＝log a 1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以①为真命题；②中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，所以②为真命题，其逆否命题也为真命题；③中，直线2x －3y ＋4＝0的斜率为23，所以和2x －3y ＋4＝0垂直的直线斜率为－32，因为直线过点(－1,2)，所以所求直线方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0，所以③为真命题．综上真命题有①②③.答案：①②③回扣二函__数[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．函数的单调性、奇偶性、周期性(1)单调性是函数在其定义域或定义域某子区间I上的性质．对任意的x1，x2∈I，若x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为I上的增函数；若x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为I上的减函数．(2)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．(3)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．2．指数与对数式的运算公式a m·a n＝a m＋n；(a m)n＝a m n；log a(MN)＝log a M＋log a N；log a MN＝log a M－log a N；log a M n＝n log a M；a log a N＝N；log a N＝logb Nlog b a(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．3．指数函数与对数函数的性质1．抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期． ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．2．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y ＝f(x)＋b的图象(b为常数)．3．函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图象．(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图象．4．确定函数零点的三种常用方法(1)解方程判定法．若方程易解时用此法．(2)零点定理法．根据连续函数y＝f(x)满足f(a)·f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．(3)数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．[易错易混想一想]1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．5．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝a x(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视a x>0；对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．[保温训练手不凉]1．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 由题意知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只有选项A 符合．2．函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.43解析：选D 首先讨论分母1－x (1－x )的取值范围：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.因此，有0<11－x 1－x≤43.所以f (x )的最大值为43. 3．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，解得x ＝－1；令x －1＝0，解得x ＝1.所以函数f (x )存在两个零点1和－1，其和为0.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2，解得4≤a ＜8，故选B.6．已知a ＝⎝ ⎛⎪⎫12b ＝c ＝⎝ ⎛⎪⎫12( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c解析：选B a ＝⎝ ⎛⎪⎫12⎝ ⎛⎪⎫14b ＝⎝ ⎛⎪⎫116c ＝⎝ ⎛⎪⎫12考查幂函数y ＝在(0，＋∞)上是增函数，则易知c >a >b .7．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f (x )的图象是( )解析：选D 方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，即函数f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，在各选项中画出直线y ＝2，满足在(－∞，0)内有交点的只有选项D.8．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f xx在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x ，函数f x x ＝12x －1＋32x在区间[1， 3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23解析：选A g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1].和函数y ＝m (x ＋1)的图象，如图，当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1,0]和y ＝x ，x ∈(0,1]都相交时0<m ≤12；当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1，0]有两个交点时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m x ＋，y ＝1x ＋1－3消元得1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，化简得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，当Δ＝9＋4m ＝0，即m ＝－94时，直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3相切，当直线y ＝m (x ＋1)过点(0，－2)时，m ＝－2，所以m ∈⎝⎛⎦⎥⎤－94，－2.综上，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎥⎤0，12，选A.10．设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为________．解析：∵二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，∴a >0，4ac －164a ＝0，∴ac＝4，c >0，∴1c ＋9a≥29ac ＝3，当且仅当1c ＝9a ，即a ＝6，c ＝23时等号成立，∴1c ＋9a的最小值为3.答案：311．已知奇函数f (x )＝m －g x1＋g x的定义域为R ，其中y ＝g (x )为指数函数，且其图象过点(2,9)，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设g (x )＝a x (a >0，a ≠1)，则a 2＝9，∴a ＝3或a ＝－3(舍去)，∴g (x )＝3x，∴f (x )＝m －3x1＋3x，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即m －3－x1＋3－x＝－m －3x1＋3x，整理得m (3x＋1)＋m (1＋3－x)＝3x＋1＋1＋3－x，∴m ＝1(或由f (0)＝0得m ＝1)，∴f (x )＝1－3x1＋3x .答案：f (x )＝1－3x1＋3x12．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin x ＋2的某一个对称中心，并利用对称中心的定义，可得到f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝________.解析：由题意可得，对于函数f (x )＝x 3＋sin x ＋2，当x 1＋x 2＝0时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝4，所以f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝4×20＋f (0)＝82.