数学人教A版必修2课时分层作业8 空间中直线与直线之间的位置关系
高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系课时作业含解析新人教A版必修2
高中数学课时分层作业：课时作业9 空间中直线与直线之间的位置关系——基础巩固类——1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(C)A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．2．两等角的一组对应边平行，则(D)A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D)A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：①中GH ∥MN ；③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，故GH ，MN 必相交，所以①③中GH ，MN 共面，故选D ．6．在四面体ABCD 中，AD ＝BC ，且AD ⊥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，GF ，则∠EFG 即为异面直线EF 与BC 所成的角．因为EG ＝12AD ，GF ＝12BC ，且AD ＝BC ，所以EG ＝GF .因为AD ⊥BC ，EG ∥AD ，GF ∥BC ，所以EG ⊥GF ，所以△EGF 为等腰直角三角形，所以∠EFG ＝45°.7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°. 解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°. 8．如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)直线AB 1和CC 1所成的角为45°； (2)直线AB 1和EF 所成的角为60°.解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确结论的序号是①③.解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．求证：(1)GB∥D1F；(2)∠BGC＝∠FD1E.证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.(2)因为∠BGC 与∠FD 1E 两边的方向都相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .11.如图，在三棱锥A -BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线， 所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥EM ，在Rt △OEH 中，所以cos ∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24.——能力提升类——12．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则( A )A ．1<MN <5B ．2<MN <10C ．1≤MN ≤5D ．2<MN <5解析：取AD 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH 綊12BD ，NH 綊12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH －NH |<MN <|MH ＋NH |，即1<MN <5.13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁从A 点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第 2 018条棱之后的位置可能在( D )A ．点A 1处B ．点A 处C ．点D 处 D ．点B 1处解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D．14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.解析：如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM 所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.15．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB ＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．解：如图，连接CD1，AC．由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC．∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝ 6.。
高中人教A版数学必修二教师用书第2章 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 Word版含答案
空间中直线与直线之间的位置关系．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．．理解平行公理(公理)和等角定理．(重点)．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)教材整理空间直线的位置关系阅读教材～“探究”以上的内容，完成下列问题．．异面直线()定义：把平面内的两条直线叫做异面直线．任何一个不同在()画法：(通常用平面衬托)图．空间两条直线的位置关系错误!判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )()两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( ) ()过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )()和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )【解析】 ()错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．()正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．()错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．()错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．【答案】 ()× ()√ ()× ()×教材整理 公理及等角定理阅读教材“探究”以下至倒数第行的内容，完成下列问题．．公理平行线的传递性．这一性质叫做空间互相平行．文字表述：平行于同一条直线的两条直线.∥⇒符号表述：．等角定理相等或互补．，那么这两个角对应平行空间中如果两个角的两边分别已知∥，∥，若∠＝°，则∠等于( )．° ．°或°．°．以上结论都不对【解析】 因为∥，∥， 所以∠与∠相等或互补．因为∠＝°，所以∠＝°或°.【答案】教材整理 异面直线所成的角阅读教材下面的两个自然段至“探究”以上的内容，完成下列问题．．定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线′∥，′∥，我们把′与′所成的．)或夹角(叫做异面直线与所成的角)直角或(角锐 .≤°θ°<的取值范围：θ．异面直线所成的角.⊥时，与互相垂直，记作°＝θ．当如图，正方体′′′′中异面直线′′与所成的角为．异面直线′与所成的角为．。
人教A版高中数学必修2：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． ———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
注意：在不同平面内的两条直线不一定异面
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
按平面基本性质分
同在一个平面内
相交直线 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 无 公 共 点 异面直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角
(或夹角).
异面直线所成的角的范围( 0o , 90o ]
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
bb′
a′ ″
O
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 ,
复习与准备： 平面内两条直线的位置关系
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
D
A
B
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
六角螺母
C A
数学人教A版必修2课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
(2)范围：0°<θ ≤90°.特别地，当 θ＝_______时，a 与 b 互相 垂直，记作 a⊥b.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线．( (2)两条直线垂直，则一定相交．( ) ) )
(3)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(
答案：(1)×
(2)×
(3)×
2．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面的 棱的条数是( )
A．6 C．5
答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCDA1B1C1D1 中∠BAE＝25°.
