高二理科数学上册期末检测试题6

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高二上册数学期末检测试卷(理工类)

试卷类型 A高二数学(理工类) 试卷A 型第 1 页 (共 4 页)机密★启用前高二上册数学期末检测试卷(理工类)★祝考试顺利★注意事项：1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。

考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，考号对应数字涂黑。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2. 回答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 回答第II 卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 考生必须保持答题卡的清洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 红、黑、蓝、白4张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥事件但不是对立事件 D ．以上答案都不对2. 下面哪些变量是相关关系 A ．出租车费与行驶的里程 B ．房屋面积与房屋价格 C ．身高与体重D ．铁块的体积与质量3. 若直线210x y ++=与直线20ax y +-=互相垂直，那么a 的值等于A ．－2B ．23-C ．13- D ．14. 下列说法一定正确的是A ．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B ．一枚硬币掷一次得到正面的概率是12，那么掷两次一定会出现一次正面的情况C ．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D ．随机事件发生的概率与试验次数无关5. 以A (1，3)，B (－5，1)为端点的线段的垂直平分线的方程是 A ．380x y --= B ．340x y ++= C ．360x y -+=D ．320x y +-=试卷类型 A高二数学(理工类) 试卷A 型第 2 页 (共 4 页)6. 如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么127a a a +++= A ．－1B ．－2C ．0D ．27. 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中一、二、三、四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中一年级的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 A ．24种B ．18种C ．48种D ．36种8. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a 、b 分别为14、18，则输出的a = A ．0 B ．2 C ．4D ．149. 已知直线x y a +=与圆224xy +=交于A 、B两点，且||||OA OB OA OB +=-(其中O 为坐标原点)，则实数a 的值是 A ．2 B ．－2 C ．2或－2D 或10. 若点A (－2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是A ．43k -≤或34k -≥B ．34k ≤或43k ≥ C．4334k --≤≤D ．3443k ≤≤11. 已知实数x 、y 满足221x y +=，则21xyx y ++的最小值为A ．1-B ．1-C ．1D ．112. 如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架(由24个棱长为l 个单位长度的正方体框架组合而成)．一建筑工人从A 点沿脚手架到点B ，每步走l 个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共有 A ．150条 B ．525条 C ．840条 D ．1260条第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

新人教版高二上期末数学试卷(理科)含答案解析

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n02．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=．14．（5分）=．15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．2017-2018学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：或f（n0）＞n0．故选：D．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A．4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=﹣．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，∴a8=1+7d=9，故选C．6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹是椭圆，可知c=5，2a=12，解得a=6，c=．则顶点C的轨迹方程是：．故选：B．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）=，令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当x=e时，函数有极大值，故选A．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，，∴=，=，=，由此猜想a n=．下面利用数学归纳法进行证明：①，成立；②假设a k=，则==，成立，∴，∴a10=．故选：D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y=（x+4y）=≥==+，当且仅当x=2=时取等号．故选：C．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入﹣=1，可得x=±，∴•=c，∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，∴e4﹣4e2+2=0，∵e＞1，∴e2=2+，∴e=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=﹣7．【解答】解：，则=（﹣2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；故答案为：﹣7．14．（5分）=1．【解答】解：∫1e dx=lnx|1e=lne﹣ln1=1，故答案为115．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0）．则=1，解得y=±．取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴k AB=﹣，==﹣．∵PF2∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=c，∴e==．故答案为：．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．【解答】解：f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，可得，画出不等式组的可行域如图：则f（2，1）=2a+b，当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，由可得B（，），f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）所以，…（4分）…（6分）（Ⅱ）设数列{b n}的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）∴b n=5n﹣2…（10分）18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8x；（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=﹣2，又，相减整理得，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x，得ky2﹣8y﹣8k﹣8=0，易知，又y1+y2=﹣2所以，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为x 轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，设是平面A1CD的法向量，则即可取．…（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取．…（8分）从而…（10分）所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x1，y1），D（x2，y2）由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，易知△=16m2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，所以…（6分）（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），B（x1，y1），D（x2，y2）由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，易知△=48k2+16＞0，…（8分）=．所以为定值…（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（2分）又∴又∴，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC∴BC⊥BD…（4分）又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），，，P（0，0，1）∴，=（﹣1，0，0），，设平面PBC的法向量为，则，即，取y=1，得…（10分）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．【解答】解：（1）f'（x）=（x2+2x）e x，∴f'（1）=3e，∴所求切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即y=3ex﹣2e；（2）∵f（x）＜ax，对x∈（﹣∞，0）恒成立，∴，设g（x）=xe x，g'（x）=（x+1）e x，令g'（x）＞0，得x＞﹣1，令g'（x）＜0得x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，∴，∴；（3）令F（x）=0，得，当x＜0时，，∴F（x）的零点在（0，+∞）上，令f'（x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，∴f（x）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，∴方程仅有一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈Z，∵，∴由零点存在的条件可得，则n=0．。

高二上学期期末考试数学(理)试卷及参考答案(共3套)

第一学期期末考试高二年级(理科数学)试题卷本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．下列说法正确的是(A) 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”(B) 若命题2:,210p x x x ∃∈-->R ，则命题2:,210p x x x ⌝∀∈--<R (C) 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 (D) “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件2．已知向量(1,1,0)=a ，(1,0,2)=-b ，且(R)k k +∈a b 与2-a b 互相垂直，则k 等于(A) 1 (B)15 (C) 3 (D)753．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为3a =，b =π3A =，则B =(A)π6 (B) 5π6 (C) (D)2π34．若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =(A) 1(B) 9(C) 17(D)195．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(A)2(B) (C) 2 16．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a (2)n a +等于(A) 2)12(-n(B))12(31-n (C) 14-n (D))14(31-n 7．不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -等于(A) 10- (B) 10 (C) 14- (D)148．已知0,0>>b a ，且132=+b a ，则23a b+的最小值为(A) 24(B) 25 (C) 26(D)279．若中心在原点，焦点在y(A) y x =± (B) y x = (C) y = (D)12y x =± 10．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是 (A) 30m -<< (B) 32m -<< (C) 34m -<< (D)13m -<<11．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为(A)13(B)3(C)(D)2312．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛4,27A ，则|||PA PM +的最小值是(A)211 (B) 4 (D)5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量1(8,,),(,1,2)2a x xb x ==，其中0x >，若b a //，则x 的值为__________． 14．过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________． 15．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =__________．16．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。

高二上学期期末考试数学(理科)试卷(含参考答案)

高二第一学期理科数学期末考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{14}A x x =<<，{lg(1)}B x y x ==-，则AB =（）A ．{12}x x <<B ．{12}x x ≤<C ．{12}x x -<<D ．{12}x x -≤< 2. 如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则( ) A ．命题“⌝p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“⌝p 且q ”是真命题 D ．命题“p 且q ⌝”是真命题3. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为( ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定4. 以抛物线28y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（） A. 22(1)1x y ++= B. 22(1)1x y -+= C. 22(2)4x y ++= D. 22(2)4x y -+=5．“3a =”是 “函数()3xf x ax =-有零点”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ； ②若α⊥m,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//．其中正确命题的序号是（）A ．①④B ．②④C ．②③ D．①③7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题： “今有蒲生一日，长三尺。

