第七章 第四节 垂直关系
高三数学高考一轮数学(理)教案：第7章 第4节 垂直关系 Word版含解析
第四节垂直关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎬⎫α⊥βlβα∩β＝al⊥a⇒l⊥α1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，mβ.()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]3．(·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC[∵α∩β＝l，∴lβ.∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如图7-4-1，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．图7-4-14[∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________.【导学号：57962336】a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BD-C 的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]线面垂直的判定与性质如图7-4-2，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .图7-4-2(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积． [解] (1)证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD 平面BCD ，所以AB ⊥CD .2分又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ， AB平面ABD ，BD平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD .5分(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD . 又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝12. 8分因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝14. 根据(1)知，CD ⊥平面ABD ， 则三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1， 故V A -MBC ＝V C -ABM ＝13S △ABM ·h ＝112. 12分[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1]如图7-4-3所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.图7-4-3求证：P A⊥CD.[证明]因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC ＝BC，得∠ABC＝30°. 3分设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO. 8分因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面P AB，又P A平面P AB，所以P A⊥CD. 12分面面垂直的判定与性质H分别为AC，BC的中点．图7-4-4(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH. 1分在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形. 3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM平面FGH，BD⊆/平面FGH，故BD∥平面FGH. 5分(2)连接HE，CE，CD.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB. 6分由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE. 10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. 12分[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2]如图7-4-5，在三棱锥P-ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．图7-4-5(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC.[证明](1)因为M，N分别为AB，P A的中点，所以MN∥PB，2分又因为MN平面MNC，PB⊆/平面MNC，所以PB∥平面MNC. 5分(2)因为P A⊥PB，MN∥PB，所以P A⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 7分因为平面P AB⊥平面ABC，CM平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面P AB. 10分因为P A平面P AB，所以CM⊥P A.又MN∩CM＝M，所以P A⊥平面MNC. 12分平行与垂直的综合问题(·江苏高考)如图7-4-6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.图7-4-6求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.[证明](1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 3分又因为DE⊆/平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F. 5分(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 7分又因为A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 10分又因为B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 12分[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．☞角度2平行垂直中探索开放问题(·秦皇岛调研)如图7-4-7(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE 的位置，使A1F⊥CD，如图7-4-7(2)所示．(1)(2)图7-4-7(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.【导学号：57962337】[证明](1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC. 2分由于A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1F⊥BE. 5分(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ. 6分理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，则DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP. 9分由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ. 12分[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.线面角的求法与应用ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.图7-4-8(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．