河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题文【含答案】
河南省商丘市第一高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题文含解析
河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题文（含解析）第I 卷（选择题，共60分）注意事项：答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】A 【解析】试题分析：因为2{|60}(32)M x x x =+-<=-，，所以M N ⋂=[1,2)，选A. 考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 4．在解决有关A∩B＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.在ABC 中，“A 45=”是“sinA 2=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果. 【详解】当A 45=时，sinA 2=成立．若当A 135=时，满足sinA 2=． 即由“A 45=”能推出“sinA 2=”；反之不一定成立. 所以，“A 45=”是“sinA 2=”的充分不必要条件． 故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简5312i i-+成标准形式即可 【详解】解：()()()5125510333151212125i ii i i i i i i ---=-=-=-++⋅- 所以复数5312i i-+对应的点位于第四象限 故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题.4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可【详解】解：作可行域如图：()2503,,3,1201x y x A x y y +-==⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩由23z x y =+得233zy x =-+， 当233zy x =-+过()3,1A ，截距最大，此时max 2323319z x y =+=⨯+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划求最大值，基础题.5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40 B. 80C. 36D. 57【答案】D 【解析】 【分析】由5766234,17a a a a +===，代入求和公式即可. 【详解】解：5766234,17a a a a +===()()166********2a a S ⨯+⨯+===故选：D【点睛】考查等差数列求和，基础题.6.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||3|AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B. 2C. 2D. 5【答案】C 【解析】 【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合||23||AB OF =，找到a c 、关系可求离心率.【详解】解：24y x =的准线1l x =-：，||1OF =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程b y x a=- 1x =-时，by a=， ||23||AB OF =，根据对称性，有1231,32b b a a =⨯⨯∴= ()22223,3,b a b a ==又222,b c a =-224,2cc a a== 故选：C【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题.7.已知x ，y 的线性回归直线方程为0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A. 变量x ，y 之间呈现正相关关系B. 可以预测，当5x =时， 5.37y =C. 2.09m =D. 由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.5【答案】C 【解析】 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y 的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）．【详解】已知线性回归直线方程为y =0.82x +1.27，b =0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y =0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m +3.1+4.3）8.24m+=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ．【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．8.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->，即()() 1212f x fxx x>()f xx在()0,∞+单调递减，因为函数()f x是定义在R上的奇函数，()()()f x f x f xx x x--==--，()f xx是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()()()11111f fb f-=--==-，()()()222222f f fc--=-==-，()33fa=所以a c b<<故选：A【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题.9.如下图，四边形ABCD中，135,120BAD ADC∠=∠=，45,60,3BCD ABC BC∠=∠==，则线段AC长度的取值范围是（）A. 2,3⎡⎣ B.332⎡⎢⎣C. 2,3D.332⎛⎝【答案】B【解析】【详解】当AC AB⊥时，AC33sin2B=，故选B.10.在等比数列{}n a中，若163 4a a=-，23459 4a a a a+++=，则23451111a a a a+++=（）A. 1 B. 34- C. 3- D. 43【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列{}n a的性质及其16253434a a a a a a=-==，234594a a a a+++=，可得2534234525341111a a a a a a a a a a a a+++++=+，代入即可得出．【详解】解：数列{}n a是等比数列，16253434a a a a a a=-==，234594a a a a+++=，∴253423452534111143934a a a a a a a a a a a a+++++=+==--．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知F1，F2分别是椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )A.2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.10,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c .∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围．本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围．12.定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()'f x ()12x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A. ()()()161941f f f -<<+B. ()()()419161f f f +<<-C. ()()()52411f f f +<<-D. ()()()11452f f f -<<+【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()g x f x =()g x 单调递减，于是()()()1694g g g <<，化简即可得出结论．【详解】解：1()2x '<，()f x ∴'，令()()g x f x =()()0g x f x '='<， ()g x ∴在(0,)+∞上是减函数，()()()1694g g g ∴<<，即()()()1649342f f f -<-<-， ()()()161941f f f ∴-<<+． 故选：A ．【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，构造()g x 是解题关键，属于中档题．第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(1,0)(1,)【解析】【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．【答案】9 【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母1x +，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值. 试题解析：由1x >-得10x +>，则()()()()()()()21411521514415591111x x x x x x y x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++++++++⎣⎦⎣⎦====+++≥=++++当且仅当1x =时，上式取“=”，所以min 9y =. 考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.15.设直线x t =与函数()2f x x =，()2lng x x =的图象分别交于点,M N ，则当MN 达到最小值时，t 的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先构造函数：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-，再利用导数求函数的单调性及极值：由22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=，即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，即()()1min h t h =，得解．【详解】解：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-， 则22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=， 当01t <<时，()0h t '<，当1t >时，()0h t '>， 即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数， 即()()1min h t h =，即当||MN 达到最小值时，t 的值为1， 故答案为：1.【点睛】本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题．16.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】命题命题p 为真时，1a ∴； 命题命题q 为真时，所以1a 或()22a ≤-，则由()()12得2a -或1a =【详解】解：命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥，()i 3m nax ∴，()11a ∴，命题: q x R ∃∈，2 220x ax a ++-=，则244(2)0a a ∆=--，所以1a 或()22a ≤-若命题p q ∧为真命题，则由()()12得2a -或1a = 故答案为：2a - 或1a =【点睛】考查根据“若命题p q ∧为真命题，则命题p 为真且q 为真”求参数范围，基础题. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知，在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A 的大小； （2）设ABC 的面积为a 的取值范围.【答案】（1）3π；（2）)+∞ 【解析】 【分析】（1）sin cos a B A.由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，化简整理即可（2）ABC的面积为1sin2bc A ==，得12bc =，由余弦定理可得：a ==≥≥=【详解】解：（1）sincos a B A .由正弦定理可得：sin sincos A B B A ， 又sin 0B ≠，可得：tan A = 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC 的面积为1sin 2bc A ==，解得12bc = 由余弦定理可得：a ==≥≥= 当且仅当b c ==. 综上，边a 的取值范围为)+∞【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.18.已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =，数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n n a b +的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(Ⅰ) 4n n a b n +=；（Ⅱ）222323n n n +-⋅+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求解数列的和 试题解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得2q =. 所以11132n n n a a q --=⋅=⋅.设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得()()44111644413a b a b d +-+-===-.所以()()1114n n a b a b n d n +=++-=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432n n b n -=-⋅.数列{}4n 的前n 项和为()21n n +； 数列{}132n -⋅的前n 项和为()321n⋅-所以，数列{}n b 的前n 项和为222323n n n +-⋅+.19.在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22⨯列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为4.（1）根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.（2）现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人，则3人中至少2人使用手机支付”的概率.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中 n a b c d =+++） 【答案】（1）列联表见解析，有；（2）710【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出老年的人数，青年的人数，即可完成22⨯列联表，并根据此资料求出2K ，即可判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”．（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ，列出事件数目，然后求解至少有2人是不使用手机支付的概率． 【详解】解：（1）从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为45∴使用手机支付的人群中的青年的人数为46048⨯=人，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为60-4812=人，所以22⨯列联表为：()()()()()()22210048281212K 2510.82860406040n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中： 使用手机支付的人有6053100⨯=人， 使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ， 则从这个样本中任选3人有()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,1,,,2,3,,2,3,,2,,,3,,a b a b a b a b a b a b 共10种其中至少有2人是使用手机支付的()()()()()()()1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,2,3,,2,3,,1,2,3a b a b a b 共7种，故所求概率为710【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查古典概型概率的求法以及计算能力，属于中档题．20.已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113eOF OA AF+=，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（0,1）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求OMN ∆面积的最大值.【答案】(1) 22143x y +=;(2)3. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦半距为c ，结合题意分析可得113ec a a c+=-，结合椭圆的几何性质可得a 、b 的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）由题意分析可得直线l 与x 轴不垂直，设其方程为y=kx+1，联立l 与椭圆C 的方程，可得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0，结合根与系数的关系可以用k 表示|MN|与O 到l 的距离，由三角形面积公式计算可得△OMN的面积12S d MN ===，由基本不等式分析可得答案．【详解】（1）设椭圆的焦半距为c ，则OF c =，OA a =，AF a c =-.所以113e c a a c +=-，其中ce a=，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =. 所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形.当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+. 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得()2243880k x kx ++-=.于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是()()22832430k k ∆=++>，这显然成立.设点()11,M x y ，()22,N x y . 由根与系数的关系得122843kx x k +=-+，122843x x k =-+.所以12MN x =-=O到l 的距离d =所以OMN ∆的面12S d MN ===令2433t k =+≥，那么S ==≤，当且仅当3t =时取等号.所以OMN∆. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数()2ln f x x a x =--，R a ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）当2a =-时，若直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值. （2）21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】 （1）求得()1a x afx x x'-=-=，可分0a ≤和0a >两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；（2）当2a =-时，把直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解，即2ln 1x k x -=在()0,∞+上没有实数解，令()2ln xg x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与极值，即可求解实数k 的取值范围.【详解】（1）()2ln f x x a x =--定义域为()0,∞+，()1a x af x x x'-=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为()0,∞+上的增函数，所以函数()f x 无极值. ②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()2ln f a a a a =--，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值. （2）当2a =-时，()22ln f x x x =-+，直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+ 在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解，即2ln 1xk x-=在()0,∞+上没有实数解. 令()2ln xg x x =，则有()()221ln x g x x-'=.令()0g x '=，解得e x =， 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：且当0x →时，()g x →-∞；e x =时，()g x 的最大值为2e；当x →+∞时，()0g x →， 从而()g x 的取值范围为2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 所以当()21,e k ⎛⎫-∈+∞⎪⎝⎭时，方程()12ln k x x -=无实数解， 解得k 的取值范围是21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.【答案】（1）1C ：24y x =，2C ：22(4)1x y +-=；（2）122【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x =曲线2C 的极坐标方程28sin 150ρρθ-+=变为直角坐标的方程为：22(4)1x y +-=(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为32cos 42324sin 44x t t y t t ππ⎧=⋅=-⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知2122320t t ++=，因为1232t t =，12122t t +=2212||||||122C A C B t t +=+=【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23.已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(0,2)；（2）[2,)+∞ 【解析】 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。
2019-2020学年河南省商丘市高二下学期期末考试数学(文)试题及答案
所以所抽取的
2
人中男、女居民各有
1
人的概率为
p
C21C41 C62
8； 15
（2）由 K 2 90 35 20 25 10 2 5 3.841，
60 45 4530
所以在犯错的概率不超过 0.05 的前提下，可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评 价有差异.
18.解：（1） A
x
（3）下列三个函数： y kx b k 0 ， y ax2 bx c a 0 ， y loga x a 0, a 1 ，哪些是“自减
函数”？并说明理由．
22．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
1 2
t
（ t 为参数）.以原点 O 为极点，以 x 轴
y
3
3t 2
的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4 sin .