(1)说出下列直线的位置关系： AE 与 DD1 是________直线； A1B1 与 CD 是________直线． (2)异面直线 AE 与 B1C1 所成的角的大小为________．
[解析] 经探究可知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中， 且 没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、 B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直 线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该 填“异面” ；直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填 “相交”．
1.若 a、 b 是异面直线， b、 c 是异面直线， 则( A．a∥c B．a、c 是异面直线 C．a、c 相交 D．a、c 平行或相交或异面
)
解析：选 D.若 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，那么 a、c 可以平行，可以相交，可以异面．
[证明] (1)连接 BD，B1D1， 在△ABD 中， 因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EF 同理，E1F1 1 BD. 2 1 BD. 2 1 1 B 1 B， A 1 A D 1 D， D1D.所以四边形 BDD1B1 是平行四边形，所以 BD E 1F 1.
高中数学人教A版必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
∴AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1. ∴MN∥EF 且 MN＝23EF. ∴MN∥BD(公理 4)． ②MN＝23EF＝13BD＝2.
探究 2 (1)公理 4 说明平行线具有传递性，证明空间中两直 线平行问题，经常转化为它们都与第三条直线平行来完成．这样 做实质上是把立体几何问题转化为一个平面或几个平面上的平 面几何问题．
(2)在正方体 AC1 中，E 是 CC1 的中点，画出平面 AED1 与正 方体各面的交线．
画法如下：①取 BC 中点 F；②连接 EF、连接 AF. 求证：A，D1，E，F 四点共面．
【证明】 EF 为△CC1B 的中位线，EF 綊12BC1，BC1 綊 AD1， ∴EF 綊12AD1.
∴A，D1，E，F 四点共面．
方法三：分别取 AA1，CC1 的中点 M，N，连接 MN，则 MN∥EF. 如图所示，连接 DM，B1N，则 B1N∥DM，且 B1N＝DM，
∴四边形 DMB1N 为平行四边形． ∴MN 与 DB1 必相交． 设交点为 P.设 AA1＝1， 则 MP＝ 22，DM＝ 25，DP＝ 23， ∴DM2＝DP2＋MP2.∴∠DPM＝90°.∴DB1⊥EF. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
(2)构造异面直线所成角的方法有： ①过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线 的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(空间 问题转化为平面问题)； ②当异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困 难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交 于该点； ③通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．
方法二：如图，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE，则 HE∥DB1，且 HE＝12DB1.于是∠HEF 为所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角．
人教版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教案
人教版高中数学必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》教案必修Ⅱ2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系（第一课时）教案一、教材分析：1.教材的地位和作用（1）本节课是人教版数学必修2的2.1.2第一课时的内容，主要研究空间中直线与直线之间的三种位置关系及公理4。
（2）教材在编写时注意从平面到空间的扩充，通过观察实物，直观感知，进而抽象概括出定义及定理，培养学生的观察能力和分析问题的能力。
2.教学重点与难点教学重点：异面直线的概念的理解及其判断，公理4的学习。
教学难点：异面直线的理解，空间中直线与直线之间的位置关系的分类。
3.教学目标知识与技能：（1）理解异面直线的概念；（2）了解空间中两条直线的位置关系；（3）理解并掌握公理4及其应用。
过程与方法：（1）教学过程中引导学生从生活中的实例出发，联系旧知识来提出所要探究的问题；（2）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合.情感态度与价值观：通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成善于观察、合作探索、科学研究的好习惯。
、二、教法设计：1、多媒体辅助教学：易于突破难点，增强形象性、直观性。
2、探究式教学：给学生提供从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程获取知识。
3、讲议结合教学：教师耐心引导、分析、讲解和提问，并及时对学生的意见进行肯定与评议。
4、分层教学：面向全体学生，充分调动不同层次学生的积极性。
三、学法设计：1.本节知识与生活的联系密切，可以引导学生从生活中去找模型，将所要学习的知识与周围的事物结合起来，同时还注重让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的学习过程。
2.学生能够在老师的引导下自己去发现问题，共同讨论，自主合作探究。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
四、教学过程：1.创设情境，引出问题思考：(1)同一个平面内的两条直线有几种位置关系？(2)空间中两条直线有哪些位置关系呢？找一找，说一说：同桌两位同学中一人在教室里任意找两条直线，另一同学说出这两条直线的位置关系。
高中数学必修二(人教A版)课时作业9空间中直线与直线之间的位置关系 Word版含解析
课时作业空间中直线与直线之间的位置关系
——基础巩固类——
．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
．异面．平行
．相交．以上都有可能
答案：
．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( )
．异面．相交
．不相交．不平行
解析：和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面，但一定不平行．若平行，则确定一个平面，两异面直线也在这个面内．答案：
．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝°，则β等于( )
．°．°
．°．°或°
解析：由等角定理可知，β与α相等或互补，故β＝°或°.