[解](1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示. 1分因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，3分因此，BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD. 5分(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos∠BDF＝217，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217. 12分[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．(2)证：证明找出的角即为所求的角．(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．[变式训练3]如图7-4-9，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．图7-4-9(1)求PB和平面P AD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD.[解](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，AB平面ABCD，故P A⊥AB.又AB⊥AD，P A∩AD＝A，从而AB⊥平面P AD，2分故PB在平面P AD内的射影为P A，从而∠APB 为PB 和平面P AD 所成的角．在Rt △P AB 中，AB ＝P A ，故∠APB ＝45°.∴PB 和平面P AD 所成的角的大小为45°.5分 (2)证明：在四棱锥P -ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，CD 平面ABCD ，故CD ⊥P A .由条件CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .7分 又AE 平面P AC ，∴AE ⊥CD .由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .10分 又PC ∩CD ＝C ，故AE ⊥平面PCD .12分[思想与方法]1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任一直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1： ⎭⎬⎫m ，n α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a α，a ⊥l ⇒a ⊥β.2．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a α，a ⊥β⇒α⊥β.3．转化思想：垂直关系的转化[易错与防范]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．。
高中数学垂直关系图解教案
高中数学垂直关系图解教案
目标：学生能够理解和应用垂直关系的相关知识，解决与垂直关系相关的问题。
教学内容：垂直关系
教学步骤：
1.引入：通过展示一幅包含垂直关系的图形，引出垂直关系的概念。
让学生观察图形并讨
论其中的垂直关系。
2.讲解：介绍垂直角、垂直平分线、垂直线段等概念，并通过示意图和实例进行讲解。
帮
助学生理解这些概念在几何问题中的应用。
3.实例演练：提供一些垂直关系的练习题，让学生尝试解答并讨论解题思路。
引导他们通
过观察图形特点、运用几何知识来解决问题。
4.拓展应用：引导学生思考垂直关系在日常生活中的应用，并设计相关问题进行讨论。
鼓
励他们灵活运用垂直关系的知识解决实际问题。
5.总结：通过回顾学习内容和解题思路，总结垂直关系的重要性和应用方法。
同时鼓励学
生在今后的学习中注重观察图形特点，灵活使用垂直关系的知识。
扩展阅读：推荐一些相关的数学教材和参考书籍，帮助学生深入了解垂直关系的更多知识。
注：教师应根据实际教学情况和学生水平调整教学内容和步骤，确保教学效果。
垂直关系
基础知识梳理
如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直， 则这条直线和这个平面是否垂直？ 【思考·提示】 不一定垂直，若平面内一组 平行线与直线l垂直，但直线l与平面的关系是不确定 的．
基础知识梳理
2．平面与平面垂直 (1)定义：如果两个相交平面的交线与 第三个平面 垂直 ，且这两个平面与第三个 平面相交所得的两条交线 互相垂直 ，就称 这两个平面互相垂直．
基础知识梳理
(2)判定定理：如果一个平面过另一 个平面的一条垂线，则这两个平面互相 垂直． 其符号语言为：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β . (3)性质定理：如果两个平面互相垂 直，那么在一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面． 其符号语言为： α⊥β，α∩β＝l，a⊂ . α，a⊥l⇒a⊥β
三基能力强化
用线线垂直或面面垂直转化，除此外， 构造等腰三角形证垂直及利用勾股定理 求长度之间的关系证明垂直，甚至借助 矩形相邻边的垂直等，都是可能用到的 方法．
练习
1．如图所示，在直 四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，DB＝BC，DB⊥AC， 点M是棱BB1上一点． (1)求证：B1D1∥面A1 BD； (2)求证：MD⊥AC； (3)试确定点M的位置， 使得平面DMC1⊥平面CC1 D1D.
由正方体性质得AC⊥BD，AC⊥B1B， ∴AC⊥平面B1BD， ∴AC⊥B1D， 又F为A1D的中点， ∴AF⊥A1D，又AF⊥A1B1， ∴AF⊥平面A1B1D， ∴AF⊥B1D，又AF、 AC为平面ACF内的相交直线． ∴B1D⊥平面ACF. 即B1H⊥平面ACF. 【点评】 证明线面垂直，往往利
1．直线a⊥直线b，a⊥平面β， 则b与β的位置关系是________ ． b⊂β或b∥β 解析：由垂直和平行的有关性质 可知b⊂β或b∥β. 答案：b⊂β或b∥β
第七章第四节祖国的神圣领土——台湾PPT课件
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13
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14
台北
A.台北------是台湾省的政治、经济、文化和交通 中心，也是台湾省最大的城市
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返15 回
高雄
高雄市左营莲花潭
高雄国际航空港
B.高雄------第二大城市, 全省最大的港口,
南部最大工业中心，也是新. 兴的重化工业基地。
16
台南
赤嵌楼
台湾孔庙
C.台南------是台湾最早兴起的城市，也是重要的食品工业基地,
位于台湾西部平原的沿
海城市。
西部地形平坦，开发 历史悠久，人口稠密， 交通便利。
台湾岛主要的工业中心
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56
台湾硅谷--------新竹科学园简介
号称“台湾硅谷”的新竹 科学园，世界IT业的亮点， 面积605公顷。2000年区 内的制造业总产值达280 亿美元，约占全台湾的 10%，园区全年进出口贸 易额超过290亿美元，占 全台湾的13.1% 。在台湾， 新竹科学园已成了“高科
海陆位置：北临东海、南邻南海、东临太平洋、 西隔台湾海峡与福建省相望
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9
2.范围： 台湾岛 澎湖列岛
钓鱼岛
3.面积： 包括________和附近的_________、 __共_3__6___0__0__0__等平方许千多米小。岛是。我国面积 _最__大_的岛屿
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10
找出台北、基隆、高雄。
台北
台 湾 岛
纺织、电子电器、
出口加工工业
食品加工、石油化工
“进口——加工——出口”型经
济
20世纪90年代后
高新技术产业 电子工业
软件、晶板、 集成电路板
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54
台 大量受过教育和培训的劳工
高中数学立体几何垂直关系
求 A1D:DC1 的值．
[解析] 本题考查立体几何中的线面关系，两平面的垂直 关系线面平行的性质在本题中都有体现．
(1)因为侧面 BCC1B1 是菱形，所以 B1C⊥BC1， 又已知 B1C⊥A1B，且 A1B∩BC1＝B， 所以 B1C⊥平面 A1BC1，又 B1C 平面 AB1C 所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1 .