答案：82回扣三导数及其应用[基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．基本导数公式： (1)c ′＝0(c 为常数)； (2)(x m)′＝mxm －1(m ∈Q)；(3)(sin x )′＝cos x ； (4)(cos x )′＝－sin x ； (5)(a x)′＝a xln a (a >0且a ≠1)； (6)(e x)′＝e x；(7)(log a x )′ ＝1x ln a(a >0且a ≠1)； (8)(ln x )′＝1x.2．导数的四则运算： (1)(u ±v )′＝u ′±v ′； (2)(uv )′＝u ′v ＋uv ′；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫u v′＝u ′v －uv ′v 2(v ≠0)． 二、活用定理与结论 1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．2．函数的单调性与导数的关系在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．3．导数研究函数单调性的一般步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可；若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．4．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数f′(x)；第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．5．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[易错易混想一想]1．如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．2．导数为零的点并不一定是极值点，例如函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．3．求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点．[保温训练手不凉]1．已知函数f(x)＝1xcos x，则f′(x)＝( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x－x sin xx2D.－cos x＋x sin xx2解析：选D f′(x)＝－1x2cos x－sin xx＝－cos x＋x sin xx2.2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C 设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.3．一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是( )解析：选B 分两种情况讨论：当a＝0时，函数为y＝－x与y＝x，图象为D，故D有可能；当a≠0时，函数y＝ax2－x＋a2的对称轴为x＝12a，对函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a求导得y′＝3a2x2－4ax＋1＝(3ax－1)(ax－1)，令y′＝0，则x1＝13a，x2＝1a，所以对称轴x＝12a介于两个极值点x1＝13a，x2＝1a之间，A，C满足，B不满足，所以B不可能．故选B.4．x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]解析：选C 当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6；同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令m ＝1x ，则m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，a ≤－3m 3－4m2＋m ，令g (m )＝－3m 3－4m 2＋m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，则g ′(m )＝－9m 2－8m ＋1＝－(m ＋1)(9m －1)．显然在(－∞，－1]上g ′(m )≤0，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12上，g ′(m )>0，所以g (m )min ＝g (－1)＝－2.所以a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立．故实数a 的取值范围为[－6，－2]．5．若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 解析：由题意有y ′＝－e －x，设P (m ，n )，直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e－m＝－2，解得m ＝－ln 2，所以n ＝e －(－ln 2)＝2.答案：(－ln 2,2)6．函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.则2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：由已知，得f 1(x )＝f 0′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x－sin x x2，于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1. 答案：－1回扣四不_等_式[基础知识看一看] 一、牢记概念与公式1．不等式的性质(1)a＞b，b＞c⇒a＞c；(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c；(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒a n＞b n，na＞nb.2．简单分式不等式的解法(1)f xg x＞0⇔f(x)g(x)＞0，f xg x＜0⇔f(x)g(x)＜0.(2)f xg x≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x g x≥0，g x≠0，f xg x≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x g x≤0，g x≠0.(3)对于形如f xg x＞a(≥a)的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．3．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：(2)|ax＋b|≤①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． 二、活用定理与结论 1．常用的六个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R)． (2)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(3)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(5)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(6)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. 2．可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．3．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)ax2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.4．基本不等式求最值问题若a，b∈R＋，则a＋b2≥ab，当且仅当“a＝b”时取等号．应用基本不等式求最值应注意“一正、二定、三相等”．[易错易混想一想]1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．2．解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋1x2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋3x(x<0)时应先转化为正数再求解．5．解绝对值不等式易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．6．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．7．