2011年天津市高考《数学(理)》模拟测试试卷(1)-中大网校
2011年天津高考数学试题及答案(理科)
2011年高考理科数学试题及答案（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+U ()()().P AB P A P B =棱柱的体积公式.V Sh = 圆锥的体积公式1.3V Sh =其中S 表示棱柱的底面面积 其中S 表示圆锥的底面面积h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数131ii --=A ．2i +B ．2i -C ．12i -+D ．12i --2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．64．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为 {}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1105．在6x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数为 A ．154- B ．154 C ．38- D ．386．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为A ．33B ．36C ．6D ．67．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (理科)(解析版)
【答案】B
【解析】
f
(x)
x 2 2, x x 2 ,
x2 x2
2 2
x x2 x x2
1 1
x
2
2,1
x
3 2
x
x2, x
1, 或x
3 2
则 f x 的图象如图
y
o x
-1
-2
∵ y f (x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，
第 3页 （共 13页）
∴ y f (x) 与 y c 的图象恰有两个公共点，由图象知 c 2 ，或 1 c 3 . 4
【答案】A.
1 3i
【解析】
1i
(1 3i)(1 i) (1 i)(1 i)
4 2i 2
2
i
.
2．设 x, y R, 则“ x 2 且 y 2 ”是“ x2 y2 4 ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 x 2且y 2 时，一定有 x 2 y 2 4 ；反过来当
【答案】C
10
【解析】令 m
log
3.4 2
，
n
log
3.6 4
，l
log
3 3
，在同一坐标系下作出三个函数的图象，
由图象可得 m l n ，
第 2页 （共 13页）
=log3x
y
y=log2x
o
x
y=log4x
又∵ y 5x 为单调递增函数， ∴a c b.
8．对实数
a
和
b
，定义运算“
【答案】 6
【解析】该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体，
2011年天津市普通高中学业水平考试模拟试卷(一)
2011年天津市普通高中学业水平考试模拟试卷（一）思想政治本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第Ⅰ卷1至6页，第Ⅱ卷7至9页。
第Ⅰ卷注意事项：本卷共30题，每题2分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、选择题1．甲经营水果生意，乙为甲做果箱。
甲为了薄利多销便以较低价格出售水果，这不但使得甲的水果生意红火，而且乙的果箱生产也出现供不应求的局面。
这说明（）A．一种商品价格变化会引其互补品价格的变化B．一种商品价格变化会引起其替代品价格的变化C．一种商品价格变化会引起其互补品需求量的变化D．一种商品价格变化会引起其替代品需求量的变化2．气候、时间、地域、宗教信仰、习俗等因素的变化，都会引起商品价格的变动。
它们对商品价格的影响，是因为改变了（）A．该商品的个别劳动生产率B．该商品的价值量C．该商品的供求关系D．该商品的社会劳动生产率3．甲省和乙省的城镇居民恩格尔系数分别为35．3％和36．1％，这表明（）A．从收入水平来看，甲省城镇居民略高于乙省城镇居民B．从收入水平来看，乙省城镇居民略高于甲省城镇居民C．从生活水平来看，甲省城镇居民略高于乙省城镇居民D．从生活水平来看，乙省城镇居民略高于甲省城镇居民4．“百元消费周”是指在一周的工作日期间，全部的餐饮、交通、娱乐等所有消费加起来，控制在100元之内。
这引发了一场关于“节俭主义”的热议。
赞同者认为该活动促使青年人反思形成合理科学消费方式的必要性；反对者则认为这种行为不利于扩大内需、促进生产。
你认为可以为双方提供的理论依据分别是A．建立健康消费方式；生产决定消费B．倡导适度消费的消费观；消费是生产的动力C．物质消费与精神消费要协调发展；消费是生产的目的D．要发扬艰苦奋斗、勤俭节约的精神；生产为消费创造动力5．在日常经济生活中，我们离不开货币：吃、穿、用所需要的物品，大多要用货币去购买；享受市场提供的服务也要支付货币。
2011年天津高考数学试题及答案(理科)
野草中的梦与幻我有幸拜读了鲁迅先生所写的散文诗《野草》，诗中有的词藻华丽，有的依旧言辞犀利，在作者的梦幻中依旧有残酷现实的倩影，美丽的景物却要用血腥的言语来抨击现实依旧是个可怕的世界，他在虚幻中道出了真实，而这真是就反映在他的梦里面。
他在预计未来的死亡中，把握现在的生命，领悟着生之要义，有死亡感知生命。
在绝望与希望中挣扎，在作者的眼中一切的矛盾，一方的尽头即是另一方的开端，希望的尽头便是绝望，绝望到了极点便又有了希望：死亡的尽头才又有了重生；“沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春”斗转星移的变迁中，都为另一个新的开始而始终前进着。
在《野草》中，多篇都以“我梦见”为开头，如《死火》，《狗的驳洁》，《失掉的好地狱》，《墓碣文》，《颓败线的颤动》，《立论》，《死后》。
在《好的故事》中虽未以“我梦见”为开头，但也在“我在蒙胧中，看见一个好的故事”中知道这是作者的想象了。
现实若用虚幻的梦境来显现，更是清晰得可怕。
然而作者的这些梦境如此奇丽，如此狂乱的恐怖，使得它们简直成了梦魇。
虽然这些写梦境的篇章，皆以梦境开头，让人明白这并非现实，可他所诉说的内容，又无不让人联想到现实。
将我们从现实中推开，自己置身在奇异的想象中。
这些梦不来自光明，不来自天上，却来自黑暗，来自地狱与深渊。
因为鲁迅认为不能“光梦‘大同世界’之类的光明，不要只做将来的梦，还要梦到目前的‘阶级斗争，白色恐怖，轰炸，虐杀，鼻子里灌辣椒水，电刑……’。
于是《野草》没有叫人完全轻松的好梦。
死亡，地狱，黑暗，挣扎，斗争……无不是极让人感觉很冷得意象。
在《好的故事》中，作者闭上眼睛感知到一片朦胧的世界，各种美丽的景色跃然于眼前，俨然是一片乡村祥和图，但“骤然一惊，睁开眼”，瞬间化为几点虹霓色的碎影，似乎说明这融汇着一切美丽事物的完满世界只是幻想，在现实世界中是不可能存在的。
一旦醒来，一切便难追回。
《墓碣文》中的梦境，给人一种恐怖的感觉，也只能疾走，不要回顾，仿佛生活中的一些令人畏惧的的事情，让人敬而远之。
2011年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．【解答】解：复数===2﹣i故选B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．2．（5分）（2011•天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义．3．（5分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．4．（5分）（2011•天津）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．5．（5分）（2011•天津）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C． D．【考点】二项式定理．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案．【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣1）r22r﹣6C6r x3﹣r令3﹣r=2得r=1所以项展开式中，x2的系数为﹣故选C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．（5分）（2011•天津）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】根据题中条件，在△ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，利用正弦定理可求sin∠BDC，然后在△BDC中利用正弦定理求解sinC即可【解答】解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=△ABD中，由余弦定理可得∴sinA=△ABD中，由正弦定理可得⇒sin∠ADB=∴△BDC中，由正弦定理可得故选：D．【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题．7．（5分）（2011•天津）已知，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】比较大小的方法：找1或者0做中介判断大小，log43.6＜1，log23.4＞1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对c进行化简，得到＞1＞b，再借助于中间值log2进行比较大小，从而得到结果．，【解答】解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，又y=5x是增函数，∴a＞b，＞==b而log23.4＞log2＞log3，∴a＞c故a＞c＞b．故选C．【点评】此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小，以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．8．（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）的解析式，并求出f （x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵田径队有男运动员48人，∴男运动员要抽取48×=12人，故答案为：12．【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．10．（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为6+πm3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则V圆锥=•π•3=πV长方体=1×2×3=6则V=6+π故答案为：6+π【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键．11．（5分）（2011•天津）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=．【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】由抛物线C的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C的参数方程为则抛物线的标准方程为：y2=8x则抛物线C的焦点的坐标为（2，0）又∵斜率为1的直线经过抛物线C的焦点则直线的方程为y=x﹣2，即经x﹣y﹣2=0由直线与圆（x﹣4）2+y2=r2，则r==故答案为：【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，是解答本题的关键．12．（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=，∴AF=2，BF=1，BE=，AE=，由切割定理得CE2=BE•EA==，∴CE=．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．13．（5分）（2011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．【解答】解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2011•天津）已知函数f（x）=tan（2x+），（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．【考点】正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．【解答】解：（Ⅰ）由2x+≠+kπ，k∈Z．所以x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为：f（x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（0，），所以sinα+cosα≠0 因此（cosα﹣sinα）2=即sin2α=因为α∈（0，），所以α=【点评】本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．16．（13分）（2011•天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C52C32，摸出3个白球事件数为C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．【解答】解：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i=，0，1，2，3），则P（A3）=，（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）=C21（1﹣）=，P（X=2）=（）2=，所以X的分布列是X 0 1 2pX的数学期望E（X）=0×．【点评】此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．17．（13分）（2011•天津）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM 的长．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）利用求出平面AA1C1的法向量，通过求出平面A1B1C1的法向量，然后利用求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，设M（a，b，0），利用MN⊥平面A1B1C1，结合求出a，b，然后求线段BM的长．方法二：（I）说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角，通过解三角形C1A1B1，利用余弦定理，．求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）连接AC1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，说明∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．连接AB1，在△ARB1中，通过，求出二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．（III）首先说明MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，推出ND⊥A1B1．证明A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，延长EM交AB于点F，连接NE．连接BM，在Rt△BFM中，求出．【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得（I）解：易得，于是，所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）解：易知．设平面AA1C1的法向量=（x，y，z），则即不妨令，可得，同样地，设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角A﹣A1C1﹣B的正弦值为．（III）解：由N为棱B1C1的中点，得．设M（a，b，0），则由MN⊥平面A1B1C1，得即解得故．因此，所以线段BM的长为．