中考必考反函数经典试题锦集
反比例函数的应用 (2021-2023年)中考数学真题(全国通用)(解析版)
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）反比例函数的应用一．选择题（共12小题）1．（2023•大连）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I＝4A时，R＝10Ω，则当I＝5A时R的值为（）A．6ΩB．8ΩC．10ΩD．12Ω【答案】B【分析】设I=UR ，则U＝IR＝40，得出R=40I，计算即可．【解答】解：设I=UR，则U＝IR＝40，∴R=40I =405=8，故选：B．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握欧姆定律．2．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I=UR）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意得到电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I=UR），于是得到结论．【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I=UR），R、I均大于0，∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．3．（2023•随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（）A．3A B．4A C．6A D．8A【答案】B，再将（8，3）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．【分析】根据函数图象可设I=UR，【解答】解：设I=UR∵图象过（8，3），∴U＝24，∴I=24，R=4（A）．当电阻为6Ω时，电流为：I=246故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．4．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可．【解答】解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，故选：D．【点评】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．5．（2023•丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（）A．S小于0.1m2B．S大于0.1m2C．S小于10m2D．S大于10m2【答案】A【分析】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．，F＝100，【解答】解：∵p=FS，∴p=100S∵产生的压强p要大于1000Pa，＞1000，∴100S∴S＜0.1，故选：A．【点评】本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．6．（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【答案】A【分析】根据等量关系“电流=电压”，即可求解．电阻【解答】解：∵闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴40a＝80b，∴a＝2b，∴a＞b，故选：A．”是解决此题的关键．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流=电压电阻7．（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（）A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω【答案】A【分析】利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（Ω）成反比例，．∴I=UR∵已知电灯电路两端的电压U为220V，．∴I=220R∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，≤0.11，∴220R∴R≥2000．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，利用已知条件列出不等式是解题的关键．8．（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（）A．反比例函数B．正比例函数C．二次函数D．以上答案都不对【答案】B【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得I=k′kV（k′k为常数），即可得到答案．【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），∴VI =kk′，∴I=k′k V（k′k为常数），∴I与V的函数关系是正比例函数，故选：B．9．（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为I=13RB．蓄电池的电压是18VC．当I≤10A时，R≥3.6ΩD．当R＝6Ω时，I＝4A【答案】C【分析】根据函数图象可设I=kR，再将（4，9）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．【解答】解：设I=kR，∵图象过（4，9），∴k＝36，∴I=36R，∴蓄电池的电压是36V．∴A，B均错误；当I＝10时，R＝3.6，由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，∴C正确，符合题意；当R＝6时，I＝6，∴D错误，故选：C．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．10．（2021•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案．【解答】解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV（V，p 都大于零），∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．11．（2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学【答案】B【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．【解答】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，∵F乙最小，∴乙同学到支点的距离最远．故选：B．【点评】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键．12．（2021•娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y=xa+x（a为常数且a＞0，x＞0）的性质表述中，正确的是（）①y随x的增大而增大②y随x的增大而减小③0＜y＜1④0≤y≤1A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】A【分析】可借助反比例函数的性质，将原函数进行变形后，左右两边取倒数，观察1y与x的变化关系，再借助x和a的取值范围，即可确定正确结果．【解答】解：∵y=xa+x（a为常数且a＞0，x＞0），∴1y =a+xx，即1y=ax+1，根据反比例函数的性质，∵a＞0，∴当x增大时，ax随x的增大而减小，∴ax+1也随x的增大而减小，即1y也随x的增大而减小，则y就随x的增大而增大，∴性质①正确．又∵a＞0，x＞0，∴a+x＞0，∴xa+x＞0，即y＞0，又∵x＜a+x，∴xa+x＜1，即y＜1，∴0＜y＜1，∴性质③正确．综上所述，性质①③正确，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象性质的应用，借助把新的函数形式变形为反比例函数的形式，再运用反比例函数的性质，从而得到新函数的性质，这样的方法也是研究函数的一种普遍方法，是一种把未知转化为已知的数学思想．应熟练掌握反比例函数的图象性质是解决问题的基础．二．填空题（共9小题）13．（2023•广东）某蓄电池的电压为48V ，使用此蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）的函数表达式为I =48R ．当R ＝12Ω时，I 的值为 A ．【答案】4．【分析】直接将R ＝12代入I =48R中可得I 的值．【解答】解：当R ＝12Ω时，I =4812=4（A ）． 故答案为：4．【点评】此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键．14．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p （kPa ）与汽缸内气体的体积V （mL ）成反比例，p 关于V 的函数图象如图所示．若压强由75kPa 加压到100kPa ，则气体体积压缩了 mL ．【答案】20．【分析】设这个反比例函数的解析式为V =kP ，求得V =6000P，当P ＝75kPa 时，求得V =600075=80，当P ＝100kPa时求得，V =6000100=60于是得到结论．【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V =kP ， ∵V ＝100ml 时，p ＝60kpa ， ∴k ＝PV ＝100ml ×60kpa ＝6000， ∴V =6000P，当P ＝75kPa 时，V =600075=80， 当P ＝100kPa 时，V =6000100=60，∴80﹣60＝20（mL），∴气体体积压缩了20mL，故答案为：20．【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．15．（2023•扬州）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于m3．【答案】0.6．，把V＝3m3时，p＝【分析】设气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间的函数解析式为P=kV8000Pa代入解析式求出k值，得到P关于V的函数解析式，再根据气球内的气体压强大于40000Pa得到关于V的不等式，从而确定正确的答案．．【解答】解：设气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间的函数解析式为P=kV∵当V＝3m3时，p＝8000Pa，∴k＝Vp＝3×80000＝24000，∴p=24000，V∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，∴p≤40000时，气球不爆炸，≤40000，∴24000V解得：V≥0.6，∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3．故答案为：0.6．【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．16．（2023•南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m 增加到2m时，撬动这块石头可以节省N的力．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）【答案】100．【分析】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入L＝1.5和L＝2求得力的大小即可．【解答】解：根据“杠杆定律”有FL＝1000×0.6，∴函数的解析式为F=600，L=400，当L＝1.5时，F=6001.5=300，当L＝2时，F=6002因此，撬动这块石头可以节省400﹣300＝100N，故答案为：100．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．17．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为Pa．【答案】400．【分析】设p=k，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式即可解决问题．S【解答】解：设p=k，S∵函数图象经过（0.1，1000），∴k＝100，，∴p=100S=400（Pa），当S＝0.25m2时，物体所受的压强p=1000.25故答案为：400．【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．18．（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I=UR，测得数据如下：那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝4A．【答案】4．【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式，再将R＝55Ω代入即可求出答案．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I=UR得：1=U220，解得U＝220，∴I=220R，把R＝55代入I=220R得：I=22055=4，故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据已知求出反比例函数的解析式．19．（2022•青海）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P=FS，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为（用小于号连接）．【答案】P1＜P2＜P3．【分析】根据反比例函数的性质解答即可．【解答】解：∵P=FS，F＞0，∴P随S的增大而减小，∵A，B，C三个面的面积比是5：3：1，∴P1，P2，P3的大小关系是：P1＜P2＜P3，故答案为：P1＜P2＜P3．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确把握反比例函数的性质是解题的关键．20．（2021•青岛）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到km/h．【答案】240．【分析】依据行程问题中的关系：时间＝路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式，把t＝2.5h代入即可得到答案．【解答】解：∵从甲地驶往乙地的路程为200×3＝600（km），∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t=600v，当t＝2.5h时，即2.5=600v，∴v＝240，答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h．故答案为：240．【点评】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．21．（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作T m（m为1～8的整数）．函数y=kx（x＜0）的图象为曲线L．（1）若L过点T1，则k＝；（2）若L过点T4，则它必定还过另一点T m，则m＝；（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解；（2）将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解；（3）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解．【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），∵L过点T1，∴k＝﹣16×1＝﹣16，故答案为：﹣16；（2）∵L过点T4，∴k＝﹣10×4＝﹣40，∴反比例函数解析式为：y=−40，x当x＝﹣8时，y＝5，∴T5在反比例函数图象上，∴m＝5，故答案为：5；（3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，若曲线L过点T3（﹣12，3），T6（﹣6，6）时，k＝﹣12×3＝﹣36，若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，∴﹣36＜k＜﹣28，∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，故答案为：7．【点评】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．三．解答题（共15小题）22．（2023•吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：（1）求波长λ关于频率f的函数解析式．（2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ．；【答案】（1）λ=300f（2）当f＝75MHz时，电磁波的波长入为4m．【分析】（1）设解析式为λ=k（k≠0），用待定系数法求解即可；f（2）把f＝75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．【解答】解：（1）设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=k（k≠0），f=30，把点（10，30）代入上式中得：k10解得：k＝300，；∴λ=300f=4，（2）当f＝75MHz时，λ=30075答：当f＝75MHz时，此电磁波的波长入为4m．【点评】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．23．（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．（1）求h 关于ρ的函数解析式；（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h ＝25cm ，求该液体的密度ρ．【答案】（1）h 关于p 的函数解析式为 ℎ=20ρ；（2）该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．【分析】（1）设h 关于ρ的函数解析式为 ℎ=k ρ，把ρ＝1，h ＝20代入解析式，解方程即可得到结论； （2）把 h ＝25 代入 ℎ=20ρ，求得ρ＝0.8，于是得到结论．【解答】解：（1）设h 关于ρ的函数解析式为 ℎ=kρ，把ρ＝1，h ＝20代入解析式，得k ＝1×20＝20， ∴h 关于ρ的函数解析式为 ℎ=20ρ；（2）把 h ＝25 代入 ℎ=20ρ，得 25=20ρ，解得：ρ＝0.8，答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．24．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A （固定）中放置一个物体，在右边托盘B （可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g ．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B 与点C 的距离x （cm ）（0＜x ≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：把上表中的x 与y 1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y 1关于x 的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．【答案】（1）作出y2关于x；（2）①y1是x的反比例函数，y1=300x②y2=300−5；x③减小，减小，下；（3）6≤x≤12.5．【分析】（1）描点作出图象即可；（2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；②由y2与y1关系，结合①可得答案；③观察图象可得答案；（3）根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．【解答】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：（2）①观察表格可知，y1是x 的反比例函数， 设y1=kx ，把（30，10）代入得：10=k 30，∴k ＝300，∴y1关于x 的函数表达式是y1=300x；②∵y1＝y2+5， ∴y2+5=300x；∴y2=300x−5；③观察图象可得，当0＜x ≤60时，y1随x 的增大而减小，y2随x 的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；故答案为：减小，减小，下； （3）∵y2=300x−5，19≤y2≤45，∴19≤300x −5≤45， ∴24≤300x≤50，∴6≤x ≤12.5．