第二章2.3,2.4(一)
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第二章供求定理
现期DA ↑
说明
与需求 同方向 变动
DA ↑ DA ↓
反方向
【需求定理】
互补品和替代品图示比较
互补 品轮 胎B
P
p1 p0 P2 0 P B1 B0 B2 Q1Q0 Q2 A1 A0 Q
.
P P1 P0 0 A2 D Q
汽 车
P0 0
Q1 Q0
(洗衣粉) 洗衣粉
Q
Q1 Q0 Q2
P1
P
Q0 Q1 （液体皂 Q 液体皂 液体皂 液体皂） A1 A0 B1 B0
第二节 供给理论(略讲) 供给理论(略讲)
【供给定理】
一、供给和供给曲线 供给和供给曲线 供给的定义 —— 供给是指厂商在某一 特定时期内，在每一价格水平上愿意并且 特定时期内，在每一价格水平上愿意并且 能够出售的商品量 出售的商品量。 能够出售的商品量。 供给定理
—— 假定其他条件不变，当价格上升，供给量上升； 假定其他条件不变，当价格上升，供给量上升；
【需求定理】
4.关于需求定理的争论 4.关于需求定理的争论
需求曲线必定向右 下方倾斜？ 世界上有没有吉芬 商品
张五常 黄有光 汪丁丁
【需求定理】
二、需求量的变动和需求的变动
1.影响需求变动的因素 1.影响需求变动的因素
因素 政府消费政策 消费者收入 消费者偏好 人口规模 消费者预期 替代商品 互补商品 因数变动 鼓励消费 ↑ ↑ ↑ P↑ PB代↑ 代 PB补↑ 补 需求变动 DA↑ DA ↑ DA ↑ DA ↑
♣
四点理解：①某一特定时期；②每一价格； ③愿意购买；④有支付能力。 区分： 区分： ① 个人需求； ② 市场需求
人口与需求
【需求定理】
鸦片战争以后，英国商人为打开中国的广 鸦片战争以后， 阔市场而欣喜若狂。 阔市场而欣喜若狂。当时英国棉纺织业中心曼 彻斯特的商人估计，中国有4亿人，假如有1 彻斯特的商人估计，中国有4亿人，假如有1亿 人晚上戴睡帽，每人每年用两顶， 人晚上戴睡帽，每人每年用两顶，整个曼彻斯 特的棉纺厂日夜加班也不够，何况还要做衣服 特的棉纺厂日夜加班也不够， 于是他们把大量洋布运到中国。 呢！于是他们把大量洋布运到中国。 结果与他们的梦想相反， 结果与他们的梦想相反，中国人没有戴睡 帽的习惯，衣服也用自产的丝绸或土布， 帽的习惯，衣服也用自产的丝绸或土布，洋布 根本卖不出去。 根本卖不出去。
说明
与需求 同方向 变动
DA ↑ DA ↓
反方向
【需求定理】
互补品和替代品图示比较
互补 品轮 胎B
P
p1 p0 P2 0 P B1 B0 B2 Q1Q0 Q2 A1 A0 Q
.
P P1 P0 0 A2 D Q
汽 车
P0 0
Q1 Q0
(洗衣粉) 洗衣粉
Q
Q1 Q0 Q2
P1
P
Q0 Q1 （液体皂 Q 液体皂 液体皂 液体皂） A1 A0 B1 B0
第二节 供给理论(略讲) 供给理论(略讲)
【供给定理】
一、供给和供给曲线 供给和供给曲线 供给的定义 —— 供给是指厂商在某一 特定时期内，在每一价格水平上愿意并且 特定时期内，在每一价格水平上愿意并且 能够出售的商品量 出售的商品量。 能够出售的商品量。 供给定理
—— 假定其他条件不变，当价格上升，供给量上升； 假定其他条件不变，当价格上升，供给量上升；
【需求定理】
4.关于需求定理的争论 4.关于需求定理的争论
需求曲线必定向右 下方倾斜？ 世界上有没有吉芬 商品
张五常 黄有光 汪丁丁
【需求定理】
二、需求量的变动和需求的变动
1.影响需求变动的因素 1.影响需求变动的因素
因素 政府消费政策 消费者收入 消费者偏好 人口规模 消费者预期 替代商品 互补商品 因数变动 鼓励消费 ↑ ↑ ↑ P↑ PB代↑ 代 PB补↑ 补 需求变动 DA↑ DA ↑ DA ↑ DA ↑
♣
四点理解：①某一特定时期；②每一价格； ③愿意购买；④有支付能力。 区分： 区分： ① 个人需求； ② 市场需求
人口与需求
【需求定理】
鸦片战争以后，英国商人为打开中国的广 鸦片战争以后， 阔市场而欣喜若狂。 阔市场而欣喜若狂。当时英国棉纺织业中心曼 彻斯特的商人估计，中国有4亿人，假如有1 彻斯特的商人估计，中国有4亿人，假如有1亿 人晚上戴睡帽，每人每年用两顶， 人晚上戴睡帽，每人每年用两顶，整个曼彻斯 特的棉纺厂日夜加班也不够，何况还要做衣服 特的棉纺厂日夜加班也不够， 于是他们把大量洋布运到中国。 呢！于是他们把大量洋布运到中国。 结果与他们的梦想相反， 结果与他们的梦想相反，中国人没有戴睡 帽的习惯，衣服也用自产的丝绸或土布， 帽的习惯，衣服也用自产的丝绸或土布，洋布 根本卖不出去。 根本卖不出去。
第二章 晶体的结合
范德瓦尔斯力的分类： 1）葛生互作用力：取向力，固有电偶
极矩间的作用力（极性分子晶体中） 2)德拜互作用力：感应力，感应电偶极
矩间的作用力（极性分子晶体中） 3)伦敦互作用力：弥散力，瞬时电偶极
矩间的作用力（非极性分子晶体中）
一、极性分子结合 因为两极性分子同性相斥，异性相吸，有使偶极矩 排成一个方向的趋势。
r
12
A6
r12
j
1 a1j2
,
A6
j
1 a6j
2.2.4 离子晶体的结合能
若两个离子间的互作用势为
r
e2
40r
b rn
I族元素：Li、Na、K、Ru、Cs具有最低的负 电性，它们的晶体是最典型的金属。负电性 较低的元素对电子束缚较弱，容易失去电子， 因此形成晶体时便采取金属性结合。 IV族至VI族元素：具有较强的电负性，它们 束缚电子比较牢固，获取电子的能力较强， 这种情况适于形成共价结合。 IV族元素：最典型的结构是金刚石结构，金 刚石结构直接反映了共价结合的特点。
2.2.3 分子晶体的结合能
惰性气体分子间的相互作用是瞬时偶极矩与