答案：
．下面三个命题：
①若直线，异面，，异面，则，异面；
②若直线，相交，，相交，则，相交；
③若直线∥，则，与所成的角相等．
其中真命题的个数为( )
．．．．
解析：①，可以平行、相交或异面；②，可以平行、相交或异面；
③正确．
答案：
．如下图所示，若，，，分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点
，则表示直线，是异面直线的图形有( )
．①②．②③
．①④．②④
解析：①中∥；③中∥且≠，故，必相交，所以①③中，共面，故选.
答案：
．在空间四边形中，如下图所示，＝，
＝，则与的位置关系是．。
人教A版高中数学必修二课时作业空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系选题明细表知识点、方法题号空间中直线之间的位置关系1,3,9,10平行公理与等角定理2,5,6,8异面直线所成的角4,7,11,12基础巩固1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( D )(A)异面(B)相交(C)不相交(D)不平行解析:和两条异面直线都相交的两条直线可能相交,也可能异面,但一定不平行.若平行,则确定一个平面,两异面直线也在这个面内.2.已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α=60°,则β等于( D )(A)60°(B)120°(C)30°(D)60°或120°解析:由等角定理可知,β与α相等或互补,故β=60°或120°.3.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则( D )(A)a∥c(B)a,c是异面直线(C)a,c相交(D)a,c平行或相交或异面解析:例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取AB,CD所在直线分别为a,c, B1C1所在直线为b,满足条件要求,此时a∥c;又取AB,BC所在直线分别为a,c,DD1所在直线为b,也满足题设要求,此时a与c相交;又取AB, CC1所在直线分别为a,c,A1D1所在直线为b,则此时,a与c异面. 故选D.4.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:连接BD,B1D1,D1C知△D1B1C是等边三角形,所以D1B1与B1C所成角为60°,故B1C与EF所成角也是60°.5.三棱锥的对角线互相垂直相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( D )(A)梯形(B)矩形(C)平行四边形(D)正方形解析:如图所示,因为BD⊥AC,且BD=AC,又因为E,F,G,H分别为对应边的中点,所以FG EH BD,HG EF AC.所以FG⊥HG,且FG=HG.所以四边形EFGH为正方形.6.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,有下列结论:①∠BAC=∠B′A′C′;②∠ABC+∠A′B′C′=180°;③∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°.则一定成立的是(填序号).解析:因为AB∥A′B′,AC∥A′C′,所以∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°.答案:③7.空间四边形ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为40°,E,F分别为BC和AD的中点,则异面直线EF和AB所成角的大小是.解析:取AC的中点G,连接GE与GF,AB与CD(异面直线)所成角为40°,因为EG∥AB,FG∥CD,所以∠EGF=40°或∠EGF=140°,而AB=CD,则GE=GF,所以∠GEF=70°或∠GEF=20°.所以EF与AB所成的角是70°或20°.答案:70°或20°8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点. 求证:∠NMP=∠BA1D.证明:如图,连接CB1,CD1,因为CD A 1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1D∥B1C.因为M,N分别是CC1,B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.因为BC A 1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1.因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MP∥CD1,所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反,所以∠NMP=∠BA1D.能力提升9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B 与直线EF的位置关系是( A )(A)相交(B)异面(C)平行(D)垂直解析:如图所示,连接BD1,CD1,CD1与C1D交于点F,由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形,在平行四边形A1BCD1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,所以EF∥BD1,且A1B,EF共面,所以直线A1B与直线EF相交,故选A.10.(2018·清远市高一期末)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确的是(填序号).解析:把正方体平面展开图还原为原来的正方体,如图所示,AB⊥EF, EF 与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案:①③11.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.解:(1)由已知可求得,正方形ABCD的面积S=4,所以,四棱锥O-ABCD的体积V=×4×2=.(2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角),由已知,可得DE=,EM=,MD=,因为()2+()2=()2,所以△DEM为直角三角形,所以tan∠EMD===.探究创新12.已知四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1.求EF的长度.解:如图,取BC中点O,连接OE,OF,因为OE∥AC,OF∥BD,所以∠EOF即为AC与BD所成的角或其补角.而AC,BD所成的角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=;当∠EOF=120°时,取EF中点M,则OM⊥EF,EF=2EM=2OE·cos 30°=2×=.。
数学人教版必修2(A) 空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系教学目的：通过空间中直线与直线之间位置关系的实例，让学生认识什么是异面直线掌握空间中两条直线之间的三种位置关系的识别。
教学重难点：空间中两直线之间的三种位置关系的识别。
教学过程一、复习提问1、同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？二、新课1、现实生活中两条直线位置关系的实例教室内日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；天安门广场上，旗杆上所在的直线与长安街所在的直线，它们的共同特征是什么？共同特征是：既不相交，也不共面，即不在同一平面内。
2、空间中两条直线的位置关系我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线（skew lines ）。
空间中两条直线的位置关系有三种：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧点。
一个平面内，没有公共异面直线：不同在任何，没有公共点。
平行直线：同一平面内。
，有且只有一个公共点相交直线：同一平面内共面直线 为了表示异面直线a ，b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。
3、空间两平行直线平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，在空间里也一样。
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行。
空间平行线的传递性。
例2、如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
证明：连接BD ，∵EH 为中位线，∴EH ∥BD ，EH ＝21BD ， 同理：FG ∥BD ，FG ＝21BD ，所以，EH ∥FG ，且EH ＝FG ， 所以，四边形EFGH 是平行四边形。
定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
