2017年中考备考专题复习动点综合问题(解析版)
专题36动点综合问题2年中考1年模拟备战2017年中考数学(附解析)
备战2017中考系列：数学2年中考1年模拟第七篇 专题复习篇专题36 动点综合问题☞解读考点☞考点归纳归纳 1：动点中的特殊图形基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．【例1】14．（2016广东省梅州市）如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为．【答案】（12）或（12）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标．【解析】【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．等腰三角形的判定；3．动点型．归纳2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容．注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合．【例2】（2016四川省攀枝花市）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t ≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连结CD 、QC ．（1）当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）当⊙Q 经过点A 时，求⊙P 被OB 截得的弦长．（3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）3011；（2；（3）0＜t ≤1813或3011＜t ≤5． 【分析】（1）由题意知CD ⊥OA ，所以△ACD ∽△ABO ，利用对应边的比求出AD 的长度，若Q 与D 重合时，则，AD +OQ =OA ，列出方程即可求出t 的值；（2）由于0＜t ≤5，当Q 经过A 点时，OQ =4，此时用时为4s ，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，利用垂径定理即可求出⊙P 被OB 截得的弦长；（3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC 与⊙P 相切时，计算出此时的时间；②当Q 与D 重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t 的取值范围．（3）当QC与⊙P相切时，如图2，此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴AQ ACAB OA=，∴62106t t-=，∴t=1813，∴当0＜t≤1813时，⊙P与QC只有一个交点；当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=3011，∴当3011＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤1813或3011＜t≤5．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．考点：1．圆的综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．归纳3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．【例3】（2016山东省济南市）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．【点评】此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．考点：1．动点问题的函数图象；2．分类讨论；3．分段函数；4．综合题．☞2年中考【2016年题组】一、选择题1．（2016山东省泰安市）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP是关键．考点：动点问题的函数图象．2．（2016山东省烟台市）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解析】根据题意得：sin∠APB=OAAP，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即1yx（1＜x＜2），图象为：，故选B．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，列出y与x的函数关系式是解本题的关键．考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型；3．函数思想．3．（2016广东省）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定出大致图象即可．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型；3．分段函数；4．分类讨论；5．函数思想．4．（2016湖北省荆州市）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧 ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】C．【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出 AC BC=是解题关键，又利用了圆周角定理．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．动点型．5．（2016青海省西宁市）如图，在△ABC 中，∠B =90°，tan ∠C =34，AB =6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ）A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 2【答案】C ．【分析】先根据已知求边长BC ，再根据点P 和Q 的速度表示BP 和BQ 的长，设△PBQ 的面积为S ，利用直角三角形的面积公式列关于S 与t 的函数关系式，并求最值即可．【解析】∵tan ∠C =34，AB =6cm ，∴6AB BC BC ==34，∴BC =8，由题意得：A P =t ，BP =6﹣t ，BQ =2t ，设△PBQ 的面积为S ，则S =12×BP ×BQ =12×2t ×（6﹣t ），S =26t t -+=2(3)9t --+，P ：0≤t ≤6，Q ：0≤t ≤4，∴当t =3时，S 有最大值为9，即当t =3时，△PBQ 的最大面积为9cm 2；故选C ．【点评】本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．考点：1．解直角三角形；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．动点型．二、填空题6．（2016四川省泸州市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C （1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．【答案】6．【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知P A=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．【点评】本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，解题的关键是发现P A=AB=AC=a，求出点P到点A的最大距离即可解决问题，属于中考常考题型．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．动点型；3．最值问题．7．（2016江苏省苏州市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为．【答案】（1．【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．考点：1．坐标与图形性质；2．平行线分线段成比例；3．相似三角形的判定与性质；4．动点型．8．（2016江苏省镇江市）如图1，⊙O的直径AB=4厘米，点C在⊙O上，设∠ABC的度数为x（单位：度，0＜x＜90），优弧 ABC的弧长与劣弧 AC的弧长的差设为y（单位：厘米），图2表示y与x的函数关系，则α=度．【答案】22.5．【分析】直接利用弧长公式表示出y与x之间的关系，进而代入（a，3π）求出答案．【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出y与x之间的关系式是解题关键．考点：1．动点问题的函数图象；2．弧长的计算．9．（2016浙江省舟山市）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ P运动一周时，点Q运动的总路程为．【答案】4．【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ 的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O 时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【解析】在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．考点：1．解直角三角形；2．动点型；3．分段函数；4．分类讨论．10．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC 的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是．【答案】256或5013．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据''''ED DOMN O N=计算即可；②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得DO EDEF EM=计算即可．【解析】如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE=12BC=10，∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN ′=90°，【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 考点：1．三角形中位线定理；2．相似三角形的判定与性质；3．分类讨论；4．动点型．三、解答题11．（2016四川省攀枝花市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．（3）直线l 经过A 、C 两点，点Q 在抛物线位于y 轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B 和点Q ，是否存在直线m ，使得直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式，若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758；（3）存在，113y x =-． 【分析】（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC ，则△ABC 的面积是不变的，过P 作PM ∥y 轴，交BC 于点M ，设出P 点坐标，可表示出PM 的长，可知当PM 取最大值时△PBC 的面积最大，利用二次函数的性质可求得P 点的坐标及四边形ABPC 的最大面积；（3）设直线m 与y 轴交于点N ，交直线l 于点G ，由于∠AGP =∠GNC +∠GCN ，所以当△AGB 和△NGC 相似时，必有∠AGB =∠CGB =90°，则可证得△AOC ≌△NOB ，可求得ON 的长，可求出N 点坐标，利用B 、N 两的点坐标可求得直线m 的解析式．【解析】在223y x x =--中，令y =0可得2023x x =--，解得x =﹣1或x =3，∴A 点坐标为（﹣1，0），∴AB =3﹣（﹣1）=4，且OC =3，∴S △ABC =12AB •OC =12×4×3=6，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴直线BC 解析式为y =x ﹣3，设P 点坐标为（x ，223x x --），则M 点坐标为（x ，x ﹣3），∵P点在第四限，∴PM =23(23)x x x ---- =23x x -+，∴S △PBC =12PM •OH +12PM •HB =12PM •（OH +HB ）=12PM •OB =32PM ，∴当PM 有最大值时，△PBC 的面积最大，则四边形ABPC 的面积最大，∵PM =23x x -+=239()24x --+，∴当x =32时，PM max =94，则S △PBC =3924⨯=278，此时P 点坐标为（32，154-），S 四边形ABPC =S △ABC +S △PBC =6+278=758，即当P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758；【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM 的值最时四边形ABPC 的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m 的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．动点型；6．压轴题．12．（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．【答案】（1）239344y x x =--+；（2）存在，P （5，3）；（3）M （1，0）或（﹣5，92-）时，|PM ﹣AM |的值最大，为5．【分析】（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把A ，B ，C 三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA ，OB ，OC 的长，利用勾股定理求出BC 与AC 的长相等，只有当BP 与AC 平行且相等时，四边形ACBP 为菱形，可得出BP 的长，由OB 的长确定出P 的纵坐标，确定出P 坐标，当点P 在第二、三象限时，以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线P A 解析式，当点M 与点P 、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM ﹣AM |＜P A ，当点M 与点P 、A 在同一直线上时，|PM ﹣AM |=P A ，当点M 与点P 、A 在同一直线上时，|PM ﹣AM |的值最大，即点M 为直线P A 与抛物线的交点，联立直线AP 与抛物线解析式，求出当|PM ﹣AM |的最大值时M 坐标，确定出|PM ﹣AM |的最大值即可．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．动点型；4．最值问题；5．压轴题．13．（2016四川省雅安市）已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12y x（0＜x＜20）；（2）当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据三角函数可求y与x的函数关系式；（2）分三种情况：①如图1，当∠FPE=90°时，②如图2，当∠PFE=90°时，③当∠PEF=90°时，进行讨论可求x的值．【点评】考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，注意分类思想的运用，综合性较强，难度中等．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．矩形的性质；4．解直角三角形；5．动点型；6．存在型；7．分类讨论．14．（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=BAD=60°，且AB＞（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【答案】（1）120°；（2）3）AP的最大值为12，AP的最小值为6．【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动，∴P1O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6．【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．考点：1．菱形的性质；2．最值问题；3．动点型．15．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．【答案】（1）y =x +3，223y x x =--+；（2）M （﹣1，2）；（3）P （﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1） 或（﹣1 【分析】（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y =mx +n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x =﹣1的交点为M ，则此时MA +MC 的值最小．把x =﹣1代入直线y =x +3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （﹣1，t ），又因为B （﹣3，0），C （0，3），所以可得2BC =18，2PB =24t +，2PC =2610t t -+，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1或（﹣1）．【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．分类讨论；4．动点型；5．压轴题．16．（2016山东省青岛市）已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t为258或5；（2）2131232S t t=-++；（3）t=92；（4）t=2.88．【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=258，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质表示出EH，根据相似三角形的性质表示出QM，FQ，根据图形的面积即可得到结论；（3）根据题意列方程得到t的值，于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM的长，根据勾股定理得到ON的长，由三角形的面积公式表示出OP，根据勾股定理列方程即可得到结论．（3）存在，∵S △ACD =12×6×8=24，∴S 五边形OECQF ：S △ACD =（2131232t t -++）：24=9：16，解得t =92，t =0，（不合题意，舍去），∴t =92时，S 五边形S 五边形OECQF ：S △ACD =9：16； （4）如图3，过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵∠POD =∠COD ，∴DM =DN =245，∴ON =OM ==75，∵OP •DM =3PD ，∴OP =558t -，∴PM =18558t -，∵222PD PM DM =+，∴22218524(8)()()585t t -=-+，解得：t ≈15（不合题意，舍去），t ≈2.88，∴当t =2.88时，OD 平分∠COP ．【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．存在型；5．压轴题．17．（2016广东省梅州市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5cm ，∠BAC =60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ．（1）若BM =BN ，求t 的值；（2）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；（3）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．【答案】（1）15；（2）t =52或t =157；（3）当t =52时，y 的值最小．y 最小 【分析】（1）由已知条件得出AB ，BC ．用含t 的代数式表示出BM ，CN ，BN ，由BM =BN 得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出tt 的值；②当△NBM ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出tt 的值；（3）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，证出△BMD ∽△BAC ，得出比例式求出MD =t ．四边形ACNM 的面积y =△ABC 的面积﹣△BMN 的面积，得出y 是t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．考点：1．相似形综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．最值问题；5．二次函数的最值；6．压轴题．18．（2016广西南宁市）如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y =x ﹣2交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求证：△ABC 是直角三角形；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22y x x =-+，C （﹣1，﹣3）；（2）证明见解析；（3）（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MN ONAB BC=或MN ONBC AB=，可求得N点的坐标．【解析】①当MN ONAB BC==123x x x⋅-+=，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴123x-+=，即123x-+=±，解得x=53或x=73，此时N点坐标为（53，0）或（73，0）；【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题．19．（2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标；（3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =--；（2）E （3213，2013）；（3）E （3，1）或（134，5116-）． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出周长最小时BE ⊥AC ，即作点B 关于直线AC 的对称点F ，连接DF ，交AC于点E ，联立方程组即可；（3）三角形BDE 是直角三角形时，由于BD ＞BG ，因此只有∠DBE =90°或∠BDE =90°，两种情况，利用直线垂直求出点E 坐标．（3）∵BD ，由（2）有，点B 到线段AC 的距离为BG =12BF =12×BD ，∴∠BED 不可能是直角，∵B （﹣1，0），D （0，﹣4），∴直线BD 解析式为y =﹣4x +4，∵△BDE 为直角三角形，∴∠BDE =90°或∠BDE =90°．①当∠BDE =90°时， B E ⊥BD 交AC 于B ，∴直线BE 解析式为1144y x =+，∵点E 在直线AC ：y =﹣x +4的图象上，∴E （3，1）；当②∠BDE =90°时，BE ⊥BD 交AC 于D ，∴直线BE 的解析式为144y x =-，∵点E 在抛物线234y x x =--上，∴直线BE 与抛物线的交点为（0，﹣4）和（134，5116-），∴E （134，5116-），即：满足条件的点E 的坐标为E （3，1）或（134，5116-）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的关键是求函数图象的交点坐标．考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．动点型；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题．20．（2016广西贵港市）如图，抛物线25y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣5，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE =S △ABC 时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠BAP =∠CAE ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）212533y x x =+-；（2）E （﹣2，﹣5）；（3）94或154． 【分析】（1）把A 、B 两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）当S △ABE =S △ABC 时，可知E 点和C 点的纵坐标相同，可求得E 点坐标；（3）在△CAE 中，过E 作ED ⊥AC 于点D ，可求得ED 和AD 的长度，设出点P 坐标，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，由条件可知△EDA ∽△PQA ，利用相似三角形的对应边可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．。
2017年全国中考数学真题分类动态型问题2017(解答题)
2017年全国中考数学真题分类动态型问题 解答题三、解答题1. (2017四川广安，26，10分)如图，已知抛物线y ＝－x ²+bx +c 与y 轴相交于点A (0，3)，与x正半轴相交于点B ，对称轴是直线x ＝1．(1)求此抛物线的解析式以及点B 的坐标．(3分)(2)动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，同时动点N 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，当N 点到达A 点时，M 、N 同时停止运动．过支点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点Q ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，四边形OMPN 为矩形．(3分)②当t >0时，△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．(4分)思路分析：(1)把A 点的坐标代入y ＝c bx x ++-2，求出c 的值，由对称轴是直线x ＝1可求出b 的值，即可求出抛物线的解析式；令y ＝0，求出方程x 的两个值，然后根据题意舍去不合题意的解，即可求得点B 的坐标；(2)①当四边形OMPN 为矩形时，满足条件PM ＝ON ，据此列一元二次方程求解；②△BOQ 为等腰三角形时，可能存在OQ ＝BQ ，OQ ＝OB ，OB ＝BQ 三种情形，需要分类讨论，逐一进行判断计算．解：(1)∵知抛物线y ＝c bx x ++-2与y 轴交于点A (0，3)， ∴c ＝3，∵对称轴是直线x ＝1， ∴1)1(2=-⨯-b，解得b ＝2，∴抛物线的解析式为：y ＝322++-x x ； 令y ＝0，得322++-x x ＝0，解得1x ＝3，2x ＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B 的坐标为(3，0)．(2)①由题意得ON ＝3t ，OM ＝2t ，则点P (2t ，3442++-t t )， ∵四边形OMPN 为矩形，∴PM ＝ON ，即3442++-t t ＝3t ， 解得1t ＝1，2t ＝43-(不合题意，舍去)， ∴当t ＝1秒时，四边形OMPN 为矩形；②能，在Rt △AOB 中OA ＝3，OB ＝3，∴∠B ＝45°， 若△BOQ 为等腰三角形，有三种情况： (I)若OQ ＝BQ ，如答图1所示： 则M 为OB 中点，OM ＝21OB ＝23， ∴t ＝23÷2＝43；(II)若OQ ＝OB 时， ∵OA ＝3，OB ＝3，∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)； (III)若OB ＝BQ 时，如答图2所示： ∴BQ ＝3，∴BM ＝BQ ·cos 45°＝3×22＝223，∴OM ＝OB －BM ＝3－223＝2236-， ∴t ＝2236-÷2＝4236-． 综上所述，当t 为43秒或4236-秒时，△BOQ 为等腰三角形．2.（2017浙江丽水·23·10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C，C2两段组成，如图2所示.1（1）求a的值；（2）求图2中图象C2段的函数表达式；（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ 的面积，求x的取值范围.思路分析：过点P作PD⊥AB于点D．（1）先用含x的代数式表示PD，再根据三角形的面积公式确定y与x之间的函数表达式，由函数的图象得到x，y的一组对应值代入可求a的值；（2）在Rt△PBD中，由解直角三角形知识，用含x和sinB的式子表示PD，同样根据三角形面积公式建立y与x的关系，由函数图形得到x，y的一组对应值，求得sinB，进而确定图2中图象C段的函数2表达式；（3）先求出图象C1段与图象C2段函数值相等时对应的x的值，得到图象C1段函数的最大值，并求出图象C1段函数的最大值在图象C2段对应的x的值，结合函数图象可得到x的取值范围. 解：过点P作PD⊥AB于点D．（1）在图1中，∵∠A ＝300，PA ＝2x ，∴PD ＝PA ·sin 300＝2x ·21＝x ，∴y ＝2212121ax x ax PD AQ =⋅=⋅.由图象得，当x ＝1时，y ＝21，则211212=⋅a ，∴a ＝1.（2）当点P 在BC 上时（如图2），PB ＝5×2－2x ＝10－2x .∴PD ＝PB ·sinB ＝(10－2x )·sin B ．∴·y＝B x x PD AQ sin )210(2121⋅-⋅=⋅.由图象得，当x ＝4时，y ＝34，∴144(108)sin 23B ⨯⨯-=，∴sinB ＝31，∴y ＝x x x x 353131)210(212+-=⋅-⋅.（3）由C 1，C 2的函数表达式，得x x x 35312122+-=，解得x 1＝0（舍去），x 2＝2.由图象得，当x ＝2时，函数y ＝221x 的最大值为y ＝22⨯21＝2.