(2)设 BC1 交 B1C 于点 E，连接 DE，则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线．
因为 A1B∥平面 B1CD，A1B 平面 A1BC1，平面 A1BC1∩ 平面 B1CD＝DE，所以 A1B∥DE.
6．对于四面体 ABCD，给出下列四个命题： ①若 AB＝AC，BD＝CD，则 BC⊥AD； ②若 AB＝CD，AC＝BD，则 BC⊥AD； ③若 AB⊥AC，BD⊥CD，则 BC⊥AD； ④若 AB⊥CD，AC⊥BD，则 BC⊥AD. 其中真 命题的序号是 ________．(把 你认为正确 命题的序号 都填上)
位置关系的判定
[例 1] 已知 m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ 是三个
两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是( )
①若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β ②若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
③若 m α，n β，m∥n，则 α∥β ④若 m、n 是异面直线，m α，
m∥β，n β，n∥α，则 α∥β
∴EN 綊 AM.∴四边形 AMNE 为平行四边形．
∴MN∥AE.∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝
45°，
∴△PAD 为等腰直角三角形．∴AE⊥PD. 又∵ CD⊥ AD， CD⊥ PA， ∴CD⊥平面 PAD.而 AE 平面 PAD， ∴CD⊥AE.又 CD∩PD＝ D， ∴AE⊥平面 PCD.∴MN⊥平面 PCD.
第七章 向量代数与空间解析几何 第4节 平面与直线
( 3) A = B = 0 , 平面平行于 xoy 坐标面； 坐标面；
类似地可讨论 A = C = 0 , B = C = 0 情形 .
例3 设平面过原点及点 (6 , − 3 , 2) , 且与平面
4 x − y + 2z = 8
求此平面方程. 垂直 , 求此平面方程. 解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0 , 由平面过原点知
两平面平行但不重合 .
2 −1 −1 , 两平面平行 = = ( 3) Q 2 −4 2 Q M (1 , 1 , 0) ∈ Π 1 , M (1 , 1 , 0) ∈ Π 2
两平面重合. ∴ 两平面重合.
例7 设 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 是平面 Ax + By + Cz + D = 0 外一点， 到平面的距离. 外一点，求 P0 到平面的距离. 解 ∀ P1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ Π
已知平面上的一个点为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , 设平面上的任一点为 M ( x , y , z ) , r r 必有 M 0 M ⊥ n ⇒ M 0 M ⋅ n = 0 .
Q M 0 M = { x − x 0 , y − y0 , z − z 0 }
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
c
y
o
b
x
a
⇒
D D D A=− , B=− , C =− . a b c
D D D 将 A = − , B = − , C = − , 代入所设方程得 a b c
7.4直线平面垂直的判定与性质课件高三数学一轮复习
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × ) (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α⊥β.( × )
(2)证明：取 BC 的中点 N，连接 PN，MN，则 BC⊥MN， ∵PB＝PC，∴BC⊥PN， ∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面 PMN， ∴BC⊥平面 PMN， ∵PM⊂平面 PMN，∴BC⊥PM， 由(1)知，PM⊥DE， 又 BC，DE⊂平面 BCDE，且 BC 与 DE 是相交的， ∴PM⊥平面 BCDE， ∵PM⊂平面 PDE，∴平面 PDE⊥平面 BCDE.
