类比思想是最基本最重要的数学思想方法

类比思想是最基本最重要的数学思想方法内容概述类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理思想（由特殊到特殊）。

类比思想是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具．类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出的。

在高中数学中，类比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更能体现数学思想方法之奇妙．恰当的运用类比思想，可以帮助学生举一反三、触类旁通，提高解题能力，也可以引导学生去探索获取新知识，提高学生的创新思维能力．类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法．当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说．否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的问题上去思考。

通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有问题的方法移植过来，为所要解决的问题指引了方向．例题示范例1：等差数列{n a }中，若100a =，则有12n a a a +++1219n a a a -=+++(19,)n n N +<∈成立，类比上述性质，在等比数列{n b }中，若9b =1，则_______.解：在等差数列中，100a =，那么以10a 为中心，前后间隔相等的项和为0，即9118120,0a a a a +=+=，…所以有121219(19,)n n a a a a a a n n N -++++=+++<∈成立．类比过来：同样在等比数列{n b }中，若9b =1，则以9b 为中心，前后间隔相等的项的积为1，即8107111,1b b b b ==，所以有下列结论成立：121217(17,)n n b b b b b b n n N -+=<∈评析：在等差数列和等比数列的性质类比中，常见的运算类比有：和类比为积，差类比为商，算术平均类比几何平均等等。

当然此题中已知等式的左右式子各项特征，特别是下标变化规律是类比的关注点。

例2：在平行四边形ABCD 中，有22222()AC BD AB AD +=+,类比在空间平行六面体1111ABCD A B C D -中，类似的结论是_______。

解：如图，平行四边形ABCD 中，设向量AB a =，AD b = ,则AC a b =+，DB a b =-, 有()22222AC a ba ab b =+=++…①同理，()22222DB a ba ab b =-=-+…②①+②得，()()22222222AC DB a bABAD+=+=+，即C 122222()AC BD AB AD +=+．类似地，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，可设AB a =， AD b = 1AA c =则1AC a b c =++,1BD a b c =-++,1CA a b c =--+,1DB a b c =-+同上面方法可计算出下列结论成立:1111222222214()AC BD CA DB AA AB AD +++=++评析：在解决空间几何问题时，有很多可以类比平面几何问题求解，美国数学家、数学教育家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”平面与空间类比的例子还有很多，如：1、在Rt △ABC 中，∠C=900，CD ⊥AB 于点D ，则222111CD CA CB=+成立，类比此性质，在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，PD ⊥平面ABC 于点D ，则可得到的结论是：22221111PD PA PB PC =++． 2、已知△ABC 中，内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则△ABC 的面积为1()2S r a b c =++，若一个四面体内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234,,,S S S S ，则这个四面体的体积是：12341()3V R S S S S =+++．3、如图，在平面几何中△ABC 的内角平分线AD 分BC 所成的线段比BD ：DC=AB ：AC ，把这个结论类比空间有： 在三棱锥中中，平面DCE 平分二面角A-CD-B ，且与棱相交于点E ，则有ACD BCDSAE BE S=．例3： ．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ．解：由534c a b c a -≤≤-得534a b a c c c -≤≤-， ∴12a c ≥，742b ac c ≤-≤，由ln ln c b a c c ≥+，得ln b a c c ≥， 设b x c =，ay c=，在处理ln y x ≤时可以类比：y x≤是表示直线y x =的下方区域，所以ln y x ≤表示曲线ln y x =下方区域，这就是线性与非线性的类比．A BCD-BD则x y ，满足ln 72120,0y x x y x y ≤⎧⎪⎪≤⎪⎨⎪≥⎪⎪>>⎩，可先求y x 的取值范围． 作出（x y ，）所在平面区域（如图）：利用yx的几何意义：可行域内的任一点和点(0,0)所在直线的斜率， 由图像可知yx分别在点71(,)22和切点分别取得最小值和最大值．设过点(0,0)的直线与ln y x =相切于点00(,)p x y ， ∴000ln 1x x x =，解得0x e =，01y =， ∴117y x e≤≤，7b x e a y ≤=≤，即ba 的取值范围是[] 7e ，． 评析：此题求解中充分利用条件和结论的形式特征，将不等条件与线性规划中约束条件类比，将所求分式与斜率类比，将求线性规划问题的方法与非线性的方法进行类比。

解决问题的策略就是把不熟悉的问题类比到熟悉的问题中，降低思维难度。

例4：（2017年浙江21）如图，已知抛物线2x y =，点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP 斜率的取值范围 （2）求PA PQ •的最大值 。

解：（1）设直线AP 的斜率为K. 2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围为()1,1-。