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y （单位：cm ）是物距（小孔到蜡烛的距离）x （单位：cm ）的反比例函数，当x ＝6时，y ＝2．（1）求y 关于x 的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm ，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）y=12x；（2）4cm．【分析】（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；（2）根据解析式代入数值解答即可．【解答】解：（1）由题意设：y=kx，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y=12x；（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm．【点评】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答．26．（2023•达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻L（灯丝的阻值R L＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、R L之间关系为I=UR+R L，通过实验得出如下数据：（1）a＝，b＝；（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2（x≥0），结合表格信息，探究函数y=12x+2（x≥0）的图象与性质．①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2（x≥0）的图象；②随着自变量x 的不断增大，函数值y 的变化趋势是 ．（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x ≥0时，12x+2≥−32x +6的解集为 ．【答案】（1）2，1.5； （2）①见解答过程； ②不断减小； （3）x ≥2或x ＝0．【分析】（1）由已知列出方程，即可解得a ，b 的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意，3=12a+2，b =126+2，∴a ＝2，b ＝1.5； 故答案为：2，1.5；（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y =12x+2（x ≥0）的图象如下：②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，故答案为：不断减小；（3）如图：由函数图象知，当x≥2或x＝0时，12x+2≥−32x+6，即当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为x≥2或x＝0，故答案为：x≥2或x＝0．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．27．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【答案】（1）y＝﹣2.5x+12；（2）y=13.5x；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．【分析】（1）设AC的函数关系式为：y＝kx+b，将A和C代入，从而求得k，b，进而求得的结果；（2）可推出x•y＝13.5为定值，所以当x≥3时，y是x的反比例函数，进而求得结果；（3）将x＝15代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，从而得出结论．【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，∴{b=123k+b=4.5，∴{b=12k=−2.5，∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，∴y是x的反比例函数，∴y=13.5x（x≥3）；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：当x＝15时，y=13.515=0.9，∵13.5＞0，∴y随x的增大而减小，∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．【点评】本题考查了求一次函数关系式，反比例函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数及其图象性质．28．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）请求出这个反比例函数的解析式；（2）蓄电池的电压是多少？（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？【答案】（1）I=48R；（2）48；（3）用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=kR ，将点（8，6）代入I=kR，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=kR，∵图象经过（8，6），∴6=k8，解得k＝6×8＝48，∴I=48R；（2）蓄电池的电压是6×8＝48；（3）∵I≤10，I=48R，∴48R≤10，∴R≥4.8，即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．29．（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．【答案】（1）ρ=10V；（2）该气体的密度为1kg/m3．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）将V＝10代入函数解析式求解．【解答】解：（1）设ρ=kV，将（4，2.5）代入ρ=kV 得2.5=k4，解得k＝10，∴ρ=10V．（2）将V＝10代入ρ=10V得ρ＝1．∴该气体的密度为1kg/m3．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．30．（2022•大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．【答案】（1）ρ=9.9V（V＞0）；（2）1.1≤ρ≤3.3．【分析】（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=kV（k≠0），利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）由k＝9.9＞0，利用反比例函数的性质可得出当V＞0时ρ随V的增大而减小，结合V的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．【解答】解：（1）设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=kV（k≠0）．∵当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3，∴1.98=k5，∴k＝9.9，∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=9.9V（V＞0）．（2）∵k＝9.9＞0，∴当V＞0时，ρ随V的增大而减小，∴当3≤V≤9时，9.99≤ρ≤9.93，即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出k值；（2）利用反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，找出ρ的变化范围．31．（2022•广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求储存室的容积V的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．【答案】（1）10000．（2）400≤S≤625．【分析】（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式求出V的值；（2）由d的范围和图象的性质求出S的范围．【解答】解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd ，把点（20，500）代入解析式得500=V20，∴V＝10000．（2）由（1）得S=10000d，∵S随d的增大而减小，∴当16≤d≤25时，400≤S≤625，【点评】此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中．32．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．。
反函数·典型例题精析
)(x x +1((0－112x x +ìíï(x )(x )，得所35211232352153253232x x x x y y y y --++－，－－，0)x y y x ---222(x (0得－，－111122yy x x--((0＝－x x +1【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a++(1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f(x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x aax x令x ＝0，∴a ＝－3．或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dxb cx adx b cx aax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1-1(x)(x)＝f(x)， 因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b ab f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f(x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．ìíîìíïïîïï--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f(x )f(x )f(x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f(2)532x x x x x x -+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211-----+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a--111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax a a x ax ----111111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f(x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称，对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．对称．。
(完整)反比例函数经典历年中考例题
反比例函数经典中考例题解析一一、填空题（每空3分，共36分）1、任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式:__________2、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n x(n ≠0）的图象有一个交点为点(2，3）,则m =______,n =_________ 。
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
3、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y=3x的图象都过A （m ，1）点，求此正比例函数解析式为________,另一个交点的坐标为________.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
4、已知反比例函数2k y x-=，其图象在第一、三象限内，则k 的值可为.(写出满足条件的一个k 的值即可）5、已知反比例函数x k y =的图象经过点)214(，，若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B （2，m )，求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为______________残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
6、已知双曲线xky =经过点（－1，3），如果A （11,b a )，B (22,b a ）两点在该双曲线上,且1a ＜2a ＜0，那么1b 2b ．7、函数y=x2的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数y=x2的图象的交点共有个酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
8、已知函数y kx =- (ｋ≠０）与ｙ＝4x-的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于ｙ轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为＿＿＿＿彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
9．如图，11POA 、212P A A 是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数4(0)y x x=>的图象上,斜边1OA 、12A A 都在x 轴上，则点2A 的坐标是____________。
謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
（第9题）10。
两个反比例函数x y 3=,xy 6=在第一象限内的图象如图所示, 点P 1，P 2，P 3，…，P 2 005在反比例函数xy 6=图象上，它们的横坐标分别是x 1,x 2，x 3，…,x 2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2 005个线，与xy 3=连续奇数，过点P 1， P 2，P 3，…，P 2 005分别作y 轴的平行的图象交点依次是Q 1(x 1，y 1），Q 2(x 2，y 2），Q 3(x 3，y 3），…，Q 2 005（x 2 005，y 2 005），则y 2 005=．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
反函数经典例题
反函数经典例题t 反函数是指： f(x)=ax(y)-yf(x)dx，而实际上它可表示为：f(x)=(a-x)f(y)，这样的函数就叫做反函数。
１．，这种函数图象称为y轴上的反函数。
2．若反函数y=f(x)，则该函数称为原函数的反函数。
3．， f'(y)=(y-1)f(x)，称为x轴上的反函数。
4．若反函数y=f'(x)，则该函数称为原函数的反函数。
5．函数是有两个自变量的，则称该函数为二次函数。
6．函数是有两个未知量的，则称该函数为三次函数。
7．函数是有三个自变量的，则称该函数为三次函数。
8．含有两个未知量和一个常数的二次函数图象的顶点为原点，若顶点在坐标轴上，则称为顶点在坐标轴上的函数。
9．若函数y=f(x)与x轴交于两点a、 b，则该函数图象关于直线y=x=a+b对称，记作： y=a+bx。
10．函数的图象关于坐标轴对称，记作： y=ax(a+bx)-bx，其中a、 b为常数。
可见，反函数其实并不神秘，只是我们平时没有去注意它，只要我们能多加练习，熟悉他，我相信，任何一个函数我们都可以把它变成一个反函数。
以下是两道经典的反函数例题：下面我们继续利用反函数解决函数问题。
1．f(x) = x。
2． f(x) = -(-3)^x + 2。
3．当x=-1时， f(x)的值为2， f(0)的值为-3。
4．，当f(0)等于0时， f(x) = -5，当f(0)不等于0时， f(x)等于5。
以上两道例题都给出了利用f(x)=a(y)dx求函数解析式。
为什么前一道题f(x)=0，而后一道题f(x)=-5，是不是f(x)=-5比f(x)=0小呢？答案是否定的，因为： a是正整数，即使它是0，但它还是个整数，而f(x)是-3的反函数，而-3是一个负整数，它等于-5，也就是说，当a是正整数时， f(x)将比f(x)小，而当a是负整数时， f(x)比f(x)大。
《中国著名数学家的学习故事》中有一篇文章《如何获得成功》，主人公海伦·凯勒曾说过：“我们不得不惊奇地发现，我们已经很久没有以严肃的态度开始新的一天了。
反比例函数经典中考例题-含答案
反比例函数经典中考例题解析二一、选择题（每小题3分，共30分）1、反比例函数y ＝xn 5图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）．A 、－2B 、－1C 、0D 、12、若反比例函数y ＝xk （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）．A 、（2，－1）B 、（－21，2） C 、（－2，－1） D 、（21，2）3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ）4、若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）． A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定5、一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝xk满足（ ）．A 、当x ＞0时，y ＞0B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小C 、图象分布在第一、三象限D 、图象分布在第二、四象限 6、如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ 交双曲线y ＝x1于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积（ ）．A 、逐渐增大B 、逐渐减小C 、保持不变D 、无法确定Q pxyot /h v /(km/Ot /h v /(km/Ot /hv /(km/Ot /hv /(km/OA ．B ．C ．D ．7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V 在一定范围内满足ρ＝Vm ，它的图象如图所示，则该气体的质量m 为（ ）．A 、1.4kgB 、5kgC 、6.4kgD 、7kg8、若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）．A 、y 1＞y 2＞y 3B 、y 1＜y 2＜y 3C 、y 1＝y 2＝y 3D 、y 1＜y 3＜y 29、已知反比例函数y ＝xm21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）．A 、m ＜0B 、m ＞0C 、m ＜21 D 、m ＞2110、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）．A 、x ＜－1B 、x ＞2C 、－1＜x ＜0或x ＞2D 、x ＜－1或0＜x ＜2 二、填空题（每小题3分，共30分）11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式为 .12、已知反比例函数xk y =的图象分布在第二、四象限，则在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变”）．13、若反比例函数y ＝xb 3-和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ ．14、反比例函数y ＝（m ＋2）x m 2－10的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为 ．15、有一面积为S 的梯形，其上底是下底长的31，若下底长为x ，高为y ，则y 与x 的函数关系是 ．