平面直角坐标系典型例题含答案
北师大版数学八年级上册第三章位置与坐标知识点归纳及例题(含答案)
北师大版八年级上册第三章位置与坐标知识点归纳及例题1 平面直角坐标系【要点梳理】知识点一、确定位置的方法有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）.知识点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).知识点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的. 2.点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.知识点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．知识点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．知识点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征知识点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．【典型例题】类型一、确定物体的位置1．如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平面内点的位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．2．如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°）．按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时，其中表示不正确的是（）A．A（5，30°）B．B（2，90°）C．D（4，240°）D．E（3，60°）【思路点拨】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选项即可得解．【答案】D．【解析】由题意可知A、B、D、E的坐标可表示为：A（5，30°），故A正确；B（2，90°），故B正确；D（4，240°），故C正确；E（3，300°），故D错误．【总结升华】本题考查了学生的阅读理解能力，由已知条件正确确定点的位置是解决本题的关键．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念3.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A 点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(－2，1)，D(－1，－2)．【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了动物园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道马场的坐标为（﹣3，﹣3），你能帮她建立平面直角坐标系并求出其他各景点的坐标？【答案】解：建立坐标系如图：∴南门（0，0），狮子（﹣4，5），飞禽（3，4）两栖动物（4，1）．4.如图，四边形OABC 各个顶点的坐标分别是O （0，0），A （3，0），B （5，2），C （2，3）．求这个四边形的面积．【思路点拨】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，然后利用S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF 进行计算．【答案与解析】解：分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，则E（5，3），所以S四边形ABCO =S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2=．【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为．【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征5. 已知点P（2m+4，m﹣1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．（1）点P的纵坐标比横坐标大3；（2）点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上．【思路点拨】（1）根据横纵坐标的大小关系得出m﹣1﹣（2m+4）=3，即可得出m 的值，进而得出P点坐标；（2）根据平行于x轴点的坐标性质得出m﹣1=﹣3，进而得出m的值，进而得出P点坐标．【答案与解析】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1），点P的纵坐标比横坐标大3，∴m﹣1﹣（2m+4）=3，解得：m=﹣8，∴2m+4=﹣12，m﹣1=﹣9，∴点P的坐标为：（﹣12，﹣9）；（2）∵点P在过A（2，﹣3）点，且与x轴平行的直线上，∴m﹣1=﹣3，解得：m=﹣2，∴2m+4=0，∴P点坐标为：（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据已知得出关于m的等式是解题关键．举一反三：【变式】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（－5,2）；（5，2），（－5,2），（5，－2），（－5，－2）.2 坐标平面内图形的轴对称和平移【知识点梳理】知识点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.知识点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．知识点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．知识点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．已知点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a ＋b ，1－b ），则的值为_______.【思路点拨】根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a ＋b ＝－3，1－b ＝－1，再解方程可得a 、b 的值，进而算出的值．【答案】25【解析】解：∵点P （3，－1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a ＋b ，1－b ），∴a ＋b ＝－3，1－b ＝－1，解得：b ＝2，a ＝－5，＝25，【总结升华】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式】点（3，2）关于x 轴的对称点为（ ）A ．（3，－2）B ．（－3，2）C ．（－3，－2）D ．（2，－3）【答案】A ．2.已知点A(－3，2)与点B(x ，y)在同一条平行于y 轴的直线上，且点B 到x 轴的距离等于3，求点B 的坐标．b a b a b a【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝－3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝－3．∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,－b)在第象限；（2）点P2（－a ,b)在第象限；（3）点P3（－a ,－b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型二、用坐标表示平移3.在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．【答案】（0，﹣3）．【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).度，变为P′（0，1）．【答案】2、4．4. 如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），（1）求△ABO的面积．（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．【思路点拨】（1）把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积；（2）根据点的坐标平移的规律，用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可．【答案与解析】解：（1）如图所示：S=3×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×2×2=5；△ABO（2）A′（2，0），B′（4，﹣2），O′（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了点的平移，以及求三角形的面积，当计算一个三角形的面积时，可以把它放在一个矩形里，然后用矩形的面积减去周围三角形的面积．举一反三：【变式】如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．3《平面直角坐标系》全章复习与巩固【知识网络】【知识点梳理】要点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.知识点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：知识点诠释：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1- x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1- y2|．③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1- x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1- y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.知识点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．知识点诠释：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．知识点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．(2)图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 要点诠释：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【典型例题】 类型一、有序数对1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a ，b)进入其中时，会得到一个新的数：．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中得到数m ，再将数对(m ，1)放入其中，得到的数是________． 【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入求值即可． 【答案】66 .【解析】解：将(-2，3)代入，，得(-2)2+3+1＝8， 再将(8，1)代入，得82 +1+1＝66， 故填：66．【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）放入其中得到实数m ，解出m 的值，即可求出把（m ，1）放入其中得到的数． 举一反三：【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________． 【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米. 类型二、平面直角坐标系2. 第三象限内的点P(x ，y)，满足|x|＝5，y 2＝9，则点P 的坐标为________． 【思路点拨】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x ，y 的具体值．21a b ++21a b ++21a b ++【答案】(-5，-3).【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又点P(x，y)在第三象限，所以x＜0，y＜0，故点P的坐标为(-5，-3)．【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．举一反三：【变式1】 (乐山)在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为( ) ． A．3 B．-3 C．4 D．-4【答案】C.【变式2】 (长春)如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( ) ．A．(5，2) B．(-6，3) C．(-4，-6) D．(3，-4)【答案】D.类型三、坐标方法的简单应用3.如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3）．完成以下问题：（1）请根据题意在图上建立直角坐标系；（2）写出图上其他地点的坐标（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置．【思路点拨】（1）根据图书馆、行政楼的坐标分别为（﹣3，2），（2，3），可以建立合适的平面直角坐标系，从而可以解答本题；（2）根据（1）中的平面直角坐标系可以写出其它地点的坐标；（3）根据点P（﹣1，﹣3）可以在直角坐标系中表示出来．【答案与解析】解：（1）由题意可得，（2）由（1）中的平面直角坐标系可得，校门口的坐标是（1，0），信息楼的坐标是（1，﹣2），综合楼的坐标是（﹣5，﹣3），实验楼的坐标是（﹣4，0）；（3）在图中用点P表示体育馆（﹣1，﹣3）的位置，如下图所示，【总结升华】本题考查利用坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标系．4.如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积．【思路点拨】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，然后利用S 四边形ABCO=S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF 进行计算．【答案与解析】解：分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，则E （5，3），所以S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF=5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2 =．【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．5.△ABC 三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．(1)将△ABC 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A 1B 1C 1的三个顶点坐标分别是什么?(2)将△ABC 三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A 2、B 2、C 2，依次连接A 2、B 2、C 2各点，所得△A 2B 2C 2与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? (3)将△ABC 三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A 3、B 3、C 3，依次连接A 3、B 3、C 3各点，所得△A 3B 3C 3与△ABC 的大小、形状和位置上有什么关系? 【答案与解析】解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)．(2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到．(3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到．【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5）B．（﹣8，5）C．（﹣8，﹣1）D．（2，﹣1）【答案】D．解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．类型四、综合应用6. 三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C （4，-3.5）．（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；（3）求出三角形A1B1C1的面积．【思路点拨】（1）建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可．（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，即三角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形．（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积．【答案与解析】解：（1）如图1，（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25．∴△A1B1C1的面积=3.25．【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。
专题14 数轴和平面直角坐标系问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(解析版)
专题14 数轴和平面直角坐标系问题一、基础知识1.数轴的概念在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
数轴要满足以下要求：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示1，2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。
分数或者小数也可以用数轴上的点表示。
2.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）3.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
4.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
5.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
6.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
二、本专题典型问题考法及解析【例题1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b【答案】D【解析】利用数轴上a，b所在的位置，进而得出a以及﹣b的取值范围，进而比较得出答案．A.如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；B.如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；C.如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；D.由选项C可得，此选项正确．【例题2】在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）【答案】C【解析】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．根据关于原点对称的点的坐标特点解答．点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5）三、数轴与平面直角坐标系问题训练题及其答案和解析1．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0【答案】D【解析】实数与数轴．根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，然后即可作出判断．根据点a、b在数轴上的位置可知1＜a＜2，﹣1＜b＜0，∴ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，a﹣b＞0．2．如图，点A所表示的数的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C． D．【答案】A【解析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可．|﹣3|=33．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|= ．【答案】﹣b．【解析】首先根据数轴即可确定a，b的符号，然后根据算术平方根的定义、绝对值的性质即可化简．根据数轴可得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，则﹣|a﹣b|=﹣a﹣（b﹣a）=﹣a﹣b+a=﹣b4.点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：甲：b -a <0； 乙：a +b >0；丙：|a |<|b |；丁：0b a. 其中正确的是（ ）A ．甲乙B ．丙丁C ．甲丙D ．乙丁 【答案】C.【解析】观察数轴可得，甲：b -a <0正确； 丙：|a |<|b |正确。
平面直角坐标系例题讲解及答案
平面直角坐标系一. 重点、难点：1. 重点：认识并画出平面直角坐标系；建立适当的直角坐标系，描述物体的位置，能根据点的位置写出坐标，根据坐标描出点的位置。
2. 难点：根据具体问题建立合适的平面直角坐标系，确定点的位置或描述点的坐标。
二. 教学知识要点：1. 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，这样就组成了平面直角坐标系。
说明：一般把一条画成水平的，取向右的方向为正方向，称它为x 轴或横轴。
一条画成铅直的且取向上的方向为正方向，称它为y 轴或纵轴。
2. 坐标轴上的点及各种对称点的坐标特征。
（1）坐标轴上的点的坐标特征：x 轴上的点，纵坐标为0，可记为（x ，0）y 轴上的点，横坐标为0，可记为（0，y ）原点O 的坐标为（0，0）（2）对称点的坐标特征：点P （a ，b ）关于x 轴的对称点坐标为P 1（a ，-b ）点P （a ，b ）关于y 轴的对称点坐标为P 1（-a ，b ）点P （a ，b ）关于y 轴的对称点坐标为P 1（-a ，-b ）（3）平行于坐标轴的直线的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点，纵坐标相同。
平行于y 轴的直线上的任意两点，横坐标相同。
3. 坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系有序实数对（x ，y ）与平面内的点构成一一对应的关系。
4. 坐标平移公式若M 点的坐标为（x ，y ），将M 点平移到M'点的坐标为（x'，y'），则 其中，当a ＞0时，M 点向右平移a 个单位到M'当a ＜0时，M 点向左平移|a|个单位到M'当b ＞0时，M 点向上平移b 个单位到M'当b ＜0时，M 点向下平移|b|个单位到M'【典型例题】例1. 已知两点A （0，2），B （4，1），点P 是x 轴上一点，求PA ＋PB 的最小值。
解：如图1，作B 点关于x 轴的对称点B'，连AB'，交x 轴于点P ，又作B'C ⊥y 轴于Cx x a y y b ''=+=+⎧⎨⎩图1 图2 图3由平面几何知识知，这时PA ＋PB 最小，且等于AB'的长度∵B 与B'关于x 轴对称∴B'的坐标为（4，-1）∴PA ＋PB 的最小值为5说明：若在Rt △ABC 中，两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则有c 2＝a 2＋b 2。
初二平面直角坐标系知识点及习题
平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系画平面直角坐标系时， x 轴、y 轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。
2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 点P （x,y ），则x ＞0, y ＞0；第二象限：（-，+） 点P （x,y ），则x ＜0, y ＞0；第三象限：（-，-） 点P （x,y ），则x ＜0, y ＜0；第四象限：（+，-） 点P （x,y ），则x ＞0, y ＜0；在x 轴上：（x,0） 点P （x,y ），则y ＝0；在x 轴的正半轴：（+，0） 点P （x,y ），则x ＞0, y ＝0；在x 轴的负半轴：（—，0） 点P （x,y ），则x ＜0, y ＝0；在y 轴上：（0,y ） 点P （x,y ），则x ＝0；在y 轴的正半轴：（0，+） 点P （x,y ），则x ＝0, y ＞0；在y 轴的负半轴：（0，—） 点P （x,y ），则x ＝0, y ＜0；坐标原点：（0，0） 点P （x,y ），则x ＝0, y ＝0；3、点到坐标轴的距离：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|， 到y 轴的距离为 |x|到坐标原点的距离为d=y x 224、点的对称：点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n),关于y 轴的对称点坐标是(-m,n)关于原点的对称点坐标是(-m,-n)5、平行线：平行于x 轴的直线上的点的特征：纵坐标相等；平行于y 轴的直线上的点的特征：横坐标相等。
6、象限角的平分线：。
点P(a,b)(b, a) 第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)7、点的平移：在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）；将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x-a ，y ）；将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。
平面直角坐标系复习讲义(知识点+典型例题)
D、第四象限.
