高等数学(一)》复习资料-姜作廉

合集下载

《高等数学Ⅰ》期末复习提纲——知识点分析

2022级《高等数学Ⅰ》期末复习提纲——知识点分析一、函数的定义域、复合函数的复合过程及其求导、函数的基本性质1.求函数的定义域：取满足函数的各方程解的交集，再把所有交集合并，如例P2例1.2.为了使定义域在数学上有意义（常见求函数的定义域主要应考虑的6点），要求：（1）分母不能为0。

如11()f x x −=时，10x −≠；（2）偶次根号下非负。

如()f x =时，20x −≥；（3）对数的真数大于0。

如()23()ln 2f x x =−时，2230x −>；（4）正切符号下的式子不等于ππ2k +，k Z ∈。

如n 2ta y x =，2ππ2x k ≠+；（5）余切符号下的式子不等于πk ，k Z ∈。

如t 2co y x =，2πx k ≠；（6）反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等于1。

如()1arcsi 2n y x =+，211x +≤；()1arcco 2s y x =−，211x −≤.2.写复合函数的复合过程：把所给函数表示成基本初等函数与多项式函数的复合.（基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）. 基本方法：由外往里，逐层写出，直至多项式函数为止。

3.函数的基本性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性P103例6.11（当结论用）设()f x 是[],a a −上的连续函数，则（1）若()f x 是奇函数，则()d 0aa f x x −=⎰；（2）若()f x 是偶函数，则()()0d 2d a aaf x x f x x −=⎰⎰.说明：定积分的计算符合该结论时，应用在定积分的计算中，可以简化运算.二、函数极限（两个重要极限、等价无穷小替换、微积分学基本定理）（1）第一个重要极限：00 sin lim 10x x x →⎧⎪=⎨⎪⎩①型②分子与分母同变量；一般形式：()()()0sin lim 1f x f x f x →=. 区别于sin lim0x xx ∞→=，π2sin 2lim πx x x →=. （2）第2个重要极限：()11lim 1e ,lim 1e xxx x x x →→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭() 10 ∞⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩①型② 括号内变量部分与指数部分互为倒数一般形式()()()()()()101lim 1e ,lim 1e f x f x f x f x x f x f →∞→⎡⎤+=+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦.2.等价无穷小替换（1）常用等价无穷小量（当0x →时） 1）sin arcsin tan arctan x x x x x ；2）211cos 2x x −； 3）e 1x x −； 4）()ln 1x x +；511nx .1）∼∼∼∼2）1−122； 3）ln(14）−5）√1n3.极限（微积分学基本定理 P106） P108（1）运用公式：()()()()'d 'xax G f t t f x ==⎰，或结合()[]()()d '()'()u x af t t f u x u x =⋅⎰.(()f t 连续，()u x 可导)（2）求例6.16类的极限，通常使用洛必达法则处理. 三、反常积分的收敛与发散§6.5广义积分（ P108）的例题及练习题四、简单函数的求导与微分（一阶、二阶导）1.六类基本初等函数的求导公式：表3.1 六类基本初等函数求导公式211'x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭; '=.2.求一阶导数：（1）简单函数求导：P42定理3.1及例3.5定理3.1 设()(),u u x v v x ==在x 处可导，则（1）()'''u v u v ±=±，（2）()'''uv u v uv =+, （3）2'''u u v uv v v −⎛⎫= ⎪⎝⎭. ()y f x =的一阶导数一般记为'y ，()'f x ，d d y x ，()d d f x x（2）复合函数求导（P42）：()()()()()()''''''y f x f u x f x x ϕϕϕϕ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或d d d d d d y y ux u x=⋅或 '''x u x y y u =⋅. P44例3.7—3.9及相关练习题3.求二阶导数：先求一阶导数，再对一阶导数求导，第二次求得的即为二阶导数.4.求函数的微分（求微分先求导）：先求导，再写成()'d 'd d xy y x y x == P52—P53例题及练习题（第2题——第4题）类型五、函数的单调性、凹凸性及拐点、极值与最值1.求函数的单调（增减）区间方法：（1）指出函数的定义域；（2）求导()'f x ，且令()'0f x >或()'0f x ≥；（3）解不等式，求出不等式的解，并结合函数的定义域，即可求出函数的单调增减区间。