将y ＝2代入函数y ＝x x 35312+-，得2＝x x 35312+-，解得x 1＝2，x 2＝3，∴由图象得，x 的取值范围是2＜x ＜3.3. （2017浙江丽水·24·12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连结BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部.连结AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设AEAD＝n . （1）求证：AE ＝GE ；（2）当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示ABAD的值； （3）若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值.思路分析：设AE ＝a ，则AD ＝n A ．（1）由轴对称性质得到AE ＝FE ，结合“等边对等角”得到∠EAF ＝∠EF A ．由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；（2）由对称性质得BE ⊥AF ，先证∠ABE ＝∠DAC ，进而证得△ABE ∽△DAC ，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解；（3）由特例点F 落在线段BC 上，确定n ＝4，根据条件点F 落在矩形内部得到n ＞4，判断出∠FCG ＜90°.然后分∠CFG ＝90°和∠CGF ＝90°两种情况，由（2）的结论和相似三角形的性质分别建立关于n 的等式，求得n 的值.解：设AE ＝a ，则AD ＝n A ．（1）由对称得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A ．∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EFA ＋∠EFG ＝900.∴∠FGA ＝∠EFG ，∴FG ＝EF ．∴AE ＝EG .（2）当点F 落在AC 上时（如图1），由对称得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝900，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DA C ．又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ，∴DCAEDA AB =.∵AB ＝D C ．∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2.∵AB ＞0，∴AB ＝n a ，∴n an naAB AD ==.（3）若AD ＝4AB ，则AB ＝a n 4．当点F 落在线段BC 上时（如图2），EF ＝AE ＝AB ＝A ．此时an4＝a ，∴n ＝4.∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4．∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.①若∠CFG ＝900，则点F 落在AC 上，由（2）得n ABABn AB AD ==4,即，∴n ＝16. ②若∠CGF ＝900（如图3），则∠CGD ＋∠AGF ＝90°.∵∠FAG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠FAG ＝∠ABE ，∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DG C ．∴DCAEDG AB =.∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即a a n a n⋅-=)2()4(2，解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4（不合题意，舍去）.∴当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形.4. （2017山东枣庄25，10分） 如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA ＝∠BDE 时，求点F 的坐标（3）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请直接写出点Q 的坐标．思路分析：（1）由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法将抛物线解析式变形成顶点式即可得出结论；（2）设线段BF 与y 轴交点为点F ′，设点F ′的坐标为（0，m ），由相似三角形的判定及性质可得出点F ′的坐标，根据点B 、F ′的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的解析式，联立直线BF 和抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F 的坐标；（3）设对角线MN 、PQ 交于点O ′，如图2所示．根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P 、Q 的位置，设出点Q 的坐标为（2，2n ），由正方形的性质可得出点M 的坐标为（2－n ，n ）．由点M 在抛物线图象上，即可得出关于n 的一元二次方程，解方程可求出n 值，代入点Q 的坐标即可得出结论．解：（1）将点B （6，0）、C （0，6）代入212y x bx c =-++中，得：0=-18+66b c c +⎧⎨=⎩，解得：26b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21262y x x =-++．∵221126=-2)822y x x x =-++-+（，∴点D的坐标为（2，8）．（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1所示．∵∠F′BO＝∠FBA＝∠BDE，∠F′OB＝∠BED＝90°，∴△F′BO∽△BDE，∴'OF BEOB DE=．∵点B（6，0），点D（2，8），∴点E（2，0），BE＝6－2＝4，DE＝8－0＝8，OB＝6，∴OF′3BEOBDE⨯=∴点F′（0，3）或（0，－3）．设直线BF的解析式为y＝k x±3，则有0＝6k＋3或0＝6k－3，解得：k＝－12或k＝12，∴直线BF的解析式为y＝－12x＋3或y＝12x－3．联立直线BF与抛物线的解析式得：21321262y xy x x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩①或21321262y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩②，解方程组①得：172xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩或6xy=⎧⎨=⎩（舍去），∴点F的坐标为（－1，72）；解方程组②得：392xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩或（舍去），∴点F的坐标为（－3，－92）．综上可知：点F 的坐标为（－1，72）或（－3，－92）． （3）设对角线MN 、PQ 交于点O ′，如图2所示．∵点M 、N 关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ 为正方形， ∴点P 为抛物线对称轴与x 轴的交点，点Q 在抛物线对称轴上， 设点Q 的坐标为（2，2n ），则点M 的坐标为（2－n ，n ）．∵点M 在抛物线21262y x x =-++的图象上，∴n ＝21-2-)2(2)62n n +-+（，即22160n n +==，解得：1171n =-，1-171n =-．∴点Q 的坐标为（2，217－2）或（2，－217－2）．5. (2017四川泸州，25，12分)如图，已知二次函数y ＝ax ²+bx +c (a ≠0)的图象经过A (－1，0)，B (4，0)，C (0，2)三点． (1)求该二次函数的解析式；(2)点D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA ＝∠CAO (O 是坐标原点)，求点D 的坐标； (3)点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交BC ，y 轴与点E ，F ，若△PEB ，△CEF 的面积分别为S 1，S 2，求S 1－S 2的最大值．思路分析：(1)根据待定系数法求解；(2) 设BD 直线与y 轴的交点为M (0，t )．根据tan ∠MBA ＝tan ∠CAO 列关于t 的方程求解t ，从而可确定直线BD 解析式，再求直线BD 与抛物线交点坐标即可，注意分类讨论；(3) 过点P 作PH //y 轴交直线BC 于点H ，设P (t ，at ²+bt +c )，表示出根据直线BC 表达式点H 的坐标，计算线段PH 长度；用t 表示直线AP 表达式，解出点E 、F 坐标从而可表示出线段CF ，将S 1－S 2用t 表示，根据二次函数性质求最值．解：(1)由题意得：设抛物线的解析式为：y ＝a (x +1)(x －4)； 因为抛物线图像过点C (0，2)， ∴－4a ＝2，解得a ＝－12．所以抛物线的解析式为：y ＝－12 (x +1)(x －4)，即：y ＝－12 x 2+32x +2．(2)设BD 直线与y 轴的交点为M (0，t )． ∵∠DBA ＝∠CAO ，∴∠MBA ＝∠CAO ； ∴tan ∠MBA ＝tan ∠CAO ＝2； ∴||4t ＝2，即：t ＝±8． 当t ＝8时，直线BD 解析式为：y ＝－2x +8．联立，228,132.22y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩ 解得：114,0;x y =⎧⎨=⎩ 223,2.x y =⎧⎨=⎩所以，点D (3，2)．当t ＝－8时，直线BD 解析式为：y ＝2x －8．联立228,132.22y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩ 解得：114,0;x y =⎧⎨=⎩225,18.x y =-⎧⎨=-⎩ 所以，点D (－5，－18)．综上：满足条件的点D有：D1(3，2)，D2(－5，－18)．(3)过点P作PH//y轴交直线BC于点H，设P(t，－12t2+32t+2)，BC直线的解析式为y＝－12x+2，故：H(t，－12t+2)，∴PH＝y P－y H＝－12t2+2t；AP直线的解析式为：y＝(－12t+2)(x+1)，取x＝0得：y＝2－12t；故：F(0，2－12t)，CF＝2－(2－12t)＝12t；联立(2)(1),212.2ty xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解之得：x E＝5tt-；∴S1＝12(y P－y H)(x B－x E)＝12(－12t2+2t)(5－5tt-)；S2＝12•2t•5tt-．∴S1－S2＝12(－12t2+2t)(5－5tt-)－12•2t•5tt-，即：S1－S2＝－32t2+5t＝－32(t－53)2+256．所以，当t＝53时，S1－S2有最大值，最大值为256．6.（2017四川成都，28．12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2:C y ax bx c=++与x轴相交于,A B 两点，顶点为()0,4D ，42AB =，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '． （1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C '与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围；（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点为P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．解：（1）∵抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,4D ，42AB =， ∴抛物线C 的对称轴是y 轴，A (22,0),(22,0),B -设抛物线C 的解析式为(22)(22)y a x x =+-，即，28y ax a =-，∴84a -=，∴12a =-，抛物线C 的解析式为2142y x =-+；（2）如图，∵点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C '，∴(2,4)D m '-，∴设抛物线C '的解析式为21(2)42y x m =--.令抛物线C '过点D （0，4），有214442m =⋅-，∴24m =，∴2m =（舍去负值）； 由221(2)42142y x m y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，有22114(2)422x x m -+=--，即222280x mx m -+-=，当抛物线C '与抛物线C 有唯一交点时，有2222444(28)4320b ac m m m ∆=-=--=-+=， ∴22m =（舍去负值）. ∴m 的取值范围是2<m <22.（3）∵P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，∴点P 在y ＝x 上，由2142x x =-+，解得122,4x x ==-（不合题意，舍去），∴点P 的坐标为（2，2）.∵抛物线C '的解析式为21(2)42y x m =--，F （m ，0），由对称性可知，四边形PMP ′N 能成为正方形，即△PMF 为以F 为顶点的等腰直角三角形.①若0<m ≤2时，如图2①，过点F 、P 、M 分别向坐标轴作垂线交点分别为K 、L ，易得△KPF ≌△LFM ， ∴KF ＝LM ＝2，KP ＝FL ＝2－m ，∴M （m ＋2，m －2），代入2142y x =-+中，得2680m m +-=，解得，12317,317m m =-+=--（不合题意，舍去）.②若m >2，如图2②过点F 、P 、M 分别向坐标轴作垂线交点分别为K 、L ，易得△KPF ≌△LFM ，∴KP ＝FL ＝2－m ，∴M （m －2，2－m ），代入2142y x =-+中，得260m m -=，解得，126,0m m ==（不合题意，舍去）.综上，m 的值为317-+或6.7. （2017浙江金华，24，12分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A （3，33），B （9，53），C （14，0），动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA —AB —BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，25（单位长度/秒）．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式．(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值． (3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图1 图2思路分析：(1)用待定系数法可直接即可；(2)由题意知，OP ＝t ，PC ＝14－t ，PC 边上的高线为23x ＋23，可得S 与t 二次函数表达式，用配方法或公式法求得S 的最大值；(3)本小题应注意t 的取值范围，分4种情况分类讨论，得到有关t 的有关方程，求得相应的t 值．解：（1）设AB 所在直线的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把A(3，33)，B(9，53)代入y＝kx＋b，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.359,333bkbk解得⎪⎩⎪⎨⎧==.32,33bk∴AB所在直线的函数表达式为y＝33x＋23．（2）由题意知，OP＝t，PC＝14－t，PC边上的高线为23t＋23，∴S＝21(14－t)(23t＋23)＝－43t2＋235t＋143(2≤t≤6) ．当t＝5时，S有最大值为4381．（3）①当0<t≤2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图3），可得方程()222142314233ttt-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛．解得t1＝47，t2＝0（舍去），此时t＝47．②当2<t≤6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图4），可得方程()()[]222)23333-=-+tt（．解得t1＝2573+，t2＝2573-（舍去），此时t＝2573+．③当6<t≤10时，10线段PQ的中垂线经过点C（如图5），可得方程14－t＝25－25t，解得t＝322．图3 图4 图5 20线段PQ的中垂线经过点B（如图6），可得方程()()222)625935⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+tt（．解得t 1＝722038+，t 2＝722038-（舍去），此时t ＝722038+． 综合上述，t 的值为47，2573+，322，722038+．图68. （2017浙江衢州,24，12分）在直角坐标系中，过原点O 及点A （8，0）C （0，6）作矩形OABC ．连结OB ，点D 为OB 的中点，点E 时线段AB 上的动点，连结DE ，作DF ⊥DE ，交OA 于点F ，连结EF ．已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t 秒． （1）如图1，当t ＝3时，求DF 的长．（2）如图2，当点E 在线段AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan ∠DEF 的值．（3）连结AD ，当AD 将△DEF 分成的两部分面积之比为1∶2时，求相应t 的值．xy DFE CB A Oxy第24题 图2A BCEF DOxyDF E CB A Oxy ODF E CB A 图2M N xy OG 1N MA B CE F Dxy OG 2DFE CB A M N思路分析：（1）当t ＝3时，点E 为AB 中点．DE 为△ABO 的中位线．（2）过D 作DM ⊥OA ，DN ⊥AB ，垂足分别为M 、N ．利用△DMF ∽△DNE 即可求解．（3）AD将△DEF分成的两部分面积之比为1∶2即可转化为AD与EF交点G为EF的三等分点，注意讨论G点所处的位置．解：（1）当t＝3时，如图1，点E为AB中点．∵点D为中点，∴DE∥OA，DE＝12OA＝4．∵OA⊥AB，∴DE⊥AB．∴∠OAB＝∠DEA＝90°又∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴四边形DFAE是矩形，∴DF＝AE＝3．（2）∠DEF的大小不变．如图2：过D作DM⊥OA，DN⊥AB，垂足分别为M、N．∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，∴BDDO ＝BNNA，ODDB＝OMMA．∵点D为OB中点，∴M，N分别是OA，AB中点．∴DM＝12AB＝3，DN＝12OA＝4，∵∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDN．又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，∴△DMF∽△DNE，∴DFDE ＝DMDN＝34．∵∠EDF＝90°，∴tan∠DEF＝34．（3）过D作DM⊥OA，DN⊥AB，垂足分别为M、N．若AD将△DEF的面积分成1∶2的两部分，设AD交EF于点G，则易得点G为EF的三等分点．①当E到达中点之前时，NE＝3－t，由△DMF∽△DNE得MF＝34（3－t）．∴AF＝4＋MF＝－34t＋254．∵G1为EF的三等分点，∴G1（37112t+，23t）由点A（8，0），D（4，3）得直线AD的解析式为y＝－34x＋6．G 1（37112t+，23t）代入，得t＝7541．②当E越过中点之后，NE＝t－3，由△DMF∽△DNE得MF＝34（t－3）．∴AF＝4－MF＝－34t＋254．∵G2为EF的三等分点，∴G2（3236t+，13t）．代入直线AD解析式y＝－34x＋6，得t＝7541．9.（2017山东德州）（本小题满分10分）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动． ①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．思路分析：（1）由折叠知PB ＝PE ，BF ＝EF ，结合平行线的性质，易得∠EPF ＝∠BPF ＝∠EFP ，故有EP ＝EF ，从而可得四边相等，则四边形BFEP 为菱形；（2）①在Rt △CDE 中，已知CD 长，CE ＝CB ，利用勾股定理计算DE 的长，进而可得AE 的长；又知AB 的长，且BP ＝PE ，故Rt △APE 中，利用勾股定理构建方程求解PE 的长．②点Q 与点C 重合时，点E 离A 点最近，①中已求此时AE 的长．当点P 与点A 重合时，则点E 离A 点最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ．两者之差就是点E 在边AD 上移动的最大距离．解：（1）证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，∴点B 与点E 关于PQ 对称．∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ． 又∵EF ∥AB ，∴∠BPF ＝∠EFP ． ∴∠EPF ＝∠EFP ．∴EP ＝EF ． ∴BP ＝BF ＝FE ＝EP ． ∴四边形BFEP 为菱形．（2）①如图2，∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°． ∵点B 与点E 关于PQ 对称， ∴CE ＝BC ＝5cm ．在Rt △CDE 中，DE 2＝CE 2－CD 2，即DE 2＝52－32，∴DE ＝4cm ．A B C D PFQ E 图1 A BDC PF(Q )E图2A B C D PFQ E 图1 A BDC PF(Q )E图2∴AE ＝AD －DE ＝5cm －4cm ＝1cm ．∴在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3－PB ＝3－PE ，∴EP 2＝12＋(3－EP )2，解得EP ＝35cm ．∴菱形BFEP 边长为35cm ．②当点Q 与点C 重合时，如图2，点E 离A 点最近，由①知，此时AE ＝1cm ． 当点P 与点A 重合时，如图3，点E 离A 点最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ，∴点E 在边AD 上移动的最大距离为2cm ．10. （2017山东威海，23，10分）已知：AB 为⊙O 的直径，2=AB ，弦1=DE ，直线AD 与BE 相交于点C ，弦DE 在⊙O 上运动且保持长度不变，⊙O 的切线DF 交BC 于点F . （1）如图1，若AB DE //，求证：EF CF =；（2）如图2，当点E 运动至与点B 重合时，试判断CF 与BF 是否相等，并说明理由.思路分析：(1)连接OD ，OE 先根据三边相等说明△ODE 是等边三角形，再分别说明△AOD 、△OEB 、△ADE 是等边三角形，最后计算∠3、∠4度数利用三线合一说明结论;(2)先说明BC 是切线，由切线长定理知∠1=∠2，再根据∠3+∠2=∠1+∠C =90°说明∠3=∠C ，可证明DF =CF =BF .证明：连接OD ,OE ,图3EDBQA (P )∵AB=2,∴OA=OD=OE=1．∵DE=1,∴△ODE为等边三角形．∴∠1=60°.∵DE∥OB,∴∠1=∠2=60°.∴∠3=90°, ∠1=30°.∵OA=OD,∴△OAD为等边三角形．∴∠A=60°.∵DE∥AB,∴∠CDE=∠A=60°.同理，∠5=60°.∴△CDE为等边三角形∵DF切⊙O于点D,∴OD⊥DF.∴∠3=90°-∠1=30°.∴∠4=30°.∴∠3=∠4.∴CF=EF.(2)相等．当点E与点B重合时，直线BC与⊙O只有一个公共点，所以BC为⊙O的切线．∵DF切⊙O于点D,∴BF=DF.∴∠1=∠2.∴AB为直径，∴∠ADB=∠BDC=90°.∴∠3=∠C.∴DF=CF.∴CF=BF.11.（2017山东菏泽，23,10分）（本题10分）正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC 于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以2cm/s的速度沿BD向点D运动，设运动时间为t s．①设BF＝y cm，求y关于t的函数表达式；②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．图1 图2思路分析：（1）由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN=∠BAF ，利用“AAS ”可以得出△ADN ≌△ABF 就可以得到结论AF ＝MN ；（2）①由AD ∥BF 可得△ADE ∽△FBE ，利用AD DEBF BE=可以构造y 关于t 的函数表达式；②由（1）可知△MAN ∽△ABF ，所以MA ABAN BF=,又BN ＝2AN ，所以662t BF-=，用含t 的代数式表示BF ，结合①中的关系式，可以构造关于t 的方程求出t 的值，从而求出BN 、BF ，最后利用勾股定理求FN 的长. 解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=DC=AB=BC ，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°． ∵MN ⊥AF ，∴∠DHA=∠NHA=90°∴∠ADH+∠HAD=90°，∠NHA+∠HAD=90°， ∴∠ADH=∠NAH ． 在△ADN 与△ABF 中，,,,ADN BAF AD AB DAN ABF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADN ≌△ABF ， ∴AF ＝MN ．（2）①∵正方形的边长为6cm ， ∴，∵设运动时间为t s ，根据题意得BE=cm ， ∴DE= BD －BE=(6) cm ， ∵AD ∥BF ， ∴△ADE ∽△FBE ， ∴AD DEBF BE=， ∵BF ＝y cm ，∴6y=，即66ty t=-，∴y 关于t 的函数表达式为66ty t=-. ②∵BN ＝2AN ，AB=6cm ， ∴AN=2cm ，BN=4cm,由（1）得△MAN ∽△ABF ，又DM=t cm ，AM=(6－t) cm ， ∴MA AB AN BF =,即662t BF-=， ∴36BF t =-，又66ty t=-， ∴36t -=66t t- 解得t=2s ， 当t=2时，BF=66ty t=-=3cm,在Rt △NBF 中，5=, ∴当BN ＝2AN 时， FN 的长为5.12. （2017年四川绵阳，25,14分）（本题满分14分）如图，已知△ABC 中，∠C =90°，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm /s 的速度匀速运动，到达点B 停止运动，在点M 的运动过程中，过点M 作直线MN 交AC 于点N ，且保持∠NMC =45°，再过点N 作AC 的垂线交AB 于点F ，连接MF ,将△MNF 关于直线NF 对称后得到△ENF ，已知AC =8cm ，BC =4cm ，设点M 运动时间为t （s ），△ENF 与△ANF 重叠部分的面积为y （cm 2）．（1）在点M 的运动过程中，能否使得四边形MNEF 为正方形？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由；（2）求y 关于t 的函数解析式及相应t 的取值范围； （3）求y 取最大值时，求sin ∠NEF 的值．25.（1）能，……………………………………………………………………1分如图，四边形MNEF为正方形时，过F作FD⊥BC于点D，则∠FMD=∠NMC=45°，所以CN=ND=DF=t，易证△FDB∽△ACB，所以AC FD=BC BD，………………2分即8t=44-2t，解得t=58．……………………………………4分（2）当点E恰好落在AB上时，连接ME，同（1），易证△EMB∽△ACB，所以AC EM=BC BM，即82t=44-t，解得t=2．……………………………………5分当0<t<2时，连接EM，易证△ANF∽△ACB，所以BC NF=AC AN，即4NF=88-t，解得NF=4-2t．…………………………6分所以，…………………………………7分当时，如图，设NE与AB交于点K，过K作KL⊥NF，垂足为L，连接EM，交直线NF于点H．易证△KLF∽△ANF，所以NF LF=AN KL，因为NF=4-2t，所以，解得NL=38－3t，即KL=38－3t，………………………………………9分所以，综上所述，．……………………………………10分（3）由题意知，当t=2，y取得最大值，此时，点E恰好落在AB上，…………………………11分由（2）知，NM==2，NF=4-2t=3，由勾股定理，得MF=，又因为，所以，△NMF为锐角三角形，…………………12分所以，即，所以sin∠NMF=1010，即sin∠NEF=1010．………………………………14分思路分析：（1）若四边形MNEF为正方形时，过F作FD⊥BC于点D，则∠FMD=∠NMC=45°，所以CN=ND=DF=t，易证△FDB∽△ACB，所以AC FD=BC BD，代入求解；（2）当点E恰好落在AB上时，连接ME，同（1），易证△EMB∽△ACB，所以AC EM=BC BM，即82t=44－t，解得t=2．当0<t<2时，连接EM，易证△ANF ∽△ACB，所以BC NF=AC AN，即4NF=88－t，解得NF=4－2t．所以，当时，如图，设NE与AB交于点K，过K作KL⊥NF，垂足为L，连接EM，交直线NF于点H．易证△KLF∽△ANF，所以NF LF=AN KL，因为NF=4-2t，所以，解得NL=38－3t，即KL=38－3t，所以，（3）由题意知，当t=2，y取得最大值，此时，点E恰好落在AB上，由（2）知，NM==2，NF=4-2t=3，由勾股定理，得MF=，又因为，所以，△NMF为锐角三角形，所以，即，所以sin∠NMF=1010，即sin∠NEF=1010．13. (2017四川南充，25，12分)如图(1)，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象过点O (0，0)和点A (4，0)，函数图象最低点M 的纵坐标为－83，直线l 的解析式为y ＝x ．(1)求二次函数的解析式；(2)直线l 沿x 轴向右平移，得直线l ′，l ′与线段OA 相交于点B ，与x 轴下方的抛物线相交于点C ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，把△BCE 沿直线l ′折叠，当点E 恰好落在抛物线上点E ′时，如图(2)，求直线l ′的解析式；(3)在(2)的条件下，l ′与y 轴交于点N ，把△BON 绕点O 逆时针旋转135°得到△B ′ON ′．P 为l ′上的动点，当△PB ′N ′为等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．