莞生一日，长一尺。

蒲生日自半。

莞生日自倍。

问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入3A =，1a =．那么在①处应填（）A ．2?T S >B ．2?S T >C ．2?S T <D ．2?T S < 8.过函数()3213f x x x =-图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( )A. 3[0,]4π B.3π[0,)[,π) 24π⋃ C. 3π[,π) 4 D. 3(,]24ππ 9．已知定义在R 上的函数()f x 满足： ()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ≥时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时， ()1x f x e =-，则()()20162017f f +-= ( )(其中e为自然对数的底)A. 1e -B. 1e -C. 1e --D. 1e +10．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =，6AC =，12AE ED =，则A E E B ⋅等于（） A. 14- B. 9- C. 9 D.1411.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若,x y 满足上述约束条件，则13x y z x ++=+的最小值为（）A ．1- B．17- C. 13 D ．75-12. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （）A.221+B. 224-C.225-D.223+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.14．已知α为锐角，向量(cos ,sin )a αα=、(1,1)b =-满足223a b ⋅=，则sin()4πα+= ．15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______．16．若实数,,a b c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--=，则b c -的最小值是_________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分10分）在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c，且sin sin sin sin 3a Ab Bc C C a B +-= .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CD 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.19．（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20．（本小题满分12分）在五面体ABCDEF 中， ////,222AB CD EF CD EF CF AB AD =====,60DCF ︒∠=,AD ⊥平面CDEF .（1）证明:直线CE ⊥平面ADF ；（2）已知P 为棱BC 上的点，23CP CB =，求二面角P DF A --的大小.21. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)T t (0)t ≠，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数()ln a f x x x=+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2a e≥时， ()x f x e ->.高二数学期末考试试题参考答案ACBDA CBBAD DC 13. 56 14．315. 323π 16. 117.解：（1）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同时除以(1)n n +，得*12()1n na a n n n+-=∈+N ， …………3分所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列. …………………4分（2）由（1），得22n an n=+，…………………5分所以222n a n n =+，故2111(1)111()222(1)21n n n a n n n n n n +-==⋅=⋅-+++，………………7分所以111111[(1)()()]22231n S n n =-+-++-+， 1111111[(1)()]223231n n =++++-++++ 11(1)212(1)n n n =-=++. ……………10分 18.解：(1)∵ sin sinsin sin a A b B c C Ca B +-=，222cos 2a b c C Cab +-∴==…………4分,即tan C =(0,)C π∈3C π∴=.………………6分(2) 由222211()(2)44CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅ 即2222111(2cos )()44b a ab C b a ab =++=++…………………8分从而22442,3ab a b ab ab -=+≥≤（当且仅当a b ==10分即114sin 223ABC S ab C ∆=≤⨯=…………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．………1分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，…………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x …………………………3分=…………………………4分所以相关系数()()0.95ni ix x y yr--===≈∑．………………5分因为0.75r>，所以可用线性回归模型拟合y与的关系．……………6分（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：当70X>时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元．…………8分当5070X≤≤时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元．……………………………9分当50X<时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元．…………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………………………12分20．证明：（1）//,2,CD EF CD EF CF===∴四边形CDEF为菱形，CE DF∴⊥，………1分又∵AD⊥平面CDEF∴CE AD⊥………2分又,AD DF D⋂=∴直线CE⊥平面ADF.………4分(2) 60DCF∠=，DEF∴∆为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则,GD EF GD CD⊥∴⊥，又AD⊥平面CDEF，∴,,DA DC DG两两垂直，以D为原点，,,DA DC DG所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系D xyz-，………5分2,1CD EF CF AB AD=====，((0,,E F∴-，(1,1,0),(0,2,0)B C………6分由（1）知(0,CE=-是平面ADF的法向量，………7分()()0,1,3,1,1,0DF CB==-，222(,,0)333CP CB==-，(0,2,0)DC=则24(,,0)33DP DC CP=+=，………8分设平面PDF的法向量为(),,n x y z=，∴n DFn DP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2433yx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令z=3,6y x==-，∴(6,3,n=-………10分∴1cos ,223n CE n CE n CE⋅===-………11分∴二面角P DF A --大小为60.………12分21. 解:（1）由题意知1c =，又tan 603bc ==，所以23b =，………2分2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y += ；………4分（2）当0k =时， 0t =，不合题意设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y+=，得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，故0∆>，则,0k R k ∈≠ 设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，则2120002243,(1)23434x x k k x y k x k k +===-=-++ ，………7分由QP TP PQ TQ ⋅=⋅ 得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅= ，所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，………8分直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++ ， ………10分令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++，………11分因为2(0,)k ∈+∞，所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈. ………12分所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈.22.解：（1）函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞.由()ln a f x x x =+，得()221a x af x x x x ='-=-.………1分①当0a ≤时， ()0f x '>恒成立， ()f x 递增， ∴函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞ ………2分 ②当0a >时，则()0,x a ∈时，()0,f x '<()f x 递减，(),x a ∈+∞时， ()0f x '>，()f x 递增.∴函数()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(),a +∞.………4分（2）要证明当2a e ≥时， ()x f x e ->，即证明当20,x a e >≥时， ln xa x e x-+>，………5分即ln xx x a xe -+>，令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x ='+，当10x e <<时， ()0h x '<；当1x e>时， ()0h x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1x e =时， ()min1h x a e ⎡⎤=-+⎣⎦.于是，当2a e ≥时， ()11h x a e e≥-+≥.①………8分令()xx xe φ-=，则()()1xx x x exe e x φ---'=-=-.当01x <<时， ()0x ϕ'>；当1x >时， ()0x φ'<. 所以函数()x φ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.当1x =时， ()max1x e φ⎡⎤=⎣⎦.于是，当0x >时， ()1x eφ≤.②………11分显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.故当2a e≥时， (f x )xe ->.………12分。

