预条件共轭梯度法在频域有限差分法分析二维柱体电磁散射问题中的应用
Solution of the Euler equations on unstructured grids for two-dimensional compressible flow
凑的形式，每个单元由一个二阶矩阵确定。关于结构网格的大量讨论 可以在 Jameson 原稿中找到，详见参考文献（2）或者参考文献（3） 和（7） 。
4.2 非结构化方法
非结构网格不能用同于结构网格的方式代替， 因为网格点矩阵中 的相邻单元在物理平面中并不是相邻的点。对于非结构网格，需要一 个连接矩阵，用于存放必要的信息（如：坐标向量、边的数量、单元 数量等） 。这些信息通过流动求解器间接获取，因此数据存储的最佳 方案的选择变得很重要。 在目前的工作中， 为了减少连通信息的存储， 采用单元中心有限体积方法。 连接矩阵是根据单元的边建立的而不是单元本身。因此，这个矩 阵中的每一行包括边的信息、边的序号、相邻两个单元的编号和组成 这条边的两个顶点的编号。这个过程中，需要的连接信息反映在矩阵 的维数上（边的数量，4） 。由于方案是根据边工作的，所以任意形状 的单元都能处理，不同的形状允许相同的网格。唯一的限制就是连接 矩阵应该以一种合理的形式建立。因此，系统编号必须以逆时针方向 进行，并且边界上的边（固体表面边和外部边界的边）必须与内部的 边分开。在连接矩阵中，每条边只出现一次，计算按沿所有边循环进 行，所以量是累积得到的。 这种非常简单循环的结构可以用下面一串逻辑命令说明： do i=1,nedges k=connmatrix(i,1)
3.流动控制方程
欧拉方程是质量、动量、能量守恒方程的总表达式。在边界为 S 的体 的二维区域中，控制方程可以写成以下形式：
Wd Fdy Gdx 0 S t
…（1）
x 和 y 是笛卡尔坐标系下的坐标轴。 W 是保守变量矢量。
U W V E
总能量。U 和 V 是速度矢量的笛卡尔坐标向量。对于理想气体，在定 义了单位体积的总能和总焓情况下，这些量是相互关联的。
预条件共轭梯度法求解三维地电场有限元方程的网格分析
预条件共轭梯度法求解三维地电场有限元方程的网格分析王威;李景富;刘洁【摘要】Mesh division scheme affects the efficiency of 3D geoelectric finite element(FE)modelling when using pre-conditioned conjugate gradient method.The tetrahedral mesh,which is derived from reg-ular hexahedral mesh,is recommended after mesh analysis.Results from model computations reveal that the incomplete Cholesky conjugate gradient method(ICCG)and successive over-relaxation conjugate gra-dient method(SORCG)could succeed when employing uniformmeshes.However,the non-uniform hex-ahedral meshes might lead to unsuccessful pre-condition matrix and ICCG might fail.In contrast,the presented tetrahedral meshes overcome this drawback and make ICCG a stable solver.Besides,the new mesh scheme could save 50% computer memories compared to traditional hexahedral mesh.%为了优化预条件共轭梯度法求解三维地电场有限元方程的效率,通过系统的网格分析,提出在常规六面体网格基础上二次剖分得到四面体网格的方案.模型分析结果表明,对于均匀网格,不完全Cholesky共轭梯度法(ICCG)和超松弛预条件共轭梯度法(SORCG)均可成功求解;对于非均匀网格,六面体剖分会导致IC-CG的预条件因子不符合条件而求解失败,但采用新的四面体剖分ICCG不仅成功求解而且相对六面体网格可以节省约50%的内存需求.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(057)003【总页数】6页(P1-6)【关键词】网格分析;预条件共轭梯度;有限元;三维地电场【作者】王威;李景富;刘洁【作者单位】中山大学地球科学与工程学院∥广东省地质过程与矿产资源探查重点实验室,广东广州510275;广东省有色地质环境中心,广东广州510060;中山大学地球科学与工程学院∥广东省地质过程与矿产资源探查重点实验室,广东广州510275【正文语种】中文【中图分类】P319.1直流电阻率法作为经济高效的地球物理勘探方法，在矿产资源勘探，水文地质调查，工程勘察领域获得了广泛的应用[1-6]。
应用有限元-边吸收边界条件分析二维导体柱的电磁散射
建立一个数组ｔ （ Ｓ ， ｌ ｆ ）存储边界ｒ 上 Ｓ ， ０
３吸收边界条件
虚 构 边 界 厂 上 的边 界 条 件 可 由一 阶 和 ０
二 阶 吸 收 边 界 条件 给 出 ：
＋
第 个 线 段 第 个 结 点 的全 局 编 码 。 每 将 个 加 到 １ （， 上 ， 可 得 到 一 阶 ｆ） 即
１引言
近年 来 ， 用雷 达 吸波 材料 （ Ｍ） 制 使 ＲＡ 抑 目标 的散射 成了 电磁领 域 中一 个热 门的研 究 领 域 ， 目标 ＲＣ 的 精 确 预 估 就 成 了 目标 而 Ｓ Ｒ Ｓ Ｃ 减缩 和 目 识 别的一 个重要 手段 。 标 因此 ， 目标ＲＣ 的理 论计 算 方法 就显 得 尤为 重要 。 Ｓ 此 类 问 题 在数 值分 析 中 主要 需 解 决两 个 问 题 ， 介 质 的 描 述 和 无 限 大 的 求 解 区 即 域 的 截 断 问 题 。 于 介 质 的 描 述 主 要 采 用 对 基 于 微 分 方 程 的 计 算 方 法 ， 有 限 元 方 法 如 （ Ｅ ）关 于 无限 大求 解 区域 的 截断 问 题 的 ＦＭ ； 解 决 方 法 基 本 有 两 种 类 型 的 开 域 边 界 条 件 ， 部边界 条件 （ ｏａ ｏ ｎ ａｙ ｏ － 局 Ｌ ｃｌ ｕ ｄ ｒ Ｃ ｎ Ｂ ｄｔ ｎ ） ｉ ｏ 和全局边 界 条件（ ｏｂ ｌ Ｂ ｕ ｄ ｒ ｉ Ｇ ｌａ ｏ ｎ ａ ｙ Ｃ ｎ ｉ ｏ ）本 文主 要 使 用最 常用 的局 部 边 ｏ ｄｔ ｎ 。 ｉ 界 条 件 即 吸收 边 界 条 件 （ ＡＢＣ 来 求 解 开 区 ） 域 二 维 导 体 柱 的 电 磁 散 射 问 题 的 有 限 元 解 。 文 不 讨 论 吸 收 边 界 条 件 的 推 导 和 特 本 性 ， 给 出一 阶 和 二 阶 边 界 条 件 的 具 体 形 只 式 ； 以二 维 散 射 问题 为例 ， 出 有 限元 的 并 给 分 析 过 程 及 有 限元 解 。