【例 3】点 P（m，1）在第二象限内，则点 Q（-m，0）在（ ）
A．x 轴正半轴上 B．x 轴负半轴上 C．y 轴正半轴上 D．y 轴负半轴上
【例 4】（1）在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，则 a＝ ，点的坐标为
。
（2）当 b=______时,点 B(-3,|b-1|)在第二、四象限角平分线上.
电量为 8 千瓦时，则应交电费 4.4 元；④若所交电费为 2.75 元，则用电量为 6 千瓦时，其中正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【例 7】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出了故障，他只好停下来修车．车修好后，因怕
耽误上课，故加快速度继续匀速行驶赶往学校．如图是行驶路程 S（米）与时间 t（分）的函数图象，那么符合小明骑
D． ．
11、星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离 y（千米）与时间 t（分钟）的关系如图所示．根 据图象回答下列问题：
2
2
巩固练习
5
1、下列 各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2、下列平面直角坐标系中的图象，不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、下列四个选项中，不是 y 关于 x 的函数的是（ ）
A．|y|=x﹣1 B．y=
C．y=2x﹣7 D．y=x2
4、下列四个关系式：（1）y=x；（2） y x2 ；（3） y x3 ；（4） y x ，其中 y 不是 x 的函数的是（ ）
．
【例 8】在坐标系内，点 P（2，－2）和点 Q（2，4）之间的距离等于
七年级数学平面直角坐标系典型例题及答题技巧
七年级数学平面直角坐标系典型例题及答题技巧单选题1、点A(−3,−5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（）A．(1,−8)B．(1,−2)C．(−6,−1)D．(0,−1)答案：C解析：利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．解：点A的坐标为（−3，−5），将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，点B的横坐标是：−3−3=−6，纵坐标为：−5+4=−1，即（−6，−1）．故选：C．小提示：本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．2、若y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，则点P的坐标为（）A．（0，2）B．（2，0）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）答案：D解析：点P在y轴上则该点横坐标为0，据此解答即可．∵y轴负半轴上的点P到x轴的距离为2，∴点P的坐标为（0，﹣2）．本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，y轴上的点的横坐标为0．3、在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）答案：B解析：在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.故选B.小提示：本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.4、下面四个点位于第四象限的是（）A．(−1,2)B．(−2,−2)C．(2,5)D．(6,−2)答案：D解析：根据直角坐标系中，不同象限内点的坐标特点，依次对四个选项进行判断即可求解．A．(−1,2)，因为-1<0，2>0，所以(−1,2)在第二象限，故A不符合题意B．(−2,−2)，因为-2<0，所以(−2,−2)在第三象限，故B不符合题意C．(2,5)，因为2>0，5>0，所以(2,5)在第一象限，故C不符合题意D．(6,−2)，因为6>0，-2<0，所以(6,−2)在第四象限，故D符合题意本题考查了直角坐标系中不同象限内点的坐标特点，第四象限内的点，横坐标大于零，纵坐标小于零．5、以下能够准确表示宣城市政府地理位置的是（）A．离上海市282千米B．在上海市南偏西80°C．在上海市南偏西282千米D．东经30.8°，北纬118°答案：D解析：根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．解：能够准确表示宣城市政府地理位置的是：东经30.8°，北纬118°．故选：D．小提示：本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．6、在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）答案：A解析：点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选A．7、某班级第3组第4排的位置可以用数对(3，4)表示，则数对(1，2)表示的位置是( )A．第2组第1排B．第1组第1排C．第1组第2排D．第2组第2排答案：C解析：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小.故某班级第3组第4排位置可以用数对(3,4)表示,则数对(1,2)表示的位置是第1组第2排，故选C.8、观察下面一列有序数对：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，按这些规律，第50个有序数对是()A．(3,8)B．(4,7)C．(5,6)D．(6,5)答案：C解析：不难发现横坐标依次是:1、1、2、1、2、3、1、2、3、4、1、2、3、4、5…,纵坐标依次是:1、2、1、3、2、1、4、3、2、1、5、4、3、2、1…,根据此规律即可知第50个有序数对.观察发现,横坐标依次是:1、1、2、1、2、3、1、2、3、4、1、2、3、4、5…,纵坐标依次是:1、2、1、3、2、1、4、3、2、1、5、4、3、2、1…,∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,∴第46、47、48、49、50个有序数对依次是(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6).所以C选项是正确的.小提示：本题主要考查了点的坐标探索规律题,找出有序数对的横、纵坐标变化规律是解决问题的关键.填空题9、如图是中国象棋棋盘的一部分，如果我们把“馬”所在的位置记作(2,1)，“卒”所在的位置就是(3,4)，那么“相”所在的位置是____________.答案：(5, 3) ．解析：马在第2列第1行，表示为（2，1），“卒”所在的位置就是(3,4)，可知数对中前面的数表示的是列，后面的数表示的是行．据此进行解答．故答案为(5, 3)由已知可得：数对中前面的数表示的是列，后面的数表示的是行．所以，“相”所在的位置是(5, 3).小提示：本题主要考查了学生用数对表示位置的知识．10、点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．答案：（2，1）．解析：将点A的纵坐标加4，横坐标不变，即可得出点A′的坐标．解：将点A（2，﹣3）向上平移4个单位得到点A′，则点A′的坐标是（2，﹣3+4），即（2，1）．故答案为（2，1）．小提示：本题考查坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．11、与点(2,−7)关于y轴对称的点的坐标为_______，关于y=−1对称的点的坐标为_______．答案：(−2,−7)(2,5)解析：关于y轴对称的点的坐标特征是：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数；关于y=−1对称的点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标关于y=−1对称，据此解题．解：点(2,−7)关于y轴对称的点的坐标为(−2,−7)，关于y=−1对称的点的坐标为(2,5)，所以答案是：(−2,−7)；(2,5)．小提示：本题考查直角坐标系、关于y轴对称的点的坐标等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．12、对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x∗y=ax +by．若1∗(−1)=2，则(−2)∗2的值是__．答案：-1解析：根据新定义的运算法则即可求出答案．∵1*（-1）=2，∴a1+b−1=2，即a-b=2∴原式=a−2+b2=−12（a-b）=-1故答案为-1.小提示：本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想.13、请写出一个在第三象限内的点的坐标：__________（只写一个）．答案：(−1,−1)解析：根据第三象限内的点的横坐标和纵坐标都是负数直接写出即可．解：因为第三象限内的点的横坐标和纵坐标都是负数，故坐标可以是(−1,−1)（答案不唯一）．小提示：本题考查了平面直角坐标系内点的坐标的特征，解题关键是熟知在不同象限的点的坐标的符号特征．解答题14、已知点P（2a−2，a+5），解答下列各题．（1）点P在x轴上，求出点P的坐标．（2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ//y轴；求出点P的坐标．（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+2020的值．答案：（1）P(−12，0)；（2）P(4，8)；（3）2021解析：（1）根据x轴上点的坐标特征：纵坐标为0，列出方程即可求出结论；（2）根据与y轴平行的直线上两点坐标关系：横坐标相等、纵坐标不相等即可求出结论；（3）根据题意可得：点P的横纵坐标互为相反数，从而求出a的值，即可求出结论．解：（1）若点P在x轴上，∴a＋5=0解得：a=-5∴P(−12，0)；（2）∵点Q的坐标为(4，5)，直线PQ//y轴∴2a−2=4解得：a=3∴P(4，8)；（3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等∴2a−2+a+5=0解得：a=-1∴a2020+2020=(−1)2020+2020=2021小提示：此题考查的是根据题意，求点的坐标，掌握x轴上点的坐标特征、与y轴平行的直线上两点坐标关系和点到x 轴、y轴的距离与坐标关系是解题关键．15、适当建立直角坐标系，描出点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），并用线段顺次连接各点．（1）看图案像什么？（2）作如下变化：纵坐标不变，横坐标减2，并顺次连接各点，所得的图案与原来相比有什么变化？答案：（1）“鱼”；（2）向左平移2个单位.解析：(1)描点根据顺序连线即可．(2)根据平移前后图形的形状和大小没有变化可以知道,图案大小形状没有变化,位置向左平移两个单位．解:(1)像“鱼”．(2)纵坐标不变，横坐标减2，即向左平移两个单位，根据平移前后图形的形状和大小没有变化可以知道，图案大小形状没有变化，位置向左平移两个单位．小提示：本题考查直角坐标系中描点，平移作图，细心画图即可．。
变换法的典型例题
变换法的典型例题变换法是一种常见的解题方法，在数学竞赛中也经常会用到。
下面就给大家介绍一个典型的变换法例题。
例题：在平面直角坐标系内，点$A(3,1)$，$B(-3,1)$，$C(-3,-1)$，$D(3,-1)$。
若变换$f(x,y)=(frac{1}{2}x+frac{sqrt{3}}{2}y,frac{sqrt{3}}{2}x+fr ac{1}{2}y)$将点$A,B,C,D$分别变为$A',B',C',D'$，则四边形$A'B'C'D'$的面积为多少？解题分析：首先，我们要了解变换$f(x,y)$的性质。
由于$f(x,y)$是将平面上的点$(x,y)$绕原点逆时针旋转$60^circ$，再沿$x$轴方向压缩$frac{1}{2}$倍得到的，因此可以得出变换前后$AB$线段长度不变，$BC$线段长度不变，$CD$线段长度不变，$DA$线段长度不变。
同时，变换后的四个点坐标为$A'(frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2},frac{1}{2}+frac{3sqrt{3}}{2 })$，$B'(-frac{3}{2}+frac{sqrt{3}}{2},frac{1}{2}-frac{3sqrt{3}}{ 2})$，$C'(-frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2},-frac{1}{2}-frac{3sqrt{3}} {2})$，$D'(frac{3}{2}-frac{sqrt{3}}{2},-frac{1}{2}+frac{3sqrt{3}}{ 2})$。
接下来，我们可以用向量的方法求出四边形$A'B'C'D'$的面积。
可以将四边形$A'B'C'D'$划分为两个三角形$A'B'D'$和$B'C'D'$，分别计算它们的面积，再将两个面积相加即可。
平面直角坐标系及其应用