直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是_______0_____. (2)范围：______0_，__π2_ __.
3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的______两__个__半__平__面____所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别 作____垂__直__于__棱__的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
____l⊥__α______ ____l⊂__β______⇒
α⊥β
续表
文字语言
图形语言
两个平面垂直，如果一个 平面内有一条直线垂直 性质 于这两个平面的 定理 ____交__线______，那么这条
直线与另一个平面垂直
符号语言
____α_⊥__β _____
___□ □___11___10___lα⊂___l∩___⊥β___β___a＝______a______
2012届高考数学(文)一轮复习课件：7-4第四节 垂直关系(北师大版)
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
[思路分析]
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
[听课记录]
(1)如图，连接
BE、BD，由底面ABCD是正方形 可得AC⊥BD. ∵SD⊥平面ABCD， ∴BD是BE在平面ABCD上的
射影，∴AC⊥BE，
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
(2)如图，由SD⊥平面ABCD知， ∠DBE＝φ，
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.
[听课记录] (1)∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.
AE AF 又∵ ＝ ＝λ(0<λ<1)， AC AD ∴不论 λ 为何值，恒有 EF∥CD. ∴EF⊥平面 ABC，EF⊂平面 BEF. ∴不论 λ 为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC.
∵SD⊥平面ABCD，
CD⊂平面ABCD，
∴SD⊥CD.
又底面ABCD是正方形， ∴CD⊥AD，而SD∩AD＝D，
∴CD⊥平面SAD.
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F， 连接CF，则CF⊥AE， 故∠CFD是二面角C－AE－D的平面角， 即∠CFD＝θ. 在Rt△BDE中，∵BD＝2a，DE＝λa，
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
第七章
立体几何
北 师 大 版 数 学 文
1.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使 m与l( ) B．相交 D．互为异面直线
2024届新高考一轮复习北师大版 第7章 第4节 垂直关系 课件(76张)
[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)垂直于同一个平面的两个平面平行．( ) (2)如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于 平面 β.( )
(3)已知平面 α，β，γ，若 α⊥γ，β⊥γ，且 α∩β＝l，则 l⊥γ.( )
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BD A 项，如图①，a⊂α，b⊂β，且 a，b 与 l 都不垂直，则 a，b 不一定垂直，故 A 错误；B 项，如图②，a⊂α，作 b⊥l，则 b⊥α，则 β
内所有与 b 平行的直线都与 a 垂直，故 B 正确；
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C 项，如图③，a⊂α，但 a 与 l 不垂直，则 a 与 β 不垂直，故 C 错误；
(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
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[对点查验]
1．设 α，β为两个不同的平面，直线 l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成
立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 依题意，由 l⊥β，l⊂α，可以推出 α⊥β；反过来，由α⊥β，l
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第七章 立体几何初步、立体几何与空间向量 第四节 垂直关系
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和 理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得 的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
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A 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
AC⊥BD 且 DD1⊥平面 ABCD，
高三一轮复习数学第7章-第4节垂直关系
【答案】 A
高三一轮总复习
3．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下 列垂直关系正确的是( )
①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD； ④平面PAB⊥平面PAC. A．①② C．②③ B．①③ D．②④
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【解】
(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB. 又因为VB 平面MOC，所以VB∥平面MOC. (2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB. 又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC 平面ABC， 所以OC⊥平面VAB. 所以平面MOC⊥平面VAB.
又D为AB1的中点，因此DE∥AC. 又因为DE 平面AA1C1C，AC 平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因为AC 平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因为AC⊥BC，CC1 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1.
图746
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【解】 (1)连接AB1交A1B于O，连接OM.
在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点， ∴OM∥B1C， 又∵OM 平面A1BM，B1C 平面A1BM， ∴B1C∥平面A1BM.