时域有限差分法二维
时域有限差分法二维1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常用的数值计算方法，用于求解电磁场在时域中的传播和辐射问题。
本文将以二维情况为例，深入探讨时域有限差分法的原理和应用。
通过本文的介绍和解读，您将更全面地理解这一方法，并能够灵活应用于相关领域。
2. 时域有限差分法简介2.1 原理概述时域有限差分法是一种迭代求解偏微分方程的方法，通过将时域和空间离散化，将连续问题转化为离散问题。
在二维情况下，假设空间网格分辨率为Δx和Δy，时间步长为Δt。
根据电磁场的麦克斯韦方程组，可以利用中心差分公式进行离散化计算，得到求解方程组的更新方程。
2.2 空间离散化对于二维情况，空间离散化可以采用正交网格或非正交网格。
常见的正交网格包括方形格点、Yee网格等，而非正交网格则具有更灵活的形态。
根据需要和应用场景，选择合适的离散化方法对问题进行求解。
2.3 时间离散化时间离散化主要有显式和隐式两种方法。
显式方法将时间推进方程展开成前一时刻的电场和磁场与当前时刻的源项之间的关系，容易计算但对时间步长有限制；隐式方法则是通过迭代或矩阵计算求解当前时刻的电场和磁场。
3. 时域有限差分法的应用领域时域有限差分法广泛应用于电磁场传播和辐射问题的数值模拟中。
以下是几个典型的应用领域：3.1 辐射问题时域有限差分法可以模拟电磁波在空间中的辐射传播过程。
可以用于分析天线的辐射特性，设计无线通信系统的天线，或者分析电磁波在无线电频段的传播情况。
3.2 波导问题对于波导结构，时域有限差分法可以求解其模式、传输特性等问题。
波导结构广泛应用于光子学器件、微波器件等领域，时域有限差分法为建立数值模型和解析波导特性提供了一种有效的数值计算手段。
3.3 散射问题时域有限差分法在散射问题的数值模拟中也有重要应用。
通过模拟散射体与电磁波的相互作用过程，可以研究和分析散射体的散射特性，例如雷达散射截面的计算、微波散射问题等。
电磁散射问题的自适应积分法及其预条件技术的研究的开题报告
电磁散射问题的自适应积分法及其预条件技术的研究的开题报告题目：电磁散射问题的自适应积分法及其预条件技术的研究一、研究背景和意义电磁散射问题是电磁学领域中的一个重要问题，其广泛应用于雷达成像、天线设计等领域。
目前，研究人员已经提出了各种不同的数值方法来解决电磁散射问题，如有限元法、边界元法等。
然而，这些方法大多数存在着计算效率较低，精度不高，无法处理复杂结构等问题。
为了解决这些问题，自适应积分法被提出并应用于电磁散射问题中。
自适应积分法具有高精度、高效率和能够处理复杂结构等优点。
预条件技术是用于加速迭代收敛过程的一种技术，其应用可以大大缩短求解时间。
因此，本文旨在研究电磁散射问题的自适应积分法及其预条件技术，以提高计算效率和精度，以及实现对于复杂结构的处理。
二、研究内容和技术路线1.电磁散射问题的自适应积分法研究在本研究中，我们将采用适用于散射问题的方法，对自适应积分法进行研究。
我们将对电磁场方程进行求解，以获得对应的电磁场分布。
然后，我们将使用自适应积分法对求解过程进行优化。
具体来说，我们将采用以下步骤进行研究：（1）分析所研究问题的特点和需要解决的难点；（2）选择适当的网格划分方式，并建立数学模型和离散化方程；（3）优化自适应积分法求解过程，提高计算效率和精度；（4）在已有成果的基础上进一步改进和完善方法。
2.电磁散射问题的预条件技术研究在本研究中，我们将采用预条件技术来加速迭代收敛过程。
我们将研究如何选择合适的预条件算子，并使用该算子加速求解过程。
具体的研究步骤如下：（1）研究不同的预条件算子及其适用范围；（2）探究如何将预条件技术与自适应积分法相结合，并提高计算效率和精度；（3）在已有成果的基础上进一步改进和完善方法。
3.技术路线研究整体技术路线如下：（1）了解电磁散射问题的基本概念和解法方法，对已有研究成果进行分析和总结；（2）分析电磁散射问题的特点与存在问题，选择自适应积分法和预条件技术来解决这些问题；（3）建立相应的数学模型和离散化方程，从而实现自适应积分法的优化和预条件技术的应用；（4）开展数值模拟实验，验证所提出方法的有效性和实用性。
Krylov子空间、优化问题与共轭梯度法
Krylov 子空间、优化问题与共轭梯度法自动化 富晓鹏工程实践中经常需要求解大型线性系统KU=F 。
在很多情况下矩阵K 是非常稀疏的，比如来自偏微分方程的离散化等，此时矩阵中每行仅有较少的非零元素。
面临这样的问题，我们首先面对的问题是，应该采用直接消元法还是迭代方法。
对前者来说，为充分利用系数特性，节点重编号是重要的；而对后者来说，适当的预处理是关键。
本文将重点放在后一类方法中的一种进行介绍与分析，即共轭梯度法。
共轭梯度法适用于矩阵K 为对称阵的情况，算法本身简洁高效，且与一些其他的数学理论、概念相紧密联系，本文分析了共轭梯度法与Krylov 子空间，以及优化问题之间隐含的联系，并简要给出算法框架。
1. 线性方程组迭代解法与Krylov 子空间我们考虑迭代法求解线性方程组Ax=b 。
假定未采用预处理矩阵P ，或P 矩阵已经隐含在A 与b 中。
迭代法求解格式如下：1()k k P x P A x b +⋅=-⋅+ (1)为说明问题，我们考虑简单的迭代格式P=I ，并且x 1=b 。
则迭代的最初几步为：2()2x I A b b b Ab =-+=- (2)232()33x I A x b b Ab A b =-+=-+ (3) …由上面几个式子可得，以上迭代格式第j 步的解x j 是b ，Ab ，…，A j -1b 的线性组合。
当A 矩阵稀疏时，这些向量可以采用矩阵向量乘法的稀疏技巧很快得到。
以上发现自然与Krylov 子空间的概念相联系起来。
Krylov 矩阵： K j = [b Ab A 2b … A j -1b]Krylov 子空间：K j = b ，Ab ，…，A j -1b 的所有线性组合Krylov 命名了向量b ，Ab ，…，A j -1b 的全部线性组合构成的子空间，并认为在这一子空间中，有比上例中特定元素更与线性方程组的解相接近的元素。
共轭梯度法就是在这一子空间中，每一步迭代都依照某种标准寻求最优元素的线性方程组解法。
二维大地电磁正则化共轭梯度法反演算法