高二上学期期末数学试卷（理科）含答案

高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数：的单调递增区间是 f(x)=3+xlnx ()A. B. C. D. (0,1e ).(e,+∞)(1e ,+∞)(1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数得：，f(x)=3+xlnx f(x)=lnx +1令即，根据得到此对数函数为增函数，f'(x)=lnx +1>0lnx >‒1=ln 1e e >1所以得到，即为函数的单调递增区间．x >1e 故选：C ．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单f(x)调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2.函数的图象在点处的切线方程为 f(x)=lnx ‒2x x (1,‒2)()A. B. C. D. 2x ‒y ‒4=02x +y =0x ‒y ‒3=0x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数知，f(x)=lnx ‒2x x f'(x)=1‒lnxx 2把代入得到切线的斜率，x =1k =1则切线方程为：，y +2=x ‒1即．x ‒y ‒3=0故选：C ．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．x =1(1,2)本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3.已知，，，则向量与的夹角为 A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)⃗AB ⃗AC ()A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘【答案】C 【解析】解：因为，，，A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)所以，⃗AB =(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)所以，并且，，⃗AB ⋅⃗AC═0×(‒1)+3×1+3×0=3|⃗AB |=32|⃗AC |=2所以，，cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |=332×2=12的夹角为∴⃗AB 与⃗AC 60∘故选：C ．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答⃗AB=(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4.已知椭圆的左焦点为，则 x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，∵x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)，∴25‒m 2=16，∵m >0，∴m =3故选：B ．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m ．x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)25‒m 2=16本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.等于 ∫10(e x +2x)dx ()A. 1B. C. e D. e ‒1e +1【答案】C 【解析】解：，∵(e x +x 2)'=e x +2x ，∴∫10(e x +2x)dx ═(e x +x 2)|10=(e +1)‒(1+0)=e故选：C ．由，可得，即可得出．(e x +x 2)'=e x +2x ∫10(e x +2x)dx =(e x +2x)|10本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数在处有极大值，则 f(x)=x(x ‒c )2x =3c =()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A 【解析】解：函数的导数为f(x)=x(x ‒c )2f'(x)=(x ‒c )2+2x(x ‒c)，=(x ‒c)(3x ‒c)由在处有极大值，即有，f(x)x =3f'(3)=0解得或3，c =9若时，，解得或，c =9f'(x)=0x =9x =3由在处导数左正右负，取得极大值，f(x)x =3若，，可得或1c =3f'(x)=0x =3由在处导数左负右正，取得极小值．f(x)x =3综上可得．c =9故选：A ．由题意可得，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．f'(3)=0本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数的示意图是 y =e x (2x ‒1)()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，y =e x (2x ‒1)当时，可得，排除A ；D x =0y =‒1当时，可得，时，．x =‒12y =0∴x <12y <0当x 从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B ；12→+∞y =e x y =2x ‒1y =e x (2x ‒1)故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8.若AB 过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 x 225+y 216=1F 1△F 1AB ()A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标则根据对称性得：，(x,y)B(‒x,‒y)则面积．△F 1AB S =12OF ×|2y|=c|y|当最大时，面积最大，∴|y|△F 1AB 由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，△F 1AB 则面积的最大值为：．△F 1AB cb =25‒16×4=12故选：B ．先设A 的坐标则根据对称性得：，再表示出面(x,y)B(‒x,‒y)△F 1AB积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积△F 1AB △F 1AB 的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．.9.设函数的极大值为1，则函数的极小值为 f(x)=13x 3‒x +m f(x)()A. B. C. D. 1‒13‒113【答案】A【解析】解：，∵f(x)=13x 3‒x +m ，∴f'(x)=x 2‒1令，解得，f'(x)=x 2‒1=0x =±1当或时，，x >1x <‒1f'(x)>0当时，；‒1<x <1f'(x)<0故在，上是增函数，在上是减函数；f(x)(‒∞,‒1)(1,+∞)(‒1,1)故在处有极大值，解得f(x)x =‒1f(‒1)=‒13+1+m =1m =13在处有极小值，f(x)x =1f(1)=13‒1+13=‒13故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．.10.设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值y 2=4x 范围是 ()A. B. C. D. [‒12,12][‒2,2][‒1,1][‒4,4]【答案】C【解析】解：，∵y 2=4x 为准线与x 轴的交点，设过Q 点的直线l 方程为．∴Q(‒1,0)(Q )y =k(x +1)与抛物线有公共点，∵l 方程组有解，可得有解．∴{y =k(x +1)y 2=4x k 2x 2+(2k 2‒4)x +k 2=0，即．∴△=(2k 2‒4)2‒4k 4≥0k 2≤1，∴‒1≤k ≤1故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定.理或判别式解决问题．11.已知函数 x ，若在区间内恒成立，则实数a 的取值范围是 f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)()A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,1](1,+∞)[1,+∞)【答案】D 【解析】解： x ，在内恒成立，∵f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)在内恒成立．∴a >1+lnx x (1,+∞)设，g(x)=1+lnx x 时，，∴x ∈(1,+∞)g'(x)=‒lnxx 2<0即在上是减少的，，g(x)(1,+∞)∴g(x)<g(1)=1，即a 的取值范围是．∴a ≥1[1,+∞)故选：D ．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求a >1+lnx x (1,+∞).g(x)=1+lnx x 解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若x 2a 2‒y 2b 2=1x =a 2c .，则该双曲线的离心率的取值范围是 60∘<∠AFB <90∘()A. B. C. D. (1,2)(2,2)(1,2)(2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，x 2a 2‒y 2b 2=1y =±b a x x =a 2c y =±ab c ，，∴A(a 2c ,ab c )B(a 2c ,‒ab c )，∵60∘<∠AFB <90∘，∴33<k FB <1，∴33<ab c c ‒a 2c <1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2‒a 2<1，∴1<e 2‒1<3．∴2<e <2故选：B ．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用，可得，由x 2a 2‒y 2b 2=160∘<∠AFB <90∘33<k FB <1此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．x 2‒y 2=1【答案】22【解析】解：双曲线的，x 2‒y 2=1a =b =1可得顶点为，(±1,0)渐近线方程为，y =±x 即有顶点到渐近线的距离为d =11+1=22故答案为：．22求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．a =b =1本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14.已知函数的导函数为，且满足，则______．f(x)f'(x)f(x)=3x 2+2xf'(2)f'(5)=【答案】6【解析】解：f'(x)=6x +2f'(2)令得x =2f'(2)=‒12∴f'(x)=6x ‒24∴f'(5)=30‒24=6故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．f'(2)f'(x)x =2f'(2)f'(x)x =5f'(5)本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15.已知向量5，，1，，若平面ABC ，则x 的值是______．⃗AB=(1,‒2)⃗BC =(3,2)⃗DE =(x,‒3,6).DE//【答案】‒23【解析】解：平面ABC ，∵DE//存在事实m ，n ，使得，∴⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC ，解得．∴{x =m +3n ‒3=5m +n 6=‒2m +2n x =‒23故答案为：．‒23由平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得，利用平面向量基本定理即可得出．DE//⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC 本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线C ：的焦点F ，，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为y 2=‒4x A(‒1,1)______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，∵y 2=‒4x ，可得焦点为，准线为∴2p =4F(‒1,0)x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(‒1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和(‒1,1)最小，最小值为．∴1+1=2故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．f(x)=x 3+x ‒16求曲线在点处的切线的方程；(I)y =f(x)(2,‒6)Ⅱ直线L 为曲线的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标．()y =f(x)【答案】解：函数的导数为，(I)f(x)=x 3+x ‒16f'(x)=3x 2+1可得曲线在点处的切线的斜率为，y =f(x)(2,‒6)3×4+1=13即有曲线在点处的切线的方程为，y =f(x)(2,‒6)y ‒(‒6)=13(x ‒2)即为；13x ‒y ‒32=0Ⅱ的导数为，()f(x)f'(x)=3x 2+1设切点为，可得切线的斜率为，(m,n)3m 2+1即有，3m 2+1=n m =m 3+m ‒16m 即为，2m 3+16=0解得，m =‒2，n =‒8‒2‒16=‒26可得直线L 的方程为及切点坐标为．y =13x (‒2,‒26)【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(I)f(x)Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，()f(x)f'(x)=3x 2+1(m,n)解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．S‒ABCD SD⊥18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=2AB，E是SA的中点．(1)BED⊥求证：平面平面SAB；(2)()求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．(1)∵SD⊥SD⊂【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，∴SAD⊥ABCD (2)平面平面分∵AB⊥AD SAD∩，平面平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，DE⊂又平面SAD，∴DE⊥AB (4)，分∵SD=AD∴DE⊥SA，E是SA的中点，，∵AB∩SA=A DE⊥AB DE⊥SA，，，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴BED⊥SAB (6)平面平面分(2)D‒xyz AD=2解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，D(0,0)A(2,0)B(2,2,0)C(0,2,0)S(0,2)E(1,1)，，，分∴⃗DB=(2,2,0)⃗DE=(1,0,1)⃗CB=(2,0,0)⃗CS=(0,‒2,2)…(8)设是平面BED 的法向量，则，即，⃗m =(x 1,y 1,z 1){⃗m ⋅⃗DB =0⃗m ⋅⃗DE=0{2x 1+2y 1=0x 1+z 1=0令，则，x 1=‒1y 1=2,z 1=1是平面BED 的一个法向量．∴⃗m=(‒1,2,1)设是平面SBC 的法向量，则，即，⃗n=(x 2,y 2,z 2){⃗n ⋅⃗CB =0⃗n ⋅⃗CS=0{2x 2=0‒2y 2+2z 2=0解得，令，则，x 2=0y 2=2z 2=1是平面SBC 的一个法向量分∴⃗n=(0,2,1) (10)，∵cos〈⃗m ,⃗n>=⃗m ⋅⃗n|⃗m|⋅|⃗n|=323=32平面BED 与平面SBC所成锐二面角的大小为分∴π6 (12)【解析】证明平面平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB 即可；(1)BED ⊥DE ⊥建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平(2)面SBC 所成二面角锐角的大小．()本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F ，与抛物线交y 2=2px(p >0)于A ，B 两点且，M 为抛物线弧AB 上的动点．|AB|=8求抛物线的方程；(1)求的最大值．(2)S △ABM 【答案】解　由条件知：，(1)l AB y =x ‒p2与联立，消去y ，得，y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0则由抛物线定义得．x 1+x 2=3p.|AB|=x 1+x 2+p =4p 又因为，即，|AB|=8p =2则抛物线的方程为；y 2=4x 由知，且：，(2)(1)|AB|=4p l AB y =x ‒p2设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，y =x +m 代入抛物线方程，得．x 2+2(m ‒p)x +m 2=0由，得．△=4(m ‒p )2‒4m 2=0m =p 2与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2两直线间的距离为，d =22p故的最大值为．S △ABM 12×4p ×22p =2p 2=42【解析】根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与联立，得，由根与系数的(1)y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p 的值，即可得抛物线的x 1+x 2=3p |AB|=x 1+x 2+p =4p =8方程；设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，(2)y =x +m x 2+2(m ‒p)x +m 2=0进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数在处取得极值．f(x)=ax +xlnx x =1Ⅰ求的单调区间；()f(x)Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．()y =f(x)‒m ‒1【答案】解：Ⅰ，分( (1)，解得，当时，，分a =‒1a =‒1f(x)=‒x +xlnx (2)即，令0'/>，解得；分x >1 (3)令，解得；分0<x <1 (4)在处取得极小值，的增区间为，减区间为分∴f(x)x =1f(x)(1,+∞)(0,1)…(6)Ⅱ在内有两个不同的零点，()y =f(x)‒m ‒1(0,+∞)可转化为在内有两个不同的根，f(x)=m +1(0,+∞)也可转化为与图象上有两个不同的交点，分y =f(x)y =m +1...(7)由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，()f(x)(0,1)(1,+∞)，分f(x )min =f(1)=‒1 (8)由题意得，即分m +1>‒1m >‒2①…(10)当时，；0<x <1f(x)=x(‒1+lnx)<0当且时，；x >0x→0f(x)→0当时，显然或者举例：当，；x→+∞f(x)→+∞(x =e 2f(e 2)=e 2>0)由图象可知，，即分m +1<0m <‒1②...(11)由可得分①②‒2<m <‒1 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；()f'(1)Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．()f(x)=m +1(0,+∞)本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21.已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C 、D 两点问：是否存在x 23+y 2=1E(‒1,0)y =kx +2(k ≠0).k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由得．{y =kx +2x 2+3y 2‒3=0(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=(12k )2‒36(1+3k 2)>0.①设、，则C(x 1,y 1)D(x 2,y 2){x 1+x 2=‒12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而．y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当时，则，即E(‒1,0)CE ⊥DE y 1x 1+1⋅y 2x2+1=‒1．y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0 ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将式代入整理解得经验证，，使成立．②③k =76.k =76①综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E ．k =76【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E 点，则，将它们联立消去，即可得出k 的值．CE ⊥DE x 1x 2本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22.设函数．f(x)=x ‒ae x ‒1求函数的单调区间；(1)f(x)若对恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≤0x ∈R 【答案】解：(1)f'(x)=1‒ae x ‒1当时，，在R 上是增函数；a ≤0f'(x)>0f(x)当时，令得a >0f'(x)=0x =1‒lna 若，则，从而在区间上是增函数；x <1‒lna f'(x)>0f(x)(‒∞,1‒lna)若，则，从而在区间上是减函数．x >1‒lna f'(x)<0f(x)(1‒lna,+∞由可知：当时，不恒成立，(2)(1)a ≤0f(x)≤0又当时，在点处取最大值，a >0f(x)x =1‒lna 且，f(1‒lna)=1‒lna ‒ae‒lna=‒lna 令得，‒lna <0a ≥1故若对恒成立，则a 的取值范围是．f(x)≤0x ∈R [1,+∞)【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函(1)数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在(2)a ≤0f(x)≤0a >0f(x)点处取最大值，求出a 的范围．x =1‒lna 本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。

高二(上)数学期末试卷(理科)

高二（上）数学期末试卷（理科）一．选择题（共10小题）n25．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的．C D．C D．7．设a＞b＞0，则的最小值是（）2，都有9．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）10．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）．C D．二．填空题（共5小题）11．设a+b=2，b＞0，则当a=_________时，取得最小值．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=s3=12，则a n=_________．13．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为_________．14．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．15．设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的编号）三．解答题（共6小题）16．已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．17．已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？19．直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．20．如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．21．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．高二（上）数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）n8+，当且仅当成立；，当且仅当，∴25．（2013•北京）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，．C D．x x x 解：先根据约束条件xy=y=＜﹣C D．7．（2010•四川）设a＞b＞0，则的最小值是（）变形为=当且仅当2，都有，使得9．（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）=），x+，”10．（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）．C D．，解此方程组可求得+y；，即==12由①②得：，解得，，设双曲线，2c=2=2二．填空题（共5小题）11．（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．，从而，=﹣，=取得最小值时，取得最小值时，13．（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．=的最小值等于故答案为：14．（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．故答案为15．（2012•四川）设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a3﹣b3|=1，则|a﹣b|＜1．其中的真命题有①④．（写出所有真命题的编号）b=三．解答题（共6小题）16．（2010•辽宁）已知a，b，c均为正数，证明：≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．与①②（时，①式和②式等号成立．当且仅当时，原式等号成立．均为正数，由基本不等式得时，原式等号成立．17．（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．，代入，=；==，=，，且综上，有18．（2012•四川）已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？时，令，结合数列的单调性可求和的最大项，则，=时，时，令）可知时，19．（2013•北京）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．y=的坐标为（）与椭圆的交点，从而解得y=代入椭圆方程得±）．与椭圆（20．（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．=，=2c==∴椭圆的方程为：，得（﹣在椭圆设该椭圆的左，右焦点为，则这两个焦点坐标是（﹣，，21．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．）∵=+=+．+﹣+。

高二上学期理科数学期末试题(含答案)