方法二：（I）解：由于AC∥A1C1，故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，，可得A1C1=B1C1=3．因此．所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1C1，所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．在Rt△A1RB1中，．连接AB1，在△ARB1中，=，从而．所以二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．（III）解：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND∥C1H且．又C1H⊥平面AA1B1B，所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1．又MN∩ND=N，所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则ME⊥A1B1，故ME∥AA1．由，得，延长EM交AB于点F，可得．连接NE．在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND2=DE•DM．所以．可得．连接BM，在Rt△BFM中，．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．18．（13分）（2011•天津）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足，求点M的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用△F1PF2为等腰三角形得|PF2|=|F1F2|，解其对应的方程即可求椭圆的离心率e；（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A，B两点的坐标，代入，即可求点M的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）．由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，所以e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程为y=（x﹣c）．A，B的坐标满足方程组，消y并整理得5x2﹣8xc=0，解得x=0，x=，得方程组的解为，，不妨设A（c，c），B（0，﹣c）．设点M的坐标为（x，y），则=（x﹣c，y﹣c），=（x，y+c）由y=（x﹣c）得c=x﹣y ①，由=﹣2即（x﹣c）x+（y﹣c）（y+c）=﹣2．将①代入化简得18x2﹣16xy﹣15=0，⇒y=代入①化简得c=＞0．所以x＞0，因此点M的轨迹方程为18x2﹣16xy﹣15=0 （x＞0）．【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．19．（14分）（2011•天津）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在x0∈（2，+∞），使；（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）求导数fˊ（x）；在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（II）由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令．利用函数f（x）在（0，2）内单调递增，得到．最后取．从而得到结论；（III）先由f（α）=f（β）及（I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立关于a的不等关系即可证得结论．【解答】解：（I），令．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f′（x）+0 ﹣f（x）增极大值减所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（II）证明：当．由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令．由于f（x）在（0，2）内单调递增，故．取．所以存在x0∈（2，x'），使g（x0）=0，即存在．（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'＞2，且g（x'）＜0即可）（III）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．故从而．【点评】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．20．（14分）（2011•天津）已知数列{a n}与{b n}满足：，n∈N*，且a1=2，a2=4．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设c n=a2n﹣1+a2n+1，n∈N*，证明：{c n}是等比数列；（Ⅲ）设S k=a2+a4+…+a2k，k∈N*，证明：．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）要求a3，a4，a5的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．（Ⅱ）化简出a2n﹣1+a2n+1，a2n+1+a2n+3的关系，即：c n+1与c n的关系，从而证明{c n}是等比数列；就是利用（Ⅰ）的，用2n﹣1，2n，2n+1，替换中的n，化简出只含“a n”的关系式，就是a2n+a2n+2a2n+1=0，①2a2n+a2n+1+a2n+2=0，②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，③然后推出a2n+1+a2n+3=﹣1﹣（a2n﹣1+a2n+1），得到c n+1=﹣c n（n∈N*），从而证明{c n}是等比数列；（Ⅲ）先研究通项公式a2k，推出S k的表达式，然后计算，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a2k﹣1+a2k+1=（﹣1）k，对任意k∈N*且k≥2，列出n个表达式，利用累加法求出a2k=（﹣1）k+1（k+3）．化简S2k=（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a4k﹣2+a4k）=﹣k，k∈N*，，通过裂项法以及放缩法证明：．【解答】20、满分14分．（I）解：由，可得又b n a n+a n+1+b n+1a n+2=0，（II）证明：对任意n∈N*，a2n﹣1+a2n+2a2n+1=0，①2a2n+a2n+1+a2n+2=0，②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，③②﹣③，得a2n=a2n+3．④将④代入①，可得a2n+1+a2n+3=﹣（a2n﹣1+a2n+1）即c n+1=﹣c n（n∈N*）又c1=a1+a3=﹣1，故c n≠0，因此是等比数列．（III）证明：由（II）可得a2k﹣1+a2k+1=（﹣1）k，于是，对任意k∈N*且k≥2，有将以上各式相加，得a1+（﹣1）k a2k﹣1=﹣（k﹣1），即a2k﹣1=（﹣1）k+1（k+1），此式当k=1时也成立．由④式得a2k=（﹣1）k+1（k+3）．从而S2k=（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a4k﹣2+a4k）=﹣k，S2k﹣1=S2k﹣a4k=k+3．所以，对任意n∈N*，n≥2，====对于n=1，不等式显然成立．【点评】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1的验证，裂项法和放缩法的应用．。
2011年天津市高考《理综综合》模拟测试试卷-中大网校
2011年天津市高考《理综综合》模拟测试试卷总分：300分及格：180分考试时间：150分选择题，共6小题。
(1)下列有关化学与能量的说法不正确的是（）(2)提纯下列物质(括号内为少量杂质)，所选用的除杂试剂与主要分离方法都正确的县（）。
(3)阿斯巴甜（ASPartame）具有清爽的甜味，甜度约为蔗糖的200倍，有关说法不正确的是（）。
(4)<Ahref="javascript:;"></A>(5)在中学化学教材后所附的周期表中，若甲、乙、丙都是短周期元素，其中甲、乙两元素原子的最外层电子数分别是次外层电子数的2倍和3倍，丙元素原子K层和M层电子数之和与L层的电子数相同。
下列有关判断中正确的是（）。
(6)<Ahref="javascript:;"></A>非选择题，4小题，共64分。
(1)<Ahref="javascript:;"></A>(2)<Ahref="javascript:;"></A>(3)<Ahref="javascript:;"></A>(4)<Ahref="javascript:;"></A>选择题，共6小题。
(1)下列关于生物专一性的叙述不正确的一组是（）①酶具有专一性，一种酶只能催化一种或一类化学反应②基因工程操作中的载体具有专一性，一种载体只能运载一种特定的目的基因③tRNA具有专一性，一种tRNA只能运载一种特定的氨基酸④碱基互补配对具有专一性，与腺嘌呤配对的只能是胸腺嘧啶⑤抗体具有专一性，一种抗体只能与一种相应的抗原结合(2)图中①～④表示是生物体内4种有机分子的结构。
其中①和④仅存在于植物细胞中。
有关说法正确的是（）(3)关于“克隆羊”、“试管羊”、“转基因羊”的说法合理的是（）。
2011届高考数学 模拟试题 理 新人教版
2011届高考模拟试题数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至6页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
全卷满分为150分，完成时间为120分钟。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的。
1．已知复数z =z 在复平面上对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设a 、b 是非零实数，那么“a >b ”是“lg(a -b )>0”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 已知函数()y f x =在其定义域(,0]-∞内存在反函数，且2(1)2f x x x -=-，则11()2f --的值等于A ．2-B ．C ．-D ．12-4．以抛物线241x y =的焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是A ．160098122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y xB ． ()259122=-+y xC ．1600168122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x yD ． ()2516122=-+x y 5. 若n xx )13(+的展开式中各项的系数之和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项PCABQ共有 ( ) A 2项 B 3项 C 4项 D 5项4． 6. 若三个数c a ,1,成等差数列，且22,1,c a 又成等比数列，则nn c a c a )(lim 22++∞→等于A. 0B. 1C. 0或1D. 不存在7．如图，设平面EF αβ⋂=，AB α⊥，CD α⊥，垂足分别是B 、D ，如果增加一个条件就能推出BD EF ⊥，这个条件不可能．．．是下面四个选项中的 A ．CD β⊥ B ．AC EF ⊥C ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角都相等8．甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为A ．72种B ．54种C ．36种D ．24种9．如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ =23AB +14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为A ．45B ．15C ．14D ．1310． 已知A ，B 为椭圆22143x y +=的左右两个顶点，F 为椭圆的右焦点，P 为椭圆上异于A 、B 点的任意一点，直线AP 、BP 分别交椭圆的右准线于M 、N 两点，则MFN ∆面积的最小值是 A ．8 B ．9 C ．11 D ．12第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。
2011年天津高考数学试题及答案(理科)
2011年高考理科数学试题及答案（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+ ()()().P AB P A P B =棱柱的体积公式.V Sh = 圆锥的体积公式1.3V Sh =其中S 表示棱柱的底面面积 其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数131ii --=A ．2i +B ．2i -C ．12i -+D ．12i --2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1105．在6x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数为A ．154-B ．154C ．38-D ．386．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===，则sin C 的值为 A ．33 B ．36C ．6D ．67．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭ C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法 从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人 数为___________10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积 为__________3m11．已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一 点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则 线段CE 的长为__________.13．已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB+的最小值为____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+ （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . 17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A ACB --的正弦值； （Ⅲ）设N 为棱11BC 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的 长．18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．19．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明ln 3ln 2ln 253a -≤≤．20．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2nn n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值； （Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（III ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑．参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分. BABDCDCB二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分.9．