第3.2章圆形波导
微波技术基础课件第三章规则金属波导
第3章 规则金属波导
(2) TE01模与TE0n模的场结构TE01模只有Ex、Hy和Hz三个 场分量，其场结构与TE10模的差别只是波的极化面旋转了 90°，即场沿a边不变化，沿b边有半个驻波分布，如图3.1-2 (c)所示。
(3.1-4) (3.1-5)
E0z (x, y) 0, y 0, aTM导波 E0z (x, y) 0, y 0, b
(3.1-6)
第3章 规则金属波导
(1) TE模(TE modes) 其Ez=0，Hz(x,y,z)=H0z(x,y)e-jβz≠0。应用分离变量法，即 令
H0z(x,y)=X(x)Y(y)
(3.1-7)
代入本征值方程，得到
1 X (x)
d 2 X (x) dx2
1 Y ( y)
d 2Y ( y) dy2
k
2 c
0
(3.1-8)
第3章 规则金属波导
此式要成立，每项必须等于常数。定义分离变数为kx和ky，
则得到方程:
d
2X dx
(
2
x)
k
2 x
X
(
x)
0
(3.1-9)
d
2Y ( y) dy2
第3章 规则金属波导
(1) TE10模与TEm0模的场结构 TE10(m=1,n=0)模的场分量由式(3.1-16１)求得为
Ey
ja
H10
sin
x
a
e jz
Hz
ja
圆波导与同轴线
波 型
E01 E11 E21
mn
2.405 3.832 5.135
c
2.62R 1.64R 1.22R
一、圆波导中TM波型
最后写出场方程
Er j E0 J m mn R kc
cos m jz r e sin m sin m jz r e cos m
g
1 3.41R
(17-7)
可以注意到圆波导中 H11波与矩形波导TE10波极相 似，因此微波工程中方圆过渡均采用H11模。 但是， H11模有两种极化方向。因此一般很少用于 微波传输线，而只用于微波元件。
图 17-3 方圆过渡
三、圆波导中三种主要波型
2. 损耗最小的——H01模
01 jz E x E0 J 0 r e R 01 H j E0 J ' 0 R kc 其中，υ01=2. 405，λc=2. 62R
(17-13)
jz r e
三、圆波导中三种主要波型
E01模的m和n
m=0 轴对称型 沿 方向场分量不变
2
可见电流只有 —方向分量，也即 H01模壁电流只有横向分 量，衰减a随f上升而下降
a H 01 Rs
R
1 c
2
8.686
(17-11)
三、圆波导中三种主要波型
作为对比
2 8.686 Rs 1 0.42 a H11 2 c R 1 c
CTM
2R
mn
二、圆波导波型的一般性质
图 17-1 圆波导的截止与传播区域 3. 圆波导中的两种简并 · 极化简并——即sinm 和cosm 两种，相互旋转90° 圆波导波型的极化简并，使传输造成不稳定，这是圆 波导应用受限制的主要原因。
圆形波导
场沿圆周方向按正弦或余弦函数形式变化，波 型指数m表示场沿圆周分布的整波数。
TEmn导模的各参数：
波阻抗：
Z TE
Er H
E Hr
k
传播常数： mn
k2
k2 cmn
k
2
um n
2
a
截止波长： 截止频率：
cmn
2a
u m n
f cmn
k cmn
2
um n
2a
▪TE11模
u11 1.841对应本征值为最小值
bh k
传播常数： mn
k2
k2 cmn
k2
umn
2
a
截止波长：
cmn
2a
u mn
截止频率：
f cmn
k cmn
2
umn
2a
TM01模
u01 2.405 最小值 c 2.62a
圆波导中的 传输特性：
圆波导中传输条件 l c > l , f > fc
圆波导的主模是TE11模，cTE11 3.41a ； TM01模为次主模 cTE11 2.62a
必须为整数m
cos m () B1 cos m B2 sin m B sin m ,
m 0,1,2,...