高二上学期理科数学期末试题(含答案)1．抛物线22y x =的准线方程为( )A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =- 2．“0x >”是0>”成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件3．如果0a b <<；那么下列不等式成立的是（）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<- D ．11a b -<-4．已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩；则2z x y =+的最小值为（）A ．3B ．1C ．5-D ．6-5．在ABC ∆中；若C B A 222sin sin sin <+；则ABC ∆的形状是（）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形.D ．不能确定.6．若双曲线22221x y a b-=）A ．y =±2xB ．y= C ．12y x=±D．2y x =± 7．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中真命题为( )A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p 8．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =；则12a a =D ．若31a a >；则42a a > 9．如图；G 是ABC ∆的重心；,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r；则OG =u u u r（）A ．122333a b c ++r r rB ．221333a b c ++r r rC ．222333a b c ++r r rD ．111333a b c ++r r r10.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点；P 为直线32ax =上一点；∆21F PF 是底角为30o 的等腰三角形；则E 的离心率为（）A.12 B. 23 C. 34 D. 4511.等轴双曲线C 的中心在原点；焦点在x 轴上；C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点；AB =C 的实轴长为（）()A ()B()C 4 ()D 812．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ；过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-；则E 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 二．填空题：( 本大题共4小题；每小题5分；共20分) 13．不等式220x x +-<的解集为___________.9题图B14．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上；顶点A 是椭圆的一个焦点；且椭圆的另外一个焦点在BC 边上；则△ABC 的周长是____________． 15．在等差数列{}n a 中；已知3810a a +=；则573a a +=_____.16.若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立；则实数k 的取值范围是______. 三、解答题（本大题共6小题；共70分）解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤。

高二上期期末数学试卷理科

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √252. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -2C. 0D. 33. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，d=2，则S10的值为（）A. 55B. 60C. 65D. 705. 若复数z满足|z-2i|=3，则复数z在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 下列函数中，单调递增的函数是（）A. y = -x^2B. y = 2x + 1C. y = x^3D. y = √x7. 若向量a=(2, 3)，向量b=(4, 6)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/48. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1=2，a4=32，则q的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 169. 下列各方程中，无解的是（）A. x + 2 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 + 1 = 0D. x^2 - 2x + 1 = 010. 若函数y = kx + b（k≠0）为一次函数，且过点（2，3），则k+b的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 函数y = -3x + 5的图像是一条斜率为______的直线。

12. 已知等差数列{an}中，a1=1，d=2，则第10项an的值为______。

13. 在△ABC中，若∠A=90°，∠B=30°，则AB:BC:AC的比值为______。

14. 复数z=3+4i的模长为______。

高二数学上学期期末复习题6(理科)答案

高二数学上学期期末复习题六（理科）（2013.12）1．已知命题2:10q x x ∀∈+>R ，，则q ⌝为（）A 210x x ∀∈+≤R ， B 210x x ∃∈+<R ，C 210x x ∃∈+≤R ，D 210x x ∃∈+>R ，2．过点(12)P -，与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（）A ．240x y -+=B ．052=+-y xC ．032=-+y xD ． 032=++y x 3. 双曲线222y x -=的渐近线方程是( )A y x =±B y =C y =D 2y x =± 4.直线013=+-y x 与0126=+-y x 的位置关系是( ) A 相交 B 平行 C 重合 D 垂直 5．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同，且12a a >，则下面结论正确的是（） ① 1C 和2C 一定没有公共点 ②22212221b b a a -=-③ 1122a b a b > ④ 1212a a b b -<-A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③6．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA = a ，CB =b ，1CC =c ，则1A B = （）（A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c7. “2a =”是“直线20ax y +=与1x y +=平行”的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件8．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题：①若l ∥β，则α∥β； ②若α∥β，则l ∥β； ③若l ⊥β，则α⊥β； ④若α⊥β，则l ⊥β。

期末备考系列：高二上学期期末数学试卷(理科)(含答案解析)

高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数：f(x)=3+xlnx 的单调递增区间是( )A. (0,1e )B. .(e,+∞)C. (1e ,+∞)D. (1e ,e) 【答案】C 【解析】解：由函数f(x)=3+xlnx 得：f(x)=lnx +1，令f′(x)=lnx +1>0即lnx >−1=ln 1e ，根据e >1得到此对数函数为增函数，所以得到x >1e ，即为函数的单调递增区间．故选：C ．求出f(x)的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2. 函数f(x)=lnx−2x x 的图象在点(1,−2)处的切线方程为( )A. 2x −y −4=0B. 2x +y =0C. x −y −3=0D. x +y +1=0 【答案】C【解析】解：由函数f(x)=lnx−2x x 知f′(x)=1−lnxx 2，把x =1代入得到切线的斜率k =1，则切线方程为：y +2=x −1，即x −y −3=0．故选：C ．求出曲线的导函数，把x =1代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,2)和斜率写出切线的方程即可．本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3. 已知A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘【答案】C 【解析】解：因为A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ═0×(−1)+3×1+3×0=3，并且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，所以cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2×√2=12， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60∘ 故选：C ．由题意可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)，进而得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，再由cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4. 已知椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，则m =( ) A. 2B. 3C. 4D. 9 【答案】B【解析】解：∵椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)， ∴25−m 2=16，∵m >0，∴m =3，故选：B ．利用椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，可得25−m 2=16，即可求出m ．本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5. ∫(10e x +2x)dx 等于( )A. 1B. e−1C. eD. e+1【答案】C【解析】解：∵(e x+x2)′=e x+2x，∴∫(1e x+2x)dx═(e x+x2)|01=(e+1)−(1+0)=e，故选：C．e x+2x)dx=(e x+2x)|01，即可得出．由(e x+x2)′=e x+2x，可得∫(1本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极大值，则c=()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A【解析】解：函数f(x)=x(x−c)2的导数为f′(x)=(x−c)2+2x(x−c)=(x−c)(3x−c)，由f(x)在x=3处有极大值，即有f′(3)=0，解得c=9或3，若c=9时，f′(x)=0，解得x=9或x=3，由f(x)在x=3处导数左正右负，取得极大值，若c=3，f′(x)=0，可得x=3或1由f(x)在x=3处导数左负右正，取得极小值．综上可得c=9．故选：A．由题意可得f′(3)=0，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数y=e x(2x−1)的示意图是()A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由函数y =e x (2x −1)，当x =0时，可得y =−1，排除A ；D当x =−12时，可得y =0，∴x <12时，y <0．当x 从12→+∞时，y =e x 越来越大，y =2x −1递增，可得函数y =e x (2x −1)的值变大，排除B ；故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8. 若AB 过椭圆 x 225+y 216=1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( ) A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B 【解析】解：设A 的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)，则△F 1AB 面积S =12OF ×|2y|=c|y|．∴当|y|最大时，△F 1AB 面积最大，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大，则△F 1AB 面积的最大值为：cb =√25−16×4=12．故选：B ．先设A的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)，再表示出△F1AB面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△F1AB面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△F1AB面积的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题．9.设函数f(x)=13x3−x+m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为()A. −13B. −1 C. 13D. 1【答案】A【解析】解：∵f(x)=13x3−x+m，∴f′(x)=x2−1，令f′(x)=x2−1=0，解得x=±1，当x>1或x<−1时，f′(x)>0，当−1<x<1时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上是增函数，在(−1,1)上是减函数；故f(x)在x=−1处有极大值f(−1)=−13+1+m=1，解得m=13f(x)在x=1处有极小值f(1)=13−1+13=−13，故选：A．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查.熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．10.设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. [−12,12] B. [−2,2] C. [−1,1] D. [−4,4]【答案】C【解析】解：∵y2=4x，∴Q(−1,0)(Q为准线与x轴的交点)，设过Q点的直线l方程为y=k(x+1)．∵l 与抛物线有公共点，∴方程组{y 2=4x y=k(x+1)有解，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0有解．∴△=(2k 2−4)2−4k 4≥0，即k 2≤1．∴−1≤k ≤1，故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用.涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．11. 已知函数f(x)=ax −ln x ，若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)【答案】D 【解析】解：∵f(x)=ax −ln x ，f(x)>1在(1,+∞)内恒成立，∴a >1+lnx x 在(1,+∞)内恒成立．设g(x)=1+lnx x ，∴x ∈(1,+∞)时，g′(x)=−lnxx 2<0，即g(x)在(1,+∞)上是减少的，∴g(x)<g(1)=1，∴a ≥1，即a 的取值范围是[1,+∞)．故选：D ．化简不等式，得到a >1+lnx x 在(1,+∞)内恒成立.设g(x)=1+lnx x ，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点.若60∘<∠AFB <90∘，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. (1,√2)B. (√2,2)C. (1,2)D. (√2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线方程为y=±bax，x=a2c时，y=±abc，∴A(a2c ,abc)，B(a2c,−abc)，∵60∘<∠AFB<90∘，∴√33<k FB<1，∴√33<abcc−a2c<1，∴√33<ab<1，∴13<a2c−a<1，∴1<e2−1<3，∴√2<e<2．故选：B．确定双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用60∘<∠AFB<90∘，可得√33<k FB<1，由此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x2−y2=1的顶点到其渐近线的距离等于______．【答案】√22【解析】解：双曲线x2−y2=1的a=b=1，可得顶点为(±1,0)，渐近线方程为y=±x，即有顶点到渐近线的距离为d=√1+1=√22．故答案为：√22．求得双曲线的a=b=1，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2+2xf′(2)，则f′(5)=______．【答案】6【解析】解：f′(x)=6x +2f′(2)令x =2得f′(2)=−12∴f′(x)=6x −24∴f′(5)=30−24=6故答案为：6将f′(2)看出常数利用导数的运算法则求出f′(x)，令x =2求出f′(2)代入f′(x)，令x =5求出f′(5)．本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1，2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,−3,6).若DE//平面ABC ，则x 的值是______．【答案】−23【解析】解：∵DE//平面ABC ，∴存在事实m ，n ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{x =m +3n −3=5m +n 6=−2m +2n，解得x =−23．故答案为：−23．由DE//平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量基本定理即可得出．本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知抛物线C ：y 2=−4x 的焦点F ，A(−1,1)，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为______．【答案】2【解析】解：∵抛物线方程为y 2=−4x ，∴2p =4，可得焦点为F(−1,0)，准线为x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(−1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点(−1,1)的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和最小，∴最小值为1+1=2．故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P、A和P在准线上的射影点Q三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q和焦点F距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=x3+x−16．(I)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线的方程；(Ⅱ)直线L为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．【答案】解：(I)函数f(x)=x3+x−16的导数为f′(x)=3x2+1，可得曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线的斜率为3×4+1=13，即有曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线的方程为y−(−6)=13(x−2)，即为13x−y−32=0；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=3x2+1，设切点为(m,n)，可得切线的斜率为3m2+1，即有3m2+1=nm =m3+m−16m，即为2m3+16=0，解得m=−2，n=−8−2−16=−26，可得直线L的方程为y=13x及切点坐标为(−2,−26)．【解析】(I)求出f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=3x2+1，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m的方程，解方程可得m的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=√2AB，E是SA的中点．(1)求证：平面BED⊥平面SAB；(2)求平面BED 与平面SBC 所成二面角(锐角)的大小．【答案】(1)证明：∵SD ⊥底面ABCD ，SD ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD …(2分)∵AB ⊥AD ，平面SAD ∩平面ABCDAD ，∴AB ⊥平面SAD ，又DE ⊂平面SAD ，∴DE ⊥AB ，…(4分)∵SD =AD ，E 是SA 的中点，∴DE ⊥SA ，∵AB ∩SA =A ，DE ⊥AB ，DE ⊥SA ，∴DE ⊥平面SAB ，∵DE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面SAB.…(6分)(2)解：由题意知SD ，AD ，DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，不妨设AD =2．则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,√2,0)，C(0,√2,0)，S(0,0，2)，E(1,0，1)，∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√2,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,2)…(8分)设m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BED 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 1+√2y 1=0x 1+z 1=0，令x 1=−1，则y 1=√2,z 1=1，∴m ⃗⃗⃗ =(−1,√2,1)是平面BED 的一个法向量．设n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量，则{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 2=0−√2y 2+2z 2=0，解得x 2=0，令y 2=√2，则z 2=1，∴n ⃗ =(0,√2,1)是平面SBC 的一个法向量.…(10分)∵cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3=√32， ∴平面BED 与平面SBC 所成锐二面角的大小为π6.…(12分)【解析】(1)证明平面BED ⊥平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明DE ⊥平面SAB 即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平面SBC 所成二面角(锐角)的大小．本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19. 如图所示，斜率为1的直线过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点且|AB|=8，M 为抛物线弧AB 上的动点．(1)求抛物线的方程；(2)求S △ABM 的最大值．【答案】解 (1)由条件知l AB ：y =x −p 2，与y 2=2px 联立，消去y ，得x 2−3px +14p 2=0，则x 1+x 2=3p.由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p =4p ．又因为|AB|=8，即p =2，则抛物线的方程为y 2=4x ；(2)由(1)知|AB|=4p ，且l AB ：y =x −p 2，设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +m ，代入抛物线方程，得x 2+2(m −p)x +m 2=0．由△=4(m −p)2−4m 2=0，得m =p 2．与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+p2两直线间的距离为d=√22p，故S△ABM的最大值为12×4p×√22p=√2p2=4√2．【解析】(1)根据题意，分析易得直线AB的方程，将其与y2=2px联立，得x2−3px+14p2=0，由根与系数的关系可得x1+x2=3p，结合抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4p=8，解可得p的值，即可得抛物线的方程；(2)设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m，代入抛物线方程，得x2+2(m−p)x+m2=0，进而可得与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数f(x)=ax+xlnx在x=1处取得极值．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若y=f(x)−m−1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】解：(Ⅰ，…(1分)，解得a=−1，当a=−1时，f(x)=−x+xlnx，…(2分)即，令0'/>，解得x>1；…(3分)令，解得0<x<1；…(4分)∴f(x)在x=1处取得极小值，f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)…(6分)(Ⅱ)y=f(x)−m−1在(0,+∞)内有两个不同的零点，可转化为f(x)=m+1在(0,+∞)内有两个不同的根，也可转化为y=f(x)与y=m+1图象上有两个不同的交点，…(7分)由(Ⅰ)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(x)min=f(1)=−1，…(8分)由题意得，m+1>−1即m>−2①…(10分)当0<x<1时，f(x)=x(−1+lnx)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→+∞时，显然f(x)→+∞(或者举例：当x=e2，f(e2)=e2>0)；由图象可知，m+1<0，即m<−1②…(11分)由①②可得−2<m<−1…(12分)【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f′(1)，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题转化为f(x)=m +1在(0,+∞)内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21. 已知椭圆x 23+y 2=1，已知定点E(−1,0)，若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点.问：是否存在k的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由{x 2+3y 2−3=0y=kx+2得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0．∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0. ①设C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−12k 1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2② 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4．要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1+1⋅y 2x 2+1=−1，即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0．∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0. ③将②式代入③整理解得k =76.经验证，k =76，使①成立．综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD 为直径的圆过E 点，则CE ⊥DE ，将它们联立消去x 1，x 2即可得出k 的值．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22. 设函数f(x)=x −ae x−1．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f′(x)=1−ae x−1当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 上是增函数；当a >0时，令f′(x)=0得x =1−lna若x <1−lna ，则f′(x)>0，从而f(x)在区间(−∞,1−lna)上是增函数；若x >1−lna ，则f′(x)<0，从而f(x)在区间(1−lna,+∞上是减函数．(2)由(1)可知：当a≤0时，f(x)≤0不恒成立，又当a>0时，f(x)在点x=1−lna处取最大值，且f(1−lna)=1−lna−ae−lna=−lna，令−lna<0得a≥1，故若f(x)≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a的值小于进行讨论，得到函数的单调区间．(2)这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当a≤0时，f(x)≤0不恒成立，又当a>0时，f(x)在点x=1−lna处取最大值，求出a的范围．本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。