发现的，根据棣莫弗公式可知，复数
cos
5
i
sin
5
6
在复平面内所对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．已知函数
f
x
ax 1 ax
bx
x2
（a
0且a
1），若
f
2
10 ，则
f
2
（
）
A． 10
B． 7
C． 4
D． 1
9．已知复数 z 满足 z 3 3，则 z 4i （ i 为虚数单位）的取值范围为（ ）
a
数学（文）试题参考答案
1-10DBCDA BCDAB 11-12.AC
河南省商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试数学(理)试卷(解析版)
数学（理科）试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】A 【解析】试题分析：因为2{|60}(32)M x x x =+-<=-，，所以M N ⋂=[1,2)，选A. 考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.在ABC V 中，“A 45=o ”是“sinA =”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果.【详解】当A 45=o 时，sinA =成立．若当A 135=o 时，满足sinA =．即由“A 45=o ”能推出“sinA =”；反之不一定成立.所以，“A 45=o”是“sinA 2=”的充分不必要条件． 故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简5312i i-+成标准形式即可 【详解】解：()()()5125510333151212125i ii i i i i i i ---=-=-=-++⋅- 所以复数5312i i-+对应的点位于第四象限 故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题.4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可 【详解】解：作可行域如图：()2503,,3,1201x y x A x y y +-==⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩由23z x y =+得233zy x =-+， 当233zy x =-+过()3,1A ，截距最大，此时max 2323319z x y =+=⨯+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划求最大值，基础题.5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40 B. 80C. 36D. 57【答案】D 【解析】 【分析】由5766234,17a a a a +===，代入求和公式即可. 【详解】解：5766234,17a a a a +===()()166********2a a S ⨯+⨯+===故选：D【点睛】考查等差数列求和，基础题. 6.某个游戏中，一个珠子按如图所示通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为（ ）A.532B.16C.516D. 以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】从入口到出口4共由5个岔口，每个岔口的概率都是12，根据二项分布的概率计算公式可解 【详解】解：从入口到出口4共有2510C =种走法，其中每一岔口的概率都是12所以珠子从口4出来的概率为52512165P C ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】考查二项分布的概率计算，基础题.7.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|||AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合|||AB OF =，找到a c 、关系可求离心率. 【详解】解：24y x =的准线1l x =-：，||1OF =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程b y x a=-1x =-时，b y a=，|||AB OF =，根据对称性，有11,2b b a =⨯∴= )2222,3,b b a ==又222,b c a =-224,2cc a a== 故选：C【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题.8.设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】正态分布概率密度函数图象的对称性可解 【详解】解：随机变量~(1,9)X N ，其期望为1因为(0)(1)P X P X a ≤=≥-，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，1011,3a a -=--=故选：B【点睛】考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题. 9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->， 即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题.10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A. 1 B. 34-C. 3-D.13【答案】C 【解析】 【分析】 把253434a a a a =-=代入2534234525341111a a a a a a a a a a a a +++++=+⋅⋅中，用上234594a a a a +++=即可【详解】解：{}n a 是等比数列253434a a a a =-= 234594a a a a +++=253423452534111143934a a a a a a a a a a a a +++++=+==--故选：C【点睛】利用等比数列的性质求值，基础题.11.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 13⎡⎢⎣⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】因为线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，根据垂直平分线的性质，2122PF F F c ∴==，又因为是存在一点P ，焦半径22PF c =必须大于或等于其最小值a c -，由此解不等式，同时注意椭圆的离心率一定小于1.【详解】解：如图，因为线段1PF 的中垂线经过2F ，2122PF F F c ∴==即在椭圆上存在一点P ，使得22PF c =2min 2PF c ≤，12,3,3c a c c a c a -≤≤≥ 又1ca<， 所以椭圆离心率的取值范围是113ca≤<， 故选：A【点睛】已知椭圆上存在一点求椭圆的离心率，注意椭圆的焦半径的最小值是a c -，同时椭圆的离心率一定小于1，基础题.12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 13,48⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,62⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】21y kx =-关于1y =-对称的函数为21y kx =--，所以2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象与21y kx =--的图象有且仅有四个不同的交点，作出2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩与21y kx =--的图象，利用导数等于斜率，求出临界直线的斜率AB AC k k 、即可. 【详解】解：函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，21y kx =-关于1y =-对称的函数为21y kx =--所以2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象与21y kx =--的图象有且仅有四个不同的交点，作2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩与21y kx =--的图象如下：易知21y kx =--恒过点(0,1)A -设直线AC 与ln 2y x x x =-相切于点(,ln 2)C x x x x -，ln 1y x '=-ln 21AC x x x k x-+=故ln 21ln 1x x x x x-+-=，1, 1AC x k ==-设直线AB 与232y x x =+相切于点23,2B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，322y x '=+2312AB x x k x++=，故2313222x x x x +++=1x =-， 31222AB k =-+=- 1122k -<-<-故1412k <<， 故选：B【点睛】已知两个函数图象交点情况，求参数的取值范围，是难题.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数()ln 2f x x =+，则不等式()232f x -<的解集为_______.【答案】(2,2)-U 【解析】 【分析】()232f x -<等价于()()231f x f -<，转化成()231,221x x -<-<<L，再由230,x x ->>或()2x <，由()()12可得【详解】解：()ln 2f =+11=2()232f x -<等价于()()231f x f -<()ln 2f x x =+是()0,∞+的增函数()231,221x x -<-<<L又230,x x ->>()2x <由()()12得，不等式()232f x -<的解集为(2,2)-U故答案为：(2,2)-U【点睛】考查利用函数单调性解不等式，注意复合函数的定义域，基础题. 14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．【答案】9 【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母1x +，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由1x >-得10x +>，则()()()()()()()21411521514415591111x x x x x x y x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++++++++⎣⎦⎣⎦====+++≥=++++当且仅当1x =时，上式取“=”，所以min 9y =.考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真.命题，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】命题命题p 为真时，1a ∴…； 命题命题q 为真时，所以1a …或()22a ≤-L ，则由()()12得2a -…或1a = 【详解】解：命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥，()i 3m na x ∴…，()11a ∴L …，命题: q x R ∃∈，2 220x ax a ++-=，则244(2)0a a ∆=--…，所以1a …或()22a ≤-L 若命题p q ∧为真命题，则由()()12得2a -…或1a = 故答案为：2a -… 或1a =【点睛】考查根据“若命题p q ∧为真命题，则命题p 为真且q 为真”求参数范围，基础题.16.设函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x +=，若对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[)-+∞ 【解析】 【分析】根据()()2x f x g x +=和()()f x g x 、分别奇、偶函数，()()11()22,()2222x x x x f x g x --∴=-=+，()(2)0af x g x +…可化为，()()2212222022x x x x a ---++…，令22x xt -=-，则()2222222222x x x xt --+-=+=+，1524t ≤≤，()()2212222022x x x x a ---++…化为，211022a t t ++…，即2a t t ≥--，()2g =t t t --，求出()2g =t t t--最大值即可 【详解】解：函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()(),()()f x f x g x g x ∴-=--= ()()()21x f x g x +=Q L()()()()()22x f x g x f x g x --+-=-+=L由()()12得，()()11()22,()2222x x x x f x g x --∴=-=+ ()(2)0af x g x +…可化为()()2212222022x x x x a ---++…122x Q 剟，24x ≤，1224x --≤-≤-15224x x -≤-≤令22x x t -=-，则()2222222222x x x xt --+-=+=+，1524t ≤≤ ()()2212222022x x x x a ---++…化为： 211022a t t ++…，即2a t t≥-- 令()2g =t t t --，()22g =1,t t'-+t ≤<()()22g =10,g t t t '-+<递增154t <≤，()()22g =10,g t t t'-+>递减 ()max g t g==-a ≥-则实数a 的取值范围是：a ≥-故答案为： )⎡-∞⎣【点睛】考查奇偶函数的性质以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A 的大小；（2）设ABC V 的面积为a 的取值范围.【答案】（1）3π；（2）)+∞ 【解析】 【分析】（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，化简整理即可（2）ABC V 的面积为1sin 2bc A ==，得12bc = ，由余弦定理可得：a ≥=，【详解】解：（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，又sin 0B ≠，可得：tan A = 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC V 的面积为1sin 2bc A ==，解得12bc =由余弦定理可得：a ≥=，当且仅当b c ==.综上，边a 的取值范围为)+∞【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.18.如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）d =（2）sin 5θ= 【解析】【详解】解法一：（1）等体积法．取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB =OM OB ．CD ，MO ．CD ．又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ．平面BCD ，所以MO ．AB ，MO ．平面ABC ．M 、O 到平面ABC 的距离相等．作OH ．BC 于H ，连MH ，则MH ．BC ．求得OH =OC•cos30︒=，MH 2=． 设点θ到平面ACM 的距离为d ，由(0,0,23)BA =u u u r得．即11122332⋅=⋅⋅⋅解得d =（2）延长AM 、BO 相交于E ，连CE 、DE ，CE 是平面与平面BCD 的交线．由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形.作BF ．EC 于F ，连AF ，则AF ．EC ，．AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角，设为θ. 因为．BCE =120°，所以．BCF =60°.2sin 60BF ︒==tan 2AB BF θ==，sin 5θ=.则所求二面角的正弦值为sin θ=解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ．CD ，OM ．CD ．又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ．平面BCD .取O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图．OB =OM，则各点坐标分别为C （1，0，0），M （0，0），B （0，0），A （0，）.（1）设(,,)n x y z =u u r 是平面MBC的法向量，则BC =u u u r,BM =u u u u r. 由n BC ⊥u u r u u u r得0x +=； 由n BM ⊥u u r u u u u r得BC =u u u r．取．(0,0,23)BA =u u u r，则BA n d n ⋅===u u u r rr ． （2）(CM =-u u u u r ，(1,CA =-u u u r.设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，由11{n CM n CA ⊥⊥u r u u u u ru r u u u r 得0{0x x -+=--+=解得x =，y z =，取1,1)n =u r .又平面BCD 的法向量为2(0,0,1)n =u u r.所以12112cos ,n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u r u u r ， 设所求二面角为θ，则sin θ=.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1212,F F F F =、，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且124AF AF += （1）求椭圆C 的方程；（2）若A 、B 两点关于原点O 的对称点分别为,A B ''，且AOB 90∠=o ，判断四边形ABA B ''是否存在内切的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，2245x y +=【解析】 【分析】（1）因为12||F F =，所以c =，124AF AF +=，所以24a =，解得2a =，代入方程即可（2）①当直线l 的斜率k 存在时，设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为AOB 90∠=o ，所以OA OB ⊥，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，22445k m +=，原点O 到直线l的距离d ==同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''，四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=②当直线l 的斜率不存在时，同理说明即可 【详解】解：(1)因为12||F F =，所以c =，.因为直线l 与椭圆C 交于，两点，且12||4||AF AF =-，所以12||||4AF AF +=，所以24a =，解得2a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=(2)①当直线l 的斜率k 存在时，设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=，222222644(41)(44)16(41)k m k m k m ∆=-+-=+-，所以12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 因为AOB 90∠=o ，所以OA OB ⊥，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即22222222212121212222448544(1)()(1)0414141m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++所以22445k m +=，所以原点O 到直线l的距离5d==根据椭圆的对称性，同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''， 所以四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y += ②当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为xn =，不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上、下交点，则((,A n B n ，由90AOB ︒∠=，得OA OB ⊥u u u r u u u r ，22404n n --=，解得245n =，所以此时原点O 到直线l. 