12 10．6π+ 11． 12． 13．{|25}x x -≤≤ 14．5三、解答题15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系， 二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I ）解：由2,42x k k Zπππ+≠+∈，得,82k x k Z ππ≠+∈.所以()f x 的定义域为{|,}82k x R x k Z ππ∈≠+∈()f x 的最小正周期为.2π（II ）解：由()2cos 2,2af a = 得tan()2cos 2,4a a π+=22sin()42(cos sin ),cos()4a a a a ππ+=-+整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a aa a a a a a +=+-- 因为(0,)4a π∈，所以sin cos 0.a a +≠ 因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -==即 由(0,)4a π∈，得2(0,)2a π∈. 所以2,.612a a ππ==即16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能 力.满分13分.（I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i ==则2132322531().5C C P A C C =⋅= （ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =，又22111322222222253531(),2C C C C C P A C C C C =⋅+⋅= 且A 2，A 3互斥，所以23117()()().2510P B P A P A =+=+=（II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100P X P X C P X ==-===-====所以X 的分布列是X 012P9100 215049100X 的数学期望921497()012.100501005E X =⨯+⨯+⨯=17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点. 依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C - 111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C（I ）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-， 于是1111112cos ,,3||||322AC A B AC A B AC A B ⋅===⋅⨯所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为（II）解：易知111(0,22,0),(2,AA AC==- 设平面AA 1C 1的法向量(,,)m x y z =，则11100m A C m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨=⎪⎩不妨令x =可得m =，同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量(,,)n x y z =，则11110,0.n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩不妨令y =可得n =于是2cos ,,||||7m n m n m n ⋅===⋅从而sin ,m n =所以二面角A—A 1C 1—B 的正弦值为（III ）解：由N为棱B 1C 1的中点，得N 设M （a ，b ，0），则2(,,)222MN a b =--由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得11110,0.MNA B MN AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()(0,2()(()(0.222a a b ⎧-⋅-=⎪⎪⎨⎪-⋅+-⋅+=⎪⎩解得24a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故M因此22(,,0)BM =，所以线段BM 的长为10||.BM = 方法二：（I ）解：由于AC//A 1C 1，故111C A B ∠是异面直线AC 与A 1B 1所成的角. 因为1C H ⊥平面AA 1B 1B ，又H 为正方形AA 1B 1B 的中心，1122,5,AA C H ==可得1111 3.ACB C == 因此22211111111111112cos .23AC A B B C C A B AC A B +-∠==⋅所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为2.3（II ）解：连接AC 1，易知AC 1=B 1C 1， 又由于AA 1=B 1A 1，A 1C 1=A 1=C 1，所以11AC A ∆≌11B C A ∆，过点A 作11AR A C ⊥于点R ，连接B 1R ，于是111B R A C ⊥，故1ARB ∠为二面角A —A 1C 1—B 1的平面角. 在11Rt A RB ∆中，2111112214sin 221().33B R A B RA B =⋅∠=⋅-=连接AB 1，在1ARB ∆中，2221111114,,cos 2AR B R AB AB AR B R ARB AR B R +-==∠=⋅27=-，从而135sin .ARB ∠=所以二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值为35.7（III ）解：因为MN ⊥平面A 1B 1C 1，所以11.MN A B ⊥ 取HB 1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B 1C 1中点，所以ND//C 1H 且1152ND C H ==. 又1C H ⊥平面AA 1B 1B ，所以ND ⊥平面AA 1B 1B ，故11.ND A B ⊥ 又,MN ND N =所以11A B ⊥平面MND ，连接MD 并延长交A 1B 1于点E ， 则111,//.ME A B ME AA ⊥故由1111111,4B E B D DE AA B A B A ===得12DE B E ==，延长EM 交AB 于点F ，可得12BF B E ==连接NE.在Rt ENM ∆中，2,.ND ME ND DE DM ⊥=⋅故所以24ND DM DE ==可得4FM =连接BM ，在Rt BFM ∆中，BM ==18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c -> 由题意，可得212||||,PF F F =即2.c = 整理得22()10,1c c ca a a +-==-得（舍）， 或1.2c a =所以1.2e =（II ）解：由（I）知2,,a c b ==可得椭圆方程为2223412,x y c += 直线PF 2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2580.x cx -= 解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(),(0,)5A c B设点M的坐标为833(,),(,),(,)5x y AM x c y c BM x y =--=则由),.y x c c x y =-=-得于是838(,),15555AM y x y x =--().BM x=由2,AM BM ⋅=-即38()()215555y x x y x -⋅+-=-，化简得218150.x --= 将22105,0.16x y c x y c x +===>得所以0.x >因此，点M 的轨迹方程是218150(0).x x --=> 19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I ）解：2112'()2,(0,)2ax f x ax x x -=-=∈+∞，令'()0,f x =解得 当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x)+∞'()f x+ 0 - ()f x 极大值所以，()f x的单调递增区间是(0,()2f x a的单调递减区间是,).2a +∞（II ）证明：当211,()ln .88a f x x x ==-时 由（I ）知()f x 在（0，2）内单调递增，在(2,)+∞内单调递减. 令3()()().2g x f x f =- 由于()f x 在（0，2）内单调递增， 故3(2)(),2f f >即g(2)>0. 取23419'2,(')0.232e x e g x -=>=<则所以存在00(2,'),()0,x x g x ∈=使 即存在003(2,),()().2x f x f ∈+∞=使 （说明：'x 的取法不唯一，只要满足'2,(')0x g x ><且即可）（III ）证明：由()()f f αβ=及（I）的结论知2a αβ<<，从而()[,]f x αβ在上的最小值为().f a又由1βα-≥，,[1,3],αβ∈知12 3.αβ≤≤≤≤故(2)()(1),ln 24,(2)()(3).ln 24ln39.f f f a a f f f a a αβ≥≥-≥-⎧⎧⎨⎨≥≥-≥-⎩⎩即 从而ln 3ln 2ln 2.53a -≤≤20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I ）解：由*3(1),,2nn b n N +-=∈可得1,n n b ⎧=⎨⎩为奇数2,n 为偶数 又1120,n n n n n b a a b a +++++=123123234434543;5;4.=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a（II ）证明：对任意*,n N ∈ 2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ②21222320,n n n a a a +++++= ③ ②—③，得 223.n n a a += ④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+即*1()n n c c n N +=-∈又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n n c c c +=-所以是等比数列.（III ）证明：由（II ）可得2121(1)k k k a a -++=-， 于是，对任意*2k N k ∈≥且，有133********,()1,1,(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-将以上各式相加，得121(1)(1),k k a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k=1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+ 从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=- 2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*,2n N n ∈≥， 44342414114342414()n n k m m m m k m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑12221232()2222123n m m m m m m m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)n m m m m m ==++++∑ 2253232(21)(22)(23)n m m m n n ==++⨯+++∑21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈ 2121212212n n n n S S S S a a a a --++++32121241234212()()()n n n n S S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n =--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+-- 111().4123n n ≤-+=-。
2011年高考数学模拟系列试卷(1)新课标
2011年高考模拟系列试卷（一）数学试题（理）（新课标版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,0,,01A a B x x =-=<<，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．{}1D ．(1,)+∞2．已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角的余弦值为AB．- C．2D．2-3．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++ ，则k = A ．22 B ．23 C ．24 D ．25 4．若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于 A ．6 B ．6πC．D．5．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)(1+i)z a =-在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π7．若1()nx x+展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于A ．8B ．16C ．80D ．708．已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则a b 的最大值为A ．12B ．2C ．3D ．319．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s ________2s （填“>”、“<”或“＝”）．A ．>B ．<第4题第9题图C ．＝D ．不能确定 10．若函数()(,)y f x a b =的导函数在区间上的图象关于直线2b a x +=对称，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是A ．①B ．②C ．③D ．③④11．已知函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式成立的是A ．12()()0f x f x +<B ． 12()()0f x f x +>C ．12()()0f x f x ->D ．12()()0f x f x -<12．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形面积是_________． 14．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是_________． 15．若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，则PM的最小值为_________．16．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭第12题图区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为_________．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在A B C ∆中，已知45A = ，4cos 5B =．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若10,BC D =为AB 的中点，求C D 的长． 18．（本小题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX ． 19．（本小题满分12分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S 数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2n n na b =的前n 项和为n T ，求n T ．