(完整版)高二数学(理科)第一学期期末考试题(含答案)

2012~2013学年度第一学期高二数学（理科）期末考试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形3.已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n , 若S 4=1,S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16= ( )A.7B.16C.27D.644.已知等差数列{}n a 的公差为3，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于A.9B.3C.-3D.-95.数列1，x ，x 2，…，x n -1，…的前n 项之和是 ( )A.x x n --11B.x x n +--111C.x x n +--211D.以上均不正确6．数列{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且56a b =，则有（） A ．8473b b a a +≤+ B ．8473b b a a +≥+C ．8473b b a a +≠+D ．8473b b a a ++与大小不确定7．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（）。

A. 10B. 10-C. 14D. 14-8．设集合等于则B A x x B x x A I ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（） A ．⎪⎭⎫⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131Y D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，2131Y 9.一动圆圆心在抛物线y x 42=上，过点(0 , 1)且与定直线l 相切，则l 的方程为（） A.1=x B.161=x C.1-=y D.161-=yABCDE10.已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是（）A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-11.“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要 12、如图，面ACD 与面BCD 的二面角为060，AC=AD ，点A 在面BCD 的投影E 是△BCD 的垂心，CD=4，求三棱锥A-BCD 的体积为（） A．BC． D ．缺条件二、选择题（每小题5分，共20分）13.在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________. 14．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为________. 15．不等式组222232320x x x x x x ⎧-->--⎪⎨+-<⎪⎩的解集为__________________。