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2x＋2是指已知区域内的点(x，y)与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．[保温训练手不凉]1．已知－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小关系是( )A．a2>－a3>－a B．－a>a2>－a3C．－a3>a2>－a D．a2>－a>－a3解析：选B ∵－1<a<0，∴0<－a<1，∴－a>(－a)2>－a3，即－a>a2>－a3.2．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．3．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是( ) A ．20 B ．150 C ．75D ．1510解析：选A 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.4．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM ―→·OA ―→的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选B 画出区域D ，如图所示，而z ＝OM ―→·OA ―→＝2x ＋y ，故y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，相应直线过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.5．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2C.12D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12，故a 的最小值为12.6．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.7．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立． 所以不等式的解集为{x |x ≥1}． 答案：{x |x ≥1}8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意；(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，a －2－1a 2＋4a －，解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19. 答案：[1,19)回扣五三角函数、解三角形与平面向量 [基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ；(2)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． 2．三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．3．三种函数的性质4．三角恒等变换的主要公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2tan α1－tan2α.5．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.6．平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2 )， 则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 二、活用定理与结论 1．三角函数的两种常见变换2．正、余弦定理 (1)正弦定理①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径． (2)余弦定理①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．三点共线的判定三个点A ，B ，C 共线⇔AB ―→，AC ―→共线；向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[易错易混想一想]1．注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .2．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定．3．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性． 4．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． 6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .7．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b·c )与a 共线．9．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．[保温训练手不凉]1．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝( )A.12 B.34C.58D.38解析：选D 由倍角公式，得sin 2α＝12(1－cos 2α)．又cos 2α＝14，所以sin 2α＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝38.2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45°D ．30°解析：选B 依题意，33＝12×4×3sin C ，解得sin C ＝32.故角C 为60°.3．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6解析：选C 因为角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，所以角α在第四象限，tan α＝cos5π6sin5π6＝－3，故α的最小正值为5π3.4．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，由点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|得AB ―→＝2AP ―→，或AB ―→＝－2AP ―→.而AB ―→＝(2,2)，AP ―→＝(x －2，y )，由(2,2)＝2(x －2，y )，解得x ＝3，y ＝1，此时点P 的坐标为(3,1)；由(2,2)＝－2(x －2，y )，解得x ＝1，y ＝－1，此时点P 的坐标为(1，－1)．综上所述，点P 的坐标为(3,1)或(1，－1)．5．若函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f (x )图象的一个对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 解析：选C f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，由题设知2x＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0.6．已知在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE ＝3EC ，若P 是BC 边上的动点，则AP ―→·AE ―→的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，103 解析：选C 以BC 的中点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫0，23，E (1,0)．设P (x,0)，x ∈[－2,2]，所以AP ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－23＝x ＋43∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.7．若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A.16B.14C.13D.12解析：选D 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，得y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4的图象，由题知tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，即π4－π6ω＋k π＝π6(k ∈Z)，解得ω＝6k ＋12(k ∈Z)．又因ω>0，故ω的最小值为12.8．为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是________．