根据椭圆的对称性，同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''， 所以四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=. 综上可知，四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=【点睛】考查椭圆方程的求法，判断四边形是否存在内切圆转化为判断一定点到四边的距离是否相等，难题20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】 【分析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为：所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题.21.已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--（1）若函数()f x 在x =1时取得极值，求实数a 的值； （2）当0＜a ＜1时，求()f x 零点的个数. 【答案】（1）1；（2）两个 【解析】 【分析】(1) 函数()f x 在x =1时取得极值，得(1)0f '=，解得1a =，1a =时，(21)(1)()x x f x x+-'=，求单调区间，验证()f x 在x =1时取得极值 （2）(21)(1)()0x ax f x x '+-==，由01,a <<，得11,x a=>()f x 减区间为1(0)a ，，增区间为1()a+∞，，其极小值为11()ln 1f a a a =+-，21222()110a a a a e f e e e e e ---+=++>+=>，函数()f x 在1(0)a，上有且仅有一个零点，根据ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-，令30ax a +->，得3a x a ->，又因为01a <<，所以31a a a ->，所以当3a x a->时，()0f x >，根据零点存在定理，函数()f x 在1()a+∞，上有且仅有一个零点. 【详解】解：(1)()f x 定义域为(0)+∞，，22(2)1(21)(1)()ax a x x ax f x x x+--+-='=， 由已知，得(1)0f '=，解得1a =， 当1a =时，(21)(1)()x x f x x+-'=，所以()001,f x x <⇔<<'，()01,f x x >⇔>'所以()f x 减区间为(01)，，增区间为(1)，+∞， 所以函数()f x 在1x=时取得极小值，其极小值为(1)0f =，符合题意，所以1a = (2)令(21)(1)()0x ax f x x '+-==，由01,a <<，得11,x a=>所以1()00f x x a <⇔<<'，1()0f x x a>'⇔>， 所以()f x 减区间为1(0)a ，，增区间为1()a+∞，， 所以函数()f x 在1x a=时取得极小值，其极小值为11()ln 1f a a a =+-， 因为01a <<，所以ln 0a <，11a>， 所以110a-<，所以11()ln 10f a a a =+-<， 因为21222()110a a a a e f e e e e e---+=++>+=>， 根据零点存在定理，函数()f x 在1(0)a ，上有且仅有一个零点， 因为ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-，令30ax a +->，得3a x a ->，又因01a <<，所以31a a a ->， 所以当3a x a->时，()0f x >， 根据零点存在定理，函数()f x 在1()a+∞，上有且仅有一个零点， 所以，当01a <<时，()f x 有两个零点.【点睛】考查根据函数极值情况确定参数的范围和函数零点个数，难题.22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩ (其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=. （1）求曲线C 1的方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.【答案】（1）24y x =，22(4)1x y +-=；（2）【解析】【分析】（1）把4y t =代入到24x t =中即可.把222,sin x y y ρρθ=+=代入28sin 150ρρθ-+=（2）直线l 的参数方程为2cos 424sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知22320t t ++=4，因为12320t t =>，可知2212||||||2C A C B t t +=+=4【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-= (2)可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为2cos 4224sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知22320t t ++=4，因1232t t =，可知2212||||||C A C B t t +=+=【点睛】考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程，根据直线方程中参数的几何意义求线段之和，中档题.23.已知()|1||21|f x x x =+--.（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(0,2)；（2）[2,)+∞【解析】【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，， 当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-， 令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。
2019-2020学年商丘市九校联考高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年商丘市九校联考高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设复数z =−1+2i ，(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z −在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若l 1：x +(1+m)y =2−m ，l 2：2mx +4y +16=0的图象是两条平行直线，则m 的值是( )A. m =1或m =−2B. m =1C. m =−2D. m 的值不存在3. 以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ζ服从正态分布N(1,σ2)，P(ζ≤5)=0.81，则P(ζ≤−3)=0.19；④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 14. 若(√x +2x )n 展开式中的第5项为常数，则n =( )A. 10B. 11C. 12D. 135. 下列导数公式正确的是( )A. (sina)′=cosa(a 为常数)B. (e −x )′=e −xC. ( sinx)′=−cosxD. (−1x )′=1x 26. 函数的图像在点处切线方程为，则( )A. 4B. 3C. 2D. 17. 定积分∫(2π01−cosx)dx 的值为( )A. 2πB. 2π+1C. −2πD. 2π−18. D 为△ABC 的边BC 的中点，E 为AD 中点，若AD =a ，则(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·EA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −a22B. a 22C. −2a 2D. a 29. 三次函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d(b,c ，d ∈R)在区间[−1,2]上是减函数，那么b +c 的取值范围是( )A. (−∞, 152)B. (−∞, −152)C. A(x 0,f(x 0))D. (−∞,−152]10. 设，则函数的零点位于区间( )A. (0,1)B. (−1,0)C. (1,2)D. (2,3)11. 若(3x +)n 的展开式中各项系数的和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有( )A. 2项B. 3项C. 5项D. 6项12. 5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有( )．A. 18B. 24C. 36D. 48二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)=______． 14. 在数列中，，，设，记为数列的前项和，则= ．15. 已知数列{a n }满足a 1=−1，a 2>a 1，|a n+1a n|=2n (n ∈N ∗)，若数列{a 2n−1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n =______．16. 用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12n −1<n(n ∈N ∗，且n ≥2)，第一步要证的不等式是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 实数x 取何值时，复数z =(x −2)+(x +3)i ：(1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？18. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，若他们3人分别向目标各发1枪，求命中目标的次数X 的概率分布．19. 7个人排队买电影票，票价为50元.7人中有4个人仅持有50元纸币，其余3个人仅持有100元纸币．若每个人只买一张电能票，且售票处开始售票时，无零钱可找，求在买票过程中没有一个人等候找钱的概率．20. 某校进行教工趣味运动会，其中一项目是投篮比赛，规则是：每位教师投二分球四次，投中三个可以再投三分球一次，投中四个可以再投三分球三次，投中球数小于3则没有机会投三分球，所有参加的老师都可以获得一个小奖品，每投中一个三分球可以再获得一个小奖品．某位教师二分球的命中率是12，三分球的命中率是13． (Ⅰ)求该教师恰好投中四个球的概率；(Ⅱ)记该教师获得奖品数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b≠c，且bcosB=ccosC，延长线段BC到点D，使得BC=4CD=4，∠CAD=30°，(Ⅰ)求证：∠BAC是直角；(Ⅱ)求tan∠D的值．22.已知函数f(x)=x3+ax2−a2x−1，其中a∈R．(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；(2)若f(x)≥−2对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的最小值；(3)若关于x的不等式f(x)≥0在(−∞,−1]上有解，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：由共轭复数的概念求得z−表示点的坐标得答案．本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．解：∵z=−1+2i，∴z−=−1−2i，则复数z的共轭复数z−在复平面上对应的点的坐标为(−1,−2)，位于第三象限．故选：C．2.答案：B解析：解：若l1：x+(1+m)y=2−m，l2：2mx+4y+16=0的图象是两条平行直线，则应满足1×4=(1+m)×2m得m=1或m=−2，当m=−2时，两直线重合．故选B．由1×4=(1+m)×2m得m=1或m=−2，当m=−2时，两直线重合．本题考查了判断两条直线平行的方法，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了用相关系数判断线性相关性的强弱、考查了正态分布的对称性及系统抽样方法，熟练掌握正态分布的对称性及用相关系数的绝对值的大小与两个随机变量的线性相关性的强弱的关系是关键．利用系统抽样方法的特征判断①是假命题；根据|r|越趋近于1，两个随机变量的相关性越强，判断②是否为真命题；利用正态分布的对称性求得P(ζ≤−3)，可判断③是否为真命题；根据随机变量k2的观测值k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，判断④是否为真命题．解：①是系统抽样，∴①是假命题；②根据|r|越趋近于1，两个随机变量的相关性越强，得②是真命题；③根据正态分布的对称性，P(ζ≤−3)=P(ζ≥5)=1−0.81=0.19.∴③是真命题；④根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，得④是假命题．故选：C．4.答案：C解析：解：∵(√x+2x)n展开式中的第5项为常数∴n−42=4∴n=12故选C由二项式项的公式表示出第五项，根据未知数的指数为0建立方程求出n本题考查二项式系数的性质，解题的关键是根据项的公式建立方程求n，体现方程的思想．熟练记忆公式是解本题的关键．5.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，sinα为常数，则(sinα)′=0，A错误；对于B，(e−x)′=−e−x，B错误；对于C，(sinx)′=cosx，C错误；对于D，(−1x )′=1x2，D正确；故选：D．根据题意，依次分析选项中导数的计算，综合即可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．6.答案：C解析：本题主要考查了导数的几何意义．利用函数在切点处的导数就是切线的斜率求出f′(5)=−1，根据在切线上，则f(5)=−5+8=3．∴f(5)+f′(5)=−1+3=2．故选 C ．7.答案：A解析：找出被积函数的原函数，然后代入积分上下限计算即可．本题考查了定积分的计算，关键是正确找出被积函数的原函数，正确计算． 解：∫(2π01−cosx)dx =(x −sinx)|02π=2π； 故选A ．8.答案：A解析：解：∵E 为AD 中点，AD =a ，∴EB⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(−12)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−12a 2， 故选：A ．作出图形，依题意可得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用平面向量的数量积即可得答案．本题考查平面向量的数量积的运算，求得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9.答案：D解析：解：由f(x)=x 3+bx 2+cx +d ， 则f′(x)=3x 2+2bx +c ．要使函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d 的区间[−1,2]上是减函数，则f′(x)=3x 2+2bx +c ≤0在x ∈[−1,2]上恒成立． 所以{f′(−1)≤0f′(2)≤0，即{3−2b +c ≤012+4b +c ≤0．以b 为横轴，c 为纵轴画出可行域如图， 联立{3−2b +c =012+4b +c =0，解得{b =−32c =−6．所以可行域上顶点为(−32,−6)． 则b +c 的最大值为−32−6=−152． 故b +c 的取值范围是(−∞,−152]. 故选：D求出原函数的导函数，由导函数在x ∈[−1,2]上恒成立列出关于b ，c 的不等式组，然后利用线性规划知识求得b +c 的取值范围．本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．10.答案：A解析：试题分析：因为，由零点存在性定理知，在内有零点，有为单调函数，故存在唯一零点，选A ．考点：零点存在定理．11.答案：B解析：令x =1，则22n =1024，∴n =5． T r+1=(3x)5−r ()r=·35−r．含x 的整数次幂即使为整数，r =0，r =2，r =4，有3项．12.答案：C解析：试题分析：解：首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是3×2×1=6，所以是3×2×3×2×1=36种故答案为C考点：排列组合点评：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，本题易出错的地方是甲和乙两个人之间还有一个排列，容易漏掉．13.答案：0.4解析：解：依题意得，随机变量ξ服从超几何分布，随机变量ξ表示其中男生的人数，ξ可能取的值为1，2，3．P(ξ=k)=C4k C23−kC63，k=1，2，3．∴所以X的分布列为：ξ123P153515由分布列可知Eξ=1×15+2×35+3×15=2，∴Eξ2=225，Dξ=Eξ2−(Eξ)2=225−22=0.4，故答案为：0.4．本题是一个超几何分步，用ξ表示其中男生的人数，ξ可能取的值为1，2，3.结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和方差．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查运用概率知识解决实际问题的能力．14.答案：解析：试题分析：则题意可得，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，从而有，所以，所以数列的前99项的和为．考点：数列的性质与求和．15.答案：(−1)n⋅2n(n−1)2解析：本题考查了递推关系、数列的通项公式、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列{a n}满足a1=−1，a2>a1，|a n+1a n |=2n(n∈N∗)，可得|a2a1|=2，a2=2，a3=−8，a4=64，…，由于数列{a2n−1}单调递减，数列{a2n}单调递增，可得a n+1a n=−2n，利用“累乘求积”即可得出．解：∵数列{a n}满足a1=−1，a2>a1，|a n+1a n|=2n(n∈N∗)，∴|a2a1|=2，解得a2=2.同理可得：a3=−8，a4=64．∵数列{a2n−1}单调递减，数列{a2n}单调递增，∴a n+1a n=−2n，∴a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a3a2⋅a2a1⋅a1=(−1)n×2n−1×2n−2×…×22×2×1=(−1)n×2n(n−1)2．∴a n=(−1)n⋅2n(n−1)2．故答案为：(−1)n⋅2n(n−1)2．16.答案：1+12+13<2解析：解：1+12+13+⋯+12n−1<n(n∈N∗，且n≥2)，左侧的表达式的分母可知第k项是由1，2，3，到2k−1，结束；第一步要证的不等式是：1+12+13<2．故答案为：1+12+13<2．观察不等式的特点，然后写出结果即可．本题考查数学归纳法的应用，注意观察表达式的特征是解题的关键．17.答案：解：z =(x −2)+(x +3)i ．(1)由x +3=0，得x =−3．∴当x =−3时，复数z 为实数；(2)由x +3≠0，得x ≠−3．∴当x ≠−3时，复数z 为虚数；(3)由{x −2=0x +3≠0，解得x =2． ∴当x =2时，复数z 是纯虚数．解析：(1)由虚部等于0求得x 的值；(2)由虚部不为0求得x 的值；(3)由实部为0且虚部不为0求得x 的值．本题考查复数的基本概念，是基础的会考题型．18.答案：解：设甲、乙、丙3名运动员击中目标分别为事件A ，B ，C ，则P(A)=0.7，P(B)=0.8，P(C)=0.85，所以P(A −)=1−0.7=0.3，P(B −)=1−0.8=0.2，P(C −)=1−0.85=0.15，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=P(A −B −C −)=0.3×0.2×0.15=0.009P(X =1)=P(AB −C −)+P(A −BC −)+P(A −B −C)=0.7×0.2×0.15+0.3×0.8×0.15+0.3×0.2×0.85=0.108，P(X =2)=P(ABC −)+P(AB −C)+P(A −BC)=0.7×0.8×0.15+0.7×0.2×0.85+0.3×0.8×0.85=0.407，P(X =3)=P(ABC)=0.7×0.8×0.85=0.476，所以X 的分布列为解析：先利用对立事件的概率求出3名运动均未击中目标的概率，由于3名运动员是否击中目标互不影响，所以随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，然后结合独立事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得解．本题考查离散型随机变量的分布列、独立事件的概率、对立事件的概率，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．19.答案：解：设a i ，i =1，2，3是3个持有100元纸币的观众，b i ，i =1，2，3，4是4个持有50元纸币的观众，下标号码分别表示他们排队的先后顺序．