瞬时感应偶极矩间的作用，类同于极性分子
与非极性分子的吸引势，所以一对分子间的
互作用势能为
r
A r6
B r12
引入两个参量
A2 4B
,
1
B 6 A
r
4
r
12
原子间吸引力和排斥力的来源： 吸引力：异种电荷的库仑引力。 排斥力： 1.同种电荷的静电排斥。
数学专业英语课文翻译(吴炯圻)第二章2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12
数学专业英语3—A符号指示集一组的概念如此广泛利用整个现代数学的认识是所需的所有大学生。
集是通过集合中一种抽象方式的东西的数学家谈的一种手段。
集，通常用大写字母：A、B、C、进程运行·、X、Y、Z ；由小写字母指定元素：a、 b 的c、进程运行·，若x、y z.我们用特殊符号x∈S 意味着x 是S 的一个元素或属于美国的x如果x 不属于S，我们写xS.≠当方便时，我们应指定集的元素显示在括号内；例如，由符号表示的积极甚至整数小于10 集{2,468} {2，4.6，进程运行·} 作为显示的所有积极甚至整数集，而三个点等的发生。
点的和等等的意思是清楚时，才使用。
上市的大括号内的一组成员方法有时称为名册符号。
涉及到另一组的第一次基本概念是平等的集。
DEFINITIONOFSETEQUALITY。
两组A 和B，据说是平等的（或相同的）如果它们包含完全相同的元素，在这种情况下，我们写A = B。
如果其中一套包含在另一个元素，我们说这些集是不平等，我们写A = B。
EXAMPLE1。
根据对这一定义，由于他们都是由构成的这四个整数2，4.6 和8 两套{2,468} 和{2,864} 一律平等。
因此，当我们用来描述一组的名册符号，元素的显示的顺序无关。
动作。
集{2,468} 和{2,2,4,4,6,8} 是平等的即使在第二组，每个元素2 和4 两次列出。
这两组包含的四个要素2,468 和无他人；因此，定义要求我们称之为这些集平等。
此示例显示了我们也不坚持名册符号中列出的对象是不同。
类似的例子是一组在密西西比州，其值等于{M、我、s、p} 一组单词中的字母，组成四个不同字母M、我、s 和体育3 —B子集S.从给定的集 S，我们可能会形成新集，称为.的子集例如，组成的那些正整数小于 10 整除 4 （集合{8 毫米}）的一组一般是的所有甚至小于 10.整数集的一个子集，我们有以下的定义。
第二章(静电场中的导体和介质)
§2.1导体
导体（conductor）：存在大量的可自由移动的 电荷，包括金属、电解液、等离子体、超导体。 导体放入静电场后，二者产生相互作用：导体 中的自由电荷在静电场的作用下，会重新分布； 静电场会受到导体中自由电荷的影响而发生变化。 我们这里只讨论金属导体，所得结论有的也适 用于其它导体。
一、静电平衡
E
E0
二、导体空腔
静电平衡条件下，导体空腔除了具有一般导 体的基本性质外 ，还有一些特殊的性质，分两种 情况： 1、腔内无电荷： （1）空腔的内表面不存在电荷； （2）腔内无电场； （3）腔内电位为常数。 因外部电场、电荷对腔内无影响，因此具有保 护内部空间的作用。
2、腔内有电荷： （1）导体空腔的内表面上的电荷与腔内的电 荷等值异号； （2）腔内的电场与电位分布都由腔内电荷决 定； （3）腔内表面电荷分布与腔外情况无关，整 个空间的电场和电位分布都受腔内电荷 影响； （4）将空腔外壁接地，腔外电场及电位分布 不受腔内电荷影响。
P分子 V
V 0
（2）电极化强度矢量通量 由于电介质发生极化后，在电介质的内 部或边界表面上出现极化电荷，所以电极化 强度矢量与极化电荷之间存在相互联系。 可以证明：闭合曲面的电极化强度矢量 通量等于该闭合曲面内的极化电荷的负值。
即： P dS q
S 内
（2）电极化类型： 当电介质受到外电场的作用时，要在电介质 的内部或电介质的边界上出现极化电荷，称 为电介质的极化，简称电极化。电极化有两 种类型：位移极化和取向极化。 无外场时：
有极分子 无极分子
有外场时: （a）有极分子电介质，主要是取向极化 ，也 有位移极化。 （b）无极分子介质，只有（电子）位移极化。
D o E o E o (1 )E
确定信号(精)
1 P T T
T /2
T / 2
f 2 (t ) dt
能量信号
0 E , 其中E lim
T T /2 T / 2
f 2 (t )dt
功率信号
T /2 1 0 P , 其中P lim f 2 (t ) dt T T T / 2
－第二章 确定信号－
2P( ) B( ) 0
1 Pf 2
0 0
0
0
B( )d B( f )df
19
－第二章 确定信号－
5 确定信号的相关函数
能量信号的自相关函数
R( )
f ( t ) f ( t )d t
T 2 T 2
功率信号的自相关函数
N=1 N=3 N=5
N=2
f
0
fh
－第二章 确定信号－
31
滤波器输出信号带宽
输出带宽受输入信号带宽限制
X()
H ( )
Y()
X ( )
H ( )
0
－第二章 确定信号－
0
32
输出带宽受滤波器带宽限制
X()
H ( )
Y()
X ( )
H ( )
0
－第二章 确定信号－
0
33
1 F ( ) F ( )d 2
*
| F ( ) |2 d
16
－第二章 确定信号－
能量信号的能量谱密度
双边能量谱密度：E() ，单位为J/Hz
1 E 2
E ( )d = E ( f )df
T /2
T / 2
f 2 (t ) dt
能量信号
0 E , 其中E lim
T T /2 T / 2
f 2 (t )dt
功率信号
T /2 1 0 P , 其中P lim f 2 (t ) dt T T T / 2
－第二章 确定信号－
2P( ) B( ) 0
1 Pf 2
0 0