（2）常规解法：设直线AP 的方程：11()24y k x =++，则由211()24y k x x y⎧=++⎪⎨⎪=⎩消y 得：11()[()]022x x k +-+=，则11,22A P x x k =-=+.由于1322p x -<<，则(1,1)k ∈-。

由题yxPA BQ意得AQ BQ ⊥，所以直线BQ ：49231++-=k x k y ，联立方程112413924y kx k y x k k ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得22432(1)Q k k x k -++=+, 因为1|PA |)1)2x k =++，2|P |)Q Q x x -= ,所 以 2||||(1)(1)PA PQ k k =--+。

令()f k 3(1)(1)k k =--+，因为 2()(1)(42)f k k k '=-+-，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1[,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ 取得最大值2716。

当然我们也可以利用不等式的性质直接求解：4311(33)(1)(1)(1)27(1)(1)(33)(1)(1)(1)33416k k k k PA PQ k k k k k k -++++++⎛⎫=--+=-+++≤⨯=⎪⎝⎭ ，当12k =时等号成立。

有没有其他的解决途径呢？重新审视已知条件，直线AP 的垂线BQ 及所求的PA PQ•量有没有什么内在的联系？垂足Q 与已知点,A B 之间有没有特殊的关系呢？如果我们能发现PQ 就是PB 在直线AP 上的射影的话，那么PA PQ •就可直接转化为PA PQ PA PB •=-•，于是问题转化为向量的坐标运算。

解法2：两线段积类比向量数量积的几何意义 设2(,)P t t ，则221139(,),(,)2424AP t t PB t t =+-=--BQ AP ⊥221319cos ()()()()2244AP PQ AP PB BPQ AP PB t t t t ∴=∠==+-+-- （ * ）对于（*）式 我们可以直接展开得4233216AP PQ t t t ⋅=-+++ ，下面可求导计算（过程同上）。

解法3：类比于已解决的问题已知直线AB 与抛物线24y x =交于点A,B,点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB =,则下列一定成立的是（ B ）0.A C M AB ⊥ 0.B C M l ⊥,其中l 是抛物线过 0C 的切线 00.C C A C B ⊥ 0.D C M AB =分析：设AB 的中点为M ，由于221()()()()4CA CB CM MA CM MB CM MA CM MA CM AB =++=+-=-若线段AB 为定值，则当以M 为圆心的圆与抛物线相切时（切点为0C ） 满足{}00min C A C B CA CB =，此时圆与抛物线在0C 处有共同的切线l 。

如果在考场上我们能够回忆起这样一个解题经历，或者能深层地发现本问题中蕴含的几何位置关系，那么下面的解法应该是水到渠成的。

设AB 的中点为D ，则15(,)24D , 由于222()2AP PQ PA PB PD DA PD =-=--=- ，如图当圆D 与抛物线相切于点P 时PD 值最小，此时DP 与过P 的抛物线的切线垂直。

设2(,)P t t 则2542112t t t -⨯=-- 化简得34310t t --= 即2(1)(21)0t t -+=， 1322t -<< 1t ∴= 。

故(1,1)P 时最大值为。

评析：上面的多维度解析让我们感受了数学问题的解决是多方面的，类比思想体现在数算，形态，及解题策略方面的互通。

配套练习：1、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.2、把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________.222152722(1)(1)2416AP PQ PD ⎡⎤=-=--+-=⎢⎥⎣⎦D CD B CA (P )A3、已知圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为4、对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心； (2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013).答案： 1、T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.2 、222a b c ++解析: 由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径222a b c ++.3、(22)π+ 解析：类比题（2010北京理科（14））如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动 .B C PA PPPP图图设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 .说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动 .沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续 .类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动 .分析：此题若想直接求出P 点运动的轨迹方程是有点困难的，但我们可以根据题意画出点P 的轨迹，然后根据图形的特征求出周期和所围成的面积 . 通过动手操作点P 的轨迹是如图2中周期为4的图像，()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域是由两个半径为1的14圆及两个边长为1的弓形组成 .其面积2211121211442S πππ=⨯⨯+⨯-⨯⨯=+在解决原题时我们可以类比操作：如果我们将六边形从A 点处剪开依次重复地平铺在直线上（如图）问题可直接类比转化为上面的高考试题 . 在直线上正方形的顶点A 转动的轨迹是以半径1，弧所对的圆心角为090，交替进行的 . 而在正六边形内转动时，半径变化一致，但弧所对的圆心角为030 .于是A 的轨迹是以半径为1，1，0 为重复呈现的一段弧（圆心角为030），正方形纸片在圆形盖内转了三圈后（即正方形顶点第12次与圆周相碰）回到初始点P, 故点A走过的路径的长度为(110)36π++⨯⨯=.4、解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1). (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，51即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2， f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2，…f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。