平面直角坐标系（基础）知识讲解【学习目标】1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面任意一个点，不在这四个象限，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)．4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【典型例题】类型一、有序数对1．如果将一“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．须用有序数对来表示平面点的位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．举一反三：【变式】某地10:00时气温是6℃，表示为(10，6)，那么(3，-7)表示________．【答案】3:00时该地气温是零下7℃．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)．【总结升华】平面直角坐标系任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，如果点A既在x轴的上方，又在y轴的左边，且距离x轴，y轴分别为5个单位长度和4个单位长度，那么点A的坐标为( ).A．(5，-4) B．(4，-5) C．(-5，4) D．(-4，5)【答案】D.3.在平面直角坐标系中，描出下列各点A(4，3)，B(-2，3)，C(-4，1)，D(2，-2)．【答案与解析】解：因为点A的坐标是(4，3)，所以先在x轴上找到坐标是4的点M，再在y轴上找到坐标是3的点N．然后由点M作x轴的垂线，由点N作y轴的垂线，过两条垂线的交点就是点A，同理可描出点B、C、D．所以，点A、B、C、D在直角坐标系的位置如图所示．【总结升华】对于坐标平面任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应；对于任意一对有序数对，在坐标平面都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面的点与有序实数对是一一对应的．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为．【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征4.指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(4，5)、B(-2，3)、C(-4，-1)、D(2.5，-2)、E(0，-4) 、F(3，0)、G(0，0).【思路点拨】先判断所求点的横纵坐标的符号，进而判断所在象限．【答案与解析】解：点A在第一象限，点B在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限，点E在y轴上，点F在x轴上，点G在原点上．【总结升华】本题主要考查点的坐标的性质，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限点的符号，但注意坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上．举一反三：【变式1】点A(3，n)在第四象限，到x轴的距离为4．则点A的坐标为________．【答案】(3，-4)．【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934练习3】【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,-b)在第象限；（2）点P2（-a ,b)在第象限；（3）点P3（-a ,-b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.5.已知点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由“点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴x＝-3．∵点B到x轴的距离为3，∴y＝3或y＝-3．∴点B的坐标是(-3，3)或(-3，-3)．【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0）B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3）D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934练习4（5）】【变式2】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________. 【答案】（-5,2）；（5，2），（-5,2），（5，-2），（-5，-2）.平面直角坐标系（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．A 地在地球上的位置如图，则A 地的位置是（ ）.A.东经130°，北纬50°B.东经130°，北纬60°C.东经140°，北纬50°D.东经40°，北纬50° 2.点A （a ，-2）在二、四象限的角平分线上，则a 的值是（ ）. Ａ．2Ｂ．-2Ｃ．12Ｄ．12-3．已知点M 到x 轴、y 轴的距离分别为4和6，且点M 在x 轴的上方、y 轴的左侧，则点M 的坐标为( ) .A ．(4，-6)B ．(-4，6)C ．(6，-4)D ．(-6，4)4．已知A(a ，b)、B(b ，a)表示同一个点，那么这个点一定在( ) .A ．第二、四象限的角平分线上B ．第一、三象限的角平分线上C ．平行于x 轴的直线上D ．平行于y 轴的直线上 5. 已知点(M a ，)b ，过M 作MH x ⊥轴于H ，并延长到N ，使NH MH =， 且N 点坐标为(2-，3)-，则()a b += . Ａ．0Ｂ．1Ｃ．—1Ｄ．—56. ()在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定，形的部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点，一边平行于x 轴的形：边长为1的形部有一个整点，边长为2的形部有1个整点，边长为3的形部有9个整点……，则边长为8的形部的整点的个数为 ( ) .A ．64B ．49C ．36D ．25二、填空题7.已知点P (2－a ，3a －2)到两坐标轴的距离相等，则P 点的坐标为___________． 8.线段AB 的长度为3且平行x 轴，已知点A 的坐标为（2，-5），则点B 的坐标为 . 9.如果点(0A ，1)，(3B ，1)，点C 在y 轴上，且ABC △的面积是5，则C 点坐标____． 10.设x 、y 为有理数，若｜x ＋2y －2｜＋｜2x －y ＋6｜＝0，则点（x ，y ）在第______象限. 11．观察下列有序数对：(3，-1)、15,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，17,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、19,4⎛⎫- ⎪⎝⎭、……根据你发现的规律，第100个有序数对是________．12．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为：A(-2，1)、B(-3，-1)，C(-1，-1)，且D 在x 轴上方. 顺次连接这4个点得到的四边形是平行四边形， 则D 点的坐标为_______． 13．已知平面直角坐标系两点M(5，a)，N(b ，-2)． (1)若直线MN ∥x 轴，则a________，b________； (2)若直线MN ∥y ，轴，则a________，b________．14．()若点P(x ，y)的坐标满足x+y ＝xy ，则称点P 为“和谐点”，请写出一个“和谐点”的坐标，如________． 三、解答题15．如图，棋子“马”所处的位置为(2，3)．(1)你能表示图中“象”的位置吗？(2)写出“马”的下一步可以到达的位置(象棋中“马”走“日”字或“”字)16．如图，若B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）均为第一象限的点，O 、B 、C 三点不在同一条直线上.(1) 求△OBC 的面积（用含x 1、x 2、y 1、y 2的代数式表示）； (2) 如图，若三个点的坐标分别为A （2,5），B （7,7），C （9,1），求四边形OABC 的面积.17.如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，2)，A 1(2，2)，A 2(4，2)，A 3(8，2)；B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化?找出规律，按此规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则A 4的坐标是________，B 4的坐标是________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB 进行n 次变换，得到三角形OA n B n ，推测A n 的坐标是________，B n 的坐标是________． （3）求出△O的面积．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C. 2. 【答案】A ；【解析】因为（a ，-2）在二、四象限的角平分线上，所以a+(-2)=0，即a=2. 3. 【答案】D ；【解析】根据题意，画出下图，由图可知M （-6，4）.4. 【答案】B ；【解析】由题意可得：a b =，横坐标等于纵坐标的点在一三象限的角平分线上. 5. 【答案】B ；【解析】由题意知： 点M （a ，b ）与点N （-2，-3）关于x 轴对称，所以M(-2,3) . 6. 【答案】B ；【解析】边长为奇数的形所含整点个数为奇数的平方，而边长为偶数的形所含整点个数与边长比此偶数少1的奇数的形所含整点个数相同. 二、填空题7. 【答案】P （1，1）或P （2，-2）； 【解析】232a a -=-，得01a a ==或，分别代入即可. 8. 【答案】B （5，-5）或（-1，-5）；【解析】235-1B x =±=或，而5B y =-． 9. 【答案】（0，73-）或（0，133）； 【解析】3AB =，由ABC △的面积是5，可得ABC △的边AB 上的高为103，又点 C 在y 轴上，所以0C x =，101371-333C y =±=或. 10．【答案】二；【解析】由绝对值的非负性，可得x ，y 的值，从而可得（x ，y ）所在的象限． 11.【答案】1201,100⎛⎫- ⎪⎝⎭; 【解析】横坐标的规律：n+1-1(21)n +（），纵坐标的规律：1(1)n n-. 12.【答案】(0，1)或(-4，1)；【解析】2204D x =-±=或-，1D y =.13．【答案】(1)＝-2， ≠5； (2)≠-2， ＝5； 14.【答案】(2，2)或(0，0)（答案不唯一）. 三、解答题 15.【解析】解： (1)(5，3) ； (2)(1，1)、(3，1)、(4，2)、(1，5)、(4，4)、(3，5) . 16.【解析】解： (1) 如图：AOB MOB CON BMNC S S S S ∆∆∆=+-梯形111221222112111()()2221()2AOB MOB CONBMNC S S S S x y y y x x x y x y x y ∆∆∆=+-=++--=-梯形（2）连接OB ，则：四边形OABC 的面积为：1177(75-27)(97-71)38.5222AOB BOC S S ∆∆+=⨯⨯+⨯⨯==. 17.【解析】解：(1)(16，2), (32，0)； (2)(2n ，2), (2n+1，0)； （3）△n n OA B ∆的面积为: 1112222n n ++⨯⨯=.。
平面直角坐标系典型试题整理
平面直角坐标系典型例题分析题型一：坐标轴上点的特征1、x 轴上点，纵坐标为0；y 轴上点，横坐标为0。
2、已知点A （x ，y ），且xy=0，则点A 在 （ ）。
A.原点B.x 轴上C.y 轴上D.x 轴或y 轴上。
3、已知点P （x ，y ），且x y 0+=，则点B 在 （ ）。
A.原点B.x 轴的正半轴或负半轴C.y 轴的正半轴或负半轴上D.在坐标轴上，但不在原点。
4、已知点A （－3，2m+3）在x 轴上，点B （n-4，4）在y 轴上，则点C （m ，n ）在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、如果点B （x －1，x ＋3）在y 轴上，那么x= （ ）A.1B.－1C.3D.－36、点P （m ＋3, m ＋1）在直角坐标系的x 轴上，则点P 坐标为 （ ）A ．（0，－2）B ．（ 2，0）C ．（ 4，0）D ．（0，－4） 题型二：各个象限内点的特征各象限中的点的坐标特征:平面内一点P （x ，y ），如位于第一象限，则x>0，y>0；如位于第二象限，则x<0，y>0；如位于第三象限，则x<0，y<0；如位于第四象限，则x>0，y<0。
1、已知点P （a,b ）,ab ＞0,a ＋b ＜0,则点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在_______。
3、已知点A （－3，2m －1）在x 轴上，点B （n ＋1，4）在y 轴上，则点C （m ，n ）在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、已知03)2(2=++-b a ，则),(b a P --的坐标为 （ ）A 、 )3,2(B 、 )3,2(-C 、 )3,2(-D 、 )3,2(--5、若点),(n m P 在第三象限，则点),(n m Q --在 （ ）Ａ、第一象限 Ｂ、第二象限 Ｃ、第三象限 Ｄ、第四象限6、已知平面直角坐标系内点),(y x 的纵、横坐标满足2x y =，则点),(y x 位于（ ）A 、x 轴上方（含x 轴）B 、x 轴下方（含x 轴）C 、y 轴的右方（含y 轴）D 、y 轴的左方（含y 轴）7、已知点P （a,b ）,ab ＞0,a ＋b ＞0,则点P 在（ ）8、已知点P（x, x），则点P一定（）A．在第一象限 B．在第一或第四象限C．在x轴上方 D．不在x轴下方9、已知P(0，a)在y轴的负半轴上，则Q(21,1a a---+)在( )A、y轴的左边，x轴的上方B、y轴的右边，x轴的上方C、y轴的左边，x轴的下方D、y轴的右边，x轴的下方题型三平行于坐标轴的直线的点的坐标特点平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
《轴对称与坐标变化》典型例题
典型例题例1 如图，已知在平面直角坐标系中有一个正方形ABCO ．（1）写出A 、B 、C 、O 四个点的坐标．（2）若A 点向右移动两个单位，B 点也向右移动两个单位，写出A 、B 的坐标，这时四边形ABCO 是什么图形？（3）在（2）的图形中B 、C 两点再怎样的变化使四边形ABCO 为正方形？例2 如图，在直角坐标系中，第一次将OAB ∆变换成11B OA ∆，第二次将11B OA ∆变换成22B OA ∆，第三次将22B OA ∆变换成33B OA ∆．已知)0,16()0,8()0,4()0,2()3,8()3,4()3,2()3,1(321321B B B B A A A A ，，，，，，，.（1）观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将33B OA ∆变换成44B OA ∆，则4A 点的坐标是__________，4B 的坐标是__________．（2）若按第一题找到的规律将OAB ∆进行了n 次变换，得到n n B OA ∆，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测n A 的坐标是__________，n B 的坐标是__________．例3 在直角坐标中画出一个以)2,1()1,3()1,2(C B A ，，---为顶点的三角形，试说明“把图形各顶点的坐标都乘以一个正数)1(≠k k ，那么图形将扩大或缩小”。
