第3.2章圆形波导

m 0,1,2,...
由于圆波导结构具有轴对称性，场的极化方向具有不
确定性，使导波场在φ方向存在 cos m和sin m两
种可能的分布。它们独立存在，相互正交（两个线性 无关的独立成份），截止波长相同，构成同一波导的 极化简并模。
R(贝塞尔方程)的解为
R(r) A1J m (kcr) A2Ym (kcr)
z)
Emn J m
umn a
r cos m sin m
e
jz
则得一般解：
E z
(r,,
z)
m0
n1
Emn
J
m
umn a
r
cos
m e
jz
sin m
Er
m0
n 1
ja
umn
E
mn
J m
u mn a
r
cos sin
m m
e
j (t
z )
E
m0 n1
jma
u
2 mn
r
2
• 存在两种简并：
极化简并：一种是 m≠0 的TEmn或TMmn模式的。
模式简并：TE0n模与TM1n模简并 cTE0n cTM1n
（这是由Bessel函数的特性所决定
J
' 0
(
x)
k2
k
2 cmn
k 2 umn 2 a
截止波长：
cmn
2a
u mn
截止频率：
f cmn
k cmn
2
umn
2a
TM01模
u01 2.405 最小值 c 2.62a
圆波导中的 传输特性：
l 圆波导中传输条件 l c > l , f > fc
• 圆波导的主模是TE11模， cTE11 3.41a； TM01模为次主模 cTE11 2.62a
•TE01模
u01 3.823
c 1.64a
2）TM模
Hz = 0，
则 Ez (r, , z) E0z (r, )e jz
利用分离变量法求得解后代入边界条件可得本征值
kcmn
umn a
,m
0,1,2,...n
1,2,...
式中 umn 为 J m (kca) 的根。
基本解为：
Ez
(r,,
z)
Hale Waihona Puke Baidu
m0
n1
H
mn
J
m
um n a
r cos me jz sin m
各场分量为 (P79)
Er
m0 n1
jma
u m 2n r
2
H
mn
J
m
um n a
r
sin cos
m m
e
j
(t
z
)
E
m0 n1
ja
um n
H
mn
J
m
um n a
r
cos sin
m m
e
j
(t
z
)
Ez 0
场沿半径按贝塞尔 函数或按其导数的 规律变化，波型指 数n表示场沿半径分 布的最大值个数；
§3.2 圆形波导
特点
损耗小
加工方便
双极化
广泛用于各种谐振器、波长计。
常用模式 TE11 TE01 TM01
返回
1．圆波导的导模： 电磁场的横纵向场关系式。见P78(3.2.-1a)
圆波导中, 其场的纵向分量满足二维亥姆霍兹方程：
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
k
2 c
HE00zz
(r, ) (r, )
H r
m0 n1
ja
um n
H
mn
J
m
um n a
r
cos sin
m m
e
j
(t
z )
H
m0 n1
jma
u m 2n r
2
H
mn
J
m
um n a
r
sin cos
m m
e
j
(t
z
)
H z
m0 n1
H
mn
J
m
um n a
r
cos sin
m m
e
j(t z)
场沿圆周方向按正弦或余弦函数形式变化，波 型指数m表示场沿圆周分布的整波数。
0
边界条件：
E0f
(r,f
) r= a
=
0,
TE导波
E0z (r,f
) r= a
=
0,
TH 导波
E攻 r= 0
1）TE模
Ez=0，则 H z (r,, z) H 0z (r, )e jz
用分离变量法，令 H 0z (r, ) R(r)( )
代入方程并分离可得：
d 2F (f ) + m2F (f ) = 0 df 2
r
cos sin
m m
e
j
(t z )
Hz 0
场沿半径按贝塞尔函数或按其导数的规律变化，波型指数n
表示场沿半径分布的最大值个数；场沿圆周方向按正弦或余 弦函数形式变化，波型指数m表示场沿圆周分布的整波数。
TMmn导模的各参数：
波阻抗：
ZTM =
Er Hf
=
- Ef Hr
=
b= we
bh k
传播常数： mn
Emn
J
m
umn a
r
sin cos
m m
e
j (t
z )
各场分量为：
Ez
m0 n1
E
mn
J
m
umn a
r
cos m sin m
e j (t z )
H r
m0 n1
ja
u
2 mn
r
2
Emn
J
m
umn a
r
sin m cos m
e
j
(t z )
H
m0
n 1
ja
umn
Emn
J
m
umn a
式中 J m (k为crm) 阶贝塞尔函数， Ym 为(kmc r阶) 诺曼函数（第二贝塞尔函数）。
贝塞尔函数
å Jn (u) =
¥ k=
0
k
(!(n
1)k
+k
)!骣 ççç桫u2
n+
÷÷÷
2k
å J0 (u) =
¥
(-
k= 0
1)k
u2k 22k (k !)2
å J1 (u) =
u 2
¥
(-
k= 0
r
2
d
2 R(r dr 2
)
+
r
dR(r dr
)
+
(r
2 kc2
-
m2 )R(r ) =
0
上面第二式为贝塞尔方程。
第一式解为： () B1 cos k B2 sin k
注意解在φ方向应具有2π的周期性(单值条件)，故 k
必须为整数m
cos m () B1 cos m B2 sin m B sin m ,
1)k
u2k 22k k !(k + 1)!
å J2 (u) =
u2 22
¥
(-
k= 0
1)k
u2k 22k k !(k +
2)!
诺伊曼函数
Nn (u)=
Jn (u)cos np -
sin np
J- n (u)
∵ Ym (kc r) r0 而场在r =0处应为有限 ∴A2=0
\
R(r) = A1Jm (kcr)
TEmn导模的各参数：
波阻抗：
Z TE
Er H
E Hr
k
传播常数： mn
k 2 kc2mn
k 2 um n 2 a
截止波长： 截止频率：
cmn
2a
u m n
f cmn
k cmn
2
um n
2a
•TE11模
u11 1.841对应本征值为最小值
c 3.41a
圆波导最常用的导模（最低模）
求得解后代入边界条件可得本征值:
k cmn
um n a
,n
1,2,...
式中um n为 Jm (kca) 的根，其中n的意义：为满足边界条
件，n为纵向电场沿径向出现最大值的次数。
基本解为：H z (r,, z)
H
mn
J
m
um n a
r cos m sin m
e jz
则得一般解：
H z (r,,