16、如图，点M 是反比例函数y ＝xa （a ≠0）的图象上一点，过M 点作x 轴、y 轴的平行线，若S 阴影＝5，则此反比例函数解析 式为 ．17、使函数y ＝（2m 2－7m －9）x m2－9m ＋19是反比例函数，且图象在每个象限内y 随x 的增大而减小，则可列方程（不等式组）为 ．18、过双曲线y ＝xk （k ≠0）上任意一点引x 轴和y 轴的垂线，所得长方形的面积为______．19. 如图，直线y ＝kx(k ＞0)与双曲线xy 4交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1＝___________．20、如图，长方形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B （－320，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的 点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析 式是 ．三、解答题（共60分）21、（8分）如图，P 是反比例函数图象上的一点，且点P 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，求这个反比例函数的解析式．23、（10分）如图，已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是双曲线y ＝xk 在第一象限内的分支上的两点，连结OA 、OB ．（1）试说明y 1＜OA ＜y 1＋1y k ；（2）过B 作BC ⊥x 轴于C ，当m ＝4时，求△BOC 的面积．24、（10分）如图，已知反比例函数y ＝－x8与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2．求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积．25、（11分）如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝xk 的图象交于M 、N 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．26、（12分）如图， 已知反比例函数y ＝xk 的图象与一次函数y ＝a x ＋b 的图象交于M （2，m ）和N （－1，－4）两点． （1）求这两个函数的解析式；（2）求△MON 的面积； （3）请判断点P （4，1）是否在这个反比例函数的图象上， 并说明理由．参考答案一、选择题1、D ；2、A ；3、C ；4、B ；5、D ；6、C7、D ；8、B ；9、D ； 10、D ． 二、填空题11、y ＝x1000； 12、减小； 13、5 ； 14、－3 ；15、y ＝xs 23 ； 16、y ＝－x5； 17、⎩⎨⎧---=+-0972119922＞m m m m ； 18、|k|； 19、 20； 20、y ＝－x 12．三、解答题21、y ＝－x6．22、举例：要编织一块面积为2米2的矩形地毯，地毯的长x （米）与宽y （米）之间的函数关系式为y ＝x2（x ＞0）．23、（1）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，则OD ＝x 1，AD ＝y 1，因为点A （x 1，y 1）在双曲线y ＝xk 上，故x 1＝1y k ，又在Rt △OAD 中，AD ＜OA ＜AD ＋OD ，所以y 1＜OA ＜y 1＋1y k ； （2）△BOC 的面积为2．24、（1）由已知易得A （－2，4），B （4，－2），代入y ＝kx ＋b 中，求得y ＝－x ＋2；（2）当y ＝0时，x ＝2，则y ＝－x ＋2与x 轴的交点M （2，0），即|OM|＝2，于是S △AOB ＝S △AOM ＋S △BOM ＝21|OM|·|y A |＋21|OM|·|y B |＝21×2×4＋21×2×2＝6．25、（1）将N （－1，－4）代入y ＝xk ，得k ＝4．∴反比例函数的解析式为y ＝x4．将M （2，m ）代入y ＝x4，得m ＝2．将M （2，2），N （－1，－4）代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎨⎧-=+-=+.b a ,b a 422解得⎩⎨⎧-==.b ,a 22∴一次函数的解析式为y ＝2x －2．（2）由图象可知，当x ＜－1或0＜x ＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．26、解（1）由已知，得－4＝1-k ，k ＝4，∴y ＝x4．又∵图象过M （2，m ）点，∴m ＝24＝2，∵y ＝a x ＋b 图象经过M 、N 两点，∴,422⎩⎨⎧-=+-=+b a b a 解之得,22⎩⎨⎧-==b a ∴y ＝2x －2．（2）如图，对于y ＝2x －2，y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），OA ＝1，∴S △MON ＝S △MOA ＋S △NOA ＝21OA ·MC＋21OA ·ND ＝21×1×2＋21×1×4＝3．（3）将点P （4，1）的坐标代入y ＝x4，知两边相等，∴P 点在反比例函数图象上。
中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题.doc
中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题一、反比例函数1 ．如图，已知A（﹣ 4 ，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b 与反比例函数（ m≠0，m ＜ 0 ）图象的两个交点，AC⊥ x轴于 C ， BD⊥ y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及 m 的值；（3） P 是线段 AB 上的一点，连接 PC， PD，若△ PCA和△PDB 面积相等，求点 P 坐标．【答案】（1）解：当﹣ 4＜ x＜﹣ 1 时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把 A（﹣ 4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把 B（﹣ 1， 2）代入 y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）解：如下图所示：设 P 点坐标为（ t ，t+），∵△ PCA和△ PDB面积相等，∴??（ t+4） = ?1?（ 2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P 点坐标为（﹣，）．【解析】【分析】（ 1）观察函数图象得到当﹣4＜ x＜﹣ 1 时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把 B 点坐标代入y=可计算出m的值；（3）设P 点坐标为（t ，t+），利用三角形面积公式可得到??（t+4 ） = ?1?（ 2﹣t ﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P 点坐标．2．如图，一次函数y1=k1 x+b 与反比例函数y2=的图象交于点A（4， m）和 B（﹣ 8，﹣2），与 y 轴交于点C．（1） m=________， k1=________；（2）当 x 的取值是 ________时， k1 x+b＞；（3）过点 A 作 AD⊥ x 轴于点 D，点 P 是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段 AD 交于点 E，当 S四边形ODAC： S△ODE=3： 1时，求点 P 的坐标．【答案】（1） 4；（2）﹣ 8＜ x＜ 0 或 x＞4（3）解：由（ 1）知， y1= x+2 与反比例函数 y2= ，∴点 C 的坐标是（ 0，2），点 A的坐标是（ 4， 4）．∴CO=2， AD=OD=4．∴S = ?OD= × 4=12，梯形ODAC∵S ： S△ODE=3： 1，四边形 ODAC∴S△ODE= S 梯形ODAC=× 12=4，即OD?DE=4，∴D E=2．∴点 E 的坐标为（ 4，2）．又点 E 在直线 OP 上，∴直线 OP 的解析式是y=x，∴直线 OP 与 y2=的图象在第一象限内的交点P 的坐标为（ 4，2）．【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数 y2= 的图象过点 B（﹣ 8，﹣ 2），∴ k2=（﹣8）×（﹣ 2） =16，即反比例函数解析式为y2=，将点 A（ 4， m）代入 y2= ，得： m=4，即点 A（ 4，4），将点 A（ 4， 4）、 B（﹣ 8，﹣ 2）代入 y1=k1 x+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y1=x+2，故答案为： 4，；（ 2 ）∵ 一次函数 y1=k1x+2 与反比例函数y2= 的图象交于点A（ 4，4）和 B（﹣ 8，﹣ 2），∴当 y1＞ y2时， x 的取值范围是﹣ 8＜ x＜0 或 x＞ 4，故答案为：﹣8＜ x＜ 0 或 x＞ 4；【分析】（ 1）由 A 与 B 为一次函数与反比例函数的交点，将 B 坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将 A 的坐标代入反比例解析式中求出m 的值，确定出 A 的坐标，将 B 坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（ 2）由 A 与 B 横坐标分别为4、﹣ 8，加上 0，将 x 轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x 的范围即可；（ 3 ）先求出四边形ODAC 的面积，由S 四边形ODAC：S=3： 1 得到△ ODE 的面积，继而求得点 E 的坐标，从而得出直线OP 的解析式，结合△ODE反比例函数解析式即可得．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1 =ax+b（ a≠0）的图象与 y 轴相交于点A，与反比例函数y2=（c≠0）的图象相交于点B（3， 2）、 C（﹣ 1 ，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出y1＞ y2时 x 的取值范围；P 的坐标；若不（3）在 y 轴上是否存在点P，使△ PAB 为直角三角形？如果存在，请求点存在，请说明理由．【答案】（1）解：把 B（ 3，2）代入得：k=6∴反比例函数解析式为：把 C（﹣ 1， n）代入，得：n=﹣ 6∴C（﹣ 1，﹣ 6）把B（ 3 ， 2 ）、 C（﹣ 1 ，﹣ 6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：所以一次函数解析式为y1=2x﹣ 4（2）解：由图可知，当写出 y1＞ y2时 x 的取值范围是﹣ 1＜ x＜ 0 或者 x＞3．（3）解： y 轴上存在点 P，使△ PAB为直角三角形如图，过B 作 BP1⊥y 轴于 P1，∠B P1 A=0，△ P1AB 为直角三角形此时， P1（ 0， 2）过 B 作 BP2⊥ AB 交 y 轴于 P2∠P2BA=90，△ P2AB 为直角三角形在Rt△ P1AB 中，在Rt△ P1 AB 和 Rt△ P2 AB∴∴P2（ 0，）综上所述， P1（ 0，2）、 P2（ 0，）．【解析】【分析】（ 1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点 C 坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（ 2 ）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．4．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、 BC 分别为线段， CD 为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【答案】（1）解：设线段AB 所在的直线的解析式为y1=k1x+20，把B（ 10，40）代入得， k1=2，∴y1=2x+20．设 C、D 所在双曲线的解析式为y2=，把C（25， 40）代入得， k2=1000，∴当x1=5 时， y1=2× 5+20=30，当，∴y1＜ y2∴第 30 分钟注意力更集中．（2）解：令 y1 =36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴，∴∵27.8﹣ 8=19.8＞ 19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【解析】【分析】（ 1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段在的直线的解析式，和C、 D 所在双曲线的解析式；把AB 所进行比较得到y1＜ y2，得出第30 分钟注意力更集中；（2）当 y1=36 时，得到x1=8，当 y2 =36，得到，由 27.8﹣ 8=19.8＞ 19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 .5．一次函数 y=ax+b（ a≠0）的图象与反比例函数 y= （ k≠0）的图象相交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D，点 D 的坐标为（﹣ 1 ， 0 ），点 A 的横坐标是 1 ，tan∠ CDO=2．过点 B 作 BH⊥ y 轴交 y 轴于 H，连接 AH．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ ABH 面积．【答案】（1）解：∵点 D 的坐标为（﹣ 1， 0）， tan∠ CDO=2，∴C O=2，即 C（ 0， 2），x1 =5 时和把 C（0， 2）， D（﹣ 1， 0）代入 y=ax+b 可得，，解得，∴一次函数解析式为y=2x+2，∵点 A 的横坐标是1，∴当 x=1 时， y=4，即 A（ 1，4），把A（ 1， 4）代入反比例函数 y= ，可得 k=4，∴反比例函数解析式为 y=（2）解：解方程组，可得或，∴B（﹣ 2，﹣ 2），又∵ A（ 1， 4）， BH⊥y 轴，∴△ ABH 面积 =× （2×4+2）=6．【解析】【分析】（ 1）先由 tan∠ CDO=2 可求出 C 坐标，再把 D 点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出 A 坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（ 2）△ ABH 面积可以 BH 为底，高 =y A-y B=4-(-2)=6.6．如图，已知直线y＝x 与双曲线y＝交于A、B两点，且点A 的横坐标为.（1）求 k 的值；（2）若双曲线 y＝上点 C 的纵坐标为 3，求△ AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点 M ，在直线 AB 上有一点 P，在双曲线 y＝上有一点 N，若以 O、M、 P、 N 为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P 的坐标 .【答案】（ 1）解：把x=代入，得y=，∴A（，1），把点代入，解得：；（2）解：∵把 y=3 代入函数，得x=，∴C 设过，，两点的直线方程为：，把点，，代入得：，解得：∴设，，与轴交点为，则点坐标为，∴；（ 3 ）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，根据，即得：，解得：.故点坐标为：或【解析】【分析】（ 1）先求的点坐标，再用待定系数法求的直线.A 点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出AC 的解析式，然后求得直线AC 与 x 的交点坐标，再根C据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于a 的式子表示出N 的坐标，再根据菱形的性质得，求出 a 的值即可 .7．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。
反函数_典型例题精析
2．4 反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0)(0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+-解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)，由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x yy xx++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1)x(1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2，反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a axx 令x ＝0，∴a ＝－3．或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax bcx d++试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc adc cxd dx bcx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)， 因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x xx-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a--111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
(完整版)反函数基础练习含答案
反函数基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1)4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+-5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是x 1y＝－，那么另一个函数是[ ] A．y＝x2＋1(x≤0)B．y＝x2＋1(x≥1)C．y＝x2－1(x≤0)D．y＝x2－1(x≥1)7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ] A．(a，f-1(a))B．(f-1(b)，b)C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是[ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是[ ]10y g(x)．函数＝的反函数是，则13x[ ]A ．g(2)＞g(－1)＞g(－3)B ．g(2)＞g(－3)＞g(－1)C ．g(－1)＞g(－3)＞g(2)D ．g(－3)＞g(－1)＞g(2) (二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121 解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________，b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x ---⎧⎨⎪⎩⎪--(三)解答题1y 12f(x)．求函数＝＋的反函数，并作出反函数的图像．．已知函数＝．x ax x +++252(1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y ＝f -1(x)的图像上一点，求函数y ＝f(x)的值域．3．已知函数y ＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)在它的定义域内也是增函数．4f(x)y g(x)y f (x 1)．设函数＝，函数＝的图像是＝＋的图像2311x x +-- 关于y ＝x 对称，求g(2)的值．参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．9．(C)．解：令t=x －1．∵x ≤1，∴t ≤0，f(t)=t 2＋2(t ≤0)，即f(x)=x 2＋2(x ≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2，值域y ≤0，故选(C)．10(B)g(x)=1x (0)33．．解：∵在－∞，上是减函数，又－＜－＜100g(3)g(1)g(2)=120g(2)g(3)g(1)3，∴＞－＞－而＞，∴＞－＞－．故选 (B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜． 3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443比较两边对应项系数得，．a =14b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2(三)解答题1x 2y 1y =x 21=．解：∵≥－，得值域为≥．由＋＋得反函数f x -1()(x －1)2－2，(x ≥1)，其图像如右图．2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1，x ∈R ，∴y=f -1(x)的值域是{y|y ≠1，y ∈R}．解(2)：∵点P(1，2)在，y=f -1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x的对称点为′，一定在的图像上，即由＋＋得－，∴－＋，其反函数－＋．∵的定义域为≠－，∈，∴的值域为≠－，∈．P (21)y =f(x)=1a =f(x)=10x 2x 4f -(x)=104x 2x 1f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}112522121212a3．证明略．4f(x)=2x 3x 1f -(x)=x 3f (x 1)=11．略解；＋－的反函数是＋－，∴＋x 2x 4x 1x 4x 1=2x =6g(2)=6＋－，由＋－得即．。