20．（本小题满分12分）如图，已知E ，F 分别是正方形A B C D 边B C 、C D 的中点，EF与A C 交于点O ，P A 、N C 都垂直于平面A B C D ，且4PA AB ==，2N C =，M 是线段P A 上一动点．（Ⅰ）求证：平面P A C ⊥平面N E F ；（Ⅱ）若//P C 平面M EF ，试求:P M M A 的值；（Ⅲ）当M 是P A 中点时，求二面角M E F N --的余弦值． 21．（本小题满分12分）第20题已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线P A 与P B 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若O P O Mλ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 22．（本小题满分14分）已知三次函数()()32,,f x ax bx cx a b c R =++∈．（Ⅰ）若函数()f x 过点(1,2)-且在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=，求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有12()()f x f x t -≤，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时()f x 的表达式．参考答案一．选择题1．B ； 2．C ； 3．A ； 4．C ； 5．A ； 6．C ； 7．D ； 8．A ； 9．B ； 10．D ； 11．D ； 12．B ． 二．填空题 13．18； 14．12-； 15．4； 16．22n j -（这里j 为[1,2]n 中的所有奇数）．三．解答题17．解：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈ ，∴3sin 5B ==．cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-43cos135cos sin 135sin 2525B B =+=-+10=-（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C ===．由正弦定理得sin sin BC AB AC =，即2A B =，解得14AB =．在B C D ∆中，7B D =，22247102710375C D =+-⨯⨯⨯=，所以C D =18．解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．随机变量X 服从超几何分布． 031263185(0)204C C P X C ===， 1212631815(1)68C C P X C ===，2112631833(2)68C C P X C ===，312631855(3)204C C P X C ===．X∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S aa a =+=+，3123136S a a a a =++=+， ==解得11a =，故21n a n =-．（Ⅱ）211(21)()222nnn n na nb n -===-， 法1：12311111()3()5()(21)()2222nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ①①12⨯得 23411111111()3()5()(23)()(21)()222222nn n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ② ①-②得 2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯ 11111(1)113121222(21)()12222212nn n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ∴4212333222n n n nn n T -+=--=-． 法2：121112222n n nnn na nb n --===⋅-，设112nn k k kF -==∑，记11()()nk k f x k x-==∑，则()1111(1)()1(1)n nnn kk nk k x x n nx xf x x x xx +==''⎛⎫--+-⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， ∴114(2)2n n F n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故111(1)1123224(2)13122212nn n n nnn T F n --+=-=-+⋅-+=--．20．解： 法1：（Ⅰ）连结BD ，∵P A ⊥平面A B C D ，BD ⊂平面A B C D ，∴PA BD ⊥，又∵B D A C ⊥，AC PA A = ，∴B D ⊥平面P A C ，又∵E ，F 分别是B C 、C D 的中点，∴//E F B D ，∴E F ⊥平面P A C ，又E F ⊂平面N E F ，∴平面P A C ⊥平面N E F ．（Ⅱ）连结O M ，∵//P C 平面M E F ，平面PAC 平面M E F O M =，∴//P C O M ，∴14P MO CP A A C ==，故:1:3P M M A =．（Ⅲ）∵E F ⊥平面P A C ，O M ⊂平面P A C ，∴E F ⊥O M ，在等腰三角形N E F 中，点O 为EF 的中点，∴N O E F ⊥，∴M O N ∠为所求二面角M E F N --的平面角．∵点M 是P A 的中点，∴2A M N C ==，所以在矩形M N C A中，可求得MN AC ==，N O =M O =在M O N ∆中，由余弦定理可求得222cos 233M O O N M NM O N M O O N+-∠==-⋅⋅，∴二面角M E F N --的余弦值为33-．法2：（Ⅰ）同法1；（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，∴(4,4,4)PC =- ，(2,2,0)EF =-，设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面M EF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)M E m =- ，所以0n M E n E F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220x y m z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，6z m =，故6(1,1,)n m = ． ∵//P C 平面M EF ，∴0PC n ⋅= ，即24440m+-=，解得3m =，故3A M =，即点M 为线段P A上靠近P 的四等分点；故:1:3P M M A =．（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN = ，设平面N E F 的法向量为(,,)m x y z =，则00m E N m E F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-，当M 是P A 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，∴cos ,33m n <>==-，∴二面角M E F N --的余弦值为33-21．解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=，∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =，又3c e a==，即a =，222a b c =+，解得a =1c =． 所以椭圆方程为22132xy+=．（Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(0)A，0)B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1y k =2y k =， 即2220012222000222(3)2333333x x yk k x x x --⋅====----，∴12k k 为定值23-． （Ⅲ）设(,)M x y ，其中[x ∈．由已知222O P O Mλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x xx x yx y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．①当3λ=时，化简得26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠时，方程变形为2222166313xyλλ+=-，其中[x ∈，当03λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤13λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤的部分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．22．解：（Ⅰ）∵函数()f x 过点(1,2)-，∴(1)2f a b c -=-+-= ①又2()32f x ax bx c '=++，函数()f x 点(1,(1))f 处的切线方程为20y +=，∴(1)2(1)0f f =-⎧⎨'=⎩，∴2320a b c a b c ++=-⎧⎨++=⎩ ② 由①和②解得1a =，0b =，3c =-，故 3()3f x x x =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）2()33f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±，∵(3)18f -=-，(1)2f -=，(1)2f =-，(2)2f =，∴在区间[]3,2-上m ax ()2f x =，m in ()18f x =-， ∴对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x ，12|()()|20f x f x -≤，∴20t ≥，从而t 的最小值为20． （Ⅲ）∵2()32f x ax bx c '=++，则(0)(1)32(1)32f cf a b c f a b c'=⎧⎪'-=-+⎨⎪'=++⎩，可得6(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-． ∵当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，∴(1)1f '-≤，(0)1f '≤，(1)1f '≤， ∴6||(1)(1)2(0)a f f f '''=-+-(1)(1)2(0)4f f f '''≤-++≤，∴23a ≤，故a 的最大值为23， 当23a =时，(0)1(1)221(1)221f c f b c f b c '⎧==⎪'-=-+=⎨⎪'=++=⎩，解得0b =，1c =-，∴a 取得最大值时()323f x x x =-．。
2011年天津市高考数学试卷(理科)及答案
2011年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n 为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1105．（5分）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b8．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．11．（5分）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=．12．（5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．13．（5分）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．14．（5分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=tan（2x+），（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．16．（13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．17．（13分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．18．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足，求点M的轨迹方程．19．（14分）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）（Ⅰ）当a=时①求f（x）的单调区间；②证明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（）；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．20．（14分）已知数列{a n}与{b n}满足：，n∈N*，且a1=2，a2=4．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设c n=a2n﹣1+a2n+1，n∈N*，证明：{c n}是等比数列；（Ⅲ）设S k=a2+a4+…+a2k，k∈N*，证明：．2011年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•天津）i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．【解答】解：复数===2﹣i故选B．2．（5分）（2011•天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．3．（5分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B4．（5分）（2011•天津）已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D5．（5分）（2011•天津）在的二项展开式中，x2的系数为（）A．B．C．D．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案．=（﹣1）r22r﹣6C6r x3﹣r【解答】解：展开式的通项为T r+1令3﹣r=2得r=1所以项展开式中，x2的系数为﹣故选C6．（5分）（2011•天津）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．D．【分析】根据题中条件，在△ABD中先由余弦定理求出cosA，利用同角关系可求sinA，利用正弦定理可求sin∠BDC，然后在△BDC中利用正弦定理求解sinC 即可【解答】解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=△ABD中，由余弦定理可得∴sinA=△ABD中，由正弦定理可得⇒sin∠ADB=∴△BDC中，由正弦定理可得故选：D．7．（5分）（2011•天津）已知，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【分析】比较大小的方法：找1或者0做中介判断大小，log43.6＜1，log23.4＞1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对c进行化简，得到＞1＞b，再借助于中间值log2进行比较大小，从而得到结果．，【解答】解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，又y=5x是增函数，∴a＞b，＞==b而log23.4＞log2＞log3，∴a＞c故a＞c＞b．故选C．8．（5分）（2011•天津）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C． D．