【思路分析】(1)根据点O ，A 的坐标以及顶点M 的纵坐标，建立三元一次方程组求解．(2)直线l 是一、三象限的角平分线，因此可知四边形BECE ′是正方形．设点E 的横坐标为m ，根据对称性用m 表示点B 的横坐标，根据点C 在抛物线上，用m 表示点C 的纵坐标．根据EC ＝EB 建立关于m 的方程并求解，由此可知直线l 平移的距离．再利用平移的规律(或待定系数法)求出l ′的解析式．(3)易知△OB ′N ′是等腰直角三角形．分以下三种情形①PN ′＝PB ′；②N ′P ＝N ′B ′；③B ′P ＝N ′B ′讨论点P 的存在性．其中情形①直接用对称性求解；第②种情形通过比较N ′B ′与点N ′到直线l ′的大小，推断出此种情形不存在，第③种情形根据两腰相等建立方程求解． 解：(1)∵抛物线过点(0，0)，(4，0)，顶点纵坐标为－83，得20,0164,84.34c a b c ac b a ⎧=⎪⎪=++⎨⎪-⎪-=⎩解得2,38,30.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求二次函数表达式为y ＝23x 2－83x ．(2)∵直线l 的解析式为y ＝x ，∴直线l 与x 轴成45°的角． ∵l ∥l ′，∴∠CBE ＝45°．又CE ⊥x 轴，∴△BCE 是等腰直角三角形．图#备用题′图(1)图(2)∵△BCE′是由△BCE沿直线l′折叠得到，∴四边形BECE′是正方形．∵点C在y＝23x2－83x的图象上，∴设C(m，23m2－83m)．则E(m，0)．∵点E与点B关于对称轴x＝2对称，∴点B的坐标为(4－m，0)．∵EC＝EB，∴－(23m2－83m)＝4－m－m，即m2－7m＋6＝0．解得m1＝1，m2＝6．∵点C在x轴下方的抛物线上，∴m＝1(舍去m＝6)，因此点B的坐标为(3，0)．∴将直线y＝x向右平移3个单位得直线l′．∴l′的解析式为y＝x－3．(3)∵△BON是等腰直角三角形，∴旋转后△B′ON′顶点的坐标为O(0，0)，B′(，N′．①当PB′＝PN′时，由对称性可知，当P(0，－3)时，△PB′N′是等腰三角形．②当B′P＝B′N′时，延长B′O交BN于点F，得B′F⊥BN，B′F＝3又B′N′＝BN＝B′F＞B′N′．∵B′P≥B′F，∴这种情况不存在．③当PN′＝B′N′时，因点P在l′上，所以设P(m，m－3)，则(m2＋(m－32＝18．解得m1＝，m2．图#∴当P或)时，△PB ′N ′为等腰三角形．综上所述，符合条件的点P 的坐标为P 1(0，－3)，P 2，P 3)．14. （2017四川攀枝花，23，12分）如图13，在平面直角坐标系中，直线MN 分别与x 轴，y 轴交于点M (6，0)，N (0，2 3 )，等边△ABC 的顶点B 与原点O 重合，BC 边落在x 轴正半轴上，点A 恰好落在线段MN 上，将等边△ABC 从图13的位置沿x 正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与线段MN 交于点E ，F (如图14所示)，设△ABC 平移的时间为t (s )， （1）等边△ABC 的边长 ；（2）在运动过程中，当t = 时，MN 垂直平分AB ；（3）若在△ABC 开始平移的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA →AC 运动，当点P 运动到C 时即停止运动，△ABC 也随之停止平移． ①当点P 在线段BA 上运动时，若△PEF 与△MNO 相似，求t 的值；②当点P 在线段AC 上运动时，设PEF S S ∆=，求S 与t 的函数关系式，并求出S 最大值及此时点P的坐标．图13 图14思路分析：（1）由题易知OM =6，ON =2 3 ，∴MN =4 3 ，∴∠NMO =30°，∵∠ABC =60°，∴∠BAM =90°，即AB ⊥MN ，∴AB =12OM =3，即等边三角形边长为3；（2）由等边三角形的性质易知当MN 垂直平分AB 时，C 点与M 点重合，∴OB =OM －MC =3，即t =3．（3）①当P 点在线段AB 上运动时，则OB =t ，PB =2t 则BM =6－t ，PA =3－2t ，△PEF 与△MNO 相似分为△PEF ∽△MON 或△PEF ∽△NOM 两种对应情况思考；②当点P在线段AC上运动时，11332222PEFt S EF PH t∆-==288=-+23823232t⎫=-+≤⎪⎝⎭（332t≤≤）∴当t=32时，maxS=解析：（1）3；（2）3（3）①当P点在线段AB上运动时，则OB=t，BP=2t则BM=6－t，32PA t=-，△PEF与△MNO相似分为△PEF∽△MNO或△PEF∽△NOM两种对应情况，当△PEF∽△MON时，则∠EPF=∠EFA=∠EMB=30°，∴AE=12AF=14AP=324t-，BE=12BM=62t-．又BE=AB－AE=3－324t-，∴3－32642t t--=，解得t=34；当△PEF∽△NOM时，若点P在线段BE上，则∠PFE=∠NMO=30°，即PF∥OM，∴△PAF是等边三角形，∴EF垂直平分PA，∴BE=BP+12PA=32+t，又BE=12MB=62t-，∴3622tt-+=，解得1t=；当△PEF∽△NOM时，若点P在线段AE上，则P点与A点重合，即32t=；综上所述：t=34或1或32；②当点P在线段AC上运动时，则BM=6－t，PC=6－2t，3 2≤t≤3．∴BE=12BM=3－2t，即AE=2t，∴EF= 3 AE=32t，AF=2AE=t，∴CF=AC－AF=3－t，∴PF=PC－CF=3－t．作PH⊥EF于H点，由∠AFE=30°，可知PH=12PF=32t-．xyFEANMO CBPH11332222PEFtS EF PH t∆-==233388t t=-+23393932t⎛⎫=--+≤⎪⎝⎭（332t≤≤）∴当t=32时，max9332S=．15.（2017四川达州1，7分）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F.（1）若86CE CF==，，求OC的长；（2）连接AE AF、.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.思路分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，所以有OC=OE=OF，再求出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（2）这个四边形已经有一个角是90°，只要证明出它是平行四边形即可，如果它是平行四边形，则它的对角线互相平分，由此可得点O的位置．解：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=8，CF=6，∴EF=228+6=10，∴OC=12EF=5；（2）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．16.（2017江苏无锡，28，8分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E．设点P 的运动时间为t（s）.（1）若m＝6，求当P、E、B三点在同一直线上时对应的t的值.（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围.D思路分析：（1））如图，P、E、B三点在同一直线上,连接EC．①在Rt△BEC中，计算BE的值；②在Rt△ABP中，利用勾股定理列出关于的方程，解之t值可求；（2）如图，P、E、B三点在同一直线上,连接EC，过点E作EF⊥BC于F．①在Rt△EFC中，利用勾股定理求出CF；②利用相似三角形的判定与性质求得BF；③根据m＝BC＝BF＋CF计算m的值解：（1）如图，P、E、B三点在同一直线上,连接EC．D∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵PD＝t，m＝6，∴PA＝6－t．∵点D，点E关于直线PC的对称．∴PE＝t，EC＝DC＝AB＝4，∠CEP＝∠CDP＝90°．在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝4，∴BE在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝BP2，即42＋（6－t）2＝（t）2，∴t＝6－2（2）如图，连接EC，过点E作EF⊥BC于F．D 当P、E、B三点在同一直线上时, m有最大值.∵点D，点E关于直线PC的对称．∴EC＝DC＝AB＝4，∠CEP＝∠CEB＝90°．在Rt△EFC中，∵EF2＋CF2＝EC2，即32＋CF2＝42，∴CF＝7．在Rt△EFC中，EF⊥BC，∴△BFE∽△EFC．∴BFEF＝EFCF，∴ EF2＝BF·CF，即32＝BF·7，∴BF＝97．∴m＝BC＝BF＋CF＝977＋7＝1677．当点E在AB时，m有最小值，此时. m＝7.综上，所以满足条件的m的取值范围是7≤m≤1677.17.（2017山东潍坊）（本小题满分12分）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=23．（1）如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N．当CC′多大时，四边形MCND′为菱形?并说明理由．（2）如图2，将△DEC绕点C旋转α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′，边D′E′的中点为P．①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由．②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）思路分析：（1）由平移性质及特殊角度，易知四边形MCND ′的两组对边分别平行，即为平行四边形．显然，△MCE ′和△NCC ′均为等边三角形，故要使□MCND ′再为菱形，只需E ′C =CC ′，此时CC ′=3；（2）①分两种情况讨论：当α≠180°时，根据旋转性质易证△ACD ′≌△BCE ′，故有AD ′=BE ′；当α=180°时，显然两线段长均为两等边三角形的边长之和，故也有结论AD ′=BE ′；②根据三角形的三边关系先确定AP 最长时情况，即A 、C 、P 三点共线，然后画出示意图，根据等边三角形的性质得AP ⊥D ′E ′，最后在Rt △APD ′中利用勾股定理计算AD ′的长． 解：（1）当CC ′=3时，四边形MCND ′为菱形． 理由：由平移的性质得CD ∥C ′D ′，DE ∥D ′E ′．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B =∠ACB =60°． ∴∠ACC ′=180°－60°=120°．∵CN 为∠ACC ′的角平分线，∴∠NCC ′=60°． ∵AB ∥DE ，DE ∥D ′E ′，∴AB ∥D ′E ′． ∴∠D ′E ′C ′=∠B =60°．∴∠D ′E ′C ′=∠NCC ′，∴D ′E ′∥CN ． ∴四边形MCND ′为平行四边形．∵∠ME ′C ′=∠MCE ′=60°，∠NCC ′=∠NC ′C =60°， ∴△MCE ′和△NCC ′为等边三角形，故MC = CE ′，NC =CC ′． 又E ′C ′=23，CC ′=3，∴CC ′=CE ′． ∴MC =CN ，∴四边形MCND ′为菱形．（2）AD ′=BE ′．理由：当α≠180°时，由旋转的性质得∠ACD ′=∠BCE ′． 由（1）知AC =BC ，CD ′=CE ′，。
历年中考数学动点问题专集(全)【含答案】
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；(2)写出图3中M，N两点的坐标；(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.2 以双动点为载体，探求结论开放性问题例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)求∠BAO的度数.(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.解(1)∠BAO=60°.(2)点P的运动速度为2个单位/秒.评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P 的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.3 以双动点为载体，探求存在性问题例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN 的面积都相等?若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t 的代数式表示PM ，进而利用梯形面积相等列等式求出t 与a 的函数关系式，再利用t 的范围确定的a 取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm 的正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，它们分别从点A 、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过E 作EH 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于H ；过F 作FG 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于G ，连结HG 、EB.设HE 、EF 、FG 、GH 围成的图形面积为S 1，AE 、EB 、BA 围成的图形面积为S 2(这里规定：线段的面积为0).E 到达C ，F 到达A 停止.若E 的运动时间为x(s)，解答下列问题： (1)当0<X(2)①若y 是S 1与S 2的和，求y 与x 之间的函数关系式； (图10为备用图) ②求y 的最大值.解 (1)以E 、F 、G 、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD 的边长为82，所以AC=16，过B 作BO ⊥AC 于O ，则OB=89，因为AE=x ，所以S 2=4x ，因为HE=AE=x ，EF=16-2x ，所以S 1=x(16-2x)， 当S 1=S 2时， 4x=x(16-2x)，解得x 1=0(舍去)，x 2=6，所以当x=6时， S 1=S 2.(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x ，当8≤x≤16时，AE=x ，CE=HE=16-x ，EF=16-2(16-x)=2x-16，所以S 1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y 的最大值为50. 当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当x=13时，y 的最大值为82. 综上可得，y 的最大值为82.评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析
27． （江苏模拟）如图，在梯形纸片 ABCD 中，BC∥AD，∠A＋∠D＝90°，tanA＝2，过点 B 作 BH⊥AD 于 H， BC＝BH＝2．动点 F 从点 D 出发， 以每秒 1 个单位的速度沿 DH 运动到点 H 停止，在运动过程中，过点 F 作 FE⊥AD 交折线 D－C－B 于点 E，将纸片沿直线 EF 折叠，点 C、D 的对应点分别是点 C1、D1．设 F 点运动的时间是 t（秒） ． （1）当点 E 和点 C 重合时，求 t 的值； （2）在整个运动过程中，设△EFD1 或四边形 EFD1C1 与梯形 ABCD 重叠部分面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式和相应自变量 t 的取值范围； （3）平移线段 CD，交线段 BH 于点 G，交线段 AD 于点 P．在直线 BC 上是否存在点 Q，使 △PGQ 为等腰直角三角形？若存在，求出线段 BQ 的长；若不存在，说明理由． B C E B C
数学专题之【动点综合型问题】精品解析 ———————————————————————————————————————
中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析
23． （江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从 A（1， 3） 、B（6，0）两点同时出发，点 O 为坐标原点．甲沿 AO 方向、乙沿 BO 方向均以 4km/h 的速度行走，t h 后，甲到达 M 点， 乙到达 N 点． （1）请说明甲、乙两人到达 O 点前，MN 与 AB 不可能平行． （2）当 t 为何值时，△OMN∽△OBA？ （3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长，设 s＝MN ，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、 乙两人之间距离的最小值． y A
A
H
D1
F
D
A
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中考数学压轴题专题-动点综合问题
专题15动点综合问题【考点1】动点之全等三角形问题【例1】1．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s 的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【变式1-1】已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点（1）如果动点E 、F 满足BE ＝OF （如图），且AE ⊥BF 时，问点E 在什么位置？并证明你的结论；（2）如果动点E 、F 满足BE ＝CF （如图），写出所有以点E 或F 为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．【变式1-2】如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC 、EDF ，其中AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，AC ＝10cm ．现将△ABC 和△EDF 按如图②的方式摆放（点A 与点D 、点B 与点E 分别重合）．动点P 从点A 出发，沿AC 以2cm /s 的速度向点C 匀速移动；同时，动点Q 从点E 出发，沿射线ED 以acm /s （0＜a ＜3）的速度匀速移动，连接PQ 、CQ 、FQ ，设移动时间为ts （0≤t ≤5）．（1）当t ＝2时，S △AQF ＝3S △BQC ，则a ＝；（2）当以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△BQC 全等时，求a 的值；（3）如图③，在动点P 、Q 出发的同时，△ABC 也以3cm /s 的速度沿射线ED 匀速移动，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△EFQ 全等时，求a 与t 的值．【考点2】动点之直角三角形问题【例2】如图，在四边形纸片ABCD 中，//AB CD ，60A ∠=︒，30B ∠=︒，2CD =，4BC =，点E 是AB 边上的动点，点F 是折线A D C --上的动点，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点A '落在AB 边上，连接A C '，若A BC ' 是直角三角形，则AE 的长为________．【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+4的图象与x 轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y 轴交于点C ，过点C 作BC 平行于x 轴交抛物线于点B ，连接AC(1)求这个二次函数的表达式；(2)点M 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度向点A 运动；点N 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N 作NQ 垂直于BC 交AC 于点Q ，连结MQ.①求△AQM 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值，并求出S 的最大值；②是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【变式2-2】如图，在矩形OAHC 中，8,12OC OA ==，B 为CH 中点，连接AB .动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接,,CM CN MN ，设运动时间为t （秒）(010)t <<.则t =_____时，CMN ∆为直角三角形【考点3】动点之等腰三角形问题【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，10cm AB =，6cm BC =．若点P 是直径AB 上一动点，当PBC 是等腰三角形时，AP =__________cm ．【变式3-1】如图①，已知正方形ABCD 边长为2，点P 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BP 的对称点是点Q ，连结PQ 、DQ 、CQ 、BQ .设AP=x.（1）当1x =时，求BP 长；（2）如图②，若PQ 的延长线交CD 边于E ，并且90CQD ∠=o ，求证：CEQ ∆为等腰三角形；（3）若点P 是射线AD 上的一个动点，则当CDQ ∆为等腰三角形时，求x 的值.【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+3交y 轴于点A ，交x 轴于点B （-3，0）和点C （1，0），顶点为点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 为x 轴上一动点，若△AME 的周长最小，请求出点E 的坐标；（3）点F 为直线AB 上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若△BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标．【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线2y mx =和直线y x b =-+都经过点()2,4M -，点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点．（1）求m b 、的值；（2）当PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin BOP ∠的值．【考点4】动点之相似三角形问题【例4】如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC 是相似三角形，求AP的长．【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝3 4AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【变式4-2】如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，过点P作PE⊥DQ于点E．（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若AB＝4，以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出DP的长．【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）【例5】如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的动点，且满足2PAO PCO S S ∆∆=，求出P 点的坐标；（3）连接BC ，点E 是x 轴一动点，点F 是抛物线上一动点，若以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．备用图【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．（1）如图1，当点与点重合时，________°；（2）如图2，连接．①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；②求证：点在的平分线上；（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数213y x bx c =-++的图象过原点，与x 轴的另一个交点为()8,0（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线1y m=，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（0t>）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，AOB∆的顶点O是坐标原点，点A坐标为()1,3，A、B两点关于直线y x=对称，反比例函数()0ky xx=>图象经过点A，点P是直线y x=上一动点.（1）B点的坐标为______；（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是线段OP 上一点（O 不与O 、P 重合），当四边形AOBP 为菱形时，过点Q 分别作直线OA 和直线AP 的垂线，垂足分别为E 、F ，当QE QF QB ++的值最小时，求出Q 点坐标.【考点6】动点之线段面积问题【例6】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形．抛物线经过点A 、C 、A′三点．（1）求A 、A′、C 三点的坐标；（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分的面积；（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．【变式6-1】（1）发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC =α，AB b =(0)a b >>，当点A 位于时，线段AC 的长取得最大值，最大值为（用含,a b 的式子表示）；（2）应用：如图2，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，2AC =，以AB 为边作等边ABD ∆，连接CD ，求线段CD 的最大值；（3）拓展：如图3，线段3AB =，点P 为线段AB 外一动点，且2AP =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时PBM ∆的面积．【变式6-2】如图，矩形ABCD 中，3,4AD AB ==，点P 是对角线AC 上一动点（不与A C 、重合），连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，以线段,PE PB 为邻边作矩形BPEF ，过点P 作GH CD ⊥。
中考数学综合题专题【动点综合型问题三】专题解析