解析：由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝2π3＋2(k 1－k 2)π， ∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3. 答案：2π39．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴x ＝π2，x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π2＋π62＝π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0应是与对称轴x ＝7π12相邻的对称中心，∴T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π.答案：π10.已知圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为3，P 是圆O 上任意一点，点Q 满足BP ―→＝12PQ ―→，则AB ―→·AQ ―→的取值范围是________．解析：AB ―→·AQ ―→＝AB ―→·(AB ―→＋BQ ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BP ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BO ―→＋3OP ―→)＝AB ―→2＋3AB ―→·BO ―→＋3AB ―→·OP ―→， 由已知得AB ＝3，OB ＝OA ＝OP ＝2. 〈AB ―→，BO ―→〉＝π－∠ABO ，由余弦定理得cos ∠ABO ＝32＋22－222×3×2＝34.∴cos 〈AB ―→，BO ―→〉＝－34，AB ―→·OP ―→∈[－6,6]．∴AB ―→·AQ ―→＝9－272＋3AB ―→·OP ―→∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272回扣六数列与数学归纳法[基础知识看一看]一、牢记概念与公式等差数列、等比数列S n＝n a1＋a n2＝na1＋n n－2d(1)q≠1，S n＝a11－q n1－q＝a1－a n q1－q(2)q＝1，S n＝na11．等差、等比数列的常用性质2．判断等差数列的常用方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(2)通项公式法：a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式法：S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．3．判断等比数列的三种常用方法(1)定义法：a n＋1＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．a n(2)通项公式法：a n＝cq n(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．(3)中项公式法：a2n＋1＝a n·a n＋2(a n·a n＋1·a n＋2≠0，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．4．证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．[易错易混想一想]1．已知数列的前n项和求a n，易忽视n＝1的情形，直接用S n－S n－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±ab.3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n )与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论． 7．数列相关问题中，切忌忽视公式中n 的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性．如数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋2n ，求最小值，既要考虑函数f (x )＝x ＋2x(x >0)的单调性，又要注意n 的取值限制条件．8．求等差数列{a n }前n 项和S n 的最值，易混淆取得最大或最小值的条件． 9．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1的过程中增加了哪些项或减少了哪些项．[保温训练手不凉]1．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＝6，则S 4的值为( ) A ．12B ．11C ．10D ．9解析：选A 由题意得S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝12.2．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由题可知，若a 1<a 2<a 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1<a 1q ，a 1q <a 1q 2，当a 1>0时，解得q >1，此时数列{a n }是递增数列，当a 1<0时，解得0<q <1，此时数列{a n }是递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，则a 1<a 2<a 3成立，所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件．3．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.4．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.5．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝________. 解析：∵a 4＋a 6＝2a 5＝6，∴a 5＝a 1＋4d ＝3，又S 5＝5a 1＋5×42d ＝5a 1＋10d ＝10，解得公差d ＝12. 答案：126．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．解析：由S5S6＋15＝0得(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即30a21＋135a1d＋150d2＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0，由于a1，d为实数，故(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0，即d2≥8，故d≥22或d≤－2 2.答案：(－∞，－2 2 ]∪[22，＋∞)7．若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．解析：∵数列{a n}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴当n＝8时，其前n项和最大．答案：8回扣七立_体_几_何[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高)．(2)S正棱锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)．(3)S正棱台侧＝12(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线长)，S圆锥侧＝πrl(同上)，S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底面的半径，l为母线长)．(5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.2．“向量法”求解“空间角” (1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |. (3)向量法求二面角求出二面角αl β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角αl β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角αl β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.二、活用定理与结论 1．把握两个规则(1)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)画直观图的规则。
2018届高三理科数学二轮复习：模块三 考前增分篇3-3-2
(1)求证：BD⊥平面 ACFE； (2)当直线 FO 与平面 BED 所成的角为 45°时，求异面直线 OF 与 BE 所成的角的余弦
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见你
