第九章 多元函数微分法及其应用
高等数学 第九章多元函数微分法及其应用
2 x y 4
2 2
2 x y
所求定义域为
D {( x, y ) | 2 x y 4, x y }.
2 2 2
（6） 二元函数 z f ( x , y )的图形
D ，对于任意 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 y 为纵坐 x 为横坐标、 z f ( x , y ) ，这样，以 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }，这个点集称 为二元函数的图形.
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义 设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P ( x , y ) D ，变量z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z 是变量x , y 的二元函数，记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
确定极限不存在的方法：
（1）令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于P0 ( x 0 , y0 ) ，若
k 有关，则可断言极限不存在； 极限值与
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案
C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2
z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y
第九章多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。
§8. 1 多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R⨯R={(x,y)|x,y∈R}就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)| (x,y)具有性质P}.例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)| x2+y2<r2}.如果我们以点P表示(x,y),以|OP|表示点P到原点O的距离,那么集合C可表成C={P| |OP|<r}.邻域:设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U . 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δPU, 即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P PU. 注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0PU. 点与点集之间的关系:任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点; (2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E . 聚点:如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E . 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点; 满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集. 闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集. 开集的例子: E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}. 闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集.连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得 E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域; 集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域. 2. n 维空间设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.R n 中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量. 为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下: 设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定 x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ). 这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间.R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.显然, n =1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x .采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x . 在n 维空间R n 中定义了距离以后, 就可以定义R n 中变元的极限:设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n . 如果||x -a ||→0,则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a . 显然,x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n , δ是某一正数, 则n 维空间内的点集 U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}就定义为R n 中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念. 二. 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系V RTp =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系2121R R R R R +=.这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ). 值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D , 或简记为u =f (x ), x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D , 也可记为u =f (P ), P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D .关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.三. 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限. 定义2设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δPU D y x P⋂∈时, 都有 |f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),也记作AP f P P =→)(lim 0或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限.例4. 设22221sin)(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-,可见∀ε >0, 取εδ=, 则当δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P⋂∈时, 总有|f (x , y )-0|<ε,因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(2222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？ 提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,0lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1limlimk k x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.极限概念的推广: 多元函数的极限.多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似.例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→. 解:y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅==1⨯2=2. 四. 多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果 ),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去. 例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有 |sin x -sin x 0|<ε.以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然 |f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 证 对于任意的P 0(x 0, y 0)∈R 2. 因为),(sin sin lim),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→,所以函数f (x ,y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0)连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点. 例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(2222y x y x y x xy y x f , 其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该函数的一个间断点.又如, 函数11sin22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如2221y y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则)()(lim 00P f P f p p =→.例7 求xy yx y x +→)2,1(),(lim.解: 函数xy yx y x f +=),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}.P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x . 一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是)()(lim 00P f P f P P =→.例8 求xy xy y x 11lim)0 ,0(),(-+→.解:)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .多元连续函数的性质:性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.§8. 2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作0y y x x x z==∂∂,0y y x x xf ==∂∂,0y y x x xz ==, 或),(00y x f x .例如x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记作y y x x y z==∂∂,y y x x y f==∂∂,y y x x yz ==, 或f y (x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, x f∂∂, x z , 或),(y x f x .偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, y f∂∂, z y , 或),(y x f y .偏导函数的定义式: y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0.求x f∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求y f ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数.讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？),(),(00y y x x x x y x f y x f ===,00),(),(00y y x x y y y x f y x f ===.0]),([),(000x x x y x f dx d y x f ==, 0]),([),(000y y y y x f dy dy x f ==.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim),,(0,其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数.解 y x x z 32+=∂∂, yx y z 23+=∂∂.8231221=⋅+⋅=∂∂==y x xz,7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数.解 y x x z 2sin 2=∂∂, yx y z 2cos 22=∂∂.例3 设)1,0(≠>=x x x z y, 求证: z y z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证 1-=∂∂y yx x z , x x y z y ln =∂∂.zx x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.例4 求222z y x r ++=的偏导数.解r x z y x x x r =++=∂∂222; r y z y x y y r =++=∂∂222. 例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证: 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p .证 因为V RTp =, 2V RT V p-=∂∂;p RT V =, p RT V =∂∂;R pV T =, R Vp T =∂∂;所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R V p R V RT p T T V V p .例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率.f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示:0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ;0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy df y .当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有0lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, y f∂∂, z y , 或),(y x f y .偏导函数的定义式:y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0.二. 高阶偏导数设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x =∂∂, ),(y x f y z y=∂∂,那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx=∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂,),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂.其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数.22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x zx z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33x z∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2.解 y y y x x z --=∂∂32233, xxy y x y z --=∂∂2392;2226xy x z =∂∂, 2336y x z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x x y z .由例6观察到的问题: y x z x y z ∂∂∂=∂∂∂22定理 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z .