中考数学综合题专题【动点综合型问题二】专题解析52．（辽宁葫芦岛）△ABC 中，BC ＝AC ＝5，AB ＝8，CD 为AB 边的高，如图1，A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限．若A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B 随之沿y 轴下滑，并带动△ABC 在平面内滑动，如图2．设运动时间为t 秒，当B 到达原点时停止运动． （1）当t ＝0时，求点C 的坐标；（2）当t ＝4时，求OD 的长及∠BAO 的大小；（3）求从t ＝0到t ＝4这一时段点D 运动路线的长；（4）当以点C 为圆心，CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．解：（1）∵BC ＝AC ，CD ⊥AB∴D 为AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝4在Rt △CAD 中，CD ＝5 2－42＝3 ∴点C 的坐标为（3，4）（2）如图2，当t ＝4时，AO ＝4 在Rt △ABO 中，D 为AB 的中点∴OD ＝12AB ＝4∴△AOD 为等边三角形，∴∠BAO ＝60°（3）如图3，从t ＝0到t ＝4这一时段点D 的运动路线是DD ′︵其中OD ＝OD ′＝4，又∠D ′OD ＝90°－60°＝30° ∴DD ′︵的长为30π×4 180 ＝2π 3（4）由题意，AO ＝t当⊙C 与x 轴相切时，A 为切点，如图4 ∴CA ⊥OA ，∴CA ∥y 轴∴∠CAD ＝∠ABO ，∴Rt △CAD ∽Rt △ABO ∴ABCA＝AOCD，即85＝t3∴t ＝24 5当⊙C 与y 轴相切时，B 为切点，如图5图2图1 图2图3图4同理可得t ＝325∴t 的值为245或32553．（辽宁丹东）已知抛物线y ＝ax2－2ax ＋c 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（－1，0），O 是坐标原点，且|OC |＝3|OA |． （1）求抛物线的函数表达式；（2）直接写出直线BC 的函数表达式；（3）如图1，D 为y 轴负半轴上的一点，且OD ＝2，以OD 为边向左作正方形ODEF ．将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，当点F 与点B 重合时停止移动．在移动过程中，设正方形O ′DEF 与△OBC 重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒． ①求S 与t 之间的函数关系式；②在运动过程中，S 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由；（4）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵A （－1，0），|OC |＝3|OA |，∴C （0，－3） ∵抛物线y ＝ax2－2ax ＋c 经过A 、C 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2a ＋c ＝0c ＝－3 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3∴抛物线的函数表达式为y ＝x2－2x －3 （2）直线BC 的函数表达式为y ＝x －3 （3）①设D （m ，－2），则E （m －2，－2） 当正方形ODEF 的顶点D 运动到直线BC 上时 有－2＝m －3，∴m ＝1正方形ODEF 的边EF 运动到与OC 重合时 m ＝2当正方形ODEF 的顶点E 运动到直线BC 上时 有－2＝(m －2)－3，∴m ＝3图2图1在y ＝x －3中，当y ＝0时，x ＝3，∴B （3，0） 当正方形ODEF 的顶点F 运动到与点B 重合时 有m ＝3＋2＝5当0＜t ≤1时，重叠部分为矩形OGDO ′S ＝2t当1＜t≤2时，重叠部分为五边形OGHIO ′HD ＝ID ＝t －1 S ＝S 矩形OGDO ′－S △HID＝2t －1 2 (t －1)2＝－1 2 t 2当2＜t≤3时，重叠部分为五边形FEHIO ′S ＝S 正方形O ′DEF－S △HID＝22－1 2 (t －1)2＝－1 2 t 2当3＜t≤5时，重叠部分为△FKB FB ＝FK ＝2－(t －3)＝5－tS ＝1 2 (5－t)2＝1 2 t 2－5t ＋25 2②当t ＝2秒时，S 有最大值，最大值为 72（4）存在．M 1（－2－1，0），M 2（2－1，0） M 3（3－6，0），M 4（3＋6，0） 提示：如图54．（辽宁本溪）如图，已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋3经过点B （－1，0）、C （3，0），交y 轴于点A ，将线段OB 绕点O 顺时针旋转90°，点B 的对应点为点M ，过点A 的直线与x 轴交于点D （4，0）．直角梯形EFGH 的上底EF 与线段CD 重合，∠FEH ＝90°，EF ∥HG ，EF ＝EH ＝1．直角梯形EFGH 从点D 开始，沿射线DA 方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG 与直线AD 始终．．重合，设运动时间为t 秒． （1）求此抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，以M 、O 、H 、E 为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A 关于抛物线对称轴的对称点A ′，直线HG 与对称轴交于点K ．当t 为何值时，以A 、A ′、G 、K 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的t 值．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋3经过点B （－1，0）、C （3，0）∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3（2）过点F ′ 作F ′N ⊥OD 轴于点N ，延长E ′H ′ 交x 轴于点P ∵点M 是点B 绕O 点顺时针旋转90°后得到的 ∴点M 的坐标为（0，1） ∵点A 是抛物线与y 轴的交点 ∴A 点坐标为（0，3），∴OA ＝3 ∵D （4，0），∴OD ＝4∴AD ＝3 2＋42＝5∵E ′H ′∥OM ，E ′H ′＝OM ＝1∴四边形MOH ′E ′ 是平行四边形（当EH 不与y 轴重合时）∵F ′N ∥OA ，∴△F ′ND ∽△AOD ，∴ F ′N AO ＝ ND OD ＝F ′DAD∵直角梯形E ′F ′G ′H ′ 是直角梯形EFGH 沿射线DA 方向平移得到的∴F ′D ＝t ，∴F ′N3＝ND4＝t5，∴F ′N ＝35t ，ND ＝45t∵E ′F ′＝PN ＝1，∴OP ＝OD －ND －PN ＝4－45t －1＝3－45t∵E ′P ＝F ′N ＝35t ，E ′H ′＝1，∴H ′P ＝35t －1若平行四边形MOH ′E ′ 是矩形，则∠MOH ′＝90° 此时H ′G ′ 与x 轴重合，∴F ′N ＝1 ∵35t ＝1，∴t ＝53即当t ＝53秒时平行四边形MOH ′E ′ 是矩形若平行四边形MOH ′E ′ 是菱形，则OH ′＝E ′H ′＝1 在Rt △H ′OP 中，(3－45 t)2＋(35t －1 )2＝12备用图解得t ＝3即当t ＝3秒时平行四边形MOH ′E ′ 是菱形 综上：当t ＝53秒时平行四边形MOH ′E ′ 是矩形；当t ＝3秒时平行四边形MOH ′E ′ 是菱形 （3）t 1＝3512 秒，t 2＝9512秒提示：∵KG ∥AA ′，∴当KG ＝AA ′＝2时，以A 、A ′、G 、K 为顶点的四边形为平行四边形 当点E 与点C 重合、点F 与点D 重合时KG ＝KH ＋HG ＝KH ＋CD ＋CHtan ∠ADO＝2＋1＋43 ＝133∴移动t 秒时，KG ＝13 3－45t （直线HG 在AA ′ 下方）或KG ＝4 5t －133（直线HG 在AA ′上方）由 13 3－45 t ＝2，得t ＝3512由45t －13 3 ＝2，得t ＝951255．（辽宁模拟）将Rt △ABC 和Rt △DEF 按图1摆放（点F 与点A 重合），点A 、E 、F 、B 在同一直线上。
【名师点睛】2017年中考数学二轮复习专题 动点问题及答案
2017年中考数学二轮复习专题动点问题综合复习动点型问题1．如图，Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时,t的值为（）A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.52．图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF 过C点，M为EF的中点,则下列结论正确的是（）A.当x=3时，EC＜EMB.当y=9时，EC＞EMC.当x增大时，EC•CF的值增大D.当y增大时，BE•DF的值不变3．如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t 秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．4．如图,在平面直角坐标系中,A（0,2）,B（0,6），动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是（）A.2B.3C.4D.55.已知,在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点,连接DE、DF.设点E到BC的距离为x,则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（）6.如图,在等腰△ABC中,直线l垂直底边BC,现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点,直线l与△ABC的边相交于E、F两点.设线段EF的长度为y,平移时间为t,则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）7.如图,AB是半圆O的直径,点P从点A出发,沿半圆弧AB顺时针方向匀速移动至点B,运动时间为t,△ABP的面积为S,则下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（）8.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）9.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD 折叠,使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E.设BP=x，BE=y,则下列图象中,能表示y与x 的函数关系的图象大致是（）10.如图,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是( )11.如图,梯形ABCD中,AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE=EF=FB=5,DE=12动点P从点A出发,沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）12.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE 最小,则这个最小值为（）13.如图,已知等腰梯形ABCD,AD∥BC,若动直线l垂直于BC,且向右平移,设扫过的阴影部分的面积为S,BP为x,则S关于x的函数图象大致是（）14.如图,在矩形ABCD中,垂直于对角线BD的直线l,从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线l被矩形所截线段EF的长度为y,运动时间为t,则y关于t的函数的大致图象是（）15.如图,已知△ABC为等边三角形,AB=2,点D为边AB上一点,过点D作DE∥AC,交BC于E点；过E点作EF⊥DE,交AB的延长线于F点.设AD=x,△DEF的面积为y,则能大致反映y与x函数关系的图象是（）16．如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是．17.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．18．半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．19．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED的周长；（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．21.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点,连接DE、DF,动点P，Q分别从点A、B同时出发,运动速度均为1cm/s,点P沿A-F-D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动,当点P停止运动时，点Q也停止运动.在运动过程中,过点Q作BC的垂线交AB于点M,以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）（1）当点P运动到点F时，CQ= cm；（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式．23.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．24.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为，且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．25.如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm,OD=3cm.开始的时候BD=1cm,现在三角板以2cm/s的速度向右移动.（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证:CF2=CG∙CE.26.如图,已知抛物线y=ax2﹣5ax+2(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于点A（1,0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点,过点N作NH⊥x轴,垂足为H,以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能,请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．27.已知抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A,B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C,其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A,与x轴的另一个交点为E（5,0），交y轴于点D（0,-2.5）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．28.如图，抛物线y=0.5x2+mx+n与直线y=﹣0.5x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A （0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？29.如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在,请说明理由．30.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．参考答案1.D2.D3.B4.B5.D6.B7.C8.C9.C 10.C 11.A 12.A 13.A 14.A 15.A161OFD A，°=ttan30＜t 20.解：如图，A DP2的切线∴25.26.27.解：（1）∵抛物线l1：y=-x2+bx+3的对称轴为x=1，∴-b-2=1，解得b=2，∴抛物线l1的解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，可得-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，∴A点坐标为(-1，0)，∵抛物线l2经过点A、E两点，∴可设抛物线l2解析式为y=a(x+1)(x-5)，又∵抛物线l2交y轴于点D（0，-52），解得y=1，∴P点坐标为（1，1）；（3）由题意可设M（x，12x2-2x-52），∵MN∥y轴，∴N（x，-x2+2x+3），12x2-2x-52 令-x2+2x+3=12x2-2x-52，可解得x=-1或x=113，①当-1＜x≤113时，MN=(-x2+2x+3)-(12x2-2x-52)=-32x2+4x+112=-32(x-43)2+49），∴-52=-5a，解得a=12，∴y=12(x+1)(x-5)=12x2-2x-52，∴抛物线l2的函数表达式为y=12x2-2x-52；（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为(0,3)，∴PC2=12+(y-3)2=y2-6y+10，PA2=[1-(-1)]2+y2=y2+4，∵PC=PA，∴y2-6y+10=y2+4显然-1＜43≤113，∴当x=43时，MN有最大值496；②当113＜x≤5时，MN=(12x2-2x-52)-(-x2+2x+3)=32x2-4x-112=32(x-43)2-496，显然当x＞43时，MN随x的增大而增大，∴当x=5时，MN有最大值，32×(5-43)2-496=12；综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．28.。
中考数学综合题专题【动点综合型问题一】专题解析
中考数学综合题专题【动点综合型问题一】专题解析1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2与y 轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒 5 个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2有公共点，求t 的取值范围．解：（1）把点A （0，2m －7）代入y ＝－x2＋2x ＋m －2，得m ＝5∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x2＋2x ＋3y ＝2x 解得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝23 ⎩⎨⎧x 2＝－3y 2＝－23∴B （3，23），C （－3，－23） ∵y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4∴抛物线的对称轴为x ＝1设F （1，y ）∵∠BFE ＝∠CFE ，∴tan ∠BFE ＝tan ∠CFE 当点F 在点B 上方时，3－1y －23＝3＋1y ＋23解得y ＝6，∴F （1，6） 当点F 在点B 下方时，3－123－y＝3＋1－y －23解得y ＝6（舍去）∴满足条件的点F 的坐标是F （1，6）（3）由题意，OP ＝5t ，OQ ＝25t ，∴PQ ＝5t ∵P 、Q 在直线直线y ＝2x 上∴设P （x ，2x ），则Q （2x ，4x ）（x＜0）∴x 2＋4x 2＝5t ，∴x ＝－t∴P （－t ，－2t ），Q （－2t ，－4t ）∴M （－2t ，－2t ）当M （－2t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－4t2－4t ＋3解得t ＝13－14（舍去负值）当P （－t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－t2－2t ＋3 解得t ＝3（舍去负值）∴t 的取值范围是：13－14≤t≤ 32．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2），与x 轴相交于另一点B ．（1）求抛物线y 1的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线y 1以x ＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y 2，已知抛物线y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点．动点P 从O 点出发，沿线段OC 向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线OA 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF ． ①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长；②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AC 交于G 点，以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求t 的值．（正方形在x 轴上的边除外）解：（1）∵抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2） ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＋3＋c ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝0 ∴抛物线y 1的解析式为y 1＝－x2＋3x令y 1＝0，得－x2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3∴B （3，0）（2）①由题意，可得C （6，0） 过A 作AH ⊥x 轴于H ，设OP ＝a可得△ODP ∽△OAH ，∴DPOP＝AHOH＝2∴DP ＝2OP ＝2a∵正方形PDEF ，∴E （3a ，2a ）∵E （3a ，2a ）在抛物线y 1＝－x2＋3x 上∴2a ＝－9a2＋9a ，解得a 1＝0（舍去），a 2＝79∴OP 的长为79②设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b 0＝6k ＋b 解得k ＝－2 5 ，b ＝12 5∴直线AC 的解析式为y ＝－2 5 x ＋125由题意，OP ＝t ，PF ＝2t ，QC ＝2t ，GQ ＝ 45t 当EF 与MN 重合时，则OF ＋CN ＝6∴3t ＋2t ＋ 4 5 t ＝6，∴t ＝3029当EF 与GQ 重合时，则OF ＋QC ＝6∴3t ＋2t ＝6，∴t ＝65当DP 与MN 重合时，则OP ＋CN ＝6∴t ＋2t ＋ 4 5 t ＝6，∴t ＝3019当DP 与GQ 重合时，则OP ＋CQ ＝6∴t ＋2t ＝6，∴t ＝23．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动． （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点 ∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0 解得a ＝－1 3 ，b ＝1 3∴所求抛物线的解析式为y ＝－ 1 3 x 2＋ 13x ＋4 （2）连接DQ ，依题意知AP ＝t∵抛物线y ＝－ 1 3 x 2＋ 13x ＋4与y 轴交于点C∴C （0，4）又A （－3，0，B （4，0）可得AC ＝5，BC ＝42，AB ＝7∵BD ＝BC ，∴AD ＝AB －BD ＝7－42∵CD 垂直平分PQ ，∴QD ＝DP ，∠CDQ ＝∠CDP ∵BD ＝BC ，∴∠DCB ＝∠CDB ∴∠CDQ ＝∠DCB ，∴DQ ∥BC∴△ADQ ∽△ABC ，∴ADAB＝DQBC∴ADAB＝DPBC，∴7－427＝DP42解得DP ＝42－32 7 ，∴AP ＝AD ＋DP ＝177∴线段PQ 被CD 垂直平分时，t 的值为177（3）设抛物线y ＝－ 1 3 x 2＋ 1 3 x ＋4的对称轴x ＝ 12与x 轴交于点E由于点A 、B 关于对称轴x ＝ 12对称，连接BQ 交对称轴于点M 则MQ ＋MA ＝MQ ＋MB ，即MQ ＋MA ＝BQ 当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，此时∠EBM ＝∠ACO∴tan ∠EBM ＝tan ∠ACO ＝34∴ ME BE ＝ 3 4 ，即 ME 4－ 1 2＝ 34 ，解得ME ＝21 8∴M （1 2，21 8）∴在抛物线的对称轴上存在一点M （1 2，218），使得MQ ＋MA 的值最小4．（北京模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．动点P 从点A 出发，沿AC →CB →BA 边运动，点P 在AC 、CB 、BA 边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒 43个单位的速度沿CB 方向移动，移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB 、AB 边交于点E 、F ．点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动．（1）当t ＝_________秒时，点P 与点E 重合；当t ＝_________秒时，点P 与点F 重合； （2）当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点P′ 落在EF 上，点F 的对应点为F′ ，当EF′⊥AB 时，求t 的值；（3）作点P 关于直线EF 的对称点Q ，在运动过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，求t 的值；（4）在整个运动过程中，设△PEF 的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式及S 的最大值．解：（1）3；4.5提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8∴AB ＝6 2＋82＝10，∴sin B ＝ACAB ＝ 3 5 ，cos B ＝BCAB ＝ 4 5 ，tan B ＝ACBC ＝34当点P 与点E 重合时，点P 在CB 边上，CP ＝CE∵AC ＝6，点P 在AC 、CB 边上运动的速度分别为每秒3、4个单位 ∴点P 在AC 边上运动的时间为2秒，CP ＝4(t －2)∵CE＝43t，∴4(t－2)＝43t，解得t＝3当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5(t－4)∵CE＝43t，∴BE＝8－4 3t在Rt△BEF中，BEBF＝cos B∴8－43t5(t－4)＝45，解得t＝4.5（2）由题意，∠PEF＝∠MEN∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tan B∵tan∠CPE＝CECP，tan B＝ACBC＝34∴CECP＝34，∴CP＝43CE∵AP＝3t（0＜t＜2），CE＝43t，∴CP＝6－3t∴6－3t＝43×43t，解得t＝5443（3）连接PQ交EF于O∵P、Q关于直线EF对称，∴EF垂直平分PQ若四边形PEQF为菱形，则OE＝OF＝1 2EF①当点P在AC边上运动时易知四边形POEC为矩形，∴OE＝PC ∴PC＝12EF∵CE＝43t，∴BE＝8－43t，EF＝BE·tan B＝34(8－43t)＝6－t∴6－3t＝12(6－t)，解得t＝6 5②当点P在CB边上运动时，P、E、Q三点共线，不存在四边形PEQF③当点P在BA边上运动时，则点P在点B、F之间∵BE＝8－43t，∴BF＝BEcos B＝54(8－43t)＝10－53t∵BP＝5(t－4)，∴PF＝BF－BP＝10－53t－5(t－4)＝30－20 3t∵∠POF＝∠BEF＝90°，∴PO∥BE，∴∠OPF＝∠B在Rt△POF中，OFPF＝sin B∴12(6－t)30－203t＝35，解得t＝307∴当t ＝6 5或t ＝307时，四边形PEQF 为菱形（4）S ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－23t 2＋4t （0≤t≤2）4 3t2－12t ＋24（2＜t≤3）－43t2＋12t －24（3＜t≤4）83t2－28t ＋72（4＜t≤4.5）－8 3t2＋28t －72（4.5＜t≤6）S 的最大值为1635．（北京模拟）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P 作直线BC 的垂线PE ，垂足为E ．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）∠A ＝___________°；（2）将△PBE 沿直线PE 翻折，得到△PB′E ，记△PB′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点D 、P 、B′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）60°（2）∵∠A ＝∠B ＝60°，PB ＝PB′ ∴△PB′B 是等边三角形∴PB ＝PB′＝BB′＝2t ，BE ＝B′E ＝t ，PE ＝3t 当0＜t ≤2时S ＝S △PB′E＝1 2 B′E ·PE ＝ 1 2 t ·3t ＝ 32t2 当2＜t≤4时S ＝S △PB′E － S △FB′C ＝ 3 2 t2－ 3 4 ( 2t －4 )2＝－ 32t2＋43t －4 3 当4＜t≤5时设PB′、PE 分别交DC 于点G 、H ，作GK ⊥PH 于K ∵△PB′B 是等边三角形，∴∠B′PB ＝60°＝∠A ∴PG ∥AD ，又DG ∥AP ∴四边形APGD 是平行四边形∴PG ＝AD ＝4∵AB ∥CD ，∴∠GHP ＝∠BPH∵∠GPH ＝∠BPH ＝12∠B′PB ＝30°∴∠GHP ＝∠GPH ＝30°，∴PG ＝GH ＝4∴GK ＝12PG ＝2，PK ＝KH ＝PG ·cos30°＝2 3∴PH ＝2PK ＝4 3∴S ＝S △PGH＝1 2 PH ·GK ＝12×43×2＝4 3 综上得，S 与t 之间的函数关系式为：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2（0＜t≤2）－32t 2＋43t －43（2＜t≤4）43（4＜t≤5）（3）①若∠DPB′＝90° ∵∠B′PB ＝60°，∴∠DPA ＝30° 又∠A ＝60°，∴∠ADP ＝90° ∴AP ＝2AD ，∴10－2t ＝8，∴t ＝1 若∠PDB′＝90°作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥B′B 于N则AM ＝2，DM ＝23，NC ＝3，DN ＝3 3PM ＝|10－2－2t |＝|8－2t | NB′＝|3＋4－2t |＝|7－2t |DP 2＝DM 2＋PM 2＝(23 )2＋( 8－2t )2＝( 8－2t)2＋12 DB′ 2＝DN 2＋NB′＝( 33 )2＋( 7－2t )2＝( 7－2t)2＋27∵DP 2＋DB′ 2＝B′P 2∴(8－2t )2＋12＋( 7－2t )2＋27＝( 2t)2解得t 1＝15＋73 2＞5（舍去），t 2＝15－732若∠DB′P ＝90°，则DB′ 2＋B′P 2＝DP 2 ∴(7－2t )2＋27＋( 2t )2＝( 8－2t)2＋12解得t 1＝－1（舍去），t 2＝0（舍去）∴存在以点D 、P 、B′为顶点的三角形为直角三角形，此时t ＝1或t ＝15－732②若DP ＝B′P ，则(8－2t )2＋12＝( 2t)2解得t ＝198若B′D ＝B′P ，则( 7－2t )2＋27＝( 2t)2解得t ＝197若DP ＝DB′，则( 8－2t )2＋12＝( 7－2t)2＋27 解得t ＝0（舍去）∴存在以点D 、P 、B′为顶点的三角形为等腰三角形，此时t ＝19 8或t ＝1976．（北京模拟）已知二次函数y ＝－ 33mx 2＋3mx －2的图象与x 轴交于点A （23，0）、点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 坐标；（2）点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿线段CO 向O 点运动，到达点O 后停止运动，过点P 作PQ ∥AC 交OA 于点Q ，将四边形PQAC 沿PQ 翻折，得到四边形PQA′C′，设点P 的运动时间为t ．①当t 为何值时，点A′恰好落在二次函数y ＝－33mx2＋3mx －2图象的对称轴上；②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）将A （2 3，0）代入y ＝－ 33mx2＋3mx －2得0＝－ 3 3 m ×( 2 3 )2＋3m ×2 3－2，解得m ＝33∴y ＝－ 13x2＋3x －2令y ＝0，得－ 13x2＋3x －2＝0，解得：x 1＝3，x 2＝2 3∴B（3，0）（2）①由y ＝－13x2＋3x －2，令x ＝0，得y ＝－2∴C （0，－2）∵y ＝－1 3 x 2＋3x －2＝－ 1 3 ( x － 323 )2＋14∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝ 323过A′作A′H ⊥OA 于H在Rt △AOC 中，∵OC ＝2，OA ＝2 3 ∴∠OAC ＝30°，∠OCA ＝60°∴∠PQA ＝150°，∠A′QH ＝60°，AQ ＝A′Q ＝2QH ∵点A′在二次函数图象的对称轴上∴⎩⎪⎨⎪⎧OQ ＋QH ＝3 23OQ ＋2QH ＝23解得QH ＝32∴AQ ＝3，CP ＝1 ∴t ＝1②分两种情况：ⅰ）当0＜t≤1时，四边形PQA′C′ 落在第一象限内的图形为等腰三角形QA′DDQ ＝A′Q ＝3tA′H ＝AQ ·sin60°＝3t ·3 2＝32tS＝S△A′DQ＝12·3t·32t＝334t2∵当0＜t≤1时，S随t的增大而增大∴当t＝1时，S有最大值334ⅱ）当1＜t＜2时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为四边形EOQA′S四边形EOQA′＝S梯形PQA′C′－S△OPQ－S△PC′E＝[23－32(2－t)2]－32(2－t)2－34t2＝－534t2＋43t－2 3∵－534t2＋43t－23＝－534(t－85)2＋635且1＜85＜2，∴当t＝85时，S有最大值635∵635＞334，∴S的最大值是6357．（北京模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，E是AB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x2－4x＋a2＋2a＋5＝0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿AB由A向B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t（秒）．