中考数学反比例函数综合经典题及答案
中考数学反比例函数综合经典题及答案一、反比例函数1．已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A（﹣1，2），B（2，n），与y轴交于C 点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）如图1，若将y=kx+b向下平移，使平移后的直线与y轴交于F点，与双曲线交于D，E两点，若S△ABD=3，求D，E的坐标．（3）如图2，P为直线y=2上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q，交双曲线于R，若QR=2QP，求P点坐标．【答案】（1）解：点A（﹣1，2）在反比例函数y= 的图象上，∴m=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的表达式为y=﹣，∵点B（2，n）也在反比例函数的y=﹣图象上，∴n=﹣1，即B（2，﹣1）把点A（﹣1，2），点B（2，﹣1）代入一次函数y=kx+b中，得，解得：k=﹣1，b=1，∴一次函数的表达式为y=﹣x+1，答：反比例函数的表达式是y=﹣，一次函数的表达式是y=﹣x+1；（2）解：如图1，连接AF，BF，∵DE∥AB，∴S△ABF=S△ABD=3（同底等高的两三角形面积相等），∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴C（0，1），设点F（0，m），∴AF=1﹣m，∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= （1﹣m）×（1+2）=3，∴m=﹣1，∴F（0，﹣1），∵直线DE的解析式为y=﹣x+1，且DE∥AB，∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①．∵反比例函数的表达式为y=﹣②，联立①②解得，或∴D（﹣2，1），E（1，﹣2）；（3）解：如图2由（1）知，直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，双曲线的解析式为y=﹣，设点P（p，2），∴Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），PQ=|2+p+1|，QR=|﹣p﹣1+ |，∵QR=2QP，∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|，解得，p= 或p= ，∴P（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而可得到反比例函数的解析式；把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式；（2）依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3，再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标，即可得出直线DE的解析式，即可求出交点坐标；（3）设点P（p，2），则Q（p，﹣p﹣1），R（p，﹣），然后可表示出PQ与QR的长度，最后依据QR=2QP，可得到关于p的方程，从而可求得p的值，从而可得到点P的坐标.2．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .3．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：①当x-3时，y=x+3；②当x<-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，∴y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）解：如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=4，∵点C（1，4）在反比例函数y=上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点，∴设点D的坐标为（m，m+3），且-3<m<1，∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴点P的坐标为（，m+3），∴PD=-m，∴S△PAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，∵a=<0，∴当m=时，S有最大值，最大值为，又∵-3<<1，∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形，理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时点P的坐标为（2，2），点E的坐标为（-5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象写出新函数的两条性质；利用待定系数法求新函数解析式，注意分两种情况讨论；（2）①先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，设出点D的坐标，进而得到点P的坐标，再根据三角形的面积公式得出函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；②先求出A的中点D的坐标，再计算DP、DE的长度，如果对角线互相平分，则能成为平行四边形，如若对角线不互相平分，则不能成为平行四边形.4．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，∴a=﹣1+3=2，∴点A（1，2）．∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，∴k=1×2=2，∴反比例函数的表达式为y= ．联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点B（2，1）（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．∵点B、B′关于x轴对称，∴PB=PB′．∵点A、P、B′三点共线，∴此时PA+PB取最小值．设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，，解得：，∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．当y=﹣3x+5=0时，x= ，∴满足条件的点P的坐标为（，0）．【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．5．【阅读理解】我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2（1）【直接应用】若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________（3）【探索应用】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式；②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．【答案】（1）1；2（2）4（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴AC=x+3，BD= +2，∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；②∵x＞0，∴x+ ≥2 =6，∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，∴此时S=6+x+ 有最小值12，∵x=3，∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形．【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【答案】（1）平行（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x= 带入y=k1x得y= ，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，∴a= = = ，∴a﹣b= ﹣ = = ，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．7．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+ 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.（1）当直线l与直线y= x+ 平行时，求出直线l的解析式；（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数.【答案】（1）解：当直线l与直线y＝ x＋平行时，设直线l的解析式为y＝ x ＋b，∵直线l经过点C（1，0），∴0＝＋b，∴b＝，∴直线l的解析式为y＝x−（2）解：①对于直线y＝ x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝−1，∴A（0，），B（−1，0），∵C（1，0），∴AC＝，②如图1中，作CE∥OA，∴∠ACE＝∠OAC，∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACE＝30°，∴α＝30°（3）解：①如图2中，当α＝15°时，∵CE∥OD，∴∠ODC＝15°，∵∠OAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝15°，∴AD＝AC＝AB，∴△ADB，△ADC是等腰三角形，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴△DBC是等腰三角形；②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴DA＝DC＝DB，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；④当α＝150°时，易知△BDC是等边三角形，∴AB＝BD＝DC＝AC，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形，综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】（1）设直线l的解析式为y＝ x＋b，把点C（1，0）代入求出b即可；（2）①求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；②如图1中，由CE∥OA，推出∠ACE＝∠OAC，由tan∠OAC＝，推出∠OAC＝30°，即可解决问题；（3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可.8．综合实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究：（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？（2）如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm，底面积为________cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为________cm3.【答案】（1）解：A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；C．可以折叠成无盖正方体；D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．故答案为：C．（2）解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”（3）x；（20﹣2x）2；576【解析】【解答】（3）解：①如图，②设剪去的小正方形的边长为x（cm），用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为（20﹣2x）2cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为=x（20﹣2x）2=4×（20﹣2×4）2=576（cm3）．故答案为：x，（20﹣2x）2， 576【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积、体积，即可解答．9．请完成下面题目的证明．如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE（1）求证:直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH；①求证:△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）证明：①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC解：②由△CBH∽△OBC可知：∵AB=8，∴BC2=HB•OC=4HB，∴HB= ，∴OH=OB-HB=∵CB=CH，∴OH+HC=当∠BOC=90°，此时BC=∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时，∴OH+HC可取得最大值，最大值为5【解析】【分析】（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB= ，由于BC=HC，所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．设NG=n，则NE=3﹣n．∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m的最小值为：；如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．过C作CG⊥ED于G．∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．故：m≤5．【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．11．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC．∴BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，∴OD＝AD﹣AO＝，∴点D的坐标为：（，0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，∴，∴∴m＝，如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，∴△APQ∽△ADB，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）解：将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）解：①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴．【解析】【分析】（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到结论．。
反函数典型例题精析
2． 4 反函数·例题分析【例 1】求以下函数的反函数：(1)y ＝3x5 (x ≠－ 1) ．2x 1 2(2)y ＝ x 2 － 2x ＋ 3， x ∈ ( －∞， 0] ．1(3)y ＝ x 2 1 (x ≤ 0)．x +1 ( －1≤x ≤ 0)(4)y ＝－ x (0＜x ≤1)解 (1) ∵ y ＝3x 5(x ≠－ 1 )，∴ y ≠ 3，2x1 22 由 y ＝3x5得 (2y － 3)x ＝－ y － 5，2x1∴ x ＝y5所求反函数为y ＝y5 (x ≠ 3)．3 2y3 2y 2解 (2)∵ y ＝(x －1) 2＋ 2， x ∈ (－∞， 0]其值域为 y ∈ [2，＋∞ )，由 y ＝ (x － 1) 2 ＋ 2(x ≤ 0) ，得 x －1＝－ y 2，即 x ＝ 1－ y 2∴反函数为 f1(x) ＝ 1－ x 2， (x ≥ 2) ．1解 (3)∵y ＝ x 2 1 (x ≤ 0) ，它的值域为 0＜y ≤1，由 y ＝21 得 x ＝－1yy ，x1∴反函数为 f1(x) ＝－ 1 x(0 ＜x ≤1)．x解 (4)由y ＝ x 1(－1≤ x ≤ 0)，得值域 0≤y ≤1，反函数 f 1 (x) ＝ x 2 －1(0≤x ≤1)． 由 y ＝－ x (0＜x ≤1)，得值域－ 1≤ y ＜ 0，反函数 f 1 (x) ＝x 2 ( －1≤x ＜ 0)，x 2 －1 (0≤ x ≤ 1)故所求反函数为 y ＝ 2( － ≤ ＜ ． x 1 x 0)【例 2】求出以下函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y ＝ x 1－ 1(2)y ＝－ 3x 2 － 2(x ≤ 0)解 (1)∵已知函数的定义域是 x ≥ 1，∴值域为 y ≥－ 1，由y ＝ x 1－1，得反函数 y ＝(x ＋1)2 ＋1(x ≥－ 1)．函数y ＝ x 1－1与它的反函数 y ＝(x ＋1)2 ＋1的图像如图 2． 4－1所示．解 (2)由 y ＝－ 3x 2－ 2(x ≤0) 得值域 y ≤－ 2，x2反函数 f 1 (x) ＝－(x ≤－ 2) ．它们的图像如图2． 4－ 2 所示．【例 3】 已知函数 f(x) ＝3x1(x ≠－ a ， a ≠ 1)．xa3(1) 求它的反函数； (2)求使 f-1(x)＝ f(x) 的实数 a 的值．解 (1) 设 y ＝3x 1，∴ x ≠－ a ， x a∵ y(x ＋ a)＝ 3x ＋ 1， (y － 3)x ＝ 1－ ay ，这里 y ≠ 3，若 y ＝ 3，则 a ＝ 1 这与已知 a ≠ 1矛盾，3 3∴ x ＝ 1 ay ，，即反函数 f 1(x) ＝ 1 ax ．y 3 x 3 (2) 若f(x) ＝f1(x)，即3x1 ＝ 1ax对定义域内全部 x 的值恒建立，x a x3令 x ＝ 0，∴ a ＝－ 3．或解 由 f(x) ＝ f-1(x) ，那么函数 f(x) 与 f-1(x) 的定义域和值域同样，定义域是 {x|x ≠ a ， x ∈ R } ，值域 y ∈ {y|y ≠ 3， y ∈ R } ，∴－ a ＝3 即 a ＝－ 3．【例 4】 已知函数 y ＝ f(x) ＝axb中， a 、 b 、 c 、 d 均不为零，cxd试求 a 、b 、 c 、 d 知足什么条件时，它的反函数还是自己．解 f(x) ＝ a ＋bcad，∵常数函数没有反函数，c c( cx d)∴ bc － ad ≠ 0．又 f 1 (x) ＝ dx b ，cx a 要使dx b ＝ axb，对定义域内全部 x 值恒建立，cx a cx d令 x ＝ 0，得－ a ＝ d ，即 a ＋ d ＝ 0．事实上，当 a ＋ d ＝0 时，必有 f-1(x) ＝ f(x) ，所以所求的条件是bc － ad ≠ 0，且 a ＋ d ＝0．【例 5】设点 M(1 ，2)既在函数f(x) ＝ax 2＋ b(x ≥ 0)的图像上，又在它的反函数图像上， (1)求 f-1(x)， (2) 证明 f-1(x) 在其定义域内是减函数．2＝ a ＋ ba ＝－117解 (1)得3，∴ f(x) ＝－ 2 ＋ 由7 3x (x ≥ 0)1＝ 4a ＋ b3b ＝3证 (2)1 27 (x ≥ 0) 得反函数 f 1(x) ＝ 7 3x (x ≤7由 y ＝－x＋)．333设 x 1 ＜x 2 ≤ 7，∴ 7－ 3x 1 ＞ 7－ 3x 2≥ 0， 3∴ 7 3x 1 ＞ x 3x 2 ，即 f 1 (x 1 )＞f 1 (x 2 )，故 f 1(x) 在 ( －∞， 7]上是减函数．3 【例 6】 若函数 f(x) ＝x1，求 f 1( 2)的值．x 2解法 ( 一 ) 先求函数 f(x) ＝x1的反函数 f 1(x) ＝12x ，x 21 x于是f 1( 2)＝122＝－－3 ．1252解法 (二)由函数 y ＝ f(x) 与其反函数 y ＝ f-1(x)之间的一一对应关系，求 f1 (2) 的值，就是求 f(x) ＝ 2时对应的 x 的值，∴令x1 ＝ 2，x2得 x ＝－ 5－ 3 2，即 f 1(2)＝－5－3 2．【例 7】已知 ∈ R ，且 ≠ ， ≠ ．设函数f(x) ＝ x1a a 0 a 1ax 1(x ∈ R 且 x ≠ 1) ，证明 y ＝ f(x) 的图像对于直线 y ＝ x 对称．a证 由 y ＝x1， a ≠ 0，a ≠1，得 (ay － 1)x ＝ y － 1，ax 1假如 ay －1＝ 0，则 y ＝ 1，a∴ 1 ＝ x 1 得a ＝1，这与已知 a ≠1矛盾， a ax 1∴ ay －1≠ 0，故 x ＝y1 ，∴ f 1(x) ＝ x1 ，ay1 ax 1即证得 f(x) ＝x1的反函数就是它自己．ax 1由于原函数的图像与其反函数的图像对于直线 y ＝ x 对称，∴函数 y ＝ f(x) 的图像对于直线y ＝x 对称．。