设A i 表示“第i 个持有100元纸币的观众a i 不需要等候找钱”事件，i =1，2，3．观众a i 与4个持有50元纸币的观众b 1，b 2，b 3，b 4共5个人排队时，a 1不应排在第1的位置，所以P(A 1)=45．在事件A 1发生的条件下，观众a 2与不排在a 1前面的另外3个持有50元纸币的观众共4人排队时，a 2不应排在第1个位置，∴P(A 2|A 1)=34．同理，可知P(A 3|A 1A 2)=23．所以3个持有100元纸币的观众不需要等候找钱的概率为P(A 1A 2A 2)=P(A 1)P(A 2/A 1)P(A 3/A 1A 2)=45×35×23=25．答：买票过程中没有一个人等候找钱的概率为25解析：买票过程中没有一个人等候找钱的概率，即买票过程中可以直接找零．本题考查了条件概率，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，∴概率是P =C 43×(12)4×13+(12)4×(23)3=11108； (Ⅱ)ξ可能取值有1，2，3，4，P(ξ=2)=C 43×(12)4×13+(12)4×C 31×13×(23)2=19，P(ξ=3)=(12)4×C 32×(13)2×23=172，P(ξ=4)=(12)4×(13)3=1432，P(ξ=1)=1−P(ξ=2)−P(ξ=3)−P(ξ=4)=377432．∴ξ的分布列是ξ1234P 377432191721432数学期望是Eξ=377432+29+372+4432=5548．解析：(Ⅰ)该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出；(Ⅱ)ξ可能取值有1，2，3，4，P(ξ=1)=1−P(ξ=2)−P(ξ=3)−P(ξ=4)，P(ξ=2)表示投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球与投三次3分球只投中一次三分球，P(ξ=3)表示投中四个二分球两个三分球，P(ξ=4)表示投中四个二分球与3个三分球，可得ξ的分布列，利用数学期望计算公式即可得出．本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)证明：由正弦定理可得sinBcosB=sinCcosC，即sin2B=sin2C，∵b≠c，∴2B+2C=180°，∴B+C=90°，∴∠BAC=180°−90°=90°，(Ⅱ)：如图所示：过点C做CE⊥AC，∵BC=4，BC=4CD，∴CD=1，BD=5，∵∠BAC=90°，∴CE//AB，∴CEAB =DEAD=CDBD=15，设CE=x，则AB=5x，∵∠CAD =30°，∴AE =2x ，AC =√3x ，∴DE DE+2x =15， ∴DE =12x ，∵AB 2+AC 2=BC 2，∴25x 2+3x 2=16，解得x =2√77， 在△CED 中，∠CED =120°，CE =2√77，CD =1， 由正弦定理可得CE sinD =CD sin∠CED ，即sinD =2√77×√321=√217， cosD =√1−sin 2D =2√77， ∴tanD =sinD cosD =√32． 解析：(Ⅰ)根据正弦定理以及二倍角公式即可证明，(Ⅱ)如图所示：过点C 做CE ⊥AC ，根据平行线分线段成比例定理，设CE =x ，则AB =5x ，AD =52x ，再根据勾股定理可得x 的值，再由正弦定理，sinD =√217，再根据同角的三角函数的关系即可求出答案．本题考查了解三角形的有关知识以及平行线分线段成比例定理和正弦定理和同角的三角函数的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．22.答案：解：根据题意得，函数f′(x)=3x 2+2ax −a 2(a ∈R)；(1)当a =1时，f′(x)=3x 2+2x −1=0⇒x =−1或13；令f′(x)>0⇒x <−1或x >13；令f′(x)<0⇒−1<x <13；∴函数f(x)的极大值为f(−1)=−1+1+1−1=0；极小值为f(13)=127+19−13−1=−3227；(2)∵f(x)≥−2对任意的x ∈(0,+∞)恒成立⇔x 3+ax 2−a 2x +1≥0对任意x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=x 3+ax 2−a 2x +1，∴g′(x)=3x 2+2ax −a 2=(3x −a)(x +a)；令g′(x)=0⇒x =−a 或x =a 3；①当a =0时，原式恒成立；②当a ≠0时，只需满足{g(−a)≥0g(a 3)≥0，即{−a 3+a 3+a 3+1≥0a 327+a 39−a 33+1≥0，解得{a ≥−1a ≤3275； ∴a 的最小值为a =−1．(3)∵不等式f(x)≥0在(−∞,−1]上有解⇔f(x)在(−∞,−1]上的最大值≥0；∴f′(x)=3x 2+2ax −a 2=(3x −a)(x +a)，令f′(x)=0⇒x =−a 或x =a 3；∴①当a =0时，f′(x)≥0在(−∞,−1]上恒成立，∴最大值为f(−1)=−1−1=−2<0不满足题意，(舍掉)；②当0<a <1时，只需满足f(−1)=−1+a +a 2−1≥0，解得x ≤−2或x ≥1，不符合题意(舍掉)③当a ≥1时，需满足f(−a)=−a 3+a 3+a 3−1≥0，解得a ≥1；④−1≤a 3<0 时, 即−3≤ a <0 时，只需f(−1)=−1+a +a 2−1≥0，解得x ≤−2或x ≥1，从而−3≤a ≤−2；⑤当a <−3时，只需f(a 3)=a 327+a 39−a 33−1≥0，解得a ≤3275；从而得a <−3 综上，a 的取值范围为(−∞,−2}∪[1，+∞)．解析：(1)带入a =1，通过求导判断出函数的单调性，即可求出极值；(2)将函数≥−2的恒成立问题转化为新函数g(x)=x 3+ax 2−a 2x +1≥0恒成立的问题，通过求导判断出函数的最小值，带入求出a 的范围即可；(3)原题可转化为函数f(x)在(−∞,−1]上的最大值≥0求出a 的范围的问题，通过分情况谈论求出f(x)在(−∞,−1]上的最大值即可，注意分清楚条件．本题主要考查了导数在函数中的应用，综合性强，有难度．。
高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案
高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案高二年级下学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 $2-i$ 与 $2+i$ 的商为（）A。
$1-\frac{4}{5}i$。
B。
$\frac{33}{43}+\frac{4}{5}i$。
C。
$1-\frac{1}{5}i$。
D。
$1+\frac{1}{5}i$2.设有一个回归方程为 $y=2-2.5x$，则变量 $x$ 增加一个单位时（）A。
$y$ 平均增加 $2.5$ 个单位。
B。
$y$ 平均减少$2.5$ 个单位。
C。
$y$ 平均增加 $2$ 个单位。
D。
$y$ 平均减少 $2$ 个单位3.所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）.A。
类比推理。
B。
演绎推理。
C。
合情推理。
D。
归纳推理4.点 $M$ 的极坐标 $(5,\frac{2\pi}{3})$ 化为直角坐标为（）A。
$(-\frac{5\sqrt{3}}{2},-2)$。
B。
$(2,-2)$。
C。
$(-\frac{5}{2},2)$。
D。
$(2,2)$5.用反证法证明命题“若 $a^2+b^2=0$，则 $a$、$b$ 全为$0$（$a$、$b\in R$）”，其假设正确的是（）A。
$a$、$b$ 至少有一个不为 $0$。
B。
$a$、$b$ 至少有一个为 $0$。
C。
$a$、$b$ 全不为 $0$。
D。
$a$、$b$ 中只有一个为 $0$6.直线 $y=2x+1$ 的参数方程是（$t$ 为参数）（）A。
$\begin{cases}x=t^2\\y=2t^2+1\end{cases}$。
B。
$\begin{cases}x=2t-1\\y=4t+1\end{cases}$。
C。
$\begin{cases}x=t-1\\y=2t-1\end{cases}$。
D。
$\begin{cases}x=\sin\theta\\y=2\sin\theta+1\end{cases}$7.当 $\frac{2}{3}<m<1$ 时，复数 $m(3+i)-(2+i)$ 在复平面内对应的点位于（）A。
高二数学下学期期中考试试卷含答案
高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。
$(-\infty。
-1]\cup [2,+\infty)$B。
$(-1,+\infty)$C。
$(-\infty,1]$D。
$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。
$5x-y-3=0$B。
$5x-y+3=0$C。
$3x-y-1=0$D。
$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。
$x=\frac{\pi}{6}$B。
$x=\frac{\pi}{4}$C。
$x=\frac{\pi}{3}$D。
$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。
$90^\circ$B。
$60^\circ$C。
$45^\circ$D。
河南省商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试数学(理)试卷
数学（理科）试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]2.在ABC V 中，“A 45=o”是“sinA =”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 45.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40B. 80C. 36D. 576.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为（ ）A.532B.16C.516D. 以上都不对7.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B，且|||AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ）AC. 28.设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 59.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a <<10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A. 1B. 34-C. 3-D.1311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,32⎡⎢⎣⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 13,48⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数()ln 2f x x =+，则不等式()232f x -<的解集为_______.14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真.命题，则实数a 的取值范围是________________.16.设函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x +=，若对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A大小；（2）设ABC V 的面积为a 的取值范围.18.如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD，AB =（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1212,F F F F =、，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且124AF AF += （1）求椭圆C方程；（2）若A 、B 两点关于原点O 的对称点分别为,A B ''，且AOB 90∠=o ，判断四边形ABA B ''是否存在内切的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.的（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21.已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--（1）若函数()f x 在x =1时取得极值，求实数a 的值； （2）当0＜a ＜1时，求()f x 零点的个数.22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=. （1）求曲线C 1方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.23.已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.。
河南省商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试数学(理)考试试卷
数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号.考场号.座号.考试科目涂写在答题卡上． ２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合}31|{},06|{2≤≤=<-+=x x N x x x M ，则=N M I ( ) A.]2,1[ B.)2,1[ C.]3,2（ D.]3,2[2.已知△ABC 中，“4π=∠A ”是“22sin =A ”的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在复平面内,复数i 32i15-+对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ,则目标函数y x z 32+=的最大值为( )A.10B. 9C.8D. 4 5.已知是等差数列的前项和,若,,则=6S ( )A.40B.80C.36D.576.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为()A.325 B. 61 C. 165D.以上都不对 7.己知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||32||OF AB =(O 为原点),则双曲线的离心率为( )A.3B. 2C. 2D. 58.设随机变量)9,1(~N X ，且)1(0(-≥=≤a X P X P ），则实数a 的值为（ ） A.2 B. 3 C. 4 D. 59.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则( )A ．a c b << B. a b c << C. c b a << D. b c a<<10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++= ( )A.1B. 34-C. 3-D. 1311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上,则实数的取值范围是（ ）A.)83,41(B. )21,41(C. )21,61(D. )1,41( 第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数x x x f 2ln )(+=,则不等式2)3(2<-x f 的解集为_______.14.已知1x >-，则函数()()521x x y x ++=+的最小值为________.15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 16.设函数)(),(x g x f 分别是定义在上的奇函数和偶函数,且xx g x f 2)()(=+,若对]2,21[∈x ,不等式0)2()(≥+x g x af 恒成立,则实数a 的取值范围是__________.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17.已知，在AB C ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且A b B a cos 3sin =． (1)求角A 的大小；(2)设AB C ∆的面积为33，求a 的取值范围．18.如图与都是边长为的正三角形,平面平面,平面,.(1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值.19.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左.右焦点分别为32||,,2121=F F F F ，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点,且4||||21=+AF AF (1)求椭圆C 的方程；(2)若B A ,两点关于原点O 的对称点分别为B A '',,且ο90=∠AOB ,判断四边形B A AB ''是否存在内切的定圆?若存在,请求出该内切圆的方程;若不存在,请说明理由.20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量(mg)683895662775 10 6788469株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量合计 植株存活 1 植株死亡 合计20（2） ①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ξ为“植株死亡”的数量，求ξ得分布列和期望ξE ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求ηD .2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21.已知函数x x a ax x f ln )2()(2--+=.(1)若函数)(x f 在1=x 时取得极值,求实数a 的值； (2)当10<<a 时,求)(x f 零点的个数.选做题：22，23两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 442(其中为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C 的极坐标方程为015sin 82=+-θρρ.(1)求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)过圆2C 的圆心2C ,倾斜角为4π的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,则||||22BC A C +的值.23.已知|12||1|)(--+=x x x f . (1)求不等式0)(>x f 的解集；(2)若R x ∈,不等式32)(-+≤a x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.高二数学（理科）试卷参考答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BADBDCCBACAB二．填空题13. )2,3()3,2(Y -- 14. 9 15. 12=-≤a a 或 16. [2,)+∞-2 三.解答题：17.解：（1）sin =3cos a B b A ．由正弦定理可得：sin sin =3sin cos A B B A ， 又sin 0B ≠，可得：tan 3A =，又(0,)A π∈，所以3A π=．........6分（2）因为3A π=，ABC ∆的面积为1333sin 2bc A bc ==，解得12bc =......8分 由余弦定理可得：22222cos 223a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-≥=， 当且仅当23b c ==时等号成立．综上，边a 的取值范围为[23,)+∞．...........12分 18.