如图，两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a’ ∥a，b’∥b，我们把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a’ ∥a，a’ 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b 所成的角。
人教A版高中数学高一必修2课件 空间中直线与直线之间的位置关系
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
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课前预习案 课堂探究案
学习目标
思维脉络
1.了解空间两条直线 间的位置关系,理解 异面直线的定义. 2.理解并掌握公理 4 和等角定理,并能解 决有关问题. 3.会用两条异面直线 所成角的定义,找出 或作出异面直线所成
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探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
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变式训练2 在本例中,若N1是D1C1的中点,则四边形M1N1CA
是
.(填“平行四边形”或“梯形”)
解析:如图,连接 A1C1.
∵M1,N1 分别是 A1D1,D1C1 的中点, ∴M1N1∥A1C1,且 M1N1=12A1C1.
由正方体的性质可知:
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线. ( ) (2)两直线垂直,则这两条直线一定相交. ( ) (3)两直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行. ( )
答案:(1)× (2)× (3)×
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连接 HF,设 AA1=1,则 EF=√22,HE=√23, 取 A1D1 的中点 I,连接 IF,IH,则 HI⊥IF,
∴HF2=HI2+IF2=54, ∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°, ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.
图(2)
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
解析:当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相同时,∠B'A'C'=30°;当∠B'A'C'
2018-2019学年度高中数学(人教A版)必修二课时作业：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系含解析
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】基础巩固1.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )(A)相交(B)异面(C)相交或异面(D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.在三棱锥P-ABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB, AC的中点,则∠FEG等于( D )(A)20°(B)70°(C)110° (D)70°或110°解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或110°.3.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( C )(A)与a,b都相交(B)只能与a,b中的一条相交(C)至少与a,b中的一条相交(D)与a,b都平行解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.4.(2018·宁夏育才中学高二上期末)空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( B )(A)空间四边形(B)矩形(C)菱形(D)正方形解析:如图,E,F,G,H为空间四边形ABCD各边中点,则EF AC,HG AC.所以四边形EFGH为平行四边形.又FG∥BD,AC⊥BD,所以EF⊥FG,所以四边形EFGH为矩形,故选B.5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( C )(A)CC1与B1E是异面直线(B)C1C与AE共面(C)AE,B1C1是异面直线(D)AE与B1C1所成的角为60°解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A 错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E 不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C.6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成的角为.解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.答案:45°7.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为;(2)直线AB1和EF所成的角为.解析:(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.(2)连接B1C,易得EF∥B1C,所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°.答案:(1)45°(2)60°8.(2018·吉林四平月考)如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;(2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.证明:(1)在△ABD中,因为E,H分别为AB,AD的中点,所以EH∥BD且EH=BD.同理在△BCD中,FG∥BD且FG=BD.所以EH∥FG且EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形.(2)同(1)可得,EF=HG=AC,而BD=AC,所以EH=HG=GF=FE,所以四边形EFGH是菱形.能力提升9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG 与IJ所成角的度数为( B )(A)90°(B)60°(C)45°(D)0°解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,所以HG与IJ所成的角为60°.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.解析:还原成正方体如图所示,可知①正确.②AB∥CM,不正确.。
2020学年高中数学课时分层作业8空间中直线与直线之间的位置关系(含解析)新人教A版必修2(最新整
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课时分层作业（八) 空间中直线与直线之间的位置关系（建议用时：45分钟)[基础达标练］一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（)A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．］2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ）A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面D［可能相交也可能异面,选D.］3．在正方体AC1中，E,F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．垂直A［如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．］4．如图所示，在正方体ABCD。
A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成的角的大小为( )A．30° B．45°C．60°D．90°C［连接B1D1，D1C（图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D 1B1C＝60°。
人教新课标版数学高一-必修2课时作业8 空间中直线与直线之间的位置关系