反演 的 目的是 寻 找 一 个 合 解的奇异性 。现在常用 的约束稳定泛 使其正演响应与观测结果相 吻合 。但 由于地球物理 直接拟合数据 目标函数 函有 ： 模型参数 的范数 、 最大平滑稳定泛 函、 最小模 反演问题 固有的非唯一性 ，
而且 不能 得 到真实 的构造 特征 ， 给 型泛函等 。其 中比较著名的反演算法属 Ｃｎｔ ｌ ｏｓ ｂ … 通 常是不 稳定 的 ， ａｅ 解 释带来 困难 。为 减 少 解 的 多解 性 ， 入 吉洪 诺 夫 引 开 发 的 Ｏ Ｃ Ｍ 法 ， 是 寻 找 在 极 小 可 能 构 造 下 符 ＣＡ 它 合 数据 的光 滑模 型 。在 解 目标 函数 的方 法 上 ， 内 国 等 提 出的正 则化 目标 函数 ：
位 ； 为测点 坐标 ； 角速 度 。
其 Ｅ 或 ） 由麦 。 数据离散化后 ， 反演 目 函数（ １ 式）可表示 常体 看作 散射 源 ， 产 生 的二 次 场 （ 标 （） 为： 克斯韦方程组导出二次场 的偏微分方程， 采用有限
摘
２０ ９ ） ０ ０ ２
要 针对大地 电磁二维反演 中目标 函数收敛速度慢而且解 的稳 定性较 差等问题 ， 出了大地电磁 数据的正则化 共轭梯 提
度法反演算法 （ ｅｕａｉ ｄＣ ｎｕａｅＧａ ｉ ｔ ｌ ｒｈ Ｒ Ｇ 。此 算法在构建 目标函数时引入正则化的思想 ， Ｒ ｇｌｒ ｅ ｏｊｇｔ ｒ ｅ ｇ ｉ ｍ， Ｃ Ａ） ｚ ｄ ｎＡ ｏｔ 利用
生代海相油气资源研究”资助。
则化因子的新方法 ， 较好地解决 了传统算法 收敛速 收稿 日期 ：０ ６—０ ２０ ６—０ ９
度慢、 稳定 性差 等缺 点 ， 论述 了算 法 的实现 及 应用 第 作者简介 ： 并 刘小军， ７ １ ９生， 博 士生 ， ９ 男， 现主要 情况。
共轭梯度法beamforming_理论说明
共轭梯度法beamforming 理论说明1. 引言1.1 概述共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种常用的优化算法，广泛应用于解决线性方程组和最优化问题。
Beamforming是一种利用信号处理技术来实现指向性传输和接收的方法，在通信、雷达等领域有着广泛的应用。
本篇长文将探讨共轭梯度法在Beamforming中的理论应用。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：首先介绍共轭梯度法的原理和基本思想，包括线性方程求解的问题、共轭梯度法的基本思想以及迭代过程与收敛性分析；然后，将详细阐述Beamforming的基本概念，包括信号传输和接收的需求、Beamforming技术在通信中的应用以及技术实现原理和方法；接着，我们将探究共轭梯度法在Beamforming中的具体应用，涵盖了优化问题表述、目标函数定义及优化过程说明以及基于共轭梯度法的Beamforming实例分析与结果讨论；最后总结主要研究发现并展望取得成果和应用前景，并提出后续研究工作的建议。
1.3 目的本文的目标是通过理论说明共轭梯度法在Beamforming中的应用，以深入探讨这一优化算法在指向性传输和接收技术中的实际效果。
通过对共轭梯度法及其在Beamforming中的应用进行分析，旨在提供有关该算法与通信技术结合方面的研究参考，为相关领域的学者和工程师提供新思路和解决问题的方法。
2. 共轭梯度法的原理2.1 线性方程求解的问题在讨论共轭梯度法的原理之前，我们首先来了解一下线性方程求解的问题。
线性方程组是由多个线性等式组成的方程组，如Ax = b，其中A为已知矩阵，x为待求解向量，b为已知向量。
线性方程求解即为找到满足该方程组的解x。
2.2 共轭梯度法的基本思想共轭梯度法是一种用于求解对称正定线性方程组Ax = b的迭代方法。
它基于以下基本思想：通过选择合适的搜索方向，将目标函数在各个搜索方向上取得最小值，并以此逼近实际的最优解。
预条件共轭梯度法在频域有限差分法分析二维柱体电磁散射问题中的应用
圈 １ 二 维 柱 体 散 射 问 题 示 意 囤
２ ２频域 Ｍｕ 二 阶吸收边 界条件的差分 近似 ． ｒ 众所周知 ． 用有 限差分 法分析 无 界域 问题 时 ， 必须
２ 理 论 分 析
考虑 图 １所示的 二维导体 柱对 平面 电碰波 的散射 问题 。显然纵 向场５ ｔ可 以独立存在 ． Ｙ ＂ 因此可 以分解为
文方法精确性的检验 。最后 ， Ｐ Ｇ方 法和 Ｃ 对 Ｃ Ｇ方ｊ 击在 求 解差分方程迭代过 程 中的收敛情况 及计算 时 间进行 了 比较。
散求解区域。用 ｕ ｘ ｙ 表示 纵 向场分 量 ， 然每个 结 （，） 显 点上的总场 ｕ可分 解为人射场 ｕ 与散射场 ｕ ｉ ｓ的和 ， 即
维普资讯
第 儿 卷第 ｌ期 ２０ ０ ２年 ２月
堆 阴 工 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｍ ｎ ｌ ｉ ｆ ＆ ｏｏ ｙ ｏ ｒａ ０ Ｈｕ ａ ￣ｔ ｍｅ ｔ ｏ Ｔｅ ｍ ｌ ｇ
Ｖ０ １ Ｎ０ １ Ｉｌ
Ｕ ， ＝ｕ－ Ｉ － （） １
且 ｕ 满足 Ｉ ｔ方 程 ， 时间因子 为 ． ｓ 埘 ｚ 设 则有
粤 ＋ ＋ ０ 粤 咖：Байду номын сангаас
５
（ ２ ）
（） ３
式 中 在 内结 点上 由环路积 分方 法可 以得 到关于 散射场 的有限差分 方程
∑ｂ ＝０
其 中系数 ｂ 可利 用文 ］ ｉ ３ 中方 法求取 ，
１ 引 言
有限差分法 是最早用来 进行 电碰 场数值 计算 的方 法 在频域有 限差分法 中， 无论 是差分方程还是 边界条 件 的差分近似 都较 时域法简单 、 便 ， 方 而且在 频域 中不
第四章 共轭梯度法
{ 偏导数的凸函数。 x k } 是由Fletcher-Reeves共轭梯度算法产生的迭代点列。则 { 1） f ( x k )} 为严格单调下降序列，且
lim f ( x k )
k
存在。
n
而
k 1
g k ( g k g k 1 )
T
d k 1 ( g k g k 1 )
T
gk gk g k 1 g k 1
T
T
共轭梯度法的迭代公式为：
x k 1 x k k d k （ d k 为共轭方向， k 为最佳步长因子）
对二次函数
k
gk dk dk Gdk
（4.7）
2)
k
g k 1 g k 1 gk gk
T
T
（Fletcher-Reeves公式）
（4.8）
3）
k
g k 1 ( g k 1 g k ) （Polak-Ribiere-Polyak 公式）
T
（4.9）
gk gk g k 1 g k 1 dk gk
T T
T
4）
m y
2 T 2 2
，使得
n
y f ( x ) y M y , y R , x L ,
