13.2.4 三角形全等的条件(四)

§13．2．4 三角形全等的条件（四）
第五课时
教学目标
（一）教学知识点
直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．
（二）能力训练要求
1．经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．
2．掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．
3．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
（三）情感与价值观要求
通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神．教学重点：探究直角三角形全等的条件．
教学难点：灵活运用三角形全等的条件证明．
教学方法：启发式．
教具准备：多媒体课件．
教学过程
Ⅰ．创设情境，导入新课
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（播放课件）
（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
（1）[生]能有两种方法．
第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．
第二种方法：用直尺量出不被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个直角三角形全等．
可是，没有量角器，只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，可是它们又不是“两边夹一角的关系”，所以我没法判定它们全等．
[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长，发现它们对应相等，于是他判断这两个三角形全等．你相信吗？
Ⅱ．导入新课
[生]这两个三角形都是直角三角形，也许是全等的．因为它还有直角这个特殊条件．
[师]有道理．但科学是严密的，今天我们就来探究“两个直角三角形全等的条件”．做一做：
已知线段AB=5cm，BC=4cm和一个直角，利用尺规做一个直角三角形，使∠C=•90°，AB作为斜边．做好后，将△ABC剪下与同伴比较，看能发现什么规律？
（学生自主完成后，与同伴交流作图心得，然后由一名同学口述作图方法．老师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）．
作法：
第一步：作∠MCN=90°．
第二步：在射线CM 上截取CB=4cm ．
第三步：以B 为圆心，5cm 为半径画弧交射线CN 于点A ．
第四步：连结AB ．
就可以得到所想要的Rt △ABC ．（如下图所示）
将Rt △ABC 剪下，同一组的同学做的三角形叠在一起，发现
这些三角形全等．
可以验证，对一般的直角三角形也有这样的规律．
探究结果总结：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简
写成“斜边、直角边”和“HL ”）．
[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？
[生]直角三角形也是三角形，一般来说，可以用“定义、SSS 、SAS 、•ASA•、•AAS ”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL ”的方法判定．
[师]很好，两直角三角形中由于有直角相等的条件，所以判定两直角三角形全等只须找两个条件，但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才行．
议一议：
[例1]如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD ．
求证：BC=AD ．
分析：BC 和AD 分别在△ABC 和△ABD 中，所以只须证明△ABC ≌△BAD ，
•就可以证明BC=AD 了．
证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt △ABC 和Rt △BAD 中
A B A B
A C
B D =⎧⎨=⎩
∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）
∴BC=AD ．
[例2]如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高
AC•与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两滑梯倾斜角∠ABC
和∠DFE 有什么关系？
[师生共析]∠ABC 和∠DFE 分别在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，
•已知条件中这两个三角形又有一些对应的等量关系，所以可以
证明这两个三角形全等得到对应角相等，显然，可以看出这两
个角不相等，它们又是直角三角形中的锐角，是不是互余呢？
我们试试看．
证明：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中
BC EF AC D F =⎧⎨=⎩
所以Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC 与∠DFE 互余．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P101练习1、2．
（二）补充练习
1．①两直角三角形，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等，•是根据两三角形全等的“__________”
条件．
②两直角三角形，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“__________”
条件．
③两直角三角形，一个锐角、一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的
“_________”条件．
④两直角三角形全等的特殊条件是_________和_________对应相等．
2．如图，∠ACB=∠ADB=90°，要使△ABC ≌△BAD ，还需增加一个什么条件？•把增加的条件填在横线上，并在后面的括号中填上判定全等的理由．
①____________（ ）
②____________（ ）
③____________（ ）
④____________（ ）
3．如图所示，AC=AD ，∠C=∠D=90°，你能说明BC=BD 吗？
4．已知∠AOB ，你能否只用一块三角板，作出∠AOB 的角平分线？•说明作法与理由．
参考答案：
1．①SAS ②AAS ③ASA 或AAS ④斜边 一条直角边
2．①AC=BD HL
②BC=AD HL
③∠CAB=∠DBA AAS
④∠CBA=∠DAB AAS
3．在Rt △ABC 和Rt △ABD 中
A B A B A C A D =⎫⇒⎬=⎭
Rt △ABC ≌Rt △ABD ⇒BC=BD 4．可以．
作法：在OA 、OB 上分别取OM=ON ，过M 、N 用三角板分别作OA 与OB 的垂线，两垂线交于一点P ．连结OP ，OP 就是∠AOB 的角平分线．如图所示．
理由：
在Rt △OMP 和Rt △ONP 中
O P O P
O M O N =⎧⎨=⎩
∴Rt △OMP ≌Rt △ONP
∴∠MOP=∠NOP ．
Ⅳ．课时小结
通过本节学习，我们有如下收获：
1．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，•而且还有直角三角形特殊的判定方法──“HL ”．
2．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，•所以判定两个直角三角形全等，只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）即可．
Ⅴ．课后作业
1．课本习题13．2─7、8、12题．
2．学完全等三角形的条件，你有什么收获？
板书设计
§13．2 三角形全等的条件（四）
一、直角三角形全等的条件：
“斜边、直角边”或“HL ”．
二、议一议：
例1： 例2：
三、练一练
四、课时小结。