C.155 D.31010解析：本题考查两条异面直线所成的角．连接AD1，D1E，因为AD1∥BC1，所以∠D1AE 是异面直线BC1与AE所成的角．在△D1AE中，可以求得AD1＝5，AE＝6，D1E＝5，所以△D1AE为等腰三角形，从而求得∠D1AE的余弦值为3010，故选B.答案：B8.(2014·福建省厦门一中月考)已知a，b，c是空间中的三条直线，a∥b，且a与c的夹角为θ，则b与c的夹角为________．解析：本题考查空间中直线的夹角问题．因为a∥b，所以a，b与c的夹角相等．因为a与c的夹角为θ，所以b与c的夹角也为θ.答案：θ9.(2014·郑州高一检测)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，求异面直线AB1和BM所成的角为________．(正三棱柱是指底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱)解析：如图，取BB1的中点N，AB的中点D，连接C1N，C1D，ND，因为ND∥AB1，BM∥C1N，所以∠C1ND即为所求的角．设棱长为2，则可求得ND＝12AB1＝2，C1N＝5，C1D＝7，在△C1ND中，C1N2＋ND2＝C1D2，故∠C1ND＝90°，即异面直线AB1和BM所成的角为90°.答案：90°10．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且AOOA′＝BOOB′＝COOC′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．解析：(1)证明：∵AA′∩BB′＝O，。
高中数学 课时作业8 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
课时作业8 空间中直线与直线之间的位置关系基础巩固1．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．一定垂直解析：因为a ⊥b ，b ∥c ，则a ⊥c ，故选D. 答案：D2．a 、b 为异面直线是指①a ∩b ＝∅，且a 不平行于b ；②a ⊂平面α，b ⊄平面α，且a ∩b ＝∅；③a ⊂平面α，b ⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b ⊂α成立．( )A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．①④解析：②③中的a ，b 有可能平行，①④符合异面直线的定义． 答案：D3．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A ．梯形B.矩形 C ．平行四边形D.正方形图1解析：如图1所示，因为BD ⊥AC ，且BD ＝AC ，又因为E ，F ，G ，H 分别为对应边的中点，所以FG 綊EH 綊12BD ，HG 綊EF 綊12AC .所以FG ⊥HG ，且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形．答案：D4．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交解析：a 与c 不可能平行，否则由a ∥b ，得b ∥c 与b ∩c ＝A 矛盾．故选D.答案：D5．(2019年某某高一检测)若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：如图2甲，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，但OB与O1B不平行，故A、B排除；如图2乙，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，此时OB∥O1B1，故C排除．答案：D图36．如图3，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________.解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.答案：60°能力提升1．如图4，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )图4A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC 所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．答案：C2．(2019年某某某某十三校联考)在正方体ABCDA1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条解析：如图5，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，所有与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60°角．所以异面的有2条．又△AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，选D.图5答案：D3．如图6，在四面体SABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC 的位置关系是( )图6A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能解析：连接SG 1，SG 2并延长，分别与AB ，AC 交于点M ，N ，连接MN ，则M ，N 分别为AB ，AC 的中点，由重心的性质，知SG 1SM ＝SG 2SN ，∴G 1G 2∥MN .又M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，再由平行公理可得G 1G 2∥BC ，故选B.答案：B4．如图7所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°图7图8解析：连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故所求的两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.答案：B5．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，有下列结论： ①∠BAC ＝∠B ′A ′C ′； ②∠ABC ＋∠A ′B ′C ′＝180°；③∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 则一定成立的是________(填序号)． 解析：因为AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，所以∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180° 答案：③6．如图9，在三棱锥A BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．图9解析：由图易证：EF 綊12AC 綊HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，故当EF ＝FG ，即AC＝BD 时，四边形EFGH 为菱形；EF ⊥FG 且EF ＝FG ，即AC ⊥BD 且AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形．答案：AC ＝BDAC ＝BD 且AC ⊥BD7．如图10，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．图10解：(直接平移法)如图11，图11连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接GA1，GC1，∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.拓展要求1.(2019年复旦大学自主招生)如图12，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )图12A．60°B．75°C．90°D．105°解析：图13设BB1＝1，如图13，延长CC1至C2，使C1C2＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝3，B1C2＝3，AC2＝6，所以AC22＝AB12＋B1C22，则∠AB1C2＝90°.答案：C2．如图14，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．图14解：如图15，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.图15又∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，F，C，D1四点共面．∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.。
数学人教A版必修二2.空间中直线与直线之间的位置关系课件
问题：在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角 相等或互补”。
在空间中,结论是否仍然成立呢?