由于圆波导结构具有轴对称性，场的极化方向具有不
确定性，使导波场在φ方向存在 cos m和sin m两
种可能的分布。它们独立存在，相互正交（两个线性 无关的独立成份），截止波长相同，构成同一波导的 极化简并模。
R(贝塞尔方程)的解为
R(r) A1J m (kc r) A2Ym (kc r) 式中 J m (k为crm) 阶贝塞尔函数，
圆波导的模式分析
圆波导的模式分析中文摘要摘要为研究波导电磁场分布情况，本课题采用了MATLAB编程的方式直观显示其电磁场矢量分布图。
首先对微波技术的发展历史及现状做了系统的概述，同时对波导的定义及特点还有主要的参数做了一番概括，本文也粗略介绍了MATLAB的主要功能和特点以及MATLAB在本次设计中起到的主要作用。
接着从矩形波导出发，通过对麦克斯韦方程组的推导得出波动方程，并且求解这个偏微分方程并结合边界条件得出矩形波导内的电磁场分布表达式，另外,通过分析得出了矩形波导的一般特性。
然后用分离变量法求解波动方程的柱坐标形式，并结合边界条件得出圆波导的场表达式及其特性。
关键词波导场分布波动方程MATLAB外文摘要TitleAnalysisofCircularWaveguide modeAbstractTo study the circular waveguide electromagnetic field distribution, I use MATLAB to visual display its electromagnetic field distribution. First , I do a summarize of the development history and current status of microwave technology ,and sketch out the definition and characteristics of waveguide with some main parameters. At the same time , this article dose some introduction of MATLAB’s main function and its chara cteristics and the role matlab plays in the design. Then , based on Maxwell’s equation , we can derive the wave equation and solve the partial differential equations . Applying the boundary conditions ,we can conclude the field expression . Besides , we can study the general characteristics ofthe rectangular waveguide.Then ,we can use the method of separation of variables to solve the Helmholtz equation of cylindrical coordinate system, and similarly, get the field expression and characteristics ofthe circular waveguide with the help of boundary conditions.Keywordswaveguidefield distributionHelmholtz equationMATLAB1 绪论1.1 微波技术的发展历史微波，根据国际电工委员会（IEC）的定义，是指“波长足够短，以致在发射和接收中能实际应用波导和谐振腔技术的电磁波”[1]。
圆形规则波导中的电磁波
1
Kc =
u mn a
Jm(x)
JM ( 0 , r ) J0(x） JM ( 1 , r ) J1(x）
0.5
Jm(Kcr) = 0
0 5 10 15
x
0.5 r
n
m
1 2 3 4 0 2.405 5.52 8.654 11.792
方程Jm(u)=0的根，当m等于 1 2 3 3.832 5.136 6.379 7.016 9.76 8.417 10.174 11.62 13.015 13.324 14.796
圆形规则波导中的电磁波
• 圆形金属波导不可能传输TEM 波-单连通截面 • TE 波 • TM波
圆形波导中的TE 圆形波导中的TE波 TE波
y
Ez = 0 , 求 Hz
∇2 H Z + K 2 H Z = 0
工程电磁学中仍是用类似 矩形波导的方法，把Ex、 Ey、Hx、Hy各分量用Ez、 Hz来表示。但在圆形波导 内是用柱坐标系。 0 z θ a r x
(K z (K z ( ωµ ( ωµ
∂E z ∂x ∂E z ∂y ∂E z ∂y ∂E z ∂x
+ ωµ − ωµ −Kz + Kz
∂H z ∂y ∂H z ∂x ∂H z ∂x ∂H z ∂y
) ) ) )
i
∂ ∂x
Hx i
∂ ∂x
Ex
H iωεE x = ∂∂yz + iK z H y j k H iωεE y = −iK z H x − ∂∂xz ∂ ∂ ∂y ∂z = iωε ( Ex i + E y j + Ez k ) ∂H y H H y Hz iωεEZ = ∂x − ∂∂yx 5.2-14 j k − iωµH x = ∂∂Eyz + iK z E y ∂ ∂ ∂y ∂z = −iωµ ( H x i + H y j + H z k ) − iωµH y = −iK z E x − ∂∂Exz E y Ez ∂E y − iωµH z = ∂x − ∂∂Eyx
圆形波导的理论分析和特性
2
对任意r，f均成立，左右两端均必须为常数: (设为kf2)，则有：
圆形波导分析 6 – TE modes（续一）
d F(f ) 2 kf F(f ) 0 2 df
2 2 2
3.2 7 / 8
d R(r ) dR(r ) 2 2 r r (kc kf ) R(r ) 0 2 dr dr
w
kc2 k 2 2 ; k w 2 /
H z 0 f Ez 0 r H w z r r E z r f
Ef
umn cos mf j (w t z ) j ma 2 Emn J m ( r) e 2 sin mf umn a
umn cos mf j (w t z ) Ez Emn J m ( r) e sin mf a m 0 n 1 Hr
圆形波导分析 2 -- 纵横关系
j Ez w H z Er 2 kc r r f j Ez H z Ef 2 w kc r f r j H z w Ez Hr 2 kc r r f j H z Ez Hf 2 w kc r f r
umn ' cos mf j (w t z ) H z H mn J m ( r) e sin mf a m 0 n 1
圆形波导分析6 – TE modes(续四).