例4 已知)4,(),3(b N a M 、-，根据下列条件求出b a 、的值；（1）N M 、两点关于x 轴对称； （2）N M 、两点关于y 轴对称；（3）N M 、两点关于原点对称； （4）x MN //轴；（5）N M 、在第一、三象限角平分线上；（6）点M 在某象限角平分线上，点N 到y 轴的距离等于5．例5 将图中的点)3,0(),6,6(),3,6(),0,6(D C B A 做如下变化：（1）纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有什么变化？（2）纵坐标保持不变，横坐标加2，再将所得点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？（3）纵坐标保持不变，横坐标分别乘以－1，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？例6中考题）一个平行四边形的三个顶点是)2,2((BA-，求第四个顶点C的坐标．0,3O),),0,0(例7已知点)2-aM在第二象限，则a的取值范围是（）a,1(+A．2-<a>a D．1-a C．2<->2<a B．1例8 已知点)3,(a在(a在第一象限内两坐标轴夹角的平分线上，则a的值是______；已知点)3,第二象限内两坐标轴夹角的平分线上，则a的值是_______；若点)P在第一、三象限的角a(b,的平分线上，则a与b的关系是______；若点)P在第二、四象限的角的平分线上，则a，b,a(b的关系是______.例9 在平面直角坐标系内，已知点A(2，1)，O为坐标原点，请你在坐标轴上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形，在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来，画上实心点，并在旁边标上P1，P2，…，P k（有k个就标到 P k为止，不必写出画法）．18．（8分）（2014•丹东）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长．。
平面直角坐标系练习题
确定位置、平面直角坐标系（1）课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空)1．在平面内，确定一个点的位置一般需要的数据个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 如果将电影票上“6排3号”简记为（6，3）,那么“10排10号”可表示为 ；（7，1）表示的含义是 ．3. 已知A 在灯塔B 的北偏东20°的方向上，则灯塔B 在小岛A 的________ 的方向上．4. 在矩形ABCD 中，A 点的坐标为（1，3），B 点坐标为（1，－2），C 点坐标为（－4,－2），则D 点的坐标是_______典型例题分析例1、下图是游乐城的平面示意图，借助刻度尺、量角器，解决如下问题：(1)如果用（8,5）表示入口处的位置，那么激光战车的位置如何表示？(8,8)表示哪个地点的位置？(2)海底世界位于入口处的北偏西多少度的方向上？到入口处的距离约多少厘米？实际距离是多少米？在海底世界同一方向上还有什么设施？(3)在入口处的北偏西370方向上有什么设施？它到入口处的实际距离是多少？(4)说出球幕电影的位置位于入口处的什么地方？解:(1)激光战车的位置表示为（2，3），（8,8)表示童趣花园的位置．(2)海底世界位于人口处的北偏西约75o ,到人口处距离3cm,实际距离为300m ，在海底世界同一方向上还有太空秋千．(3)在人口处的北偏西370方向上有梦幻艺馆，它到入口处的实际距离为360m.(4)球幕电影位于入口处的南偏西约350方向，距人口处实际距离为260m 的位置上.[总结]平面内确定物体的位置的方法：(1)直角坐标法：以某一点为原点，利用点所在的行、列的位置来表示点的位置．(2)极坐标法：以某一点为极点，用方位角、目标到这个点的距离两个数据来确定目标所在的位置．(3)另外，生活中还常有区域定位法、经纬度定位法等来确定物体的位置例2：某校多媒体教室中有7排5列座位，请根据下面4个同叙的描述，在图中标出小红的乙例1位置：甲说：“小红在我的左后方” 乙说：“小红在我的右后方”丙说：“小红在我的左前方” 丁说：“小红离乙、丙的距离一样远” [点拨]结合生活中的经验，我们不难发现： 平面上确定物体的位置基本都需要两个数据.本题没有提供具体的数据，解题的关键是结合图形，认真分析题意，从观察图形中寻找解题的信息，全面分析四位同学所在的大致区域，最终分析出确定物体的位置的两个数据.解：不妨设座位表中从上往下横行依次为第1排，第2排，…第7排，从左往右直列依次为第1列，第2列，……第5列．首先，由甲、乙、丙三位同学的叙述确定小红的大体位置是在第3、4、5排第三列上，再由丁同学的叙述可知小红的位置应是第4排第3列．[总结] 一、本问题确定位置的方法属于区域定位法，生活中确定位置的方式还有很多，尽管确定位置的方法不同，但要确定的这个位置是固定不变的．例如：1.在确定我们国家的某一地方时，应先看它属于哪个省(城市)，哪个县.2.在电影院找位置时，需要知道第几排和第几号.3.在海上确定船只的位置时，应确定其方位角和距离.4.在地图上确定某一地方时，应查它所处的经度和纬度，经度和纬度的交叉点即为所求.5.在查某一人的家庭住址时，应看他家住几号楼几单元哪个房间……基础训练：一、选择题（本大题共2小题在给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1.如下图，已知校门的坐标是（1，1），那么下列对于实验楼位置的叙述正确的个数为（ ） ①实验楼的坐标是3 ②实验楼的坐标是（3，3）③实验楼的坐标为（4，4）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.如下图是沈阳市地图简图的一部分，图中“故宫”、“古楼”所在的区域分别是 ( )A. D7，E6B. D6，E7C. E7，D6D. E6，D7二、填空题（本大题共4小题，请把正确答案填在题中的横线上）3．已知A 在灯塔B 的北偏东30°的方向上，则灯塔B 在小岛A 的________的方向上．4. 在矩形ABCD 中，A 点的坐标为（1，3），B 点坐标为（1，－2），C 点坐标为（－4,－2），则D 点的坐标是_______ ．5. 如果将电影票上“8排5号”简记为（8，5）,那么“3排7号”可表示为 ；（5，9）表示的含义是 ．6．(2006宁夏)右图是某学校的平面示意图，在1010 的正方形网格中（每个小方格都是边长为1的正方形），如果分别用(31)(35)，，，表示图中图书馆和教学楼的位置，那么实验楼的位置应表示为 ．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7. 某地为了城市发展，在现有的四个城市A 、B 、C 、D 附近新建机场E ．试建立适当的直角坐标系，写出点A 、B 、C 、D 、E 的坐标．8. 如图，小明星期天骑自行车从学校出发，途经B4区、B3区、A3区、A2区、A1区、B1区、B2区、C2区、C3区、B3区、B4区回到学校，在下面城市简图上描出它的行车路线，他分别可能去了哪些地方？确定位置、平面直角坐标系（2） 课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空)1、呼和浩特市大约位于北纬400，东经1130，用一个有序数对表示为 ；2、小明班有35人参加学校运动会的入场式，队伍共7排5列．如（1，4）表示第1派从左至右第4站位，那么站在队伍中间的小明的站位可记作 ．3、如用（8，3）表示电影票上的“8排3号”，那么（3，8）表示 ，（5，2）表示 ．4、如果某校八年级一班表示为（8，1），那么九年级三班可以表 7题8题示成 ，（7，4）表示 ．5、如图是一个公园的平面示意图（比例尺：1：10000），借助刻度尺和量角器解决如下问题：（1）大象馆位于大门的北偏东 的方向上，到大门的图上距离约为 厘米，实际距离约为 米．（2）某一动物馆位于大门的南偏东800的方向，到大门的距离约为310米，这一点是 ．（3）如果用（1，4）表示图上大门的位置，那么猴山位置表示为 ，（4，1）表示的是 ．典型例题分析例1：如图是某学校的平面示意图.借助刻度尺、量角器解决如下问题：(1)教学楼位于校门的北偏东 度的方向上?到校门的上距离约为厘米?实际距离为 ；（写出计算过程）(2)某楼位于校门的南偏东约750的方向,到校门的实际离约为240米.这一地点的名称是 ；(3)如果用(2,5)表示图上校门的位置,那么图书馆的位置表示为 ， (10,5)表示的 位置．基础训练：一、选择题1、如右图是在方格纸上画出的小旗图案，若用（0，0）表示A 点，（0，4）表示B 点，那么C 点的位置可表示为（ ）A ．（0，3）B ．（2，3）C ．（3，2）D ．（3，0）二、填空2、如右图，如果用（0，0）表示E 点的位置，用（4，0）表示F 点的位置，那么图中⊿ABC 的三个顶点的位置分别为A( ， )， B( ， )，C( ， )．三、解答题3、在如下图的方格棋盘中放入3枚棋子，位置分别是（3，4），（7，4），（5，6）．这三枚棋子组成一个什么样的图形？你能不能再放入一枚棋子，使得这四枚棋子组成一个平行四边形？如果能，请说出放在什么位置．F E C B A (109)87654321109876543210...A (68)87765544332211o4、如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后，往前直走12.2里（1里=0.5千米），有一座宝塔A ，出西门后，往前直走4里到B 处，刚好此处可以直接看到宝塔，现测得有城中心O 点到西门的距离为5里．（1）若假定O 点用（0，0）表示，西门用（-5，0），问B 点，A 点怎样表示？（2）一个人参观的路径是由B 到A 走多远？拓展延伸5、五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受广大棋友的喜爱．其规则是：在15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如下图，是两个五子棋爱好者甲和乙对弈图：（甲执黑先行，乙执白后走）．观察棋盘，思考：若A 点的位置记作（8，4），甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间获胜？为什么？确定位置、平面直角坐标系（3）课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空)1．写出下图中A 、B 、C 、D 、E 、F 各点的坐标，并指出分别属于第几象限？A ：______，______；B ：______,______；C:______ ______；D: _____ , ______；E:______ ，______. 2．在下列点的坐标中，第四象限的点为（ ）Ａ（－４，２） Ｂ（－３，３）Ｃ（１，２） Ｄ（１，－３）3．你能归纳出每个象限内的点的横纵坐标符号吗？（1）完成右表；（2）你能归纳出坐标轴上的点的坐标特征吗？x 轴上的点的____坐标为0，可记为________；y 轴上的点的_____坐标为0,可记为_________.典型例题分析例1：写出图中A 、B 、C 、D 、E 各点的坐标思路点拨：由点求坐标，分别过该点向x 、y 轴 作垂线，垂足所指示的两个数便是. 解：A 点的坐标是（1，3）；记作A （1，3）B 点的坐标是（3，1）；记作___________C 点的坐标是（-2，3）；记作___________D 点的坐标是 ________; 记作__________E 点的坐标是 ________；记作__________解题反思：1、（a,b ）和（b,a ）是否为同一个点？2、点的横纵坐标，是否可以颠倒？3、点A 、B 、C 、D 、E 分别属于第几象限？例2：如图, 在直角坐标系中, O 是原点, A 在x 轴上, B 在y 轴上,则 (1)点O 的坐标是 ,点A 的坐标是 , 点B的坐标是 .(2)C 在一三象限的角平分线上，且与A 点的横坐标相同，点C 的坐标是 .(3)CD ∥y 轴，且CD=3，点D 的坐标是 .解：O(0,0)(2,0)A (0,4)B (2,2)C (2,5)D 或(2,1)D -[总结]坐标平面内的点P 的坐标（a ，b)与点P 的位置的关系．1．点P 在象限内：点P 在第一象限内⇔a>0,b>0；点P 在第二象限内⇔a <0,b>0；点P 在第三象限内⇔a <0,b<0; 点P 在第四象限内⇔a>0,b<0.2．点P 在坐标轴上：点P 在x 轴的正半轴上⇔a>0,b=0；点P 在x 轴的负半轴上⇔a<0,b=0;点P 在y 轴的正半轴上⇔b>0,a=0; 点P 在Y 轴的负半轴上⇔b<0,a=0.3．两坐标轴夹角平分线上的点：第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等，一般记作（a ，a ）．第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，一般记作（a ，-a ）．4．若1122(,),(,)A a b B a b 在平行于x 轴的直线上，则1212,a a b b ≠=若1122(,),(,)A a b B a b 在平行于y 轴的直线上，则1212,a a b b =≠ 2.•A 4•B O 2 例3基础训练一、选择题（本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1．设点A（m，n）在x轴上，位于原点的左侧，则下列结论正确的是（）A. m=0，n为一切数B. m=O，n＜0C. m为一切数，n=0D. m＜0，n=02.在已知M（3，－4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（）A. （6,0）B. （0,1）C. （0,－8）D. （6,0）或（0,0）3.如右图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“炮”位于点（-2，1），“帅”位于点（1，-1），则“卒”位于点（）．A（1，3） B（-2，1） C（-1，2） D（3，2）4.如果同一直角坐标系中两个点的横坐标相同（横坐标不为0），那么过这两点的直线（）A是x轴或平行于x轴 B是y轴或平行于y轴 C经过原点 D经过（1，0）二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）5.若点Ｐ（ｍ＋３，２ｍ－１）在ｘ轴上，则ｍ的值是______6．点A（3，-4）到x轴的距离为___________，到y轴的距离为___________．到原点的距离为___________．7．已知点Q（a+2,5a-3）在y轴上，则a=_______三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）8．由三个实数 -2，5，0在平面内可以组成几个横坐标与纵坐标不相等的点？请你写出这几个点的坐标．9．若P（a,b）在第二象限，Q（c,d）在第三象限，则点Ｍ（ａ＋c，ｂ2ｄ）在第几象限？拓展延伸一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1．在直角坐标系中，点p（-1，-m2）一定在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2．如果点M（a+b，ab）在第二象限，则点N (a,b)在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3．