反函数专题含答案
反函数专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，则f(x)=()A.ln(x−1)B.ln x−1C.ln(x+1)D.ln x+12. 指数函数y＝a x(a>0, a≠1)的反函数图象过点(4, 2)，则a＝（）A.3B.2C.9D.43. 已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x+1(x>0)的图象关于直线y=x对称，则（）A.f(x)=log2x−1(x>2)B.f(x)=log2x−1(x>0)C.f(x)=log2(x−1)(x>2)D.f(x)=log2(x−1)(x>0)4. 函数y=√x23−1(x≥−1)的反函数是（）A.y=√(x+1)3(x≥−1)B.y=−√(x+1)3(x≥−1)C.y=√(x+1)3(x≥0)D.y=−√(x+1)3(x≥0)5. 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数，则f(2)的值是（）A.4B.2C.1D.06. 函数y=(12)x2(x≥1)的反函数为（）A.y=√log12x(0<x≤2) B.y=−√log12x(0<x≤12)C.y=√log12x(0<x≤12) D.y=−√log12x(0<x≤2)7. 函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数是（）A.y=4x+2x+1(x>0)B.y=4x+2x+1(x∈R)C.y=4x+2x+2(x>0)D.y=4x+2x+2(x∈R)A.(−∞, 2]B.(−∞, −4]∪[2, +∞)C.[−2, +∞)D.(−∞, −2]∪[4, +∞)9. 已知函数y=f(x)与y=f−1(x)互为反函数，又y=f−1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，若f(x)=log12(x2+2)(x>0)，那么g(√6)等于（）A.−4B.−3C.−2D.210. 已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的反函数的图象经过点(√22,12)．若函数g(x)的定义域为R，当x∈[−2,2]时，有g(x)=f(x)，且函数g(x+2)为偶函数．则下列结论正确的是（）A.g(π)<g(3)<g(√2)B.g(π)<g(√2)<g(3)C.g(√2)<g(3)<g(π)D.g(√2)<g(π)<g(3)11. 函数f(x)=xx+1(x>0)的反函数为f−1(x)=________．12. 函数y=log2(√x+4+2)(x>0)的反函数是________．13. f(x)=−√1−x(x≤1)，则f−1(x)=________．14. 函数y=2x1+x（x∈(−1, +∞)）图象与其反函数图象的交点为________．15. 已知函数f(x)=|1−12x4x|的反函数为f−1(x)，则f−1(12)=________．16. 已知函数y=g(x)的图象与函数y=3x+1的图象关于直线y=x对称，则g(10)的值为________．17. 设f−1(x)为f(x)=3x−1+x−1，x∈[0, 1]的反函数，则y=f(x)+f−1(x)的最大值为________．18. 若函数y=2x+1x−a的图象关于直线y=x对称，则实数a的值为________．19. 若定义在R上的函数y=f(x+1)的反函数是y=f−1(x−1)，且f(0)=1，则f(2006)=________．，函数y=g(x)的图象与y=f−1(x−1)的图象关于直线y= 20. 已知函数f(x)=1−2x1+xx对称，则g(x)=________．的反函数．21. 求函数y=2x2x+122. 设y=f(x)是函数y=a x−1(a>0, a≠1)的反函数，（1）试比较3f(x)与f(3x)的大小；（2）若在区间[1, 2]上的最大值比最小值大1，求实数a的值．的反函数．23. 求函数y=x−4x+424. 一次函数y=−x的图象与它的反函数的图象重合，试写出一个非一次函数的函数，使它的图象与其反函数的图象重合．25. 已知函数f(x)=3x，且f−1(18)=a+2，g(x)=3ax−4x（1）求a的值；（2）求g(x)的表达式；（3）当x∈[−1, 1]时，g(x)的值域并判断g(x)的单调性．26. 已知函数f(x)=3x−3−x，求它的反函数f−1(x)．227. 已知函数f(x)=√a−3x的反函数为y=f−1(x)（1）求函数f(x)的反函数f−1(x)的解析式；（2）若y=f(x)的图象与直线y=x有交点，求实数a的取值范围；（3）判断方程f(x)=f −1(x)的实根的个数，并说明理由．28. 已知函数f(x)=log a (x +√1+x 2)(x ∈R ，a >0，a ≠1)．(1)判断f(x)奇偶性；(2)若g(x)图象与曲线y =f(x)(x ≥34)关于y =x 对称，求g(x)的解析式及定义域；(3)若g(x)<5m −5−m 2对于任意的m ∈N ∗恒成立，求a 的取值范围．29. 求证：若奇函数f(x)存在反函数，则反函数必为奇函数．30. 若函数f(x)=a +1x−b 与g(x)=1+c 2x+1互为反函数，求实数a 、b 、c 的值．31. 求函数f(x)=√x 2+x(x ≤−1)的反函数．32. 求函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数．33. 求函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数．34. 已知函数f(x)=log a (a x −1)(a >1)且x >1，求使f(2x)=f −1(x)的x 的值．35. 若函数y =1−ax 1+ax (x ≠−1a , x ∈R)的图象关于直线y =x 对称，求a 的值．36. 已知函数f(x)=3x+1x+a (x ≠−a, a ≠13)． （1）求f(x)的反函数f −1(x)；（2）若函数f(x)的图象关于直线y =x 对称，求实数a 的值．（1）求f(x)的反函数图象上点(1, 0)处的切线方程；（2）证明：曲线y =f(x)与曲线y =12x 2+x +1有唯一公共点；（3）设a <b ，比较f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a 的大小，并说明理由．38. 已知函数f(x)的反函数是f −1(x)，g(x)的反函数为g −1(x)．（1）求证f （g(x)）的反函数为g −1（f −1(x)）；（2）F(x)=f(−x)，G(x)=f −1(−x)，若F(x)是G(x)的反函数，求证：f(x)是奇函数．39. 已知函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2)，设g(x)=3ax −4x 的定义域为区间[−1, 1]，（1）求g(x)的解析式；（2）若方程g(x)=m 有解，求m 的取值范围；（3）对于任意的n ∈R ，试讨论方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数．40. 已知函数y =f(x)存在反函数，定义：若对给定的实数a(a ≠0)，函数y =f(x +a)与y =f −1(x +a)互为反函数，则称y =f(x)满足“a 和性质”．（1）判断函数g(x)=x 2+1(x >0)是否满足“1和性质”，说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数．参考答案与试题解析反函数专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】反函数【解析】与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=ln x，只需把y=ln x向左平移一个单位长度即可．【解答】解：由题意可知与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=ln x，只需把y=ln x向左平移一个单位长度得到y=ln(x+1)，∴f(x)=ln(x+1)，故选：C2.【答案】B【考点】反函数【解析】根据反函数与原函数的定义域和值域的关系求解即可．【解答】指数函数y＝a x(a>0, a≠1)的反函数图象过点(4, 2)，根据反函数的值域是原函数的定义域，可知：指数函数图象过点(2, 4)，可得，4＝a2，解得：a＝2；3.【答案】A【考点】反函数【解析】由题意可得，函数y=f(x)是函数y=2x+1(x>0)的反函数，求出函数y=2x+1(x> 0)的反函数，即可得到f(x)的解析式．【解答】解：由于函数y=f(x)的图象与函数y=2x+1(x>0)的图象关于直线y=x对称，故函数y=f(x)是函数y=2x+1(x>0)的反函数．由y=2x+1(x>0)可得x+1=log2y，x=log2y−1，y>2．故y=2x+1(x>0)的反函数为y=log2x−1 (x>2)，故f(x)=log2x−1，(x>2)．故选A．4.B【考点】反函数【解析】由条件求得y ≥−1，x =−√(y +1)3，把x 、y 互换，并注明反函数的定义域，即可求得反函数．【解答】解：∵ 函数y =√x 23−1(x ≥−1)，y ≥−1，∴ x 2=(y +1)3，故x =−√(y +1)3，故反函数为y =−√(x +1)3(x ≥−1)，故选B ．5.【答案】C【考点】反函数【解析】令反函数的值 2x =2，可得x 的值，即为f(2)的值．【解答】解：根据函数与反函数的关系，令 2x =2，可得x =1，故f(2)=1，故选C ．6.【答案】C【考点】反函数【解析】由y =(12)x 2(x ≥1)，能导出x =√log 12y ，0<y ≤12，x ，y 互换，得到函数y =(12)x 2(x ≥1)的反函数为y =√log 12x ，0<x ≤12． 【解答】解：∵ y =(12)x 2(x ≥1)，∴ x 2=log 12y ，0<y ≤12，x =√log 12y ，0<y ≤12，x ，y 互换，得到函数y =(12)x 2(x ≥1)的反函数为y =√log 12x ，0<x ≤12． 故选C ．7.【答案】D【考点】【解析】根据已知中函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的解析式及定义域，我们可以求出函数的值域，即反函数的定义域，进而将x表示成Y的函数，进而即可得到函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数．【解答】解：∵函数y=log2(√x+4−2)(x>0)则函数的值域为R又∵函数的解析式可化为：√x+4−2=2y即√x+4=2y+2即x+4=(2y+2)2即x=4y+2y+2，故函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数是y=4x+2x+2(x∈R)故选D8.【答案】D【考点】反函数【解析】函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上有反函数，只须函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上是单调函数⇔f′(x)≥0或f′(x)≤0在[−1, 2]恒成立，从而转化求函数g(x)=2x，在[−1, 2]上的最值问题解决即可．【解答】解：对函数求导可得，f′(x)=2x−b，函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上有反函数，只须函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上是单调函数即f′(x)=2x−b≥0或f′(x)=2x−b≤0在[−1, 2]恒成立即b≤2x或b≥2x在[−1, 2]上恒成立令g(x)=2x，则g(x)在[−1, 2]上的最小值为−2，最大值是g(2)=4∴a≤−2或a≥4故选D．9.【答案】A【考点】反函数【解析】求出函数f(x)的反函数，在反函数解析式中取x=x+1，然后由得到的解析式等于√6求解x的值．【解答】解：由f(x)=log12(x2+2)(x>0)，得x=√(12)y−2，∴f(x)的反函数为f−1(x)=√(12)x−2(x<−1)．又y=f−1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，由√(12)x+1−2=√6，得x=−4．故g(√6)=−4．故选A．10.【答案】C【考点】反函数【解析】本题考查函数的奇偶性、反函数．【解答】解：因为函数f(x)的反函数的图象经过点(√22,12)，则函数f(x)的图象经过点(12,√22)，则由√22=a12，解得a=12，所以f(x)=(12)x，所以函数f(x)在定义域内为减函数．因为g(x+2)为偶函数，所以g(x+2)=g(2−x)，所以g(3)=g(1+2)=g(2−1)= g(1)，g(π)=g[(π−2)+2]=g(4−π)．因为当x∈[−2,2]时，g(x)=f(x)，所以g(x)在[−2,2]上单调递减，又4−π<1<√2，所以g(4−π)>g(1)>g(√2)，即g(√2)<g(3)<g(π)．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】x1−x，（x∈(0, 1)）【考点】反函数【解析】由y=f(x)=xx+1(x>0)，解得x=y1−y>0，解得0<y<1，即可得出．【解答】解：由y=f(x)=xx+1(x>0)，解得x=y1−y>0，解得0<y<1，因此f(x)的反函数为f−1(x)=x1−x，（x∈(0, 1)）．故答案为：x1−x，（x∈(0, 1)）．12.【答案】y=22x−4⋅2x(x>2)【考点】反函数【解析】【解答】解：∵y=log2(√x+4+2)(x>0)，∴y>2；√x+4+2=2y；则x=(2y−2)2−4=22y−4⋅2y(y>2)；故答案为：y=22x−4⋅2x(x>2)．13.【答案】1−x2，(x≤0)【考点】反函数【解析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=−√1−x(x≤1)，∴x=1−y2，(y≤0)故反函数为f−1(x)=1−x2，(x≤0)．故答案为：1−x2，(x≤0)．14.【答案】(0, 0)，(1, 1)【考点】反函数【解析】根据原函数和反函数关于y=x对称，解得原函数和y=x的交点即可．【解答】解：∵原函数和反函数关于y=x对称，∴联立{y=2x 1+xy=x，解的x=0或1，则当x=0时，y=0，当x=1时，y=1，故函数y=2x1+x（x∈(−1, +∞)）图象与其反函数图象的交点为为(0, 0)，(1, 1)，故答案为(0, 0)，(1, 1)．15.【答案】log23【考点】反函数【解析】先根据二阶行列式的运算法则化简函数，然后欲求f−1(12)的值，只须从条件中函数式f(x)=12中反解出x，即得f−1(12)的值．解：f(x)=|1−12x4x|=1×4x−(−1)×2x=4x+2x，令f(x)=12，即4x+2x=12，即(2x−3)(2x+4)=0，解得：2x=3即x=log23，根据f(a)=b，则f−1(b)=a，可知f−1(12)=log23．故答案为：log23．16.【答案】2【考点】反函数【解析】利用互为反函数的性质：定义域与值域互换的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=g(x)的图象与函数y=3x+1的图象关于直线y=x对称，∴10=3x+1，解得x=2．∴g(10)=2．故答案为2．17.【答案】2【考点】反函数【解析】f(x)=3x−1+x−1，x∈[0, 1]，则f(x)在此区间上单调递增，可得f(x)∈[−23，1]，利用互为反函数的性质可得：f−1(x)在x∈[−23，1]上单调递增，f−1(x)∈[0, 1]．【解答】解：f(x)=3x−1+x−1，x∈[0, 1]，则f(x)在此区间上单调递增，∴f(x)∈[−23，1]，同理可得f−1(x)在x∈[−23，1]上单调递增，∴f−1(x)∈[0, 1]．∴y=f(x)+f−1(x)的最大值为2．故答案为：2．18.【答案】2【考点】反函数【解析】一个函数关于直线y=x对称，则这个函数与其反函数是同一个函数．【解答】 解：由y =2x+1x−a得xy −ay =2x +1，即x =1+ay y−2，即ff −1(x)=1+ax x−2，所以有a =2． 故答案为：2 19.【答案】 2007 【考点】 反函数 【解析】由y =f −1(x −1)，求出该函数的反函数，再由y =f −1(x −1)的反函数是y =f(x +1)，得到f(x +1)=f(x)+1，结合已知f(0)=1可求答案． 【解答】解：由y =f −1(x −1)，得x −1=f(y)，即x =f(y)+1． ∴ 函数y =f −1(x −1)的反函数为y =f(x)+1． 又y =f −1(x −1)的反函数是y =f(x +1)， ∴ f(x +1)=f(x)+1．∴ f(2006)=f(2005)+1=f(2004)+1+1=...=f(0)+1+1+...+1=f(0)+2006=2007． 故答案为：2007． 20. 【答案】 2−x1+x 【考点】 反函数 【解析】由已知中函数f(x)=1−2x 1+x，函数y =g(x)的图象与y =f −1(x −1)的图象关于直线y =x 对称，可得函数y =g(x)与y =f −1(x −1)互为反函数，根据互为反函数的图象的平移变换关系，可得函数y =g(x)的图象可由函数y =f(x)的图象向上平移一个单位得到，进而由函数图象的平移变换法则，可得答案． 【解答】解：∵ 函数y =g(x)的图象与y =f −1(x −1)的图象关于直线y =x 对称， ∴ 函数y =g(x)与y =f −1(x −1)互为反函数而y =f −1(x −1)的图象是把y =f −1(x)的图象向右平移一个单位 故函数y =g(x)的图象可由函数f(x)=1−2x 1+x的图象向上平移一个单位得到即y =g(x)=1−2x 1+x+1=2−x1+x故答案为：2−x1+x三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：函数y =2x 2x +1可得：2x =2x y +y ．可得2x (1−y)=y ， 2x =y1−y ， 可得x =log 2y1−y ，函数y =2x2x +1的反函数为：y =log 2x1−x ． 【考点】 反函数 【解析】直接利用反函数的对应求解反函数即可． 【解答】解：函数y =2x2x +1可得：2x =2x y +y ． 可得2x (1−y)=y ， 2x =y1−y ， 可得x =log 2y1−y ，函数y =2x2x +1的反函数为：y =log 2x1−x ． 22.【答案】解：由y =a x −1(a >0, a ≠1)，得a x =1+y ，即x =log a (1+y)， x ，y 互换得：y =log a (1+x)，∴ f(x)=log a (1+x)(a >0, a ≠1)．（1）3f(x)=3log a (1+x)=log a (1+x)3，f(3x)=log a (1+3x)，∵ (1+x)3−(1+3x)=1+3x +3x 2+x 3−1−3x =3x 2+x 3=x 2(3+x)>0(x >−1)， ∴ (1+x)3>1+3x ．当a >1时，3f(x)>f(3x)； 当0<a <1时，3f(x)<f(3x)．（2）当a >1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 3，log a 2，由log a 3−log a 2=log a 32=1，解得a =32；当0<a <1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 2，log a 3，由log a 2−log a 3=1，解得：a =23．