高数一、二学习资料大全

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

高等数学(上)期中复习大纲

《高等数学》（上）期中复习大纲（2012年11月9日上午9:25-11:20） 1.极限1)极限的定义：七种，三类（数列极限，函数在有限点处的极限，函数在无穷远处的极限）。

lim ();n f n a →∞= lim (),lim (),lim ();x x x f x a f x b f x c →∞→-∞→+∞=== 0lim (),lim (),lim ().x x x x x xf x a f x b f x c -+→→→===2)极限的定理：左右极限与极限；函数极限与数列极限。

lim ()lim ()lim ();x x x f x a f x f x a →∞→-∞→+∞=⇔==lim ()lim ()lim ().x x x x x xf x a f x f x a -+→→→=⇔==0lim (){}:lim 都有lim ().n n n x x n n f x a x x x f x a →→∞→∞=⇔∀==3)极限的性质唯一性；（局部）保序性，保号性；（局部）有界性。

4)极限的公式：二个重要极限公式sin 1lim1;lim (1).x x x xe xx→→∞=+=5)极限的法则：求极限的加，减，乘，除，复合，幂指公式lim ()()设lim (),lim ();则lim （kf(x)+lg(x)）=lim ()lim ();lim (()())lim ()lim ();lim ()()lim (),(0);()lim ()lim ()(lim ()),(0).g x g x b f x a g x b k f x l g x ka lb f x g x f x g x ab f x f x a b g x g x b f x f x a a ==+=+====≠==>6)极限的准则：夹逼准则，数列单调有界就收敛。