高二上学期期末考试(理科)数学试卷-附带答案

高二上学期期末考试（理科）数学试卷-附带答案一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．（5分）不等式2x−1x+2≥3的解集为（） A ．{x |﹣2＜x ≤12}B ．{x |x ＞﹣2}C ．{x |﹣7≤x ＜﹣2}D ．{x |﹣7≤x ≤﹣2}2．（5分）已知p ：∀x ∈R ，（x +1）2＜（x +2）2；q ：∃x ∈R ，x ＝1﹣x 2，则（） A ．p 假q 假B ．p 假q 真C ．p 真q 真D ．p 真q 假3．（5分）若实数a ，b 满足ab ＝1（a ，b ＞0），则a +2b 的最小值为（） A ．4B ．3C ．2√2D ．24．（5分）已知向量a →=(m +1，2)，b →=(1，m)，若a →与b →垂直，则实数m 的值为（） A ．﹣3B ．−13C ．13D ．15．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上．当∠F 1PF 2最大时，求S △PF 1F 2=（） A ．12B ．√33C ．√3D ．2√336．（5分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且B ＝2A ，则c b−a的取值范围是（）A ．（0，3）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（1，3）7．（5分）过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于（） A ．4B ．92C ．5D ．68．（5分）已知直线l ：y ＝kx +m （m ＜0）过双曲线C ：x 2a 2−y 22=1的左焦点F 1（﹣2，0），且与C 的渐近线平行，则l 的倾斜角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π49．（5分）“a +1＞b ﹣2”是a ＞b ”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣3ax +a 2﹣3（a ＜0），且不等式f （x ）＜4对任意x ∈[﹣3，3]恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(−√7，√7)B ．（﹣4，0）C ．(−√7，0)D ．(−74，0)11．（5分）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若AA 1⊥面ABCD ，AA 1＝3，AB ＝4，CD ＝2，E 为弧A 1B 1的中点，则直线CE 与平面DEB 1所成角的正弦值为（）A ．√39921B ．√27321C ．2√4221D ．√422112．（5分）关于x 的方程2|x +a |＝e x 有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，1] B ．[1，+∞） C ．（﹣∞，l ﹣ln 2]D ．（1﹣ln 2，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若不等式ax 2+bx ﹣2＞0的解集为（﹣4，1），则a +b 等于．14．（5分）如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若OC →=m OA →+2mOB →，AP →=λAB →则λ＝．15．（5分）公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 5，a 14成等比数列S 5=a 32，则a 10＝．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与不过坐标原点O 的直线l ：y ＝kx +m 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，若AB 、OM 的斜率之积为−34，则椭圆C 的离心率为．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知x ，y 满足的约束条件{5x +2y −18≤02x −y ≥0x +y −3≥0（1）求z 1＝9x ﹣4y 的最大值与最小值；（2）求z 2=x+2y+4x+2的取值范围． 18．（12分）已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+√3sinxcosx ．（1）求f(π6)的值；（2）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若f(A2)=1，a ＝2，求b +c 的取值范围．19．（12分）已知双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是2，离心率e ＝2．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与该双曲线的一个焦点相同，点M 为抛物线上一点，且|MF |＝3，求点M 的坐标．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ，E ，F ，M 分别是PB ，CD ，PD 的中点．（1）证明：EF ∥平面P AD ；（2）求平面AMF 与平面EMF 的夹角的余弦值．21．（12分）已知A 、B 是椭圆x 24+y 2=1上两点，且OA →⋅OB →=0．（O 为坐标原点）（1）求证：1|OA|2+1|OB|2为定值，并求△AOB 面积的最大值与最小值；（2）过O 作OH ⊥AB 于H ，求点H 的轨迹方程．22．（12分）已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1＝1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上．求数列{a n }、{b n }的通项公式．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1．【解答】解：由2x−1x+2≥3得，2x−1x+2−3≥0即x+7x+2≤0解得，﹣7≤x ＜﹣2．故选：C ．2．【解答】解：对于命题p ：∀x ∈R ，（x +1）2＜（x +2）2，当x ＝﹣2时，不等式（x +1）2＜（x +2）2不成立所以命题p 为假命题对于命题q ：∃x ∈R ，x ＝1﹣x 2，方程x 2+x ﹣1＝0的判别式Δ＝1+4＝5＞0，故方程有解，即∃x ∈R ，x ＝1﹣x 2，故命题q 为真命题．所以p 假q 真．故选：B ．3．【解答】解：因为ab ＝1（a ，b ＞0），所以a +2b ≥2√2ab =2√2 当且仅当a ＝2b 且ab ＝1即b =√22，a =√2时取等号所以a +2b 的最小值为2√2．故选：C ．4．【解答】解：已知向量a →=(m +1，2)，b →=(1，m)，若a →与b →垂直故a →⋅b →=m +1+2m =0，故m =−13．故选：B ．5．【解答】解：由椭圆的性质可知当点P 位于椭圆的上下顶点时，∠F 1PF 2最大由椭圆C ：x 24+y 23=1，可得|OP |=√3，|F 1F 2|＝2c ＝2√4−3=2所以S △PF 1F 2=12|OP |•|F 1F 2|=12×√3×2=√3．故选：C ．6．【解答】解：由正弦定理可知c b−a=sinC sinB−sinA=sin(B+A)sinB−sinA=sin3A sin2A−sinA=2sin3A 2cos 3A 22cos 3A 2sinA 2=sin3A2sinA 2=sin A 2cosA+2cos 2A 2sinA 2sinA2=2cos A +1∵A +B +C ＝180°，B ＝2A∴3A +C ＝180°，A ＝60°−C 3＜60° ∴0＜A ＜60° ∴12＜cos A ＜1则2＜2cos A +1＜3．故c b−a的取值范围是：（2，3）．故选：C ．7．【解答】解：∵F （1，0），根据题意设y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立{y =k(x −1)y 2=4x ，可得k 2x 2﹣（2k +4）x +k 2＝0∴{x 1+x 2=2k+4k2x 1x 2=1，又|AF |＝2|BF |∴1+x 1＝2（1+x 2） ∴x 1＝1+2x 2，又x 1x 2＝1 ∴x 2=12，x 1＝2∴|AB |＝p +x 1+x 2＝2+2+12=92故选：B ．8．【解答】解：设l 的倾斜角为α，α∈[0，π）．由题意可得k =−ba ，（﹣2）2＝a 2+2，b 2＝2，a ，b ＞0 解得a =√2=b∴k ＝tan α＝﹣1，α∈[0，π）． ∴α=3π4 故选：D ．9．【解答】解：由a +1＞b ﹣2，可得a ＞b ﹣3由a ＞b ﹣3不能够推出a ＞b ，故“a +1＞b ﹣2”是“a ＞b ”的不充分条件由a ＞b ，可推出a ＞b ﹣3成立，故“a +1”＞b ﹣2”是a ＞b ”的必要条件综上“a +1＞b ﹣2”是“a ＞b ”的必要不充分条件故选：B ．10．【解答】解：由不等式f （x ）＜4对任意x ∈[﹣3，3]恒成立即ax 2﹣3ax +a 2﹣7＜0对任意x ∈[﹣3，3]恒成立 ∵a ＜0，对称轴x =32∈[﹣3，3] ∴只需x =32＜0即可可得a ×94−32×3a +a 2−7＜0．即（4a +7）（a ﹣4）＜0 解得−74＜a ＜4 ∴−74＜a ＜0．故选：D ．11．【解答】解：因为AA 1⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则AA 1⊥AB由题意可以点A 为原点，AB 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，平面ABCD 内垂直于AB 的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示则A （0，0，0），B （0，4，0），C （0，3，0），D （0，1，0），A 1（0，0，3） B 1（0，4，3），C 1（0，3，3），D 1（0，1，3）又因为E 为A 1B 1的中点，则E （2，2，3）则B 1E →=(2，−2，0)，B 1D →=（0，﹣3，﹣3），CE →=(2，−1，3) 设平面DEB 1的法向量n →=（x ，y ，z ），则{B 1E →⋅n →=2x −2y =0B 1D →⋅n →=−3y −3z =0令x ＝1，则y ＝1，z ＝﹣1，则n →=(1，1，−1) 设直线CE 与平面DE B 1所成角为θ 则sinθ=|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →||n →|=2√14×√3=√4221．故选：D ．12．【解答】解：由已知有方程2|x+a|＝e x有三个不同的实数解可转化为y＝|x+a|的图象与y=12ex的图象有三个交点设直线y＝x+a的图象与y=12e x相切于点（x0，y0）因为y′=12e x所以{ y 0=x 0+a y 0=12e x 012e x=1解得：{x 0=ln2y 0=1a =1−ln2 要使y ＝|x +a |的图象与y =12e x 的图象有三个交点则需a ＞1﹣ln 2即实数a 的取值范围是（1﹣ln 2，+∞）故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．【解答】解：∵不等式ax 2+bx ﹣2＞0的解集为（﹣4，1） ∴﹣4和1是ax 2+bx ﹣2＝0的两个根即{−4+1=−ba −4×1=−2a解得{a =12b =32； ∴a +b =12+32=2．故答案为：2．14．【解答】解：根据条件知，OP →与OC →共线； ∵AP →=λAB →；∴OP →−OA →=λ(OB →−OA →)； ∴OP →=(1−λ)OA →+λOB →；又OC →=m OA →+2mOB →； ∴λ＝2（1﹣λ）； ∴λ=23．故答案为：23．15．【解答】解：设数列的公差为d ，（d ≠0） ∵S 5＝a 32，得：5a 3＝a 32 ∴a 3＝0或a 3＝5；∵a 2，a 5，a 14成等比数列 ∴a 52＝a 2•a 14∴（a 3+2d ）2＝（a 3﹣d ）（a 3+11d ）若a 3＝0，则可得4d 2＝﹣11d 2即d ＝0不符合题意若a 3＝5，则可得（5+2d ）2＝（5﹣d ）（5+11d ）解可得d ＝0（舍）或d ＝2 ∴a 10＝a 3+7d ＝5+7×2＝19 故答案为：19．16．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．线段AB 的中点M （x 0，y 0）． ∵x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1 相减可得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0把x 1+x 2＝2x 0，y 1+y 2＝2y 0，y 1−y 2x 1−x 2=k 代入可得：2x 0a 2+2y 0k b 2=0又y 0x 0•k =−34，∴1a 2−34b 2=0，解得b 2a 2=34． ∴e =√1−b 2a2=12．故答案为：12．三．解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）由z 1＝9x ﹣4y ，得y =94x −14z 1 作出约束条件{5x +2y −18≤02x −y ≥0x +y −3≥0对应的可行域（阴影部分）平移直线y =94x −14z 1，由平移可知当直线y =94x −14z 1经过点C 时，直线y =94x −14z 1的截距最小，此时z 取得最大值由{x +y −3=05x +2y −18=0，解得C （4，﹣1）．将C （4，﹣1）的坐标代入z 1＝9x ﹣4y ，得z ＝40 z 1＝9x ﹣4y 的最大值为：40．由{x +y −3=02x −y =0解得B （1，2）将B （1，2）的坐标代入z 1＝9x ﹣4y ，得z ＝1 即目标函数z ＝9x ﹣4y 的最小值为1．（2）z 2=x+2y+4x+2=1+2•y+1x+2，所求z 2的取值范围．就是P （﹣2，﹣1）与可行域内的点连线的斜率的2倍加1的范围 K PC ＝0．由{5x +2y −18=02x −y =0解得A （2，4），K P A =4+12+2=54 ∴z 2的范围是：[1，72]．18．【解答】解：（1）f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+√3sinxcosx =sin(π4+x)cos(π4+x)+√3sinxcosx =12sin(π2+2x)+√32sin2x=12cos2x +√32sin2x=sin(2x +π6) 所以f(π6)=sin(2×π6+π6) =sin π2 ＝1；（2）f(A2)=sin(A +π6)=1 在锐角三角形中0＜A ＜π2所以π6＜A +π6＜2π3故A +π6=π2，可得A =π3 因为a ＝2，由正弦定理bsinB=c sinC=a sinA=√32=4√33所以b +c =4√33(sinB +sinC) =4√33[sinB +sin(2π3−B)] =4√33(sinB +√32cosB +12sinB) =4√33(32sinB +√32cosB) =4sin(B +π6) 又B +C =2π3，及B ，C ∈(0，π2) 所以B ∈(π6，π2) 所以B +π6∈(π3，2π3) 则b +c =4sin(B +π6)∈(2√3，4]．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意设所求双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1又双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是2，离心率e ＝2 则a ＝1，c ＝2 即b 2＝c 2﹣a 2＝3即双曲线方程为x 2−y 23=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F （2，0）则p ＝4即抛物线的方程为y 2＝8x 设点M 的坐标为（x 0，y 0）又|MF |＝3 则x 0+2＝3则x 0＝1，y 0=±2√2即点M 的坐标为(1，2√2)或（1，﹣2√2）．20．【解答】（1）证明：取P A 的中点N ，连接EN ，DN ，如图所示：因为E 是PB 的中点，所以EN ∥AB ，且EN =12AB又因为四边形ABCD 为正方形，F 是CD 的中点，所以EN ∥DF ，且EN ＝DF 所以四边形ENDF 为平行四边形，所以EF ∥DN因为EF ⊄平面P AD ，DN ⊂平面P AD ，所以EF ∥平面P AD ；（2）解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设AB ＝2，则E （1，0，1），F （1，2，0），P （0，0，2），D （0，2，0），M （0，1，1）；所以EM →=(−1，1，0) MF →=(1，1，−1)，AF →=(1，2，0) 设平面AMF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则由m →⊥AF →，m →⊥MF →可得{x +2y =0x +y −z =0，令y ＝1，得m →=(−2，1，−1)设平面EMF 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则由n →⊥MF →，n →⊥EM →可得{a +b −c =0−a +b =0，令b ＝1，得n →=(1，1，2)则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√4+1+1×√1+1+4=−12因为两平面的夹角范围是[0，π2]所以平面AMF 与平面EMF 夹角的余弦值为12．21．【解答】证明：（1）设A （r 1cos θ，r 1sin θ），B （r 2cos （90°+θ），r 2sin （90°+θ）），即B （﹣r 2sin θ，r 2cos θ）则r 12cos 2θ4+r 12sin 2θ=1，r 22sin 2θ4+r 22cos 2θ=1，即1r 12=cos 2θ4+sin 2θ，1r 22=sin 2θ4+cos 2θ故1|OA|2+1|OB|2=1r 12+1r 22=54△AOB 面积为S =12r 1r 2=2√4sin θ+17sin θcos θ+4cos θ∵4sin 4θ+17sin 2θcos 2θ+4cos 2θ＝（2sin 2θ+2cos 2θ）+9sin 2θcos 2θ=4+94sin 22θ ∴当sin2θ＝0时，S 取得最大值1，当sin2θ＝±1时，S 取值最小值45故△AOB 面积的最大值为1，最小值为45；（2）解：∵|OH ||AB |＝|OA ||OB | ∴1|OH|2=|AB|2|OA|2|OB|2=r 12+r 22r 12+r 22=1r 12+1r 22=54∴|OH|2=45故点H 的轨迹方程为x 2+y 2=45．22．【解答】解：∵a n 是s n 与2的等差中项，∴2a n ＝S n +2，即S n ＝2a n ﹣2． ∴当n ＝1时，a 1＝2a 1﹣2，解得a 1＝2．当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝（2a n ﹣2）﹣（2a n ﹣1﹣2）化为a n ＝2a n ﹣1∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2，a n ＝2n ． ∵点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上． ∴b n ﹣b n +1+2＝0，即b n +1﹣b n ＝2∴数列{b n }是等差数列，首项为1，公差为2．∴b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．。