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(2)∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM 平面ABC， ∴AA1⊥BM，又∵M为棱AC中点，AB＝BC，所以BM⊥AC. ∵AA1∩AC＝A，所以BM⊥平面ACC1A1. ∴BM⊥AC1. ∵M为棱AC中点，AC＝2，所以AM＝1. 又∵AA1＝ 2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝ 2. ∴∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90° . ∴A1M⊥AC1. ∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.
最新-2021版同步文数北师大版课件：第七章 第四节 垂直关系 精品
a∩b＝O
_a___α__
⇒l⊥α
_b___α___
文字语言 两直线垂直于 性质 同一个平面， 定理 那么这两条直
线 平行
图形表示
符号表示
__ab__⊥ ⊥____αα__⇒a∥b
[必记结论] 1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b α⇒a⊥b. 2．若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
方法技巧
面面垂直判定的 2 种方法与 1 个转化 (1)2 种方法： ①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a α⇒α⊥β)． (2)1 个转化： 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化． 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步 转化为线线垂直．
即时应用
1．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠ BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD ⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中， 下列结论正确的是( ) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
对于选项 D，设 α∩β＝l，则 l α，但 l β，
故在 α 内存在直线不垂直于平面 β，即选项 D 错误． 答案：D
核心考点 互动探究
[典例 1] (2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD
中，E 为棱 CD 的中点，则( )
A．A1E⊥DC1
B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
D．A1E⊥AC
即时应用
1．(2018·湖北武汉模拟)已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，若
垂直关系课件
C．①④
D．②③
解析： 很明显①错，故排除A、C，②正确，排除B.
答案： D
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第七章
立体几何
栏目导引
4．已知平面α、β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.
(1)当满足条件________时，有m∥β；(填所选条件的序号，下同) (2)当满足条件________时，有m⊥β. 解析： 先画出①②③④⑤的图形．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
解析： (1)证明：在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝8，AB＝4， ∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， BD平面ABCD， ∴BD⊥平面PAD. 又BD平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD.
工具
第七章
a α，b α a∩b＝A ⇒l⊥α. l⊥a，l⊥b
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(3)直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 用符号表示为 平行． .
a⊥α，b⊥α⇒a∥b
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成二面角是 直角 ， 就 说 这 两 个 平 面
答案： (1)③⑤ (2)②⑤
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立体几何
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5．△ABC，∠ABC＝90°，PA⊥平面 则图中直角三角形的个数是________． 解析： BC⊥平面PAB， 故△PBC是直角三角形，
ABC ，
从而图中直角三角形的个数共有4个．
答案： 4
工具
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立体几何
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第四节
垂直关系
第四节 垂直关系
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1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点， 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定 定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的垂直关系的简单命题．
解析
(2015· 高考浙江卷)如图，在三棱柱 (1)证明：设E为BC的中点，
连接AE，由题意得A1E⊥平 ABCA1B1C1中，∠BAC＝90° ，AB＝AC＝ 面ABC，所以A1E⊥AE. 因为AB＝AC，所以AE⊥BC. 2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的 故AE⊥平面A1BC. 由D，E分别为B1C1，BC的中 中点，D是B1C1的中点． 点，得 DE∥B1B且 DE＝B1B， 从而DE∥A1 A且DE＝A1A， 所以AA1DE为平行四边形． (1)证明：A1D⊥平面A1BC； 于是A1D∥AE. (2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正 又因为AE⊥平面A1BC，所以 A1D⊥平面A1BC.
lβ α⊥β l⊥α
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知识点二
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2.平面与平面垂直的性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言
α⊥β lβ α∩β＝a l⊥a
知识点二
性 两个平面互相垂 质 直，则一个平面内 定 垂直于 交线 的直线 理 垂直于另一个平面
演练冲关
利用，这是证明空间垂直关系的基础. (2) 由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互 转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展 开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.
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1．(2014· 高考全国卷Ⅰ)如图，三棱柱
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3.直线与平面垂直的性质定理：
知识点二
文字语言 垂直于同一个 性质定理 平面的两条直 线 平行
图形语言
符号语言
a⊥ α a∥b b⊥ α
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A，B，D中还可能出
现mα或m∥α.