7)极限的应用：求渐进线（垂直，水平，斜渐近线）。

高数一的复习资料

高数一的复习资料高数一的复习资料高等数学是大学生必修的一门课程，对于很多学生来说，这是一门相对较难的学科。

为了更好地备考高数一，我们需要准备一些复习资料。

下面将介绍一些高数一的复习资料，希望能对广大学子有所帮助。

1. 教材复习首先，我们需要熟悉教材。

高数一的教材一般为《高等数学》或《数学分析》。

这些教材内容详实，涵盖了高数一的各个知识点。

复习时，可以按照教材的章节顺序，逐一复习每个知识点。

对于每个知识点，要理解其概念、公式和定理，并能熟练运用。

2. 习题集习题集是高数一复习的重要资料。

通过做大量的习题，可以巩固知识点，提高解题能力。

建议选择一本习题集，根据教材的章节顺序进行刷题。

刷题时，要注意分析题目的难点和解题思路，不仅要求知其然，更要求知其所以然。

可以找一些经典习题进行重点复习，这样能更好地理解和掌握高数一的知识。

3. 网上资源互联网是一个宝藏般的资源库，我们可以利用网络找到很多高数一的复习资料。

有很多网站提供高数一的视频教学，可以通过观看视频来加深对知识点的理解。

此外，还有一些高校的课程资源网站，可以下载到一些高数一的课件和讲义，这些资料对于复习也非常有帮助。

当然，使用网络资源时要注意选择正规、权威的网站，避免被误导。

4. 辅导书籍除了教材和习题集，还有一些辅导书籍可以作为高数一的复习资料。

这些书籍通常会对知识点进行更加深入的讲解，并提供一些解题技巧和习题。

有些辅导书籍还会附带一些例题和习题的详细解答，这对于自学的学生来说非常有帮助。

在选择辅导书籍时，可以咨询老师或同学的建议，选择适合自己的书籍进行复习。

5. 组队学习高数一是一门需要大量练习的学科，而且有些知识点可能会比较难以理解。

在复习过程中，可以组队学习，与同学一起讨论问题、解决难题。

通过合作学习，可以相互帮助、相互促进，提高学习效果。

同时，组队学习还可以增加学习的趣味性，缓解复习的压力。

综上所述，高数一的复习资料包括教材、习题集、网上资源、辅导书籍和组队学习等。

自考笔记小抄0020高等数学一知识点总结归纳小条

前言《高等数学一》共6章第一章函数1.主要是对高中知识的复习；2.为今后知识打下良好的基础；3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右.第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础；本章内容在历年考题中所占分值为20左右.第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念.本章内容在历年考题中所占分值为15分左右.第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题；本章在历年考题中所占分值为20分左右.第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念；本章内容在历年考题中所占分值为25分左右.第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分的计算；本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右.第一章函数1.1 预备知识1.1.1 初等代数的几个问题1.一元二次方程关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式. （1）求根公式：当△＞0时，方程有两个不同的实根：当△＝0时，方程有一个二重实根：当△＜0时，方程有一对共轭复根：（2）根与系数的关系（韦达定理）：（3）一元二次函数（抛物线）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.对称轴顶点坐标例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，则a、b是多少？结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）＝0的根均为f（x）＝0的根.解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.当时，方程组有唯一解；当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组（1）若方程组有无穷多解，求a的值；（2）当a＝6时，求方程组的解.解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以,解得a＝4.（2）当a＝6是，原方程组变为,解得3.不等式（1）一元二次不等式考虑不等式ax2＋bx＋c＞0，如果记一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个不同实根分别为x1，x，且x1＜x2，根据一元二次函数的图形可知：2当a＞0时，这个不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}；当a＜0时，它的解集是{x│x1＜x＜x2}.用类似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≤0.例3.解不等式x2－5x＋6≥0.解：令x2－5x＋6＝0,（x－2）（x－3）＝0,得x＝2或x=3,∴ 解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）.例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0.解：令x2＋（1－a）x－a＝0,（x－a）（x＋1）＝0,得x＝a或x＝－1,①若a＜－1，解集为（a，－1）,②如a＝－1，解集为Φ,③若a＞－1，解集为（－1，a）.（2）绝对值不等式不等式│f（x）│＞a＞0等价于f（x）＞a或f（x）＜－a；不等式│f（x）│＜a等价于－a＜f（x）＜a.例5.解下列含有绝对值符号的不等式：（1）│2x－3│≤5 （2）│3x－1│≥7解：（1）原不等式等价于－5≤2x－3≤5解得：－1≤x≤4.所以解集为[－1，4].（2）原不等式等价于3x－1≤－7或3x－1≥7，3x－1≤－7的解集为x≤－2，3x－1≥7的解集为x≥,所以解集为（－∞，－2]∪[，＋∞）.例6.解不等式│x2－2x－5│＜3.解：原不等式等价于x2－2x－5＞－3的解集为（－∞，]∪[，＋∞），x2－2x－5＜3的解集为（－2，4），所以原不等式的解集为（－2，]∪[，＋4）.4.数列（1）等差数列：相邻两项的差为定值，即a n＋1－a n＝d，d称为公差.通项公式：a n＝a1＋（n－1）d前n项和公式：当m＋n＝k＋l时，a m＋a n＝a k＋a l特别地有例7.设{a n}是一个等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12. 解：因为 2＋11＝3＋10＝13所以a2＋a11＝a3＋a10＝32,又因为 6＋7＝13，所以a6＋a7＝32,S＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192.12（2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比.通项公式：a n＝a1q n-1前n项和公式：当m＋n＝k＋l时，a m a n＝a k a l特别地有例8.设{a n}是一个等比数列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值.解：所以q＝±2a＝a5·q5＝48×（±2）5＝±153610因为2＋6＝3＋5＝8所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576.1.1.2 集合与逻辑符号1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素.数集分类：N——自然数集Z——整数集Q——有理数集R——实数集C——复数集合2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a∈A；否则就说a不属于A，记为a A.3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A.若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A＝B.例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，则A和C是什么关系？解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.所以C＝{1，2}，从而A＝C.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作Φ）.