证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以 22y x xx z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂,222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x xz +-=+⋅-+=∂∂,22222)()(2)(y x y x y x y y y x yz +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z .例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u ,其中222z y x r ++=.证: 32211r xr x r x r r xu -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂, 52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂. 同理 5232231r y r yu +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂. 因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u xu +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂ 033)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r .提示: 6236333223)()(r x rr x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂.§8. 3全微分及其应用 一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ) 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ, 其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ), 于是 0lim 0=∆→z ρ,从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续. 可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、y z∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为yy z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有 f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得 Ax y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim,从而偏导数x z ∂∂存在, 且Ax z =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以yy z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得Ax x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00,从而x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以yy z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x yx .定理2(充分条件)如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、y z∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=. 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.解 因为xy x z 2=∂∂, yx y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.解 因为xy ye x z =∂∂, xy xe y z =∂∂, 212e x z y x =∂∂==, 2122ey z y x =∂∂==,所以 dz =e 2dx +2e 2dy .例3 计算函数yze yx u ++=2sin 的全微分.解 因为1=∂∂x u , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yzye z u =∂∂, 所以 dzye dy ze ydx du yz yz +++=)2cos 21(.*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有 V =π r 2h .已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有 ∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3. 例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02).取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,所以(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T l g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T lg π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为||||||T T gl l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ Tl T g l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322T l T l T δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg)/(93.45.022s cm ==π. 002225.0210045.0=⨯=ππδg g.从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,则z 的误差||||||y y z x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ ||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||;从而得到z 的绝对误差约为yx z yz xz δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||;z 的相对误差约为y x z zy z z x zz δδδ∂∂+∂∂=||.§8. 4 多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dt dz？设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ∂∂和y z∂∂？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有dvv z du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有dt dt du du =, dt dt dv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dt dv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o v z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, t o t t o v z u z dtdv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.注:0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dt dww z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=.上述dt dz称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, y ww z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂x z ？=∂∂y z ？ 提示: x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.(2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂x z ？=∂∂y z ？提示: x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, y fy u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, x z∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数,x f∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和y z∂∂. 解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )].例2 设222),,(zy xez y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求x u ∂∂和y u∂∂.解 x zz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xez y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y xey x x 2422sin 22)sin 21(2++++=.y zz f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze ye z y x zy x cos 222222222⋅+=++++ yx y x e y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t, v =cos t . 求全导数dt dz.解 t zdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂==v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t =e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及z x w∂∂∂2.解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ). 引入记号:u v u f f ∂∂='),(1, v u v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,z f yz f y z f f yz f zz x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)(2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注: 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f z vv f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂.例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(y u xu ∂∂+∂∂; (2)2222y u x u ∂∂+∂∂. 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ,22y x +=ρ,x yarctan=θ.应用复合函数求导法则, 得xu x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=, yu y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u . 两式平方后相加, 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u xu . 再求二阶偏导数, 得x x u x x u xu ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22 θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u uρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u . 同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u yu ρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u . 两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂uu yu x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dvv z du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂= dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dvv z du uz ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分.解dv v z du u z dz ∂∂+∂∂== e usin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .§8. 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形 隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有y xF F dxdy-=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式 F (x , f (x ))≡0,等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dx dy y F x F ,由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得y xF F dxdy-=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y xF F dx dyy x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd .隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F xz -=∂∂, z yF F y z -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+x z F F z x , 0=∂∂⋅+y zF F z y .因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F xz -=∂∂, z y F F y z -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求2x z∂∂.解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422,3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x ,y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=,22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22y x yu +=, 2222y x x y x yy x v +=+⋅=.如何根据原方程组求u , v 的偏导数？ 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1,v uvux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1,v u vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1,v u vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定;偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, x v ∂∂, y u ∂∂和y v∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v x u y x v y x u x u ,当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu xu ++-=∂∂, 22y x xvyu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y u ∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x yvxu yv ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdxudy xdv ydu udxvdy ydv xdu .解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=,dy y x yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=.于是 22y x yv xu xu ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, y x xv yu x v +-=∂∂, 22y x yv xu yv++-=∂∂. 例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0),(),(≠∂∂v u y x .。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)