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
F
E
4. 等角定理
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补。
问题：在平面上,两条直线相交成4个角，我 们把其中不大于90°的角称为它们的夹角。
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a与b是异面直线
M
ab
a与b是相交直线
a
b
a与b是平行直线
异面直线直观图的画法
用平面衬托
m
m
l
l
m
l
m
l
2、空间两直线的位置关系：
(1) 从公共点的个数来看，可分为： ①有一个公共点：相交直线 ②没有公共点 平行直线
练习
如图，已知 AB长 CA D 方 BC体 D中， AB2 3,AD 2 3,AA2.
(1)BC和AC所成的角是多少度？ （2）AA和BC所成的角是多少度？
答案：
（1）45° （2）60°
如图，在四面体ABCD中，E，F分
别是棱AD，BC上的点,且 AE BF 1 已知AB=CD=3，EF 3 ,求E异D面直FC线A2B和
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画 呢?
b′
a′
O
平移法
a与b
5. 异面直线所成的角的定义
m
m
人教新课标版数学高一-人教A版必修2 课时提升空间中直线与直线之间的位置关系2
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课时提升作业(八)空间中直线与直线之间的位置关系一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·台州高二检测)和两条异面直线都垂直的直线( )A.有无数条B.有两条C.只有一条D.不存在【解析】选A.由于异面直线的公垂线只有一条,因此凡与公垂线平行的直线都与两条异面直线垂直,有无数条.2.(2014·赣州高二检测)a,b为异面直线,且a⊂α,b⊂β,若α∩β=l,则直线l必定( )A.与a,b都相交B.与a,b都不相交C.至少与a,b之一相交D.至多与a,b之一相交【解析】选C.若a,b与l都不相交,则a∥l,b∥l,即a∥b,与a,b是异面直线矛盾.故选C.3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.取AD的中点H,连FH,EH,在△EFH中∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°,故选A.【拓展延伸】构造异面直线所成的角的方法(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线,使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角.(2)当异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交于该点. (3)当两条异面直线互相垂直时,欲求它们所成的角,实际上是要通过证明来计算.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2014·淄博高一检测)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是.【解析】因为在△ABC中,AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC,又因为BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.答案:平行5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为.【解析】如图,B1D与CC1所成的角为∠BB1D.因为△DBB 1为直角三角形.所以tan∠BB1D==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)6.如图所示,OA,OB,OC为不共面的三条射线,点A1,B1,C1分别是OA,OB,OC上的点,且==成立.求证:△A1B1C1∽△ABC.【解题指南】可证明两内角对应相等,由初中所学平面几何知识,进而证明两个三角形相似.【证明】在△OAB中,因为=,所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC,B1C1∥BC.所以∠C1A1B1=∠CAB,∠A1B1C1=∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求A1B与B1D1所成的角.(2)求AC与BD1所成的角.【解析】(1)如图,连接BD,A1D.因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以DD 1BB1,所以四边形DBB1D1为平行四边形,所以BD∥B1D1.因为A1B,BD, A1D是全等的正方形的对角线,所以A1B=BD=A1D,即△A1BD是正三角形,所以∠A1BD=60°.因为∠A1BD是锐角,所以∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角,所以A1B与B1D1所成的角为60°.(2)取DD1的中点E,设AC与BD相交于O,连接EO,EA,EC. 因为O为BD的中点,所以OE∥BD1.因为∠EDA=90°=∠EDC,AD=DC,所以△EDA≌△EDC,所以EA=EC.在等腰△EAC中,因为O是AC的中点,所以EO⊥AC,所以∠EOA=90°.因为∠EOA是异面直线AC与BD1所成的角.所以AC与BD1所成的角为90°.【拓展延伸】求两异面直线所成角的技巧(1)求两异面直线所成角的关键在于作角,总结起来有如下“口诀”: 中点、端点定顶点,平移常用中位线;平行四边形柱中见,指出成角很关键;求角构造三角形,锐角、钝角要明辨;平行线若在外,补上原体在外边.(2)如果求得的角的余弦值为负值的话,这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角,所以在指明所求角的时候,应该说“这个角或其补角即为所求的角”.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014·台州高二检测)下列三个说法:①若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;②若a∥b,则a,b与c所成的角相等;③若a⊥b,b⊥c,则a∥c.其中正确的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解析】选C.①错误.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c异面、平行、相交都有可能;②正确.根据平面内两条直线的夹角和异面直线所成的角的定义知②正确;③错误.若a⊥b,b⊥c,则a,c异面、平行、相交都有可能.只有②正确,故选C.【误区警示】解答本题容易误认为③正确,这是由于误认为平面中成立的结论在空间中也成立.实际上,在平面中成立的结论拓展到空间后是否成立,其正确性是需要证明的.2.(2014·厦门高二检测)空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别为P,Q,R,且AC=4,BD=2,PR=3,则AC和BD所成的角为( ) A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】选A.