规定空集为任何集合的子集.例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ5.集合的表示方法：列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间：[a，b]＝{x│a≤x≤b，x∈R}；开区间：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}；半开半闭区间：左开右闭区间：（a，b]＝{x│a＜x≤b，x∈R}，左闭右开区间：[a，b）＝{x│a≤x＜b，x∈R}；（－∞，b]＝{x│x≤b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≥a，x∈R}；点a的邻域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U a表示；点a的去心邻域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.点a的去心邻域也可以表示为N a.6.集合之间的运算（1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B.A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A.例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B.解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，10，12}.例12.已知：A＝{x│1＜x＜5}，B＝{x│－3＜x≤2}，求：A∪B.解：A∪B＝{x│－3＜x＜5}.（2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A∩B.A∩B＝{x│x∈A且x∈B}，A∩B＝B∩A例13.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2、4、6、8、10、12}，求：A∩B.解：A∩B＝{2，4}.例14.已知：A＝{x│1＜x＜4}，B＝{x│－3＜x≤3}，求：A∩B.解：A∩B＝{x│1＜x≤3}.（3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A－B.A－B＝{x│x∈A但x B}.例15.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A－B.解：A－B＝{1，3}.7.一些逻辑符号p能推出q，记为p q，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果p q，q p同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作p q.1.2 函数的概念与图形1.2.1 函数的概念1.定义设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x∈D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D.也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0∈D时，称f（x0）为函数在点x处的函数值.数集D叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数W＝{y│y＝f（x），x∈D} 0称为函数的值域.例1.已知：，求：y的定义域、值域.解：令1－x2≥0，解得：－1≤x≤1,所以定义域为[－1，1].因为0≤1－x2≤1，所以0≤≤1，所以值域为[0，1].例2.已知：，求：y的定义域、值域.解：根据题意，得，解得－1＜x＜1，所以定义域为（－1，1），因为 0＜≤1，从而，所以值域为[1，＋∞）.2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.例3.判断下列两个函数是否相等，（1）y＝x＋3；（2）.例4.求函数的定义域.解：根据题意，得解得:2≤x＜3或3＜x＜5，所以定义域为[2，3）∪（3，5）.3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.1.2.2 函数的图形1.函数图形的概念函数y＝f（x），x∈D的图形是指在xOy平面上的点集{（x,y）│y＝f（x），x∈D}.常见的几个幂函数的图形：2.函数的性质（1）有界性函数f（x），x∈D，存在两个实数m、M，满足条件：对于D中所有的x都有不等式m≤f（x）≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，（1）y=sin x，（2）.（2）单调性设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f （x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调增加，称f（x）是D上的单调增加函数，称D是函数f（x）的单调增加区间.设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f （x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调减少，称f（x）是D上的单调减少函数，称D是函数f（x）的单调减少区间.例6.求y＝x2的单调性.解：任取x1＜x2＜0，x 12－x22＝（x1－x2）（x1＋x2）＞0,所以y＝x2在（－∞，0）上单调减少.同理可得：y＝x2在（0，＋∞）上单调增加. 例7.求y ＝sin x的单调性.解： y＝sin x的图像如图，y=sin x在（2kπ－，2kπ＋）上单调增加，在（2kπ＋，2kπ＋）上单调减少.（3）奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝f（x），称f（x）为偶函数；设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝﹣f（x），称f（x）为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性（1）（2）解：（1）因为，所以定义域为R.所以f（x）为奇函数.（2）因为a x－a-x≠0，故x≠0，所以定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.所以f（x）为奇函数.（4）幂函数的性质形如y＝xα的函数为幂函数，其中α为任意常数.性质：对任意实数α，曲线y＝xα都通过平面上的点（1，1）；α＞0时，y＝xα在（0，+∞）单调增加；α＜0时，y＝xα在（0，+∞）单调减少；α为正整数时，幂函数的定义域是（－∞，+∞）；α为偶数时，y＝xα为偶函数；α为奇数时，y＝xα为奇函数；α为负整数时，幂函数的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）.幂函数y＝xα（α是常数）的图形：1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形：例10.画出下面分段函数的图形：例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数1.4 函数运算1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f（x），g（x）都在D上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为0的点除外），而函数值的对应定义如下：（1）加法运算（f＋g）（x）＝f（x）＋g（x），x∈D .（2）数乘运算（kf）（x）＝kf（x），x∈D.（3）乘法运算（fg）（x）＝f（x）g（x），x∈D .（4）除法运算 g（x）≠0，x∈D.其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f（x）=ln（1＋x），g（x）=1－cosx，求 .解因为函数f（x）=ln（1＋x）的定义域为（－1，+∞），函数g（x）=1－cosx 的定义域为（－∞，+∞），且当x=2 kπ（k为整数）时，g（x）=0，所以，，x∈（－1，+∞）\{2kπ}（k为整数）1.4.2复合函数如有函数f（x）和g（x）,它们的定义域分别为D f和D g，值域分别是 Z f和Z g..当Z g D f时，对于任意x∈D g,都有唯一的g（x）∈Z g D f,，从而有唯一的f（g（x））∈Z f与x∈D g对应，这样就确定了一个从D g到Z f的函数，此函数称为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。