（1）求线段AB、AD的长；（2）当t＞1时，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；（3）是否存在△DPQ是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意，△＝42－4(a2＋2a＋5)＝－4(a＋1)2＝0∴a＝－1原方程可化为x2－4＋4＝0，解得∴x1＝x2＝2∴AB＝AD＝ 2 （2）作AH⊥BC于H，交EG于O，DK⊥EF于K，PM⊥DA交DA的延长线于M∵AD∥BC，∠A＝120°，AB＝AD＝2∴∠B＝60°，AH＝ 3∵E是AB中点，且EF∥BC，∴AO＝DK＝32∵AP＝t，∴PM＝32t∵t＞1，∴点P在点E下方延长FE交PM于S，设DP与EF交于点N则PS＝32t－32∵AD∥BC，EF∥BC，∴EF∥AD∴EN AD＝PEPA，∴EN2＝t－1t∴EN＝2(t－1)t，∴QN＝2t－2(t－1)t∴S＝12(2t－2(t－1)t)(32t－32＋32)＝32t2－32t＋32即S＝32t2－32t＋32（t＞1）（3）由题意，AM＝12t，∴DM＝2＋12t∴DP2＝DM2＋PM2＝(2＋12t)2＋(32t)2＝t2＋2t＋4又DQ2＝DK2＋KQ2＝(32)2＋(2t－12－2)2＝4t2－10t＋7PQ2＝PS2＋SQ2＝(32t－32)2＋(2t＋t－12)2＝7t2－4t＋1①若∠PDQ＝90°，则DP2＋DQ2＝PQ2∴t2＋2t＋4＋4t2－10t＋7＝7t2－4t＋1 解得t＝6－1（舍去负值）②若∠DPQ＝90°，则PD2＋PQ2＝DQ2∴t2＋2t＋4＋7t2－4t＋1＝4t2－10t＋7解得t＝62－1（舍去负值）③若∠DQP＝90°，则DQ2＋PQ2＝PD2∴4t2－10t＋7＋7t2－4t＋1＝t2＋2t＋4解得t＝4±6 5综上所述，存在△DPQ是直角三角形的情况，此时t＝6－1，t＝62－1，t＝4±658．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y＝－x＋42交x轴于点A，交y轴于点B．在线段OA上有一动点P，以每秒2个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，以OP 为边作正方形OPQM交y轴于点M，连接QA和QB，并从QA和QB的中点C和D向AB 作垂线，垂足分别为点F和点E．设P点运动的时间为t秒，四边形CDEF的面积为S1，正方形OPQM与四边形CDEF重叠部分的面积为S2．（1）直接写出A点和B点坐标及t的取值范围；（2）当t＝1时，求S1的值；（3）试求S2与t的函数关系式（4）直接写出在整个运动过程中，点C和点D所走过的路程之和．解：（1）A（42，0）、B（0，42），0≤t≤4（2）过Q作QH⊥AB于H∵C、D分别是QA和QB的中点∴CD∥AB，CD＝12AB＝12×42×2＝4∵CF⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE∴四边形CDEF是平行四边形又∵CF⊥AB，∴四边形CDEF是矩形∵CF⊥AB，QH⊥AB，∴CF∥QH又∵C是QA中点，∴CF＝12QH连接OQ∵正方形OPQM，∴∠1＝∠2，OP＝PQ＝QM＝MO∵OA＝OB，∴PA＝MB∴Rt△QPA≌Rt△QMB，∴QA＝QB，∠PQA＝∠MQB∵QH⊥AB，∴∠3＝∠4∴∠1＋∠MQB＋∠3＝180°，∴O、Q、H三点共线∴QH＝OH－OQ∵t＝1，点P的运动速度为每秒2个单位长度∴OP＝2，∴OQ＝2又∵OA＝42，∴OH＝4∴QH＝OH－OQ＝4－2＝2，∴CF＝1∴S1＝CD·CF＝4×1＝4（3）当点Q落在AB上时，OQ⊥AB，△QOA是等腰直角三角形∴t＝22÷2＝2当0≤t≤2时，S2＝0当点E落在QM上，点F落在PQ上时，△CFK和△DEG都是等腰直角三角形过C作CT⊥PQ于T则CT＝12AP＝12(42－2t)＝22(4－t)∴CF＝2CT＝4－t连接OQ，分别交AB、CD于N、R则ON＝22OA＝22×42＝4∵OP＝2t，∴OQ＝2t，∴QN＝2t－4∴CF＝12QN＝t－2∴4－t＝t－2，∴t＝3当2＜t≤3时，重叠部分为等腰梯形GHIK △QGK和△QHI都是等腰直角三角形∵QN＝2t－4，RN＝CF＝t－2，∴QR＝t－2 ∴GK＝2QR＝2t－4，HI＝2QN＝4t－8∴S 2＝1 2 (GK ＋HI)·RN ＝12(2t －4＋4t －8)(t －2)＝3(t －2)2 当3＜t≤4时，重叠部分为六边形GHEFIK易知Rt △CIK ≌Rt △DHG ，∴GH ＝KI ＝2CT ＝2(4－t)∴S 2＝S 矩形CDEF－2S △CIK＝CD ·CF －KI ·CT＝4(t －2)－2(4－t)·22(4－t)＝－t 2＋12t －24综上得S 2关于t 的函数关系式为：S 2＝⎩⎪⎨⎪⎧0（0≤t≤2）3(t －2 )2（2＜t≤3）－t 2＋12t －24（3＜t≤4）（4）8提示：点C 和点D 走过的路程分别为以OP 为边的正方形的对角线的一半9．（上海模拟）如图，正方形ABCD 中，AB ＝5，点E 是BC 延长线上一点，CE ＝BC ，连接BD ．动点M 从B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BD 向D 运动；动点N 从E 出发，以每秒2个单位长度的速度沿EB 向B 运动，两点同时出发，当其中一点到达终点后另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，过M 作BD 的垂线MP 交BE 于P ． （1）当PN ＝2时，求运动时间t ；（2）是否存在这样的t ，使△MPN 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△MPN 与△BCD 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式和函数的定义域．解：（1）∵正方形ABCD ，∴∠DBC ＝45° ∵MP ⊥DB ，∴△BMP 是等腰直角三角形 ∵BM ＝2t ，∴BP ＝2BM ＝2t 又PN ＝2，NE ＝2t当0＜t＜2.5时，BP ＋PN ＋NE ＝BE∴2t ＋2＋2t ＝10，∴t ＝2当2.5＜t＜5时，BP －PN ＋NE ＝BE∴2t －2＋2t ＝10，∴t ＝3（2）过M 作MH ⊥BC 于H则△NQC ∽△NMH ，∴QCCN＝MHHN∴QC5－2t＝t10－t －2t，∴QC ＝5t －2t 210－3t令QC ＝y ，则y ＝5t －2t 210－3t整理得2t 2－(3y ＋5)t ＋10y ＝0∵t 为实数，∴[－(3y ＋5)]2－4×2×10y≥0即9y 2－50y ＋25≥0，解得y≥5（舍去）或y≤59∴线段QC 长度的最大值为59（3）当0＜t＜2.5时∵∠MPN ＝∠DBC ＋∠BMP ＝45°＋90°＝135° ∴∠MPN 为钝角，∴MN＞MP ，MN＞PN若PM ＝PN ，则2t ＝10－4t解得t ＝57(4－2) 当2.5＜t＜5时∵∠MNP ＞∠MBP ＝∠MPB ，∴MP＞MN 若MN ＝PN ，则∠PMN ＝∠MPN ＝45°∴∠MNP ＝90°，即MN ⊥BP ∴BN ＝NP ，BP ＝2BN ∴2t ＝2(10－2t)，解得t ＝103若PM ＝PN∵PN ＝BP －BN ＝BP －(BE －NE)＝BP ＋NE －BE∴2t ＝2t ＋2t －10，解得t ＝57(4＋2)∴当t ＝ 5 7 ( 4－2 )，t ＝ 10 3 ，t ＝ 57( 4＋2)时，△MPN 为等腰三角形（4）S ＝⎩⎨⎧ 8t 3－50t 2＋75t20－6t（0＜t＜2.5）5t － 252（2.5＜t＜5）10．（重庆模拟）如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是AC 的中点，OB ＝12，动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．以点P 为顶点，作等边△PMN ，点M ，N 在直线OB 上，取OB 的中点D ，以OD 为边在△AOB 内部作如图所示的矩形ODEF ，点E 在线段AB 上．（1）求当等边△PMN 的顶点M 运动到与点O 重合时t 的值； （2）求等边△PMN 的边长（用含t 的代数式表示）；（3）设等边△PMN 和矩形ODEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；（4）点P 在运动过程中，是否存在点M ，使得△EFM 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当点M 与点O 重合时∵△ABC 、△PMN 是等边三角形，O 为AC 中点 ∴∠AOP ＝30°，∠APO ＝90°∵OB ＝12，∴AO ＝43＝2AP ＝23t 解得t ＝2∴当t ＝2时，点M 与点O 重合（2）由题设知∠ABM ＝30°，AB ＝83，AP ＝3t ∴PB ＝83－3t ，PM ＝PB ·tan30°＝8－t 即等边△PMN 的边长为8－t（3）S ＝⎩⎪⎨⎪⎧23t ＋63（0≤t≤1）－23t2＋63t ＋43（1＜t≤2）－32t2＋103（2＜t≤4）23t2－203t ＋503（4＜t≤5）0（5＜t≤8）提示：①当0≤t≤1时，PM 经过线段AF设PM 交AF 于点J ，PN 交EF 于点G ，则重叠部分为直角梯形FONG ∵AP ＝3t ，∴AJ ＝23t ，JO ＝43－23t MO ＝4－2t ，ON ＝8－t －(4－2t)＝4＋t作GH ⊥ON 于H则GH ＝FO ＝23，HN ＝2，FG ＝OH ＝4＋t －2＝2＋t∴S ＝S 梯形FONG＝12(FG ＋ON)·FO＝ 12( 2＋t ＋4＋t)·23＝23t ＋6 3 ②当1＜t≤2时，PM 经过线段FO设PM 交EF 于点I ，则重叠部分为五边形IJONG FJ ＝AJ －AF ＝23t －23，FI ＝2t －2∴S ＝S 梯形FONG －S △FIJ ＝23t ＋63－ 12( 23t －23 )( 2t －2) ＝－23t 2＋63t ＋4 3③当2＜t≤4时，PN 经过线段ED设PN 交ED 于点K ，则重叠部分为五边形IMDKG ∵AP ＝3t ，∴PE ＝43－3t ∴IG ＝GE ＝4－t ，EK ＝43－3t∴KD ＝23－( 43－3t)＝3t －23，DN ＝t －2∴S ＝S 梯形IMNG－S △KDN＝1 2 (4－t ＋8－t)·23－12(3t －23)(t －2)＝－32t 2＋10 3④当4＜t≤5时，PM 经过线段ED设PM 交ED 于点R ，则重叠部分为△RMD ∵AP ＝3t ，∴EP ＝3t －4 3∴ER＝2EP＝23t－8 3∴RD＝23－(23t－83)＝103－23t MD＝10－2t∴S＝S△RMD＝12(10－2t)(103－23t)＝23t2－203t＋50 3⑤当5＜t≤8时，S＝0（4）∵MN＝BN＝PN＝8－t，∴MB＝16－2t①若FM＝EM，则M为OD中点∴OM＝3∵OM＋MB＝OB，∴3＋16－2t＝12∴t＝3.5②若FM＝FE＝6，则OM＝62－(23)2＝2 6∵OM＋MB＝OB，∴26＋16－2t＝12∴t＝2＋ 6③若EF＝EM＝6，点M在OD或DB上则DM＝62－(23)2＝2 6∴DB＋DM＝MB或者DB－DM＝MB∴6＋26＝16－2t或6－26＝16－2t∴t＝5－6或t＝5＋ 6综上所述，当t＝3.5、2＋6、5－6、5＋6时，△MEF是等腰三角形11．（浙江某校自主招生）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的解析式分别为y＝34x和y＝－43x＋253．（1）求正方形OABC的边长；（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？（3）若正方形以每秒53个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点B落在x轴上时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．解：（1）联立⎩⎨⎧y ＝ 3 4x y ＝－ 4 3 x ＋25 3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3∴A （4，3），∴OA ＝4 2＋32＝5∴正方形OABC 的边长为5（2）要使△CPQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的 四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△CPQ 为等腰三角形即可 当t ＝2秒时∵点P 的速度为每秒1个单位，∴CP ＝2 分两种情况：①当点Q 在OA 上时，∵PQ ≥BA ＞PC ，∴只存在一点Q ，使QC ＝QP作QN ⊥CP 于N ，则CN ＝12CP ＝OQ ＝1∴QA ＝5－1＝4，∴k ＝ 42＝2②当点Q 在OC 上时，同理只存在一点Q ，使CP ＝CQ ＝2∴OQ ＋OA ＝10－2＝8，∴k ＝ 82＝4综上所述，当t ＝2秒时，以所得的等腰三角形CPQ 沿底边翻折， 翻折后得到菱形的k 值为2或4 （3）①当点A 运动到点O 时，t ＝3 当0＜t≤3时，设O′C′ 交x 轴于点D则tan ∠DOO′＝ 3 4 ，即 DO′ OO′ ＝ DO′5 3t＝ 3 4 ，∴DO′＝ 54t∴S ＝ 1 2 DO′·OO′＝ 1 2 ·5 4 t ·5 3 t ＝ 25 24t 2②当点C 运动到x 轴上时，t ＝( 5× 4 3)÷53＝4 当3＜t≤4时，设A′B′ 交x 轴于点E∵A′O ＝ 5 3 t －5，∴A′E ＝ 3 4 A′O ＝5t －154∴S ＝ 1 2 ( A′E ＋O′D )·A′O′＝ 1 2 ( 5t －15 4 ＋ 5 4 t )·5＝50t －75 8③当点B 运动到x 轴上时，t ＝( 5＋5× 4 3)÷53＝7 当4＜t≤7时，设B′C′ 交x 轴于点F∵A′E ＝ 5t －15 4 ，∴B′E ＝5－ 5t －15 4 ＝35－5t4∴B′F ＝ 4 3 B′E ＝35－5t3∴S ＝5 2－ 1 2 · 35－5t 4 · 35－5t 3 ＝－ 25 24 t 2＋ 175 12 t －62524综上所述，S 关于滑行时间t 的函数关系式为：数学专题之【动点综合型问题】精品解析———————————————————————————————————————S ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2524t 2（0＜t≤3）50t －758（3＜t≤4）－25 24t2＋175 12t －625 24（4＜t≤7）12．（浙江某校自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /秒的速度向点B 匀速移动（点P 不与点A 、B 重合），动点Q 从点B 出发沿折线BC －CD 以2cm /秒的速度匀速移动．点P 、Q 同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．连接AQ 交BD 于点E ．设点P 运动时间为t （秒）．（1）当点Q 在线段BC 上运动时，点P 出发多少时间后，∠BEP ＝∠BEQ ？（2）设△APE 的面积为S （cm 2），求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）当4＜t ＜8时，求△APE 的面积为S 的变化范围．解（1）AP ＝x cm ，BQ ＝2x cm∵∠BEP ＝∠BEQ ，BE ＝BE ，∠PBE ＝∠QBE ＝45° ∴△PBE ≌△QBE ，∴PB ＝BQ即8－x ＝2x ，∴x ＝83∴点P 出发83秒后，∠BEP ＝∠BEQ（2）①当0＜x≤4时，点Q 在BC 上，作EN ⊥AB 于N ，EM ⊥BC 于M∵AD ∥BC ，∴ AE EQ ＝ ADBQ ＝ 8 2x ＝4x即 AE EQ ＝ 4 x ，∴ AEAQ ＝4 x ＋4∴ NE BQ ＝ AE AQ ，∴NE ＝ AE ·BQAQ ＝8x x ＋4∴S ＝ 1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x · 8x x ＋4 ＝4x2x ＋4即S ＝ 4x2x ＋4（0＜x≤4）②当4＜x＜8时，点Q 在CD 上，作QF ⊥AB 于F ，交BD 于H 则 AE EQ ＝ ADHQ ＝ 8 16－2x ＝4 8－x即 AE EQ ＝ 4 8－x ，∴ AEAQ ＝ 4 8－x ＋4 ＝4 12－x作EN ⊥AB 于N ，则 NE FQ ＝AEAQ∴NE ＝ AE ·FQFQ ＝32 12－x∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x ·32 12－x ＝16x 12－x即S ＝ 16x12－x（4＜x＜8）（3）当4＜x ＜8时，由S ＝ 16x 12－x ，得x ＝12S16＋S∵4＜x ＜8，∴4＜ 12S16＋S＜8∵S＞0，∴16＋S＞0，∴4(16＋S)＜12S＜8(16＋S) 解得8＜S＜3213．（浙江模拟）如图，菱形ABCD 的边长为6且∠DAB ＝60°，以点A 为原点、边AB 所在直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P 从点D 出发沿折线D －C －B 向终点B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿x 轴负半轴以每秒1个单位的速度运动，当点P 到达终点时停止运动．设运动时间为t ，直线PQ 交边AD 于点E ． （1）求出经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 值，若不存在，请说明理由； （3）设AE 长为y ，试求y 与t 之间的函数关系式；（4）若F 、G 为DC 边上两点，且点DF ＝FG ＝1，试在对角线DB 上找一点M 、抛物线对称轴上找一点N ，使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值．解：（1）由题意得：D （3，33）、C （9，33） 设经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式为y ＝ax2＋bx 把D 、C 两点坐标代入上式，得： ⎩⎨⎧9a ＋3b ＝3381a ＋9b ＝33解得：a ＝－3 9 ，b ＝43 3∴抛物线的解析式为：y ＝－3 9 x2＋433x （2）连接AC∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD 若PQ ⊥BD ，则PQ ∥AC 当点P 在DC 上时∵PC ∥AQ ，PQ ∥AC ，∴四边形PQAC 是平行四边形 ∴PC ＝AQ ，即6－2t ＝t,∴t ＝2当点P 在CB 上时，PQ 与AC 相交，此时不存在符合要求的t 值 （3）①当点P 在DC 上，即0≤t≤3时∵DP ∥AQ ，∴△DEP ∽△AEQ ∴DEy＝DPAQ＝2tt＝2，∴y ＝13AD ＝2②当点P 在CB 上，即3＜t≤6时∵AE ∥BP ，∴△QEA ∽△QPB∴AEBP＝QAQB，即y12－2t＝t6＋t∴y ＝12－2t6＋t综上所述，y 与t 之间的函数关系式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （0≤t≤3）12－2t6＋t（3＜t≤6）（4）作点F 关于直线BD 的对称点F′，由菱形对称性知F′ 在DA 上，且DF′＝DF ＝1作点G 关于抛物线对称轴的对称点G′，易求DG′＝4连接F′G′ 交DB 于点M 、交对称轴于点N ，则点M 、N 即为所求的两点过F′ 作F′H ⊥DG′ 于H ，可得HD ＝1 2 ，F′H ＝ 3 2 ，HG′＝92∴F′G′＝F′H 2＋HG′ 2＝21∴四边形FMNG 周长最小值为F′G′＋FG ＝21＋114．（浙江模拟）如图，直线y ＝－x ＋5和直线y ＝kx －4交于点C （3，m ），两直线分别交y 轴于点A 和点B ，一平行于y 轴的直线l 从点C 出发水平向左平移，速度为每秒1个单位，运动时间为t ，且分别交AC 、BC 于点P 、Q ，以PQ 为一边向左侧作正方形PQDE ． （1）求m 和k 的值；（2）当t 为何值时，正方形的边DE 刚好在y 轴上？（3）当直线l 从点C 出发开始运动的同时，点M 也同时在线段AB 上由点A 向点B 以每秒4个单位的速度运动，问点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间有多长？解：（1）把C （3，m ）代入y ＝－x ＋5得m ＝2 ∴C （3，2），代入y ＝kx －4得k ＝2 （2）由题意，点P 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝－x ＋5＝t ＋2，∴P （3－t ，t ＋2） ∵PQ ∥y 轴，∴点Q 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝2x －4＝2－2t ，∴Q （3－t ，2－2t ） ∴PQ ＝t ＋2－(2－2t)＝3t∵正方形PQDE ，∴PQ ＝PE当正方形的边DE刚好在y轴上时，3t＝3－t，∴t＝3 4（3）∵直线y＝－x＋5交y轴于点A，∴A（0，5）∴点M坐标为（0，5－4t）当点M和点P的纵坐标相等时，5－4t＝t＋2，∴t＝3 5∵3 5＜34，∴点M进入正方形PQDE时，t＝34当点M和点Q的纵坐标相等时，5－4t＝2－2t，∴t＝3 2∴点M从进入正方形PQDE到离开正方形持续的时间为：t＝32－34＝3415．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OA在x 轴的正半轴上，点B坐标为（3，1），以OB所在直线为对称轴将△OAB作轴对称变换得△OCB．动点P从点O出发，沿线段OA向点A运动，动点Q从点C出发，沿线段CO向点O运动．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t（秒）．（1）求∠AOC的度数；（2）记四边形BCQP的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式；（3）设PQ与OB交于点M．①当△OMQ为等腰三角形时，求t的值．②探究线段OM长度的最大值，说明理由．解：（1）∵点B坐标为（3，1），∴OA＝3，AB＝1∴在Rt△OAB中，tan∠AOB＝ABOA＝13＝33∴∠AOB＝30°∵将△OAB作轴对称变换得△OCB∴△OCB≌△OAB，∴∠COB＝∠AOB＝30°∴∠AOC＝60°（2）∵OP＝CQ＝t，AB＝1，OC＝OA＝ 3 ∴AP＝OQ＝3－t∴S＝2S△OAB－S△OPQ－S△PAB＝OA·AB－12OP·OQ·sin∠AOC－12PA·AB＝3×1－12×t×(3－t)×32－12×(3－t)×1＝34t2－14t＋32（3）①若△OMQ为等腰三角形，则可能有三种情况：（i）若OM＝MQ，则∠MQO＝∠MOQ＝30°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝90°∴OP＝12OQ，即t＝12(3－t)解得：t＝3 3（ii）若OM＝OQ，则∠OMQ＝∠OQM＝75°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝45°过点Q作QD⊥OA于D，则QD＝DP即32(3－t)＝t－12(3－t)解得：t＝1（iii）若MQ＝OQ，则∠OMQ＝∠MOQ＝∠MOP 得PQ∥OA，显然不符合题意②分别过点P、Q作OB的垂线，垂足分别为E、F ∵OP＝t，OQ＝3－t，∠MOP＝∠MOQ＝30°∴S△OPQ＝S△OPM＋S△OOM＝12OM·PE＋12OM·QF＝14OM·OP＋14OM·OQ＝14OM(OP＋OQ)＝14OM(t＋3－t)＝34OM过点Q作QG⊥OA于G则S△OPQ＝12OP·QG＝12OP·OQ·sin60°＝34t(3－t)＝－34(t2－3t)∴34OM＝－34(t2－3t)∴OM＝－(t2－3t)＝－(t－32)2＋3 4∴当t＝32时，线段OM的长度取得最大值3416．（浙江模拟）已知直线y＝43x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点D到达B点时C、D都停止运动．点E是CD的中点，直线EF⊥CD交y轴于点F，点E′与E点关于y轴对称．点C、D的运动时间为t（秒）．（1）当t＝________秒时，点F经过原点O；（2）设四边形BDCO的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当直线EF与△AOB的一边垂直时，求t的值；（4）以CD为一边，在CD的右侧作菱形CDMN，其中DM∥x轴．当点N在直线E′F左侧时，直接写出菱形CDMN与△EFE′重叠部分为轴对称图形时t的取值范围．解：（1）5 2提示：∵直线y＝43x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、B∴A（－3，0），B（0，4），∴AO＝3，BO＝4 ∴AB＝AO2＋BO2＝32＋42＝5当点F经过原点时，连接OD由题意，EF是CD的垂直平分线∴OD＝OC＝t∵AD＝t，∴AD＝OD，∴∠DAO＝∠DOA∵∠DBO＋∠DAO＝90°，∠DOB＋∠DOA＝90°∴∠DBO＝∠DOB，∴OD＝BD∴AD＝BD，∴AD＝12AB＝5 2（2）∵AO＝3，BO＝4，AB＝5∴sin∠BAO＝BOAB＝45，cos∠BAO＝AOAB＝35过D作DH⊥AC于H当0≤t≤3时∵CO＝t，AD＝t，∴AC＝3－t，DH＝AD·sin∠BAO＝45t∴S＝S△ABO－S△ADC＝12×3×4－12·(3－t)·45t＝25t2－65t＋6当3＜t≤5时，AC＝t－3∴S＝S△ABO＋S△ADC＝12×3×4＋12·(t－3)·45t＝25t2－65t＋6综合得S与t的函数关系式为：S＝25t2－65t＋6（0≤t≤5）（3）当EF⊥BO时∵EF⊥CD，∴CD∥BO，∴∠ACD＝90°在Rt△ADC中，ACAD＝cos∠BAO∴3－tt＝35，∴t＝158当EF⊥AB时∵EF⊥CD，∴直线CD与直线AB重合∴点C与点A重合，∴t＝3（4）t＝54或t＝154提示：①当0＜t＜158，且重叠部分为等腰梯形PEQM时则∠PEQ＝∠MQE∵菱形CDMN，∴CD∥MN∴∠MQE＝∠CEQ，∴∠PEQ＝∠CEQ∵EF⊥CD，即∠CEF＝90°，∴∠CEQ＝45°∴∠ACD＝∠CEQ＝45°过D作DH⊥AC于H，则△DHC是等腰直角三角形∴DH＝HC，∴45t＝3－t－35t，∴t＝54②当158＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK时同理可得∠CHE＝45°连接DH∵EF垂直平分CD，∴CH＝DH，∠DHE＝∠CHE＝45°∴∠DHC＝90°，∴DH＝45t而CH＝CO－HO＝CO－(AO－AH)＝t－(3－3 5t)∴t－(3－35t)＝45t，∴t＝15417．（浙江模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝21，AD＝12，E是CD边上的一点，DE＝16，M是BC边的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．设动点P的运动时间是t秒．（1）求线段AE的长；（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．解：（1）∵ABCD是矩形，∴∠D＝90°∴AE＝AD2＋DE2＝122＋162＝20（2）∵∠D＝∠B＝90°∴△ADE与△PBM相似时，有两种情况：当∠DAE＝∠PMB时，有DEPB＝ADBM即1621－t＝126，解得t＝13当∠DAE＝∠BPM时，有DEBM＝ADPB即166＝1221－t，解得t＝332（3）①由题意得：S△EHP＝S△EMP∵DC∥AB，∴∠DEA＝∠HAP又∵∠D＝∠AHP＝90°，∴△ADE∽△PHA∴AH DE＝PHAD＝APAE，即AH16＝PH12＝t20∴AH＝45t，PH＝35t，EH＝20－45t∴S△EHP＝12×35t×(20－45t)∵DC＝21，DE＝16，∴EC＝5 ∴S△EMP＝S梯形EPBC－S△ECM－S△PBM＝12(5＋21－t)×12－12×5×6－12×(21－t)×6∴1 2×35t×(20－45t)＝12(5＋21－t)×12－12×5×6－12×(21－t)×6解得t＝75±5174∵0＜t＜21，∴t＝75－5174②14011≤t≤20提示：当点B′落在线段AE上时连接B′P、EB，∵B′C′和BC关于PE对称∴B′P＝BP＝21－t，B′E＝BE＝BC2＋EC2＝122＋52＝13 ∴AB′＝AE－B′E＝20－13＝7，B′H＝AH－AB′＝45t－7在Rt△B′HP中，B′H2＋PH2＝B′P2∴(45t－7)2＋(35t)2＝(21－t)2，解得t＝14011当点C′落在线段AE上时连接C′P、CP，∵B′C′和BC关于PE对称C′P2＝CP2＝122＋(21－t)2，C′E＝CE＝5∴AC′＝AE－C′E＝20－5＝15，C′H＝AH－AC′＝45t－15 在Rt△C′HP中，C′H2＋PH2＝C′P2∴(45t－15)2＋(35t)2＝122＋(21－t)2，解得t＝2018．（浙江模拟）如图，抛物线与x轴交于A（6，0）、B（19，0）两点，与y轴交于点C（0，8），直线CD∥x轴交抛物线于另一点D．动点P、Q分别从C、D两点同时出发，速度均为每秒1个单位，点P向射线DC方向运动，点Q向射线BD方向运动，设P、Q运动的时间为t（秒），AQ交CD于E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；（3）连接BE．是否存在某一时刻t，使得∠AEB＝∠BDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（6，0）、B（19，0）两点∴设抛物线的解析式为y＝a(x－6)(x－19)∵抛物线与y轴交于点C（0，8）∴8＝a(0－6)(0－19)，∴a＝457∴y＝457(x－6)(x－19)（2）作PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，∵CD∥x轴，∴PF＝DH＝OC＝8当y＝8时，457(x－6)(x－19)＝8解得x1＝0，x2＝25∴D（25，8），OH＝CD＝25∵B（19，0），∴BH＝25－19＝6 ∴BD＝BH2＋DH2＝62＋82＝10∵△BDH∽△BQG，∴BDBQ＝DHQG＝BHBG∴1010＋t＝8QG＝6BG∴QG＝45t＋8，BG＝35t＋6∴FG＝t＋19＋35t＋6＝85t＋25，AG＝35t＋19∴S＝S梯形PFGQ－S△PAF－S△QAG＝12(PF＋QG)·FG－12AF·PF－12AG·QG＝12(8＋45t＋8)(85t＋25)－12(t＋6)·8－12(35t＋19)(45t＋8)＝25t2＋445t＋100（3）∵AC＝BD＝10，∴四边形ABDC是等腰梯形∴∠ACD＝∠BDC若∠AEB＝∠BDC，则∠AEC＋∠BED＝∠BED＋∠EBD ∴∠AEC＝∠EBD，∴△AEC∽△EBD∴AC ED＝CEDB，即10ED＝25－ED10解得ED＝5或ED＝20（＞AB，舍去）∵△QED∽△QAB，∴EDAB＝QD QB即513＝tt＋10，∴t＝254∴存在某一时刻t，使得∠AEB＝∠BDC，t＝25 419．（浙江模拟）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y 轴于C 点，已知B 点坐标为（8，0），tan ∠ABC ＝12，△ABC 的面积为8． （1）求抛物线的解析式；（2）直线EF （EF ∥x 轴，且分别交y 轴、线段CB 于E 、F 两点）从C 点开始，以每秒1个单位的速度向下运动，与x 轴重合时停止运动；同时动点P 从B 点出发沿线段BO 以每秒2个单位的速度向终点O 运动，连接FP ，设运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，连接AC 交EF 于点G ．当t 为何值时，A 、P 、F 、G 所围成的图形是平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形．解：（1）∵B （8，0），∴OB ＝8 ∵OC OB＝tan ∠ABC ＝12，∴OC ＝4，∴C （0，4）∵S △ABC ＝8，∴ 12AB ·OC ＝8∴AB ＝4，∴OA ＝4，∴A （4，0）把A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝064a ＋8b ＋c ＝0c ＝4解得a ＝1 8 ，b ＝－ 32，c ＝4 ∴抛物线的解析式为y ＝ 1 8 x 2－ 32x ＋4 （2）存在∵AB ＝OC ＝4，OB ＝8，∴AC ＝42，BC ＝4 5由题意，BP ＝2t ，BF ＝45－5t若△PBF ∽△ABC ，则PBAB＝BFBC即2t4＝45－5t45，∴t ＝4 3若△FBP ∽△ABC ，则 BF AB ＝BPBC即 45－5t 4＝ 2t45，∴t ＝20 7∴当t ＝4 3或t ＝207时，以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似（3）t ＝43时，A 、P 、F 、G 所围成的图形是平行四边形 t ＝2时，A 、P 、F 、G 所围成的图形是等腰梯形 t ＝245时，A 、P 、F 、G 所围成的图形是等腰直角三角形20．（浙江模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，直线AC的解析式为y＝－2x＋6，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在平面内的点E处，直线AE交x轴于点D．（1）求直线AD解析式；（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE 上的点，且∠PAQ＝∠BAC．设点P运动时间为t秒，△POQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点F，使以点F、A、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线AC解析式为y＝－2x＋6∴A（0，6），C（3，0），∴OA＝6，OC＝3由题意，∠AEC＝∠AOC＝90°，AE＝AO＝6，CE＝CO＝3设CD＝x，则OD＝x＋3易证△CED∽△AOD，∵AO＝2CE∴OD＝2DE，即DE＝x＋32在Rt△CED中，32＋(x＋32)2＝x2解得x＝5（舍去负值），∴CD＝5∴OD＝8，D（8，0）设直线AD解析式为y＝kx＋6，则有：8k＋6＝0，∴k＝－3 4∴y＝－34x＋6（2）①当P在线段BO上时，即0＜t＜3时∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠BAP＝∠CAQ又∵∠ABP＝∠ACQ＝∠ACO，AB＝AC∴△ABP≌△ACQ，∴BP＝CQ＝t，OP＝3－t作QH⊥OD于H，则QH＝CQ·sin∠ECD＝4 5t∴S＝12OP·QH＝12(3－t)·45t＝－25t2＋65t即S＝－25t2＋65t②当P在x轴正半轴上时，即t＞3时同①可得：BP＝CQ＝t，OP＝t－3∴S＝12OP·QH＝12(t－3)·45t＝25t2－65t。