点P(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2),如果P 1P 2=12x x ，那么P 1P 2的位置是（ ）A P 1P 2必在x 轴上B P 1P 2必在y 轴上C P 1P 2 ∥x 轴或 P 1、P 2在x 轴上D P 1P 2 ∥y 轴或 P 1、P 2在y 轴上二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）4．若m ＞0，n ＜0，则点P （m ，n ）到x 轴的距离是___________，到y 轴的距离是___________，到原点的距离为___________．5．平面直角坐标系中x 轴的上方有一点P ，它到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，则P点坐标为___________6．（1）若y （m,3-m ）是第二象限内的点，则必须满足条件___________________（2）已知点M （x,y ），①若xy=0，则点M 在______________;②若xy>0，则点M 在______________；③若xy<0,则点M 在 _____________ ； ④若yx =0，则点M 在 _______________． 三、解答题7．如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形．（1）在图中标出旋转中心P 的位置，并写出它的坐标；（2）在图上画出再次旋转后的三角形④．确定位置、平面直角坐标系（4）课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空)1、点P(-1,5)关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A 、(1,-5)B 、(-1,-5)C 、(1,5)D 、(5,1)2、点P(-5，6)关于原点对称的点的坐标是（ ）A 、（-5，-6）B 、（5，6）C 、（6，-5）D 、（5，-6）3、连接A (1,2), B (-3,2), C (-1,-1) 三点所成的三角形是（ ）A 锐角三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 等边三角形4、已知三点A 、B 、C ，A 点关于原点中心对称点是B ，B 关于x 轴的对称点是C ，若C 点（-7，4），则A 的坐标是（ ）A （7，4）B （7，-4）C （-7，-4）D 无法确定5、若A （a, b ）B (b, a)表示同一个点，那么这个点一定在（ ）A 第二、四象限角平分线上B 第一、三象限角平分线上C 平行x 轴的直线上D 平行y 轴直线上典型例题分析例1：在平面直角坐标系中，描出下列各点：（1） A (1,2), B(-1,2)（2） C (1,25-), D (1,25--) 点拨：观察图中点A 与点B ，点C 与点D 的位置有什么特点，结合每组点的坐标特点，想一想为什么？自己再取一组同样特点的点，再试一试，结论是否一样．（3） 写出点（-5，2）关于y 轴的对称点的坐标_______．例2：在平面直角坐标系中，描出下列各组点：（1） M (1,2), N (1,-2)（2） P (-2,5), Q (-2,-5)（3） A(-2,1), B(2,-1)点拨：观察图中M 点与N 点，P 点与Q 点A 点与B 点的位置有什么特点，结合每组点的坐标特点，想一想为什么？(3)写出（-5，2）关于x 轴的对称点的坐标______，关于原点对称的点的坐标______ 根据以上两例总结：关于x 对称的两个点，横纵坐标有什么关系? 关于y 对称的两个点，横纵坐标有什么关系? 关于原点对称的两个点，横纵坐标有什么关系？对称点的坐标关系：P(a, b)关于x 轴的对称点为______;P(a, b)关于y 轴的对称点为______;P(a, b)关于原点的对称点为______.基础训练一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1．已知三点A 、B 、C ，A 点关于原点中心对称点是B ，B 关于x 轴的对称点是C ，若C 点（-7，4），则A 的坐标是（ ）A （7，4）B （7，-4）C （-7，-4）D 无法确定2．在平面直角坐标系内，下列各结论成立的是（）A平面内任一点与两坐标轴的距离相等B若点P（a, b）的坐标满足x y=0,那么点P一定是x轴或y轴上的点C点P（a, b）到x轴的距离是b，到y轴的距离是aD坐标（2，3）的点和坐标（-2，3）的点关于x轴对称3．若A（a, b）B (b, a)表示同一个点，那么这个点一定在（）A第二、四象限角平分线上B第一、三象限角平分线上C平行x轴的直线上D平行y轴直线上二、填空题4．点A(4,-3)关于x轴对称点B的坐标为______点A(4,-3)关于y轴对称点C的坐标为______点A(4,-3)关于原点对称点D的坐标为______5．如果点M(m,-5)和点N(3,n)关于原点对称，那么3m+2n=_____三、解答题6．写出下列点关于x轴对称、y轴对称、原点对称的点的坐标．（1）（2，-3）（2）（-3，2）（3）（0，-3）（4）（2，0）7．已知点A(a,2)，B(-3,b),根据下列条件求出a、b的值：（1）A,B两点关于y轴对称；（2）A,B两点关于原点对称；（3）AB//y轴；8、现在方格纸上画出直角坐标系，再按要求完成下列各题：（1）描出A(-2，3),B(2，-3),C(4，-3),D(0，3)四点；（2）顺次连接AB,BC,CD,DA所得的图形是_____；拓展延伸一、选择题1．若A（a,-b）B (-b, a)表示同一个点，那么这个点一定在（）A第二、四象限角平分线上B第一、三象限角平分线上C平行x轴的直线上D平行y轴直线上二、填空题2．点B（m+1, 3m-5）到x轴的距离是它到y轴距离的一半，（B点的横、纵坐标均大于0），则m的值为____．三、解答题3．平行四边形四个顶点的坐标分别为A（-3，0）B(1,0)第三个顶点C在y轴上，且与x 轴的距离为三个单位，求第四个顶点的坐标．4.在坐标系中描出下列各点，并给各点顺次连接起来：（4，4）、（5，4）、（5，5）、（4，5）、（4，4），能得到什么图形？5. 以点A（3，0）为圆心，以5为半径画一圆，试写出圆与坐标轴的交点坐标．确定位置、平面直角坐标系（5）课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空)1、写出各个象限内的点的横、纵坐标的符号第一象限：（，），第二象限：（，），第三象限：（，），第四象限：（，）.2、x轴上的点的_____坐标为0，y轴的点的_____坐标为0；3、平行于x轴的直线上的点的____坐标相同，平行于y轴的直线上的点的____坐标相同；4、平面内任意一点P（m，n），到x轴的距离为_____，到y轴的距离为_____，到原点的距离的为______.5、P（3，-4）在_____象限，到ｘ轴的距离为_____到ｙ轴的距离为_____；6、已知A（m，n），点B与A关于y轴对称，点C与A关于x轴对称，点D与A关于原点对称，则点B、C、D的坐标分别为________________基础训练一、选择题（本大题共2小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1、等腰△ABC，AB=AC，要建立直角坐标求各顶点的坐标，你认为最合理的建立方法是（）A、以BC中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴B、以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过B点作x轴的垂线为y轴C、以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴D、以C为坐标原点，BC所在直线为x轴，过C点作x轴的垂线为y轴2、已知点A（2，4），B（-2，2），C（x,2）且△ABC的面积为1，则点C的坐标为( )．A .(-3，2)或(-1，2)B .(9，2) C.(-1，2) D .(0，2)二、填空题3．如图，以正方形ABCD的AB边所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，若AB=6，则A、B、C、D的坐标分别为_____________________．4. 如图，已知1(10)A，，2(11)A，，3(11)A-，，4(11)A--，，5(21)A-，，，则点2007A的坐标为______________．三、解答题6．在一次“寻宝”游戏中，小明已经找到坐标为A（-4，3）和B（4，-3）的两个标志点，同时也知道藏宝地点的坐标为（3，6），除此以外不知道其他信息，小明非常想找到宝藏，但不知道给定的直角坐标系，你能帮助他吗？用坐标表示平移课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空)1、点P（－5，1）沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移4个单位，得到点的坐标是2、在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（1，－2），若E（2，2），F（1，0），则线段EF由线段AB 得到；若M（-1，0），N（-2，-2），则线段MN由线段AB 得到．3、在平面直角坐标系中，按照同样的规律对某一图形上的各个点的坐标进行变换，有一点的坐标（1，1）变为（2，1），如果以点坐标为 (x，y)则变化后为______________典型例题分析例1：点P(5,a )与点q(b,4)关于y 轴对称, 则a= , b= .[点拨] 点P 的对称性：点P(x ，y)关于x 轴的对称点是1(,)P x y - 点P(x ，y)关于y 轴的对称点是2(,)P x y -； 点P(x ，y)关于原点的对称点是3(,)P x y --解：a=4 b=-5例2：如图所示，下列叙述正确的是（ ）． A ．由图（1）到图（2），三角形向上平移了1个单位长度，各点的纵坐标保持不变，横坐标分别加1 B ．由图（1）到图（3），三角形被纵向压缩21，各点的纵坐标分别乘以21， 横坐标保持不变C ．由图（1）到图（4），三角形被纵向压缩21，各点的纵坐标分别乘以21， 横坐标保持不变D ．由图（1）到图（5），两个三角形关于原点成中心对称，各点的纵坐标分别乘以-1，横坐标保持不变．解：B[总结] 图形上点的坐标变化与图形变化间的关系 1．纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的k 倍： （1)当k ＞1时，原图形被横向伸长为原来的k 倍；’ (2)0＜k ＜1时，原图形被横向压缩为原来的k 倍． 2．横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的k 倍： （1)当k ＞1时，原图形被纵向伸长为原来的k 倍，(2）当0＜k ＜1时，原图形被纵向压缩为原来的k 倍． 3．纵坐标保持不变，横坐标分别加k ：（1)当k 为正整数时，原图形形状大小不变，原图形向右平移k 个单位长度；(5)(4)(2)(2)当k为负整数时，原图形形状大小不变，原图形向左平移k个单位长度．4．横坐标保持不变，纵坐标分别加k：（1)当k＞0时，原图形形状大小不变，原图形向上平移k个单位；(2)当k＜0时，原图形形状大小不变，原图形向下平移k个单位．5.横坐标保持不变，纵坐标分别乘一1，所得的图形与原图形关于横轴成轴对称．6.纵坐标保持不变，横坐标分别乘一1，所得的图形与原图形关于纵轴成轴对称．7.横、纵坐标分别乘一1，所得的图形与原图形关于原点成中心对称图形．8．横、纵坐标分别变成原来的k倍：（1) 当k＞1时，所得的图形与原图形相比，形状不变，边长放大了k倍；(2)当0＜k＜1时，所得的图形与原图形相比，形状不变，边长缩小了k倍．基础训练一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1．将某图形的各顶点的横坐标都减去5，纵坐标保持不变，则该图形 ( ) A．横向向右平移5个单位 B.横向向左平移5个单位C．纵向向上平移5个单位 D.纵向向下平移5个单位2. △ABC的三个顶点的坐标为A（1，0），B（3，0）C（2，－4），将△ABC的各点的横坐标都乘以－1，得△DEF，则（）A、△DEF与△ABC关于x轴对称B、△DEF与△ABC关于y轴对称C、△DEF与△ABC关于坐标原点对称D、△DEF与△ABC向下平移1个单位得到的3.在直角坐标系中, 点P(-2,3)向右平移3个单位长度后的坐标为 ( )A. (3,6)B. (1,3)C. (1,6)D. (3,3)二、填空题4．在平面直角坐标系中，一个图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别加－4，所得图形与原图形相比，．5．在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴正方向平移3个单位，再沿y轴负方向平移4个单位，所得图形的坐标是得到．6．三角形的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍，所得三角形与原三角形相比，，面积为原来的．三、解答题7. 下图是10×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为单位1，将△ABC向右平移4个单位，得到△A1B1C1，再把△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°，得到△A1B2C2. 请你画出△A1B1C1和△A1B2C2,并求出△A1B1C1和△A1B2C2顶点的坐标．7图拓展延伸一、选择题1．某同学将直角坐标系中点A 的横坐标乘2再加2，纵坐标减2再除以2，点A 恰好落在原点上，则点A 的坐标为（ ） A 、（－1，－2） B 、（－2，1） C 、（－1，2） D 、（2，－1）2．将图1中各点的横坐标不变，纵坐标分别乘以－1，所得图形为 （ ）二、填空题3. 图形的各点的横坐标保持不变，纵坐标分别加3，所得图形与原图形的关系是 ．4. 如多边形各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，那么所得到的图形与原多边形相比的变化是________________；如多边形各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以－1，那么所得到的图形与原多边形相比的变化是________________5. 点A （a ，b ）和B 关于x 轴对称，而点B 与点C （2，3）关于y 轴对称，那么，a= _______ , b=_______ ,点A 和C 的位置关系是________________． 三、解答题 6．在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1 ，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2 ，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3 ……．已知A （1，3）,A 1（2，3）， A 2（4，3），A 3（8，3），B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0）,B 3（16，0）．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4 ，则A 4的坐标是 ，B 4的坐标是 ．（2）若按以上规律将△OAB 进行n 次变换，得到△OA n B n ,推测A n 的坐标是 ，B n 的坐标是 ．图1。