例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识
本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。
如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。
6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。
可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。
7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。
定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。
无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。
如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。
解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。
趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。
16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。
多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。
二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。
2)多元函数的定义、定义域。
3)二元函数的极限、连续。
(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。
2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。
2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。
(2) 计算方法1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数x x xz =∂∂，就是一元函数),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数x x xz =∂∂（同理）。
2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
第九章多元函数微分法及其应用
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
第九章多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§8 1 多元函数的基本概念一、平面点集 n 维空间1．平面点集 二元的序实数组(x y)的全体 即 R2 R R {(x y)|x y R}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作E {(x y)| (x y)具有性质 P} 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C {(x y)| x2 y2 r2} 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成C {P| |OP| r}邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 P (x y)的全体 称为点 P0 的 邻域 记为 U (P0与点 P0(x0 y0)距离小于 的点 即U(P0, ) {P| | PP0 |} 或U(P0, ) {(x, y)| (xx0)2 (y y0)2 }邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0 为半径的圆 的内部的点 P (x y)的全体 点 P0 的去心 邻域 记作U (P0, ) 即U(P0, ) {P| 0 | P0P|}注 如果不需要强调邻域的半径邻域记作U (P0)则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心点与点集之间的关系任意一点 P R2 与任意一个点集 E R2 之间必有以下三种关系中的一种(1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P) E 则称 P 为 E 的内点(2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) E则称 P 为 E 的外点(3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作 EE 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于E聚点如果对于任意给定的 0 点 P 的去心邻域U (P, ) 内总有 E 中的点 则称 P 是 E的聚点由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E 例如 设平面点集E {(x y)|1 x2 y2 2} 满足 1 x2 y2 2 的一切点(x y)都是 E 的内点 满足 x2 y2 1 的一切点(x y)都是 E 的 边界点 它们都不属于 E 满足 x2 y2 2 的一切点(x y)也是 E 的边界点 它们都属于 E 点集 E 以及它的界边 E 上的一切点都是 E 的聚点开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集 如果点集的余集 E c 为开集 则称 E 为闭集 开集的例子 E {(x y)|1<x2 y2<2}闭集的例子 E {(x y)|1 x2 y2 2}集合{(x y)|1 x2 y2 2}既非开集 也非闭集连通性 如果点集 E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称 E 为连通集区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如 E {(x y)|1 x2 y2 2}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如 E {(xy)|1 x2 y2 2}有界集 对于平面点集 E 如果存在某一正数 r 使得E U(O r)其中 O 是坐标原点 则称 E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{(x y)|1 x2 y2 2}是有界闭区域 集合{(x y)| x y 1}是无界开区域集合{(x y)| x y 1}是无界闭区域2 n 维空间设 n 为取定的一个自然数 我们用 Rn 表示 n 元有序数组(x1 x2 体所构成的集合 即xn)的全Rn R R n}R {(x1 x2xn)| xi R i 1 2Rn 中的元素(x1 x2 xn) 当所有的 xi (i 1 2记为 0 或 O 在解析几何中xn)有时也用单个字母 x 来表示 即 x (x1 x2 n)都为零时 称这样的元素为 Rn 中的零元通过直角坐标 R2(或 R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而 Rn 中的元素 x (x1 x2xn)也称为 Rn 中的一个点或一个 n 维向量 xi 称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 特别地 Rn 中的零元 0 称为 Rn 中的坐标原点或 n 维零向量为了在集合 Rn 中的元素之间建立联系 在 Rn 中定义线性运算如下设 x (x1 x2 R 规定xn) y (y1 y2yn)为 Rn 中任意两个元素x y (x1 y1 x2 y2xn yn)x ( x1x2xn)这样定义了线性运算的集合 Rn 称为 n 维空间Rn 中点 x (x1 x2 (x y) 规定xn)和点 y (y1 y2yn)间的距离 记作(x, y) (x1 y1)2 (x2 y2)2 (xn yn)2显然 n 1 2 3 时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一 至Rn 中元素 x (x1 x2 R3 中 通常将||x||记作|x|) 即xn)与零元 0 之间的距离 (x 0)记作||x||(在 R1、R2、|| x|| x12 x22 xn2采用这一记号 结合向量的线性运算 便得|| x y|| (x1 y1)2 (x2 y2)2 (xn yn)2 (x, y)在 n 维空间 Rn 中定义了距离以后 就可以定义 Rn 中变元的极限设 x (x1 x2xn) a (a1 a2an) Rn如果||x a|| 0 则称变元 x 在 Rn 中趋于固定元 a显然记作 x ax a x1 a1 x2 a2xn an在 Rn 中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到 n(n 3)维空间中来 例如设 a (a1 a2an) Rn 是某一正数 则 n 维空间内的点集U(a ) {x| x Rn (x a) }就定义为 Rn 中点 a 的 邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念二 多元函数概念例１ 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r2h 这里 当 r、h 在集合{(r h) | r>0 h>0}内取定一对值(r h)时V 对应的值就随之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系其中 R 为常数 这里 对应值就随之确定p RT V当 V、T 在集合{(V T) | V>0T>0}内取定一对值(V T)时 p 的例 3 设 R 是电阻 R1、R2 并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系R R1R2 R1 R2这里 当 R1、R2 在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1 R2)时 R 的对应值就 随之确定 定义 1 设 D 是 R2 的一个非空子集 称映射 f D R 为定义在 D 上的二元函数 通常记为z f(x y) (x y) D (或 z f(P) P D) 其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值 记作 f(x y) 即 z f(x y)值域 f(D) {z| z f(x y) (x y) D} 函数的其它符号 z z(x y) z g(x y)等 类似地可定义三元函数 u f(x y z) (x y z) D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 Rn 内的点集 D 映射 f D R 就称 为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为u f(x1 x2 或简记为xn) (x1 x2xn) Du f(x) x (x1 x2 也可记为xn) Du f(P) P(x1 x2xn) D关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 u f(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数 z ln(x y)的定义域为{(x y)|x y>0}(无界开区域) 函数 z arcsin(x2 y2)的定义域为{(x y)|x2 y2 1}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|z f(x y) (x y) D}称为二元函数 z f(x y)的 图形 二元函数的图形是一张曲面例如 z ax by c 是一张平面 而函数 z=x2+y2 的图形是旋转抛物面三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y) P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限定义 2设二元函数 f(P) f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果存在常数 A 对于任意给定的正数 总存在正数使得当 P(x, y)DU(P0, ) 时 都有|f(P) A| |f(x y) A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限 记为也记作lim f (x, y) A(x, y)(x0, y0)或 f(x y) A ((x y) (x0 y0))lim f (P) APP0或 f(P) A(P P0)上述定义的极限也称为二重极限例 4.设f(x,y)(x2y2)sinx21 y2证 因为lim f (x, y) 0求证 (x, y)(0,0)|f(x,y) 0 || (x2y2)sinx21 y20||x2y2||sinx21 y2|x2y2可见 >0 取 则当 0 (x0)2 (y0)2 即 P(x, y)DU(O, ) 时 总有|f(x y) 0|lim f (x, y) 0因此 (x, y) (0,0) 必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论f(x,y) xy x2 y2x2 y2 0函数 0x2 y2 0 在点(0 0)有无极限 提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0(x, y)(0,0)x0x0当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时lim f (x, y) lim f (0, y) lim 0 0(x, y)(0,0)y0y0当点 P (x y)沿直线 y kx 有lim(x, y)(0,0)xy x2 y2limx0k x2 x2 k2x2k 1 k2ykx因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似lim sin(xy) 例 5 求 (x, y)(0,2) x解lim sin(xy) lim sin(xy) y lim sin(xy) lim y(x, y)(0,2) x(x, y)(0,2) xy(x, y)(0,2) xy (x, y)(0,2)122四 多元函数的连续性定义 3 设二元函数 f(P) f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0 D 如果lim(x, y)(x0, y0)f(x, y) f(x0,y0)则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称f (x y)是 D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去例 6 设 f(x,y) sin x 证明 f(x y)是 R2 上的连续函数证 设 P0(x0 y0) R20 由于 sin x 在 x0 处连续 故0当|x x0| 时 有|sin x sin x0|以上述 作 P0 的 邻域 U(P0 ) 则当 P(x y) U(P0 )时 显然|f(x y) f(x0 y0)| |sin x sin x0|即 f(x y) sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在R2 上连续证 对于任意的 P0(x0 y0) R2 因为lim(x, y)(x0, y0)f(x, y) lim sin(x, y)(x0, y0)x sinx0f(x0, y0)所以函数 f(x,y) sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数 在 R2 上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点例如如果函数 f(xy)在点f(x,y) xy x2 y2x2 y2 0函数 0x2 y2 0其定义域 D R2 O(0 0)是 D 的聚点 f(x y)当(x y) (0 0)时的极限不存在 所以点 O(0 0)是该函数的一个间断点又如函数zsinx21 y21其定义域为 D {(xy)|x2 y2 1}圆周 C {(xy)|x2 y2 1}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的x x2 y2 例如 1 y2sin(x y)ex2 y2 z2 都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的 区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0 处的极限 而该点又 在此函数的定义区域内 则limp p0f(P) f(P0)lim x y例 7 求 (x, y)(1,2) xyf (x, y) x y解 函数xy 是初等函数 它的定义域为D {(x y)|x 0 y 0} P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0 的某一邻域 U(P0) D 是 f(x y)的一个定义区域 因此而任何邻域都是区域lim f (x, y) f (1,2) 3(x, y)(1,2)2所以 U(P0)lim f (P)一般地 求 PP0时 如果 f(P)是初等函数 且 P0 是 f(P)的定义域的内点 则f(P)在点 P0 处连续 于是lim f (P) f (P0)P P0lim例 8 求 (x, y)(0, 0) 解xy 11 xylim xy11 lim ( xy11)( xy11) lim1 1(x,y)(0, 0) xy(x,y)(0, 0) xy( xy11)(x,y)(0, 0) xy 11 2多元连续函数的性质性质 1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上 有界 且能取得它的最大值和最小值性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M 0 使得对一 切 P D 有|f(P)| M 且存在 P1、P 2 D 使得f(P1) max{f(P)|P D} f(P2) min{f(P)|P D} 性质 