0
0
B( )d B( f )df
19
－第二章 确定信号－
5 确定信号的相关函数
能量信号的自相关函数
R( )
f ( t ) f ( t )d t
T 2 T 2
功率信号的自相关函数
N=1 N=3 N=5
N=2
f
0
fh
－第二章 确定信号－
31
滤波器输出信号带宽
输出带宽受输入信号带宽限制
X()
H ( )
Y()
X ( )
H ( )
0
－第二章 确定信号－
0
32
输出带宽受滤波器带宽限制
X()
H ( )
Y()
X ( )
H ( )
0
－第二章 确定信号－
0
33
1 F ( ) F ( )d 2
*
| F ( ) |2 d
16
－第二章 确定信号－
能量信号的能量谱密度
双边能量谱密度：E() ，单位为J/Hz
1 E 2
E ( )d = E ( f )df
饱和烃(烷烃)
7
5
8
4
9
3
10
2
11
1
CH3-CH-CH2-CH-C-CH2-CH2-CH2-CH-CH-CH3 CH3 CH3CH2CH3 CH3CH3
红色从左向右编号取代基位置是2,4,5,5,9,10 – (错误)
蓝色从右向左编号取代基位置是2,3,7,7,8,10 – (正确)
蓝色第个二取代基为3, 符合最小规则
+
2S
+
-
+
2Px
+
+
+
2Py
- + - -
+
平面三角形
sp2杂化轨道
sp杂化
+
2s
+
2p
+
+ -
- +
直线型 sp杂化轨道
S轨道
P轨道
SP3轨道(简化)
SP3轨道
四个SP3轨道
成键能力： S轨道=1；P轨道=1.73；SP3杂化轨道=2 主要特征: 正四面体 SP3杂化, 键, H-C-H夹(键)角109.5, C-C键长0.154nm, C-H键长0.110nm 有机
1 2 1+2
2 2 2+2
3 2 3+2
4 2 4+2
开链烷烃通式：CnH2n+2
CH2 H2C CH2 H2C H2C CH2 CH2 H2C H2C CH2 CH2 CH2 H2C H2C CH2 CH2 CH2 CH2
环丙烷
环丁烷
环戊烷
环己烷
环烷烃的通式:CnH2n
同系列：通式相同,且结构(分子结构上相差 若干个CH2) 及化学性质相似,物理性质则随着 碳原子数目的增加而有规律地变化的化合物 称为同系列 例：甲烷/丙烷/丁烷 (同糸列) 甲醇/丙醇/丁醇 (同糸列) 甲醚/乙醇 (非同糸列) 丙酮/丁醛 (非同糸列) 同系列中的化合物互称为同系物。相邻 的同系物在组成上相差CH2,这个CH2 称为系列 差。 有机
02 自动控制原理—第二章
Tm J
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
第二章 随机过程的基本概念_2.3 2.4
相关时间 0 小：随机过程随时间变化快 相关时间 0 大：随机过程随时间变化慢
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
2015/5/12
0 100
14
两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
2015/5/12 22
第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
4 2 0 -2 -4 10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
2015/5/12
0 100
14
两个不同相关时间随机过程的样本函数
2.3.4 循环平稳的概念
广义循环平稳：
如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
2T
0
(1
2T
2 )[ RX ( ) mX ]d 0
平稳随机过程X(t)具有相关函数遍历性的充要条件
1 lim T T
2T
0
(1
2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
2015/5/12 22
第二章随机过程的基本概念
mX mX
其中
RX ( ) RX ( )
RX ( )
1 lim T 2T
T T
x(t
) x(t )dt
则X(t)为遍历(各态历经)过程。
2015/5/12 19
2.3.5 随机过程的各态历经性
X (t ) X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图 各态历经过程的一个样本函数经历了随机过程 所有可能的状态
如果
f XY ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N , y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M ) f X ( x1 ,..., xN , t1 ,..., t N ) fY ( y1 ,..., yM , t '1 ,..., t 'M )
第二章 人居环境科学基本框架
2.3 人居环境建设的五大原则
1 正视生态环境，提高生态意识，积极贯彻可持续发展 战略——生态观 生态观 推动更为广泛的生态教育，提高对问题的危机意识，在规划中 增加生态问题研究的分量，贯彻可持续发展战略，提高规划质 量。 要求做到： 要求做到： ——以生态发展为基础，加强社会经济环境与文化整体协调 ——加强区域城乡发展整体协调，维持区域范围内的生态完整 性 ——促进土地利用综合规划，形成土地利用的空间体系 ——建立区域空间协调发展的规划机制与管理机制 ——提倡生态建筑
2.2人居环境的构成
2.2.1 人居环境的五大系统
2.2人居环境的构成
2.2.1 人居环境的五大系统