其中 L x R n f ( x ) f ( x 0 ) 是有界水平集。
定理4.9 假定假设条件1和2满足，那么，每r步再开始的PRP和FR共轭梯度 法产生的迭代点列 x k n步二阶收敛，即存在常数c>0，使得
设 又设
fˆkr
0 表示应用到 fˆkr 上的共轭梯度法，并且令 d kr d kr g kr
预处理共轭梯度法在电磁正演中的应用
组的性态大为提高 ， 从 而可 以大大提高新方程组的 求解速度 ， 即提高原方程组的速度 。当然 越接近 于矩阵 Ａ， 那么求解速度就越快 ， 但是 Ｍ 构造却更
科
学
技
术
与
工
程
１ ３卷
加 困难 ， 文 中应用 Ｐ ａ ｓ ｃ ａ ｌ 矩 阵构建 的 矩 阵如下 ： Ａ
：Ｒ Ｊ ｒ １ ＋ Ⅳ， Ｍ ＝Ｐ ＝Ｒ Ｆ， 这 里 Ｐ指 的是 Ｐ ａ ｓ ｃ ｌ矩阵， ａ 其 元 素为 ：
１ 理论 分析
和许 多其 他 算 法 一 样 ， 有 限单元法通 过离散。 将 计算 域从 空 间上 划分 为不 同的 有 限个 小 单 元 ， 单 元 之 间 由节 点连 接 ， 而 因 变量 在 每 个 单 元上 的值 是 节点 因变 量 值 的插 值 函数 。再 通 过 变 分 原 理 或 者
果并 不理 想 。但 是适 用 于 复 线 性 方 程 组 双 共 轭 梯 度法 ， 当方 程组 的规 模 较 大 或 系 数矩 阵 的条 件 数很
而被广泛应用 于地球物理 的正演计算。国 内外学 者如 Ｃ ｏ ｇ ｇ ｏ ｎ …、 陈乐 寿 Ｊ 、 徐世 浙 等 ， 相 继对 有 限
元 的二 维 三 维 模 拟 。有 限元 数 值 分 析 是 现 代 工 程
关键 词 电磁场
预处理
共轭梯度
网格
Ｐ ａ ｓ ｃ ａ ｌ
中图法分类号
Ｐ ３ １ ９ ． ３ ２ ０ ２ ４ １ ． ６ ；
文献标志码
Ａ
有 限元 作 为一 种 高 效 的数 值 模 拟 方 法 ， 相 对 其 它方法 更 易 于 拟 合 复 杂 结 构 、 更 适于复杂地 形等 ，
二维稳态辐射传输方程的有限差分求解法
二维稳态辐射传输方程的有限差分求解法1 二维稳态辐射传输方程二维稳态辐射传输方程是研究辐射热传输问题的基础理论。
它描述物体辐射传输特性，准确地反映了空间、波长、温度等的热力学状态，常用于测量、模拟和描述光谱特性。
它不仅用于物体多光谱特性的研究，在无线电、声学、热学等行业也有广泛的应用。
求解二维稳态辐射传输方程，是热传输问题解决的基础，是目前比较受重视的热物理学问题。
2 有限差分求解法有限差分求解法(FDM: Finite Difference Method)是一种既简单又可用的求解方法，用来模拟复杂的物理问题，包括各种边界介质问题。
其基本思想是将边界条件描述的问题，分为数学问题的离散网格，然后对每个网格单元进行计算，最终将离散的解合成连续的数值解。
由于有了解的结构化，对相对复杂、难以分析的边界介质问题，可以得到较好的数值解，由此形成有限差差分求解方法。
有限差分求解法应用于二维稳态辐射传输方程时，针对空间导数和温度导数是微分方程可以采用空间抽样法进行求解。
把温度分布函数和透射辐射函数分别抽样为N×N个离散点，在每一个点处分别得到温度分布和透射辐射分布的多项式函数，然后建立有限区域的温度分布和传热分布的迭代形式，以及有限区域的传热和流动多角面的迭代形式。
有了以上离散网格，再使用有限元法或集成覆盖法即可求解得到连续的数值解。
3 稳定性分析稳定性分析是有限差分求解法成功实现的关键，其目的是检验有限差分法算法的有效性和准确性。
一般来说，有限差分求解法采用合适的时间步长和空间步长才能保证求解结果的稳定性。
对于二维稳态辐射传输方程，可以求解步长的最大值，得到稳定的精度和收敛性「CFL条件」，然后采用稳定性分析来确定系数当采用这个条件时能够得到准确解。
4 结论有限差分求解法是模拟复杂物理系统的一种有效方法，其结构简单、计算速度快，广为应用于边界介质传热问题，在二维稳态辐射传热中也有宝贵的应用，另外采用正确的稳定性分析，可以保证得到精确的求解结果，尤其在介质传输场景中，能够准确的反应空间的增长、温度的变化以及流量的流动等。
结合频域有限差分法分析二维柱体电磁散射_朱汉清
448
电 子 科 技 大 学 学 报
第 30Y W, Mei K K. Application of the measured equation of invariance to solve scattering problems involving penetrable medium. Radio Science, 1994, 29: 897~906 4 Mur G. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electro-magnetic field equations. IEEE Trans on EMC, 1981, 23: 377~382 5 陈 军，洪 伟，陈忆元. 频域Mur条件差分近似的构造和应用. 电子科学学刊，1996, 18(3):283~291
[13]
| E z | 1.0 E1 z ─ 矩量法 0.5 ● 本 文 0 1 2 3 s λ 4 5 6
图3
Ez 极化下距离柱0.1λ处的电场 (s 从入射边中心量起)
计算时间比较(运行环境为PⅢ700)， 从表1中可以看出本文引入的多波前算法使解方程的计算效率有 了大幅度提高。
表1 未知量个数 1 681 2 025 2 401 2 809 3 249 3 721 生成系数矩阵 直 接 法 0.44 0.93 1.37 1.98 2.86 4.12 200.53 360.97 636.20 1 046.55 — — 计算时间比较 求解差分矩阵方程 共轭梯度法 94.52 223.17 436.06 810.87 — — 多波前算法 0.27 0.49 0.61 1.04 1.65 2.75 (单位: s)
共轭梯度法反演
2019年10月29日3时8分
11
二、共轭梯度法反演的基本原理
2.3 共轭梯度法
共轭向量的构造
设有一组n 维彼此关于n×n 的正定对称矩阵A共轭的
向量 d0 d1 ... dn1，能够使我们分别沿着这n个共轭
向量所指的方向各搜索一次,就可以达到极值点x*。
设有一组线性无关的向量u0 u1 ... un1 ,可以通过对
15
二、共轭梯度法反演的基本原理
2.4 共轭梯度法共轭梯度法基本步骤
(xk
)
( xk 1
dk 1 )
' (xk
)T
d k 1
0
由(2)式， ' (xk ) Axk b rk
0 ( Axk b)T dk 1 ( A( xk 1 k dk ) b)T dk 1
考虑线性方程组 Ax b,其中A对称正定
作二次泛函 (x) : Rn R
得目标函数： x
1 2
( Ax,
x)
(b,
x)
1 2
xT
Ax
xT b