2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间 的任何值§8 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数 z f(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 z f(x y)对于 x 的偏导数定义 设函数 z f(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时 相应地函数有增量如果极限f(x0 x y0) f(x0 y0)lim f (x0 x, y0) f (x0, y0)x0x存在 则称此极限为函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作例如zxx x0 y y0fxx x0 y y0zx xx0y y0或 fx(x0, y0)类似地fx(x0,y0)limx0f(x0 x,y0) xf(x0,y0)函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为lim f (x0, y0 y) f (x0, y0)y0y记作zyx x0 y y0fyx x0 y y0zy xx0y y0或 fy(x0 y0)偏导函数 如果函数 z f(x y)在区域 D 内每一点(x y)处对 x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 z f(x y)对自变量 x 的偏导函数 记作z f x x zx 或 fx(x, y)偏导函数的定义式fx(x,y)limx0f(xx, y) xf(x, y)类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为z y偏导函数的定义式f y zy 或 f y(x, y)f y (x,y) limy0f(x,y y) yf(x, y)f 求 x 时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数而对 y 求导数 讨论 下列求偏导数的方法是否正确f 求 y 时只要把 x 暂时看作常量fx(x0, y0) fx(x, y) xx0y y0f y(x0, y0) f y(x, y) xx0y y0fx(x0,y0)[d dxf(x, y0)] xx0fy(x0,y0)[d dyf(x0, y)] yy0偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 u f(x y z)在点(xy z)处对 x 的偏导数定义为fx(x,y,z)limx0f(xx, y,z) xf(x, y,z)其中(x y z)是函数 u f(x y z)的定义域的内点分法问题它们的求法也仍旧是一元函数的微例 1 求 z x2 3xy y2 在点(1 2)处的偏导数z 2x3y 解 xz 3x2y y例 2 求 z x2sin 2y 的偏导数z xx1 2132 8y2z 2xsin 2y 解 xz 2x2 cos2y y例 3 设 z xy(x 0, x 1)求证x z 1 z 2z y x ln x yz yxy1 证 xz xy ln xyx z 1 z x yxy1 1 xy ln x xy xy 2zy x ln x y yln xz yx1 y2 3122 7例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数r xx解 x x2 y2 z2 rr yyy x2 y2 z2 r例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) p V T 1 求证 V T pp RT 证 因为 Vp VRT V2V RT V R p T pTpV RT V p R所以p VV TT pRT V2R pV RRT pV 1例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数 z f(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0) [f(x y0)]x 是截线 z f(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y 是截线 z f(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 函数在该点连续 例如f(x,y) xy x2 y2 0x2 y2 0 x2 y2 0在点(0 0)有 fx(0 0) 0 fy(0 0) 0 但函数在点(0 0)并不连续提示也不能保证f (x, 0) 0 f (0, y) 0fx(0,0)d dx[f(x,0)]0fy (0,0)d[ dyf(0,y)] 0当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 有lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0(x, y)(0,0)x0x0当点 P(x y)沿直线 y kx 趋于点(0 0)时 有lim(x, y)(0,0)xy x2 y2limx0x2k x2 k2x2k 1 k2ykxlim f (x, y)因此 (x, y)(0,0)不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为z f y y zy 或 f y(x, y)偏导函数的定义式f y (x,y) limy0f(x,y y) yf(x, y)二 高阶偏导数设函数 z f(x y)在区域 D 内具有偏导数z xfx(x,y)z yfy(x,y)那么在 D 内 fx(x y)、fy(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称 它们是函数 z f(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数 z f(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数 z f(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数 x(z ) x2z x2fxx(x,y) y( z ) x2z xyfxy(x,y) x(yz )2z yxf yx(x,y) y(z ) y2z y2f yy(x,y)其中 y(z ) x2z xyf xy (x,y) x(z ) y2z yxf yx(x,y)称为混合偏导数 x(z x)2z x2 (z ) 2z y x xy (z ) 2z x y yx y( z y)2z y2同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数2z 3z 2z 2z 例 6 设 z x3y2 3xy3 xy 1 求 x2 、 x3 、 yx 和 xyz 3x2y2 3y3 y 解 xz 2x3y9xy2 x y2z x26xy23z x36y22z 6x2 y 9y2 1 xy2z 6x2 y 9y2 1yx2z 2z 由例 6 观察到的问题 yx xy2z 2z 定理 如果函数 z f(x y)的两个二阶混合偏导数 yx 及 xy 在区域 D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例 7 验证函数 z lnx2y2满足方程2z x22z y20z ln x2 y2 1 ln(x2 y2)证 因为2所以z xx2x y2z yx2y y22z x2(x2 y2) x2x (x2 y2)2y2 x2 (x2 y2)22z y2(x2 y2) y2y (x2 y2)2x2 y2 (x2 y2)2因此2z x22z y2x2 y2 (x2 y2)2y2 x2 (x2 y2)20例8．证明函数u1 r满足方程2u x22u y22u z 20其中 r x2 y2 z2证u x1 r2r x1 r2x rx r3 2u x21 r33x r4r x1 r33x2 r5同理 2u y21 r33y2 r5 2u z21 r33z2 r5因此 2u x22u y22u z2(1 r33x2 r5)(1 r33y2 r5)(1 r33z2 r5)3 r33(x2 y2 r5z2)3 r33r 2 r50提示 2u x2 x(x r3)r3x xr6(r3)r3x3r r62r x§8 3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系 有偏增量与偏微分f(x x y) f(x y) fx(x y) xf(x x y) f(x y)为函数对 x 的偏增量 f x(x y) x 为函数对 x 的偏微分f(x y y) f(x y) fy(x y) yf(x y y) f(x y)为函数)对 y 的偏增量 f y(x y) y 为函数对 y 的偏微分全增量z f(x x y y) f(x y)计算全增量比较复杂 我们希望用 x、 y 的线性函数来近似代替之定义 如果函数 z f(x y)在点(x y)的全增量z f(x x y y) f(x y)可表示为z AxByo() ( (x)2 (y)2 )其中 A、B 不依赖于 x、 y 而仅与 x、y 有关 则称函数 z f(x y)在点(x而称 A x B y 为函数 z f(x y)在点(x y)的全微分 记作 dz 即dz A x B y如果函数在区域 D 内各点处都可微分 那么称这函数在 D 内可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续这是因为如果 z f(x y)在点(x y)可微 则z f(x x y y) f(x y) A x B y o( ) y)可微分lim z 0于是 0lim f (xx, yy) lim [ f (x, y)z] f (x, y)从而 (x,y)(0,0) 0因此函数 z f(x y)在点(x y)处连续 可微条件定理 1(必要条件)如果函数 z f(x y)在点(x y)可微分 且函数 z f(x y)在点(x y)的全微分为z z 则函数在该点的偏导数 x 、 y 必定存在dzz xx z yy证 设函数 z f(x y)在点 P(x y)可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点P (x x y y) 有 z A x B y o( ) f (x x y) f(x y) A x o(| x|)上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得特别当 y 0 时有lim f (xx, y) f (x, y) Ax0xzz A从而偏导数 x 存在 且 xzz B同理可证偏导数 y 存在 且 y所以dz z x z y x y简要证明 设函数 z f(x y)在点(x y)可微分 特别当 y 0 时有f (x x y) f(x y) A x o(| x|) 上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得于是有 z A x B y o( )lim f (xx, y) f (x, y) lim [A o(|x|)] Ax0xx0xzz A从而 x 存在 且 xzz Bdz z x z y同理 y 存在 且 y所以 x yz z 偏导数 x 、 y 存在是可微分的必要条件例如 但不是充分条件 xyf(x,y) x2 y2函数 0x2 y2 0 x2 y2 0 在点(00)处虽然有 f x(0 0) 0 及 f y(00) 0 但函数在(0 0)不可微分 即 z [fx(0 0) x fy(0 0) y]不是较 高阶的无穷小这是因为当( x y)沿直线 y x 趋于(0 0)时z [ fx(0, 0)x fy(0, 0)y]x y (x)2 (y)2xx (x)2 (x)21 20定理 2(充分条件)z z 如果函数 z f(x y)的偏导数 x 、 y 在点(x y)连续 则函数在该点可微分定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、 y 分别记作 dx、dy 并分别称为自变量的微分 则函数 z f(xy)的全微分可写作dzz xdxz ydy二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 u f (x y z) 的全微分为du u dx u dy u dz x y z例 1 计算函数 z x2y y2 的全微分z 2xy 解 因为 xz x2 2y y所以 dz 2xydx (x2 2y)dy 例 2 计算函数 z exy 在点(2 1)处的全微分z yexy 解 因为 xz xexy yz xx2 y1e2z yx2 y12e2所以dz e2dx 2e2dyu xsin y eyz例 3 计算函数2 的全微分u 1 解 因为 xu 1 cos y zeyz y 2 2u yeyz zdu dx(1 cos y zeyz)dy yeyzdz所以22*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数 z f (x y)在点 P (x y)的两个偏导数 f x (x y) | x| | y|都较小时 有近似等式f y (x y)连续 并且z dz f x (x y) x f y (x y) y即f (x x y y) f(x y) f x (x y) x f y (x y) y我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算例 4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由 20cm 增大到 20 05cm 高度由100cu 减少到 99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r、h 和 V 则有Vr 2h已知 r 20 h 100 r 0 05 h 1 根据近似公式 有V dV Vr r Vh h 2 rh r r2 h2 20 100 0 05202 ( 1)200 (cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了 200 cm3例 5 计算(1 04)2 02 的近似值解 设函数 f (x y) x y 显然 要计算的值就是函数在 x 1 04 y 2 02 时的函数值 f(1 04 2 02)取 x 1 y 2 x 0 04 y 0 02 由于f (x x y y) f(x y) f x(x y) x f y(x y) y x y yxy 1 x x yln x y所以(1 04)2 02 12 2 12 1 0 04 12 ln1 0 02 1 08例 6 利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是g4 T2l2现测得单摆摆长 l 与振动周期 T 分别为 l=100±、T=2±. 问由于测定 l 与 T 的误差而引起 g 的绝对误差和相对误差各为多少解 如果把测量 l 与 T 所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数g4 2l T2的全增量的绝对值|Δg|.由于|Δl|可以用 dg 来近似地代替 Δg 这样就得到 g 的误差为|ΔT|都很小因此我们|g||dg|| g l g T | l T|g l|l|g T|T42(T12l2l T3T)其中 l 与 T 为 l 与 T 的绝对误差 把 l=100 T=2, 为l=, δT=代入上式得 g 的绝对误差约g 4 2(02.21 2213000.004) 0.5 2 4.93(cm/ s2) .g g0.5 2 4 21000.50 022从上面的例子可以看到 对于一般的二元函数 z=f(x, y), 如果自变量 x 、y 的绝对误差分别为 x、 y, 即|Δx | x, |Δy | y,则 z 的误差|z||dz|| z x z y| x y|z x||x||z y||y||z x|x|z y|y从而得到 z 的绝对误差约为z|z x|x|z y|yz 的相对误差约为z zz | z|x zxy zy§8 4 多元复合函数的求导法则设 z f(u v) 而 u(t) vdz (t) 如何求 dt设 z f(u v) 而 u(x y) vz z (x y) 如何求 x 和 y1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u (t)及 v (t)都在点 t 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (t) (t)]在点 t 可导 且有dz z du z dv dt u dt v dt简要证明 1 因为 z f(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有dz z du z dv u v又因为 u (t)及 v (t)都可导 因而可微 即有du du dt dv dv dtdtdt代入上式得dz z u du dtdt z v dv dtdt (uz du dtz vdv)dt dtdz z du z dv 从而 dt u dt v dt简要证明 2 当 t 取得增量 t 时 u、v 及 z 相应地也取得增量 u、 v 及 z 由 z f(u v)、u (t)及 v (t)的可微性 有z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()u vu dtv dt(z du z dv)t (z z)o(t)o() u dt v dt u vz z du z dv (z z) o(t) o() t u dt v dt u v t t令 t 0 上式两边取极限 即得dz z du z dv dt u dt v dtlim o() lim o() (u)2 (v)2 0(du)2 (dv)2 0注 t0 t t0 tdt dt推广 设 z f (u v w) u (t) v (t) w (t) 则 z f[ (t) (t) (t)] 对 t 的导数为dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dtdz 上述 dt 称为全导数2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理 2 如果函数 u (x y) v (x y)都在点(x y)具有对 x 及 y 的偏导数 函 数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f [ (x y) (x y)]在点 (x y)的两个偏导数存在 且有z xz uu xz vv xz z u z v y u y v y推广 设 z f(u v w ) u (x y) v (x y) w (x y) 则z z u z v z w x u x v x w xz z u z v z w y u y v y w y讨论(1)设 z f(u v) u(x y) v(y)则z xz yz z u 提示 x u xz z u z dv y u y v dy(2)设 z f(u x y) 且 u(x y)则z xz yz f u f 提示 x u x xz f u f y u y yz fz这里 x 与 x 是不同的 x 是把复合函数 z f[ (x y) x y]中的 y 看作不变而对 x的偏导数 似的区别f x 是把 f(u x y)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数z f y 与 y 也有类3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形 定理 3 如果函数 u (x y)在点(x y)具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v y 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有(y)在点 (x y)z z u x u xz z u z dv y u y v dy例 1 设 z eusin v u xy v x yz z u z v 解 x u x v xeusin v y eucos v 1 ex y[y sin(x y) cos(x y)]z z u z v y u y v yz z 求 x 和 yeusin v x eucos v 1 exy[x sin(x y) cos(x y)]例 2 设 u f (x, y, z) ex2 y2z2 而 z x2 sin y u f f z解 x x z x 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2xsin y 2x (1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 yu u 求 x 和 yu f f z y y z y 2yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x2 cos y 2( y x4 sin y cos y)ex2 y2 x4 sin2 ydz 例 3 设 z uv sin t 而 u et v cos t 求全导数 dtdz z du z dv z 解 dt u dt v dt tv et u ( sin t) cos t etcos t e tsin t cos t et(cos t sin t) cos t例 4 设 w f(x y z xyz) f 具有二阶连续偏导数 解 令 u x y z v xyz 则 w f(u v)w 2w 求 x 及 xz引入记号f1f(u, uv)f12f (u,v) uv同理有 f2 f11 f22 等w xf uu xf vv xf1yzf22w xz z(f1yzf2)f1 zyf2yzf2 z f11 xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22 f11 y(x z) f12 yf2 xy2zf22注f1 zf1 uu zf1 vv zf11 xyf12例 5 设 u f(x y)的所有二阶偏导数连续f2 zf2 uu zf2 vv zf21 xyf22把下列表达式转换成极坐标系中的形式(u)2 (u)2 (1) x y(2) 2u x22u y2解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u f(x y) f( cosθ sinθ) F( θ)其中 xcosθ ysinθ x2 y2 arctan y x应用复合函数求导法则 得u xu xu xu x u y 2u cosu ysin u yu yu yu y u x 2u sinu cos 两式平方后相加 得(u x)2(uy)2(u)21 2(u)2再求二阶偏导数 得2u x2 (u x) x ( u ) x x (ucosu sin )cos (ucosu sin )sin 2u 2cos222u sin cos 2u 2sin 2 2u 2sin cos 2u sin2 同理可得2u y22u 2sin22 2u sin cos 2u 2cos 22u 2sin cos 2u cos2 两式相加 得2u x22u y22u 21 1 22u 21 2[ (u )2u 2]全微分形式不变性 设 z f(u v)具有连续偏导数 则有全微分dz z du z dv u v如果 z f(u v)具有连续偏导数 而 u (x y) v (x y)也具有连续偏导数 则dzz xdxz ydy(z u z v)dx(z u z v)dy u x v x u y v yz (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x yz uduz vdv由此可见 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数 它的全微分形式是一 样的 这个性质叫做全微分形式不变性例 6 设 z e usin v u x y v x y 利用全微分形式不变性求全微分dz z du z dv解u ve usin vdu e ucos v dve usin v(y dx x dy ) e ucos v(dx dy)( ye usin v e ucos v)dx (xe usin v e ucos v )dye xy [y sin(x y) cos(x y)]dx e xy [x sin(x y)cos(xy)]dy§8 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1设函数 F(x y)在点 P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0) 0 Fy(x0 y0) 0 则方程 F(x y) 0 在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导 数的函数 y f(x) 它满足条件 y0 f(x0) 并有求导公式证明将 y f(x)代入 F(xdy Fxdx Fyy) 0 得恒等式F(x f(x)) 0等式两边对 x 求导得F F dy 0 x y dx由于 F y 连续 且 Fy(x0 y0) 0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同 Fy 0 于是得dy Fx dx Fy例 1 验证方程 x2 y2 1 0 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在 x 0 的值解 设 F(x y) x2 y2 1 则 Fx 2x Fy 2y F(0 1) 0 Fy(0 1) 2 0 因 此由定理 1 可知 方程 x2 y2 1 0 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、 当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f(x)dy Fx x dx Fy ydy 0 dx x0d2y dx2y xy y2yx( y2x) yy2 x2 y31 y3d 2y dx2x01隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程 F(x y) 0 可以确定一个一元 隐函数 一个三元方程 F(x y z) 0 可以确定一个二元隐函数隐函数存在定理 2 设函数 F(x y z)在点 P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且 F(x0 y0 z0) 0 Fz(x0 y0 z0) 0 则方程 F(x y z) 0 在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯 一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z f(x y) 它满足条件 z0 f(x0 y0) 并有z Fx x Fz公式的证明 将 z f(x y)代入 F(x y z) 将上式两端分别对 x 和 y 求导 得z Fy y Fz0 得 F(x y f(xy)) 0FxFzz x0FyFzz y0因为 F z 连续且 F z(x0 y0 z0) 0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域得使Fz 0于是z Fx x Fzz Fy y Fz2z 例 2. 设 x2 y2 z2 4z 0 求 x2解 设 F(x y z) x2 y2 z2 4zz Fx 2x x x Fz 2z 4 2 z则 Fx 2xFy 2z 42z x2(2 x) x (2 z)2z x(2x) x( 2(2 z)2x z)(2 x)2 x2 (2 z)3二、方程组的情形在一定条件下 由个方程组 F(x y u v) 0 G(x y u v) 0 可以确定一对二 元函数 u u(x y) v v(x y) 例如方程 xu yv 0 和 yu xv 1 可以确定两个二元函数ux2y y2vx2x y2事实上xu yv 0v xu yyu x x u 1 yux2y y2vx yx2y y2x2x y2如何根据原方程组求u v 的偏导数 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设F (x y u v )、G (x y u v )在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F (x 0 y 0 u 0 v 0)0 G (x 0 y 0 u 0 v 0)0 且偏导数所组成的函数行列式v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)不等于零 则方程组F (x y u v )0 G (x y u v )0在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u u (xy )v v (x y ) 它们满足条件u 0u (x 0 y 0) v 0v (x 0 y 0) 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1vuv ux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1隐函数的偏导数:设方程组F (x y u v )0 G (x y u v )0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u u (x y ) v v (x y )则偏导数xu∂∂ x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定偏导数yu∂∂ y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定例3 设xu yv 0 yu xv 1 求xu∂∂ x v∂∂ y u ∂∂和y v ∂∂ 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u当x 2y 2 0时 解之得22y x yvxu xu ++-=∂∂ 22y x xvyu x v +-=∂∂两个方程两边分别对x 求偏导 得关于y u ∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x当x 2y 2 0时 解之得22y x yuxv y u +-=∂∂ 22y x yvxu yv ++-=∂∂另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udx vdy ydv xdu解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=dy yx yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=于是 22y x yv xu xu ++-=∂∂ 22y x yuxv y u +-=∂∂22yx xvyu x v +-=∂∂ 22y x yvxu yv ++-=∂∂例 设函数x x (u v ) y y (u v )在点(u v )的某一领域内连续且有连续偏导数 又0),(),(≠∂∂v u y x(1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点(x y u v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u u (x y ) v v (x y )(2)求反函数u u (x y ) v v (x y )对x y 的偏导数解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论(2)将方程组(7)所确定的反函数u u (x y )v v (x y )代入(7) 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xv v y x u u y x v v x x u u x 01由于J 0 故可解得vyJ x u ∂∂=∂∂1 u yJ x v ∂∂-=∂∂1同理 可得v xJ yu ∂∂-=∂∂1 ux J y v ∂∂=∂∂1§8 6多元函数微分学的几何应用一空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为 x(t )y(t ) z(t )这里假定(t ) (t ) (t )都在[ ]上可导在曲线上取对应于t t 0的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及对应于t t 0t 的邻近一点M (x 0+x y 0+y z 0+z )作曲线的割线MM 0 其方程为z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线 考虑t zz z t y y y tx x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000当M M 0即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量 T ((t 0) (t 0) (t 0))就是曲线在点M 0处的一个切向量法平面 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 (t 0)(x x 0)(t 0)(y y 0)(t 0)(z z 0)0例1 求曲线x t y t 2 z t 3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程解 因为x t 1 y t2t z t3t 2 而点(111)所对应的参数t 1所以T (1 2 3) 于是 切线方程为312111-=-=-z y x法平面方程为(x 1)2(y 1)3(z 1)0 即x 2y 3z 6讨论1 若曲线的方程为 y (x ) z (x ) 问其切线和法平面方程是什么形式 提示 曲线方程可看作参数方程 x x y(x ) z(x ) 切向量为T (1 (x ) (x ))2 若曲线的方程为F (x y z )0G (x y z )0 问其切线和法平面方程又是什么形式提示 两方程确定了两个隐函数 y (x ) z(x ) 曲线的参数方程为x x y (x ) z (x )由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz切向量为) ,,1(dxdz dx dy =T例2 求曲线x 2y 2z 26x y z 0在点(12 1)处的切线及法平面方程解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x解方程组得z y x z dx dy --= zy yx dx dz --=在点(1 2 1)处0=dx dy 1-=dx dz从而T (1 0 1)所求切线方程为110211--=+=-z y x法平面方程为(x 1)0(y 2)(z 1)0 即x z 0 解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x方程组在点(12 1)处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dxdz dx dydx dz dx dy解方程组得0=dx dy 1-=dx dz从而T (1 0 1)所求切线方程为110211--=+=-z y x法平面方程为(x 1)0(y 2)(z 1)0 即x z 0二曲面的切平面与法线设曲面的方程为F (x y z )0M 0(x 0 y 0 z 0)是曲面上的一点 并设函数F (x y z )的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M 0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为 x (t ) y (t ) z (t ) t t 0对应于点M 0(x 0 y 0 z 0) 且(t 0) (t 0) (t 0)不全为零 曲线在点的切向量为T ((t 0) (t 0) (t 0)) 考虑曲面方程F (x y z )0两端在t t 0的全导数 F x (x 0 y 0z 0)(t 0)F y (x 0y 0z 0)(t 0)F z (x 0y 0z 0)(t 0)0 引入向量n (F x (x 0 y 0 z 0) F y (x 0 y 0 z 0) F z (x 0 y 0 z 0))易见T 与n 是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M 0的任意一条曲线 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M 0的切平面 这切平面的方程式是。
第九章多元函数微分学(方向导数在前)总结
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
当函数在此点可微时那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在且有coscoscos设方向l的方向角为定义设函数内具有一阶连续偏导数则对于每一点最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题sincossincos上的单位向量由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值
x
y
图形为
空间中的超曲面.