取CD 中点O ,连OM OB ,,则CD OM CD OB ⊥⊥,, 又平面⊥MCD 平面BCD ,则⊥MO 平面BCD ,........1分 以O 为原点,直线OM BO OC ,,为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图,3==OM OB ,则各点坐标分别为)0,0,0(O ,)0,0,1(C ,)3,0,0(M ,)0,3,0(-B ,)32,3,0(-A ,2分(1)设),,(z y x n =是平面MBC 的法向量,则)3,3,0(),0,3,1(==BM BC , 由BC n ⊥得03=+y x ;由BM n ⊥得033=+z y ,..........4分 取)1,1,3(--=n ,则距离5152||==n n BA d ..............6分 (2))32,3,1(),3,0,1(--=-=CA CM ,,设平面的法向量为),,(1111z y x n =,由n ⊥1得0311=+-z x ;由n ⊥1得0323111=+--z y x ,......9分 取)1,1,3(1=n ,又平面BCD 的法向量为)1,0,0(=n , 则51,cos 111=>=<n ,.....11分 设所求二面角为θ,则552cos 1sin 2=-=θθ......12分 19. (1)因为32||21=F F ,所以3c =因为直线l 与椭圆C 交于,两点,且12||4||AF AF =-,所以12||||4AF AF +=,所以24a =,解得2a =,所以2221b a c =-=,所以椭圆的方程为1422=+y x ......4分(2)①当直线l 的斜率k 存在时,设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=,222222644(41)(44)16(41)k m k m k m ∆=-+-=+-,.....6分所以12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,,因为ο90=∠AOB ,所以OB OA ⊥,0=⋅,即22222222212121212222448544(1)()(1)0414141m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++,.....8分所以22445k m +=,所以原点O 到直线l 的距离2||2551m d k ==+..........9分 根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......10分 ②当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x n =,不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上.下交点,则22(4)(4)(,),(,)22n n A n B n ---,由,得,22404n n --=,解得245n =, 所以此时原点到直线的距离为255.根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=. .综上可知,四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......12分 20.(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计15520635.6934.5515713)13412(2022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………6分①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2,3. 其中53)2(3524===C C P ξ， 52)3(3534===C C P ξ………………8分ξ的分布列为：所以55352=⨯+⨯=ξE .………10分②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为532012==p 332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯= ………………12分21.(1))(x f 定义域为)0(∞+，,xax x x x a ax x f )1)(12(1)2(2)(-+=--+=', 由已知,得0)1(='f ,解得1=a ,.....2分 当1=a 时,xx x x f )1)(12()(-+=',所以,100)(<<⇔<'x x f ,,10)(>⇔>'x x f ,所以)(x f 减区间为)10(，,增区间为)1(∞+，,.....4分所以函数)(x f 在1=x 时取得极小值,其极小值为0)1(=f ,符合题意,所以1=a ......5分(2)令0)1)(12()(=-+='x ax x x f ,由,10<<a ,得,11>=ax .....6分所以a x x f 100)(<<⇔<',a x x f 10)(>⇔>',所以)(x f 减区间为)10(a ，,增区间为)1(∞+，a ,所以函数)(x f 在a x 1=时取得极小值,其极小值为aa a f 11ln )1(-+=,.....8分因为10<<a ,所以0ln <a ,11>a,所以011<-a ,所以011ln )1(<-+=aa a f ,因为021212)1(2>+-=+->+-+=ee a e a e a e a ef , 根据零点存在定理,函数)(x f 在)10(a，上有且仅有一个零点,.....10分因为x x ln >,)3()2(ln )2()(22-+=--+>--+=a ax x x x a ax x x a ax x f ,令03>-+a ax ,得a a x ->3,又因为10<<a ,所以aa a 13>-, 所以当a a x ->3时,0)(>x f ,根据零点存在定理,函数)(x f 在)1(∞+，a上有且仅有一个零点,所以,当10<<a 时,)(x f 有两个零点......12分22.(1)曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x =......2分 曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-=......5分(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4),直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+==⋅=t t y t t x 2244sin 4224cos ππ(其中为参数),.....7分代入24y x =可知22320t t ++=,.....8分因为1232t t =,可知2212||||||2C A C B t t +=+=4......10分23. (1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=--+=21,2211,31,2|12||1|)(x x x x x x x x x f ......2分当1-<x 时,由02>-x 得2>x ,即解集为Φ,当211≤≤-x 时,由03>x 得0>x ,解集为]210(，, 当21>x 时,由02>-x 得2<x ,解集为)2,21(,综上所述,0)(>x f 的解集为)2,0(......5分(2)不等式32)(-+≤a x x f 恒成立等价于32)(-≤-a x x f 恒成立,则max ])([32x x f a -≥-,.....6分 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=-=21,22211,21,2)()(x x x x x x x f x g ,.....7分 则1)(max =x g ,即2132≥⇒≥-a a .....9分 所以实数a 的取值范围是),2[+∞......10分。
河南省商丘市第一高级中学2020-2021高二下学期期中考试数学(文)试卷
河南省商丘市第一高级中学2019-2020高二下学期期中考试数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ） A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]2．在ABC 中，“A 45=”是“sinA =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．45．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A ．40B ．80C ．36D ．576．己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B，且|||AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D7．已知x ，y 的线性回归直线方程为0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A ．变量x ，y 之间呈现正相关关系B ．可以预测，当5x =时， 5.37y =C ． 2.09m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.58．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<9．如下图，四边形ABCD 中，135,120BAD ADC ∠=∠=，45,60,3BCD ABC BC ∠=∠==，则线段AC 长度的取值范围是（）A．B ．32⎡⎢⎣C．D ．32⎛⎝ 10．在等比数列{}n a 中，若1634a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A ．1B ．34-C ．3-D ．4311．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．13⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦12．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()'f x ()12x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．()()()161941f f f -<<+ B ．()()()419161f f f +<<- C ．()()()52411f f f +<<-D ．()()()11452f f f -<<+二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．15．设直线x t =与函数()2f x x =，()2lng x x =的图象分别交于点,M N ，则当MN达到最小值时，t 的值为________．16．已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________.三、解答题17．已知，在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A 的大小； （2）设ABC的面积为a 的取值范围.18．已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =，数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n n a b +的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和.19．在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22⨯列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为4.（1）根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.（2）现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人，则3人中至少2人使用手机支付”的概率.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中 n a b c d =+++） 20．已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113eOF OA AF+=，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（0,1）的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求OMN ∆面积的最大值. 21．已知函数()2ln f x x a x =--，R a ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）当2a =-时，若直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过圆2C 的圆心2C ，倾斜角为34π的直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则22C A C B +的值.23．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】试题分析：因为2{|60}(32)M x x x =+-<=-，，所以M N ⋂=[1,2)，选A. 考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 4．在解决有关A∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解． 2．A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果. 【详解】当A 45=时，sinA 2=成立．若当A 135=时，满足sinA 2=．即由“A 45=”能推出“sinA =”；反之不一定成立.所以，“A 45=”是“sinA =”的充分不必要条件． 故选A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 3．D 【分析】 化简5312i i-+成标准形式即可【详解】 解：()()()5125510333151212125i ii i i i i i i ---=-=-=-++⋅- 所以复数5312i i-+对应的点位于第四象限 故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题. 4．B 【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可 【详解】解：作可行域如图：()2503,,3,1201x y x A x y y +-==⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩ 由23z x y =+得233z y x =-+， 当233zy x =-+过()3,1A ，截距最大，此时max 2323319z x y =+=⨯+⨯= 故选：B 【点睛】考查线性规划求最大值，基础题. 5．D 【分析】由5766234,17a a a a +===，代入求和公式即可. 【详解】解：5766234,17a a a a +===()()166********2a a S ⨯+⨯+===故选：D 【点睛】考查等差数列求和，基础题. 6．C 【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合|||AB OF =，找到a c 、关系可求离心率. 【详解】解：24y x =的准线1l x =-：，||1OF =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程b y x a=- 1x =-时，by a=，|||AB OF =，根据对称性，有11,2b b a =⨯∴= )2222,3,b b a ==又222,b c a =-224,2cc a a== 故选：C 【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题. 7．C 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y 的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）． 【详解】已知线性回归直线方程为y =0.82x +1.27，b =0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y =0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m +3.1+4.3）8.24m+=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题． 8．A 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->， 即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A 【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题. 9．B 【详解】当AC AB ⊥时，AC3sin 2B =，故选B. 10．C 【分析】利用等比数列{}n a 的性质及其16253434a a a a a a =-==，234594a a a a +++=，可得2534234525341111a a a a a a a a a a a a +++++=+，代入即可得出． 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，16253434a a a a a a =-==，234594a a a a +++=，∴253423452534111143934a a a aa a a a a a a a +++++=+==--．故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．C 【解析】如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围．本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围． 12．A 【分析】构造函数()()g x f x =()g x 单调递减，于是()()()1694g g g <<，化简即可得出结论． 【详解】解：1()2x '<，()f x ∴'<，令()()g x f x =()()0g x f x '='<，()g x ∴在(0,)+∞上是减函数，()()()1694g g g ∴<<，即()()()1649342f f f -<-<-， ()()()161941f f f ∴-<<+． 故选：A ． 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，构造()g x 是解题关键，属于中档题． 13．(1,0)(1,)【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．9 【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母1x +，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值. 试题解析：由1x >-得10x +>，则()()()()()()()21411521514415591111x x x x x x y x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++++++++⎣⎦⎣⎦====+++≥=++++当且仅当1x =时，上式取“=”，所以min 9y =. 考点：基本不等式；构造思想和发散性思维. 15．1 【分析】先构造函数：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-，再利用导数求函数的单调性及极值：由22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=，即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，即()()1min h t h =，得解．【详解】解：设2()()()2h t f t g t t lnt =-=-， 则22(1)(1)()2t t h t t t t-+'=-=， 当01t <<时，()0h t '<，当1t >时，()0h t '>， 即函数()h t 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，即()()1min h t h =，即当||MN 达到最小值时，t 的值为1， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题． 16．2a ≤-或1a = 【分析】命题命题p 为真时，1a ∴； 命题命题q 为真时，所以1a 或()22a ≤-，则由()()12得2a -或1a = 【详解】解：命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥，()i 3m nax ∴，()11a ∴，命题: q x R ∃∈，2 220x ax a ++-=，则244(2)0a a ∆=--，所以1a 或()22a ≤-若命题p q ∧为真命题，则由()()12得2a -或1a = 故答案为：2a - 或1a = 【点睛】考查根据“若命题p q ∧为真命题，则命题p 为真且q 为真”求参数范围，基础题.17．（1）3π；（2）)+∞ 【分析】（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，化简整理即可（2）ABC 的面积为1sin 2bc A ==，得12bc = ，由余弦定理可得：a ==【详解】解：（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，又sin 0B ≠，可得：tan A = 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC 的面积为1sin 24bc A bc ==，解得12bc =由余弦定理可得：a ==当且仅当b c ==.