如图,P,Q,R分别为AB,BC,CD的中点,所以PQ∥AC,QR∥BD,所以∠PQR为AC和BD所成角,又PQ=AC=2,QR=BD=,PR=3,所以PR2=PQ2+QR2,所以∠PQR=90°即AC和BD所成的角为90°.【变式训练】如图所示,已知三棱锥A-BCD中M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( )A.MN≥(AC+BD)B.MN≤(AC+BD)C.MN=(AC+BD)D.MN<(AC+BD)【解析】选 D.如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=AC,NE=BD,所以ME+NE=(AC+BD).在△MNE中,有ME+NE>MN,所以MN<(AC+BD).二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图所示的是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,①BM与ED是异面直线;②CN与BE是异面直线;③DM与BN垂直.以上三个说法中,正确的是(填序号).【解析】在正方体中,直线间的关系比较清楚,所以可以把原图还原为正方体,找出相应直线间的关系.答案:①③4.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD和AC所成角的度数为.【解析】因为E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,所以EG∥BD,EF∥AC,因此EG,EF所成的角是异面直线BD,AC所成的角,所以BD和AC所成的角是180°-120°=60°.答案:60°三、解答题(10分)5.如图,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD, BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?【解题指南】(1)只需证BC∥GH,BC=GH(2)先证四边形BEFG为平行四边形,再证明EF∥CH即得.【解析】(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GH∥AD,GH=AD,又BC∥AD,BC=AD,所以BC∥HG,BC=HG,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)C,D,F,E四点共面,证明如下:由BE∥FA,BE=FA,G为FA中点知,BE∥FG,BE=FG,所以四边形BEFG 为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.关闭Word文档返回原板块。
人教新课标版数学高一-人教A版必修2 课时提升空间中直线与直线之间的位置关系1
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课时提升作业(八)空间中直线与直线之间的位置关系(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2015·杭州高二检测)正方体AC1中,E,F分别是边BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.垂直【解析】选A.如图所示,连接CD1,则CD1与C1D的交点为点F,由正方体可得四边形A1BCD1是平行四边形,在平行四边形A1BCD1内,E,F分别是边BC,CD1的中点,所以EF∥BD1,所以直线A1B与直线EF相交.2.(2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解题指南】由于l2∥l3,所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线加以判断.【解析】选D.因为l2∥l3,所以l1⊥l2,l3⊥l4实质上就是l1与l4同垂直于一条直线,所以l1⊥l4,l1∥l4,l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立,但不是一定成立,故l1与l4的位置关系不确定.3.(2015·济宁高一检测)如图,E,F是AD上互异的两点,G,H是BC上互异的两点,由图可知,①AB与CD互为异面直线;②FH分别与DC,DB互为异面直线;③EG与FH互为异面直线;④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是( )A.①③B.②④C.①④D.①②【解析】选A.AB与平面BCD交于B点,且B∉CD,故AB与CD互为异面直线,故①正确;当H点落在C或F落在D点上时,FH与CD相交;当H 落在B或F点落在D上时,FH与DB相交,故②错误;FH与平面EGD交于F点,而F∉EG,故EG与FH互为异面直线,故③正确;当G落在B上或E落在A上时,EG与AB相交,故④错误.二、填空题(每小题4分,共8分)4.AB,CD是两条异面直线,则直线AC,BD的位置关系一定是________(填“平行”“相交”或“异面”).【解析】若AC,BD相交或平行,则AC,BD共面,可以推出AB,CD共面,与已知AB,CD异面矛盾.答案:异面5.(2015·瑞安高二检测)在三棱锥ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD 的中点,EF=,则异面直线AD与BC所成的角为__________.【解析】如图,取AC的中点P,连接PE,PF.则在△ABC中,PE∥BC且PE=BC=1,在△ACD中,PF∥AD且PF=AD=1,所以∠EPF为所求.在△EPF中,PE=PF=1,EF=,所以∠EPF=90°.答案:90°【补偿训练】(2014·嘉峪关高一检测)已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为________.【解析】设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中位线.所以GF∥AB,且GF=AB=1,GE∥CD,且GE=CD=2,则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数,又EF⊥AB,GF ∥AB,所以EF⊥GF,则△GEF为直角三角形,GF=1,GE=2,∠GFE=90°,所以在直角△GEF中,sin∠GEF=,所以∠GEF=30°.答案:30°三、解答题6.(10分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,证明:∠BGC=∠FD1E.【证明】因为F为BB1的中点,所以BF=BB1.因为G为DD1的中点,所以D1G=DD1.又因为BB 1DD1,所以BF D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形.所以D1F∥GB,同理D1E∥GC.又因为∠BGC与∠FD1E的对应边方向相同,所以∠BGC=∠FD1E.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.如图,正四棱台ABCD-A′B′C′D′中,A′D′所在的直线与BB′所在的直线是( )A.相交直线B.平行直线C.