(1)
则
解线性方程组Ax b等价于求目标
函数 ( x)的最小值点(极小值点)
2019年10月29日3时8分
6
二、共轭梯度法反演的基本原理
从而， k
rkT pk pkT Apk
(11)
将上式带入(10)式可得：
x*
xn
x0
n 1 i0
riT pi piT Api
di
频域有限差分
频域有限差分
频域有限差分（FD-FD）是一种数值模拟方法，用于求解偏微分
方程（PDEs），特别是电磁波问题。
它是有限差分方法的一种变种，
其中差分操作在频率域中进行，而不是时域。
这种方法的优点是可以处理广泛的频率范围，而不需要进行时间步长的调整。
FD-FD方法在计算电磁波传播问题时非常有效。
通过在空间网格上进行差分操作，可以离散化电磁波方程，从而得到一个矩阵方程。
然后，通过将该方程转换为频域中的代数问题，可以使用快速傅里叶变换（FFT）等算法来解决它。
这种方法的主要优点是可以处理高频、大范围的电磁波问题，而几乎不会耗费额外的计算资源。
FD-FD方法还可以应用于其他领域，如声波传播和地震学。
它可以应用于各种类型的PDEs，包括抛物线、双曲线和椭圆线方程。
虽然FD-FD方法在某些情况下比其他数值模拟方法更快、更灵活，但它也有一些限制。
首先，需要进行高精度的差分计算，这可能会导致更高的计算成本。
此外，FD-FD方法对网格分辨率和时间步长的选择非常敏感，需要进行仔细的参数选择和优化。
因此，在使用FD-FD 方法时，需要进行仔细的分析和评估，以确保模拟结果的准确性和可靠性。
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共轭梯度法的改进及应用的开题报告
共轭梯度法的改进及应用的开题报告
一、选题背景与意义
共轭梯度法是一种求解大型稀疏矩阵线性方程组的常用算法，其在图像处理、信号处理、优化等领域有广泛应用。
然而，在实际应用过程中，共轭梯度法存在收敛速度慢、精度不高、对初始点敏感等问题。
为了解决这些问题，研究人员提出了多种改进的共轭梯度法。
因此，本题旨在对共轭梯度法及其改进进行研究，并探究其在优化和信号处理中的应用。
二、研究内容及方法
本次研究将分为两部分：共轭梯度法的改进和应用。
首先，将介绍共轭梯度法的原理和基本思想，分析其存在的问题和不足，重点探讨Polak-Ribiere算法、Fletcher-Reeves算法、Hestenes-Stiefel算法等共轭梯度算法的改进思路和优缺点。
其次，将以优化问题和信号处理问题为例，探究共轭梯度法及其改进方法在实际应用中的表现。
优化问题主要包括最小二乘问题、非线性最小化问题等；信号处理问题主要包括图像恢复、频谱分析等。
本研究将采用文献调研和实验验证相结合的方法，对各种算法进行比较和分析，验证其优越性和适用性。
三、预期目标及意义
本研究的预期目标是深入研究共轭梯度法及其改进，并探究其在优化和信号处理中的应用。
通过比较实验结果，评估各种算法的优越性和适用性，为相关领域的研究提供参考和借鉴。
此外，本研究还能够促进共轭梯度法的发展和应用，推动其在计算机科学、数学、电子工程等多个领域的深入应用。
共轭梯度法 有限元
共轭梯度法有限元
共轭梯度法和有限元法是两种不同的数学方法，常用于求解大规模线性方程组的数值解。
共轭梯度法是一种迭代法，用于求解对称正定矩阵的线性方程组。
它的基本思想是通过一系列共轭的搜索方向，以最小化残差的方式逼近精确解。
该方法通常比直接求解线性方程组的方法更快。
共轭梯度法广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、信号处理等领域。
有限元法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程的近似解。
它将复杂的连续体问题离散化为有限个小的元素，然后通过求解每个元素上的方程，得到整个问题的数值解。
有限元法广泛应用于工程、物理学、生物学、医学等领域。
在实际问题中，共轭梯度法和有限元法往往结合使用，例如求解结构力学问题。
有限元法用于离散化结构，将其分解为有限个小的单元，然后共轭梯度法用于求解每个单元上的力学方程，以得到整个结构的数值解。
一种用于求解双周期结构电磁散射问题的吸收边界条件_刘凯
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C 边界条件 在所示的双周期结构中 , 底面由金属板截断 , 前后左右满足双周期 Fl oquet 条件 : E ( y + nD y , z + mD z ) = E ( y , z ) e 其中, k iy , k iz 分别是自由空间波数在 y , z 方向的分量。 在上截断面上 , 采用所谓的模式吸收边界条件, 其数学表示式为:
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微 波 学 报
1999 年 6 月
采用 FDT D 、 F DFD 或 FEM 分析三维开放问题时的一般步骤为, 1) 在离问题区域一定距 离上设置截断边界 , 用吸收边界条件( ABC ) 建立边界方程 ; 2) 在边界以内 , 用解析方法或者数 值方法 , 或二者的结合建立方程 : 3) 联立求解由以上两步建立的方程组。关于如何建立吸收边 界条件, 许多学者提出了各种在一定条件下能够较好吸收外向波的格式。 B. Eng quist 和 A. M ajda 将波动方程中的算子分解成外向波算子和内向波算子 , 利用外向波算子模拟可表示 2〕 散射波的吸收边界条件 ; G . M ur 〔 在此基础上进一步将外向波算子展开 , 取得了各种精度下的
一、 引 言
三维电磁场的计算具有重要的应用价值 , 例如 , 复杂目标、 三维周期结构的散射计算; 高 速、 高密度三维互联结构的参数提取。 同时 , 它又是电磁计算中的一个难点, 原因是三维结构涉 及的计算区域较大 , 对计算机的内存和计算速度都有较高要求 , 另外编程难度也较大。
收稿日期 : 1997- 05- 21; 定稿日期 : 1998- 08- 13。
刘 凯 梁 建 洪 伟