综上，边a 的取值范围为)+∞ 【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题. 18．(Ⅰ) 4n n a b n +=；（Ⅱ）222323n n n +-⋅+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求解数列的和 试题解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得2q =. 所以11132n n n a a q --=⋅=⋅.设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得()()44111644413a b a b d +-+-===-.所以()()1114n n a b a b n d n +=++-=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432n n b n -=-⋅.数列{}4n 的前n 项和为()21n n +； 数列{}132n -⋅的前n 项和为()321n⋅-所以，数列{}n b 的前n 项和为222323n n n +-⋅+. 19．（1）列联表见解析，有；（2）710【分析】（1）根据已知条件求出老年的人数，青年的人数，即可完成22⨯列联表，并根据此资料求出2K ，即可判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”． （2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ，列出事件数目，然后求解至少有2人是不使用手机支付的概率． 【详解】 解：（1）从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为45∴使用手机支付的人群中的青年的人数为46048⨯=人，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为60-4812=人，所以22⨯列联表为：()()()()()()22210048281212K 2510.82860406040n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.（2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中： 使用手机支付的人有6053100⨯=人，使用手机支付的人有3人，记编号为1，2，3；不使用手机支付的人有2人，记编号为a ，b ，则从这个样本中任选3人有()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,1,,,2,3,,2,3,,2,,,3,,a b a b a b a b a b a b 共10种其中至少有2人是使用手机支付的()()()()()()()1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,2,3,,2,3,,1,2,3a b a b a b 共7种，故所求概率为710【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查古典概型概率的求法以及计算能力，属于中档题．20．(1) 22143x y +=;(2)3. 【分析】（1）设椭圆的焦半距为c ，结合题意分析可得113e c a a c+=-，结合椭圆的几何性质可得a 、b 的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）由题意分析可得直线l 与x 轴不垂直，设其方程为y=kx +1，联立l 与椭圆C 的方程，可得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0，结合根与系数的关系可以用k 表示|MN |与O 到l 的距离，由三角形面积公式计算可得△OMN的面积21243S d MN k ==+=，由基本不等式分析可得答案．【详解】（1）设椭圆的焦半距为c ，则OF c =，OA a =，AF a c =-.所以113e c a a c +=-，其中c e a=，又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =. 所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形.当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+. 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ，得()2243880k x kx ++-=.于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是()()22832430k k ∆=++>，这显然成立.设点()11,M x y ，()22,N x y . 由根与系数的关系得122843kx x k +=-+，122843x x k =-+.所以12MN x =-=，又O 到l的距离d =. 所以OMN ∆的面12S d MN ===令2433t k =+≥，那么S ==≤，当且仅当3t =时取等号.所以OMN ∆. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21．（1）当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值.（2）21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.【分析】 （1）求得()1a x afx x x'-=-=，可分0a ≤和0a >两种情况分类讨论，得出函数的单调性，即可求得函数的极值；（2）当2a =-时，把直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解，即2ln 1x k x -=在()0,∞+上没有实数解，令()2ln xg x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与极值，即可求解实数k 的取值范围. 【详解】（1）()2ln f x x a x =--定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x'-=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为()0,∞+上的增函数，所以函数()f x 无极值. ②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()2ln f a a a a =--，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值. （2）当2a =-时，()22ln f x x x =-+，直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+ 在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解， 即2ln 1xk x-=在()0,∞+上没有实数解. 令()2ln xg x x =，则有()()221ln x g x x-'=.令()0g x '=，解得e x =， 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：且当0x →时，()g x →-∞；e x =时，()g x 的最大值为2e；当x →+∞时，()0g x →， 从而()g x 的取值范围为2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.所以当()21,e k ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭时，方程()12ln k x x -=无实数解，解得k 的取值范围是21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值，以及函数与方程思想的应用，试题综合性较强，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握导数与函数性质的关系是解答关键，同时准确求解函数的导数也是一个重要的环节.22．（1）1C ：24y x =，2C ：22(4)1x y +-=；（2）【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin 150ρρθ-+=变为直角坐标的方程为：22(4)1x y +-=(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l的参数方程为3cos4234sin 442x t y t t ππ⎧=⋅=-⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知2320t ++=，因为1232t t =，12t t +=2212||||||C A C B t t +=+=【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞ 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥所以实数a 的取值范围是[2,)+∞ 【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。
2019年下学期河南省商丘市九校高二期中文科数学试卷(附答案)
2019年下学期河南省商丘市九校高二期中文科数学试卷（附答案）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在．．．．．．答题卷上．．．．） 1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列两个量之间的关系是相关关系的为（ ） A ．正方体的体积与棱长的关系 B ．学生的成绩和体重C ．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D ．水的体积和重量3．已知复数2i z =-，则z 的值为（ ） A ．5 B ． C ．3 D ．4．一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，收集了好几组数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为93.7319.7+=x y ，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）A ．身高在145．83cm 左右B ．身高在145．83cm 以上C ．身高一定是145．83cmD ．身高在145．83cm 以下⋅z 535．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°” 时，应该假设（ ） A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ． 三个内角至少有两个大于60°6．有一段“三段论”，其推理是这样的“对于可导函数)(x f ，若0)(0='x f ，则0x x =是函数)(x f 的极值点，因为函数3)(x x f =满足0)0(='f ，所以0=x 是函数3)(x x f =的极值点”，以上推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．没有错误 7．下列推理是演绎推理的是（ ）A ．由圆222r y x =+的面积2r S π=，猜想椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的面积ab S π=B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电C ．猜想数列,,431,321,211 ⋅⋅⋅的通项公式为)()1(1*N n n n a n ∈+=D ．半径为r 的圆的面积,2r S π=则单位圆的面积π=S 8．复数4312ii++的共轭复数的虚部是（ ） A ．i - B ．1- C ．1 D ．i9．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是 ( )A ．6B ．21C ．156D ．23110．观察下列各式：==，=…=，则n m -=（ ）A ．43B ．73C ．57D ．9111．两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据()()(),,,...,,,,2211n n y x y x y x 则下列说法中不正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归方程∧∧∧+=a x b y 必过样本点的中心()y x , B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为9462.0-=r ，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 12．在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：最后发现，两个分类变量x 和y 没有任何关系，则m 的可能值是（ ） A ．200 B ．720 C ．100 D ．180第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程为y=0.254x+0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下．甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 ． 15．已知i 为虚数单位，则201832i i i i ++++L = ．16．从中，得第个等式是________．三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．） 17．（本小题12分）求证：(1)223)a b ab a b ++≥++； (2) 6+7>22+5．22211,2343,345675=++=++++=n18．（本小题满分12分）已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z-4为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数2)z 在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围(mi19．（本小题满分12分）在2017年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，发现销售量y （Ⅰ）求销售量y 对商品的价格x 的回归直线方程； （Ⅱ）欲使销售量为12，则价格应定为多少．注：在回归直线a x by ˆˆ+=中，∑∑==--=ni ini ii x n xy x n yx b 1221ˆ，aˆ＝y －b ˆx ．20．在数列{}n a 中，11a =，当n≥2时，112.2n n n a a a --=+ （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项n a ，并证明你的结论21．(本小题满分12分)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高二年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．（1）估计男、女生各自的平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；（2）规定80分以上者为优分（含80分），请你根据已知条件作出22⨯列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．附表及公式：()()()()()dbcadcbabcadnK++++-=22请考生在（22）．（23）．两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分． 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B ．（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（223．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数)(6)(R m x m x x f ∈--+=． （Ⅰ）当m ＝3时，求不等式)(x f ≥5的解集；（Ⅱ）若不等式)(x f ≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在．．．．．．答题卷上．．．．） 1-6：BCAABA 7-12：DCDBCB第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．0.254 14．甲15．-1+I 16．2)12()23()2()1(-=+++++++n n n n n L三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）17．证明：（1） ∵222a b ab +≥， --------223a +≥， ---------423b +≥ ;将此三式相加得222(3)2a b ab ++≥++，∴223)a b ab a b ++≥+． --------6 （2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2，------8 即证402422>即证42>40-------------------------10∵上式显然成立，∴原不等式成立．------------------------------1218．解：（1）设(),z x yi x y R =+∈．----------1分由2z i +i y x )2(++=为实数，得02=+y ，即2y =-．---------- 3分由4z -yi x +-=)4(为纯虚数，得4x =．---------- 5分∴i z 24-=． ---------- 6分（2）∵i m m m mi z )2(8)124()(22-+++-=+，---------- 8分根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+,0)2(8,04122m m m 解得22<<-m ，∴实数m 的取值范围是()2,2-． ---------- 12分19．解：（1） 3.240y x =-+；……6分（2）8.75x =………12分20．（1）当2≥n 时，11=a ，由2211+=--n n n a a a 得，322=a ，213=a ，524=a ．．．．．．．．4分 （2）猜想：12+=n a n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 证明：当2≥n 时，由2211+=--n n n a a a 得，211221111+=+=---n n n n a a a a ．．．．．．． 8分 21111=-∴-n n a a ， 又因为11=a ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是以1为首项，21为公差的等差数列．．．．．．．．．．．．．．． 11分 12+=∴n a n ．．．．．．．．．．．．．． 12分 21．（1）男生的平均分为：5.7115.0951.08525.0753.06515.05505.0451=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-x ．．．．．．．．．2分 女生的平均分为：5.7105.095325.08525.075125.0651.05515.0452=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-x ．．．4分 从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关． ．．．．．．．．．．．．5分（2）由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得22⨯列联表如下：8分可得()79.1703040604515251510022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K，．．．．．．．．．．．．．．10分 因为706.279.1<，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．．．．．．．12分22．解：（1）∵直线l 过点(1,2)P -，且倾斜角为45．∴直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t ⎧=+⎨=-+⎩（t 为参数）， 即直线l 的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）． （3分）∵2sin 2cos ρθθ=，∴22sin 2cos ρθρθ=．∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （5分）（2）把1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22y x =并整理得240t -+=． （8分）∵(2440∆=--⨯>设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则124t t ⋅=． （10分） ∴4PA PB ⋅=． （12分）23．解：（1）当3m =时，()5f x ≥即|6||3|5x x +--≥， ①当6x <-时，得95-≥，所以x φ∈；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤； ③当3x >时，得95≥，成立，所以3x >．…………………………………4分 故不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥．…………………………………5分 （Ⅱ）因为|6||||6|x m x x m x +--≤++-＝|6|m + (当且仅当()()06≤-⋅+x m x 取等号） 由题意得67m +≤，则767m -≤+≤， …………8分 解得131m -≤≤，故m 的取值范围是[13,1]-．……………………………………………10分。
