2015年高考数学(理科)新一轮总复习考点突破课件：3.8应用举例课件

• (2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海 里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦 截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海 里内的海域，试确定海监船的航向，并求 其速度的最小值．
• (参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8)
【解】 (1)依题意，在△ABD 中，∠DAB＝45°，由余弦定理得， DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB ＝(14 2)2＋162－2×14 2×16× 22＝200， 所以 DB＝10 2. 即此时该外国船只与 D 岛的距离为 10 2海里．
• 答案：B
• (2)甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼 顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯 角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ________．
解析：如图，依题意有甲楼的高度为
AB＝20·tan 60°＝20 3(米)，又 CM＝
DB＝20(米)，∠CAM＝60°，所以 AM＝
CM·tan160°＝203 3(米)，故乙楼的高度为
两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB ＝45°，求 A、B 之间的距离． 解：如图所示， 在△ACD 中， ∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， ∴AC＝CD＝ 3 km.
在△BCD 中，∠BCD＝45°，
∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝
则 BE＝8 2－6 2＝2 2. 在 Rt△AEC 中，AE＝ AC2＋CE2＝10 2， sin∠EAC＝CAEE＝35， 所以∠EAC≈36°52′.
又外国船只到达点 E 的时间 t＝B4E＝242＝ 22(小时)， 所以海监船速度 v≥AtE＝10 22＝20(海里/小时)．
2 故海监船的航向为北偏东约 90°－36°52′＝53°08′，速度的最小 值为每小时 20 海里．
解析：AB＝ACsin β，sAinCα ＝sin∠DCDAC＝sinβa－α， 解得 AB＝assiinnβα－sinαβ. 答案：assiinnβα－sinαβ
题型三 测量角度问题 (2014·福建质检)如图，我国的海监船在 D 岛海域例行维权
巡航，某时刻航行至 A 处，此时测得其东北方向与它相距 16 海里的 B 处有一外国船只，且 D 岛位于海监船正东 14 2海里 处． (1)求此时该外国船只与 D 岛的距离；
答案：B
()
• 解三角形应用题的两种情形
• (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知
量全部集中正在弦定一理个三余角弦形定理中，可用
或
求解．
• (2)实际问题经抽象概括后，已知量够与条未件知的
量涉及到两个或两个以上的三角形，这时
需作出这些三角形，先解
．
• 题型一 测量距离问题
•
某人在M汽车站的北偏西20°的方
则 sin2C＝1－cos2C＝433122，sin C＝1231 3， 所以 sin∠MAC＝sin(120°－C)＝sin 120°cos C－cos 120°sin C＝
35 3 62 .
在△MAC 中，由正弦定理得 MC＝ACsisni∠n∠AMMCAC＝ 313×3562 3＝35，
2 从而有 MB＝MC－BC＝15(千米)， 所以汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站．
援，则cos θ等于
•( )
21 A. 7
21 B. 14
3 21 C. 14
21 D. 28
解析：如图所示，在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以
BC＝20 7.