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一 切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
则称 A 为函数
记作
P P0
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
第九章 多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()2[,,]f g x y y = 。
（2）设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。
（3）设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 。
（4）若22),(y x x y y x f -=+，则(,)_________f x y =。
（5）下列极限中存在的是（ ）A . y x y x y x +-→→)1(lim 00；B . 24200lim y x y x y x +→→； C .22200lim y x y x y x +→→； D . 2200lim y x xy y x +→→. 2.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y→+++； （2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y xy →+； （4）()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→；（5）1(,)(0,1)lim (1)x x y xy →+； （6）22(,)(,)lim ()x y x y x y e --→+∞+∞+。
3.证明极限(,)(0,0)lim x y x yx y →+-不存在。
4. 指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）x y x y z 2222-+=。
§9.2偏导数1.填空选择（1）设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,0 。
（2）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f 。
（3）已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂yz x z 。
(完整版)第九章多元函数微分法及其应用答案.doc
第九章 多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续 ，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的 必要 条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的 充分 条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的 隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （ ） xy cos(xy 2（ ） 22) ; （ ） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（ ） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （ ） 1 ; （C ） 12 ; （ ） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（ ） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
(前5节)复习第9章多元函数微分法及其应用(1)共73页
确定二重极限不存在的方法：
( 1 )令 P ( x ,y ) 沿 y k 趋 向 x 于 P 0 ( x 0 ,y 0 ) ,若 极 限 值
与 k 有 关 ， 则 可 断 言 极 限 不 存 在 ； limf(x,y)xy ykx yx2x
x 0
xy
y 0
(2)找 两 种 不 同 趋 近 方 式 ， 使 lim f(x,y)存 在 , (x,y)(x0,y0)
但 两 者 不 相 等 , 此 时 也 可 断 言 f(x,y)在 点 P0(x0,y0)处
极 限 不 存 在 ．
21
例5
考察
f
( x,
y)
xy x2 y2
当 ( x,
y) (0,0) 时的极限.
解
沿
x
轴考察,
lim
(x,y)(0,0)
f(x,
y)0，
y0
沿 y 轴考察, lim f(x, y)0，
去 心 邻 域 内 有 定 义 ,如 果 存 在 常 数 A， 对 0,0,
只 要 0 (xx0)2(yy0)2,恒 有 f(x,y)A，
则 称 函 数 z f(x ,y )当 (x ,y ) (x 0 ,y 0 )时 以 A 为 极
限 , 记 为
limf(x,y)A.
导 数 ， 为
lim f(x0,y0 y)f(x0,y0)
y 0
y
z
记为
，或
y x x0
y y0
z y x x 0 . y y0
z z 偏导函数: , ,
x y
或
zx ，zy .
说明: 1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.
多元函数微分法及其应用
1、多元函数存在的条件存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数接近某一确定值，我们还不能由此断定函数存在。
反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的不存在。
例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。
性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。
性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。
这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。
4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。
5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。
6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。
定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B2>0时具有极值，且当A0时有极小值;(2)AC-B27、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。
第九章 多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览
第九章 多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览1、求函数的定义域:略2、求函数的表达式:略。
如:已知(,)f x y xy +,求(,)f x y3、计算函数的极限:可以用一元函数极限的知识以及使用两边夹定理。
4、证明多元函数极限不存在:通常就是取两条不同的路径,计算出函数在这两条路径上的极限不等即可。
也可设,y kx y kx ==2等,证明极限值与k 有关。
如:,(,),xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩2222220005、讨论分界函数在分解点的连续性:只需按照连续的定义,lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=0000。
6、计算函数(,)z f x y =的偏导数:只需将其中一个变量瞧作常数,对另一个变量求导。
7、计算分界函数在分界点的偏导数:一般需用偏导数的定义做。
(,)(,)lim x x x x y y f x x y f x y z x=∆→=+∆-=∆0000000 (,)(,)lim x x y y y y f x y y f x y z y =∆→=+∆-=∆00000008、复合函数求偏导数口诀:分叉相加、分段相乘、单路全导、多路偏导。
9、隐函数求偏导数:(,)x y F dy F x y dx F =⇒=-0或y xF dy dx F =- (,,),y x z z F F z z F x y z x F y F ∂∂=⇒=-=-∂∂0或y x F dy dx F =- (假设(,)z f x y =)(,,,)(,,,)F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩00方程组两边分别对,x y 求偏导数,再用消元法求解即可。
(假设(,),(,)u u x y v v x y ==10、全微分的计算:(,)x y z f x y dz z dx z dy =⇒=+(,,)x y z u f x y z du u dx u dy u dz =⇒=++(,)z f x y =全微分存在的判断方法一:,x y z z 存在且连续(,)z f x y =全微分存在的判断方法二: 需要证明()lim x y z z x z y ρρ→∆-∆+∆=00,其中(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-,()()x y ρ=∆+∆2211、计算二阶偏导数:xx z 就是x z 对x 的偏导数,xy z 就是x z 对y 的偏导数。
多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用
今天开始我们就进入到多元函数微分学的学习了，上学期我们学习的导数、微分和积分都是针对一元函数的，也就是函数只依赖一个变量，但是在我们今后遇到的实际问题中，更多出现的却是要考虑多个变量的情况，这时我们就要用多元函数来表示它们之间的关系了。
比如地球表面上一点的温度T 同时依赖于纬度x 和经度y，可以用一个二元函数T=f(x,y) 来表示。
既然都是函数，那么函数的三要素必然满足，和一元函数一样，二元函数也是有定义域和值域的，一元函数的定义域是数轴上一个“线段”上的点的集合，而二元函数的定义域是x 和y 取值范围所组成的一个平面区域内的点的集合。
点集相关概念与区域
平面中任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系中的一种：
(1) 内点：如果存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)包含于D，则称P为D的内点；
(2) 外点：如果存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)∩D=Ф，则称P为D的外点；
(3) 边界点：如果点P的任一邻域内既含有属于D的点，又含有不属于D的点，则称P为D的边界点．D的边界点的全体称为D的边界，记作∂D．
【注】D的内点必属于D，D的外点必不属于D，D的边界点可能属于D，也可能不属于D．
(4) 开集：如果点集D的点都是D的内点，则称D为开集；
(5) 闭集：如果点集D的余集是开集，则称D为闭集；
(6) 连通集：如果点集D内任何两点，都可以用D中的折线连结起来，则称D为连通集；
(7) 开区域：连通的开集称为开区域或区域；
(8) 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域；
(9) 有界集：对于平面点集D，如果存在某一正数r，使得D包含于U(O,r)，其中O为原点，则称D为有界集．。
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第九章多元函数微分法及其应用刘生芝教学内容多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质，偏导数、全微分的概念, 全微分存在的必要条件和充分条件，复合函数、隐函数的微分法，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的极值和条件极值的概念，取得极值的必要条件与充分条件, 极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数最值的简单应用。
教学目的、要求1.理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续以及有界闭区域上连续函数的性质。
2.理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必要条件和充分条件。
3.理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。
4.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
5.会求隐函数的偏导数和全导数。
6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，掌握它们的方程的求法。
7.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。
重点与难点1、重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。