高二上学期期末数学试卷(理科)

高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数：的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由函数得：，令即，根据得到此对数函数为增函数，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选：C．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的单调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2. 函数的图象在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由函数知，把代入得到切线的斜率，则切线方程为：，即．故选：C．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3. 已知，，，则向量与的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为，，，所以，所以，并且，，所以，，与的夹角为故选：C．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4. 已知椭圆的左焦点为，则A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，，，，故选：B．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m．本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5. 等于A. 1B.C. eD.【答案】C【解析】解：，，故选：C．由，可得，即可得出．本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6. 若函数在处有极大值，则A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A【解析】解：函数的导数为，由在处有极大值，即有，解得或3，若时，，解得或，由在处导数左正右负，取得极大值，若，，可得或1由在处导数左负右正，取得极小值．综上可得．故选：A．由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7. 函数的示意图是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，当时，可得，排除A；D当时，可得，时，．当x从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B；故选：C．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8. 若AB过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A的坐标则根据对称性得：，则面积．当最大时，面积最大，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其面积最大，则面积的最大值为：．故选：B．先设A的坐标则根据对称性得：，再表示出面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．9. 设函数的极大值为1，则函数的极小值为A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：，，令，解得，当或时，，当时，；故在，上是增函数，在上是减函数；故在处有极大值，解得在处有极小值，故选：A．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．10. 设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，为准线与x轴的交点，设过Q点的直线l方程为．与抛物线有公共点，方程组有解，可得有解．，即．，故选：C．根据抛物线方程求得Q点坐标，设过Q点的直线l方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于等于0求得k的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．11. 已知函数x，若在区间内恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：x，在内恒成立，在内恒成立．设，时，，即在上是减少的，，，即a的取值范围是．故选：D．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12. 设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，，，，，，，，，．故选：B．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用，可得，由此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．【答案】【解析】解：双曲线的，可得顶点为，渐近线方程为，即有顶点到渐近线的距离为．故答案为：．求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14. 已知函数的导函数为，且满足，则______．【答案】6【解析】解：令得故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15. 已知向量5，，1，，若平面ABC，则x的值是______．【答案】【解析】解：平面ABC，存在事实m，n，使得，，解得．故答案为：．由平面ABC，可得存在事实m，n，使得，利用平面向量基本定理即可得出．本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知抛物线C：的焦点F，，则曲线C上的动点P到点F与点A的距离之和的最小值为______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，，可得焦点为，准线为设P在抛物线准线l上的射影点为Q点，则由抛物线的定义，可知当P、Q、A点三点共线时，点P到点的距离与P到该抛物线焦点的距离之和最小，最小值为．故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P、A和P在准线上的射影点Q三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q和焦点F距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数．求曲线在点处的切线的方程；Ⅱ直线L为曲线的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．【答案】解：函数的导数为，可得曲线在点处的切线的斜率为，即有曲线在点处的切线的方程为，即为；Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率为，即有，即为，解得，，可得直线L的方程为及切点坐标为．【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m的方程，解方程可得m的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．求证：平面平面SAB；求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，平面平面分，平面平面ABCDAD，平面SAD，又平面SAD，，分，E是SA的中点，，，，，平面SAB，平面BED，平面平面分解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，，，，分设是平面BED的法向量，则，即，令，则，是平面BED的一个法向量．设是平面SBC的法向量，则，即，解得，令，则，是平面SBC的一个法向量分，平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为分【解析】证明平面平面SAB，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB即可；建立空间直角坐标系，求出平面BED与平面SBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19. 如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点且，M为抛物线弧AB上的动点．求抛物线的方程；求的最大值．【答案】解由条件知：，与联立，消去y，得，则由抛物线定义得．又因为，即，则抛物线的方程为；由知，且：，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得．由，得．与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为两直线间的距离为，故的最大值为．【解析】根据题意，分析易得直线AB的方程，将其与联立，得，由根与系数的关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p的值，即可得抛物线的方程；设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，进而可得与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20. 函数在处取得极值．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ，分，解得，当时，，分即，令0'/>，解得；分令，解得；分在处取得极小值，的增区间为，减区间为分Ⅱ在内有两个不同的零点，可转化为在内有两个不同的根，也可转化为与图象上有两个不同的交点，分由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，，分由题意得，即分当时，；当且时，；当时，显然或者举例：当，；由图象可知，，即分由可得分【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21. 已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k值，由得．设、，则而．要使以CD为直径的圆过点，当且仅当时，则，即．将式代入整理解得经验证，，使成立．综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD 为直径的圆过E点，则，将它们联立消去，即可得出k的值．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22. 设函数．求函数的单调区间；若对恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，在R上是增函数；当时，令得若，则，从而在区间上是增函数；若，则，从而在区间上是减函数．由可知：当时，不恒成立，又当时，在点处取最大值，且，令得，故若对恒成立，则a的取值范围是．【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a的值小于进行讨论，得到函数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在点处取最大值，求出a的范围．本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。

高二上学期期末考试数学理科试题(有答案)

高二上学期期末考试数学理科试题考试时间：120分钟分数：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（）A ．x y 23±= B ．x y 32±= C ．x y 49±= D ．x y 94±= 3．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A . 8:27B . 2:3C . 4:9D . 2:9 4．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ． 052=-+y xB ．012=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x5．如图，一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（） A ． 22+B ．221+ C ． 222+ D ． 21+ 6．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A3R B3R C3R D3R 7．在正方体1111ABCD A BC D -中，若E 是11AC 的中点，则直线CE 垂直于（） A ．AC B ． BD C ．1A D D ．11A D数学试卷第1页（共4页）8．已知F 是抛物线241x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是（）正视图侧视图俯视图A ．122－＝y xB ．16122－＝y x C ．212－＝y x D ．222－＝y x9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（） A ．90 B ．60 C ．45 D ．30 10．若椭圆)0(122>>=+b a by ax 和双曲线)0,(122>=-n m ny mx 有相同的焦点F 1、F 2，P是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（） A ．n b -B ．m a - C ． n b - D ． m a -11．在四面体ABCD 中，已知棱AC 其余各棱长都为1，则二面角A CD B--的余弦值为（）A ．12 B ．13 C D ．312．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．4BCD 二、填空题13．已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。