2.2人居环境的构成
2.2.2 人居环境的五大层次
人居环境的层次观是人居环境科学的一个重大问题， 不同层次的人居环境单元不仅在于居民量的不同，还带 来了内容与质的变化。 道氏提出人类聚居的分类框架，根据人类聚居的人 口规模和土地面积的对数比例，将整个人类聚居分为15 个单元： 人体——房间——住所——住宅组团——小型邻 里——邻里——小城镇——城市——中等城市——大城 市——小型城市连绵区——城市连绵区——小型城市 洲——城市洲——普世城
2.1 人居环境与人居环境科学
2.1.1 人居环境
“人居环境”中，“环境”是平台，“居”是 行为，“人”是主体。因此，人居环境研究是 通过“人”和“居”去研究“环境”，或通过 “人”和“环境”去研究“居”。 可以看到，“环境”和“居”是落脚点，“人” 是研究的出发点和着眼点。
2.1 人居环境与人居环境科学
2.3 人居环境建设的五大原则
2 人居环境建设与经济发展良性互动——经济观 经济观 当今，人居环境建设已成为重大的经济活动。 要求做到： 要求做到： ——决策科学化，按客观规律办事 ——确定建设经济时空观 ——节约资源，减少浪费
线性代数课件2-4(1)
A = 1 0 0 0 0 3 0 0 3 2 0 0 2 4 1 0 5 1 2 0 1 0 0 0 3 0 2 4 ≠0 1
至少有一个 3 阶子式不为零 即不为零 子式的最高阶数 是3， 而所有的 4 阶子式 全为零
∴r( A) = 3 .
10
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
例题与讲解
3 3 0 − 2 例2: 设 A = − 1 − 4 3 0 , 1 − 5 6 − 2
0 0 0 1 1 0 0 0 列向量组 : β 1 = 0 , β 2 = 0 , β 3 = 0 , β 4 = 1 , 0 0 0 0
行向量组为 :
α 1 = (1, 0, 0, 0) , α 2 = ( 0, 1, 0, 0 ) , α 3 = ( 0, 0, 0, 1) , α 4 = ( 0, 0, 0, 0 ) ,
α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性 相关, α 1 , α 2 , α 3 线性无关,
∴ r (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3 , 即A的行秩是 3;
初等行变换
1 2 s 1 2 s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
5
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
定理3 矩阵的行秩和列秩相等 . 证明: 当 A = O 时, 显然. 当 A ≠ O 时, 即A的元素不全为零 , 则
至少有一个 3 阶子式不为零 即不为零 子式的最高阶数 是3， 而所有的 4 阶子式 全为零
∴r( A) = 3 .
10
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
例题与讲解
3 3 0 − 2 例2: 设 A = − 1 − 4 3 0 , 1 − 5 6 − 2
0 0 0 1 1 0 0 0 列向量组 : β 1 = 0 , β 2 = 0 , β 3 = 0 , β 4 = 1 , 0 0 0 0
行向量组为 :
α 1 = (1, 0, 0, 0) , α 2 = ( 0, 1, 0, 0 ) , α 3 = ( 0, 0, 0, 1) , α 4 = ( 0, 0, 0, 0 ) ,
α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性 相关, α 1 , α 2 , α 3 线性无关,
∴ r (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3 , 即A的行秩是 3;
初等行变换
1 2 s 1 2 s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
5
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
定理3 矩阵的行秩和列秩相等 . 证明: 当 A = O 时, 显然. 当 A ≠ O 时, 即A的元素不全为零 , 则
第二章 原子的结构和性质2.3-2.4
作图方法主要包括：
函数-变量对画图 等值面（线）图 界面图 网格图 黑点图
有些图形只能用某一种方式来画, 有些图形则可 能用几种不同方式来画。作图对象与作图方法结合 起来, 产生了错综复杂的许多种图形。
采用列表的形式, 可使这种关系变得一目了然。
2.3 原子轨道和电子云的图形表示
波函数 ( ，原子轨道) 电子云 ( ||2 ，概率密度)
当n相同，l不同时， l越 大，主峰离核越近； l越小 峰越多，而且第一个峰离 核越近，俗称钻得越深。 钻穿效应
2.3.2 原子轨道 和电子云 ||2 的角度分布
角度分布是以角度波函数 Y ,m ( , ) 在球坐标系中对 θ、角作图，其做法是在坐标系中，选原子核作为 坐标原点，在每一个(θ, )方向上引一条直线，取长 度为|Y|的线段，将这些线段的端点连接起来，在空 间形成一个曲面，根据 Y值的大小标明正负号。若 取直线的长度为|Y|2，所以直线端点构成的曲面称 为电子云 的角2 度分布。
毋庸置疑, Rydberg原子一定是个大胖子. 事实上, 它的半径 大约相当于基态原子的十万倍! 这样一个胖原子, 即使受到微弱 的电场或磁场作用, 也会显著变形.