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）的解析式，并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2011•天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵田径队有男运动员48人，∴男运动员要抽取48×=12人，故答案为：12．10．（5分）（2011•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为6+πm3．【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1=•π•3=π则V圆锥V长方体=1×2×3=6则V=6+π故答案为：6+π11．（5分）（2011•天津）已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=．【分析】由抛物线C的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C的参数方程为则抛物线的标准方程为：y2=8x则抛物线C的焦点的坐标为（2，0）又∵斜率为1的直线经过抛物线C的焦点则直线的方程为y=x﹣2，即经x﹣y﹣2=0由直线与圆（x﹣4）2+y2=r2，则r==故答案为：12．（5分）（2011•天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB 延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为．【分析】设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=，∴AF=2，BF=1，BE=，AE=，由切割定理得CE2=BE•EA==，∴CE=．13．（5分）（2011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5} ．【分析】求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．【解答】解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．14．（5分）（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为5．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2011•天津）已知函数f（x）=tan（2x+），（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．【分析】（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．【解答】解：（Ⅰ）由2x+≠+kπ，k∈Z．所以x≠，k∈Z．所以f （x）的定义域为：f（x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（0，），所以sinα+c osα≠0 因此（cosα﹣sinα）2=即sin2α=因为α∈（0，），所以α=16．（13分）（2011•天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．【分析】（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C52C32，摸出3个白球事件数为C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．【解答】解：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i=，0，1，2，3），则P（A3）=，（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又P（A2）=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）=C21（1﹣）=，P（X=2）=（）2=，所以X的分布列是X012pX的数学期望E（X）=0×．17．（13分）（2011•天津）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B 的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）利用求出平面AA1C1的法向量，通过求出平面A1B1C1的法向量，然后利用求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，设M（a，b，0），利用MN⊥平面A1B1C1，结合求出a，b，然后求线段BM的长．方法二：（I）说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角，通过解三角形C1A1B1，利用余弦定理，．求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）连接AC1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，说明∠ARB1为二面角A ﹣A1C1﹣B1的平面角．连接AB1，在△ARB1中，通过，求出二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．（III）首先说明MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，推出ND⊥A1B1．证明A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，延长EM 交AB于点F，连接NE．连接BM，在Rt△BFM中，求出．【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得（I）解：易得，于是，所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）解：易知．设平面AA1C1的法向量=（x，y，z），则即不妨令，可得，同样地，设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角A﹣A1C1﹣B的正弦值为．（III）解：由N为棱B1C1的中点，得．设M（a，b，0），则由MN⊥平面A1B1C1，得即解得故．因此，所以线段BM的长为．方法二：（I）解：由于AC∥A1C1，故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．因为C 1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，，可得A1C1=B1C1=3．因此．所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1C1，所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．在Rt△A1RB1中，．连接AB1，在△ARB1中，=，从而．所以二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．（III）解：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND∥C1H且．又C1H⊥平面AA1B1B，所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1．又MN∩ND=N，所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则ME⊥A1B1，故ME∥AA1．由，得，延长EM交AB于点F，可得．连接NE．在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND2=DE•DM．所以．可得．连接BM，在Rt△BFM中，．18．（13分）（2011•天津）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）（a＞b＞0）为动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足，求点M的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）直接利用△F1PF2为等腰三角形得|PF2|=|F1F2|，解其对应的方程即可求椭圆的离心率e；（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A，B两点的坐标，代入，即可求点M的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0）．由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，所以e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程为y=（x﹣c）．A，B的坐标满足方程组，消y并整理得5x2﹣8xc=0，解得x=0，x=，得方程组的解为，，不妨设A（c，c），B（0，﹣c）．设点M的坐标为（x，y），则=（x﹣c，y﹣c），=（x，y+c）由y=（x﹣c）得c=x﹣y ①，由=﹣2即（x﹣c）x+（y﹣c）（y+c）=﹣2．将①代入化简得18x2﹣16xy﹣15=0，⇒y=代入①化简得c=＞0．所以x＞0，因此点M的轨迹方程为18x2﹣16xy﹣15=0 （x＞0）．19．（14分）（2011•天津）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）（Ⅰ）当a=时①求f（x）的单调区间；②证明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（）；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．【分析】（I）将a=代入可得函数的解析式，①求导数fˊ（x）；在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0确定的单调区间②由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令g（x）=f（x）﹣f（）．利用函数f（x）在（0，2）内单调递增，得到f（2）＞f（），即g（2）＞0．最后取x′=e＞2，则g（x′）=＜0．从而得到结论；（II）先由f（α）=f（β）及（I）的结论知α＜＜β，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立关于a的不等关系即可证得结论．【解答】解：（I）①当a=时，f（x）=lnx﹣x2．∴f′（x）=﹣x=，x∈（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以，f（x）的单调递增区间是（0，2），f（x）的单调递减区间是（2，+∞）．证明：②由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令g（x）=f（x）﹣f（）．由于f（x）在（0，2）内单调递增，故f（2）＞f（），即g（2）＞0．取x′=e＞2，则g（x′）=＜0．所以存在x0∈（2，x'），使g（x0）=0，即存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（）．（II）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知α＜＜β，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．故即从而≤a≤．20．（14分）（2011•天津）已知数列{a n}与{b n}满足：，n∈N*，且a1=2，a2=4．（Ⅰ）求a3，a4，a5的值；（Ⅱ）设c n=a2n﹣1+a2n+1，n∈N*，证明：{c n}是等比数列；（Ⅲ）设S k=a2+a4+…+a2k，k∈N*，证明：．【分析】（Ⅰ）要求a3，a4，a5的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．（Ⅱ）化简出a2n+a2n+1，a2n+1+a2n+3的关系，即：c n+1与c n的关系，从而证明{c n}﹣1是等比数列；就是利用（Ⅰ）的，用2n﹣1，2n，2n+1，替换中的n，化简出只含“a n”的关系式，就+a2n+2a2n+1=0，①2a2n+a2n+1+a2n+2=0，②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，③然后推出是a2n﹣1a2n+1+a2n+3=﹣（a2n﹣1+a2n+1），得到c n+1=﹣c n（n∈N*），从而证明{c n}是等比数列；（Ⅲ）先研究通项公式a2k，推出S k的表达式，然后计算，结合证明的表达式，+a2k+1=利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a2k﹣1（﹣1）k，对任意k∈N*且k≥2，列出n个表达式，利用累加法求出a2k=（﹣1）k+1（k+3）．化简S2k=（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a4k+a4k）=﹣k，k∈N*，﹣2，通过裂项法以及放缩法证明：．【解答】20、满分14分．（I）解：由，可得又b n a n+a n+1+b n+1a n+2=0，（II）证明：对任意n∈N*，a2n+a2n+2a2n+1=0，①﹣12a2n+a2n+1+a2n+2=0，②a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，③②﹣③，得a2n=a2n+3．④+a2n+3=﹣（a2n﹣1+a2n+1）将④代入①，可得a2n+1=﹣c n（n∈N*）即c n+1又c1=a1+a3=﹣1，故c n≠0，因此是等比数列．+a2k+1=（﹣1）k，（III）证明：由（II）可得a2k﹣1于是，对任意k∈N*且k≥2，有将以上各式相加，得a1+（﹣1）k a2k﹣1=﹣（k﹣1），=（﹣1）k+1（k+1），即a2k﹣1此式当k=1时也成立．由④式得a2k=（﹣1）k+1（k+3）．从而S2k=（a2+a4）+（a6+a8）+…+（a4k﹣2+a4k）=﹣k，S2k﹣1=S2k﹣a4k=k+3．所以，对任意n∈N*，n≥2，====对于n=1，不等式显然成立．。
(完整版)2011年高考数学天津卷(理科)
2011年天津市高考数学（理科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131i i --= A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i --2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．64．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1105．在62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数为 A ．154- B ．154C ．38-D ．38 6．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===， 则sin C 的值为A ．3B ．3C ．6D ．6 7．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >>8．对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =--∈若函数()y f xc =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为__________3m 11．已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C 的的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________12．如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且 2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为__________13．已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +u u u r u u u r 的最小值为____________三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+， （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在一次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率；（ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-u u u u r u u u u r ，求点M 的轨迹方程．19．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明ln 3ln 2ln 253a -≤≤．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足： 1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==． （Ⅰ）求345,,a a a 的值； （Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列； （Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6n k k k S n N a =<∈∑．。