此解说明，圆形波导可以支持无穷多种导模TEmn
场沿径向按贝塞尔函数或其导数的规律变化。
波型指数n表示沿半径分布的最大值个数；
圆形波导的特性
2.3 圆形波导解析
Z TM
j
1 H t 2 j z ˆ t E z Kc
1 ˆ ˆ t r r r
式中
§2.3 圆形波导
于是，得到横向场分量的解: cos m jz ' Er j E0 J m ( K c r ) e sin m Kc
立体图：Page73 图2-24
§2.3 圆形波导
2.3.5 TM01 波型
——Er
---------Hφ
TM01波型的场量表达式为
2.405 jz Er j E0 J1( r )e 2.405 R
R
z
Ez E0 J 0 (
2.405 jz r )e R
×× ××
2.405 H j E0 J 1 ( r ) e j z 2.405 R
t2 1 1 2 2 2 2 r r r r 2
横向算子为
§2.3 圆形波导
纵向场满足
2 2 t Ez ( r , ) Kc Ez ( r , ) 0
2 2 t H z ( r , ) Kc H z (r , ) 0
柱坐标下为
2 Ez r 2
截止波长
Er j
(c )TE o 3.41R
11
(2-140)
H 0 R 2
1.841 sin jz J r e 1 2 (1.841) r R cos
' 1.841 cos jz J1 r e
将m=1、 n=1 代 入TE 波型的 场方程
§2.3 圆形波导
圆形波导管：横截面为圆形的空心金属波导管
作用：可作为传输系统用于多路通信中，也常用来 构成圆柱形谐振腔、旋转关节，等元件。
电磁场课件第三章圆截面金属波导
色散特性
01
02
03
色散是指波在不同频率 下具有不同的相速度或
群速度的现象。
在圆截面金属波导中， 色散特性取决于波型、 波长和波导的几何参数
。
色散特性对于通信系统 、雷达系统和微波测量 系统等应用非常重要， 因为它们会影响系统的
性能和设计。
损耗特性
1
损耗是指波在传播过程中能量逐渐减少的现象。
通过实验测量传输损耗、电磁场分布 等参数，与理论计算结果进行对比验 证。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
圆截面金属波导的传播 特性
传播常数
01
传播常数是描述波在波导中传播特性的重要参数，它决定了波 的传播速度和方向。
02
在圆截面金属波导中，传播常数由波型、波长和波导的几何参
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
圆截面金属波导的设计 与优化
设计原则与步骤
要点一
高效传输
波导应能尽量减少电磁波的能量损失，保证信号的完整性 。
要点二
模式纯度
应能限制电磁波只沿单一模式传输，避免模式杂散。
设计原则与步骤
• 结构紧凑：在满足功能的前提下，尽量减小波导的体积和 重量。
数决定。
传播常数的大小决定了波的相位和幅度在传播过程中的变化。
03
相速度与群速度
相速度是指波的相位在波导中传 播的速度，而群速度是指波包的
包络在波导中传播的速度。
在圆截面金属波导中，相速度和 群速度可能不同，这取决于波型
和波长。
微波技术基础之圆波导一般解共30页文档
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
4从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
第三章 Maxwell方程组用于圆形波导
第三章Maxwell方程组用于圆形波导——光纤理论的产生与发展§2 圆形介质波导（若干基本概念）光导纤维（简称光纤）是光纤通信系统中的传输介质，也可以作为光纤传感系统的传感单元。
它由纤芯、包层和护套层构成。
纤芯和包层的材料都是石英玻璃，只是掺杂成分和掺杂浓度略有不同。
因此纤芯折射率n1与包层折射率n2基本相等。
为了保证光波被束缚于纤芯中进行远距离传播，n1应略大于n2。
一般包层折射率n2总是常数。
而纤芯折射率n1可能为常数，如图3.2.1(a)所示；也可能是从中心轴上的最大值n1按照n(r)的函数规律下降到包层折射率n2，如图3.2.1(b)所示。
前一种光纤称为阶跃光纤，或SI（Step Index）光纤；后一种称为梯度光纤，或GI（Graded Index）光纤。
在本章关于光纤的分析中，为了方便，我们将略去光纤的护套层，认为光纤的包层延伸到无穷远。