浙江省考研数学复习资料高等数学重点定理归纳整理

浙江省考研数学复习资料高等数学重点定理归纳整理浙江省考研数学复习资料：高等数学重点定理归纳整理一、导数与微分在高等数学中，导数与微分是一个重要的概念，它们贯穿了整个微积分学科。

这里我们整理了一些高等数学中的重点定理，帮助大家更好地理解和记忆。

1. 利用导数求函数的极值：如果函数f(x)在开区间(a, b)连续，在(a,b)内可导，且f'(x)在(a, b)内变号，则f(x)在(a, b)内有极值点。

2. 高阶导数的性质：设函数f(x)在(a, b)上n+1阶可导，(a, b)内有x0∈(a, b)，使f(x)的n阶导数在x0处为零，而n+1阶导数在x0处存在，则有以下结论：a) 当n为偶数时，若f(x0) > 0，则f(x)在x0处取得局部极小值；若f(x0) < 0，则f(x)在x0处取得局部极大值。

b) 当n为奇数时，f(x)在x0处不取极值。

3. 微分中值定理：设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则在(a, b)内存在一点ξ，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)4. 函数单调性的判断：设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则有：a) 若f'(x) > 0，则f(x)在(a, b)内单调递增。

b) 若f'(x) < 0，则f(x)在(a, b)内单调递减。

二、定积分定积分是微积分中的重要概念，它能描述函数在一定区间上的积分结果。

下面是一些关于定积分的重点定理。

1. 可积函数的判定：函数f(x)在区间[a, b]上有界，且只在有限个点上发散和瑕积分，则f(x)在[a, b]上可积。

2. Newton-Leibniz公式（基本定理）：设函数f(x)在[a, b]上连续，F(x)是f(x)在[a, b]上的一个原函数，则有：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)3. 定积分的性质：设函数f(x)和g(x)在[a, b]上可积，c为常数，则有以下结论：a) ∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dxb) ∫[a, b] cf(x)dx = c∫[a, b] f(x)dxc) 若f(x) ≤ g(x)，则∫[a, b] f(x)dx ≤ ∫[a, b] g(x)dx三、级数级数是数学中的一种重要数列形式，它包含了无穷个数相加的结果。

高等数学(数一)知识重点及复习计划

6．掌握极限的性质及四则运算法则.
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．
习题2－1：6，7，9，11，14，15，16，17，18,19,20
1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．
6.3
定积分在物理学上的应用（变力沿直线所做的功，水压力，引力）习题6-3：1-12
总复习题六：1－6
第七章微分方程（时间1周，每天2-3小时）
7.1
微分方程的基本概念（微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解）
习题7-1：1，2，3，4，5
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
1.2
数列极限的定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 )注：用定义证明极限不用看
习题1－2：1，4，5，6注：记住4,5,6的结论，不用证明
1.3
函数极限的定义与基本性质（极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）注：用定义证明极限不用看
习题1－3：1，2，4

数学总复习谋划细则

作者：姜学勤
作者机构：江苏省南通第一中学
出版物刊名：求学
页码： 45-47页
主题词：高中学习辅导数学复习计划知识点
摘要：数学学科对考生能否跨入大学之门举足轻重。

对大多数考生而言，高考数学总复习一般会历时9个月(从前一年9月至次年5月)，可直到次年6月初，不少考生还是觉得许多内容没有复习透，只恨时光不能倒流。

要在有限的时间内达到最佳复习效果，就必须选择最科学、最实用的复习方法。

近两年高考数学试卷已明显体现出积极支持课程改革，加大新增。

《高等数学》复习姜作廉

一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）（一）、单项选择部分1．函数x x x f )321()321()(-++=为（）。

（A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）幂函数；（D ）偶函数★考核知识点:函数的性质，参见P4-7附1.1.1（考核知识点解释及答案）：函数的基本特性：有界性：设函数f (x )的定义域为D ，如果有0>M ，使得对D x ∈∀，都有M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有界。

如果对D x ∈∀，使得M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有上界。

单调性：设函数f (x )的定义域为D ，如果对D x x ∈∀21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f ≤，就称上在D x f )(为单调递增函数。

同理，可以定义单调递减函数。

我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。

奇偶性：设f (x )的定义域为D ，对D x ∈∀，如果(i))()(x f x f =-，则称该函数为奇函数；(ii))()(x f x f -=-，则称该函数为偶函数．周期性：设函数f (x )的定义域为D ，如果存在T ≠0，使得对D x ∈∀，总有则称f (x )为D 上的周期函数，T 为f (x )的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期计算过程如下：----(-)===f(x)x xx xx xf x=+++答案：（D）偶函数。