4
值大小． [规范解答及评分标准] (1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC.(2 分) ∵AE⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴BD⊥AE.(4 分) ∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面 ACFE.(5 分) (2)以 O 为原点，O→A，O→B的方向为 x，y 轴正方向，过 O 且平行于 CF 的直线为 z 轴 (向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则 B(0， 3，0)，D(0，－ 3，0)，E(1,0,2)，F(－ 1,0，a)(a>0)，O→F＝(－1,0，a)．(6 分) 设平面 EBD 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则有nn··OO→ →BE＝ ＝00 ，即x＋3y2＝z＝0 0 ，令 z＝1，则 n＝(－2,0,1)，(8 分)
14
[规范解答及评分标准]
(1)∵曲线
C2 的极坐标方程为
ρ
22cosθ＋
22sinθ＝
22t，(2
分)
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘分让我在这里遇见你
10
∴曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－t＝0.(4 分) (2)曲线 C1 的普通方程为 (x－1)2＋(y－1)2＝1(0≤x≤2,0≤y≤1)，为半圆弧，(5 分) 如图所示，曲线 C2 为平行于直线 x＋y＝0 的直线，或为直线 x＋y＝0，
7
[规范解答及评分标准] (1)甲种产品为合格品的概率约为4650＝34， 乙种产品为合格品的概率约为4600＝23.(2 分) (2) ①随机变量 X 的所有可能取值为 190,85,70，－35， 且 P(X＝190)＝34×23＝12， P(X＝85)＝34×13＝14， P(X＝70)＝14×23＝16， P(X＝－35)＝14×13＝112.(4 分) 所以随机变量 X 的分布列为
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块三 考前增分篇二小题专项限时突破 2.三角函数、解三角形、平面向量
[答案] A
12．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满
b 1－cosB 足 b＝c，a＝ cosA .若点 O 是△ABC 外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，
OA＝2，OB＝1，如图所示，则四边形 OACB 面积的最大值是( )
4＋5 3
8＋5 3
A. 4
B. 4
4＋ 5
[ ]π π
－， 图所示，若方程 f(x)＝a 在 4 2 上有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是( )
[ )2 ，2 A. 2
[ )2
－ ，2 B. 2
[ )6
－ ，2 C. 2
[ )6 ，2 D. 2
[解析] 由题中函数 f(x)的部分图象可得，函数 f(x)的最小正周
期为 π，最小值为－ 2，所以 A＝ 2，ω＝2，所以 f(x)＝ 2sin(2x＋φ)，
64
[答案] 17
( ) 2 2
16．已知
a＝
cos π，sin π 33
，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若△OAB
是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为
________．
[解析] 因为O→A⊥O→B，所以O→A·O→B＝(a－b)·(a＋b)＝0，化简得 a2－b2＝0，得|a|＝|b|，又|O→A|＝|O→B|，所以|O→A|2＝|O→B|2，即(a－b)
1 a2＝b2＋c2－2bccosA，得 2bcsinA－2bc＝2bccosA，因为 bc≠0，所
以 sinA＝4－4cosA，则 1－cos2A＝16(1－cosA)2，得
15
8
cosA＝17，sinA＝17，b＋c＝8≥2 bc，当且仅当 b＝c 时取等号，因
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一、回扣教材，纠错例析6．解析几何 [要点回扣]1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；倾斜角α∈[0，π)；(2)经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．[对点专练1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π2．直线的方程(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线． (2)斜截式：y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线． (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：x a ＋yb ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)．[对点专练2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．[答案] 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2； (2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[对点专练3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．[答案] 152613 4．两直线的位置关系在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，在用直线一般式方程研究两直线位置关系时，A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2是两直线平行的充分但不必要条件，同理k 1k 2＝－1也是两直线垂直的充分但不必要条件．[对点专练4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合．[答案] －1 12 m ≠3且m ≠－13 5．圆的方程在圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中不要忽视条件D 2＋E 2－4F >0.[对点专练5]若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a ＝________.[答案]－16．与圆有关的距离问题在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形．注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离．[对点专练6]双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．[答案]内切7．圆锥曲线的定义对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：F∉l，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线．[对点专练7]已知平面内两定点A(0,1)，B(0，－1)，动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．[答案]x23＋y24＝18．圆锥曲线的方程求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．[对点专练8]与双曲线x29－y216＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为________．[答案] 4x 29－y 24＝1 9．圆锥曲线的几何性质椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．椭圆的焦点在长轴上，椭圆上的点到焦点的最小距离a －c ，最大距离a ＋c ；双曲线的焦点总在实轴上，双曲线上的点到相应焦点的最小距离c －a .[对点专练9] 已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 为( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)[答案] D 10．弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， |P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或 |P 1P 2|＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].