这种假设对光的传播特性不会产生很大的影响，这是因为护套层的作用仅仅是保护光纤，几乎与光的传播特性无关。
(a)阶跃光线(b)梯度光纤图3.2.1 光纤的横截面结构及折射率分布3.2.1 阶跃光纤中光线的传播(1)传播路径及光线分类由于阶跃光纤纤芯折射率是均匀的，所以光线在纤芯内沿直线传播。
而当光线到达纤芯与包层界面时，按Snell定律发生反射和折射。
在一定条件下光线在界面上发生全反射，形成束缚光线。
与薄膜波导不同，光纤中的光线由于入射方向的差异，必须分为两类。
一类是传播路径与光纤轴线相交的光线，称为子午光线；另一类光线的传播路径与光纤轴线不相交，称为偏斜光线。
子午光线的路径是平面折线，其路径及在光纤横截面上的投影如图3.2.2(a)所示。
偏斜光线的路径是空间折线，在光纤横截面上的投影是内切于一个圆的多边形（可以是不封闭的），如图3.2.2(b)所示。
根据前面的描述可知，偏斜光线的路径总与一个圆柱面相切，这个圆柱面称为偏斜光线的内焦散面（inner caustic ），内焦散面半径用ic r 表示。
光纤-圆介质波导
1 限制。 但是形成光波导 1 c 时，还要受
偏射光线的纵向传播常数 若 1
2
k0 n1 cos 1
c 则
k0 n1 cos c k0 n1 sin c k0 n2 2
而 k0 n2 正是导模的截止条件，凡是 k0 n2 的模 都被截止。 一旦 1 c ，即使1 c ，导模都将被截止。
3 标量近似解的特点
１ 弱导条件
n2 n1 1
c sin 1 (n2 n ) / 2
1
射线几乎是与光纤的轴平行，这样的波类似于一个横电场波 （TE波）。 ２ 弱导条件下光纤中的场的特点 ① 由于电磁场是与波矢量垂直的，因而光纤轴近于垂直。其轴 向分量EZ、HZ极小，横向场ET、HT占优势。 ② 边界的存在只是构成内部全反射，并不影响场的偏振态，因 而场的横向分量是线偏振的。 ③ 弱场条件下，横向电场ET和横向磁场HT都满足标量波动方程。 ④各分量在波导边界上连续。
C. 泄漏光线（隧道光线）：光线虽然满足折射角大于临 c 1 界角，但弯曲面上并不发生全反射。 1 c 2
§4.6 阶跃光纤中光波导的物理光学分析
1 柱坐标系中的波动方程
光纤中的光场满足Helmholtz方程
2 2 E k0 n 2 E 0
2 H k0 n H 0
(s) sin 0 m (m) sin n1 s) 0m sin 1(m n0 cos
式中
(s) 0 m
是偏射光线m阶模的的最大允许入射角。
) 式中 0( m 是子午光线m阶模的的最大允许入射角。 m
由于 因而
cos 1
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z)
m0
n1
H
mn
J
m
um n a
r cos me jz sin m
各场分量为 (P79)
Er
m0 n1
jma
u m 2n r
2
H
mn
J
m
um n a
r
sin cos
m m
e
j
(t
z
)
E
m0 n1
ja
um n
H
mn
J
m
um n a
r
cos sin
m m
e
j
(t
z
)
Ez 0
场沿半径按贝塞尔 函数或按其导数的 规律变化，波型指 数n表示场沿半径分 布的最大值个数；
• 存在两种简并：
极化简并：一种是 m≠0 的TEmn或TMmn模式的。
模式简并：TE0n模与TM1n模简并 cTE0n cTM1n
（这是由Bessel函数的特性所决定
J
' 0
(
x)
Emn
J
m
umn a
r
sin cos
m m
e
j (t
z )
各场分量为：
Ez
m0 n1
E
mn
J
m
umn a
r
cos m sin m
e j (t z )
H r
m0 n1
ja
u
2 mn
r
2
Emn
J
m
umn a
r
sin m cos m
e
j
(t z )
H
m0
n 1
ja
umn
Emn
J
m
umn a
z)
Emn J m
umn a
r cos m sin m
e
jz
则得一般解：
E z
(r,,
z)
m0
n1
Emn
J
m
umn a
r
cos
m e
jz
sin m
Er
m0
n 1
ja
umn
E
mn
J m
u mn a
r
cos sin
m m
e
j (t
z )
E
m0 n1
jma
u
2 mn
r
2
求得解后代入边界条件可得本征值:
k cmn
um n a
,n
1,2,...