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1高二理科数学上册期末检测试题数学试题（理）审核：朱攀A 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝a，AD＝b，1AA＝c，则1D B＝（）A．a＋b－c B．a＋b＋cC．a－b－c D．－a＋b＋c2．双曲线22221x ya b-=的焦点（c，0）到它的一条渐近线的距离是（）A．a B．b C．c D．2a b+3．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．24个B．30个C．40个 D．60个4．命题：“∀x∈R，x2－x＋1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2－x＋1＜0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x02－x0＋1≤0D．∃x0∈R，x02－x0＋1＞05．某班级有同学54名，其中男生30名，现在要在班级中选9名同学参加学校组织的座谈会，如果按照性别比例分层抽样，则不同的抽样种数有（）A．524430AA⋅B．424530AA⋅C．524430CC⋅D．424530CC⋅6．若命题“⌝p”与命题“p∨q”都是真命题，那么（）A．命题p与命题q同真同假B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p不一定是真命题7．已知a、b均为非零向量，p：a·b＞0，q：a与b的夹角为锐角，则p是q成立的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分而不必要的条件Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．140种 B．120种 C．35种 D．34种9．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为（8，8），则线段AB的中点到准线的距离是（）A．254B．252C．258D．2510．甲、乙、丙三个人负责一个计算机房周一至周六的值班工作，每天1人，每人值班2天，如果甲同学不值周一，乙同学不值周六，则可以排出不同的值班表有（） A ．36种 B ．42种 C ．50种 D ．72种 11．已知a ＝（1－t ，1－t ，t ），b ＝（2，t ，t ），则| b －a |的最小值是（）ABCD ．11512．设F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且| AF 1|＝3| AF 2|，则双曲线的离心率为（） ABCDB 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13．右边程序运行后，当输入t ＝4时，输出的结果为． 14．设直线,a b 的方向向量是12,e e ，平面α的法向量是n ，给出下列推理：①121b α⎫⇒⎬⎭∥∥∥e e e n ②12a b ⎫⇒⎬⎭∥∥∥e n e n ③112b b αα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⎭∥∥⊥e n e e ④121b α⎫⇒⎬⎭∥⊥∥e e e n其中，正确的推理序号是．15．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 1＋a 3＋a 5＝．16．已知双曲线22221x y a b-=，（a ，b ∈R +）的离心率e ∈2]，则一条渐近线与实轴所成的角的取值范围是_________．三、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．（本小题满分10分）若二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：（Ⅰ）展开式中含x 的项；（Ⅱ）展开式中所有的有理项．18．（本小题满分12分）已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）．（Ⅰ）求以AB 、AC 为边的平行四边形的面积；（Ⅱ）若向量a 分别与AB 、AC垂直，且|a |a 的坐标．19．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，若抛物线上一点P 与焦点F 连线的中点为M （－5，4），求抛物线的方程．20．（本小题满分12分）已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝1，AB ＝2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面PEC ；（Ⅱ）求PC 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角P －EC －D 的余弦值．21．（本小题满分12分）已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的离心率332=e ，过点A (0，―b )和B (a ，0)的直线与原点间的距离是23．（Ⅰ）求双曲线的方程；P A B E FC D（Ⅱ）若直线y＝kx＋5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k的值．22．（本小题满分12分）已知定点C（－1，0）及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是12-，求直线AB的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MBMA⋅恒为常数？若存在，求出点M的坐标和常数的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．0.3 14．②③④ 15．－121 16．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三．解答题（本大题共6小题，共计74分） 17．解：二项式的展开式的通项公式为：234112n rrn rrr r nnr T C C x--+== …………2分前三项的r ＝0，1，2得系数为1212311111,,(1),2248n n t t C n t C n n =====- …………4分由已知：21312,1(1)8t t t n n n =+=+- 得8n = …………5分通项公式为16341812rr r r T C x -+= …………6分（1）令16－3r ＝4，得r ＝4，得5358T x =…………7分（2）当r ＝0，4，8时，依次得有理项 44822158984813511,,282256T x T C x x T C x x -===== …………10分 18．解：（Ⅰ）(2,1,3),(1,3,2),AB AC AB AC =--=-==…………2分1cos ,602AB AC BAC BAC AB AC ⋅∠==∴∠=⋅ …………4分12602S ∴=⨯= …………6分（Ⅱ）设x y z AB AC ⊥⊥=（，，），，，且a=a a a …………8分22223011320,11113x y z x x x y z y y z z x y z ⎧--+===-⎧⎧⎪⎪⎪∴-+===-⎨⎨⎨⎪⎪⎪==-++=⎩⎩⎩解得或 …………11分 ∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1） …………12分 19．解：由题意知抛物线的焦点一定在x 轴的负半轴上，设其方程为：y 2＝－2px （p ＞0），则F （2p-，0），令R （x 0，y 0）， …………1分 ∵00025,422px y -+-== …………2分 ∴0010,82p x y =-=，即R （102p-，8） …………4分代入y 2＝－2px 得642(10)2pp =-- …………6分∴220640p p -+= …………8分∴4p =或6p = …………10分∴所求抛物线方程为28y x =-或232y x =- …………12分 20．解法1：（Ⅰ）取PC 的中点O ，连结OF 、 OE ．∴FO ∥DC ，且FO ＝12DC ∴FO ∥AE ………………1分又E 是AB 的中点．且AB ＝DC ．∴FO ＝AE ． ∴四边形AEOF 是平行四边形．∴AF ∥OE 又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC∴AF ∥平面PEC ………………3分（Ⅱ）连结AC∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角 ………………5分P A BEFCDO在Rt△PAC中，tan PA PCA AC ∠===………………6分即直线PC 与平面ABCD所成的角正弦值为6………………7分（Ⅲ）作AM ⊥CE ，交CE 的延长线于M ．连结PM ，由三垂线定理．得PM ⊥CE ∴∠PMA 是二面角P —EC —D 的平面角． ………………9分由△AME ∽△CBE，可得2AM =，∴tan PA PMA AM ∠==………11分 ∴二面角P 一EC 一D 的余弦值为………………12分解法二：以A 为原点，建立空间直角坐标系，则A （0．0，0），B （2，0，0），C （2，l ，0），D （0，1，0），F （0，12，12），E （1，0，0）， P （0，0，1） ………1分（Ⅰ）取PC 的中点O ，连结OE ，则O （1，12，12）， 1111(0,,),(0,,)2222AF EO ==∴AF ∥EO………2分又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ………3分（Ⅱ）由题意可得(2,1,1)PC =- ，平面ABCD 的法向量(0,0,1)PA =-cos ,||||PA PC PA PC PA PC ⋅<>===………6分即直线PC 与平面ABCD………7分（Ⅲ）设平面PEC 的法向量为(,,),(1,0,1),(1,1,0)x y z PE EC ==-=m则00PE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，可得00x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则(1,1,1)=--m ………9分由（2）可得平面ABCD 的法向量是(0,0,1)PA =-cos ,||||PA PA PA ⋅<>===m m m ………11分∴二面角P 一EC 一D的余弦值为3………12分 21．解：（Ⅰ）直线AB 的方程为：,1=-+by a x 即.0=--ab ay bx ………1分又原点O 到直线AB 的距离,2323||22c ab b a ab =⇒=+- ………2分由.,332,23222⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==c b a a c c ab 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.1,322b a ………4分∴所求双曲线方程为1322=-y x .………5分（注：也可由面积法求得c ab 23=）（Ⅱ）方法1：由（1）可知A （0，－1），设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），由|AC |＝|AD |得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-++=++,13,13,)1()1(2222212122222121y x y x y x y x ………7分 ∴3＋3y 12＋（y 1＋1）2＝3＋3y 22＋（y 2＋1）2，整理得：（y 1－y 2）[2（y 1＋y 2）＋1]＝0， ∵k ≠0，∴y 1≠y 2，∴y 1＋y 2＝－21， ………8分又由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=13522y x kx y （1－3k 2）y 2－10y ＋25－3k 2＝0 （k 2≠0且k 2≠31），………9分 ∴y 1＋y 2＝2131102-=-k， ………10分解得k 2＝7， ………11分由△＝100－4（1－3k 2）（25－3k 2）>0222610(),33k k ⇒<<≠ k 2＝7满足此条件，∴满足题设的k ＝7±. ………12分方法2：由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=13522y x kx y )31(,07830)31(222≠=---k kx x k ， ………7分设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），CD 的中点M （x 0，y 0），∵|AC |＝|AD |，∴M 在CD 的中垂线AM 上， ………9分∵,11:.3155,311522002210x k y l k kx y k k x x x AM -=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=∴,31151131522k k k k -⋅-=+- ………11分整理得,72=k 解得k ＝7±.（27k =满足21300)k -≠∆>且 ………12分 22．（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，将(1)y k x =+代入5322=+y x ，消去y 整理得2222(31)6350.k x k x k +++-= ………… 2分设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， ………… 3分由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得3k =±，适合(1). ………… 4分所以直线AB 的方程为10x +=，或10x +=. …………5分（Ⅱ）解：假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使MB MA ⋅为常数.① 当直线AB 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++， ………… 6分所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++ ………… 7分将(3)代入，整理得222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++ 2216142.33(31)m m m k +=+--+ ………… 10分注意到MB MA ⋅是与k 无关的常数，从而有761403m m +==-，，此时4.9MA MB ⋅= ………… 11分 ② 当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、，当73m =-时，亦有4.9MA MB ⋅= 综上，在x 轴上存在定点703M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使MB MA ⋅为常数. ………… 12分。