【考点】 反函数 【解析】（1）求出函数的反函数，得到3f(x)与f(3x)，然后利用作差法比较真数的大小，然后利用对数函数的单调性得答案；（2）分类求出函数在区间[1, 2]上的最大值比最小值，由最大值比最小值大1求实数a 的值．【解答】解：由y =a x −1(a >0, a ≠1)，得a x =1+y ，即x =log a (1+y)， x ，y 互换得：y =log a (1+x)，∴ f(x)=log a (1+x)(a >0, a ≠1)．（1）3f(x)=3log a (1+x)=log a (1+x)3，f(3x)=log a (1+3x)，∵ (1+x)3−(1+3x)=1+3x +3x 2+x 3−1−3x =3x 2+x 3=x 2(3+x)>0(x >−1)， ∴ (1+x)3>1+3x ．当a >1时，3f(x)>f(3x)； 当0<a <1时，3f(x)<f(3x)．（2）当a >1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 3，log a 2，由log a 3−log a 2=log a 32=1，解得a =32；当0<a <1时，f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 2，log a 3，由log a 2−log a 3=1，解得：a =23． 23. 【答案】 解：由y =x−4x+4的得，xy +4y =x −4，解得x =4(1+y)1−y(y ≠1)，所以y =4(1+x)1−x (x ≠1)，则函数y =x−4x+4的反函数是y =4(1+x)1−x(x ≠1)．【考点】 反函数 【解析】由已知的解析式求出x 的表达式，再把x 换成y 、y 换成x ，并注明反函数的定义域． 【解答】解：由y =x−4x+4的得，xy +4y =x −4，解得x =4(1+y)1−y(y ≠1)，所以y =4(1+x)1−x (x ≠1)，则函数y =x−4x+4的反函数是y =4(1+x)1−x(x ≠1)．24.【答案】解：若函数f(x)的图象与其反函数的图象重合， 则函数f(x)自身关于y =x 对称，比如函数y =1x ，则由y =1x 得x =1y ，即函数y =1x 的反函数是y =1x ． 【考点】反函数 【解析】根据反函数的定义进行寻找即可． 【解答】解：若函数f(x)的图象与其反函数的图象重合， 则函数f(x)自身关于y =x 对称，比如函数y =1x，则由y =1x得x =1y，即函数y =1x的反函数是y =1x．25.【答案】 解：（1）f −1(x)=log 3x ，log 318=a +2， ∴ a =log 32．（2）g(x)=(3a )x −4x =(33log2)x −4x =2x −4x ． （3）令u =2x ，∵ −1≤x ≤1，则12≤u ≤2，g(x)=φ(u)=u −u 2=−(u −12)2+14，当u =12时，φ(u)max =14，当u =2时，φ(u)min =−2． ∴ g(x)的值域为[−2, 14]，当−1≤x ≤1时，12≤u ≤2，φ(u)为减函数，而u =2x 为增函数， g(x)在[−1, 1]上为减函数．【考点】 反函数 【解析】（1）欲求a 的值，根据f −1(18)=a +2，只要即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，求得反函数的解析式即可．（2）由（1）求得的a 值直接代入g(x)=3ax −4x 欲即得g(x)的表达式；（3）令u =2x ，将g(x)的值域、单调性问题转化为二次函数u −u 2的值域、单调性解决即可．【解答】 解：（1）f −1(x)=log 3x ，log 318=a +2， ∴ a =log 32． （2）g(x)=(3a )x −4x =(33log 2)x −4x =2x −4x．（3）令u =2x ，∵ −1≤x ≤1，则12≤u ≤2， g(x)=φ(u)=u −u 2=−(u −12)2+14，当u =12时，φ(u)max =14，当u =2时，φ(u)min =−2．∴ g(x)的值域为[−2, 14]，当−1≤x ≤1时，12≤u ≤2，φ(u)为减函数，而u =2x 为增函数， g(x)在[−1, 1]上为减函数． 26. 【答案】 解：令y =3x −3−x2，则3x −3−x −2y =0，∴ (3x )2−2y3x −1=0， ∴ 3x =2y+√4y 2+42=y +√y 2+1，∴ x =log 3(y +√y 2+1)．∴ f −1(x)=log 3(x +√x 2+1)． 【考点】 反函数 【解析】 令y =3x −3−x2，将式子变形用y 表示出x ，然后互换变量符号得出．【解答】 解：令y =3x −3−x2，则3x −3−x −2y =0，∴ (3x )2−2y3x −1=0， ∴ 3x =2y+√4y 2+42=y +√y 2+1，∴ x =log 3(y +√y 2+1)．∴ f −1(x)=log 3(x +√x 2+1)． 27. 【答案】解：（1）由y =√a −3x ，得：x =a−y 23(y ≥0)，所以原函数的反函数为f −1(x)=a−x 23(x ≥0)；（2）由y =f(x)=√a −3x ，得：y 2=−3x +a =−3(x −a3)(y ≥0)，其图象是把函数y 2=−3x(y ≥0)的图象向左(a >0)或向右(a <0)平移|a3|个单位得到的，如图，要使y =f(x)的图象与直线y =x 有交点，则a ≥0；当a<0时，函数y=f(x)与其反函数的图象无交点，所以方程f(x)=f−1(x)无实根；当a≥0时，函数y=f(x)与其反函数的图象仅有一个交点，所以方程f(x)=f−1(x)有一个实根．【考点】反函数根的存在性及根的个数判断【解析】（1）把原函数两边平方后解出x，然后把x和y互换，注意反函数的定义域；（2）作出函数y=f(x)的图象，然后数形结合分析可得答案；（3）作出函数y=f(x)与其反函数y=f−1(x)的图象，由图可以直观看出方程f(x)= f−1(x)的实根的个数．【解答】解：（1）由y=√a−3x，得：x=a−y 23(y≥0)，所以原函数的反函数为f−1(x)=a−x23(x≥0)；（2）由y=f(x)=√a−3x，得：y2=−3x+a=−3(x−a3)(y≥0)，其图象是把函数y2=−3x(y≥0)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a3|个单位得到的，如图，要使y=f(x)的图象与直线y=x有交点，则a≥0；当a<0时，函数y=f(x)与其反函数的图象无交点，所以方程f(x)=f−1(x)无实根；当a≥0时，函数y=f(x)与其反函数的图象仅有一个交点，所以方程f(x)=f−1(x)有一个实根．28.【答案】解：(1)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，∴f(−x)=loga [−x+√1+(−x)2]=loga(−x+√1+x2)，可得f(x)+f(−x)=loga [(x+√1+x2)(−x+√1+x2)]=loga (1+x2−x2)=loga1=0，∴f(−x)=−f(x).∵f(x)的定义域为R，∴函数f(x)是奇函数.(2)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称，∴函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，令x=loga(y+√1+y2)，得y+√1+y2=a x，得(a x−y)2=1+y2，∴2ya x=a2x−1，得y=a2x−12a x，因此g(x)的解析式为g(x)=12(a x−a−x).∵f(x)的定义域为{x|x≥34}，∴解不等式12(a x−a−x)≥34，得a x≥2，当a>1时，g(x)的定义域为[loga2, +∞)；当0<a<1时，g(x)的定义域为(−∞，log a2].(3)由(2)得g(x)=12(a x−a−x)，当0<a<1时，loga2<0，此时定义域中无正整数，不满足条件；当a>1时，需所有正整数在定义域中，故loga2≤1，得a≥2.∵g(x)=12(a x−a−x)在其定义域内是增函数，∴由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5)，得a<5，所求a的取值范围是2≤a<5.【考点】函数奇偶性的判断对数函数图象与性质的综合应用函数的定义域及其求法反函数不等式恒成立问题【解析】（1）根据对数的运算性质，化简得f(x)+f(−x)=0，可得f(−x)=−f(x)，可得函数f(x)是奇函数；（2）由题意，函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，将f(x)的x、y互换，解出用x表示y的式子，即可得到g(x)的解析式．再结合a的范围加以讨论，即可得到函数g(x)的定义域；（3）根据a的范围加以讨论，并结合函数g(x)的单调性，建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围．【解答】解：(1)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，∴f(−x)=loga [−x+√1+(−x)2]=loga(−x+√1+x2)，可得f(x)+f(−x)=loga [(x+√1+x2)(−x+√1+x2)]=loga (1+x2−x2)=loga1=0，∴f(−x)=−f(x).∵f(x)的定义域为R，∴函数f(x)是奇函数.(2)∵f(x)=loga(x+√1+x2)，g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称，∴函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数，令x=loga(y+√1+y2)，得y+√1+y2=a x，得(a x−y)2=1+y2，∴2ya x=a2x−1，得y=a2x−12a x，因此g(x)的解析式为g(x)=12(a x−a−x).∵f(x)的定义域为{x|x≥34}，∴解不等式12(a x−a−x)≥34，得a x≥2，当a>1时，g(x)的定义域为[loga2, +∞)；当0<a<1时，g(x)的定义域为(−∞，log a2].(3)由(2)得g(x)=12(a x−a−x)，当0<a<1时，loga2<0，此时定义域中无正整数，不满足条件；当a>1时，需所有正整数在定义域中，故loga2≤1，得a≥2.∵g(x)=12(a x−a−x)在其定义域内是增函数，∴由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5)，得a<5，所求a的取值范围是2≤a<5.29.【答案】解：设奇函数f(x)的反函数为f−1(x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的值域关于原点对称，即f−1(x)的定义域关于原点对称．假设f(x)=y，则f(−x)=−y．∴f−1(y)=x，f−1(−y)=−x．∴f−1(−y)=−f−1(y)，即f−1(−x)=−f−1(x)∴f−1(x)是奇函数．【考点】反函数【解析】根据奇函数的性质得出f−1(−x)和f−1(x)的关系，利用函数奇偶性的定义得出结论．【解答】解：设奇函数f(x)的反函数为f−1(x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的值域关于原点对称，即f−1(x)的定义域关于原点对称．假设f(x)=y，则f(−x)=−y．∴f−1(y)=x，f−1(−y)=−x．∴f−1(−y)=−f−1(y)，即f−1(−x)=−f−1(x)∴f−1(x)是奇函数．30.【答案】解：∵y=a+1x−b，∴x=b+1y−a，∴f(x)=a+1x−b 的反函数为b+1x−a，∵f(x)与g(x)互为反函数，∴b+1x−a =1+c2x+1=1+12cx+12∴b=1，c=2，a=−12．【考点】反函数【解析】先求出f(x)的反函数，再根据反函数的定义得到一个等式相等，对应的系数相等即可求出实数a 、b 、c 的值 【解答】解：∵ y =a +1x−b ， ∴ x =b +1y−a，∴ f(x)=a +1x−b 的反函数为b +1x−a ， ∵ f(x)与g(x)互为反函数， ∴ b +1x−a =1+c2x+1=1+12c x+12∴ b =1，c =2，a =−12． 31. 【答案】解：由y =√x 2+x(x ≤−1) 得y 2=(x +12)2−14(x ≤−1)， ∴ x +12=−√y 2+14(y ≥0)，∴ 所求函数的反函数为y =−12−√x 2+14(x ≥0)． 【考点】 反函数 【解析】欲求原函数f(x)=√x 2+x(x ≤−1)的反函数，即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，即得反函数的解析式． 【解答】解：由y =√x 2+x(x ≤−1) 得y 2=(x +12)2−14(x ≤−1)，∴ x +12=−√y 2+14(y ≥0)，∴ 所求函数的反函数为y =−12−√x 2+14(x ≥0)． 32.【答案】解：当−1<x <0时，y =−x +1⇒x =−y +1，∴ y =−x +1的反函数为y =−x +1，(1<x <2)． 当0≤x <1时， y =x 2⇒x =√y ，∴ y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1)．故函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数为y ={−x +1√x (1<x <2)(0≤x <1)．【考点】反函数 【解析】当−1<x <0时，y =−x +1⇒x =−y +1，所以y =−x +1的反函数为y =−x +1 (1<x <2)；当0≤x <1时，y =x 2⇒x =√y ，所以y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1)． 【解答】解：当−1<x <0时，y =−x +1⇒x =−y +1，∴ y =−x +1的反函数为y =−x +1，(1<x <2)． 当0≤x <1时， y =x 2⇒x =√y ，∴ y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1)．故函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数为y ={−x +1√x (1<x <2)(0≤x <1)．33. 【答案】解：∵ y =f(x)=√x +√1+x 23√x −√1+x 23(x ∈R)，∴ y 3=(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)3=(x +√1+x 2)+3(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)+(x −√1+x 2)=2x −3(√x +√1+x 23+√x −√1+x 23) =2x −3y ， ∴ x =12(y 3+3y)，x ，y 互换，得函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数为：y =12(x 3+3x)．x ∈R ． 【考点】 反函数 【解析】由已知条件，利用二项式定理求出y 3=2x −3y ，由此能求出函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数．【解答】解：∵ y =f(x)=√x +√1+x 23√x −√1+x 23(x ∈R)，∴ y 3=(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)3=(x +√1+x 2)+3(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)+(x −√1+x 2)=2x −3(√x +√1+x 23+√x −√1+x 23) =2x −3y ，∴ x =12(y 3+3y)，x ，y 互换，得函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数为：y =12(x 3+3x)．x ∈R ．34.【答案】解：∵ y =f(x)=log a (a x −1)，∴ a x −1=a y ，解得x =log a (a y +1)， ∴ 反函数f −1(x)=log a (a x +1)，故f(2x)=f −1(x)可化为log a (a 2x −1)=log a (a x +1)， 可得a 2x −1=a x −1，即(a x +1)(a x −1)=a x +1， ∵ a x +1>1，∴ a x −1=1，即x =log a 2，【考点】 反函数 【解析】求反函数可得f −1(x)=log a (a x +1)，可得log a (a 2x −1)=log a (a x +1)，解方程可得． 【解答】解：∵ y =f(x)=log a (a x −1)，∴ a x −1=a y ，解得x =log a (a y +1)， ∴ 反函数f −1(x)=log a (a x +1)，故f(2x)=f −1(x)可化为log a (a 2x −1)=log a (a x +1)， 可得a 2x −1=a x −1，即(a x +1)(a x −1)=a x +1， ∵ a x +1>1，∴ a x −1=1，即x =log a 2， 35.【答案】 a =1． 【考点】 反函数 【解析】求出原函数的反函数，根据函数图象本身关于直线y =x 对称知，原函数与它的反函数相同，从而比较系数求得a 值． 【解答】解：由y =1−ax1+ax ，解得x =1−yay+a ． 故函数y =1−ax 1+ax 的反函数为y =1−x ax+a．∵ 函数y =1−ax1+ax 的图象关于直线y =x 对称， ∴ 函数y =1−ax1+ax 与它的反函数y =1−xax+a 相同． 由1−ax1+ax =1−xax+a 恒成立， 得a =1． 36.【答案】解：（1）设y=3x+1x+a，则y(x+a)=3x+1，整理得(y−3)x=1−ay．若y=3，则a=13，与已知矛盾，∴y≠3．∴x=1−ayy−3．故所求反函数为f−1(x)=1−axx−3(x≠3)．（2）依题意得f−−1(x)=f(x)，则3x+1x+a =1−axx−3，整理得3x2−8x−3=−ax2+(1−a2)x+a，比较两边对应项的系数，有{−a=3a2−1=8a=−3故a=−3．【考点】反函数【解析】（1）由y=3x+1x+a，得y(x+a)=3x+1，(y−3)x=1−ay．由此能求出所求反函数．（2）依题意得f−−1(x)=f(x)，则3x+1x+a =1−axx−3，由此能求出a．【解答】解：（1）设y=3x+1x+a，则y(x+a)=3x+1，整理得(y−3)x=1−ay．若y=3，则a=13，与已知矛盾，∴y≠3．∴x=1−ayy−3．故所求反函数为f−1(x)=1−axx−3(x≠3)．（2）依题意得f−−1(x)=f(x)，则3x+1x+a =1−axx−3，整理得3x2−8x−3=−ax2+(1−a2)x+a，比较两边对应项的系数，有{−a =3a 2−1=8a =−3故a =−3． 37.【答案】 解：（1）由于f(x)=e x 的反函数为g(x)=ln x(x >0)，则点(1, 0)处的切线斜率为k =g′(1)=1，故点(1, 0)处的切线方程为y −0=1×(x −1)，即x −y −1=0．（2）证明：设ℎ(x)=f(x)−(12x 2+x +1)=e x −12x 2−x −1，则ℎ′(x)=e x −x −1，∵ ℎ″(x)=e x −1，故当x <0时，ℎ″(x)<0，ℎ′(x)为减函数． 当x >0时，ℎ″(x)>0，ℎ′(x)为增函数．故当x =0时，ℎ′(x)取得最小值为0，故有ℎ′(x)≥0恒成立， 故函数ℎ(x)在R 上是增函数，故函数ℎ(x)最多有一个零点． 再根据ℎ(0)=0，可得函数ℎ(x)有唯一零点． （3）设a <b ，∵ f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a =(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)2(b−a)=(2+b−a)⋅e a +(b−2−a)⋅e b2(b−a)=(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a2(b−a)⋅e a=e a2(b−a)•[(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a ]．由于e a2(b−a)>0，故只需考虑(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a 的符号即可． 令g(x)=x +2+(x −2)e x (x >0)，则g′(x)=1+(x −1)e x ．在(0, +∞)上，g ″(x)=xe x >0，∴ g′(x)在(0, +∞)上单调递增，且g′(0)=0， ∴ g′(x)>0，∴ g(x)在(0, +∞)上单调递增，而g(0)=0，∴ 在(0, +∞)上，g(x)>0．