( 东南大学毫米波国 家重点实验室 , 南京 210096) Liu Kai , Liang Jian, Hong Wei ( S tate K ey L aboratory of M illimeter W aves, S outheast University , N anj ing 210096) 【 摘要 】 本文基于频域有限差分 ( FDF D) 法分析双周期结构的电磁散射问题。 以 Floquet 模式 吸收概念建立的截断面边 界吸收条件 , 为解决这类三维散 射问题提供了一种 有用的工具。采用压 缩存储方 式 , 结合最小 二乘法求解建立的 稀疏矩阵方程组 , 对周期 T 型和 尖劈型吸收材 料后向散 射功率的计算结果等 , 与有关文献对比 , 验证了该方法 的正确性。 关键词 : 频域有限差分 , 吸收边界条件 , 吸收材料 , 散射 , 数值计算 Abstract: A n appr oach of F DF D metho d applied to the computation of micro w ave absor ber character istics is pr esented . Incor po rat ing the co ncept of Floquet's mo de absor pt ion to deal w ith the absor bing boundar y co ndit ion ( ABC) , it pro vides a v er y useful a nd practical to ol for analy zing 3D elect ro magnetic scatt er ing of per iodic pro file. T his method adopts compr essed memo ry and lea st square method to solve the equations w ith sparse co efficient ma trix , and is pr oved t o be accur ate and reliable co mpa red with the repor ted dat a. Key terms : FD FD, A bsor bing boundar y conditio n, M icr ow ave absor ber, Scatter ing , N umer ical computatio n
二维目标电磁散射特性时域有限元方法分析的开题报告
二维目标电磁散射特性时域有限元方法分析的开题报告一、研究背景和意义随着现代通信系统技术的迅速发展，对二维目标电磁散射特性的研究越来越受到重视。
二维目标电磁散射特性的研究可以为雷达信号处理、自然资源勘探、目标识别等应用提供帮助。
时域有限元方法是一种求解电磁场问题的数值方法，近年来被广泛应用于电磁场问题的研究中。
在二维目标电磁散射特性研究中，时域有限元方法也是一种常被采用的数值计算手段。
因此，对二维目标的电磁散射特性进行时域有限元方法的分析和研究，对于深入理解二维目标电磁散射特性，提高目标识别的准确性和实用性具有重要的意义。
二、研究内容和方法本文的研究内容主要包括以下三个方面：1. 建立二维目标的电磁场分析模型；2. 利用时域有限元方法求解电磁场分析模型，得到目标的电磁散射特性；3. 对目标的电磁散射特性进行分析和研究，获得更深刻的了解。
在研究方法上，本研究主要采用以下三个步骤：1. 利用有限元软件建立目标的电磁场模型；2. 利用时域有限元方法对目标电磁场模型进行求解；3. 对求解结果进行分析和研究。
本文将会对目标的电磁散射特性进行建模和数值模拟，以探究目标的电磁散射特性，从而提高目标识别的准确性和实用性。
三、论文的创新点1. 基于有限元软件建立二维目标的电磁场分析模型，并采用时域有限元方法进行求解，得到目标的电磁散射特性；2. 对目标的电磁散射特性进行分析和研究，获得更深刻的了解；3. 在目标识别方面提出新的方法和思路，提高目标识别的准确性和实用性。
四、预期结果和意义本项目预期通过有限元软件和时域有限元方法对二维目标的电磁散射特性进行建模和数值模拟，进一步探究目标的电磁散射特性，提高目标识别的准确性和实用性。
本项目的主要贡献有以下几个方面：1. 对二维目标的电磁散射特性进行了深入的研究和分析，提高了对目标电磁散射特性的理解；2. 针对目标识别问题，提出了新的方法和思路，提高了目标识别的准确性和实用性；3. 在电磁场问题的研究中，综合应用了有限元建模和时域有限元方法求解技术，拓宽了电磁场研究的方法和思路。
应用有限差分法计算二维欧拉方程
基于非结构网格二维Euler方程的Jameson求解方法姓名：王司文学号：sx摘要本文介绍了基于CFD理论的求解二维可压缩流Euler方程的Jameson中心格式方法。
在空间离散上采用的是有限体积法，时间上采用的是四步显式Runge －Kutta迭代求解。
人工耗散项为守恒变量的二阶和四阶差分项。
边界条件采用的是无反射边界条件，并采用当地时间步长进行加速收敛。
最后对NACA0012翼型划分了三角形，并应用本文程序进行数值模拟，结果较为理想。
关键字：CFD，Jameson中心格式，Euler方程，有限体积法AbstractA method for the numerical solution of the two-dimensional Euler equations has been developed. The cell-centred symmetric finite-volume spatial discretisation is applied in a general formulation. The integration in time, to a steady-state solution, is performed using an explicit, four-stage Runge－Kutta procedure. The artificial dissipation is constructed as a blending of second and fourth differences of the conserved variables. And in the boundary, there is none of the outgoing waves are reflected back into the computational domain. An acceleration technique called local time stepping is used. At last, standard test cases for both subsonic and supersonic flows have been used to validate the method.Key words：CFD, Jameson method,Euler equations, finite-volume第一章引言在工程应用的推动下，计算流体力学随着计算机技术的发展和计算格式的不断更新而迅猛发展。
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文章编号:1009-7961(2002)01-0008-03预条件共轭梯度法在频域有限差分法分析二维柱体电磁散射问题中的应用刘淑静,朱汉清(淮阴师范学院物理系,江苏 淮安 223001)摘 要:本文引入预条件共轭梯度法,提出了结合频域有限差分法结合分析二维柱体的电磁散射问题。