(2)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p .[对点专练10] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．[答案] 54[易错盘点]易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误【例1】 已知直线x sin α＋y ＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是________________．[错解] 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π. [错因分析] 直线斜率k ＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续．[正解] 由题意得，直线x sin α＋y ＝0直线的斜率k ＝－sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当－1≤k <0时，倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π；当0≤k ≤1时，倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4. 故直线的倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.由直线的斜率求倾斜角，一般利用三角函数的单调性，借助正切函数在[0，π)上的图象，数形结合确定倾斜角的范围．在这里要特别注意，正切函数在[0，π)上的图象并不是单调函数，这一点是最容易被忽略而致错的．[对点专练1](1)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0(2)已知点A (2,1)，B (－2,2)，若直线l 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－15且总与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．[解析] (1)直线的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0，故选D.(2)当直线l 由位臵P A 绕点P 转动到位臵PB 时，l 的斜率逐渐变大直至当l 垂直于x 轴时，当直线l 垂直于x 轴时l 无斜率，再转时斜率为负值逐渐变大直到PB 的位臵，所以直线l 的斜率k ≥k P A ＝37，或k ≤k PB ＝－116，故k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－116∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫37，＋∞.[答案] (1)D (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－116∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫37，＋∞易错点2 忽略斜率不存在的直线致误【例2】 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．[错解] 直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1， 解得t ＝－1.[错因分析] (1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形．[正解] 解法一：(1)当l 1，l 2的斜率都存在时，由k 1·k 2＝－1，得t ＝－1. (2)若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25， 显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32， 易知l 1与l 2不垂直，综上t ＝－1或t ＝1.解法二：l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0⇔t ＝1或t ＝－1.解决含有参数的直线的位臵关系式问题时，切记对直线的斜率存在与不存在进行分类讨论，以避免出错．[对点专练2](1)“直线ax －y ＝0与直线(a ＋1)x －ay ＝1垂直”是“a ＝－2”成立的是( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)过点A (2，－3)与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0相切的直线方程为________．[解析] (1)由直线ax －y ＝0与直线(a ＋1)x －ay ＝1垂直，得a (a ＋1)＋a ＝0，解得a ＝0或a ＝－2.选B.(2)圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.①当直线的斜率不存在时，直线x ＝2与圆C 相切；②当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0，由|k －2k －3|k 2＋1＝1，得k ＝－43. ∴直线方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0. 故所求直线方程为x ＝2或4x ＋3y ＋1＝0. [答案] (1)B (2)x ＝2或4x ＋3y ＋1＝0 易错点3 忽视圆的条件致误【例3】 已知过点P (2,1)有且只有一条直线与圆C ：x 2＋y 2＋2ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0相切，则实数a ＝________.[错解] ∵过点P 有且只有一条直线与圆C 相切， ∴点P 在圆C 上，∴4＋1＋4a ＋a ＋2a 2＋a －1＝0. 得a ＝－1或a ＝－2.[错因分析] 忽视了x 2＋y 2＋2ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件．[正解] 由(2a )2＋a 2－4(2a 2＋a －1)>0， 即3a 2＋4a －4<0，得－2<a <23.∵过点P 有且只有一条直线与圆C 相切，∴点P 在圆C 上，得4＋1＋4a ＋a ＋2a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝－2(舍去)．综上所述，a 的值为－1.二元二次方程表示圆是有条件的，必须有D 2＋E 2－4F >0.本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时，可以直接判断D 2＋E 2－4F >0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r 2.[对点专练3](1)若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________.(2)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，过点A (1,2)与圆C 相切的直线有两条，则a 的取值范围为______________________．[解析] (1)圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.(2)将圆C 的方程配方有⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋1)2＝4－3a 24，∴4－3a 24>0.①∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－1，半径r ＝4－3a 22. 当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，∴|AC |>r ， 即⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 22＋(2＋1)2>4－3a 22， 化简得a 2＋a ＋9>0.② 由①②得－233<a <233， ∴a 的取值范围是－233<a <233. [答案] (1)3 (2)－233<a <233易错点4 忽视圆锥曲线的焦点位置致误【例4】 已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率为________．[错解] 据已知得b a ＝43，故双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53. [错因分析] 只要mn >0，方程x 2m －y 2n ＝1就表示双曲线．错解中错将双曲线误认为焦点在x 轴上．事实上只要m <0，n <0时焦点在y 轴上，此时应有a b ＝43.