河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理【含答案】
4．已知函数 f x
在 ,单调递减，且为奇函数，若 f 1 1
，则满足
1 f x 2 1的 x 的取值范围是( ）
A . 2,2
B .1,1
C . 0,4
D .1,3
5．已知函数 f x 5 x ， gx ax2 x ，若 f g1 1，则 a ( )
A .1
B.2
6．已知函数
f
x
x 6, 3 loga
两两互
以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向， 为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系
，
由题设知
，
则
，
设
是平面
的法向量，则
，即
。
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
，
由已知得 分
，化简得曲线 C 的方程：
-----4
（2）假设存在点
满足条件，则直线 的方程是
频数
3
8
9
12
10
5
3
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在
（2）求这 50 件产品尺寸的样本平均数 x ；
的概率；
（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸 z 服从正态分布 N (, 2 ) ；其中
近似为样本平均值 x ， 2 近似为样本方差 S 2 ，经计算得 S 2 22.37 ，利用正态分布，
A .3
B .4
C. 7
D .8
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1, D .1,1
2020年商丘市高中必修二数学下期中一模试题附答案
2020年商丘市高中必修二数学下期中一模试题附答案一、选择题1．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥2．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( ) A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒3．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．3D ．64．对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8π B ．12π C ．20π D ．24π 6．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或17．已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．68．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ） A ．5B ．6C ．35D 419．已知点()1,2-和33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行12．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等 C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α二、填空题13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．14．在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________15．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是． 16．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．17．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______18．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.19．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V ，则21V V =__________．三、解答题21．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 22．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明； (2)求三棱锥E －ABC 的体积.23．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ； （2）证明：//DE 平面ABC .24．已知过点()0,2P -的圆M 的圆心(),0a 在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为22．（1）求M 的标准方程；（2）若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A 、B 两点，若PAB △的面积为33，求直线l 的方程．25．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A ＝6，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．.26．在ABC ∆中，已知()1,2A ，()3,4C ，点B 在x 轴上，AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=. （1）求B 点坐标； （2）求ABC ∆面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系2．A解析：A 【解析】 【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角. 【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒， 若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合， 过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '， 所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.3．B解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=上的点连线段最小，所以，切线长的最小值为2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误；若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误. 故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.5．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B . 【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.8．A解析：A 【解析】 【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.故选：A . 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.9．D解析：D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (3,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1).()121, 3.0130PA PB k k ---==-==--∵点(1,−2)和(3,0)在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ<3，tanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确． ∴正确命题的个数是2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．11．D解析：D 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，Q 在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥Q 平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ^Q ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.12．D解析：D 【解析】 【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为解析：2【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 距离最小，易知最小值为214．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球 解析：50π【解析】 【分析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===， 以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为2221523452R =++=， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为225244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.15．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法16．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：()1,4,1--【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】 设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--． 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=【解析】 【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解. 【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||210||221||||10||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠V V ，2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--u u u r u u u r ，解得55,33a b ==，55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.18．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】 【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB . 【详解】PA ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥I 平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.19．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析： 【解析】 【分析】推导出CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，两边平方可得CD 的长． 【详解】Q 二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222CA AB BD CA BD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==u u u r ．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．【解析】分析：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 再求详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 则故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这 解析：23【解析】分析：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h,再求21V V . 详解：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h, 则222212222111()233.3r h r h h r h r hV V r hr hππππππ-+-===故答案为：23. 点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)圆柱的体积为2V sh r h π==，圆锥的体积为21133V sh r h π==. 三、解答题21．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0- 【解析】 【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标. 【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）224225BC =+=，A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为245m n d +-=，由于A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.22．（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明见解析（2）6 【解析】 【分析】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可. 【详解】(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM ，EN ，取BC 的中点H ，连接AH ， ∵△ABC 是腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，∴AH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AH ⊂平面ABC ， ∴AH ⊥平面BCD ，同理可证EN ⊥平面BCD ， ∴EN ∥AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ， ∴EN ∥平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 的中点， ∴MN ∥BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC .又MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴平面EMN ∥平面ABC ， 又EF ⊂平面EMN ， ∴EF ∥平面ABC ，即直线MN 上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行. (2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ， 由(1)可知EN ∥平面ABC ，∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等， 又△BCD 是边长为2的等边三角形， ∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，易知DH ，∴NG ＝2，又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG . 【点睛】本题主要考查了线线平行，线面平行，面面平行的判定，面面垂直的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ； （2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC . 【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥， 又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥， 因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ； （2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点， 所以1//OE BB 且112OE BB =， 易得1//AD BB 且112AD BB =， 所以//AD OE 且AD OE =，所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ， 因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ， 所以//DE 平面ABC . 【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.24．（1）224x y +=；（2）1y =. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得圆M 的方程为()2224x a y a -+=+，求出圆心到直线20x y +-=的距离，结合M 截直线20x y +-=所得弦长为22利用勾股定理列方程可得a 的值，代入圆M 的方程即可得结果；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，结合直线与圆的位置关系可得AB 的值，求出点P 到直线AB 的距离，由三角形面积公式可得21343332k d AB +⨯⨯=='k 的值，代入直线l 的方程即可得结果． 【详解】（1）根据题意，圆M 的圆心(),0a 且经过点()0,2-，则圆M 的方程为()2224x a y a -+=+，圆心M 到直线20x y +-=的距离22a d -=，若圆M 截直线20x y +-=所得弦长为22，则有22222242a a ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解可得：0a =， 则2244r a =+=，则圆M 的方程为224x y +=；（2）根据题意，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆M 的方程为224x y +=，则圆心M 到直线l 的距离21d k=+，则222234221k AB r d k+=⨯-=+， 又由()0,2P -，则P 到直线l 的距离2221'11d kk+==++，若PAB △的面积为33，则21343332k d AB +⨯⨯=⨯='， 解可得：0k =， 则直线l 的方程为1y =． 【点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆方的位置关系，以及点到直线的距离公式与三角形面积公式的应用，涉及直线与圆相交弦长的计算，属于基础题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式2121l k x x =+-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解. 25．（1）见解析（2）45° 【解析】(1)以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，如图所示，则B (1,0,0)，A (0，0)，A 1(0)，M ⎛ ⎝⎭. 所以1A B u u u r ＝(1)，AM u u u u r＝0,⎛ ⎝⎭. 因为1A B u u u r ·AM u u u u r ＝1×0＋()＋()×20，所以A 1B ⊥AM .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥平面AMC .所以CB u u u r 是平面AMC 的一个法向量，CB u u u r＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA u u u r ＝(－10)，BM u u u u r＝1,0,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.由0,{0nBA nBM ==u u u r u u u u r得0{02x x z -=-+=，令z ＝2，得x，y. 所以n ＝，2)因为|CB u u u r |＝1，|n |＝cos 〈CB u u u r ，n 〉＝CB n CB n ⋅⋅u u u r u u u r＝2， 因此二面角B -AM -C 的大小为45° 26．(1) ()5,0B ; (2)6 【解析】 【分析】(1)根据AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=求得AB 的斜率,再设B 点坐标利用斜率求解即可.(2)求得直线AC 的方程,再计算B 点到直线AC 的距离与线段AC 的长度即可. 【详解】(1)由AB 边上的高线CD 所在直线的方程为220x y --=,其斜率为2,故直线AB 的斜率为1122k -==-.设()0,0B x 则00201512x x -=-⇒=-.故()5,0B (2)因为()1,2A ,()3,4C ,故42:131AC k -=-,故:2110AC l y x x y -=-⇒-+=. 又AC ==又B 点到直线AC的距离d == .故11622ABC S AC d ∆=⋅=⨯=. 【点睛】本题主要考查了直线方程的表达式与解析几何中的距离公式等,需要根据题意选取公式求解即可.属于中等题型.。