由于 Yl,m (q ,f )只与角量子数 l 和磁量子数m有关，而 与主量子数n无关，因此 l,m 相同的状态，其原子轨 道的角度分布图都相同。如2pz, 3pz, 4pz角度部分图 形都完全相同。
原子轨道ψ的角度分布
s 00
1
4
对s-型轨道而言，只
与r有关，没有角度依赖
+
性，所以从原点到曲线
数的形式。
5. 磁量子数及角动量在磁场方向的分量
角动量在Z方向(磁场方向)的分量Lz的算符 作用于单电子原子波函数ψ，得：
第二章 为什么会存在城市
2.7 资源向导型企业与加范围为80英 里，每个工厂是这个范围内所有甜菜的唯一购买 者。
2.7 资源向导型企业与加工型城镇
德国鲁尔工业区（埃森、多 特蒙德和杜伊斯堡） 蒂森-克虏伯钢铁、欧宝汽车、 拜尔医药 工业产值曾占德国的40％ 煤：煤炭地质储量为2190亿 吨,占德国总储量的80%。 铁：多瑙河横穿鲁尔区，临 近法国东北部的洛林铁矿
2.2.1 比较优势与贸易
北方将生产面包→衬衣，时间1小时，2面包→6衬衣； 南方将生产衬衣→面包，时间2小时，2衬衣→2面包 交换：面包：衬衣=1：2。可能发生。 对于北方，衬衣的价格=1/2块面包>1/3块面包的机 会成本；对于南方，面包的价格=2件衬衣>1件衬衣 的机会成本。 交换可能发生的范围：两个机会成本之间 即面包:衬衣∈（1/3,1）
2.3 城市历史中的贸易城市
中国历史上的贸易城市 敦煌：陆上丝绸之路 泉州：海上丝绸之路 扬州：京杭大运河 长江和各主要支流交汇处，一系列重要城市 “朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还” “窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船”
2.4 工业城市
放松第三个假设（生产的规模收益不变）：假设
面包生产无规模经济；衬衣生产具有规模经济（城市经济 学第四公理：生产受规模经济影响） 比如：衬衣企业使用不可分割要素投入（机器）；工人流 水线作业。工人在家1hr：1面包or1衬衣；工人在工厂1hr： 6衬衣。
成本
想象一下没有城市的情况
2.1庭院生产模型
假定没有城市存在的地区仅生产和消费两种产 品：面包和衬衣 三个假设条件 1）相同生产力：所有土地和工人在生产小麦和羊
毛时具有相同生产力
发输变电电气部分(全)
4.载流导体
电机、变压器与配电装置连接；架空 线和电缆线用来传输电能。 并联电抗器一般装设在330kV及以上超 消弧线圈用来补 调相机是一种不带机械负荷运行的同 高压配电装置的线路侧。作用是吸收过剩的 偿小接地电流系统的 步电动机，主要用来向系统输出感性无 无功功率，改善沿线电压分布和无功分布， 单相接地电容电流， 功功率，以调节电压控制点或地区的电 降低有功损耗，提高送电效率。 以利于熄灭电弧。 压。 电力电容 器补偿有并联 和串联补偿两 类。
电气主接线
三、电气主接线和配电装置的 概念
2．配电装置
按主接线图，由母线、开关设备、保护 电器、测量电器及必要的辅助设备组建成接 受和分配电能的电工建筑物，称为配电装置。 配电装置是发电厂和变电站的重要组成部分。 配电装置按电气设备的安装地点可分为： （1）屋内配电装置。全部设备都安装在屋 内。 （2）屋外配电装置。全部设备都安装在屋 外（即露天场地）。
第二章 发电厂的电气部分
第三节 高压交流输变电
第四节 高压直流输电
断路器图例
隔离开关图例
负荷开关图例
自动重合器和自动分段器
低压开关电器
智能万能式断路器
限流电器
载流导体
补偿设备
互感器
电流互感器作用是将交流大电流变成小电流（5A 电流互感器 或lA），供电给测量仪表和继电保护装置的电流线圈；
首页
一、主要电气设备
（一）一次设备
直接生产、转换和输配电能的设备，称 为一次设备，主要有以下几种。 l.生产和转换电能的设备 生产和转换电能的设备有同步发电机、 变压器及电动机，它们都是按电磁感应原理 工作的，统称灭弧装置，可用来接 通或断开电路的正常工作电流、过 负荷电流或短路电流，是电力系统 隔离开关没有灭弧装 中最重要的控制和保护电器。 置，用来在检修设备时隔 开关电器的作用是接通或断开电路。 离电源，进行电路的切换 （1）断路器（俗称开关） 操作及接通或断开小电流 电路。它一般只有电路断 开的情况下才能操作。在 负荷开关具有简易的灭弧装置， 各种电气设备中，隔离开 （3）负荷开关 可以用来接通或断开电路的正常工作 关的使用量是最多的。 电流和过负荷电流，但不能用来接通 还有用于配电系统的 或断开短路电流。还可用来在检修设 备时隔离电源。
电机、变压器与配电装置连接；架空 线和电缆线用来传输电能。 并联电抗器一般装设在330kV及以上超 消弧线圈用来补 调相机是一种不带机械负荷运行的同 高压配电装置的线路侧。作用是吸收过剩的 偿小接地电流系统的 步电动机，主要用来向系统输出感性无 无功功率，改善沿线电压分布和无功分布， 单相接地电容电流， 功功率，以调节电压控制点或地区的电 降低有功损耗，提高送电效率。 以利于熄灭电弧。 压。 电力电容 器补偿有并联 和串联补偿两 类。
电气主接线
三、电气主接线和配电装置的 概念
2．配电装置
按主接线图，由母线、开关设备、保护 电器、测量电器及必要的辅助设备组建成接 受和分配电能的电工建筑物，称为配电装置。 配电装置是发电厂和变电站的重要组成部分。 配电装置按电气设备的安装地点可分为： （1）屋内配电装置。全部设备都安装在屋 内。 （2）屋外配电装置。全部设备都安装在屋 外（即露天场地）。
第二章 发电厂的电气部分
第三节 高压交流输变电