数值计算过程中利用Mur 二阶吸收边界条件和场平均吸收条件截断网格。
作为算例,文中分析了一无限长理想导体柱对平面电磁波的散射,由于使用了预条件共轭梯度法求解差分矩阵方程,从而减少了计算时间。
数值结果表明了该方法的有效性。
关键词:预条件共轭梯度法;频域有限差分法;吸收边界条件;电磁散射中图分类号:TN817,O441;文献标识码:A1 引 言有限差分法是最早用来进行电磁场数值计算的方法。
在频域有限差分法中,无论是差分方程还是边界条件的差分近似都较时域法简单、方便,而且在频域中不必对时间作量化处理,可以减少迭代过程,提高计算精度[1]。
同时利用频域有限差分法分析二维柱体电磁散射,对不规则、非均匀的散射问题有着广泛的适用性。
在对差分方程的求解中,由于其系数矩阵非正定,经典的迭代方法不能保证迭代过程中的收敛性,为此常采用直接法求解。
但是,随着差分离散结点数的增加,矩阵方程阶数的提高,该方法求解方程的时间将会显著增大,从而极大地限制了频域有限差分法在分析许多实际问题中的应用。
共轭梯度法(简称为CG方法)作为求解矩阵方程的一种迭代方法,不仅保证了求解非正定系数矩阵方程的收敛性,而且有效地减少了计算时间和内存需求,在工程实际中已获得了许多应用[2]。
然而,在对条件数较大的系数矩阵方程的求解过程中,CG方法往往收敛很慢,本文为了进一步提高计算效率,引入了预条件共轭梯度法(简称为PCG方法),并提出结合频域有限差分法分析二维柱体的电磁散射问题。
由于通过PCG方法降低了差分方程系数矩阵的条件数,从而减少了求解方程的迭代次数,有效地缩短了计算时间。
同时在数值计算过程中构建了频域Mur二阶吸收边界条件,并结合场平均吸收条件来截断差分离散网格。
为了说明方法的有效性,文中分析了一理想导体方柱对平面电磁波的散射,并与矩量法结果进行了比较作为对本文方法精确性的检验。
最后,对PCG方法和CG方法在求解差分方程迭代过程中的收敛情况及计算时间进行了比较。
2 理论分析考虑图1所示的二维导体柱对平面电磁波的散射问题。
显然纵向场分量可以独立存在,因此可以分解为收稿日期:2001-10-05;修改日期:2001-10-15.作者简介:刘淑静(1964-),女(汉),淮阴师范学院副教授.TMz和TEz波分别求解。
下面我们将简要说明有限差分方程的建立和频域Mur二阶吸收边界条件的差分近似构造,并引入PCG方法。
2.1内结点的频域有限差分方程由导体柱表面向外作法向射线并建立多层共形网格离散求解区域。
u(x,y)表示纵向场分量,显然每个结点上的总场u可分解为入射场ui与散射场us的和,即 u=u i+u s (1)且us满足Helmholtz方程,设时间因子为,则有52u S5x2+52u s5y2+k20u=0(2)式中。
在内结点上由环路积分方法可以得到关于散射场的有限差分方程 ∑5i=1b i u s i=0(3)其中系数bi可利用文[3]中方法求取。
图1 二维柱体散射问题示意图2.2频域Mur二阶吸收边界条件的差分近似众所周知,用有限差分法分析无界域问题时,必须选择一种合适的边界条件来截断离散网格。
G.Mur通过对波动方程的分解,模拟外向波的传播过程,并利用有限差分近似,提出的Mur吸收边界条件[4],在时域分析中得到了广泛的应用。
这里根据相似的处理方法[5],构造了频域Mur边界条件的差分近似,并将其引入频域计算中。
该格式具有形式简单,精确度高,利用它可以快速形成有限差分方程的优点。
图2为频域二阶Mur条件的差分离散网格,hx、hy分别为x、y方向的离散步长。
考虑一x方向的散射波,分解Helmholtz方第11卷第1期 淮阴工学院学报 Vol.11No.1 2002年2月 Journal of Huaiyin Institute of Technology Feb.2002程,并利用Taylor 级数展开,在x =0处可得到下列二阶吸收边界条件的近似方程图2 二阶Mur 条件差分格式 [55x -j (k 20+12k 0 525y2]u s (x ,y )|x =0(4)用差商代替方程(4)中的微商,便可得到频域Mur二阶吸收边界条件的差分近似形式为 ∑5i =1c i u s i =0其中c 0=2e jk 0h x -2k 20h 2y e jk 0hx -2c 1=c 3=1-e jk 0h xc 2=2k 02h 2y另外需要说明的是:对于角点的处理,采用频域的场平均吸收条件加以吸收。
2.3预条件共轭梯度法由上述差分方程(3)和(5)可以建立求解区域内所有结点的线性方程组,其形式为 K ・U =F (6)其中为稀疏带状对角矩阵,每行非零元素不超过5个,为待求列矢量,为已知列矩阵,其非零元素反映入射波的激励情况。
显然利用CG 方法求解方程(6),便可得到区域内所有结点的散射场值。
这里需要注意的是:在分析关于Ez 极化问题时,可以利用理想导体性质减缩相应结点,对方程进行降阶求解。
为了进一步减少求解时间,提高计算效率,本文引入PCG 方法求解方程。
PCG 方法也称为预条件共轭斜量法,它是近年来人们比较推崇的求解矩阵方程的一种迭代方法。
特别是当方程的系数矩阵K 的条件数较大时,通过对原方程进行适当变换,使其变为与它等价的新方程,而后者的系数矩阵条件数大为降低,此时再用CG 方法求解,其收敛性较好,这是由于CG 方法的收敛性主要依赖于系数矩阵的条件数。
许多计算结果表明PCG 方法具有很多优越性,迭代次数也较CG 方法大大减少。
假设方程(6)预条件后的形式为^K ・U =^F (7)其中^K =~K -1K ,^b =~K -1-b ,~K =LU(8)按文[6]中给出的类型A 的CG 算法,其PCG 算法原理如下:设U0为初始值,定义R 0=(LU )-1b -^K U 0,P 0=G 0=^K a R 0,D 0=(LU )-a R 0(9)取,使^K P i =(LU )-1ZP i ,a =‖G i ‖2‖^K P i ‖2(10)U i +1=U i +a i P i ,R i +1=R i -a i ^K P i ,D i +1=(LU )-aR i +1,G i +1=K a D i +1 (11)βi =‖G i +1‖2‖G i ‖2,P i +1=G i +1+βi P i (12)其中‖G ‖=<G ,G >为欧几里得(Euclidean )范数,^K a =(^K 3)T 为伴随矩阵,符号“3”表示复数共轭,T 表示矩阵转置。
其内积定义为:如两矢量为f =[f 1,f 2,…f n ],g =[g 1,g 2,…g n ],则<f ,g >=∑ni =1f 1g 3i 。
伴随矩阵运算规则为<^K f ,g >=<f ,^K ag >。