∵ 当x >0时，g(x)=x +2+(x −2)⋅e x >0，且a <b ，∴(b−2+a)+(b−2+a)e b−a ⋅e a2(b−a)>0， 即f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a．【考点】 反函数 【解析】（I ）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可．(II)令ℎ(x)=f(x)−(12x 2+x +1)=e x −12x 2−x −1，利用导数研究函数ℎ(x)的单调性即可得出． (III)利用作差法得f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a=e a2(b−a)•[(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a ]．构造函数，令g(x)=x +2+(x −2)e x (x >0)，利用导数的符号研究其单调性，可得g(x)的符号，从而得到f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a的大小关系．【解答】 解：（1）由于f(x)=e x 的反函数为g(x)=ln x(x >0)，则点(1, 0)处的切线斜率为k=g′(1)=1，故点(1, 0)处的切线方程为y−0=1×(x−1)，即x−y−1=0．（2）证明：设ℎ(x)=f(x)−(12x2+x+1)=e x−12x2−x−1，则ℎ′(x)=e x−x−1，∵ℎ″(x)=e x−1，故当x<0时，ℎ″(x)<0，ℎ′(x)为减函数．当x>0时，ℎ″(x)>0，ℎ′(x)为增函数．故当x=0时，ℎ′(x)取得最小值为0，故有ℎ′(x)≥0恒成立，故函数ℎ(x)在R上是增函数，故函数ℎ(x)最多有一个零点．再根据ℎ(0)=0，可得函数ℎ(x)有唯一零点．（3）设a<b，∵f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a=(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)2(b−a)=(2+b−a)⋅e a+(b−2−a)⋅e b2(b−a)=(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a2(b−a)⋅e a=e a2(b−a)•[(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a]．由于e a2(b−a)>0，故只需考虑(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a的符号即可．令g(x)=x+2+(x−2)e x(x>0)，则g′(x)=1+(x−1)e x．在(0, +∞)上，g″(x)=xe x>0，∴g′(x)在(0, +∞)上单调递增，且g′(0)=0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递增，而g(0)=0，∴在(0, +∞)上，g(x)>0．∵当x>0时，g(x)=x+2+(x−2)⋅e x>0，且a<b，∴(b−2+a)+(b−2+a)e b−a⋅e a2(b−a)>0，即f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a．38.【答案】证明：（1）∵函数f(x)的反函数是f−1(x)，g(x)的反函数为g−1(x)．令t=g(x)，则y=f（g(x)）=f(t)，则g−1(t)=x．f−1(y)=t，即g−1（f−1(y)）=x，即f（g(x)）的反函数为g−1（f−1(x)）；（2）∵F(x)=f(−x)，…①故函数F(x)与f(x)的图象关于y轴对称，又∵G(x)=f−1(−x)，∴G(x)与f−1(x)的图象关于y轴对称，故G(x)的图象由f(x)的图象逆时针旋转90∘得到，又∵F(x)是G(x)的反函数，故F(x)与G(x)的图象关于y=x轴对称，故F(x)与f(x)的图象关于x轴对称，即F(x)=−f(x)，…②由①②得：f(−x)=−f(x)，故f(x)是奇函数【考点】反函数【解析】（1）令t =g(x)，则y =f （g(x)）=f(t)，结合函数f(x)的反函数是f −1(x)，g(x)的反函数为g −1(x)，可得g −1（f −1(y)）=x ，从而得到f （g(x)）的反函数为g −1（f −1(x)）；（2）由已知中G(x)=f −1(−x)，若F(x)是G(x)的反函数，可得F(x)与f(x)的图象关于x 轴对称，即F(x)=−f(x)，结合F(x)=f(−x)，可得f(−x)=−f(x)，故f(x)是奇函数．【解答】 证明：（1）∵ 函数f(x)的反函数是f −1(x)，g(x)的反函数为g −1(x)． 令t =g(x)，则y =f （g(x)）=f(t)， 则g −1(t)=x ．f −1(y)=t ， 即g −1（f −1(y)）=x ，即f （g(x)）的反函数为g −1（f −1(x)）； （2）∵ F(x)=f(−x)，…①故函数F(x)与f(x)的图象关于y 轴对称， 又∵ G(x)=f −1(−x)，∴ G(x)与f −1(x)的图象关于y 轴对称，故G(x)的图象由f(x)的图象逆时针旋转90∘得到， 又∵ F(x)是G(x)的反函数，故F(x)与G(x)的图象关于y =x 轴对称， 故F(x)与f(x)的图象关于x 轴对称， 即F(x)=−f(x)，…②由①②得：f(−x)=−f(x)， 故f(x)是奇函数 39.【答案】 解：（1）∵ 函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2)， ∴ 3a+2=18，解得：a =log 32；∴ g(x)=3ax −4x =3x log 32−4x =2x −4x ，x ∈[−1, 1]；（2）∵ g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14， 又x ∈[−1, 1]，∴ 12≤2x ≤2，0≤2x −12≤32，∴ 0≤(2x −12)2≤94， ∴ g(x)∈[−2, 14]，∵ 方程g(x)=m 有解，∴ m 的取值范围为[−2, 14]；（3）由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知，ℎ(x)为偶函数，在[0, 1]上，ℎ(x)=3⋅2x −4x ，令2x =t(1≤t ≤2)，则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2)，显然，y =−t 2+3t =−(t −32)2+94在区间[1, 32]上单调递增，在区间[32, 2]上单调递减， ∴ t =32(x =log 23−1)时，y max =94；又t =1（即x =0）时，y =2，当t =2（即x =1）时，y =2， ∴ t =1或t =2（即x =0或x =1）时，y min =2．又n ∈R ，∴ 当n >94或n <2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为0个； 当n =94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为2个； 当n =2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为3个； 当2<n <94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为4个；【考点】 反函数 【解析】（1）利用函数与其反函数之间的关系可得a =log 32，从而可求得g(x)的解析式； （2）由g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14，x ∈[−1, 1]，可求得g(x)∈[−2, 14]，方程g(x)=m 有解，从而可得m 的取值范围为[−2, 14]；（3）由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知，ℎ(x)为偶函数，令2x =t ，当x ∈[0, 1]时，1≤t ≤2，则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2)，利用二次函数的单调性可求得t =32（即x =log 23−1）时，y max =94，t =1或t =2（即x =0或x =1）时，y min =2，于是可得答案． 【解答】 解：（1）∵ 函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2)， ∴ 3a+2=18，解得：a =log 32；∴ g(x)=3ax −4x =3x log 32−4x =2x −4x ，x ∈[−1, 1]；（2）∵ g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14， 又x ∈[−1, 1]，∴ 12≤2x ≤2，0≤2x −12≤32，∴ 0≤(2x −12)2≤94，∴ g(x)∈[−2, 14]，∵ 方程g(x)=m 有解，∴ m 的取值范围为[−2, 14]；（3）由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知，ℎ(x)为偶函数，在[0, 1]上，ℎ(x)=3⋅2x −4x ，令2x =t(1≤t ≤2)，则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2)，显然，y =−t 2+3t =−(t −32)2+94在区间[1, 32]上单调递增，在区间[32, 2]上单调递减， ∴ t =32(x =log 23−1)时，y max =94；又t =1（即x =0）时，y =2，当t =2（即x =1）时，y =2， ∴ t =1或t =2（即x =0或x =1）时，y min =2．又n ∈R ，∴ 当n >94或n <2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为0个；当n =94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为2个； 当n =2时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为3个； 当2<n <94时，方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为4个；40.【答案】 解：（1）不是；∵ g(x)=x 2+1(x >0)∴ y =g(x +1)=(x +1)2+1(x >0)∴ x +1=√y −1 ∴ x =√y −1−1∴ y =√x −1−1即g ′(x +1)=√x −1−1(x >2)① ∵ g ′(x)=√x −1，，∴ g ′(x +1)=√x 与①不符故函数g(x)=x 2+1(x >0)不满足“1和性质” （2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx +b(k ≠0) 则f ′(x)=x−b k∴f′(x+2)=x+2−bk∵f(x+2)=k(x+2)+b∴f′(x+2)=x−2k−bk∴x+2−bk =x−2k−bk∴k=−1∴f(x)=−x+b【考点】反函数【解析】（1）根据y=f(x)满足“a和性质”的定义可先根据求反函数的步骤求出g′(x)=√x−1进而求出g′(x+1)=√x①；再根据g(x)=x2+1(x>0)求出g(x+1)=(x+1)2+ 1(x>0)进而求出g(x+1)的反函数即g′(x+1)②然后比较①②是否相同进而可根据定义得出结论．（2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)然后求出f′(x)进而求出f′(x+2)；再根据f(x+2)求出f′(x+2)然后两者相等求出k，b所满足的条件．【解答】解：（1）不是；∵g(x)=x2+1(x>0)∴y=g(x+1)=(x+1)2+1(x>0)∴x+1=√y−1∴x=√y−1−1∴y=√x−1−1即g′(x+1)=√x−1−1(x>2)①∵g′(x)=√x−1，，∴g′(x+1)=√x与①不符故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足“1和性质”（2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)则f′(x)=x−bk∴f′(x+2)=x+2−bk∵f(x+2)=k(x+2)+b∴f′(x+2)=x−2k−bk∴x+2−bk =x−2k−bk∴k=−1∴f(x)=−x+b。
人教版九年级数学下反函数经典拔高题型汇总50题(后附答案详解)
人教版九年级数学下反函数经典拔高题型汇总50题（后附答案详解）一、单选题（共15题；共30分）1.如图，直线y=kx+b与双曲线y=m2+1x(x>0)交于A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1<x2)，直线AB交x轴于C(x0,0)，下列命题：① x1y2=x2y1；②当x1<x<x2时，kx+b>m2+1x；③若M(t,s)为线段AB的中点，则t=12x0，其中正确的命题有（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③2.如图，点A、M是第一象限内双曲线y=kx（k为常数，k≠0，x>0）上的点（点M在点A的左侧），若M点的纵坐标为1，且△OAM为等边三角形，则k的值为（）A. √3B. 2+√3C. 2−√3D. 2±√33.如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，则y1+y2+......+y100的值为（）A. 6B. 4√2C. 20D. 2√104.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，下列结论错误的是① △OCN≌△OAM；②四边形DAMN与△OMN面积相等；③ ON=MN；④若∠MON=45%，MN=2，则点C的坐标为(0,√2+1).其中正确的结论有（）A. ①②B. ①②④C. ②③④D. ①②③④5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2,2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2，则k 的值为（）A. −12B. −32C. -2D. −146.如图，函数y=−1x(x<0)的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD.若AD=3，则△ABO的周长为（）A. 12B. 6+√38C. 6+2√10D. 6+2√117.如图，在以 O 为原点的平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OC 、 OA 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，反比例函数 y =kx (x >0) 的图象与 AB 相交于点 D ，与 BC 相交于点 E ，若 BD =3AD ，且 △ODE 的面积是 6 ，则 k 的值为（ ）.A. 85B. 8C. 6D. 1658.如图，正比例函数 y =x 的图象与反比例函数 y =k x (k ≠0) 的图象交于 A ， B 两点， ∠CAD =90° ，两边分别交 x 轴， y 轴于点 D ， C ，四边形 OCAD 的面积为 1 ， AE ⊥x 轴于点 E .有下列结论：① OA =OB ；②三角形 OAE 的面积为 12 ；③线段 AB 的长为 √6 ；④不等式 x >k x 的解集是 x >1 或 x <−1 .其中正确结论的个数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 49.函数y ＝kx ﹣3与y ＝ （k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）A. B. C. D.10.如图在平面直角坐标系中，直线 y =−x +6 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ， 与 y =kx (x >0) 的图象交于点C 、D ． 若CD = 13 AB ， 则k 的值为（ ）A. 4．B. 6．C. 8．D. 10．11.如图，已知ΔOAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y=k经过ΔOAB顶点B和OA上的x，则k的值为（）一点C，若OC=2AC且ΔOBC的面积为103A. 4B. 6C. 8D. 912.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，点D是x轴上一(k<0,x<0)的图象经过CD上的两点，连接CD、AD.若CB平分∠OCD，反比例函数y=kx点C、E，且CE=DE，△ACD的面积为12，则k的值为（）A. －4B. －8C. －12D. －16x+3与x轴、y轴分别交于点A和点B,C是线段AB上13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−32一点，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC:S△CDA=4:1．若双曲(x>0)经过点C，则k的值为（）线y=kxA. 43B. 34C. 25D. 5214.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D （﹣2，3），AD ＝5，若反比例函数y ＝ k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A. 163B. 8C. 10D. 32315.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE.若AD 平分∠OAE ，反比例函数y ＝ k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF ＝EF ，△ABE 的面积为18，则k 的值为（ ）A. 6B. 12C. 18D. 24二、填空题（共16题；共20分）16.如图，反比例函数 y =kx(x >0) 的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M ，分别交 AB ， BC 于点 D 、 E .若四边形 ODBE 的面积为12，则 k 的值为________.17.如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数y=−2x的图象上，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C和D在反比例函数y=8x的图象上，且对角线AC//x轴，则▱ABCD的面积等于________．18.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(−1,0)，(0,2)，点C是反比例函数y=k x (x>0)图象上一点，∠ABC=135°，AC交y轴于点D，ADDC=23，则k的值为________．19.如图，直线y= 12x+4与x轴、y轴交于4、B两点，AC⊥AB，交双曲线y= kx(x<0)于C点，且BC交x轴于M点，BM=2CM，则k=________。
中考必考反函数经典试题锦集[1]1
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反函数练习题一、 选择题1、 已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2、 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-=)0(21)0(2x x x x y 的反函数是( ) A 、()⎩⎨⎧≤-=0)0(2 x x x x y B 、()⎩⎨⎧-≤-=0)0(2 x x x x y C 、()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-=0021 x x x x y D 、()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0021 x x x x y 3、 已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ）A 、))(,(1a f a -B 、()()b b f ,1-C 、()()a a f ,1-D 、()()b f b 1,-4、 若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ）A 、5B 、5-C 、15D 、3二、 填空题5、 函数f(x)2916x -=是否有反函数？ ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,0x 时，反函数为 ，定义域为 ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,34x 时，反函数为 ，定义域为 。
