等比数列学案 2

教学过程
一、复习预习
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等比数列中，a
1、
n
a、n、d(q)、
n
S“知三求二”，体现了方程(组)的思想、整
体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
二、知识讲解
考点/易错点1
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：
1
-n n
a a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列⇔
n
n a a 1+=q （+
∈N n ,q ≠0） 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且
“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3︒ q= 1时，{a n }为常数。

2.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有：
q a a 12=；
21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===；
… … … … … … …
0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n
3.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
考点/易错点2
1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则
ab G ab G G
b
a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=a
b ,则G
b a G =，即a ,G ,b 成等比数列。

∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2
=ab （a ·b
≠0） 考点/易错点3
1、 等比数列的前n 项和公式：
当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1 ① 或q q
a a S n n --=11 ②
当q=1时，1na S n =
当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是
=n S n a a a a +++321
由⎩⎨
⎧=+++=-1
1321n n n n q
a a a a a a S
得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n
n n n n n q
a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 111312111
1212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴
∴当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②
当q=1时，1na S n =
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
q a a a a a a n n ====-1
23
12 根据等比的性质，有
q a S a S a a a a a a n
n n n n =--=++++++-1
12132
即
q a S a S n
n n =--1
⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：
=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+
⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）
三、例题精析
【例题1】 1．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ）
【例题2】已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n .
【例题3】数列{a n }中，a 1=1，a n =
2
1
a n －1+1（n ≥2），求通项公式a n . 四、课堂运用
【基础】
1. 在等比数列{a n }中，a 1=1，a 10=3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9=（ ）
2. 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n . 【巩固】
1. 已知数列{a n }中，a 1=65，a 2=3619
并且数列log 2（a 2－31a ），log 2（a 3－3
2a ），…，log 2（a n +1－3n a ）是公差为－1的等差数列，而a 2－21a ，a 3－22a
，…，a n +1－2
n a 是公比为
3
1
的等比数列，求数列{a n }的通项公式.
2. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51 n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .
【拔高】
1. 等比数列{a n }的首项a 1=﹣1，前n 项和为S n ，若，则公比q 等于 ．
2. 数列的前n 项之和是 ．
= ）
故答案为：课程小结
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0 q ）。

[等比中项]
如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么G
b a G =，即ab G =2。

[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列{}n a ，若
)0(1
≠=+q q a a n
n ，则数列{}n a 是等比数列。

2．等比中项：对于数列{}n a ，若2
12++=n n n a a a ，则数列{
}n a 是等比数列。

[等比数列的通项公式]
如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。

[等比数列的前n 项和]
○1)1(1)
1(1≠--=q q
q a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n
○3当1=q 时，1na S n = [等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=
1． 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅
也就是： =⋅=⋅=⋅--2
3121n n n a a a a a a 。

如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---11
2,,,,,,12321
4．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++
课后作业
【基础】
1. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n =2a n ﹣1+3，则此数列的一个通项公式是 ．
2等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列，则S4=（）
【巩固】
在等比数列{a n}中，前7项和S7=16，又a12+a22+…+a72=128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=（）
【拔高】
互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．。