至此便能以较少的迭代次数求解等价方程(7),从而达到缩短计算时间、提高计算效率的目的。
3 数值结果为了验证方法的有效性,文中分析了一理想导体方柱(3λ×3λ)对Ez 极化情形下平面电磁波的散射问题。
作为对方法精确性检验,在图3中将距离导体柱表面0.1λ处的电场计算值与矩量法所得结果[7]进行了比较,从图中可以看出两者吻合很好。
图4给出了用PCG 方法和CG 方法在求解差分方程迭代过程中的收敛情况(图中相对误差的定义为R =‖F -K ・U ‖/‖F ‖),我们从图中可以清楚地看出:在达到相同迭代精度的要求下,PCG 方法只要很少的迭代次数便可达到。
表1对用PCG 方法和CG 方法求解差分方程的计算时间进行了比较(迭代相对误差为10-8,运行环境为P Ⅲ700),结果表明本文引入的PCG 法使解方程的计算效率有了明显的提高。
图3 E z 极化下距离柱0.1λ处的电场 图4 求解方程的迭代收敛情况(s 从入射边中心量起)(未知数为1681)9第1期 刘淑静等:预条件共轭梯度法在频域有限差分法分析二维柱体电磁散射问题中的应用表1计算时间比较(单位:秒)未知量个数生成系数矩阵求解差分矩阵方程共轭梯度法(CG)预条件共轭梯度法(PCG) 16810.54367.0266.9020250.93838.32106.612401 1.371739.22158.572809 1.98—235.413249 2.86—408.924 结 论根据上述理论分析和数值结果我们可以得出结论:频域有限差分法结合PCG方法能够用于分析二维柱体的电磁散射问题,而且由于有效地使用了PCG算法求解差分方程,从而减少了计算时间,提高了计算效率,它同样可以用于求解其他数值方法所形成的矩阵方程,在实际问题的分析及优化模拟中将有着重要意义。
参考文献:[1]H.Q.Zhu(朱汉清),Y.Long,K.M.Luk, and Z. D.Wu.An iterative domain decomposition method for waveguide problems.Microwave and Optical Technology Letters,2001,30(4):252254[2]T.K.Sarkar,E.Arvas,and S.M.Rao.Appli2 cation of FFT and the conjugate gradient method for the so2 lution of electromagnetic radiation from electrically large and small conducting bodies.IEEE Trans.on AP,1986,34: 635640[3]Wen Hong,Y.W.Liu,and K.K.Mei.Appli2 cation of the measured equation of invariance to solve scat2 tering problems involving penetrable medium.Radio Sci2 ence,1994,29:897906[4]G.Mur.Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain elec2 tromagnetic field equations.IEEE Trans.on EMC,1981, 23:377382[5]陈军,洪伟,陈忆元.频域Mur条件差分近似的构造和应用[J].电子科学学刊,1996,18(3):283-291[6]T.K.Sarkar,and E.Arvas.On a class of finite step iterative methods(conjugate gradient)for the solution of an operator equation arising in electromagnetics.IEEE Trans.on AP,1985,33:10581066[7]J.M.Jin,V.V.Liepa.Simple moment method program for computing scattering from complex cylindrical obstacles.IEE Proc.H,1989,136:321329Application of Preconditioned Conjugate-G radient T echniqueto the Finite-Difference Frequency-Domain Methodfor Analysis of the Scattering byInf inite CylinderLiu Shu-jing,Zhu Han-qing(Department of Physics,Huaiyin Teachers’College,HuaiAn,JiangSu,223001)Abstract:The finite-difference frequency-domain method with preconditioned conjugate-gradient tech2 nique is presented for two-dimensional cylinder scattering problems.The Mur’s absorbing boundary con2 ditions(ABCs)of the second order and the ABCs based on the concept of field average are applied at the terminating boundary mesh nodes.As the verification example,the scattering by an infinite cylinder of the perfect electric conductor is ing preconditioned conjugate-gradient technique to solve the fi2 nite-difference equations reduces the CPU times.The numerical results demonstrate its accuracy and effi2 ciency.K ey w ords:Preconditioned Conjugate-Gradient Technique;Finite-Difference Frequency-Domain Method;Absorbing Boundary Condition;Electromagnetic Scattering01 淮阴工学院学报 第11卷。