6、 设f(x)的反函数为)(1x f -，23)(1+=-x x f ，则=-)3(1f ，f(3)=7、 若点(1,2)既在函数b ax x f +=)(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，则a= ,b=8、 f(x)在()+∞,0上为递增函数，则)1(1-f 与)3(1-f 的大小关系是三、 解答题9、 函数y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点(-2,-1)，求函数f(x)10、函数)(c x R x c x b ax y -≠∈++=且的反函数为213+-=x x y ，求a,b,c 的值 11、已知132)(1≥-=-x x x f ，，求f(x)12、函数f(x)=x 2-2tx+1(t ∈R)，定义域为[][]8,71,0 ∈x ，（1）f(x)在定义域内是否一定有反函数？（2）若f(x)有反函数，求t 的范围。
反函数中考题
1．如图，点A、B在反比例函数y＝－ 4 x 的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＜0）．（1）求△AOB的面积；（2）若点C在x轴上，点D在y轴上，且四边形ABCD为正方形，求a的值．2．如图，点P是反比例函数y＝－ 2 x （x＜0）图象上一动点，点A、B分别在x轴，y轴上，且OA＝OB ＝2，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．（1）当动点P的纵坐标为 5 3 时，连接OE、OF，求△EOF的面积；（2）设动点P的坐标为P（a，b）（－2＜a＜0，0＜b＜2且| a |≠| b |），其他条件不变，探索：以AE、EF、BF为边的三角形是怎样的三角形？并证明你的结论．3．如图，在△OAB中，OA＝OB，点A坐标为（－33，3），点B在x轴负半轴上．（1）将△OAB沿x轴向右平移a个单位后，点A恰好落在反比例函数y＝ 63 x 的图象上，求a的值；（2）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）．①当α＝30°时，点B恰好落在反比例函数y＝ k x 的图象上，求k的值；②点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上，若能，求α角的大小；若不能，请说明理由．4．如图，△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，一次函数y＝3x－4的图象经过点A，交y轴于点C，反比例函数y＝ k x （x＞0）的图象也经过点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）过O点作OD⊥AC于D点，求CD 2－AD 2的值；（3）若点P是x轴上的动点，在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得△PAQ为等腰直角三角形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝ 4－2m x （x＞0）图象于点A、B，交x轴于点C．（1）求的m的取值范围；（2）若点A的坐标是（2，－4），且 BC AB ＝ 1 3 ，求m的值和一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P是一次函数图象上的第一、四象限内的动点，点Q是反比例函数图象上的动点，过点P作PP1⊥x轴于P1，PP2⊥y轴于P2；过点Q作QQ1⊥x轴于Q1，QQ2⊥y轴于Q2．设点P 的横坐标为x，请直接写出使四边形PP1OP2的面积小于四边形QQ1OQ2的面积的x的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数y＝ k x （k＞0）的图象过点E且与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求点E的坐标；（3）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求点E 的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，已知直线l经过点A（1，0），且与曲线y＝ m x （x＞0）交于点B（2，1）．过点P（p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝ m x （x＞0）和y＝－ m x （x＜0）于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN ＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝ 6 x （x＞0）图象上的任意一点，以P 为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；（2）求△AOB的面积；（3）Q是反比例函数y＝ 6 x （x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB．9．如图，将—矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的—个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝ k x （x＞0）的图象与边BC交于点F．（1）若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2，且S1＋S2＝2，求k的值；（2）若OA＝2，OC＝4，问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少？10．如图，已知抛物线y＝( 3－m )x 2＋2( m－3 )x＋4m－m 2的顶点A在双曲线y＝ 3 x 上，直线y＝mx ＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交与点E，求sin∠BDE的值；（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点F，点M在直线BF上，且到抛物线的对称轴的距离为6．若点N在直线BF上，直接写出使得∠AMB＋∠ANB＝45°的点N的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx（m＞0）与双曲线y＝ k x 交于A、B两点，过点A作AC ∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC与BC交于点C，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N，若∠BAC ＝60°，AB＝4．（1）求m、k的值；（2）将一把三角尺的直角顶点放在原点O处，绕着点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q，设点P的横坐标为x，PQ的长为L，当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式；（3）当△PQC的面积为 3 2 时，求点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋1（a≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝ k x 在第三象限的交点为C（－2 3，m），且△AOB的面积为 3 2 ．（1）求a、m、k的值；（2）以BC为一边作等边三角形BCD，求D点的坐标．13．已知一次函数y＝2 x＋8 与反比例函数y＝ k x 的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为x1，点B 的横坐标为x2，且x1－x2＝2．（1）求k的值；（2）求△AOB的面积；（3）若一条开口向下的抛物线经过A、B两点，并在过点A且与OB平行的直线上截得的线段长为 13，求抛物线的解析式．14．如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2 3），B（2，0）直线AB与反比例函数y＝ m x 的图象交与点C和点D（－1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求∠ACO的度数；（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．15．在矩形AOBC中，OA＝4，OB＝6．分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝ k x （k＞0）的图象与AC边交于点E．（1）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；（2）设点P是（1）中所求抛物线上一点，且△PEF的面积等于△OEF的面积，求点P的坐标；（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时OF的长；若不存在，请说明理由．16．如图，矩形ABCD的顶点A在坐标原点，顶点B坐标为（－2，1），顶点C在y轴上．（1）求顶点D的坐标；（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF与AD交于点M，过点M的反比例函数图象交FG于点N，求△AMN的面积；（3）求证：△AMN是直角三角形．17．如图，已知反比例函数y＝ m x （m是常数，m≠0），一次函数y＝ax＋b（a、b为常数，a≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（－4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO＝ 17（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．18．如图，已知反比例函数y＝ m x （m＞0）的图象与一次函数y＝－x＋b的图象分别交于A（1，3）、B 两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E．设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S＝S2－S1，求S的最大值．19．如图，已知函数y＝ 6 x （x＞0）的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）将一次函数y＝kx＋b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数y＝ 6 x （x＞0）的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标．20．如图，一次函数的图象与反比例函数y1＝－ 3 x （x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值．（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y2＝ a x （x＞0）的图象与y1＝－ 3 x （x＜0）的图象关于y轴对称，在y2＝ a x （x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．21．如图，已知二次函数y＝ax 2＋2x＋c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y＝ 3 x 的图象上，且与x 轴相交于A、B两点．（1）若二次函数图象的对称轴为x＝－ 1 2 ，试求a、c的值；（2）在（1）的条件下，求线段AB的长；（3）若二次函数图象的对称轴与x轴的交点为N，当NO＋MN取最小值时，试求二次函数的解析式．22．如图，一次函数y＝k x＋4的图象与反比例函数y＝ m x （x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，与x 轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）若△COD的面积是△AOB的面积的 2 倍，求k与m之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，是否存在实数k和m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）？若存在，求出k 和m的值；若不存在，请说明理由．23．已知一次函数y＝－ 1 2 x＋b的图象与反比例函数y＝ 6 x （x＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）如图1，若AB＝2AC，求b的值；（2）在（1）的条件下，将一块直角三角板的直角顶点P放在反比例函数y＝ 6 x （x＞0）图象的AB段上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB分别交于Q、R两点．设点P的横坐标为x，QR的长为L，求L关于x的函数关系式，并求L的最大值；（3）如图2，过点A作直线AE∥x轴，交y轴于点E；过点B作直线BF∥y轴交x轴于点F，交直线AE 于点G．当四边形OAGB的面积为8时，请判断线段AE与AG的大小关系，并说明理由．24．如图，已知反比例函数y＝ k x 的图象经过A（－1，a）、B（2，a＋33）两点，点C的坐标为（－1，0）．（1）求反比例函数的解析式；（2）在反比例函数y＝ k x 的图象上求点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形．25．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝ k x 过点A（－4，1），点P是双曲线上一动点（不与A重合），过点A和P分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为B、C和D、E．（1）求k、S△ADC及S△PDC的值；（2）判断AP和DC的位置关系，并说明理由；（3）若点P在双曲线上运动时，探索以A、P、C、D四点为顶点的四边形能否成为菱形和等腰梯形？若能，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．26．已知关于x的一元二次方程( a－1 )x 2＋( 2－3a )x＋3＝0．（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，且1 m ＋ 1 n ＝ 4 3 ，直线l：y＝mx＋n交x轴于点A，交y 轴于点B，坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数y＝ k x 的图象上，求反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转θ角（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与（2）中的反比例函数图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为9－ 33 2 时，求θ角的大小．27．在平面直角坐标系中，一次函数y＝－ 1 2 x＋5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝x－1于点C，过点A作y轴的平行线交直线y＝x－1于点D，点E为线段AD上一点，且tan∠DCE＝ 1 2 ．动点P从原点O出发沿OA边向点A匀速运动，同时，动点Q从B点出发沿BO边向原点O匀速运动，点P与点Q同时到达A点和O点，设BQ＝m．（1）求点E的坐标；（2）在整个运动过程中，是否存在这样的实数m，使得△PQD为直角三角形．若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；（3）反比例函数y＝ k x 的图象经过点C，R为y＝ k x 图象上一点，在整个运动过程中，若以P、Q、E、R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．。
初三数学下册反函数练习题
初三数学下册反函数练习题反函数是数学中一个重要的概念，在初三数学下册中也有一些关于反函数的练习题。
下面将通过一些例题，帮助大家更好地理解和掌握相关知识。
1.已知函数f(x) = 2x + 3，求其反函数f^{-1}(x)。
解答：首先，我们将f(x)表示为y = 2x + 3。
然后，交换x和y的位置，得到x = 2y + 3。
接下来，将此方程关于y解出，得到y = \frac{{x -3}}{2}。
最后，将y替换为f^{-1}(x)，得到反函数f^{-1}(x) = \frac{{x - 3}}{2}。
2.已知函数g(x) = \sqrt{x}，求其反函数g^{-1}(x)。
解答：类似地，我们将g(x)表示为y = \sqrt{x}，然后将x和y的位置交换，得到x = \sqrt{y}。
为了解出y，我们两边平方，得到x^2 = y。
最后，将y替换为g^{-1}(x)，得到反函数g^{-1}(x) = x^2。
3.已知函数h(x) = \frac{1}{x + 2}，求其反函数h^{-1}(x)。
解答：将h(x)表示为y = \frac{1}{x + 2}，交换x和y的位置，得到x =\frac{1}{y + 2}。
我们可以通过一系列的步骤将y解出来。
首先，将x的分母移至等号右侧，得到xy + 2x = 1。
然后，将y的系数提取出来，得到xy = 1 - 2x。
最后，将y替换为h^{-1}(x)，得到反函数h^{-1}(x) = \frac{1 - 2x}{x}。
通过上面几个例题，我们可以看到，求一个函数的反函数主要是通过将函数的自变量和因变量进行交换，并解出关于自变量的方程来得到反函数的表达式。
反函数在数学中有着广泛的应用。
它可以用于解决方程、求解逆运算以及构建函数的复合和函数图像的翻转等问题。
因此，掌握反函数的概念和求解方法对于学习数学和解题都是非常重要的。
当然，反函数也有着一些限制条件。
在求反函数时，要确保原函数是一一对应的，并且反函数在定义域和值域上是有定义的。
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反函数练习题
一、 选择题
1、 已知函数)1(1
56≠∈-+=
x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2、 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-=)0(2
1)0(2x x x x y 的反函数是( ) A 、()⎩⎨⎧≤-=0)0(2 x x x x y B 、()⎩
⎨⎧-≤-=0)0(2 x x x x y C 、()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-=0021 x x x x y D 、()()
⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0021 x x x x y 3、 已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ）
A 、))(,(1a f a -
B 、()()b b f ,1-
C 、()()a a f ,1-
D 、()()b f b 1,-
4、 若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ）
A 、5
B 、5-
C 、15
D 、3
二、 填空题
5、 函数f(x)2916x -=是否有反函数？ ；当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈34,0x 时，反函数为 ，定义域为 ；当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈0,34x 时，反函数为 ，定义域为 。
6、 设f(x)的反函数为)(1x f -，23)(1+=-x x f ，则=-)3(1f ，
f(3)=
7、 若点(1,2)既在函数b ax x f +=)(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，则a= ,b=
8、 f(x)在()+∞,0上为递增函数，则)1(1-f 与)3(1-f 的大小关系是
三、 解答题
9、 函数y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点(-2,-1)，求函数f(x)
10、函数)(c x R x c x b ax y -≠∈++=且的反函数为2
13+-=x x y ，求a,b,c 的值 11、已知132)(1≥-=-x x x f ，，求f(x)
12、函数f(x)=x 2-2tx+1(t ∈R)，定义域为[][]8,71,0 ∈x ，
（1）f(x)在定义域内是否一定有反函数？
（2）若f(x)有反函数，求t 的范围。