2015届四川省资阳市高三第二次诊断性考试数学(文)试题 Word版含答案

资阳市高中2012级第二次诊断性考试数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21(1)i m m -++是纯虚数，则实数m 的值为(A)－1 (B)1 (C)1±(D)2±2．集合{|12}M x x =<<，{|}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)[1,)+∞(D)(1,)+∞3．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离是(A)14(B)12(C) 1(D) 24．“2a =”是“直线2()10a a x y -+-=和210x y ++=互相平行”的(A) 充要条件(B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件(D)既不充分又不必要条件5．设13log 2a =，2log 3b =，0.31()2c =，则a ，b ，c 大小关系为(A) a b c << (B)a c b << (C)b c a <<(D)c a b <<6．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0) 的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为(A) 2y x =±(B)22y x =±(C)12y x =±(D)2y x =±7．在不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域内任取一点P ，则点P 的坐标(x ,y )满足20x y -≤的概率为 (A)34 (B)23 (C)12(D)148．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为(A)332 (B)3 (C)32(D) 09．已知 a 、b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为3π，a ＋b 与b 的夹角为4π，则||||=a b (A)33 (B)53 (C)63(D)6210．定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，31||212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数32()3g x x x m =++．若[4,2)s ∀∈--，[4,2)t ∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是 (A) (,12]-∞- (B)(,4]-∞- (C)(,8]-∞(D)31(,]2-∞第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．不等式212xx <-的解集为_________． 12．某年级有1000名学生，现从中抽取100人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照1～1000编号，并按照编号顺序平均分成100组(1～10号，11～20号，…，991～1000号)．若从第1组抽出的编号为6，则从第10组抽出的编号为______． 13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．14．若直线20x y -+=与圆C :22(3)(3)8x y -+-=相交于A 、B 两点，则CA CB ⋅＝____． 15．已知函数()f x ，若对给定的△ABC ，它的三边的长a , b , c 均在函数()f x 的定义域内，且(),(),()f a f b f c 也为某三角形的三边的长，则称()f x 是 “保三角形函数”，给出下列命题：①函数2()1f x x =+是“保三角形函数”； ②函数()(0)f x x x =>是“保三角形函数”；③若函数()f x kx =是“保三角形函数”，则实数k 的取值范围是(0,)+∞；④若函数()f x 是定义在R 上的周期函数，值域为(0,)+∞，则()f x 是“保三角形函数”． 其中所有真命题的序号是_____________．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知函数2()sin (2cos sin )cos f x x x x x =⋅-+． (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)设42ππα<<，且52()13f α=-，求sin 2α的值．17.（本小题满分12分）在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，求选到的分数中至少有一个大于85分的概率． 18．（本小题满分12分）四棱锥S －ABCD 中，侧面SAD 是正三角形，底面ABCD 是正方形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，M 、N 、O 分别是AB 、SC 、AD 的中点．(Ⅰ)求证：MN ∥平面SAD ； (Ⅱ)求证：平面SOB ⊥平面SCM ．19.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足12a =，11b =， 228b S +=，5232a b a -=．(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令设数列{}n c 前n 项和为n T ，求2n T ．20.（本小题满分13分）已知函数()e x f x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）． (Ⅰ)当e a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分14分）已知椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为23，且经过点3(1,)2．(Ⅰ)求椭圆Ω的方程；(Ⅱ)A 是椭圆Ω与y 轴正半轴的交点, 椭圆Ω上是否存在两点M 、N ，使得△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.n 为奇数， ,,n n n a c b ⎧=⎨⎩资阳市高中2012级第二次诊断性考试（数学学科）参考答案及评分意见（文史类）一、选择题：BACCB，DADCC．二、填空题：11. {|22}x x -<<；12. 96；13. 83；14.－4；15. ②③. 三、解答题：16.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ) 22()sin 2sin cos f x x x x =-+sin 2cos 2x x =+2sin(2)4x π=+， ················································································· 4分 故函数()f x 的最小正周期是π． ···················································································· 6分 (Ⅱ)由52()13f α=-，即522sin(2)413πα+=-，得5sin(2)413πα+=-， ··············· 7分 因为42ππα<<，所以352444πππα<+<，可得12cos(2)413πα+=-，························ 9分 则sin 2αsin[(2)]44ππα=+-22sin(2)cos(2)2424ππαα=+-+ ································· 11分 2521272()()21321326=⨯--⨯-=．················································································ 12分 17.