平面直角坐标系(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题3.3 平面直角坐标系（知识讲解）【学习目标】1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系；2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点的位置求出坐标；3.掌握点位置与其坐标的符号特征；3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．特别说明：：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是8排9号，可以写成(8，9)的形式，而(9，8)则表示9排8号．要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).特别说明：：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.特别说明：：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．特别说明：：（1）坐标轴x 轴与y 轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x 轴与y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律特别说明：：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a ，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a ，-a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同.要点五、两点之间距离公式及中点坐标公式1. 两点之间距离公式1122(,),A B x y AB =点（x ,y ）则2.中点坐标公式12121122(,),;22x x y y A B x y AB C y ++=点（x ,y ）线段中点为（x,y ）,则x= 【典型例题】类型一、建立平面直角坐标系并求点的坐标（建系）1．如图，正三角形ABC 的边长为 4 ， 建立适当的直角坐标系 ，并写出各个顶点的坐标 ．【答案】A （0，，B （－2，0 ），C （2，0）解：如图，以边BC 所在的直线为x 轴，以边BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 由正三角形的性质可知AO ＝ABC 各个顶点A ，B ，C 的坐标分别为A（0，，B （－2，0 ），C （2，0）．举一反三：【变式1】如图，点A 、B 、C 都在方格纸的格点上，若点A 的坐标为()0,2，点B 的坐标为()2,0，试建立恰当的直角坐标系，写出点C 的坐标．【答案】图见分析，()2,1C【分析】根据点的坐标建立坐标系，再确定坐标．解：如图所示建立直角坐标系：∴点C 的坐标为（2，1）．【点拨】本题考查了坐标系及其点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．【变式2】如图，建立平面直角坐标系，正方形ABFG和正方形CDEF中，使点B、C -和(0,0)的坐标分别为(4,0)(1)请直接写出A，D，E，F的坐标；(2)求正方形CDEF的面积．【答案】(1)A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F（﹣1，2）(2)5【分析】（1）先利用点B和点C的坐标画出平面直角坐标系，然后根据点的坐标的意义即可得到点A、D、E、F的坐标；（2）利用正方形的面积公式和勾股定理解答即可．（1）解：如图所示：∴A（﹣6，3），D（2，1），E（1，3），F（﹣1，2）．（2）解：∴ CD∴正方形CDEF的面积＝5．【点拨】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求线段长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住坐标系中坐标特征是解题的关键．类型二、点到坐标轴的距离2．已知点(23,4)A a a -+在第一象限，且点A 到x 轴和y 轴的距离相等，求点A 的坐标．【答案】（11，11）【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点，横纵坐标的符号关系，结合点A 到x 轴和y 轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案． 解：点(23,4)A a a -+在第一象限，点A 到x 轴和y 轴的距离相等，234a a ∴-=+，解得：7a =，故2327311a -=⨯-=，411a +=，则点A 的坐标为：(11,11)．【点拨】本题主要考查了第一象限内点的坐标特点，解题的关键是结合点A 到x 轴和y 轴的距离相等，得出横纵坐标相等，进而得出答案．举一反三：【变式1】已知平面直角坐标系中有一点(21,3)M m m --.（1）当点M 到y 轴的距离为1时，求点M 的坐标；（2）当点M 到x 轴的距离为2时，求点M 的坐标.【答案】（1）点M 的坐标是(1,2)-或(1,3)--；（2）点M 的坐标是(9,2)或(1,2)-【分析】根据点到坐标轴的距离为其横坐标或纵坐标的绝对值求解即可．解：（1）|21|1m -=，211m ∴-=或211m -=-，解得1m =或0m =，∴点M 的坐标是(1,2)-或(1,3)--.（2）|3|2m -=，32m ∴-=或32m -=-，解得5m =或1m =，∴点M 的坐标是(9,2)或(1,2)-.【点拨】本题考查的知识点是根据点到坐标轴的距离求点的坐标，需注意多解问题，不要漏解．【变式2】已知平面直角坐标系中有一点M(m －1，2m ＋3)．(1) 当m 为何值时，点M 到x 轴的距离为1?(2) 当m 为何值时，点M 到y 轴的距离为2?【答案】（1）m ＝－1或m ＝－2.（2）m ＝3或m ＝－1.试题分析：（1）让纵坐标的绝对值为1列式求值即可；（2）让横坐标的绝对值为2列式求值即可．解：（1）∴|2m+3|=12m+3=1或2m+3=-1∴m=-1或m=-2；（2）∴|m -1|=2m -1=2或m -1=-2∴m=3或m=-1．考点：点的坐标．类型三、判断点所在的象限3.已知点(3,22)-+A a b ，以点A 为坐标原点建立直角坐标系．(1) 求a ，b 的值；(2) 判断点(24,31)--B a b 、点(3,)-+C a b 所在的位置．【答案】(1)a ＝3，b ＝−1(2)B （2，−4）在第四象限；C （0，−1）在y 轴的负半轴上且到x 轴的距离为1．【分析】（1）根据点A 为原点，则点A 的横纵坐标都为0，解答即可；（2）把a ＝3，b ＝−1分别代入B ，C 即可求解．(1)解：∴点A 为原点，∴a −3＝0，2b ＋2＝0，解得：a ＝3，b ＝−1；(2)解：把a ＝3，b ＝−1代入点B 得：2a −4＝2×3−4＝2，3b −1＝3×（−1）−1＝−4，∴B （2，−4）在第四象限；把a ＝3，b ＝−1代入点C 得：−a ＋3＝−3＋3＝0，b ＝−1，∴C （0，−1）在y 轴的负半轴上且到x 轴的距离为1．【点拨】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握x 轴，y 轴上点的坐标特征． 举一反三：【变式1】已知a ，b 都是实数，设点P （a ，b ），若满足3a ＝2b ＋5，则称点P 为“新奇点”．(1) 判断点A （3，2 ）是否为“新奇点”，并说明理由；(2) 若点M （m －1，3m ＋2）是“新奇点”，请判断点M 在第几象限，并说明理由．【答案】(1)点A （3，2）是“新奇点”，理由见分析，(2)点M 在第三象限，理由见分析．【分析】（1）根据题目中“新奇点”的判断方法，将3a =，2b =，代入判断325a b =+，即可证明；（2）根据点()132M m m -+，是“新奇点”，可得()()312325m m -=++，求解代入得出4m =-，即可确定点的坐标，然后判断在哪个象限即可．(1)解：点()32A ，是“新奇点”，理由如下： 当A (3，2)时，3a =，2b =，∴39a =，259b +=，∴325a b =+．∴点()32A ，是“新奇点”； (3) 点M 在第三象限，理由如下：∴点()132M m m -+，是“新奇点”， ∴1a m =-，32b m =+，∴()()312325m m -=++，解得：4m =-，∴15m -=-，3210m +=-，∴点()5,10M --在第三象限．【点拨】题目主要考查求代数式的值及解一元一次方程，判定点所在象限，理解题中新的定义是解题关键．【变式2】在图中建立适当的平面直角坐标系，使A 、B 两点的坐标分别为(-4，1)和(-1，4)，写出点C 、D 的坐标，并指出它们所在的象限．【分析】首先根据点A 、B 的坐标确定坐标原点和x 、y 轴的正方向，进而建立平面直角坐标系，再结合图形得出C 、D 两点的坐标，进而判断这两个点所在的象限.解：建立平面直角坐标系如图：得C (-1，-2)、D (2，1)．由图可知，点C 在第三象限，点D 在第一象限.【点拨】本题考查了已知两点确定直角坐标系的知识，根据两点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键.类型四、已知点的象限求参数4．在平面直角坐标系中，有一点M (a －2，2a +6)，试求满足下列条件的a 值或取值范围．(1) 点M 在y 轴上；(2) 点M 在第二象限；(3) M 到x 轴的距离为2．【答案】(1)a =2(2)－3<a <2(3)a =–2或–4【分析】（1）点在y 轴上，该点的横坐标为0即可求解；（2）根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0即可求解；（3）根据点到x 轴的距离为2，则该点的纵坐标的绝对值为2，据此计算即可．(1)解：由题意得，a ﹣2＝0，解得a ＝2；(2)解：由20260a a -⎧⎨+⎩＜＞， 解得，﹣3＜a ＜2；(3)解：由|2a +6|＝2，解得a ＝–2或–4．【点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限内点的坐标的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．举一反三：【变式1】已知点()39,210A m m --，分别根据下列条件解决问题：(1) 点A 在x 轴上，求m 的值；(2) 点A 在第四象限，且m 为整数，求点A 的坐标．【答案】(1)5m = (2)()3,2A -【分析】（1）根据x 轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；（2）根据第四象限点的符号特征(),+-，列出不等式组求出m 的值，求出点A 坐标；(1)解：由2100m -=，得5m =；(2)∴点()39,210A m m --在第四象限，∴3902100m m ->⎧⎨-<⎩①②， 解不等式∴得3m >，解不等式∴得5m <，所以，m 的取值范围是35m <<，∴m 为整数，∴4m =，∴()3,2A -．【点拨】本题考查平面直角坐标中点的坐标，x 轴上的点的纵坐标等于零，各象限点的特征，解题关键是熟记点的特征．【变式2】已知平面直角坐标系中一点()25,3A a a -+，分别求出满足下列条件的点A 的坐标．(1) 点A 在过点()3,3-且平行于x 轴的直线上；(2) 点A 在第一、三象限的角平分线上；(3) 点A 在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为10．【答案】(1)()17,3--(2)()11,11(3)()9,1-【分析】（1）根据平行于x 轴的直线上点的纵坐标相同，即可求解；（2）根据在第一、三象限的角平分线上的点横纵坐标相同，即可求解；（3）根据点A 在第二象限，可得25030a a -<⎧⎨+>⎩，再由点A 到两坐标轴的距离之和为10，可得52310a a -++=，即可求解．(1)解：∴点A 在过点()3,3-且平行于x 轴的直线上，∴33a +=-，解得：6a =-，∴2517,33a a -=-+=-，∴点A 的坐标为()17,3--；(2)解：∴点A 在第一、三象限的角平分线上，∴253a a -=+，解得：8a =，∴25311a a -=+=，∴点A 的坐标为()11,11；(3)解：∴点A 在第二象限，∴25030a a -<⎧⎨+>⎩，解得：532a -<<， ∴点A 到两坐标轴的距离之和为10，25310a a -++=，∴52310a a -++=，解得：2a =-，∴259,31a a -=-+=，∴点A 的坐标为()9,1-．【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的特征及点到坐标轴的距离的应用，点在第一、三象限的角平分线上的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键．类型五、坐标系中描点5．在平面直角坐标系中，把以下各组点描出来，并顺次连接各点．(0，－4)，(3，－5)，(6，0)，(0，－1)，(－6，0)，(－3，－5)，(0，－4)．解：如图：举一反三：【变式1】如图，点A 、B 在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A 、B 的坐标分别为(3,0)(2,0)-、(1)请在图中建立平面直角坐标系．(2)若C 、D 两点的坐标分别为(1,2)、(2,2)-，请描出C 、D 两点．C 、D 两点的坐标有什么异同？直线CD 与x 轴有什么关系？(3)若点(24,1)E m m +-为直线CD 上的一点，则m =___________，点E 的坐标为___________．【答案】(1)答案见分析 (2)答案见分析 (3)3；()10,2E【分析】（1）根据A 、B 两点的坐标即可建立坐标系；（2）直接描出C 、D 两点坐标即可，根据横、纵坐标即可找到规律；（3）根据直线CD 上点的坐标规律即可求出m ．(1)解：如图所示，(2)解：C 、D 两点如图所示，由图可知C 、D 两点横坐标不同，纵坐标相同；直线CD 与x 轴平行；(3)解：由（2）可知//CD x 轴，点(24,1)E m m +-为直线CD 上的一点，12m ∴-=，3m ∴=，2410m ∴+=，()10,2E ∴ ．