第四节 高压直流输电
断路器图例
隔离开关图例
负荷开关图例
自动重合器和自动分段器
低压开关电器
智能万能式断路器
限流电器
载流导体
补偿设备
互感器
电流互感器作用是将交流大电流变成小电流（5A 电流互感器 或lA），供电给测量仪表和继电保护装置的电流线圈；
首页
一、主要电气设备
（一）一次设备
直接生产、转换和输配电能的设备，称 为一次设备，主要有以下几种。 l.生产和转换电能的设备 生产和转换电能的设备有同步发电机、 变压器及电动机，它们都是按电磁感应原理 工作的，统称灭弧装置，可用来接 通或断开电路的正常工作电流、过 负荷电流或短路电流，是电力系统 隔离开关没有灭弧装 中最重要的控制和保护电器。 置，用来在检修设备时隔 开关电器的作用是接通或断开电路。 离电源，进行电路的切换 （1）断路器（俗称开关） 操作及接通或断开小电流 电路。它一般只有电路断 开的情况下才能操作。在 负荷开关具有简易的灭弧装置， 各种电气设备中，隔离开 （3）负荷开关 可以用来接通或断开电路的正常工作 关的使用量是最多的。 电流和过负荷电流，但不能用来接通 还有用于配电系统的 或断开短路电流。还可用来在检修设 备时隔离电源。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(1) xF(x) yH(x, y);
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
第二章2.3非线性光学玻璃光伏玻璃
P = χ(1) E + χ(2) E2 + χ(3) E3 +⋅ ⋅ ⋅
线性极 化率 二阶非线 性极化率 三阶非线 性极化率
2
玻璃的二阶非线性光学效应
玻璃作为非晶态物质是各向同性的 在宏观上具有反演对称性， 玻璃作为非晶态物质是各向同性的，在宏观上具有反演对称性， 各向同性 反演对称性 通常认为是不具备二阶非线性光学效应的，但近几年的研究发现， 通常认为是不具备二阶非线性光学效应的，但近几年的研究发现， 有些玻璃可以具有很高的二阶非线性光学效应，如掺Ge 有些玻璃可以具有很高的二阶非线性光学效应，如掺 的石英玻璃光纤。 的石英玻璃光纤。 石英玻璃光纤的非线性光学效应主要从其在光照后产生的二次 石英玻璃光纤的非线性光学效应主要从其在光照后产生的二次 的非线性光学效应主要从其在光照后产生的 谐波SHG(Second Harmonic Generation)的强度表现出来，二阶 的强度表现出来， 谐波 的强度表现出来 非线性光学效应主要有和频 差频和倍频效应等，研究发现： 和频、 非线性光学效应主要有和频、差频和倍频效应等，研究发现： SHG强度与照射时间有关，照射时间延长，强度增大，在 强度与照射时间有关，照射时间延长，强度增大， 强度与照射时间有关 十几小时达到饱和。 十几小时达到饱和。 SHG强度与玻璃中 强度与玻璃中OH-含量有关，含量越大，强度越大。 含量有关，含量越大，强度越大。 强度与玻璃中
nw
χ(3)值随玻璃线性折射率变化曲线
5
纳米颗粒弥散玻璃非线性效应
主要是将金属或半导体的纳米颗粒弥散分布在玻璃中。包括金属 主要是将金属或半导体的纳米颗粒弥散分布在玻璃中。包括金属 颗粒弥散玻璃和半导体颗粒弥散玻璃。 颗粒弥散玻璃和半导体颗粒弥散玻璃。 金属颗粒弥散玻璃非线性光学效应 是当玻璃中含有数纳米或数十纳米的金属微粒时，由局部电场 是当玻璃中含有数纳米或数十纳米的金属微粒时， 的封闭效应引起的。 的封闭效应引起的。 半导体颗粒弥散玻璃的非线性光学效应 是因光吸收而产生的电子和空穴独立地或者以激发子的形式被 封闭在颗粒的狭小空间中，从而引起非线性光学效应的增大，即 封闭在颗粒的狭小空间中，从而引起非线性光学效应的增大， 所谓的量子封闭效应。 所谓的量子封闭效应。
海底两万里概括1到12章内容
海底两万里概括1到12章内容一、引言二、章节概述2.1 第一章2.2 第二章2.3 第三章2.4 第四章2.5 第五章2.6 第六章2.7 第七章2.8 第八章2.9 第九章2.10 第十章2.11 第十一章2.12 第十二章三、详细内容3.1 第一章：A的冒险开始3.2 第二章：B的发现3.3 第三章：C的挑战3.4 第四章：D的秘密3.5 第五章：E的考验3.6 第六章：F的任务3.7 第七章：G的探索3.8 第八章：H的成长3.9 第九章：I的困境3.10 第十章：J的胜利3.11 第十一章：K的转变3.12 第十二章：L的归来四、结论一、引言《海底两万里》是法国作家儒勒·凡尔纳创作的一部科幻小说，以其独特的想象力和对海洋的描绘而闻名。
本文将从章节概述、详细内容和最终结论三个方面，全面解读小说《海底两万里》1到12章的内容。
二、章节概述2.1 第一章第一章为整个小说的开篇，主要介绍了主人公A的背景和对于海洋生物的热爱。
2.2 第二章第二章讲述了B的发现，他在海底发现了一个巨大的神秘物体，引发了人们的关注和猜测。
2.3 第三章第三章描写了C的挑战，A、B和C共同决定展开探索，踏上征程，以解开这个谜团。
2.4 第四章第四章透露了D的秘密，探险队员们发现这个神秘物体实际上是一艘先进的潜水艇，他们决定进入其中进行探险。
2.5 第五章第五章讲述了E的考验，探险队员们在潜水艇中面对种种困难和危险，展示了他们的智慧和勇气。
2.6 第六章第六章讲述了F的任务，探险队员们发现潜水艇的主人是一位古怪的海底探险家，他给予他们一项重要任务。
2.7 第七章第七章描述了G的探索，探险队员们在潜水艇中继续探索海底世界，目睹了壮观的珊瑚礁和各种奇特的海洋生物。
2.8 第八章第八章讲述了H的成长，探险队员们逐渐适应了潜水艇的生活，并发挥出自己的专长，为探险事业做出了贡献。