由正弦定理，得
sin∠ACB＝BACB·sin∠BAC＝
CD＝20 3－203 3＝403 3(米)．
答案：20 3米
40 3
3米
• 2．方位角
• 从指北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α，(如图②)．
• 3．方向角 • 相对于某一正方向的水平角(如图③)
• ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α° 到达目标方向．
• ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α° 到达目标方向．
• 【归纳提升】 对于和航行有关的问题， 要抓住时间和路程两个关键量，解三角形 时将各种关系集中在一个三角形中利用条 件．
• 针对训练 • 3．如图所示，位于A处的信息中心获悉： • 在其正东方向相距40海里的B处有一 • 艘渔船遇险，在原地等待营救．信息 • 中心立即把消息告知在其南偏西30°、 • 相距20海里的C处的乙船，现乙船朝 • 北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救
第8课时 应用举例
• (一)考纲点击
• 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题．
• (二)命题趋势
• 通过近三年的高考试题分析，对用正、 余弦定理解决实际问题的考查有所减少．预 计在今后的高考中会有加大考查力度的趋势， 主要考查测量距离和高度问题，属于中档题 目．
(2)由(1)得 sin A＝12，又由正弦定理及 a＝ 3得
S＝12bcsin A＝12·assiinnAB·asin C
＝3sin Bsin C，8 分
因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C) ＝3cos(B－C).10 分 所以，当 B＝C，即 B＝π－2 A＝1π2时， S＋3cos Bcos C 取最大值 3.12 分
• 【解】 根据已知题意，作出示意图，则 ∠CAD＝60°，∠CBD＝30°，∠ADB＝
60°，
设瞭望塔高为 h，则在 Rt△BCD 中，BD＝tanh30°＝ 3h，在 Rt△
ACD 中，AD＝tanh60°＝
1， 3h
∴在△ABD 中，由余弦定理得，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos 60°
• 【归纳提升】 这类实际应用题，实质就 是解三角形问题，一般都离不开正弦定理 和余弦定理，在解题中，首先要正确地画 出符合题意的示意图，然后将问题转化为 三角形问题去求解．
• 注意：①基线的选取要恰当准确；②选取 的三角形及正、余弦定理要恰当．
针对训练 1．要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C、D
向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公
路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东
40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，
汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千
米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽
车站？
【解】 由题设，画出示意图，设汽车前进 20 千米后到达 B 处．在 △ABC 中，AC＝31，BC＝20，AB＝21，由余弦定理得 cos C＝ AC2＋2ABCC·B2－C AB2＝2331，
• 【失分警示】 1.想不到利用余弦定理求角 A而失分；
• 2．忽视考虑角A的范围而导致失分；
• 3．不会利用三角形面积公式转化为三角函 数问题而失分；
• 4．不会利用A＋B＋C＝π及B＝C求角B而 失分．
s3isnin607°5°＝
6＋ 2
2 .
在△ABC 中，由余弦定理，得
AB2＝(
3)2＋
6＋ 2
22－2×
3×
6＋ 2
2×cos 75°
＝3＋2＋ 3－ 3＝5，
∴AB＝ 5(km)，∴A、B 之间的距离为 5km.
题型二 测量高度问题
在地面 A、B 两点仰望一瞭望塔 CD 的顶部 C，得仰角分 别为 60°、30°，又在塔底 D 测得 A、B 的张角为 60°，已知 AB ＝10 21米，试求瞭望塔的高度．
21 7.
由∠BAC＝120°，知∠ACB
为锐角，故
cos∠ACB＝2
7
7 .
故 cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos
30°－sin∠ACBsin
30°＝
21 14 .
答案：B
满分指导：三角形中面积公式的应用 【典例】 (满分 12 分)(2013·重庆)在△ABC 中，内角 A，B，C 的
即(10· 21)2＝13h2＋3h2－h2，
∴h＝30(米)
• 【归纳提升】 在测量高度时，要正确理 解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图， 恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理 逐步进行求解．注意综合应用方程和平面 几何、立体几何等知识．
• 针对训练
• 2．如图所示，B，C，D三点在地面的同一 直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的 仰角分别为β和α(α＜β)，则A点距地面的高 AB为________．
• 1．仰角和俯角
• 在视线和水平线所成的角中，视线在水 平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角 叫俯角(如图①)．
• 对点演练
• (1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的 俯角为β，则α，β的关系为
•( )
• A．α＞β
B．α＝β
• C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
• 解析：根据仰角与俯角的定义易知α＝β.
答案：A
• 4．坡度 • ①定义：坡面与水平面所成的二面角的
度数(如图④，角θ为坡角)．
②坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比(如图④，i为 坡比)．
对点演练
如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设 α 为坡角，那么 cos α 等于
3
4
A.5
B.5
3
4
C.4
D.3
解析：因为 tan α＝34，所以 cos α＝45.
对边分别为 a，b，c，且 a2＝b2＋c2＋ 3bc. (1)求 A； (2)设 a＝ 3，S 为△ABC 的面积，求 S＋3cos Bcos C 的最大 值，并指出此时 B 的值．