青岛市2017年中考专题复习-突破动点24题
胶州市第二十九中学
方法指导
近几年青岛中考数学的数学压轴题基本是属于一个类型的， 都是基于平面几何中两个动点以某一速度移动，然后进行提 问，一般第一问都是问过了多长时间会出现某种特殊情况， 如①出现两直线平行或垂直②出现特殊图形（如等腰三角形 或平行四边形）；第二问基本都是已知某一图形的面积为y， 让大家求面积 y 与时间 t 之间的函数关系式；如果这道题 有四问，那么他的第三问基本上就是根据第二问的函数关系 式进行比较简单的计算；而压轴题的最后一问就是比较有难 度的问法了，综合性比较强，一般为提问是否存在某一时间 t 满足某一特殊情况，如：是否存在某一时刻 t 使得出现 两部分面积比为1：2。
解：（1）假设四边形 PQCM 是平行四边形，则 PM∥QC， ∴AP=AM，即 10﹣t=2t， 解得 t=三分之十 ， ∴当 t=三分之十 s 时，四边形 PQCM 是平行四边形； （2）过 P 作 PE⊥AC，交 AC 与 E，如图所示：
24．（2012 山东青岛12 分）如图，在△ ABC 中，∠C＝90º， AC＝6cm，BC＝8cm，D、E 分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q 从 点B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P 停止运 动时，点Q 也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t ＜ 4)s．解答下列问题： (1)当t 为何值时，PQ⊥AB？ (2)当点Q 在B、E 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为ycm2，求y 与t 之间的函数关系式； (3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t， 使得PQ 分四边形BCDE 所成的两部分的面积之比为 ＝1∶29？若 存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h；若不存在，请说
初三动点试题及答案
初三动点试题及答案
一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒
2个单位的速度移动，经过5秒后，点P的坐标是（）。
A. (0, 0)
B. (10, 0)
C. (5, 0)
D. (0, 5)
答案：B
2. 动点Q从点(1, 2)出发，沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动，经过3秒后，点Q的坐标是（）。
A. (1, 5)
B. (1, 2)
C. (4, 5)
D. (4, 2)
答案：A
二、填空题
3. 动点R从点(-3, 4)出发，沿直线y=2x+1以每秒3个单位的速度移动，经过2秒后，点R的坐标是（）。
答案：(3, 11)
4. 动点S从点(2, -1)出发，沿直线y=-x+3以每秒2个单位的速度移动，经过4秒后，点S的坐标是（）。
答案：(-6, 7)
三、解答题
5. 动点T从点(0, 0)出发，沿直线y=x以每秒1个单位的速度移动，求点T在移动了6秒后的位置。
答案：点T在移动了6秒后的位置为(6, 6)。
6. 动点U从点(-2, 3)出发，沿直线y=-2x+7以每秒1.5个单位的速度移动，求点U在移动了8秒后的位置。
答案：点U在移动了8秒后的位置为(-10, 5)。
2017年中考数学压轴题专题汇编01因动点产生的面积问题(解析版)
原抛物线的解析式为 y
3 x( x
4) ，所以翻折后的抛物线的解析式为
y
3 x( x
4) ．
3
3
所以 D (2 m,
3
3
(2 m)(2 m 4)) ， C (2 3m, (2 3m)(2 3m 4)) ．
3
3
根据 yC∶y D＝ 3∶1，列方程
3 (2 3m)(2 3m 4) 3
3
3 (2
m)(2
m) ．解得 m
32 ．
5
9
9
例 4 如图，已知二次函数的图象过点 O(0,0)、A(4，0)、 B( 2, 4 3 )，M 是 OA 的中点． 3
（ 1）求此二次函数的解析式；
（ 2）设 P 是抛物线上的一点，过 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 Q，要使四边形 PQAM 是菱形，
求点 P 的坐标； （ 3）将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折，得曲线 OB ′A（ B′为 B 关于 x 轴的对称点） ，在原抛
4．两个三角形的面积比为 9∶ 10，要分两种情况讨论．
满分解答
（ 1）设直线 y
1 x
1与 y 轴交于点
E，那么 A(－ 2,0)，B(4,3)， E(0,1)．
2
在 Rt△AEO 中， OA＝ 2， OE＝ 1，所以 AE
5 ．所以 sin AEO 2 5 ． 5
因为 PC //EO，所以∠ ACP ＝∠ AEO．因此 sin ACP 2 5 ． 5
物线 x 轴的上方部分取一点 C，连结 CM， CM 与翻折后的曲线 OB′A 交于点 D，若△ CDA 的面积是△ MDA 面 积的 2 倍，这样的点 C 是否存在？若存在求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．
2017年中考数学压轴题专题汇编06 圆的有关动点综合问题 (解析版)
【类型综述】综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
几何中关于圆的综合题大致可分为：（1）以几何知识为主体的综合题；（2）代数、几何知识相结合的综合题；（3）圆中的探索型问题；【方法揭秘】直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．如图1，直线443y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．图1【典例分析】例1 如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线34y x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理由．图1思路点拨1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．满分解答（2）如图3，如果四边形ACDP 为菱形，那么AC ＝AP ． 所以4－0.8t ＝t ．解得t ＝209． 此时OD ＝0.6t ＝43．所以BD ＝433-＝53． 作DE ⊥AB 于E ． 在Rt △BDE 中，sin B ＝45，BD ＝53，所以DE ＝BD ·sin B ＝43． 因此OD ＝DE ，即圆心D 到直线AB 的距离等于圆D 的半径． 所以此时圆D 与直线AB 相切于点E （如图4）．图2 图3考点伸展在本题情境下，点P 运动到什么位置时，平行四边形ACDP 的面积最大？ S 平行四边形ACDP ＝AC ·DO ＝43(4)55t t -⨯＝21212+255t t -＝2125()3252t --+． 当52t =时，平行四边形ACDP 的面积最大，最大值为3． 此时点P 是AB 的中点（如图5）．图4 图5例2如图1，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在圆O 的上半圆上运动（包含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（如图1）；（2）设∠AOB ＝α，当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长（如图3）．图1 图2 图3思路点拨1．过点B 画圆O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．2．第（3）题发现AO //MQ 很重要，进一步发现NO 、MQ 是中位线就可以计算了．满分解答此时等边三角形ABC 3602︒=，所以S △ABC ．图4 图5 图6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B 画圆O 的切线，切点为G ．如图8，弧GQ 上的每一个点（包括点G 、Q ）都是符合题意的点A ，即线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）．如图9，弧GP 上的每一个点A （不包括点Q ）与点B 连成的线段AB ，与圆O 都有两个交点A 、M ．图7 图8 图9例3在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sinB ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况． ②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =．在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+．在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =．在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+．①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155x -+=没有实数根．②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425x OA ==③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658x OA ==．例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，cos A ＝14，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作⊙P ．（1）若⊙P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C ，求AP 的长．图1 备用图思路点拨1．△PCD 的底边CD 上的高，就是弦AD 对应的弦心距．2．若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C 的半径等于1，公共弦MN ，那么△CMN 是等腰直角三角形．在四边形CMPN 中，利用勾股定理列关于x （⊙P 的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt △ABC 中， AC ＝4，cos A ＝14，所以AB ＝16，BC ＝设弦AD 对应的弦心距为PE ，那么AE ＝14AP ＝14x ，PE x ．所以y ＝S △PCD ＝12CD PE ⋅＝11(4)22x x -＝2x x +． 定义域是0＜x ＜8．（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF ＝PE ． 因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ．由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m此时AE ＝4，AP ＝4AE图2 图3图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF 1(16)4x x =-．解得87x =．例5如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．满分解答所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝此时x ＝OH ＝2．所以点P 的纵坐标为222112)1)444x ===+③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为4+图4 图5考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x ===+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．【变式训练】1.(2017北京第29题)在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P Q 、两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当O 的半径为2时，①在点123115,0,,,,02222P P P ⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭中，O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y x =-上，若P 为O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线1y x =-+与x 轴、y 轴交于点A B 、．若线段AB 上的所有点都是C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．【答案】（1）①23,P P ，②－2≤x ≤－2 或2 ≤x ≤2，（2）－2≤x ≤1或2≤x ≤本题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===, 点1P 与⊙的最小距离为32 ，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12，∴⊙的关联点为2P 和3P ．（2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，∴令y=0得，-x+1=0,解得x=1，令得x=0得，y=0，∴A(1,0) ,B (0,1) ,分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3,∴点C坐标为，C ( -如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，∴CD=1 ,如图4,当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3,在Rt△OCB中，由勾股定理得=, C点坐标为．考点：切线，同心圆，一次函数，新定义. 2. （2017广东广州第25题）如图14，AB 是O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．（1）求证：045CAB ∠=； （2）若直线l 为O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,B D A B B D =所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论；②EBCD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）①AE AD = ②2BECD=（2）①如图所示，作BF l ⊥ 于F 由（1）可得，ACB ∆ 为等腰直角三角形.O 是AB 的中点. CO AO BO ∴== A C B ∴∆ 为等腰直角三角形. 又l 是O 的切线，OC l BF l ∴⊥⊥∴ 四边形OBEC 为矩形 22AB BFBD BF ∴=∴=303075BDF DBA BDA BAD ∴∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，15901575CBE CEB DEA ∴∠=︒∠=︒-︒=︒=∠，,ADE AED AD AE ∴∠=∠∴=②当ABD ∠ 为钝角时，如图所示，同样，1,302BF BD BDC =∴∠=︒ 1801501509015152ABD AEB CBE ADB ︒-︒∴∠=︒∠=︒-∠=︒∠==︒，，AE AD ∴=考点：圆的相关知识的综合运用3.(2017湖南湘潭第26题)如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A B、及AB的中点F重合），连接OM.过点M作ME AB⊥于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过M点作O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN.（1）探究：如左图，当M动点在AF上运动时；①判断OEM MDN∆∆是否成立？请说明理由；②设ME NCkMN+=，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设MBNα∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点M在FB上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）【答案】(1)①成立，理由见解析；②为定值1；③ 为定值45°；（2）不发生变化.试题解析：（1）①成立，理由如下：过点M作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，∴∠MEO=∠MDN=90°，∴∠MOE+∠EMO=90°过M点的O的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∴∠DMN+∠EMO=90°∴∠MOE=∠DMN∴△OEM∽△MDN②k是定值1，理由如下：过点B作BG⊥MN,∵过M点的O的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∵BG⊥MN,∴∠BGM=90°，③α为定值45°，理由如下：由②知：∠OBM=∠MBG, △BNG ≌△BCN, ∴∠GBN=∠CBN, ∵正方形BCDE ， ∴∠EBC=90°， ∴∴∠MBN=01452EBC ∠=(2)不发生变化.4. （2017湖南株洲第26题）已知二次函数y=﹣x 2+bx +c +1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程； ②若c=14b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？ ③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =，求二次函数的表达式．【答案】①.二次函数的对称轴的方程为x=12； ②.b 为2或2时，二次函数的图象与x 轴相切；③. 二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1．出△OAM ∽△OMB ，得出OM 2=OA•OB ，由二次函数的图象与x 轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），得出方程（c +1）2=c +1，得出c=0，OM=1，证明△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ，得出DE BD OM OD =，OM OADF AD=，得出OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1，由x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，得出方程组122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解方程组求出b 的值即可．试题解析：①二次函数y=﹣x 2+bx +c +1的对称轴为x=2b ，当b=1时，2b =12， ∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=12．③∵AB 是半圆的直径，∴∠AMB=90°，∴∠OAM +∠OBM=90°， ∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM +∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM ， ∴△OAM ∽△OMB ，∴OM OAOB OM=，∴OM 2=OA•OB ， ∵二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），∴OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），∵OM=c +1，∴（c +1）2=c +1， 解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =， ∴AD=BD ，DF=4DE ，DF ∥OM ，∴△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ， ∴,DE BD OM OA OM OB DF AD ==，∴DE=BD OB ，DF=AD OA ，∴AD BDOA OB=×4，∴OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1， ∵x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，∴122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解得：12122x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴b=﹣12+2=32，∴二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1． 考点：二次函数综合题；二次函数的性质．5． （2017哈尔滨第26题）已知：AB 是O ⊙的弦，点C 是AB 的中点，连接OB 、OC ，OC 交AB 于点D .(1)如图1，求证：AD BD =；(2)如图2，过点B 作O ⊙的切线交OC 的延长线于点M ，点P 是AC 上一点，连接AP 、BP ，求证：90APB OMB -=∠∠°.(3)如图3，在(2)的条件下，连接DP 、MP ，延长MP 交O ⊙于点Q ，若6MQ DP =，3sin 5ABO =∠，求MP MQ 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）518PM MQ =.试题解析：（1）如图1，连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC BC =，∴∠AOC=∠BOC ，∵OA=OB ，∴OD ⊥AB ，AD=BD ； （2）如图2，延长BO 交⊙O 于点T ，连接PT∵BT是⊙O的直径，∴∠BPT=90°，∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，∵BM是⊙O的切线，∴OB⊥BM，又∠OBA+∠MBA=90°，∴∠ABO=∠OMB，又∠ABO=∠APT，∴∠APB﹣90°=∠OMB，∴∠APB﹣∠OMB=90°；考点：圆的综合题．6.（2017年贵州省黔东南州第24题）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣29x2﹣49x+169（2）证明见解析（3）50415120试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴∠MAG=∠ABO ． ∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠MAG+∠OA B=90°，即∠MAB=90°． ∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°， ∴∠FPE=∠FBD ． ∴tan ∠FPE=12．∴PF ：PE ：2：1．∴△PEF 的面积=12PE•EF=12×5PF•5PF=15PF 2．考点：二次函数综合题7.（2017年四川省内江市第27题）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PB=PE；（3）123．【解析】试题分析：（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP 的长，与半径的差就是PQ的最小值．试题解析：（1）如图1，连接BC ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC AC =，∴∠A =∠ABC ，∵EC =AE ，∴∠A =∠ACE ，∴∠ABC =∠ACE ，∵∠A =∠A ，∴△AEC ∽△ACB ，∴AC AEAB AC=，∴AC 2=AE •AB ；（3）如图3，∵N 为OC 的中点，∴ON =12OC =12OB ，Rt △OBN 中，∠OBN =30°，∴∠COB =60°，∵OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∵Q 为⊙O 任意一点，连接PQ 、OQ ，因为OQ 为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小，当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，∴Q 为OP 与⊙O 的交点时，PQ 最小，∠A =12∠COB =30°，∴∠PEB =2∠A =60°，∠ABP =90°﹣30°=60°，∴△PBE 是等边三角形，Rt △OBN 中，BN ∴AB =2BN =设AE =x ，则CE =x ，EN =x ，Rt △CNE 中，2222)x x =+，x ，∴BE =PB ==Rt △OPB 中，OP ，∴PQ =3﹣4=123．则线段PQ 的最小值是123-．考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题．8. （2017年浙江省杭州市第23题）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点C 在劣弧AB 上（不与点A ，B 重合），点D 为弦BC 的中点，DE ⊥BC ，DE 与AC 的延长线交于点E ，射线AO 与射线EB 交于点F ，与⊙O 交于点G ，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ， （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【答案】（1）β=α+90°，γ=﹣α+180°（2）5试题解析：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°连接OB，∴由圆周角定理可知：2∠BC A=360°﹣∠BOA，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=α，∴∠BOA=180°﹣2α，∴2β=360°﹣（180°﹣2α），∴β=α+90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°∵∠BCA=∠EDC+∠CED，∴β=90°+∠CED，∴∠CED=α，∴∠CED=∠OBA=α，∴O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO+∠EAG=180°，∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，∴γ+α=180°；设CE=3x，AC=x，由（1）可知：BC=2CD=6，∵∠BCE=45°，∴CE=BE=3x，∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，，考点：1、圆的综合问题，2、勾股定理，3、解方程，4、垂直平分线的性质9.(2017浙江温州第24题)（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD 上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和CM的度数；（2）求证：AC=AB。
