13.1命题与证明 (1)

1.写出下列命题的逆命题，并判断其真假.对于假 练习： 命题，举出反例说明；对于真命题，给出证明. （1）如果两个角是直角，那么这两个角相等.
（2）已知两个角.如果一个是锐角，另一个是钝角， 那么它们的和是平角. （3）同角（或等角）的余角相等.
（4）同角（或等角）的补角相等.
（5）互为相反数的两个非0数，其和等于0.
命题，有真命题，也有假命题.要说明一个命题是 假命题，只要举出反例即可.
要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出 发，根据已学过的基本事实、定义、性质、和定理等， 进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.
例题1.证明：“内错角相等，两直线平行”.
分析:(1)找出条件： 两直线被第三条直线所截， 形成的内错角相等 结论：这两条直线平行
②有公共顶点的两 如果两个角有公共顶点 那么这两个角是对顶角 个角是对顶角. ③两直线平行，同 位角相等. ④同位角相等，两 直线平行.
如果两条直线平行
那么它们的同位角相等
如果两个同位角相等 那么这两条直线平行
③两直线平行，同位角相等. ④同位角相等，两直线平行.
（2）上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？
做一做：
已知：如图，点O在直线AB上， OD，OE分别是∠AOC， ∠BOC的平分线. 求证：OD⊥OE. 证明：如图所示 ∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线. ∴∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE. ∵∠AOD+∠COD+∠BOE+∠COE=180°. ∴∠COD+∠BOE=90°. 即OD⊥OE.
写出下列命题的逆命题：并指出原命题和逆 命题的真假性
（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等； 答：绝对值相等的两个数相等 （2）如果m是整数，那么它也是有理数； 答：如果m是有理数，那么它也是整数 （3）两直线平行，内错角相等； 答：内错角相等，两直线平行 （4）两边相等的三角形是等腰三角形. 答：等腰三角形的两边相等
（4）逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个 角是同角（或等角）.（真） 证明：已知∠1+∠3=180° ∠2+∠4=180° ∠ 3= ∠ 4 求证：∠1=∠2 证明：∵∠3=∠4 ∴∠1=180°-∠3 ∠2=180°-∠4 ∴∠1=∠2.
（5）逆命题：和等于0的两个数是互为相反数的两个 非0数.（假） 反例：两个0的和也为0.
命题③与④的条件 与结论互换了位置.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这 样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原 命题，另一个叫作逆命题.
例如，上述命题③与④就是互逆命题.
③两直线平行，同位角相等. ④同位角相等，两直线平行.
从上我们可以看出，只要将一个命题的条 件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每 个命题都有逆命题.
例 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线 段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC. 求证：AE∥BC.
证明：∵∠DБайду номын сангаасC =∠B +∠C（三角形外角定理），
∠B=∠C（已知）， ∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）. 又∵AE平分∠DAC（已知）， ∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义） ∴∠DAE=∠B（等量代换）. ∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
（6）偶数一定能被2整除.
解：
（1）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是 直角.（假） 反例：互为内错角的两个锐角也相等，但它们不是 直角. （2）逆命题：已知两个角，如果它们的和是平角 ，那么一个是锐角，另一个是钝角.（假） 反例：两个直角的和也是平角.
（3）逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个 角是同角（或等角）.（真） 证明：已知∠1+∠3=90° ∠2+∠4=90° ∠ 3= ∠ 4 求证：∠1=∠2 证明：∵∠3=∠4 ∴∠1=90°-∠3 ∠2=90°-∠4 ∴∠1=∠2.
2.证明: 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，
那么这条直线也和另一条垂直。
已知 :如图， AB∥CD，EF⊥AB 求证: EF⊥CD 证明 : ∵AB∥CD （已知）
C A
E 1 B
2 F
D
∴∠1=∠2 （两直线平行,同位角相等）
∵EF⊥AB （已知）
∴∠1=90°（垂直定义） ∴∠2=90°（等量代换） ∴EF⊥CD （垂直定义）
（6）逆命题：能被2整除的数一定是偶数.（假） 反例：0也能被2整除，但0不是偶数.
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
根据题意
画出图形
第二步
根据命题的条件和结论，结合图形
写出已知、求证
第三步
通过分析，找出证明的途径
写出证明的过程
我们把经过证明为真的命题叫作定理.
例如，“三角形的内角和等于180°” 称为“三角形内角和定理”.
定理也可以作为判断其他命题真假的依据， 由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
（2)画出图形;
3 a b c 1 2
已知： 如图，直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b
（3）写证明过程.
1.已知：如图，∠1=∠2.
求证：a∥b. 证明： ∵ ∠1=∠2， （ 已知
a
b ） c
1 2
3
又∵ ∠1=∠3，（ 对顶角相等 ）
∴∠2=∠3，（ 等量代换
）
∴ a∥b.（ 同位角相等，两直线平行）
例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推 论”，也可称为“三角形外角定理”.
如果一个定理的逆命题是真命题，那么 这个逆命题也可以称为原定理的逆定理. 一个定理和它的逆定理是互逆定理. 如 与 “两直线平行，内错角相等.” “内错角相等，两直线平行.”
提高训练:
中考 试题
例
下列四个命题中是真命题的有（ C ）. ①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形 两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解 命题①：同位角相等是在两直线平行的前提下才有， 所以它是错的；命题②：相等的角并不一定是对顶角；命 题③和命题④均正确.
回顾思考:
判断下列句子中，哪些命题？哪些不是命题？ 并判别下列命题的真假.
（1）同角的余角相等. （2）相等的角是对顶角. （3）在直线AB上任取一点C.
做一做
（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成 “如果„„，那么„„”的形式：
命题
①能被2整除的数 是偶数.
条件
如果一个数能被2整除
结论
那么这个数是偶数
请说出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的 真假性. 1.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等， 那么这两直线平行. 2.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 3.如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除. 4.已知两数a，b.如果a+b>0，那么a-b>0.
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是 真命题. 例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2” 是真命题，但它的逆命题“如果∠1=∠2，那么∠1和 ∠2是对顶角”就是假命题.