2、难点：多元复合函数的求导法则、隐函数存在定理。
第一节 多元函数的基本概念教学时数： 3课时教学方法与手段：利用多媒体，采用自学、讨论与启发式教学相结合教学目的与要求：掌握平面点集的一系列基本概念、多元函数的概念、二元函数的极限及其求法，了解多元函数连续以及有界闭区域上连续函数的性质。
教学重点：熟练掌握二元函数的极限及其求法教学难点：二元函数极限不存在的问题，取什么样的的路径一、多元函数的概念（1） 邻域：设),(000y x P 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数，与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，),(0δP U {}δ<=||0PP P {}.)()(|),(2020δ<-+-=y y x x y x（2）区域..)(E E E P E P U P P E 的内点属于的内点为，则称的某一邻域果存在点是平面上的一个点．如是平面上的一个点集，设⊂.为开集的点都是内点，则称如果点集E E例如，}41),{(221<+<=y x y x E 即为开集．的边界点．为），则称可以不属于，也本身可以属于的点（点的点，也有不属于于的任一个邻域内既有属如果点E P E E P E E P 的边界．的边界点的全体称为E E 是连通的．，则称开集且该折线上的点都属于线连结起来，内任何两点，都可用折是开集．如果对于设D D D D连通的开集称为区域或开区域．例如，}.41|),{(22<+<y x y x 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如，}.41|),{(22≤+≤y x y x无界点集．为有界点集，否则称为则称成立，对一切即不超过间的距离与某一定点，使一切点如果存在正数对于点集E E P K AP K AP A E P K E ∈≤∈ 例如, }.41|),{(22≤+≤y x y x 有界闭区域}0|),{(>+y x y x , 无界开区域.(3) 聚点设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，如果点P 的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点. 说明：内点一定是聚点；点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于E ．例如,}10|),{(22≤+<y x y x , (0,0) 是聚点但不属于集合．例如,}1|),{(22=+y x y x ,边界上的点都是聚点也都属于集合． （4）n 维空间设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组),,,(21n x x x 的全体为n 维空间，而每个n 元数组),,,(21n x x x 称为n 维空间中的一个点，数i x 称为该点的第i 个坐标.说明：n 维空间的记号为;n R n 维空间中两点间距离公式 设两点为),,,,(21n x x x P ),,,,(21n y y y Q.)()()(||2222211n n x y x y x y PQ -++-+-=特殊地当3,2,1=n 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离． n 维空间中邻域、区域等概念邻域：{}nR P PP P P U ∈<=,||),(00δδ 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．（5）二元函数的定义：设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点D y x P ∈),(，变量z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z 是变量y x ,的二元函数，记为),(y x f z =（或记为)(P f z =）.类似地可定义三元及三元以上函数． 当2≥n 时，n 元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 例1：求222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义域.解:⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≤22242y x y x 所求定义域为 }.,42|),{(222y x y x y x D >≤+≤= （6）多元函数)y ,x (f z =的图形设函数)y ,x (f z =的定义域为D ，对于任意取定的D )y ,x (P ∈，对应的函数值为)y ,x (f z =，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点)z ,y ,x (M ，当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集}D )y ,x (),y ,x (f z |)z ,y ,x {(∈=，这个点集称为二元函数的图形.二、多元函数的极限定义1 设函数)y ,x (f z =的定义域为)y ,x (P ,D 000是其聚点，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-+-=<202000)y y ()x x (|PP |的一切点，都有ε<-|A )y ,x (f |成立，则称A 为函数)y ,x (f z =当0x x →，0y y →时的极限， 记为 A )y ,x (f lim y y x x =→→0（或)(A )y ,x (f 0→→ρ这里|PP |0=ρ说明：（1）定义中0P P →的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim 0y x f y y x x →→（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例2 求证 01sin)(lim 222200=++→→yx y x y x 证明: 01sin)(2222-++y x y x 22221sin yx y x +⋅+=22y x +≤ ,0>∀ε,εδ=∃ 当δ<-+-<22)0()0(0y x 时,ε<-++01sin )(2222y x y x 证毕..)sin(lim 22200y x y x y x +→→ 解: 22200)sin(lim y x y x y x +→→,)sin(lim 2222200y x y x y x y x y x +⋅=→→其中y x y x y x 2200)sin(lim →→=1222y x y x +x 21≤,00−−→−→x .0)sin(lim 22200=+∴→→y x y x y x 例4 证明26300lim y x yx y x +→→不存在．证:3kx y = 26300l i m y x y x y x +→→ 6263303lim x k x kx x kxy x +⋅==→ ,12k k += 其值随k 的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：(1) 令),(y x P 沿kx y =趋向于),(000y x P ，若极限值与k 有关，则可断言极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，使),(lim 0y x f y y x x →→存在，但两者不相等，此时也可断言),(y x f 在点),(000y x P 处极限不存在．利用点函数的形式有n 元函数的极限定义2 设n 元函数)(P f 的定义域为点集0,P D 是其聚点，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<<||00PP 的一切点D P ∈，都有ε<-|)(|A P f 成立，则称A 为n 元函数)(P f 当0P P →时的极限，记为A P f P P =→)(lim 0.三、多元函数的连续性定义: 设n 元函数)(P f 的定义域为点集0,P D 是其聚点且D P ∈0，如果)()(lim 00P f P f P P =→则称n 元函数)(P f 在点0P 处连续.设0P 是函数)(P f 的定义域的聚点，如果)(P f 在点0P 处不连续，则称0P 是函数)(P f 的间断点.例5 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在(0,0)处的连续性．解:取,cos θρ=x θρsin =y )0,0(),(f y x f -= )cos (sin 33θθρ+=ρ2<,0>∀ε ,2εδ=∃当δ<+<220y x 时, ερ<<-2)0,0(),(f y x f),0,0(),(lim )0,0(),(f y x f y x =→ 故函数在(0,0)处连续.例6 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在(0,0)处的连续性．解:取kx y = 2200lim y x xyy x +→→ 22220lim x k x kx kx y x +==→ 21k k += 其值随k 的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质 （1）最大值和最小值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次． （2）介值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．)(lim 0P f P P →时，如果)(P f 是初等函数，且0P 是)(P f 定义域的内点，则)(P f 在点0P 处连续，于是).()(lim 00P f P f P P =→例7 求极限 .11limxyxy y x -+→→解:原式= )11(11lim00++-+→→xy xy xy y x 111lim0++=→→xy y x .21=四、小结：多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质思考题：若点),(y x 沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00y x 时，函数),(y x f 都趋向于A ，能否断定A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00？思考题解答:不能,例,)(),(24223y x y x y x f += )0,0(),(→y x取,kx y = 2442223)(),(x k x x k x kx x f +⋅= 00−−→−→x ,但),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在 原因为若取,2y x = 244262)(),(y y y y y y f += .41→五、教学后记第二节 偏导数教学时数： 2课时教学方法与手段：利用多媒体，采用自学、讨论与启发式教学相结合教学目的与要求：掌握多元函数偏导数的定义及偏导数的求法、多元函数高阶偏导数的求法教学重点：多元函数偏导数、高阶偏导数的求法 教学难点：偏导数存在但不连续的理解一、偏导数的定义及其计算方法1、定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量),(),(0000y x f y x x f -∆+， 如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记为0y y x x xz ==∂∂，0y y x x xf ==∂∂，00y y x x xz ==或),(00y x f x .同理可定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数， 为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000记为0y y x x yz ==∂∂，0y y x x yf ==∂∂，00y y x x yz ==或),(00y x f y .如果函数),(y x f z =在区域D 内任一点),(y x 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数),(y x f z =对自变量x 的偏导数， 记作x z ∂∂，xf ∂∂，x z 或),(y x f x . 同理可以定义函数),(y x f z =对自变量y 的偏导数，记作y z ∂∂，yf ∂∂，y z 或),(y x f y . 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如),,(z y x f u =在),,(z y x 处,),,(),,(lim),,(0xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆,),,(),,(lim ),,(0y z y x f z y y x f z y x f y y ∆-∆+=→∆.),,(),,(lim),,(0zz y x f z z y x f z y x f z z ∆-∆+=→∆例1求 223y xy x z ++=在点)2,1(处的偏导数．