【点拨】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系等知识，解题的关键是正确作出平面直角坐标系．【变式2】已知平面直角坐标系内有4个点：A (0，2)，B (-2，0)，C (1，-1)，D (3，1)．(1)在平面直角坐标系中描出这4个点；(2)顺次连接A 、B 、C 、D 组成四边形ABCD ，请用两种方法求出四边形ABCD 的面积．【答案】(1)见分析(2)8【分析】（1）根据平面直角坐标系描出点的坐标；（2）根据ΔΔΔΔAEB BFC CGD DHA EFGH ABCD S S S S S S =----长方形四边形，ΔΔΔΔABP BCQ CDM ADN PQMN ABCD S S S S S S =++++正方形四边形求面积即可求解．(1)解：如图所示：点A 、B 、C 、D 为所描的点．(2)方法一：如图所示，作长方形EFGH ：则有ΔΔΔΔAEB BFC CGD DHA EFGH ABCD S S S S S S =----长方形四边形111153221322132222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 8=方法二：如图所示，将四边形ABCD 分割为△ABP 、△BCQ 、△CMD 、△AND 和正方形PQMN ，则有ΔΔΔΔABP BCQ CDM ADN PQMN ABCD S S S S S S =++++正方形四边形11111221322132222=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 8=．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．类型六、坐标与图形6．如图，在长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(a , 0),点C 的坐标为(0,b )，且a 、b 满足8a -+|b - 12|=0,点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O →A →B →C →O 的路线移动．(1) 点B 的坐标为________;当点 P 移动5秒时，点P 的坐标为(2) 在移动过程中，当点P 移动11秒时，求△OPB 的面积．(3) 在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点Q ，使△OPQ 与△OPB 的面积相等．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（8，12），（8，2）；(2)当点P 移动11秒时，△OPB 的面积为12；(3)（0，4）、（0，-4）、（2，0）、（-2，0）．【分析】（1）利用非负数的性质求出a ，b ，可得B 点坐标，再求出点P 移动5秒的路程，可得P 点坐标；（2）求出点P 的坐标，可得PB ＝2，然后根据三角形面积公式计算即可；（3）分情况讨论：∴当点Q 在y 轴上时，∴当点Q 在x 轴上时，分别根据S △OPQ ＝S △OPB列式求出OQ ，即可得到对应的点Q 的坐标．（1）解：120b -=，∴80a -=，120b -=，∴8a =，12b =，∴A （8，0），B （0，12），∴OA ＝BC ＝8，OC ＝AB ＝12，∴B （8，12），∴点P 移动5秒时，移动的路程为5×2＝10，∴P （8，2），故答案为：（8，12），（8，2）；（2）当点P 移动11秒时，移动的路程为：11×2＝22，∴P （6，12），∴PB ＝8－6＝2，∴S △OPB ＝1212122⨯⨯=； （3）分情况讨论：∴当点Q 在y 轴上时，∴点P 移动11秒时，P 点坐标为（6，12），S △OPB ＝12，∴由S △OPQ ＝S △OPB 得：16122OQ ⨯=，∴4OQ =，∴点Q 的坐标为：（0，4）或（0，－4）；∴当点Q 在x 轴上时，∴点P 移动11秒时，P 点坐标为（6，12），S △OPB ＝12，∴由S △OPQ ＝S △OPB 得：112122OQ ⨯=，∴2OQ ，∴点Q 的坐标为：（2，0）或（－2，0），综上，点Q 坐标为：（0，4）或（0，－4）或（2，0）或（－2，0）．【点拨】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，坐标与图形，三角形面积计算等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，长方形OABC 的顶点O 为平面直角坐标系的原点，点A 和点C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(),a b ，且20a b -+=．(1) 求点B 的坐标；(2) 点D 是线段AB 的中点，求OAD △的面积；【答案】(1 ) ()3,5B (2)154OAD S =△【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性质得2032190a b a b -+=⎧⎨+-=⎩，即可得出结论； （2）由矩形的性质得到90OAB ∠=︒，3OA = 5AB =， 再求出AD 的长，即可解决问题．（1）解：∴20a b -+，∴2032190a b a b -+=⎧⎨+-=⎩ 解得35a b =⎧⎨=⎩， ∴()3,5B ；（2）解：()3,5B ，四边形OABC 是矩形，90OAB ︒∴∠=，3OA =，5AB =，∴点D 是线段AB 的中点， ∴1522AD AB == ， ∴15153224OAD S =⨯⨯=△． 【点拨】本题主要考查矩形的性质，绝对值和算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．【变式2】有一张图纸被损坏，但上面有如图的两个标志点A （-3,1），B （-3，-3）可认，而主要建筑C （3,2）破损．(1) 建立直角坐标系；(2) 标出图中C 点的位置；(3) 求出线段AC 的长．【答案】(1)作图见分析；(2)作图见分析；．【分析】（1）以点A向右3个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系；（2）根据C（3，2）确定出点C的位置即可；（3）利用勾股定理即可求得线段AC的长．（1）解：建立直角坐标系如下图所示，（2）解：图中C点的位置如下图所示，（3）解：如下图，∴在Rt ∴ACF 中，∴AFC =90°，CF =1，F A =6，∴AC =【点拨】考查了确定坐标系中点的位置及勾股定理，根据已知点的坐标准确确定出坐标原点的位置是解题的关键．类型七、点坐标的规律7．如图，每个小方格边长为1，已知点1(1,0)A ，2(1,1)A ，3(1,1)A -，4(1,1)A --，5(2,1)A -，6(2,2)A ，7(2,2)A -，8(2,2)--A ，…(1)将图中的平面直角坐标系补画完整；(2)按此规律，请直接写出点的坐标：9A ，10A ；(3)按此规律，则点2022A 的坐标为 ．【答案】(1)见分析(2)(3,2)-，(3,3)(3)(506,506)【分析】（1）根据点的坐标确定坐标轴即可；（2）根据图示及坐标系各象限横纵坐标符号特点即可得出结果；（3）观察图象及各点的坐标特点得出A 4n +2（n +1，n +1），再由2022=4×505+2，即可确定点的坐标．（1）解：根据题意补画得平面直角坐标系如图所示：（2）根据图示坐标系各象限横纵坐标符号特点可得：A 9（3，-2），A 10（3，3）； （3）观察图形发现，下标为4n +2的点落在第一象限的对角线上，∴A 2(1,1)， A 6(2,2)，∴A 4n +2（n +1，n +1），∴2022=4×505+2，∴A 2022（506，506），故答案为：（506，506）．【点拨】题目主要考查坐标系中点的特点，确定坐标系等，理解题意，确定坐标系中点的坐标变化规律是解题关键．举一反三：【变式1】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．(1)填写下列各点的坐标：4A （______，______），8A （______，______）；(2)写出点4n A 的坐标（n 是正整数）4n A （______，______）；(3)求出2022A 的坐标．【答案】(1) 2,0,4,0(2) 2,0n (3) ()1011,1【分析】（1）观察图形，即可求解；（2）观察图形，由（1）发现规律，即可求解；（3）由（1）发现规律：44142(2,0),(2,1),(21,1)n n n A n A n A n +++，即可求解．解：(1)观察图形得∴12834567(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(3,1),(3,0),(4,0)A A A A A A A A ，故答案为：2,0,4,0；(2)由（1）发现规律：4(2,0)n A n ，故答案为：2,0n ；(3)解：由（1）发现规律：44142(2,0),(2,1),(21,1)n n n A n A n A n +++，∴202245052=⨯+，∴2022A 的坐标为()20221011,1A ．【点拨】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．【变式2】如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，1A 的坐标为()2,2，2A 的坐标为()5,2．(1)3A 的坐标为______，n A 的坐标为______（用含n 的代数式表示）；(2)若护栏长为2020，则需要小正方形______个，大正方形______个．【答案】(1)（8，2）；（3n ﹣1，2）(2)674；673【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A 1，A 2，A 3，…，An 各点的纵坐标均为2，横坐标依次比前一个增加3，继而即可求解；（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020包含多少这样的长度，进而便可求出结果．解：(1)∴A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，An 各点的纵坐标均为2，∴小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，An 各点的横坐标依次比前一个增加3，∴A 3（5+3，2），An （233...3++++，2），即A 3（8，2），An （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；(2)由已知可得，所有小正方形和大正方形之间的直角三角形是全等的等腰直角三角形 ∴直角三角形的直角边长等于小正方形边长，长度是1，∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：1+1+1=3，∴2020÷3＝673…1，∴需要小正方形673+1=674（个），大正方形673个．故答案为：674；673．【点拨】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．。
位置的确定与平面直角坐标系
位置的确定与平面直角坐标系知识点一 确定位置的方法确定位置常用的方法：（1）电影院中“位置确定的方法”；（2）极坐标定位法，即方向角+距离；（3）区域定位法。
典型例题分析例1．下列数据不能确定物体位置的是（ ）A 、4楼 8号B 、北偏东60C 、希望路30号D 、东经118，北纬41例2 如图1，已知棋子“车”的坐标为（－2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为A 、（3，2）B 、（3，1）C 、（2，2）D 、（－2，2）例3 如果将你的座位3排2号简记为（3，2），那么2排3号如何表示？（5，6）表示什么含义？（6，5）与（5，6）表示的位置是否相同？总结：在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。
随堂练习一 1、根据下列条件，能确定位置的是─── .(填序号即可)（1）座号是3排6号；（2）某城市在东京1180，北纬390； （3）家住发展街20号；（4）A 地距B 地30千米。
（5）沉船C 在海岸观测点A 的北偏东400,海岸观测点B 的西北方向. 2、利用电影票可以找到其相应的位置，如果将“3排9号”简记作(3,9)，那么“6排5号” 简记作________，那么(1,6)表示这张电影票是____排____号．3、某市区有3个加油站，位置如图5-1-1所示，若加油站１的位置表示为(B ,2)，则加油站2的位置可表示为________，加油站3的位置可表示为________．4、一栋办公大楼共8层，每层有12个办公室，其中201室表示2楼的第1个办公室，那么611表示 楼的第 个办公室．5、小虫在小方格的线路上爬行，它的起始位置是A (2,2)，先爬到B (2,4)，再爬到C (5,4)，最后爬到D (5,6)，则小虫共爬了（ ）．A 、7个单位B 、5个单位C 、4个单位D 、3个单位6、已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（ ）A 、南偏东50B 、南偏东40C 、北偏东50D 、北偏东40 7、如图2所示，用(0,0)表示A 点的位置，用(2,1)表示B （1）△CDE 的三个顶点的位置如何表示？（2）在图中表示出点M (6，2)，N (4，4)的位置．知识点二 平面直角坐标系的相关概念（1）概念：图1 O 5-1-1E站3站2站1D CB A 321DC B E在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点．这个平面叫做坐标平面．（2）四个象限两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限．（3）点的坐标：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y 轴作垂线，垂足在x轴y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标．有序数对（a、b）叫做点P的坐标．典型例题分析例1如图，写出图中各点的坐标．例2分别在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连结起来．(1)A(－6，－4)、B(－4，－3)、C(－2，－2)、D(0，－1)、E(2，0)、F(4，1)、G(6，2)、H(8，3)．知识点三坐标系内点的特征各象限内点的坐标特征：点P（x，y）在第一象限，则x>0，y>0；点P（x，y）在第二象限，则x<0，y>0；点P（x，y）在第三象限，则x<0，y<0；点P（x，y）在第四象限，则x<0，y>0。
位置与坐标经典题目及练习