式中um n为 Jm (kca) 的根，其中n的意义：为满足边界条
件，n为纵向电场沿径向出现最大值的次数。
基本解为：H z (r,, z)
H
mn
J
m
um n a
r cos m sin m
e jz
则得一般解：
H z (r,,
§3.2 圆形波导
特点
损耗小
加工方便
双极化
广泛用于各种谐振器、波长计。
常用模式 TE11 TE01 TM01
返回
1．圆波导的导模： 电磁场的横纵向场关系式。见P78(3.2.-1a)
圆波导中, 其场的纵向分量满足二维亥姆霍兹方程：
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
k
2 c
HE00zz
(r, ) (r, )
•TE01模
u01 3.823
c 1.64a
2）TM模
Hz = 0，
则 Ez (r, , z) E0z (r, )e jz
利用分离变量法求得解后代入边界条件可得本征值
kcmn
umn a
,m
0,1,2,...n
1,2,...
式中 umn 为 J m (kca) 的根。
基本解为：
Ez
(r,,
r
cos sin
m m
e
j
(t z )
Hz 0
场沿半径按贝塞尔函数或按其导数的规律变化，波型指数n
表示场沿半径分布的最大值个数；场沿圆周方向按正弦或余 弦函数形式变化，波型指数m表示场沿圆周分布的整波数。
TMmn导模的各参数：
波阻抗：
ZTM =
Er Hf
=
- Ef Hr
=
b= we
bh k
传播常数： mn
0
边界条件：
E0f
(r,f
) r= a
=
0,
TE导波
E0z (r,f
) r= a
=
0,
TH 导波
E攻 r= 0
1）TE模
Ez=0，则 H z (r,, z) H 0z (r, )e jz
用分离变量法，令 H 0z (r, ) R(r)( )
代入方程并分离可得：
d 2F (f ) + m2F (f ) = 0 df 2
k2
k
2 cmn
k 2 umn 2 a
截止波长：
cmn
2a
u mn
截止频率：
f cmn
k cmn
2
umn
2a
TM01模
u01 2.405 最小值 c 2.62a
圆波导中的 传输特性：
l 圆波导中传输条件 l c > l , f > fc
• 圆波导的主模是TE11模， cTE11 3.41a； TM01模为次主模 cTE11 2.62a
1)k
u2k 22k k !(k + 1)!
å J2 (u) =
u2 22
¥
(-
k= 0
1)k
u2k 22k k !(k +
2)!
诺伊曼函数
Nn (u)=
Jn (u)cos np -
sin np
J- n (u)
∵ Ym (kc r) r0 而场在r =0处应为有限 ∴A2=0
\
R(r) = A1Jm (kcr)
r
2
d
2 R(r dr 2
)
+
r
dR(r dr
)
+)R(r ) =
0
上面第二式为贝塞尔方程。
第一式解为： () B1 cos k B2 sin k
注意解在φ方向应具有2π的周期性(单值条件)，故 k
必须为整数m
cos m () B1 cos m B2 sin m B sin m ,
TEmn导模的各参数：
波阻抗：
Z TE
Er H
E Hr
k
传播常数： mn
k 2 kc2mn
k 2 um n 2 a
截止波长： 截止频率：
cmn
2a
u m n
f cmn
k cmn
2
um n
2a
•TE11模
u11 1.841对应本征值为最小值
c 3.41a
圆波导最常用的导模（最低模）
H r
m0 n1
ja
um n
H
mn
J
m
um n a
r
cos sin
m m
e
j
(t
z )
H
m0 n1
jma
u m 2n r
2
H
mn
J
m
um n a
r
sin cos
m m
e
j
(t
z
)
H z
m0 n1
H
mn
J
m
um n a
r
cos sin
m m
e
j(t z)
场沿圆周方向按正弦或余弦函数形式变化，波 型指数m表示场沿圆周分布的整波数。
式中 J m (k为crm) 阶贝塞尔函数， Ym 为(kmc r阶) 诺曼函数（第二贝塞尔函数）。
贝塞尔函数
å Jn (u) =
¥ k=
0
k
(!(n
1)k
+k
)!骣 ççç桫u2
n+
÷÷÷
2k
å J0 (u) =
¥
(-
k= 0
1)k
u2k 22k (k !)2
å J1 (u) =
u 2
¥
(-
k= 0
m 0,1,2,...
由于圆波导结构具有轴对称性，场的极化方向具有不
确定性，使导波场在φ方向存在 cos m和sin m两
种可能的分布。它们独立存在，相互正交（两个线性 无关的独立成份），截止波长相同，构成同一波导的 极化简并模。
R(贝塞尔方程)的解为
R(r) A1J m (kcr) A2Ym (kcr)