2.9 第九章第九章描写了I的困境，探险队员们遭遇了一次海底动物的袭击，陷入了生死危机。
理论力学第二章
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F1 F2 P
解得： FBA
7.321kN
Fiy 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
2 2
（1）
二.平面汇交力系合成的解析法
FR Fi
(a) (b) (c)
Fi Fxii Fyi j FR FR x i FR y j
将（b）代入（a）式，并注意i 和 j为常矢量，则有
FR ( Fxi )i ( Fyi ) j
（今后为了便于书写，将下标“i”省略。） 比较(c)、(d)等式两边，可得
FCA AC 1 P AB
解得 图2-2
FC B BC 1 P AB 2
FCA 10kN, FCB 5 kN
也可给P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作 出封闭的力三角形后，由比例尺量得
FCA 10kN, FCB 5 kN
例2-2 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。
转动效应--取决于力矩的大小、方向。
一、力对点的矩
B
力矩：力绕某一点转动效应的度量。
F
M O ( F ) F d
+
A
d
-
说明：
① M O ( F )是代数量。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F )=0。 当F=0或d=0时，
④单位Nm或kNm ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
第二章 物质的磁性(1)
其总角动量：
（共2L+1个值）
PJ = J ( J + 1)ℏ
在磁场方向上的投影是量子化的，多值的。 此时不能立即给出两个电子的总磁矩。因为总动量矩 总动量矩 和总磁矩的方向是不重合的。 和总磁矩的方向是不重合的。
PJ
∵ PL = L( L + 1)ℏ, PS = S ( S + 1)ℏ,
µL = L( L + 1) µB µS = 2 S ( S + 1) µB
的 ms 状态，
的 ms 状态，所以总自旋：
1 1 S = 5 × − 1× = 2 2 2
ml
(n=3)
主量子数 n 代表主 壳层，轨道量子数 ll 代表次壳层，能 … 量相同的电子可以 视为分布在同一壳 层上。
主量子数相同的 电子数最多： 电子数最多：
ms
大多数原子基 态的电子组态可以 按此规律给出。 少数元素有些变化， 如： Cu:······3d10,4s1 Cr: :······3d5,4s1
适用于原子序数较小的原子在这类原子中不同电子之间的轨道轨道耦合和自旋自旋耦合较强而同一电子的轨道自旋耦合较弱因而各个电子的轨道角动量和自旋角动量先分别合成为一个总轨道角动量和总自旋角动量然后总轨道角动量和总自旋角动量再耦合成为该支壳层电子的总角动量
第二章 物质的磁性
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 原子磁矩 抗磁性 顺磁性 铁磁性 反铁磁性 亚铁磁性
A 是环形轨道面积，
电子具有质量 m，其轨道运动同时具有角动量 pl，
1 pl = mωr , µl = eωr 2 2
2
e µl = − p l = −γ l p l 2m
γl =
（共2L+1个值）
PJ = J ( J + 1)ℏ
在磁场方向上的投影是量子化的，多值的。 此时不能立即给出两个电子的总磁矩。因为总动量矩 总动量矩 和总磁矩的方向是不重合的。 和总磁矩的方向是不重合的。
PJ
∵ PL = L( L + 1)ℏ, PS = S ( S + 1)ℏ,
µL = L( L + 1) µB µS = 2 S ( S + 1) µB
的 ms 状态，
的 ms 状态，所以总自旋：
1 1 S = 5 × − 1× = 2 2 2
ml
(n=3)
主量子数 n 代表主 壳层，轨道量子数 ll 代表次壳层，能 … 量相同的电子可以 视为分布在同一壳 层上。
主量子数相同的 电子数最多： 电子数最多：
ms
大多数原子基 态的电子组态可以 按此规律给出。 少数元素有些变化， 如： Cu:······3d10,4s1 Cr: :······3d5,4s1
适用于原子序数较小的原子在这类原子中不同电子之间的轨道轨道耦合和自旋自旋耦合较强而同一电子的轨道自旋耦合较弱因而各个电子的轨道角动量和自旋角动量先分别合成为一个总轨道角动量和总自旋角动量然后总轨道角动量和总自旋角动量再耦合成为该支壳层电子的总角动量
第二章 物质的磁性
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 原子磁矩 抗磁性 顺磁性 铁磁性 反铁磁性 亚铁磁性
A 是环形轨道面积，
电子具有质量 m，其轨道运动同时具有角动量 pl，
1 pl = mωr , µl = eωr 2 2
2
e µl = − p l = −γ l p l 2m
γl =
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§3 矩阵的转置与方阵的行列式
一、矩阵的转置
定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵， 叫做 A 的转置矩阵，记作 AT .