2011年天津高考数学试题及答案(理科)
5.A公司签发了一张金额为1.6万元的支票给B公司，因存款不足被银行退票，为此B公司有权要求赔偿的赔偿金为( )元。
A.800 B.1 000 C.320 D.1 320
A.组织收入 B.调节经济
C.维护国家政权 D.维护国家利益
14.下列各项中，属于企业所得税征税范围的有( )。
A.居民企业来源于中国境外的所得
B.非居民企业来源于中国境内的所得
A.营业执照注册地与经营地不在同一行政区域需要开立专用存款账户的
B.异地临时经营活动需要开立临时存款账户的
C.自然人根据需要在异地开立个人银行结算账户的
D.办理异地借款和其他结算需要开立一般存款账户的
三、判断题（将判断结果填写在题后的括号内，正确的写“√”，错误的写“×”。每小题判断结果正确的得分，判断结果错误的扣分，不判断不得分也不扣分。每题1分，共15分。本题最低得分为零分）
15.下列各项中，作为会计职业道德教育的核心内容，并贯穿于会计职业道德教育始终的是( )。考试通网 整理编辑
A.会计职业道德观念教育 B.会计职业道德规范教育
C.会计职业道德警示教育 D.其他相关教育
C.转账结算凭证具有与现金相同的支付能力
D.严格控制坐支
11.下列各项中，属于支票必须记载事项的有( )。
A.付款人名称 B.出票日期
C.确定的金额 D.付款日期
A.垫付 B.坐支
C.预支 D.支付
13.会计人员自律是会计职业道德的( )。
A.基本标准 B.最低标准
C.基本规范 D.最高境界
C.非居民企业来源于中国境外的所得
数学_2011年天津市某校高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2011年天津市某校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 复数(3+i 1−i)2=( )A −3−4iB −3+4iC 3−4iD 3+4i2. 已知条件p:|x +l|>2，条件q:x >a ，且￢p 是￢q 的充分不必要条件，刚a 的取值范围可以是（ ）A a ≥lB a ≤lC a ≥−lD a ≤−33. 函数f(x)=|x −2|−lnx 在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（ ） A (0, 1) B (2, 3) C (3, 4) D (4, 5)4. 如图，是一程序框图，则输出结果为（ ）A 49B 511C 712D 6135. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2=4，则S6S 4的值为( )A 94B 32C 53D 46. 要得到函数g(x)=2cos(2x +π3)的图象，只需将f(x)=sin(2x +π3)的图象（ ） A 向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B 向右平移π2个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变） C 向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） D 向右平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）7. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为（ ） A 3 B 2 C √3 D √28. 如图所示的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中电路从P 到Q 接通的情况有（ ） A 30种 B 10种 C 24种 D 16种二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上． 9. (x −√x 3)6展开式中，含x 2项的系数是________．10. 如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为________．11. 如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF =12，PD =4√3，则圆O 的半径长为________、∠EFD 的度数为________．12. 在极坐标系中，设P 是直线l:ρ(cosθ+sinθ)=4上任一点，Q 是圆C:ρ2=4ρcosθ−3上任一点，则|PQ|的最小值是________．13. 平面上的向量MA →与MB →满足|MA →|2+|MB →|=4，且MA →⋅MB →=0，若点C 满足MC →=13MA →+23MB →，则|MC →|的最小值为________．14. 定义在R 上的函数y =f(x)是减函数，y =f(x −1)的图象关于(1, 0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f(s 2−2s)≤−f(2t −t 2)，则当1≤s ≤4时，ts 的取值范围是________．三、解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知向量a →=(cosωx, sinωx)，b →=(cosωx, √3cosωx)，其中(0<ω<2)．函数，f(x)=a →⋅b →−12其图象的一条对称轴为x =π6． (I)求函数f(x)的表达式及单调递增区间；(II)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，S 为其面积，若f(A2)=1，b =1，S △ABC =√3，求a 的值．16. 桌面上有三颗均匀的骰子(6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)．重复下面的操作，直到桌面上没有骰子：将骰子全部抛掷，然后去掉哪些朝上点数为奇数的骰子．记操作三次之内（含三次）去掉的骰子的颗数为X ．(I)求P(X =1)； (II)求X 的分布列及期望EX ．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1=AB =2，四棱锥B −AA 1C 1D 的体积为3． （1）求证：AB 1 // 平面BC 1D ；（2）求直线A 1C 1与平面BDC 1所成角的正弦值； （3）求二面角C −BC 1−D 的正切值．18. 已知函f(x)=e x −x （e 为自然对数的底数）． （1）求f(x)的最小值；（2）不等式f(x)>ax 的解集为P ，若M ={x|12≤x ≤2}且M ∩P ≠⌀求实数a 的取值范围；（3）已知n ∈N +，且S n =∫f 0n (x)dx ，是否存在等差数列{a n }和首项为f(I)公比大于0的等比数列{b n }，使得a 1+a 2+...+a n +b 1+b 2+...b n =S n ？若存在，请求出数列{a n }、{b n }的通项公式．若不存在，请说明理由．19. 已知圆C 1：(x +1)2+y 2=8，点C 2(1, 0)，点Q 在圆C 1上运动，QC 2的垂直平分线交QC 1于点P ．(I) 求动点P 的轨迹W 的方程；(II) 设M ，N 是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若OM →+2ON →=2OC 1→，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(III)过点S(0,−13)且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由．20. 已知函数y =f(x)的定义域为R ，当0<L <1时，对于任意x 1，x 2∈R ，|f(x 1)−f(x 2)|≤L|x 1−x 2|都成立，数列{a n }满足a n+1=f(a n )，n =1，2，… （1）证明：∑|n k=1a k −a k+1|≤11−L|a 1−a 2|；（2）令A k =a 1+a 2+⋯a kk(k =1,2,3)，证明：∑|n k=1A k −A k+1|≤11−L |a 1−a 2|．．2011年天津市某校高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. A3. C4. B5. A6. C7. C8. D9. −160 10. 34+6√5 11. 4,30∘ 12. √2−1 13. √7414. [−12, 1]15. 解：(I)）f(x)=a →⋅b →−12=cos 2ωx +√3sinωxcosωx −12=1+cos2ωx 2+√32sin2ωx −12=sin(2ωx +π6)当x =π6时，sin(ωπ3+π6)=±1即ωπ3+π6=kπ+π2∵ 0<ω<2∴ ω=1 ∴ f(x)=sin(2x +π6)−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ 解得kπ−π3≤x ≤kπ+π6所以f(x)d 的递增区间为[kπ−π3，kπ+π6](k ∈Z) (II)f(A 2)=sin(A +π6)=1在△ABC 中，0<A <π，π6<A +π6<7π6∴ A +π6=π2 ∴ A =π3由S △ABC =12bcsinA =√3，b =1得c =4由余弦定理得a 2=42+12−2×4×1cos60∘=13 故a =√1316. 解：(1)P(X =1)=C 31(12)3(12)2(12)2+(12)3C 31(12)3(12)2+(12)3(12)3C 31(12)3=21521．(2)由题设知，X 的取值为0，1，2，3， P(X =0)=(12)3(12)3(12)3=1512，P(X =1)=C 31(12)3(12)2(12)2+(12)3C 31(12)3(12)2+(12)3(12)3C 31(12)3=21521，P(X =2)=147512，P(X =3)=343512， ∴ X 的分布列是Ex =0×1512+1×21251+2×147512+3×343512=218．17. 解：（1）证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ，∵ 四边形BCC 1B 是平行四边形， ∴ 点O 为B 1C 的中点， ∵ D 为AC 的中点，∴ OD 为△AB 1C 的中位线， ∴ OD // AB 1，∵ OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， ∴ AB 1 // 平面BC 1D（2）作BE ⊥AC ，垂足为E ，∵ 侧棱AA 1⊥底面ABC ，BE ⊂底面ABC ∴ AA 1⊥BE ∵ AA 1∩AC =A∴ BE ⊥平面AA 1C 1C ．设BC =a ，在Rt △ABC 中，BE =AB⋅BC AC =2a √4+a 2∴ 四棱锥B −AA 1C 1D 的体积V =13×12(A 1C 1+AD)⋅AA 1⋅BE =a =3，即BC =3 ∴ BE =6√13在三角形C 1BD 中，BC 1=√13，BD =√132，C 1D =√292， ∴ cos∠C 1BD =√913，∴ sin∠C 1BD =√413=213√13 ∴ S △C 1BD =√132设A 1到平面C 1BD 的距离为ℎ，则根据V A 1−C 1BD =V B−A 1C 1D ， 可得13×√132×ℎ=13×12×2×√13×√13∴ ℎ=√13设直线A 1C 1与平面BDC 1所成角为α，∴ sinα=√13=1213（3）依题意知，AB =BB 1=2，∵ AA 1⊥底面ABC ，AA 1⊂底面AA 1C 1C ，∴ 平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC取BC 中点M ，连接DM ，DM ⊥平面BCC 1，作MN ⊥NC 1与N ，连接DN ，则DN ⊥BC 1， ∠DNM 为二面角C −BC 1−D 的平面角． 在△DMN 中，DM =1，MN =√13，tan∠DNM =√133， ∴ 二面角C −BC 1−D 的正切值为√13318. 解：（1）∵ 函数f(x)=e x −x ，∴ f′(x)=e x −1；由f′(x)=0，得x =0，当x >0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当x <0时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减；∴ 函数f(x)的最小值为f(0)=1．（2）∵ M ∩P ≠⌀，∴ f(x)>ax 在区间[12, 1]有解，由f(x)>ax ，得e x −x >ax ，即a <e x x−1在[12, 2]上有解；令g(x)=e x x−1，x ∈[12, 2]，则g′(x)=(x−1)e xx 2，∴ g(x)在[12, 1]上单调递减，在[1, 2]上单调递增；又g(12)=2√e −1，g(2)=e 22−1，且g(2)>g(12)，∴ g(x)的最大值为g(2)=e 22−1，∴a <e 22−1．（3）设存在公差为d 的等差数列{a n }和公比为q(q >0)，首项为f(1)的等比数列{b n }， 使a 1+a 2+...+a n +b 1+b 2+...+b n =S n∵ S n =∫f n0(x)dx =∫(n0e x −x)dx =(e x −12x 2)|_n =e n −12n 2−1；且b 1=f(1)=e −1， ∴ a 1+b 1=S 1即a 1+e −1=e −32；∴ a 1=−12，又n ≥2时，a n +b n =s n −s n−1=e n−1(e −1)−n +12；故n =2，3时，有{−12+d +(e −1)q =e(e −1)−32①−12+2d +(e −1)q 2=e 2(e −1)−52②； ②-①×2得，q 2−2q =e 2−2e ，解得q =e ，或q =2−e （舍），故q =e ，d =−1； 此时a n =−12+(n −1)(−1)=12−n ，b n =(e −1)e n−1且a n +b n =(e −1)e n−1+12−n =S n −S n−1；∴ 存在满足条件的数列{a n }，{b n }满足题意． 19. 解(1)∵ QC 2的垂直平分线交QC 1于P ， ∴ |PQ|=|PC 2|，|PC 2|+|PC 1|=|PC 1|+|PQ|=|QC 1|=2√2>|C 1C 2|=2， ∴ 动点P 的轨迹是点C 1，C 2为焦点的椭圆． 设这个椭圆的标准方程是x 2a 2+y 2b 2=1， ∵ 2a =2√2，2c =2，∴ b 2=1， ∴ 椭圆的标准方程是x 22+y 2=1． (II)设M(a 1, b 1)，N(a 2, b 2)，则a 12+2b 12=2，a 22+2b 22=2． ∵ OM →+2ON →=2OC 1→，则a 1+2a 2=−2，b 1+2b 2=0， ∴ a 1=12,b 1=√144，a 2=−54，b 2=−√148， ∴ 直线MN 的斜率为b 2−b1a 2−a 1=3√1414． (III)直线l 的方程为y =kx −13，联立直线和椭圆方程，得 {y =kx −13x 22+y 2=1，∴ 9(1+2k 2)x 2−12kx −16=0，由题意知，点S(0, −13)在直线上，动直线l 交曲线W 于A 、B 两点， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k3(1+2k 2)，x 1x 2=−169(1+2k 2)，假设在y 轴上存在定点D(0, m)，使以AB 为直径的圆恒过这个点， 则DA →=(x 1,y 1−m)，DB →=(x 2,y 2−m)， DA →⋅DB →=x 1x 2+(y 1−m)(y 2−m)=0， ∵ y 1=kx 1−13，y 2=kx 2−13，∴ x 1x 2+(y 1−m)(y 2−m)=x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2 =(k 2−1)x 1x 2−k(13−m)(x 1−x 2)−m 2+23m +19=−16(k 2−1)9(2k 2+1)−k(13−m)4k 3(2k 2+1)−m 2+23m +19=18(m 2−1)k 2+(9m 2+6m−15)9(2k 2+1)=0．