[正解] 分两种情况讨论： ①m >0，n >0；n m ＝43，n m ＝b 2a 2＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋169＝53.②m <0，n <0；n m ＝43，n m ＝a 2b 2＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋916＝54.所以双曲线的离心率为53或54.求与椭圆或双曲线的离心率有关的问题时，一定要关注焦点的位臵对离心率的影响，必要时进行分类讨论．[对点专练4](1)已知椭圆x 25＋y 2k ＝1的离心率e ＝105，则实数k 的值为( ) A ．3 B ．3或253 C. 5D.15或153(2)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线C 的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233 C.233D ．2[解析] (1)①当焦点在x 轴上时，a 2＝5，b 2＝k ，c 2＝5－k ，e 2＝c 2a 2＝5－k 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1052解得k ＝3；②当焦点在y 轴上时，a 2＝k ，b 2＝5，c 2＝a 2－b 2＝k －5，e 2＝c 2a 2＝k －5k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1052，解之得k ＝253.综合①②知，适合条件的实数k ＝3或253.故选B.(2)①当双曲线的焦点在x 轴上时，由题意知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π3＝3，所以b ＝3a ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，故双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2aa ＝2；②当双曲线的焦点在y 轴上时，由题意知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，所以a ＝3b ，c ＝a 2＋b 2＝2b ，故双曲线C 的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233.综上所述，双曲线C 的离心率为2或233，故选B. [答案] (1)B (2)B易错点5 忽视限制条件致误【例5】 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．[错解] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－ |AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2.所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1.[错因分析] 错误运用双曲线定义出错．本题中，|MC 2|－|MC 1|＝2，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支．如果不注意，就会得出错误的结果，即点M的轨迹方程为x2－y28＝1.[正解]如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x<0)．应注意平面内到两个定点F1，F2的距离之差等于定长2a(a>0)的点的轨迹不一定是双曲线；当定长2a<|F1F2|时，表示的只是双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，表示的是一条射线；当2a>|F1F2|时，点的轨迹不存在．[对点专练5](1)直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点．则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．(1，＋∞)(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．[解析] (1)由于直线恒过点(0,1)，若恒有交点，所以m ≥1，但是当m ＝5时曲线表示的是圆，故选C.(2)设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ≤π)， 当点P 在右顶点处时，θ＝π.e ＝c a ＝2c 2a ＝3mm ＝3.当θ≠π，由条件，得|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|2＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θ，且||PF 1|－|PF 2||＝m ＝2a .所以e ＝2c2a ＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θm ＝5－4cos θ. 又－1<cos θ<1，所以e ∈(1,3)． 综上，e ∈(1,3]． [答案] (1)C (2)(1,3] 易错点6 忽视“Δ>0”致误【例6】 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，过点M (2,0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<253时，求实数t 的取值范围．[错解] 由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2， ∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2).∵P 点在椭圆上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209.∴(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2<209， 得(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∵t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，且1＋2k 2>32， ∴83<t 2<8，得－22<t <－263或263<t <2 2. 故实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，22. [错因分析] 求t 的范围的前提是直线AB 与椭圆相交，联立方程后忽略了Δ>0这一条件．[正解] 由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA→＋OB →＝tOP →， ∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 2(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2<209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2，又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4，∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2.直线与圆锥曲线相交求参数范围、最值、存在性等问题时，要注意Δ>0这一重要条件．[对点专练6]如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在点A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM→＝λMB →.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．[解] (1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， 椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1. (2)设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．由题知，AB 所在直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，①由Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，由x 1＋x 22＝16k 24k 2＋3＝47，可得k 2＝18，将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0，x 1,2＝8±64－4×7×(－8)2×7＝4±627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)，AM →＝λMB →， 所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.。