1 4
例:
A
1 4
2 5
2 8
,
AT
2
5
;
2 8
A AT
B 18 6 ,
BT
18
6
.
记 A的逆矩阵为 A1
AA1 A1A E
定理：若方阵A可逆，则 | A | 0 ． AA1 A1A E
推论：若 | A | 0，则 | A1 | 1
| A|
.
AA1 A A1 E 1
E1 E
EE E
(kE)1 1 E k
(kE)(1 E) EE E k
aij bij , i 1,, m, j 1,, n
(2) 特殊矩阵
1. 零距阵
0 0
O22
0
0
O14 0 0 0 0
2. 行矩阵(或行向量) A (a1 , a2 , , an )
3. 列矩阵(或列向量)
a1
B
a2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 (1)
amn xn bm
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
,
xn
b1
(3E)1 1 E 3
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？
13
42
？
1 0
10
•如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
二、伴随矩阵及其与逆矩阵的关系
定义： 行列式 A 的各个元素的代数余子式 Aij 所
构成的如下矩阵
A11 A21 An1
0 1 01 1 1 1 2 1 1 0 01 2 1 1 1 1 0 0 11 1 3 1 1 3
对称阵的性质： 设A, B是 n 阶对称矩阵，k是常数，则 1) A+B, kA 和 AT都是对称矩阵； 2) AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB=BA .
依据是否能满足： AB = BA = E
方阵的分类：
A可逆 A不可逆
一、逆矩阵的概念
定义： 设 A是 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B 使
AB = BA = E 则称 A是 可逆的，并称 B 是 A的逆矩阵，
若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的。 设B、C都是A的逆矩阵，则 AB BA E，AC CA E 从而B EB (CA)B C( AB) CE C
(4) AE EA A
注： 1) 矩阵乘法不满足交换律， AB BA .
2) 矩阵乘法不满足消去律，
AB AC 且 A O
BC
3) 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
3. 线性方程组的矩阵表示
a11 x1 a12 x2
a21 x1 a22 x2
(2) 数乘
ka11
kA
ka21
kam1
ka12 ka22
kam1
ka1n
ka2n
kamn
运算律： 1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
(3) 乘法
a11 a12
k
nn
8. 三角矩阵
4 2 7 1
A
0
8
0
1
0 0 10 2
0 0 0 1
0 0 0 0
A
1 0
5 0
0 10
0
0
7 3 8 0
2. 矩阵的运算
(1) 加、减
a11 b11 a12 b12 a1n b1n
b
b2
bm
Ax b
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 (1)
amn xn bm
a11 a12
x1
c1n
c2n
cmn
s
其中 cij a bi1 1 j ai b2 2 j aisbsj aikbkj k 1
i 1,2, m; j 1,2, ,n
乘法运算律： (1) ABC ABC (2) AB C AB AC B C A BA CA (3) AB A B AB
A
A12
A22 An2
A1n A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
A11 A12
A21
A22
An1 An2
A1n
T
A2n
Ann
性质：AA A A A E .
证明：
a11 a12
AA
4. 方阵的多项式
方阵的幂：
Ak AA A
k
Ak Al Akl , (Ak )l Akl
( AB)k Ak Bk ( A B)2 A2 2AB B2 ( A B)( A B) A2 B2
A、B可交换时成立 即 AB＝BA
f ( x) a0 xm a1 xm1 am1 x am (a0 0) f ( A) a0 Am a1 Am1 am1 A am E (a0 0)
(BT )T B
1 2 3 A 4 5 6
7 8 9
1 4 7
AT 2 5 8
3 6 9
转置矩阵的运算性质: (1) ( AT )T A; (2) ( A B)T AT BT ;
(3) ( A)T AT ; (2A)T 2AT (4) ( AB)T BT AT . ( AB)T AT BT
( AB)T
14
13
.
3 10
1 7 1
2
A
1
0 3
1
2
,
B
4
2
2 0
3
,
求 ABT .
1
解法2:
( AB)T BT AT
1 4 2 2 1 0 17
7
2
0
0
3
例2：设A, B为3阶矩阵， |A|=1/3，|B|=4，求
A 和 2BT A2
解： A (1)3 A (1) 1 1 33
2BT A2 23 BT A 2 8 4 1 32 99
§4 逆矩阵
对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有 An En En An An aa－1 =a－1 a= 1
A
B
a21 b21
a22 b22 a2n b2n
am1 bm1 am2 bm2 amn bmn
运算律： 1 A B B A;
2 A B C A B C . (34) A A 0, A B A B.
A
6 1
8 0
0 6
0 6 1
A
6
0
7
1 7 0
对称阵
反对称阵
例: 设 A 是 n 阶矩阵，证明:
1 A AT是对称矩阵, A AT是反对称矩阵, 2 A可表示为对称矩阵与反对称矩阵之和。
注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵
从而 H 是对称阵． HH T H 2 (E 2 XX T )2 E 2 4 XX T (2 XX T )2
E 4XX T 4XX T XX T
E 4XX T 4X ( X T X )X T E 4XX T 4XX T E
例3：设A, B为 n 阶矩阵，A为反对称矩阵，B 为对称矩 阵，证明：AB-BA为对称矩阵. 证明： 已知 AT A, BT B,
a21
x2
a22
am1 am2
a1n b1
xn
a2n
b2
amn bm
n
x j j x11 x22 xnn b
j1
例2：设列矩阵 X = ( x1, x2, …, xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶 单位阵，H = E－2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.
证明： H T (E 2 XX T )T ET (2 XX T )T E 2( XX T )T