位置与坐标经典题目及练习例1：已知点M(m24m11,n5)，则点M在平面直角坐标系中的什么位置例2：已知：A(4,3)，B(1,1)，C(3,)，求三角形ABC的面积.例3：已知：A(12a,4a5)，且点A到两坐标轴的距离相等，求A点坐标．例4：已知：A(4,3)，B(1,1)，C(3,)，求三角形ABC的面积.例5：如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（，），A（。
6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E （6，）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是________例6：点A（－1，2）关于y轴的对称点坐标是；点A关于原点的对称点的坐标是。
点A关于x轴对称的点的坐标为例7：在平面直角坐标系中，已知：A(1,2)，使得AC BCB(4,4),在x轴上确定点C。
最小．例8：点A(m5,1)，点B(4,m1)，且直线AB//y轴，则m的值为几何例9：在平面直角坐标系中，点P(x,y)横、纵坐标相称，在平面直角坐标系中透露表现出点P的位置.例10：在平面直角坐标系中，点P(x,y)横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标系中表示出点P的位置.例11：在平面直角坐标系中，点P(x,y)横、纵坐标满意y|x1|，在平面直角坐标系中透露表现出点P的位置.例题12：将点P（－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q（x，y），则xy＝___________典型练题目一．认真选一选：1.下列各点中，在第二象限的点是（）A.（2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（-2，3）2.将点A （-4，2）向上平移3个单元长度获得的点B的坐标是（）A.（-1，2）B.（-1，5）C.（-4，-1）D.（-4，5）3.假如点M （a-1，a+1）在x轴上，则a的值为（）A。
a=1.B。
a=-1.C。
a>0.D。
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平面直角坐标系一、知识点复习1.有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，记作),(b a 。
注意a 与b 的先后顺序对位置的影响。
2.平面直角坐标系（1）定义：在同一平面内画两条相互垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
这个平面叫做坐标平面。
（2）平面直角坐标系中点的坐标：通常若平面直角坐标系中有一点A ，过点A 作横轴的垂线，垂足在横轴上的坐标为a ，过点A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上的坐标为b ，有序实数对),(b a 叫做点A 的坐标，其中a 叫横坐标，b 叫做纵坐标。
3.各象限内的点与坐标轴上的点的坐标特征：4. 特殊位置点的特殊坐标5.对称点的坐标特征：6.点到坐标轴的距离：点),(y x P 到X 轴距离为y ，到y 轴的距离为x 。
7.点的平移坐标变化规律：简单记为“左减右加，上加下减”二、典型例题讲解考点1：点的坐标与象限的关系1．在平面直角坐标系中，点P （-2，3）在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四2.若点)2,(-a a P 在第四象限，则a 的取值范围是（ ）A. 02<<-aB.20<<aC.2>aD.0<a3.在平面直角坐标系中，点P （-2，12+x ）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点2：点在坐标轴上的特点1.点)1,3(++m m P 在x 轴上，则P 点坐标为（ ）A ．)2,0(- B.)0,2( C.)0,4( D.)4,0(-2.已知点)12,(-m m P 在y 轴上，则P 点的坐标是 。
3.若点P （x ，y ）的坐标满足xy=0（x ≠y ），则点P 必在（ ）A ．原点上B ．x 轴上C ．y 轴上D ．x 轴上或y 轴上（除原点）考点3：对称点的坐标1.平面直角坐标系中，与点)3,2(-关于原点中心对称的点是（）A.)2,3(- D.（2,3）(- B.)2,3(- C.)3,22.已知点A的坐标为（-2，3），点B与点A关于x轴对称，点C与点B关于y轴对称，则点C关于x轴对称的点的坐标为（）A．（2，-3） B．（-2，3） C．（2，3） D．（-2，-3）3.若坐标平面上点P（a，1）与点Q（-4，b）关于x轴对称，则（）A．a=4，b=-1 B．a=-4，b=1 C．a=-4，b=-1 D．a=4，b=1考点4：点的平移1.已知点A（-2，4），将点A往上平移2个单位长度，再往左平移3个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（-5，6） B．（1，2） C．（1，6） D．（-5，2）2．已知A（2，3），其关于x轴的对称点是B，B关于y轴对称点是C，那么相当于将A经过（）的平移到了C．A．向左平移4个单位，再向上平移6个单位B．向左平移4个单位，再向下平移6个单位C．向右平移4个单位，再向上平移6个单位D．向下平移6个单位，再向右平移4个单位3．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点5：点到坐标轴的距离考点6：平行于x轴或y轴的直线的特点1.如图，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是（）A．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同2.已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（）A．2 B．-4 C．-1 D．33.已知点M（-2，3），线段MN=3，且MN∥y轴，则点N的坐标是（）A.（-2，0） B．（1，3）C．（1，3）或（-5，3） D．（-2，0）或（-2，6）考点7：角平分线的理解1．已知点A（3a+5，a-3）在二、四象限的角平分线上，则a= .考点8：特定条件下点的坐标1．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（﹣2，2）考点9：面积的求法（割补法）1.（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：A（-1，0），B（3，-1），C（4，3）；（ 2）顺次连接A，B，C，组成△ABC，求△ABC的面积．参考答案：（1）略（2）8.52.如图，在四边形ABCD中，A、B、C、D的四个点的坐标分别为（0，2）（1，0）（6，2）（2，4），求四边形ABCD的面积．3.在图中A（2，-4）、B（4，-3）、C（5，0），求四边形ABCO的面积．考点10：根据坐标或面积的特点求未知点的坐标1.已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（）A．2 B．4 C．0或4 D．4或-42.如图，已知：)4,5B、)2,0(C。
-(-A、)2,2(-（1）求ABC∆的面积；（2）y轴上是否存在点P，使得PBC∆的面积相等，若存在求出P点的坐标，若∆面积与ABC不存在，请说明理由。
考点11：有规律的点的坐标1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…（n为自然数）的坐标为（用n表示）．那么点A4n+12．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是．三、课后作业一．选择题1.下列各点中位于第四象限的点是（ ）A ．（3，4）B ．（-3，4）C ．（3，-4）D ．（-3，-4）2.已知a ＞0，b ＜0，那么点P （a ，b ）在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四 3.点)1,2(-M 关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A.)1,2(--B.)1,2(C.)1,2(-D.)2,1(-4.若点A （3-m ，n+2）关于原点的对称点B 的坐标是（-3，2），则m ，n 的值为（ ）A ．m=-6，n=-4B ．m=O ，n=-4C ．m=6，n=4D ．m=6，n=-4 5．若点P （x ，y ）的坐标满足xy=0，则点P 的位置是（ ）A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．是坐标原点D ．在x 轴上或在y 轴上6.若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（-2，-2）C ．（2，2）或（-2，-2）D ．（-2，2）或（2，-2）7. 点（2，3），（1，0），（0，-2），（0，0），（-3，2）中，不属于任何象限的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8. 将△ABC 的三个顶点的横坐标乘以-1，纵坐标不变，则所得图形（ ）A ．与原图形关于y 轴对称B ．与原图形关于x 轴对称C ．与原图形关于原点对称D ．向x 轴的负方向平移了一个单位9.点P （﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（ ）A ．（﹣3，0）B ．（﹣1，6）C ．（﹣3，﹣6）D ．（﹣1，0）10.若点P （a ，-b ）在第三象限，则M （ab ，-a ）应在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题11.已知点)12,(-m m P 在y 轴上，则P 点的坐标是 。
12.在如图所示的象棋盘上，若“将”位于点（1，-2）上，“象”位于点（3，-2）上，则“炮”位于点 上。
13.在平面直角坐标系中，点A （-2，a ），B （b ，3），点A 在点B 的左边，已知AB=3，且AB ∥x 轴，则a= ；b= 。
三、解答题 14.已知点P （-3a-4，2+a ），解答下列各题：（1）若点P 在x 轴上，则点P 的坐标为 ；（2）若Q （5，8），且PQ ∥y 轴，则点P 的坐标为 ； （3）若点P 在第二象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等，求a 2018+2018的值．15如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，C 点坐标为（1，2）．（1）写出点A 、B 的坐标：A( , )，B( , )；（2）将△ABC 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A ′B ′C ′，则A ′B ′C ′的三个顶点坐标分别是A ′（ ， ）、B ′（ ， ）、C ′（ ， ）．（3）△ABC 的面积为 ．四、典型例题讲解考点1：点的坐标与象限的关系2．在平面直角坐标系中，点P （-2，3）在第（ ）象限．B ．一 B ．二C ．三D ．四参考答案：B2.若点)2,(-a a P 在第四象限，则a 的取值范围是（ ）B. 02<<-a B.20<<aC.2>aD.0<a参考答案：B3.在平面直角坐标系中，点P （-2，12+x ）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限参考答案：B考点2：点在坐标轴上的特点1.点)1,3(++m m P 在x 轴上，则P 点坐标为（ ）A ．)2,0(- B.)0,2( C.)0,4( D.)4,0(-参考答案：B2.已知点)1P在y轴上，则P点的坐标是。
mm2,(-参考答案：)1,0(-3.若点P（x，y）的坐标满足xy=0（x≠y），则点P必在（）A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．x轴上或y轴上（除原点）参考答案：D考点3：对称点的坐标1.平面直角坐标系中，与点)3,2(-关于原点中心对称的点是（）A.)2,3(- B.)2(- D.（2,3）,3(- C.)3,2参考答案：C2.已知点A的坐标为（-2，3），点B与点A关于x轴对称，点C与点B关于y轴对称，则点C关于x轴对称的点的坐标为（）A．（2，-3） B．（-2，3） C．（2，3） D．（-2，-3）参考答案：C3.若坐标平面上点P（a，1）与点Q（-4，b）关于x轴对称，则（）B．a=4，b=-1 B．a=-4，b=1 C．a=-4，b=-1 D．a=4，b=1参考答案：C考点4：点的平移1.已知点A（-2，4），将点A往上平移2个单位长度，再往左平移3个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（-5，6） B．（1，2） C．（1，6） D．（-5，2）参考答案：A2．已知A（2，3），其关于x轴的对称点是B，B关于y轴对称点是C，那么相当于将A经过（）的平移到了C．A．向左平移4个单位，再向上平移6个单位B．向左平移4个单位，再向下平移6个单位C．向右平移4个单位，再向上平移6个单位D．向下平移6个单位，再向右平移4个单位参考答案：B3．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A考点5：点到坐标轴的距离参考答案：D考点6：平行于x轴或y轴的直线的特点1.如图，AD∥BC∥x轴，下列说法正确的是（）B．A与D的横坐标相同 B．C与D的横坐标相同C．B与C的纵坐标相同 D．B与D的纵坐标相同参考答案：C2.已知点A（m+1，-2）和点B（3，m-1），若直线AB∥x轴，则m的值为（）A．2 B．-4 C．-1 D．3参考答案：C3.已知点M（-2，3），线段MN=3，且MN∥y轴，则点N的坐标是（）A.（-2，0） B．（1，3）C．（1，3）或（-5，3） D．（-2，0）或（-2，6）参考答案：D考点7：角平分线的理解1．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（﹣2，2）参考答案：A考点9：面积的求法（割补法）1.（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：A（-1，0），B（3，-1），C（4，3）；（ 2）顺次连接A，B，C，组成△ABC，求△ABC的面积．参考答案：（1）略（2）8.52.如图，在四边形ABCD中，A、B、C、D的四个点的坐标分别为（0，2）（1，0）（6，2）（2，4），求四边形ABCD的面积．参考答案：123.在图中A（2，-4）、B（4，-3）、C（5，0），求四边形ABCO的面积．参考答案：12.5考点10：根据坐标或面积的特点求未知点的坐标1.已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（）A．2 B．4 C．0或4 D．4或-4参考答案：D2.如图，已知：)4,5-(-B、)2,0(C。