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知识点二
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平面与平面垂直的判定及性质
1．平面与平面垂直的判定定理： 文字语言 图形语言 符号语言
知识点二
判 定 定 理
一个平面过另一个平面 的一条 垂线 ，则这两 个平面互相垂直
理知，充分性不成立，
由线面垂直的性质定
理知，必要性成立，
故选C.
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知识点一
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解析
3．(2014· 高考浙江卷)设m，n是两条不 同的直线，α，β是两个不同的平面
知识点二
( C ) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
典题悟法
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考点二
平面与平面垂直的判定与性质|
(2015· 高考全国卷Ⅰ)如图，四边形
解析
典题悟法
(1)证明：因为四边形 ABCD为 ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥ 菱形，所以AC⊥ BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以 平面ABCD. AC⊥ BE.故 AC⊥平面 BED. 又 AC平面AEC，所以平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB＝x，在菱形 ABCD 中，由∠ ABC＝ 120° ，可得 3 x (1)证明：平面AEC⊥平面BED； AG＝ GC＝ x， GB＝ GD＝ . 2 2 (2)若∠ABC＝120° ，AE⊥EC，三棱锥 因为AE⊥ EC，所以在Rt 3 △ AEC中，可得 EG＝ x. 6 2 EACD的体积为 ，求该三棱锥的侧面积．
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直线与平面垂直的判定及性质
1．直线和平面垂直的定义： 直线l与平面α内的任意一条 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论： 文字语言 图形语言 符号语言
知识点二
典题悟法
＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的 射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
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(1)证明：A1D⊥平面A1BC； (2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角 的正弦值．
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考点一
典题悟法
(1)解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判 定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活
解析
ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C (1)证明：连接BC1， 则O为B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C. 与BC1的交 点． 因为侧面BB1C1C为菱形， 所以B1C⊥BC1. 又AO⊥平面BB1C1C，所以 B1C⊥AO， 故B1C⊥平面ABO. (1)证明：B1C⊥AB； 由于AB平面ABO， (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60° ，BC＝1，求 故B1C⊥AB. 三棱柱ABCA1B1C1的高．
知识点二
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都 垂直
交、平行或在平面α内，
选D.
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直线与平面垂直的判定与性质|
典题悟法
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1．(2014· 高考全国卷Ⅰ)如图，三棱
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(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD. 作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥ 柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为 AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD， 所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH 菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面 ⊥平面ABC. 因为∠CBB1＝60° ，所以△CBB1为等 BB1C1C. 3 边三角形，又BC＝1，可得OD＝ . 4 1 1 由于AC⊥AB1，所以OA＝ B1C＝ . 2 2 由OH· AD＝OD· OA，且AD＝ 7 21 OD2＋OA2＝ ，得OH＝ . 4 14 又O为B1C的中点，所以点B1到平面 (1)证明：B1C⊥AB； 21 ABC 的距离为 .故三棱柱ABC－ (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60° ，BC＝ 7 21 A B C 的高为 . 1 1 1 1，求三棱柱ABCA1B1C1的高． 7
而中心不在EF上，所
以平面AEF⊥平面BCD
错误，选C.
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知识点二
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解析
5．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直 线l，则( D )
对于A，α与β可以相交，
B中l与α可以垂直、斜 对于C，垂直于β的平 面与l平行或相交．故
知识点二
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知识点一
知识点一
解析
[自测练习] 1．经过平面α外一点与平面α垂直的直
假设有2条，由直线与
平面垂直的性质定理
知识点二
线有( B ) A．0条 C．无数条 B．1条 D．1条或无数条
知，这两条直线互相 平行，与过同一点矛 盾，故只有一条．
l⊥α
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知识点二
3.垂直关系的转化：
知识点一
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易误提醒 平面和平面垂直的判定定理的两个条件：lα， l⊥β，缺一不可． 必记结论 证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：aα，a⊥βα⊥β.
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[自测练习]
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4．在正四面体ABCD中，E，F，G分 别是BC，CD，DB的中点，下面四个