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩687679868895826x +++++==甲，学生乙的平均成绩717582848694826x +++++==乙，又22222221[(6882)(7682)(7982)(8682)(8882)(9582)]776s =-+-+-+-+-+-=甲，22222221167[(7182)(7582)(8282)(8482)(8682)(9482)]63s =-+-+-+-+-+-=乙， 则x x =甲乙，22s s >甲乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛. ····································································································································· 6分注：(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.（可给2分）(2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右，其分布对称，乙的平均成绩在80分左右，但总体成绩稳定性较好，故应选择乙同学.（可给4分）(Ⅱ) 从学生甲的成绩中随机选择2个，其基本事件有(68,76)，(68,79)，(68,86)，(68,88)，(68,95)，(76,79)，(76,86)，(76,88)，(76,95)，(79,86)，(79,88)，(79,95)，(86,88)，(86,95)，(88,95)，共有15个，其中选到的分数中至少有一个大于85分的事件有12个，故所求的概率124155P ==． ····························································································· 12分 18．（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)如图，取SD 的中点R ，连结AR 、RN ， 则RN ∥CD ，且RN ＝12CD ，AM ∥CD ， 所以RN ∥AM ，且RN ＝AM ， 所以四边形AMNR 是平行四边形，所以MN ∥AR ，由于AR ⊂平面SAD ，MN 在平面SAD 外， 所以MN ∥平面SAD ． ··············································· 6分 (Ⅱ)如图，设OB ∩CM ＝H ，由SO ⊥AD ，面SAD ⊥面ABCD ， 所以SO ⊥平面ABCD ，所以CM ⊥SO ， 易得△ABO ≌△BCM ，所以∠ABO ＝∠BCM ， 则∠BMH ＋∠ABO ＝∠BMH ＋∠BCM ＝90°， 所以CM ⊥OB ，所以CM ⊥平面SOB ，因为CM ⊂平面SCM ，所以平面SOB ⊥平面SCM ． ···························································································· 12分 19.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则 由225238,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得48,24222,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩所以22(1)2n a n n =+-=，12n n b -=． ··········································································· 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)，得21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++321[26(42)](222)n n -=+++-++++····································································· 8分n 为奇数， 12,2,n n n c -⎧=⎨⎩(242)2(14)214n n n +--=+- 2222433n n =+⋅-． ··········································································································· 12分20.（本小题满分13分）解析：(Ⅰ) 当e a =时，()e e e x f x x =--，()e e x f x '=-， 当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值(1)e f =-，函数()f x 无极大值． ······················ 5分 (Ⅱ)由()e x f x ax a =--，()e x f x a '=-，若0a <，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x 趋近于负无穷大时，()f x 趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，故函数()f x 存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0f x <；当0x x >时，()0f x >．故0a <不满足条件． ··················································· 8分若0a =，()e 0x f x =≥恒成立，满足条件． ································································· 9分 若0a >，由()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )f a ln e ln ln a a a a a a =-⋅-=-⋅，由(ln )0f a ≥得ln 0a a -⋅≥，解得01a <≤．综上，满足()0f x ≥恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]． ·········································· 13分 21.（本小题满分14分）解析 (Ⅰ)由题22223,131,4a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得24a =，21b =． 所以椭圆Ω的方程为2214x y +=． ················································································· 4分(Ⅱ)由题意可知，直角边AM ，AN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设AM 所在直线的方程为1y kx =+，不妨设0k >，则直线AM 所在的方程为11y x k =-+． ······························· 5分联立方程221,44,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得22(14)80k x kx ++=，解得2814M k x k =-+， ····· 6分将2814M kx k =-+代入1y kx =+可得228114M k y k -=++，故点22288(,1)1414k k M k k--+++. 所以22222228881()()141414k k k k AM k k k +=-+-=+++． ···················································· 9分 同理可得22814k AN k+=+，由AM AN =，得22(4)14k k k +=+， ···························· 11分 所以324410k k k -+-=，则2(1)(31)0k k k --+=，解得1k =或352k ±=． ········· 13分 当AM 斜率1k =时，AN 斜率1-；当AM 斜率352k +=时，AN 斜率352-+； 当AM 斜率352k -=时，AN 斜率352--． 综上所述，符合条件的三角形有3个. ············································································· 14分。