2．函数()ln(1sin) (0)f x x x=+→为（）。

（A）无穷小量；（B）无穷大量；（C）零函数；（D）常数函数★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.2（考核知识点解释及答案）：当xx→时，如果函数)(xf的绝对值大于任意预先给定的正数M，则我们称函数)(xf为当xx→时的无穷大量，记为∞=→)(limxfxx。

若0)(lim=→xfxx，则称函数)(xf在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。

高数一总复习资料

第一章函数及其图形例1：（）.A. {x | x>3}B. {x | x<-2}C. {x |-2< x ≤1}D. {x | x ≤1}注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。

例2：函数的定义域为（）.解：由于对数函数lnx 的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx ≠ 0，即x≠1。

由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1 与同时成立，从而其定义域为，即应选C。

例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解： A 中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1 时，两函数取得不同的值。

B 中的函数是相同的。

因为对一切实数x 都成立，故应选B。

C 中的两个函数是不同的。

因为的定义域为x≠-1 ，而y=x 的定义域为（- ∞，+∞）。

D 中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（- ∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。

例4：设解：在令t=cosx-1 ，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2 ≤cosx-1 ≤0，即-2 ≤t ≤0，从而有f（2）没有定义。

注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中例6：函数是（）。

A．偶函数B ．有界函数C ．单调函数D．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。

由函数在x=0，1，2 点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。

，可得，从而有。

可见，对事实上，对任意的x，由于任意的x，有因此，所给函数是有界的，即应选择 B例 7：若函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y), 则 f(x) 是( )。

A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定解：因为 f(x+y)=f(x)+f(y) ，故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ，可知 f(0)=0 。

高等数学1(经济类)下册考试复习大纲

高等数学Ⅰ（经济类）下册考试复习大纲空间解析几何与向量代数理解向量的概念。

掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件、了解混合积。

熟悉单位向量，方向余弦及向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算。

熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。

理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形。

熟悉以作坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

了解空间曲线的参数方程和一般方程。

会求两曲面的交线在坐标面上的投影。

作业习题7-1 1，2，5，6，7，8，10，12，13，15，16，17，18，19，习题7-2 1，2，3，6，7，8，9，10习题7-3 2，3，4，7，8（3）（4），9，10，11习题7-4 2，3，4，7习题7-5 1，2，3，4（1）（3）（5）（7），5，8，9习题7-6 1，2，3，6，7，10，11，12，13，15，16(1)(3)总习题七多元函数微分学理解多元函数的概念。

了解二元函数的极限和连续性的概念，知道有界闭域上连续函数的性质。

理解偏导数和全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。

掌握方向导数与梯度的概念及其计算方法。

掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求出它们的方程。

理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的的极值。

了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

作业习题8-1 2，4，5，6，7，8习题8-2 1，3，4，6(2)(3)，7，8，9(2)习题8-3 1,2,3,4习题8-4 2,4,5,6,8,9,10,11,12(2)(4)7习题8-5 1,3,4,6,7,9,10(2)(3)(4),11习题8-6 2,3,4,5,7,8,9,10习题8-7 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10习题8-8 1,3,4,5,7,8,9,10总习题八多元函数积分学理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

《高等数学(一)》复习大纲

《高等数学一》课程复习大纲与练习题第一章函数一、内容小结1.函数的概念（1）函数的定义（2）函数的表示法：公式法（解析法）、图像法和表格法2.函数的基本性质（1）有界性（2）单调性：函数的单调性一般与区间有关（3）奇偶性：偶函数的图像关于y轴对称，而奇函数的图像则是关于原点对称（4）周期性：周期函数的图像呈周期状，即在任意形如nnT+的区间上，函数的图像有相同的形状。

+x+x[T)1](,3.常用的函数类型（1）基本初等函数：常值函数：cy=；幂函数：μμ(y=为实常数)；x指数函数：)1aay x；(≠,0>=a对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a ；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======；反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ==== （2）反函数（3）复合函数（4）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式（公式）表示的函数（5）分段函数：如果)(x f 在其定义域的不同的子区间内，其对应法则有着不同的初等函数表达式，则称)(x f 为分段函数。