∴ {m 2−1=09m 2+6m −15=0，∴ m =1， 所以，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0, 1)． 20. （1）证明：∵ a n+1=f(a n )，n =1，2，3，…，故当n ≥2时，|a n −a n+1|=|f(a n−1)−f(a n )|≤L|a n−1−a n | =L|f(a n−2)−f(a n−1)|≤L 2|a n−2−a n−1| ≤...≤L n−1|a 1−a 2|． ∴ ∑|n k=1a k −a k+1|=|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+...+|a n −a n+1| ≤(1+L +L 2+...+L n−1)|a 1−a 2| =1−L n 1−L|a 1−a 2|．∵ 0<L <1， ∴ ∑|n k=1a k −a k+1|≤11−L|a 1−a 2|；（当n =1时，不等式也成立．） （2）证明：∵ A k =a 1+a 2+⋯+a kk，∴ |A k −A k+1|=|1k(k+1)(a 1+a 2+⋯+a k −ka k+1)| =1k(k+1)|(a 1−a 2)+2(a 3−a 2)+3(a 3−a 4)+⋯+k(a k −a k+1)|．①∵ a n+1=f(a n )，n =1，2，…，故当n ≥2时，|a n −a n+1|=|f(a n−1)−f(a n )|≤L|a n−1−a n |=L|f(a n−2)−f(a n−1)| ≤L 2|a n−2−a n−1|≤...≤L n−1|a 1−a 2| ．…6分 ∴ ∑|n k=1a k −a k+1|=|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+|a 3−a 4|+⋯+|a n −a n+1| ≤(1+L +L 2+...+L n−1)|a 1−a 2|...7分 =1−L n 1−L|a 1−a 2|．…8分∵ 0<L <1，∴ ∑|n k=1a k −a k+1|≤11−L |a 1−a 2|（当n =1时，不等式也成立）．…9分 ②∵ A k =a 1+a 2+⋯a kk，∴ |A k −A k+1|=|a 1+a 2+⋯+a kk−a 1+a 2+⋯+a k+1k+1|=|1k(k +1)(a 1+a 2+⋯+a k −ka k+1)|=1k(k +1)|(a 1−a 2)+2(a 2−a 3)+3(a 3−a 4)+⋯+k(a k −a k+1)|≤1k(k+1)(|a 1−a 2|+2|a 2−a 3|+3|a 3−a 4|+⋯+k|a k −a k+1|)． ...11分∴ ∑|n k=1A k −A k+1|=|A 1−A 2|+|A 2−A 3|+⋯+|A n −A n+1|≤|a 1−a 2|(11×2+12×3+⋯+1n(n +1))+2|a 2−a 3|(12×3+13×4+⋯+1n(n +1))+3|a 3−a 4|(13×4+14×5+⋯+1n(n +1))+⋯+n|a n −a n+1|×1n(n +1)=|a 1−a 2|(1−1n +1)+|a 2−a 3|(1−2n +1)+⋯+|a n −a n+1|(1−nn +1)≤|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+...+|a n −a n+1|≤11−L |a 1−a 2|．…14分 ≤1k(k+1)(|a 1−a 2|+2|a 2−a 3|+3|a 3−a 4|+...+k|a k −a k+1|，∴ ∑|n k=1A k −A k+1|=|A 1−A 2|+|A 2−A 3|+...+|A n −A n+1| ≤|a 1−a 2|(11×2+12×3+⋯+1n(n +1))+2|a 2−a 3|(12×3+13×4+⋯+1n(n +1))+3|a 3−a 4|(13×4+14×5+⋯+1n(n +1))+...+n|a n −a n+1|×1n(n +1=|a 1−a 2|(1−1n +1)+|a 2−a 3|(1−2n +1)+...+|a n −a n−1|(1−nn +1) ≤|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+...+|a n −a n+1| ≤11−L|a 1−a 2|．。
天津市南开大学附属中学2011届高三高考模拟试卷(数学理)
南开大学附属中学2011届高考校模拟试卷数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么棱柱、棱锥、棱台的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =棱柱, 1V Sh 3=棱锥,·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =·· 一、选择题（每题5 分，共40 分）1.i 是虚数单位，=+i i1（ ）A ．i 2121+B ．i 2121+-C ．i 2121-D ．i 2121--2. 设集合{}{}RT S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是( )A. 13-<<-aB.（－∞，－1]∪[1，＋∞）C. 3-≤a 或1-≥aD. 3-<a 或1->a3.记2()nx x +的展开式中第k 项的系数为k a ，若323a a =， 则n =（ ）A ．4 B. 5 C. 6 D. 74. 右面框图表示的程序所输出的结果是 （ ） A.1320 B.132 C.11880 D.1215. 若函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象( )A. 向左平移8π个单位长度B. 向右平移8π个单位长度N MCABOC. 向左平移4π个单位长度D. 向右平移4π个单位长度6. 函数()222-+=ax x a x f 在[－1，1]上有零点，则a 的取值范围是（ ） A.（－∞，－1）∪（1，＋∞） B.（－∞，－1]∪[1，＋∞）C. RD.（－∞，－2]∪[2，＋∞）7. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点M （1，m ）（m>0）到其焦点的距离为5，双曲线2221x y a -= 的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与AM 平行，则实数a 的值为 ( )A. 125B. 19C. 15D. 138 . 已知函数22log 1(),log 1x f x x -=+若12()(2)1f x f x +=，（其中12,x x 均大于2），则12()f x x 的最小值为（ ）A. 54-B. 45C. 23D. 35第Ⅱ卷 注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． 9.某赛季，甲乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a , 乙运动员的众数为b ，则a b -= ．10.如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点， BM 的延长线交⊙O 于N ，45BNA ∠= ，若⊙O的半径为，， 则MN 的长为 ． 11. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图，侧视图是 两个全等的菱形，边长为3，俯视图是一个正方形， 边长为2,那么这个几何体的体积为 .12.若圆C 与直线x-y=0和直线4(x tt y t =+⎧⎨=⎩2侧视图都相切，且直线x+y=0过圆心，则圆C 的标准 方程为 _________13. 已知函数|ln |()|1|x f x e x =--,则满足 200(1)(2)f x f x ->的0x 的取值集合为_______14．给出下列六个命题：①11sin13sin 5sin35<< ②若00)(,0)('x x x f y x f ===在则函数取得极值；③“00,0x x R e ∃∈<使得”的否定是：“,0xx R ∀∈≥均有e ”；④已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，则113x y +=；⑤已知⎰=π,sin xdx a 点),3(a 到直线013=+-y x 的距离为1；⑥若2313,x x a a ++-≤-对任意的实数x 恒成立，则实数1,a ≤-或4a ≥；其中真命题是 （把你认为真命题序号都填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 设函数Rx xx x f ∈++=,2cos 2)32cos()(2π.（Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值. 16. 甲乙两个亚运会主办场馆之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为1，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X ，当可通过的信息量 X ≥6，则可保证信息通畅．（Ⅰ）求线路信息通畅的概率； （Ⅱ）求线路可通过的信息量X 的分布列； （Ⅲ）求线路可通过的信息量X 的数学期望17. 如图所示的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD －A1B1C1D1经平面AEFG 所截 后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°， AB ＝2AD ＝2，∠BAD＝60°.(Ⅰ)求证：BD⊥平面ADG ；(Ⅱ)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．18. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为A ，且离心率等于2，过点(0,2)M 的直线l 与椭圆相交于不同两点,P Q ， 点N 在线段PQ 上。
天津市南开大学附属中学2011届高三高考模拟试卷(数学理)
南开大学附属中学2011届高考校模拟试卷数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么棱柱、棱锥、棱台的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh =棱柱, 1V Sh 3=棱锥,·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =··一、选择题（每题5 分，共40 分）1.i 是虚数单位，=+ii1（ ）A ．i 2121+B ．i 2121+-C ．i 2121-D ．i 2121--2. 设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是( )A. 13-<<-aB.（－∞，－1]∪[1，＋∞）C. 3-≤a 或1-≥aD. 3-<a 或1->a3.记2()nx x+的展开式中第k 项的系数为k a ，若323a a =，则n =（ ）A ．4 B. 5 C. 6 D. 74. 右面框图表示的程序所输出的结果是 （ ）A.1320B.132C.11880D.121 5. 若函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象( )A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度N MCABOC. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度 6. 函数()222-+=ax x a x f 在[－1，1]上有零点，则a 的取值范围是（ ） A.（－∞，－1）∪（1，＋∞） B.（－∞，－1]∪[1，＋∞）C. RD.（－∞，－2]∪[2，＋∞）7. 已知抛物线22(0)y px p =>上一点M （1，m ）（m>0）到其焦点的距离为5，双曲线2221x y a-= 的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与AM 平行，则实数a 的值为 ( ) A.125B. 19C. 15D. 138 . 已知函数22log 1(),log 1x f x x -=+若12()(2)1f x f x +=，（其中12,x x 均大于2），则12()f x x 的最小值为（ ）45 C. 23 D. 35第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9.某赛季，甲乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a , 乙运动员的众数为b ，则a b -= ．10.如图，点B 在⊙O 上， M 为直径AC 上一点， BM 的延长线交⊙O 于N ，45BNA ∠= ，若⊙O的半径为OM ， 则MN 的长为 ． 11. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图，侧视图是 两个全等的菱形，边长为3，俯视图是一个正方形， 边长为2,那么这个几何体的体积为.12.若圆C 与直线x-y=0和直线4(x tty t=+⎧⎨=⎩都相切，且直线x+y=0过圆心，则圆C 的标准 方程为 _________13. 已知函数|ln |()|1|x f x ex =--,则满足200(1)(2)f x f x ->的0x 的取值集合为_______14．给出下列六个命题：① 11sin13sin5sin 35<< ②若00)(,0)('x x x f y x f ===在则函数取得极值； ③“00,0x x R e∃∈<使得”的否定是：“,0xx R ∀∈≥均有e ”；④已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点， 且AM xAB =，AN y AC =，则113x y+=； ⑤已知⎰=π,sin xdx a 点),3(a 到直线013=+-y x 的距离为1；⑥若2313,x x a a ++-≤-对任意的实数x 恒成立，则实数1,a ≤-或4a ≥； 其中真命题是 （把你认为真命题．．．序号都填在横线上） 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数R x xx x f ∈++=,2cos 2)32cos()(2π. （Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.16. 甲乙两个亚运会主办场馆之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为 1，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X ，当可通过的信息量 X ≥6，则可保证信息通畅．（Ⅰ）求线路信息通畅的概率； （Ⅱ）求线路可通过的信息量X 的分布列； （Ⅲ）求线路可通过的信息量X 的数学期望侧视图俯视图17. 如图所示的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1经平面AEFG 所截后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD＝60°.(Ⅰ)求证：BD ⊥平面ADG ；(Ⅱ)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．18.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为(0,2)A ，且离心率等于2，过点(0,2)M 的直线l 与椭圆相交于不同两点,P Q ， 点N 在线段PQ 上。
数学_2011年天津市某校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)