不互相垂直的异面直线D.互相垂直的异面直线【解析】选C.若A′D′与B′B共面,则A′B′也在此平面内,因A′B′与B′B相交,其确定的平面为ABB′A′,故A′D′⊂平面ABB′A′与ABCD-A′B′C′D′为四棱台矛盾,故A′D′与B′B异面.又因为四边形BCC′B′是等腰梯形,所以BB′与B′C′不垂直,因B′C′∥A′D′.即BB′与A′D′不垂直.2.(2015·成都高一检测)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点P在线段AD′上运动,则异面直线CP与BA′所的θ角的取值范围是( )A.0<θ<B.0<θ≤C.0≤θ≤D.0<θ≤【解析】选D.如图,连接CD′,则异面直线CP与BA′所成的角θ,等于∠D′CP,由图可知,当P点与A点重合时,θ=,当P点无限接近D′点时,θ趋近于0,由于是异面直线,故θ≠0.【补偿训练】在三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′⊥面ABC,若∠BAC=90°,AB=AC=AA′,则异面直线BA′与C′A所成的角等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解题指南】可将该直三棱柱补成一个正方体,通过连线,将异面直线所成的角转化为同一平面内相交直线所成的角.【解析】选C.由原来的三棱柱补成一个正方体ABDC-A′B′D′C′,因为AC′∥BD′,所以∠A′BD′即为异面直线BA′与C′A所成的角,因为△A′BD′为正三角形,所以∠A′BD′=60°.二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为__________(注:把你认为正确结论的序号都填上).【解析】根据异面直线的判定,可知③④正确;①②不正确.答案:③④4.(2015·广州高一检测)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是________.【解析】如图,取AC的中点G,连接FG,EG,则FG∥C 1C,FG=C1C,EG ∥BC,EG=BC,故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),在Rt△EFG 中,cos∠EFG===.答案:三、解答题5.(10分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G,H分别为AD′和BC′的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.【解题指南】根据梯形的中位线定理,只需证明EF GH.【证明】因为梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,所以EF∥AB且EF=(AB+CD),又C′D′∥EF,EF∥AB,所以C′D′∥AB.因为G,H分别为AD′,BC′的中点,所以GH∥AB且GH=(AB+C′D′)=(AB+CD),所以GH EF,所以四边形EFGH为平行四边形.关闭Word文档返回原板块。
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课时分层作业(八)空间中直线与直线之间
的位置关系
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A．异面或平行B．异面或相交
C．异面D．相交、平行或异面
D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．
]
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()
A．一定平行B．一定相交
C．一定异面D．相交或异面
D[可能相交也可能异面，选D.]
3．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()
A．相交B．异面C．平行D．垂直
A[如图所示，直线A 1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()
A.30°B．45°C．60°D．90°
C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]
5．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()
A．有无数条B．有两条
C．至多有两条D．有一条
A[如图，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
因此，这样的异面直线有无数条．]
二、填空题
6．如图所示，在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．
3[P A与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线，∴共3对．]
7．已知∠ABC＝120°，异面直线MN，PQ，其中MN∥AB，PQ∥BC，则异面直线MN与PQ所成的角为________．
60°[结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60°.]
8．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．
60°[连接AD1，则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体
ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.]
三、解答题
9．如图所示，OA、OB、OC为不共面的三条射线，点A1、B1、C1分别是OA、
OB、OC上的点，且OA1
OA＝
OB1
OB＝
OC1
OC成立．
求证：△A1B1C1∽△ABC. [证明]在△OAB中，
因为OA1
OA＝
OB1
OB，所以A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
10．在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
[解]如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
1．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是() A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
D[由题意，a，b为异面直线，a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，
所以c是交线，可能出现c与a，b均相交，c与a，b其中一条相交，如果c 与a，b其中一条平行，那么必与另条也相交，故选D.]
2．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号).
①③[把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF 与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]
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