二、常见题型1.求函数的自然定义域。

2.判断函数是否相等。

3.已知(x)u ,)(f y ϕ==u ，求复合函数(x))f(ϕ。

4.已知复合函数(x))f(ϕ的表达式，求f(u)或(x)u ϕ=的表达式。

5.判断函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。

6.求函数的反函数。

7.从实际问题中列函数关系式。

第二章极限与连续一、内容小结 1.有关定义（1）数列（2）数列的极限（3）级数（4）级数的部分和（5）级数的敛散（6）函数的极限（7）无穷小量（8）无穷大量（9）无穷小量的阶（10）函数的连续性（11）左连续（12）右连续（13）函数在闭区间],[b a 上连续（14）第一类间断点（15）第二类间断点 2.数列极限的有关性质和结论（1）唯一性：若a a n n =∞→lim ，则极限值是唯一的。

高数一知识点

高数一知识点(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e xx->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。

当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。

（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。

幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。

结合变上限函数求极限。

二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。

三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==-左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x ---->->-+-==- 右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==- 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续可导⇔可微可导⇔既左可导又右可导求导数：（１）复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy duy f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２）隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。

《高等数学1》考前辅导

《高等数学1》考前辅导一、考试复习所用教材《高等数学(第5版)》（上册）同济大学应用数学系高等教育出版社 2002年7月二、考试题型介绍单项选择（每题5分，共5个小题）、填空（每题5分，共5个小题）、计算题（每题10分，共4个小题）、证明题（每题15分，共1个小题）三、针对性习题讲解第一章函数与极限1. 掌握常见初等函数的性质(包括定义域、值域、奇偶性等)、复合函数的求法例1试问函数1x y e+=的单调性.1x y e +=在R 上都是单调递增的例2133()(1),(),[()]f x x g x x g f x =-==则解：[()]g f x =1x =-例3试问1()f x x=+ 解：240x -≥解得22x -≤≤，又因为0x ≠，所以定义域为{|220}x x x -≤≤≠且例4如何判断函数的奇偶性？解：偶函数的定义：()()f x f x -=；奇函数的定义：()()f x f x -=-。

另外：奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数*奇函数=偶函数，偶函数*偶函数=偶函数，奇函数*偶函数=奇函数2. 掌握极限的计算方法（重点如例5的洛必达法则等）例1n n →∞=例2()()-1-1222+-1-1lim =1+lim=1n n n n n n n→∞→∞例31lim =03n n →∞ 例421lim=0n n →∞例532000-sin 1-cos sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→=== 例6()3211-1lim =lim +1=3-1x x x x x x →→+ 3.了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限.例11sin()1lim 2sin()2lim2121x x x x xx→∞→∞==⨯= 例2()1lim 1xx x e →∞+=例3 222n 111lim (+)2n n n n n πππ→∞++=+++解：2222222222222222222n n n 22n n 2n 111(+)n 111+2n 111(+)n 111n +2n n 111n lim lim (+)lim 2n n n lim =lim =11lim (n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ππππππππππππππππππππππ→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++++≤+++++≤+++++≤++≤+++++≤++≤+++++++++则而，则2211+)=12n n n ππ+++4.了解无穷小、无穷大，有界以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限.例1sin 0lim xx x →=1 注：极限值为一个非零的常数，因此这是一个有界量。

本科-高等数学(1)

一、参考书目《高等数学（上）》（第一分册）（柳重堪主编，中央广播电视大学出版社出版。

二、内容要求一元函数微分学、一元函数积分学两个部分，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用等方面的知识。

试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。

单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题要求写出文字说明、演算步骤。

三种题型分数的百分比大约为：单项选择题与填空题 40%，解答题 60%。

水平测试试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在试卷中的比例为：4:4:2。

水平测试采用闭卷笔试形式，卷面满分为 150 分，考试时间为 90 分钟。

（一）函数1.理解函数的概念；掌握函数y =f (x) 中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等。

两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。

2.了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性若对任意 x ，有 f (-x) = f (x) ，则 f (x) 称为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称。

若对任意x ，有 f (-x) =-f (x) ，则 f (x) 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称。

3.熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。

基本初等函数是指以下几种类型：常数函数： y =c幂函数：y =x α(α为实数)指数函数：y =a x(a > 0 , a ≠1)对数函数： y = logax (a > 0 , a ≠ 1)三角函数：sin x , cos x , tan x , cot x反三角函数：arcsin x , arccos x , arctan x4.了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数。

如函数y = e arctan2 (1+x) ,可以分解y=e u，u=v2，v=arctan w，w = 1 +x 。