解：=∂∂x z ;32y x + =∂∂yz .23y x + =∂∂∴==21y x xz ,82312=⨯+⨯=∂∂==21y x yz 72213=⨯+⨯例2 设yx z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂ 证明：=∂∂x z ,1-y yx =∂∂yz ,ln x x y y z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=- .2z = 原结论成立. 例2设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz∂∂. 解：=∂∂xz xy x x y x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=|)|(2y y = .||22yx y +==∂∂yz yy x x y x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-222221132222)()(||y x xy y y x +-⋅+= yy x x 1sgn 22+-=)0(≠y=≠∂∂y x y z 不存在.例4 已知理想气体的状态方程RT pV =（R 为常数），求证：1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pTT V V p . 证明：⇒=V RT p ;2V RT V p -=∂∂ ⇒=p RT V ;p R T V =∂∂ ⇒=R pV T ;R Vp T =∂∂ =∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p 2V RT -p R ⋅ R V ⋅ pVRT-==-1 有关偏导数的几点说明： 1、 偏导数xu∂∂是一个整体记号，不能拆分; 2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；).0,0(),0,0(,),(,y x f f xy y x f z 求设例如==解：xx f x x 0|0|lim)0,0(0-⋅=→=0 ).0,0(y f = 例5：.),(,)0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数求设y x f y x y x yx xy y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=解：,)0,0(),(时当≠y x 22222)(2)(),(y x xy x y x y y x f x +⋅-+= ,)()(22222y x x y y +-= 22222)(2)(),(y x xy y y x x y x f y +⋅-+= ,)()(22222y x y x x +-=,)0,0(),(时当=y x 按定义可知x f x f f x x ∆-∆=→∆)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0=∆=→∆xx y f y f f y y ∆-∆=→∆)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0=∆=→∆yy ,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=y x y x y x x y y y x f x .)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=y x y x y x y x x y x f y３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数未必连续例如,函数⎪⎩⎪⎨=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x y x f ,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(==y x f f .但函数在该点处并不连续. 4、偏导数的几何意义设)),(,,(00000y x f y x M 是曲面),(y x f z =上一点，则偏导数),(00y x f x 就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率；偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.二、高阶偏导数函数),(y x f z =的二阶偏导数为),,(22y x f x z x z x xx =∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(22y x f y zy z y yy =∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 纯偏导 ),,(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(2y x f xy z y z x yx =∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设13323+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z∂∂∂2、y x z ∂∂∂2、22yz ∂∂及33x z ∂∂.解：x z ∂∂,33322y y y x --=yz ∂∂;9223x xy y x --=22x z ∂∂,62xy =33x z ∂∂,62y = 22y z ∂∂;1823xy x -=y x z ∂∂∂2,19622--=y y x xy z ∂∂∂2.19622--=y y x 例7 设by e u axcos =，求二阶偏导数.解：,cos by ae x u ax =∂∂;sin by be y u ax -=∂∂,cos 222by e a x u ax=∂∂,cos 222by e b yu ax -=∂∂ ,s i n 2by abe y x u ax-=∂∂∂.s i n 2by abe xy u ax -=∂∂∂问题：混合偏导数都相等吗？例8 设⎪⎩⎪⎨=≠+=)0,0(),(0)0,0(),(),(22y x y x y x y x f ，求),(y x f 的二阶混合偏导数.解：,)0,0(),(时当≠y x2223222)(2)(3),(y x y x x y x y x y x f x +⋅-+= ,)(232224222y x yx y x y x +-+=,)(2),(22223223y x y x y x x y x f y +-+= 当)0,0(),(=y x 时，按定义可知：x f x f f x x ∆-∆=→∆)0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0=∆=→∆xx y f y f f y y ∆-∆=→∆)0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0=∆=→∆y y y f y f f x x y xy ∆-∆=→∆)0,0(),0(lim)0,0(0=0xf x f f y y x yx ∆-∆=→∆)0,0()0,(lim)0,0(0=1显然 ).0,0()0,0(yx xy f f ≠问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z∂∂∂2在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．例9 验证函数22ln ),(y x y x u +=满足拉普拉斯方程.02222=∂∂+∂∂yux u证明：),ln(21ln 2222y x y x +=+ ,22y x x x u +=∂∂∴,22y x yy u +=∂∂ ,)()(2)(222222222222y x x y y x x x y x x u +-=+⋅-+=∂∂∴.)()(2)(222222222222y x y x y x y y y x y u +-=+⋅-+=∂∂ =∂∂+∂∂∴2222y u x u 2222222222)()(y x y x y x x y +-++-=0 证毕.三、小结偏导数的定义（偏增量比的极限） 偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数：纯偏导，混合偏导及其相等的条件.思考题：若函数),(y x f 在点),(000y x P 连续，能否断定),(y x f 在点),(000y x P 的偏导数必定存在？四、知识拓展三元函数、四元函数……直至n 元函数混合偏导数是什么？混合偏导数的个数是多少等一系列问题五、教学后记：第三节 全微分及其应用教学时数： 2课时教学方法与手段：利用多媒体，采用自学、讨论与启发式教学相结合教学目的与要求：掌握全微分的概念、可微的条件及全微分在近似计算中的应用 教学重点：掌握全微分的概念、可微的必要条件与充分条件 教学难点：可微的充分条件的证明一、 全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得),(),(y x f y x x f -∆+ x y x f x ∆≈),(),(),(y x f y y x f -∆+y y x f y ∆≈),(二元函数对x 和对y 的偏增量； 二元函数对x 和对y 的偏微分 全增量的概念如果函数),(y x f z =在点),(y x 的某邻域内有定义，并设),(y y x x P ∆+∆+'为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(y x f y y x x f -∆+∆+为函数在点P 对应于自变量增量y x ∆∆,的全增量，记为z ∆，即z ∆=),(),(y x f y y x x f -∆+∆+全微分的定义如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中B A ,不依赖于y x ∆∆,而仅与y x ,有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分，记为dz ，即 dz =y B x A ∆+∆.函数若在某区域D 内各点处处可微分，则称这函数在D 内可微分. 如果函数),(y x f z =在点),(y x 可微分, 则函数在该点连续. 事实上 ),(ρo y B x A z +∆+∆=∆ ),(ρo y B x A z +∆+∆=∆),(lim 00y y x x f y x ∆+∆+→∆→∆ ]),([lim 0z y x f ∆+=→ρ ),(y x f =故函数),(y x f z =在点),(y x 处连续.二、 可微的条件定理1（必要条件） 如果函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂必存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为 y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=． 一元函数在某点的导数存在则微分存在；若多元函数的各偏导数存在，全微分一定存在吗？.0),(222222⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=y x y x yx xyy x f 在点)0,0(处有 0)0,0()0,0(==y x f f ；])0,0()0,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆ ,)()(22y x y x ∆+∆∆⋅∆=如果考虑点),(y x P ∆∆'沿着直线x y =趋近于)0,0(，则ρ22)()(y x yx ∆+∆∆⋅∆ 22)()(x x xx ∆+∆∆⋅∆=,21= 说明它不能随着0→ρ而趋于0,故函数在点)0,0(处不可微. 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂、yz∂∂在点),(y x 连续，则该函数在点),(y x 可微分．习惯上，记全微分为.dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．.dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=例1 计算函数xye z =在点)1,2(处的全微分. 解：,xy ye x z =∂∂ ,xy xe y z =∂∂ ,2)1,2(e x z=∂∂,22)1,2(e y z =∂∂ 所求全微分 .222dy e dx e dz +=例2 求函数)2cos(y x y z -=，当4π=x ，π=y ，4π=dx ，π=dy 时的全微分. 解：),2sin(y x y x z --=∂∂ ),2sin(2)2cos(y x y y x yz -+-=∂∂ dy y z dx x z dz ),4(),4(),4(ππππππ∂∂+∂∂=).74(82ππ-=例3 计算函数yz e yx u ++=2sin的全微分. 解：,1=∂∂x u ,2cos 21yz ze y y u +=∂∂ ,yz ye z u =∂∂ 所求全微分 .)2cos21(dz ye dy ze ydx du yz yz +++= 例4 试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在点)0,0(不连续，而f 在点)0,0(可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分)0,0(),(≠y x ，)0,0(),(=y x 讨论. 多元函数连续、可导、可微的关系偏导数连续函数一定可微；可微一定可导；可微一定连续；其它则未必。