河南省商丘市第一高级中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 文
商丘市一高2018-16学年第二学期期中考试高二文科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把答案涂在答题卡相应的位置上.1．复数di c bi a ++与的积是实数的充要条件是（ ）A 0=+bc adB 0=+bd acC bc ad =D bd ac =2．在复平面内，复数iiZ 437++=（i 是虚数单位），则复数 Z 对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 用反证法证明某命题时，结论是:自然数c b a ,,中恰有一个是偶数。
正确的反设为（ ）A 三个数至少有两个偶数B 三个数至少有两个偶数或都是奇数C 三个数都是偶数D 三个数都是奇数4．下列命题错误．．的是（ ） A “ea 1=”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为减函数”的充分不必要条件；B 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“1x ≠，则2320x x -+≠”； C 在回归分析中，求得的线性回归直线至少过一个样本点；D 若命题:p n N ∃∈，21000n>，则非:p n N ∀∈，21000n≤.5. 探求凸多面体的面F 、顶点数V 和棱数E 之间的关系得到的结论是（ ）A 无确定关系B 2=-+V E FC 2=-+F V ED 2=-+E V F6.某程序如右图示，则运行后输出的结果是（ ） A 0.8 B 0.6 C 0.4 D 0.27. 函数y ＝xxa x（0＜a ＜1）的图象的大致形状是 （ ）是是否否开始结束输出AA=2A-1n=n+1A=2A n=n+1n≤20110≤A <0.5A=0.2n=18. 若双曲线22221y x a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程为x y 33=，则该双曲线的离心率为（ ） A 3 B ３ C 2 D ２9．已知曲线:C 24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线C 交于Q P ,两点，且02=+FQ FP ,则OPQ ∆的面积等于（ ）A 22B 23 C223 D 423 10．设21,F F 分别为双曲线21916x 2y －＝的左右焦点，M 是双曲线的右支上一点,则21F MF ∆的内切圆的横坐标为( )A 2B 3C 4D 511．已知函数)0( 441)(2>+-=x ax x x f 有两个不同的零点，则实数a 取值范围为（ ）A ()2,+∞B (),3-∞C ()3,+∞D (),2-∞12．已知方程0ln =-kx x 有两个不相等的实数根，则实数k 取值范围为（ ）A ),(1--∞eB ),0(1-eC ),(+∞eD ),0(e第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在答题卡相应的位置上 13. 观察下列等式()12211x x x x ++=++，()2223411232x x x x x x ++=++++，()32234561136763x x x x x x x x ++=++++++，()42234567811410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++，若1212221062...)1x a x a x a a x x ++++=++（， 则=2a .14. 已知抛物线的方程是x y42=,过定点)1,2(--P 作直线l 与抛物线x y 42=有且只有一个公共点,那么直线l 的斜率的取值集合是 . 15. 已知函数()1231234x x x x f x x x x x +++=+++++++，则=++-)5-1()56(f f . 16. 关于x 的方程222+=x k x 有四个不同的实根，则实数k 的取值范围为__________. 三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知命题01:2=++mx x P 方程有两个不等的负实根；012-44:2=++x m x Q ）（方程无实根．如果是假命题是真命题，Q P Q P ∧∨，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）某公司为了增加销售额，经过了一系列的宣传方案，经统计广告费用x 万元与销售额y 万元历史数据如下表：（1）求销售额y 关于广告费用x 的线性回归方程；（2）若广告费用投入8万元，请预测销售额会达到多少万元？参考公式bx y a xn x y x n y xb i n i i ni i-=-⋅-⋅=∑∑==,221119. （本小题满分12分）已知函数R x b ax x x f ∈+-=,)(3，若函数)(x f 在点（1, )1(f ）处的切线方程是032=+-y x ，求函数)(x f 的解析式.20. （本小题满分12分）某高校调查喜欢“统计”课程是否与性别有关，随机抽取了55个学生，得到统计数据如下表不男生 （1）完成表格的数据；（2）判断是否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关？参考公式：,))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=0k21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左右焦点为21,F F ,上顶点为M ,且21F MF ∆为面积是1的等腰直角三角形.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y x m =-+与椭圆E 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值. 22.（本小题满分12分）已知函数m x x x x f --+=3ln )(2. (1) 当m =0时，求函数()f x 的极小值； （2）若函数()f x 在区间⎪⎭⎫⎝⎛+1,41m 上是单调函数，求实数m 取值范围； （3）若函数[]()2ln 1,4y x x x =-∈的图像总在函数)(x f y =图像的上方，求实数m 取值范围.高二文科数学参考答案 一、AABC DBDD CBAB二、 21， ，，⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,021- 8， ()∞+，4 三、17.2>→m P 命题……………………….2分31<<→m Q 命题 ……………………….4分 3≥→m Q P 假真 ……………………….6分 21≤<→m Q P 真假 ……………………….8分所以实数m 的取值范围是),3[]2,1(+∞⋃…….10分……………………………………………………………………………………….6分4.0,4.1647496110=-==--=x b y a b …………………………………..8分所以销售额y 关于广告费用x 的线性回归方程是4.04.1+=x y …………9分 (2) 广告费用投入8万元，销售额约为6.114.04.1=+=x y 万元 ………12分19.（1）)(,3)(2R x a x x f ∈-='…………………………………………….2分1,23)1(==-='∴a a f …………………………………………….4分切点为（1,5） …………………………………………….6分5,51)1(==+-=∴b b a f …………………………………………….8分 ,5)(2+-=∴x x x f …………………………………………….12分25…………………………………………………………………………………. 4.分 （2）由公式,879.7978.112530302550-40055))()()(()(222>≈⨯⨯⨯=++++-=）（d b c a d c b a bc ad n K ….10分所以有99.5%的把握认为喜欢“统计”课程与性别有关，在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“统计”课程与性别有关………………………….12分21.解:(1)由已知21F MF ∆为面积是1的等腰直角三角形得c b a ==,12122,1===∴a c b所以椭圆E 的方程1222=+y x ………………………………………….4分 （2）设)2,(),(211y x B y x A联立022********=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+m mx x y m x y x322.,34,30221212-==+<⇒>∆∴m x x m x x m ………………….6分则AB 中点横坐标为32m以AB 为直径的圆半径r=32222112mx x AB =-=…………………….8分 整理得()32283482221221-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⇒=+m m x x x x 263232±=∴<=∴m m ……………………………..12分22.解（1） )0(3ln )(2>-+=x x x x x f)0()1)(12()(>--='x x x x x f1,10)(=⇒='x x f …………………………………2分所以）减增，在（，在（1,2),1(),20)(+∞x f2)1()(-==∴f x f 极小值 …………………………4分)43,41[141211,41)(12∈⇒<+≤∴+m m m x f 减函数）是单调函数，只能为在（）要使函数）由（（……6分(3)已知可化为m ]4,1[,ln 252∈+->x x x x 恒成立 ……. ……………7分 设]4,1[,ln 25)(2∈+-=x x x x x g]4,1[;2,210)(,)2)(12()(∈=⇒='⇒--='x x x g x x x x g …….9分所以）减增，在（，在（2,1)42)(x g2ln44-44-)1(+=<=）（gg2ln442ln44-4 )(max+->⇒+ == m gxg）（…………………12分。
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共 10 种
其中至少有 2 人是使用手机支付的
1, 2, a,1, 2,b,1,3, a,1,3,b,2,3, a,2,3,b,1, 2,3共 7 种，
7
故所求概率为 .……………………………12 分
10
20.解：（1） 设椭圆的焦半距为c, 则 OF c, OA a, AF a c.
所以其1 中1又 3e , c a ac
当且仅当 b c 2 3 时等号成立．
综上，边 a 的取值范围为[2 3, ) ．………………………12 分
18 解：（1） 设等比数列的an公比为由题q意, 得
q3 a4 8, 解得q 2 a1
所以an a1qn1 3 2n1 ……………………………2 分
设等差数列的an公差bn为 d, 由题意得
. 3
所以又M到N 的 距1离 kd2= x1 x2 4
6
2k 2 1 1 k 2
4k 2 3
,
O
l
1 .
1 k2
SOMN
1d 2
MN
2
6 2k 2 1 4k 2 3
2
6
2k 2 1 4k 2 3 2 . ……………………………10 分
令t那么4kS2=2 3 3,
2 3 t 1 3 当1且仅1 当2时6取, 等号 t 3
8. 已知函数f是定x义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有x1,x2,
记a则(
f
3
) ,b
f
1,c
f
2
.
3
2
x2 f x1 x1 f x2 0.
x1 x2
A． a c b
B. a b c
C. c b a
9.已知平面四边形 ABCD 中， BAD 135 ， ADC 120 ，
K2
n ad bc2 a bc d a cb
d
10048 28 12122
60 40 60 40
25
10.828
故有 99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.…………………………6 分
（2）这 100 名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到
一个容量为 5 的样本中：
到最小值时， t 的值为．
16．已知 a R ，命题 P : x 1, 2， x3 a 0 .命题 q : x R, x2 2ax 2 a 0 ，
若命题 p q 为真命题，则实数 a 的取值范围是________________.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
.
t2
t2 t 3
所以面O积M的N 最大值是
26 . ……………………………12 分
3
21 解：（1） f x x 2 alnx 定义域为 0, ， f x 1 a x a .
xx
①当 a 0 时， f x 0 ， f x为 0, 上的增函数，所以函数 f x无极
选做题：（本小题满分 10 分）两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程
x 4t 2
22.在平面直角坐标系
xoy
中,曲线
C1
的参数方程为
y
4t
(其中
为参数).以坐标原点 O 为
极点,
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆 C2 的极坐标方程为
2 8 sin 15 0 .
(1)求曲线 C1 的方程普通方程和 C2 的直角坐标方程;
17.（本小题满分 12 分）已知，在 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且
a sin B 3b cos A ．
（1）求角 A 的大小；
（2）设 ABC 的面积为 3 3 ，求 a 的取值范围．
18.（本小题满分 12 分）已知 an是等比数列， a1 3 ， a4 24 ，数列 bn满足 b1 1， b4 8 ，且 an bn是等差数列. （1）求数列 an和 an bn的通项公式； （2）求数列 bn的前 n 项和.
e c , b2 3 a2 c2 , 联立解得a 2, c 1. a
所以椭圆C的方程是 x2 y2 1. ……………………………4 分 43
（2）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形 .
当直线l与轴x 不垂直时，设其斜率为那k么, 的方l 程为 y kx 1.……………………
19.（本小题满分 12 分）在某超市，随机调查了 100 名顾客购物时使用手机支付的情况，
得到如下的 2 2 列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取 1 人，抽到青年的 4
概率为 .
5 （1）根据已知条件完成 2 2 列联表，并根据此资料判断是否有 99.9%的把握认为“超市
购物用手机支付与年龄有关”. （2)现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这 100 名顾客中抽
D. b c a BCD 45 ，
ABC 60
BC 3 ，则线段 AC 长度的取值范围是( )
A． 2, 3
B.
3 2
,
3
C. 2, 3
D.
3 2
,
3
10. 在等比数列an中，若a1a6
3 4
， a2
a3
a4
a5
9 4
，则
1 a2
1 a3
1 a4
1 a5
(
)
A.1
B. 3
2
定成立的是（ ）
A． f 16-1 f 9 f 41
B. f 41 f 9 f 16-1
C. f 5 2 f 4 f 1-1
D. f 11 f 4 f 5 2
第 II 卷（非选择题，共 90 分） 注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；
2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无 效． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
C. 3
4
D.
4
3
11.已知 F1, F2 为椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的左右焦点，若椭圆 C
上存在点 P ，使得
线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2 ，则椭圆 C 离心率的取值范围是( )
A．
2 3
,1
B．
1
3
,
2
2
C．
0,
1 3
D．
1 3
,1
12.定义在 0， 上的函数 f x的导函数 f 'x满足 x f 'x 1 ，则下列不等式中，一
所以，数列的bn前 项和n为 2n2 2n 3 2n 3. ……………………………12 分
19 解：（1）从使用手机支付的人群中随机抽取 1 人，抽到青年的概率为 4 5
使用手机支付的人群中的青年的人数为 4 60 48 人，……………………………2 分 5
则使用手机支付的人群中的中老年的人数为 60 - 48 12 人，所以 2 2 列联表为：
d a4 b4 a1 b1 4 .
4 1
所以an bn a1 b1 n 1d 4n.……………………………6 分
（2）由（1）知由( 1) 知bn 4n 3 2n1 ， 数列的4前n项和n为
2n n 1;
数列的3前 2项n1和为 n
3 2n 1 ……………………………10 分
商丘市第一高级中学 2019-2020 高二下学期期中考试
数学（文科）试卷
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．考试时间 120 分钟，满分 150 分．
第 I 卷（选择题，共 60 分） 注意事项： 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡 上． 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干 净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
5 3i 3.在复平面内,复数 1 2i 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
x 2y 5 0
x y 2 0
4.设变量 x, y 满足约束条件 x 0
,则目标函数 z 2x 3y 的最大值为( )
A.10
B. 9
C.8
D. 4
5.已知 是等差数列 的前 项和,若
使用手机支付的人有 5 60 3人， 100
记编号为1，2，3;不使用手机支付的人有人2 ，记编号为a, b ……………………………
8分 则从这个样本中任选 3 人有
1, 2,3,1, 2, a,1, 2,b,1,3, a,1,3,b,1, a,b,2,3, a,2,3,b,2, a,b,3, a,b
又sin B 0 ，得 tan A 3,又A0,
A ……………………………5 分 3
（2）因为 A ， ABC 的面积为 3 3 1 bc sin A
3 bc ，解
3
2
4
得 bc 12 ………………………8 分
由余弦定理可得：
a b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc 2bc bc bc 2 3 ，
,
,则 S6 ( )
A.40
B.80
C.57
D.36
6.己知抛物线
y2
4x 的焦点为 F
,准线为 l .若 l 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的两条