2011年天津市某校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分） 1. i 是虚数单位，i 1+i=( )A 12+12i B −12+12i C 12−12i D −12−12i2. 设集合S ＝{x||x −2|>3}，T ＝{x|a <x <a +8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是（ ） A −3<a <−1 B −3≤a ≤−1 C a ≤−3或a ≥−1 D a <−3或a >−13. 记(x +2x )n 的展开式中第k 项的系数为a k ，若a 3=3a 2，则n =( ) A 4 B 5 C 6 D 74. 如图所示框图表示的程序所输出的结果是（ ）A 1320B 132C 11880D 1215. 已知函数f(x)＝sin(ωx +π4)(x ∈R, ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx 的图象，只要将y =f(x)的图象( )A 向左平移π8个单位长度 B 向右平移π8个单位长度 C 向左平移π4个单位长度 D 向右平移π4个单位长度6. 函数f(x)=a 2x 2+ax −2在[−1, 1]上有零点，则a 的取值范围是（ ）A (−∞, −1)∪(1, +∞)B (−∞, −1]∪[1, +∞)C RD (−∞, −2]∪[2, +∞) 7. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1, m)(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a −y 2=1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( ) A 125B 19C 15D 138. 已知函数f(x)=log 2x−1log 2x+1，若f(x 1)+f(2x 2)=1，（其中x 1，x 2均大于2），则f(x 1x 2)的最小值为（ ） A 5−√54B 45C 23D 35二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．9. 某赛季，甲乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用右图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a ，乙运动员的众数为b ，则a −b =________．10. 如图，点B 在⊙O 上，M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，∠BNA =45∘，若⊙O 的半径为2√3，OA =√3OM ，则MN 的长为________．11. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图，侧视图是两个全等的菱形，边长为√3，俯视图是一个正方形，边长为2，那么这个几何体的体积为________．12. 若圆C 与直线x −y =0和直线{x =4+ty =t ，(t 为参数)都相切，且直线x +y =0过圆心，则圆C 的标准方程为________．13. 已知函数y =e |lnx|−|x −1|，则满足f(1−x 02)>f(2x 0)的x 0的取值集合为________． 14. 给出下列六个命题： ①sin1<3sin 13<5sin 15②若f ′(x 0)=0，则函数y =f(x)在x =x 0取得极值； ③“∃x 0∈R ，使得e x 0<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有e x ≥0”；④已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →=xAB →，AN →=yAC →，则1x +1y =3；⑤已知a =∫sin π0xdx ，点(√3，a)到直线√3x −y +1=0的距离为1；⑥若|x +3|+|x −1|≤a 2−3a ，对任意的实数x 恒成立，则实数a ≤−1，或a ≥4； 其中真命题是________（把你认为真命题序号都填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数f(x)=cos(x +23π)+2cos 2x2，x ∈R ． (1)求f(x)的值域；(2)记△ABC 内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若f(B)=1，b =1，c =√3，求a 的值．16. 甲乙两个亚运会主办场馆之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为1，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X ，当可通过的信息量X ≥6，则可保证信息通畅．（1）求线路信息通畅的概率；（2）求线路可通过的信息量X 的分布列； （3）求线路可通过的信息量X 的数学期望．17. 如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1，经平面AEFG 所截后得到的图形．其中∠BAE =∠GAD =45∘，AB =2AD =2，∠BAD =60∘．（1）求证：BD ⊥平面ADG ．（2）求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．18. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为A(0, √2)，且离心率等于√32，过点M(0, 2)的直线l 与椭圆相交于P ，Q 不同两点，点N 在线段PQ 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）设|PM →||PN →|=|MQ →||NQ →|=λ，试求λ的取值范围．19. 已知函数f(x)=2x +alnx −2(a >0)．(Ⅰ)若曲线y ＝f(x)在点P （1, f(1)）处的切线与直线y ＝x +2垂直，求函数y ＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于∀x ∈(0, +∞)都有f(x)>2(a −1)成立，试求a 的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)+x −b(b ∈R)．当a ＝1时，函数g(x)在区间[e −1, e]上有两个零点，求实数b 的取值范围．20. 已知y =f(x)定义在R 上的单调函数，当x <0时，f(x)>1，且对任意的实数x 、y ∈R ，有f(x +y)=f(x)⋅f(y)．设数列{a n }满足a 1=f(0)，且f(a n+1)=1f(−2−a n)(n ∈N ∗)．（1）求通项公式a n 的表达式；（2）令b n =(12)a n ，S n =b 1+b 2+...+b n ，T n =1a 1a 2+1a2a 3+⋯+1an a n+1，试比较S n 与43T n的大小，并加以证明．2011年天津市某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. A2. A3. A4. A5. A6. B7. B8. C9. 8 10. 2 11.8√2312. (x −1)2+(y +1)2=2 13. {x 0|√2−1<x 0<1} 14. ①③④⑤15. 解：(1)f(x)=cos(x +23π)+2cos 2x2 =cosxcos 23π−sinxsin 23π+cosx +1=−12cosx −√32sinx +cosx +1=12cosx −√32sinx +1 =sin(x +5π6)+1因此函数f(x)的值域为[0, 2]. (2)由f(B)=1得sin(B +5π6)+1=1，即sin(B +5π6)=0，即B +5π6=0或π，B =π6或−5π6，又因为B 是三角形的内角，所以B =π6，由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即1=a 2+3−3a ，整理得a 2−3a +2=0， 解得，a =1或a =2. 16. 解：（1）∵ 通过的信息量ξ≥6，则可保证信息通畅．∴ 线路信息通畅包括三种情况，即通过的信息量分别为8，7，6，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到 P(X =8)=C 22C 31C 73=335， P(=7)=C 32C 21+C 22C 21C 73=835， P(X =6)=C 21C 31C 21+C 33C 73=1335，∴ 线路信息通畅的概率为P =335+835+1335=2435．（2）线路可通过的信息量X ，X 的所有可能取值为4，5，6，7，8． P(X =5)=C 22C 21+C 32C 21C 73=835，P(X =4)=C 22C 31C 73=335，P(X =8)=C 22C 31C 73=335，P(X =7)=C 32C 21+C 22C 21C 73=835， P(X =6)=C 21C 31C 21+C 33C 73=1335，X 的分布列为（3）由（2）可得：EX =4×335+5×835+6×1335+7×835+8×335=6． 17. 解：（1）证明：在△BAD 中，AB =2AD =2，∠BAD =60∘，由余弦定理得，BD =√3∴ AB 2=AD 2+BD 2． ∴ AD ⊥BD又GD ⊥平面ABCD ∴ GD ⊥BD ， GD ∩AD =D ， ∴ BD ⊥平面ADG（2）以D 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OG 为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz 则有A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，G(0, 0, 1)，E(0, √3,2)AG →=(−1,0,1)，AE →=(−1,√3,2)设平面AEFG 法向量为m =(x, y, z) 则{m ⋅AG →=−x +z =0m ⋅AE →=−x +√3y +2z =0， 取m =(1,−√33.1) 平面ABCD 的一个法向量n =DG →=(0,0,1) 设面ABFG 与面ABCD 所成锐二面角为θ，则cosθ−|m⋅n||m|⋅|n|=√217∴ 平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为√217． 18. 解：（1）设椭圆的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)因为它的一个顶点为A(0, √2)，所以b 2=2， 由离心率等于√32，得√a 2−b 2a 2=√32， 解得a 2=8，所以椭圆的标准方程为x 28+y 22=1（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，N(x 0, y 0)，若直线l 与y 轴重合， 则|PM →||PN →|=|MQ →||NQ →|=√2√2−y =√2√2+y ，得y 0=1，得λ=√2若直线l 与y 轴不重合，则设直线l 的方程为y =kx +2，与椭圆方程联立消去y 得(1+4k 2)x 2+16kx +8=0，得x 1+x 2=−16k 1+4k 2①，x 1x 2=81+4k 2②， 由|PM →||PN →|=|MQ →||NQ →|得0−x 1x1−x 0=0−x 2x0−x 2，整理得2x 1x 2=x 0(x 1+x 2)，将①②代入得x 0=−1k，又点N(x 0, y 0)在直线l 上， 所以y 0=k ×(−1k )+2=1，于是有1<y 1<√2，因此λ=2−y 1y 1−1=1−y 1+1y 1−1=1y1−1−1，由1<y 1<√2得1y1−1>√2+1，所以λ>√2，综上所述，有λ≥√219. （1）直线y ＝x +2的斜率为1，函数f(x)的定义域为(0, +∞)， 因为f ′(x)=−2x 2+ax ，所以，f ′(1)=−212+a1=−1，所以，a ＝1．所以，f(x)=2x+lnx −2，f ′(x)=x−2x 2． 由f ′(x)>0解得x >2；由f ′(x)<0，解得 0<x <2．所以f(x)的单调增区间是(2, +∞)，单调减区间是(0, 2)． (2) f ′(x)=−2x 2+ax =ax−2x 2，由f ′(x)>0解得 x >2a ； 由f ′(x)<0解得 0<x <2a ．所以，f(x)在区间(2a ,+∞)上单调递增，在区间(0,2a)上单调递减．所以，当x =2a 时，函数f(x)取得最小值，y min =f(2a )．因为对于∀x ∈(0, +∞)都有f(x)>2(a −1)成立，所以，f(2a )>2(a −1)即可． 则22a+aln 2a −2>2(a −1)． 由aln 2a >a 解得 0<a <2e ．所以，a 的取值范围是 (0,2e)．(Ⅲ) 依题得 g(x)=2x +lnx +x −2−b ，则 g ′(x)=x 2+x−2x 2．由g ′(x)>0解得 x >1； 由g ′(x)<0解得 0<x <1．所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, +∞)为增函数． 又因为函数g(x)在区间[e −1, e]上有两个零点，所以{g(e −1)≥0g(e)≥0g(1)<0 ，解得 1<b ≤2e +e −1． 所以，b 的取值范围是(1,2e +e −1]． 20. 解：（1）由题意，令y =0，x <0，得f(x)[1−f(0)]=0， ∵ 当x <0时，f(x)>1，∴ a 1=f(0)=1…由递推关系知f(a n+1)⋅f(−2−a n )=1，即f(a n+1−2−a n )=f(0)， ∵ f(x)在R 上单调，∴ a n+1−a n =2，(n ∈N ∗)，… 又a 1=1，∴ a n =2n −1．… （2）b n =(12)a n =(12)2n−1，∴ S n =b 1+b 2+⋯+b n =12+(12)3+⋯+(12)2n−1=12[1−(12)2n ]1−(12)2=23(1−14n )，T n =1a1a 2+1a 2a 3+⋯+1an a n+1=11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)，…S n −43T n =23(1−14n )−23(1−12n+1)=23(12n+1−14n )=23⋅4n −(2n+1)(2n+1)⋅4n，∴ 欲比较S n 与43T n 的大小，只需比较4n 与2n +1的大小．…∵ 4n =(1+3)n =C n 0+C n 1⋅3+...+C n n ⋅3n ≥1+3n >2n +1，…∴ S n >43T n ．…。
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2011年天津市高考《数学(理)》模拟测试试卷(1)
总分：150分及格：90分考试时间：120分
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在选项中,只有一个符合题意.
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共6小题,每小题4分.共24分.把答案填在题中横线上.
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本大题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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(3)根据资料解答问题。
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答案和解析
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在选项中,只有一个符合题意.
(1) :C
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<A ></A>(3) :B
<A ></A>(4) :D <A ></A>(5) :A
<A ></A>(6) :B
<A ></A>(7) :D
<A ></A>(8) :A <A ></A>(9) :C
略(10) :D
<A ></A>共6小题,每小题4分.共24分.把答案填在题中横线上.
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