【人教版】2017年中考数学：题型(6)几何动态综合题(含答案解析)
∴四边形AECD是矩形，
∴AE＝DC＝5，CE＝AD＝4，第6题解图
∴BE＝AB－AE＝8－5＝3，
∴由勾股定理得：BC＝ ＝＝5，
∴BC＜AB，
∵当点P运动到点C时，P、Q同时停止运动，
∴t＝＝5 s，
即t＝5 s时，P、Q两点同时停止运动；
(2)由题意知，AQ＝BP＝t，
(1)填空：AD＝________(cm)，DC＝________(cm)；
(2)点M、N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN.求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；
(1)求证：△ABP∽△QEA；
(2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
(3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y.(不要求考虑t的取值范围)
(提示：解答(2)(3)时可不分先后)
第1题图
2.(2015省卷25，9分)如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4cm.
∴QB＝8－t.
如解图，过点P作PF⊥QB于点F，则△BPF∽△BCE，
∴＝，即＝，
∴PF＝，
∴S＝QB·PF＝×(8－t)×＝－ ＋
＝－(t－4)2＋(0＜t≤5)．
∵－＜0，
∴当t＝4 s时，S有最大值，最大值为 ；
(3)∵cosB＝＝，
∴BF＝PB·cosB＝t·cosB＝，
∴QF＝AB－AQ－BF＝8－，
2017年中考数学备考专题复习动点综合问题含解析
动点综合问题一、单选题（共12题；共24分）1、（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A 、B、2C 、D 、2、（2016•台州）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（）A、6B、2 +1C、9D 、3、（2016•十堰）如图，将边长为10的正三角形OAB 放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y= 上（k＞0，x＞0），则k的值为（）A、25B、18C、9D、94、（2016•娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A、不变B、增大C、减小D、先变大再变小5、（2016•宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A、4.8B、5C、6D、7.26、（2016•龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A、1B、2C、3D、47、（2016•漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD 长为正整数，则点D的个数共有（）A、5个B、4个C、3个D、2个8、（2016•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A 、B 、C 、D 、9、（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD 的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B ﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP 所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A 、B 、C 、D 、10、（2016•西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s 的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A、18cm2B、12cm2C、9cm2D、3cm211、（2016•西宁）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A 、B 、C 、D 、12、（2016•济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t 函数关系的大致图象为（）A 、B 、C 、D 、二、填空题（共5题；共5分）13、（2016•内江）如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是________．14、（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B 分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA 的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．15、（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________16、（2016•龙东）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．17、（2016•日照）如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是________．三、综合题（共7题；共95分）18、（2016•江西）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．(1)求证：DC=DP；(2)若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．19、（2016•南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．(1)如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；(2)①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）②是否存在满足条件的点P，使得PC= ？请说明理由．20、（2016•海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x 轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．①若∠APE=∠CPE，求证：；②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．21、（2016•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C 出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．(1)若BM=BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．22、（2016•兰州）如图1，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．(1)求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；(2)连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；(3)如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．23、（2016•呼和浩特）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；(2)求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；(3)设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．24、（2016•遵义）如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．(1)若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)当BP=2 时，试说明射线CA与⊙P是否相切．(3)连接PA，若S△APE = S△ABC，求BP的长．答案解析部分一、单选题【答案】B【考点】圆周角定理，点与圆的位置关系【解析】【解答】解:∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC= =5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．【答案】C【考点】切线的性质【解析】【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP1B=90°，∴OP1∥AC∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1= AC=4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C．【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．【答案】C【考点】等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，如图所示．∵△OAB为边长为10的正三角形，∴点A的坐标为（10，0）、点B的坐标为（5，5 ），点E的坐标为（，）．∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴ ．设=n（0＜n＜1），∴点D的坐标为（，），点C的坐标为（5+5n，5 ﹣5 n）．∵点C、D均在反比例函数y= 图象上，∴ ，解得：．故选C．【分析】过点A作AE⊥OB于点E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E的坐标，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出，令该比例=n，根据比例关系找出点D、C的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点D、C的坐标．本题属于中档题，稍显繁琐，解决该题型题目时，巧妙的借助了比例来表示点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．【答案】C【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴CF∥BE，∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα，∵∠ABC=90°，∴O＜α＜90°，当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，∴cosα的值是逐渐减小的，∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．故选C．【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BC•cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．【答案】A【考点】三角形的面积，矩形的性质【解析】【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△ACD = S矩形ABCD=24，∴S△AOD = S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP = O A•PE+ OD•PF= ×5×PE+ ×5×PF= （PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP = OA•PE+OD•PF求得答案．此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．【答案】C【考点】菱形的性质，轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．【答案】C【考点】等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE= BC=4，∴AE= =3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4，∵线段AD长为正整数，∴点D的个数共有3个，故选：C．【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．【答案】A【考点】一次函数的图象，三角形的面积，与一次函数有关的动态几何问题【解析】【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y= ×2x=x，当P 点由B 运动到C 点时，即2＜x ＜4时，y= ×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A ； 故选：A ．【分析】△ADP 的面积可分为两部分讨论，由A 运动到B 时，面积逐渐增大，由B 运动到C 时，面积不变，从而得出函数关系的图象．本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围． 【答案】A【考点】函数的图象，正方形的性质 【解析】【解答】解：分两种情况： ①当0≤t＜4时，作OM⊥AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm ， ∵O 是正方形ABCD 的中心， ∴AM=BM=OM= AB=2cm ，∴S= AP•OM= ×t×2=t（cm 2）； ②当t≥4时，作OM⊥AB 于M ， 如图2所示：S=△OAM 的面积+梯形OMBP 的面积= ×2×2+ （2+t ﹣4）×2=t（cm 2）；综上所述：面积S （cm 2）与时间t （s ）的关系的图象是过原点的线段， 故选A ．【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，求出S 与t 的函数关系式是解决问题的关键．分两种情况：①当0≤t＜4时，作OM⊥AB 于M ，由正方形的性质得出∠B=90°，AD=AB=BC=4cm ，AM=BM=OM= AB=2cm ，由三角形的面积得出S= AP•OM=t（cm 2）；②当t≥4时，S=△OAM 的面积+梯形OMBP 的面积=t （cm 2）；得出面积S （cm 2）与时间t （s ）的关系的图象是过原点的线段，即可得出结论． 【答案】C【考点】二次函数的最值，解直角三角形 【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm ， ∴== ，∴BC=8，由题意得：AP=t ，BP=6﹣t ，BQ=2t ， 设△PBQ 的面积为S ，则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t ）， S=﹣t 2+6t=﹣（t 2﹣6t+9﹣9）=﹣（t ﹣3）2+9， P ：0≤t≤6，Q ：0≤t≤4， ∴当t=3时，S 有最大值为9，即当t=3时，△PBQ 的最大面积为9cm 2； 故选C ．【分析】先根据已知求边长BC ，再根据点P 和Q 的速度表示BP 和BQ 的长，设△PBQ 的面积为S ，利用直角三角形的面积公式列关于S 与t 的函数关系式，并求最值即可本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围． 【答案】A 【考点】函数的图象【解析】【解答】解：作AD∥x 轴，作CD⊥AD 于点D ，若右图所示，由已知可得，OB=x ，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC ，点C 的纵坐标是y ，∵AD∥x 轴，∴∠DAO+∠AOD=180°， ∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC， 在△OAB 和△DAC 中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A 到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选：A．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．【答案】D【考点】分段函数，三角形的面积，矩形的性质，与一次函数有关的动态几何问题，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【解答】解：∵AD=5，AN=3，∴DN=2，如图1，过点D作DF⊥AB，∴DF=BC=4，在RT△ADF中，AD=5，DF=4，根据勾股定理得，AF==3，∴BF=CD=2，当点Q到点D时用了2s，∴点P也运动2s，∴AP=3，即QP⊥AB，∴只分三种情况：①当0＜t≤2时，如图1，过Q作QG⊥AB，过点D作DF⊥AB，QG∥DF，∴ ，由题意得，NQ=t，MP=t，∵AM=1，AN=3，∴AQ=t+3，∴ ，∴QG= （t+3），∵AP=t+1，∴S=S△APQ = AP×QG= ×（t+1）× （t+3）=（t+2）2﹣，当t=2时，S=6，②当2＜t≤4时，如图2，∵AP=AM+t=1+t，∴S=S△APQ = AP×BC= （1+t）×4=2（t+1）=2t+2，当t=4时，S=8，③当4＜t≤5时，如图3，由题意得CQ=t﹣4，PB=t+AM﹣AB=t+1﹣5=t﹣4，∴PQ=BC﹣CQ﹣PB=4﹣（t﹣4）﹣（t﹣4）=12﹣2t，∴S=S△APQ = PQ×AB= ×（12﹣2t）×5=﹣5t+50，当t=5时，S=5，∴S与t的函数关系式分别是①S=S△APQ = （t+2）2﹣，当t=2时，S=6，②S=S△APQ=2t+2，当t=4时，S=8，③∴S=S△APQ=﹣5t+50，当t=5时，S=5，综合以上三种情况，D正确故选D．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．二、填空题【答案】10【考点】轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″==10．故答案为10．【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．【答案】4【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO= = ，①当点P从O→B 时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°= ∴AQ= =2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为：4【分析】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．【答案】或【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC 于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE= BC=10，∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，∴四边形DEFN′是矩形，∴EF=DN′，DE=FN′=10，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°，∴BN′=DN′=EF=FC=5，∴ = ，∴ =，∴DO′= ．当∠MON=90°时，∵△DOE∽△EFM，∴ = ，∵EM= =13，∴DO= ，故答案为或．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据= 计算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得= 计算即可．本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【答案】2【考点】圆周角定理，轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴ = ，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2 ，即PA+PB的最小值2 ．故答案为：2 ．【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知= ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【答案】【考点】切线的性质【解析】【解答】解：过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．直线AB的解析式为y=﹣，即3x+4y﹣12=0，∴CP= = ．∵PQ为⊙C的切线，∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°，∴PQ= = ．故答案为：．【分析】过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，由点到直线的距离求出CP的长度，再根据勾股定理即可求出PQ的长度．本题考查了切线的性质、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键．三、综合题【答案】（1）证明：连接BC、OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，∵CD为切线，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；（2）解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC=120°，连接OF，AF，∵F是的中点，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，∴AF=AO=OC=CF，∴四边形OACF为菱形．【考点】垂径定理，切线的性质【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．（1）连接BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代换可得∠DPC=∠ACD，可证得结论；（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．【答案】（1）证明：如图一中∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴ ，∴ ，∵AB=BC，∴AN=AM．（2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．理由如图二中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴ ，∴∵AB=BC，∴AN=AM．②这样的点P不存在．理由：假设PC= ，如图三中，以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆，CO= = ＞1+ ，∴两个圆外离，∴∠APB＜90°，这与AP⊥PB矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC= 的点P不存在【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用【解析】【分析】（1）由△PBC∽△P AM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出= = ，由△BAP∽△BNA，推出= ，得到= ，由此即可证明．（2）①结论仍然成立，证明方法类似（1）．②这样的点P 不存在．利用反证法证明．假设PC= ，推出矛盾即可．本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题．【答案】（1）解：解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），把C（0，﹣5）代入得a•5•1=﹣5，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5（2）解：解：设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），∴PQ=3﹣（﹣3）=6，∴S△APC=S△APQ+S△CPQ = •PQ•5= ×6×5=15；（3）解：①证明：∵∠APE=∠CPE，而PH⊥AD，∴△PAD为等腰三角形，∴AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，∵PH∥OC，∴△PHD∽△COD，∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x ﹣DH），∴DH=﹣x﹣，而AH+OH=5，∴﹣x﹣x﹣=5，整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣，x2=﹣5（舍去），∴OH= ，∴AH=5﹣= ，∵HE∥OC，∴ = = ；②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）；当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，则x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2= ，此时P点坐标为（，﹣7﹣6 ），综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6 ）【考点】二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣，则﹣x﹣x﹣=5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出= ；②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=x2+5x，则x2+5x=（x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，∴BN=5 - t，∵BM=BN，∴2t=5 - t解得：．（2）解：分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t= ．②当△NBM∽△ABC时，则，即，解得：t= ．综上所述：当t= 或t= 时，△MBN与△ABC相似．（3）解：过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴ ，即，解得：MD=t．设四边形ACNM的面积为y，∴y=== ．∴根据二次函数的性质可知，当t= 时，y的值最小．此时，．【考点】二次函数的性质，相似三角形的性质【解析】【分析】（1）由已知条件得出AB=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，BN=5- t，由BM=BN得出方程2t=5 - t，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）过M作MD⊥BC 于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN 的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【答案】（1）解：把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c 中得：解得，∴二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式为：y=﹣x2+ x+4 （2）解：如图1，当t= 时，AP=2t，∵PC∥x轴，∴ ，∴ ，∴OD= = × = ，当y= 时，=﹣x2+ x+4，3x2﹣5x﹣8=0，x1=﹣1，x2= ，∴C（﹣1，），由得，则PD=2，∴S△BCP = ×PC×BD= ×3× =4 （3）解：如图3，当点E在AB上时，由（2）得OD=QM=ME= ，∴EQ= ，由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴∴ ，∴ ，∴t= ，同理得：PD=3﹣，∴当0≤t≤ 时，S=S△PDQ = ×PD×MQ= ×（3﹣）×，S=﹣t2+ t；当＜t≤2.5时，如图4，P′D′=3﹣，点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t，），∵AB的解析式为：y=﹣x+4，D′E的解析式为：y= x+ t，则交点N（，），∴S=S△P′D′N = ×P′D′×FN= ×（3﹣）（﹣），∴S= t2﹣t+ ．【考点】二次函数的应用【解析】【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）如图1，要想求△BCP的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤ 时，如图2所示，重合部分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB 中时，当＜t≤2.5时，如图4所示，△PDN就是重合部分的面积S．本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并能利用方程组求出两图象的交点，把方程和函数有机地结合在一起，使函数问题简单化；同时考查了分类讨论的思想，这一思想在二次函数中经常运用，要熟练掌握；本题还与相似结合，利用相似三角形对应边的比来表示线段的长．【答案】（1）解：∵y=ax2﹣2ax+c的对称轴为：x=﹣=1，∴抛物线过（1，4）和（，﹣）两点，代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）解：∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；由三角形两边之差小于第三边可知：|PC﹣PD|≤|CD|，∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为，|CD|= ，由于CD所在的直线解析式为y=x+3，将P（t，0）代入得t=﹣3，∴此时对应的点P为（﹣3，0）（3）解：y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化为：y=设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x+2t，∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y= 有一个公共点，此时t= ，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与y= 有两个公共点，所以当≤t＜3时，线段PQ与y= 有一个公共点，②将y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得：﹣x2+2x+3=﹣2x+2t，﹣x2+4x+3﹣2t=0，令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，t= ＞0，所以当t= 时，线段PQ与y=也有一个公共点，③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与y=﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=﹣3，所以当t≤﹣3时，线段PQ与y=也有一个公共点，综上所述，t的取值是≤t＜3或t= 或t≤﹣3．【考点】与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=﹣计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知y=，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2﹣2a|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2﹣2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤﹣3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．【答案】（1）解：过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，∵∠BAC=120°，AB=AC=6，∴∠B=∠C=30°，∵PB=PD，。
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2017年中考备考专题复习：动点综合问题一、单选题（共12题；共24分）1、（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A 、B、2C 、D 、2、（2016•台州）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）A、6B、2 +1C、9D 、3、（2016•十堰）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y= 上（k＞0，x＞0），则k的值为（）A、25B、18C、9D、94、（2016•娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A、不变B、增大C、减小D、先变大再变小5、（2016•宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A、4.8B、5C、6D、7.26、（2016•龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A、1B、2C、3D、47、（2016•漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A、5个B、4个C、3个D、2个8、（2016•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C 的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y （cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A 、B 、C 、D 、9、（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A 开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A 、B 、第3页共40页◎第4页共40页C 、D 、10、（2016•西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A、18cm2B、12cm2C、9cm2D、3cm211、（2016•西宁）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A 、B 、C 、D 、12、（2016•济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A 、B 、C 、D 、二、填空题（共5题；共5分）13、（2016•内江）如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是________．14、（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．15、（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________16、（2016•龙东）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P 是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为________．17、（2016•日照）如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是________．三、综合题（共7题；共95分）第7页共40页◎第8页共40页18、（2016•江西）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．(1)求证：DC=DP；(2)若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．19、（2016•南充）已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．(1)如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；(2)①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）②是否存在满足条件的点P，使得PC= ？请说明理由．20、（2016•海南）如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．①若∠APE=∠CPE，求证：；②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．21、（2016•梅州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．(1)若BM=BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．22、（2016•兰州）如图1，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．(1)求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；(2)连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；(3)如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．23、（2016•呼和浩特）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．(1)求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；(2)求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；(3)设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t 的取值．24、（2016•遵义）如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底边BC上的一个动点（P 与B、C不重合），以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E．(1)若点E在线段CA的延长线上，设BP=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)当BP=2 时，试说明射线CA与⊙P是否相切．(3)连接PA，若S△APE= S△ABC，求BP的长．第11页共40页◎第12页共40页答案解析部分一、单选题【答案】B【考点】圆周角定理，点与圆的位置关系【解析】【解答】解:∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC= =5，∴PC=OC=OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．故选B．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．【答案】C【考点】切线的性质【解析】【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP1B=90°，∴OP1∥AC∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1= AC=4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C．【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B 重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．【答案】C【考点】等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，如图所示．∵△OAB为边长为10的正三角形，∴点A的坐标为（10，0）、点B的坐标为（5，5 ），点E的坐标为（，）．∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴．设=n（0＜n＜1），∴点D的坐标为（，），点C的坐标为（5+5n，5 ﹣5 n）．∵点C、D均在反比例函数y= 图象上，∴，解得：．故选C．【分析】过点A作AE⊥OB于点E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E的坐标，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出，令该比例=n，根据比例关系找出点D、C的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点D、C的坐标．本题属于中档题，稍显繁琐，解决该题型题目时，巧妙的借助了比例来表示点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．【答案】C【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性【解析】【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴CF∥BE，∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα，∵∠ABC=90°，∴O＜α＜90°，当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，∴cosα的值是逐渐减小的，∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．故选C．【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BC•cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．【答案】A【考点】三角形的面积，矩形的性质【解析】【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△ACD= S矩形ABCD=24，∴S△AOD= S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF= ×5×PE+ ×5×PF= （PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD 的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP= OA•PE+OD•PF求得答案．此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．【答案】C【考点】菱形的性质，轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时第15页共40页◎第16页共40页EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．【答案】C【考点】等腰三角形的性质，勾股定理【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE= BC=4，∴AE= =3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4，∵线段AD长为正整数，∴点D的个数共有3个，故选：C．【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．【答案】A【考点】一次函数的图象，三角形的面积，与一次函数有关的动态几何问题【解析】【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y= ×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y= ×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A；故选：A．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．【答案】A【考点】函数的图象，正方形的性质【解析】【解答】解：分两种情况：①当0≤t＜4时，作OM⊥AB于M，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AM=BM=OM= AB=2cm，∴S=AP•OM= ×t×2=t（cm2）；②当t≥4时，作OM⊥AB于M，如图2所示：S=△OAM的面积+梯形OMBP的面积= ×2×2+ （2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，求出S与t的函数关系式是解决问题的关键．分两种情况：①当0≤t＜4时，作OM⊥AB于M，由正方形的性质得出∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，AM=BM=OM= AB=2cm，由三角形的面积得出S= AP•OM=t（cm2）；②当t≥4时，S=△OAM的面积+梯形OMBP的面积=t（cm2）；得出面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，即可得出结论．【答案】C【考点】二次函数的最值，解直角三角形【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，∴== ，∴BC=8，由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，设△PBQ的面积为S，则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，∴当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；故选C．【分析】先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选：A．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．【答案】D【考点】分段函数，三角形的面积，矩形的性质，与一次函数有关的动态几何问题，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【解答】解：∵AD=5，AN=3，∴DN=2，如图1，过点D作DF⊥AB，∴DF=BC=4，在RT△ADF中，AD=5，DF=4，根据勾股定理得，AF= =3，∴BF=CD=2，当点Q到点D时用了2s，∴点P也运动2s，∴AP=3，即QP⊥AB，∴只分三种情况：①当0＜t≤2时，如图1，第19页共40页◎第20页共40页过Q作QG⊥AB，过点D作DF⊥AB，QG∥DF，∴，由题意得，NQ=t，MP=t，∵AM=1，AN=3，∴AQ=t+3，∴，∴QG= （t+3），∵AP=t+1，∴S=S△APQ= AP×QG= ×（t+1）×（t+3）= （t+2）2﹣，当t=2时，S=6，②当2＜t≤4时，如图2，∵AP=AM+t=1+t，∴S=S△APQ= AP×BC= （1+t）×4=2（t+1）=2t+2，当t=4时，S=8，③当4＜t≤5时，如图3，由题意得CQ=t﹣4，PB=t+AM﹣AB=t+1﹣5=t﹣4，∴PQ=BC﹣CQ﹣PB=4﹣（t﹣4）﹣（t﹣4）=12﹣2t，∴S=S△APQ= PQ×AB= ×（12﹣2t）×5=﹣5t+50，当t=5时，S=5，∴S与t的函数关系式分别是①S=S△APQ = （t+2）2﹣，当t=2时，S=6，②S=S△APQ=2t+2，当t=4时，S=8，③∴S=S△APQ=﹣5t+50，当t=5时，S=5，综合以上三种情况，D正确故选D．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．二、填空题【答案】10【考点】轴对称-最短路线问题【解析】【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长=DE+EC+CD=EC′+ED+DC″=C′C″= =10．故答案为10．【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E 位置，属于中考常考题型．【答案】4【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO== ，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°= ∴AQ= =2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为：4【分析】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．【答案】或【考点】三角形中位线定理【解析】【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE= BC=10，∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，∴四边形DEFN′是矩形，∴EF=DN′，DE=FN′=10，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°，∴BN′=DN′=EF=FC=5，∴= ，∴= ，∴DO′= ．当∠MON=90°时，∵△DOE∽△EFM，∴= ，∵EM= =13，∴DO= ，故答案为或．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据= 计算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得= 计算即可．本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【答案】2【考点】圆周角定理，轴对称-最短路线问题第23页共40页◎第24页共40页【解析】【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴= ，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2 ，即PA+PB的最小值2 ．故答案为：2 ．【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知= ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【答案】【考点】切线的性质【解析】【解答】解：过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．直线AB的解析式为y=﹣，即3x+4y﹣12=0，∴CP== ．∵PQ为⊙C的切线，∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°，∴PQ== ．故答案为：．【分析】过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，由点到直线的距离求出CP的长度，再根据勾股定理即可求出PQ的长度．本题考查了切线的性质、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键．三、综合题【答案】（1）证明：连接BC、OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，∵CD为切线，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；（2）解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC=120°，连接OF，AF，∵F是的中点，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，∴AF=AO=OC=CF，∴四边形OACF为菱形．【考点】垂径定理，切线的性质【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．（1）连接BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代换可得∠DPC=∠ACD，可证得结论；（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．【答案】（1）证明：如图一中∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴，∴，∵AB=BC，∴AN=AM．（2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．理由如图二中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC，，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，∴△BAP∽△BNA，∴，∴∵AB=BC，∴AN=AM．②这样的点P不存在．第27页共40页◎第28页共40页理由：假设PC= ，如图三中，以点C为圆心为半径画圆，以AB为直径画圆，CO== ＞1+ ，∴两个圆外离，∴∠APB＜90°，这与AP⊥PB矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC= 的点P不存在【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用【解析】【分析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出== ，由△BAP∽△BNA，推出= ，得到= ，由此即可证明．（2）①结论仍然成立，证明方法类似（1）．②这样的点P不存在．利用反证法证明．假设PC= ，推出矛盾即可．本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题．【答案】（1）解：解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），把C（0，﹣5）代入得a•5•1=﹣5，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5（2）解：解：设直线AC的解析式为y=mx+n，把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），∴PQ=3﹣（﹣3）=6，∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=•PQ•5= ×6×5=15；（3）解：①证明：∵∠APE=∠CPE，而PH⊥AD，∴△PAD为等腰三角形，∴AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，∵PH∥OC，∴△PHD∽△COD，∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），∴DH=﹣x﹣，而AH+OH=5，∴﹣x﹣x﹣=5，整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣，x2=﹣5（舍去），∴OH= ，∴AH=5﹣= ，∵HE∥OC，∴== ；②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）；当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，则x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2= ，此时P点坐标为（，﹣7﹣6 ），综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6 ）【考点】二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣，则﹣x﹣x﹣=5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出= ；②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE 得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=x2+5x，则x2+5x= （x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，∴BN=5- t，∵BM=BN，∴2t=5- t解得：．（2）解：分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t= ．②当△NBM∽△ABC时，则，即，解得：t= ．综上所述：当t= 或t= 时，△MBN与△ABC相似．（3）解：过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即，解得：MD=t．设四边形ACNM的面积为y，∴y=== ．∴根据二次函数的性质可知，当t= 时，y的值最小．此时，．第31页共40页◎第32页共40页【考点】二次函数的性质，相似三角形的性质【解析】【分析】（1）由已知条件得出AB=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，BN=5- t，由BM=BN得出方程2t=5- t，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【答案】（1）解：把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c中得：解得，∴二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式为：y=﹣x2+ x+4 （2）解：如图1，当t= 时，AP=2t，∵PC∥x轴，∴，∴，∴OD= = ×= ，当y= 时，=﹣x2+ x+4，3x2﹣5x﹣8=0，x1=﹣1，x2= ，∴C（﹣1，），由得，则PD=2，∴S△BCP= ×PC×BD= ×3×=4（3）解：如图3，当点E在AB上时，由（2）得OD=QM=ME= ，∴EQ= ，由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴∴，∴，∴t= ，同理得：PD=3﹣，∴当0≤t≤ 时，S=S△PDQ= ×PD×MQ= ×（3﹣）×，S=﹣t2+ t；当＜t≤2.5时，如图4，P′D′=3﹣，点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t，），∵AB的解析式为：y=﹣x+4，D′E的解析式为：y=x+ t，则交点N（，），∴S=S△P′D′N=×P′D′×FN= ×（3﹣）（﹣），∴S= t2﹣t+ ．【考点】二次函数的应用【解析】【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）如图1，要想求△BCP 的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤ 时，如图2所示，重合部分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当＜t≤2.5时，如图4所示，△PDN就是重合部分的面积S．本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并能利用方程组求出两图象的交点，把方程和函数有机地结合在一起，使函数问题简单化；同时考查了分类讨论的思想，这一思想在二次函数中经常运用，要熟练掌握；本题还与相似结合，利用相似三角形对应边的比来表示线段的长．【答案】（1）解：∵y=ax2﹣2ax+c的对称轴为：x=﹣=1，∴抛物线过（1，4）和（，﹣）两点，代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）解：∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；由三角形两边之差小于第三边可知：|PC﹣PD|≤|CD|，∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为，|CD|= ，由于CD所在的直线解析式为y=x+3，将P（t，0）代入得t=﹣3，∴此时对应的点P为（﹣3，0）（3）解：y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化为：y=设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x+2t，∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y= 有一个公共点，此时t= ，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与y= 有两个公共点，所以当≤t＜3时，线段PQ与y= 有一个公共点，②将y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得：﹣x2+2x+3=﹣2x+2t，﹣x2+4x+3﹣2t=0，令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，t= ＞0，所以当t= 时，线段PQ与y= 也有一个公共点，③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与y=﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=﹣3，所以当t≤﹣3时，线段PQ与y= 也有一个公共点，综上所述，t的取值是≤t＜3或t= 或t≤﹣3．第35页共40页◎第36页共40页。