22.1 二次函数的图象与性质复习2
22.1 二次函数的图象和性质(第2课时)
22.1 二次函数的图象和性质（第 2 课时） 主备人:张红亮
一、教材内容分析 本节课由最特殊最简单的二次函数出发，通过类比一次函数的图象和性质的研究内容和研究方法，从特殊到一般地对 二次函数的图象和性质进行探究，继续加深对函数的一般性认识． 二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观） 知识与技能 1．会用描点法画二次函数 y＝ax2 的图像，理解抛物线的有关概念 2．掌握二次函数 y ax 的性质，能
2
确定二次函数 y＝ax2 的表达式 过程与方法通过画具体的简单二次函数的图像，探索出二次函数 y＝ax2 的性质及图像特征 情感态度与价值观使学生经历探索二次函数 y＝ax2 图像性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。 四、教学重点 五、教学难点 六、教学方法 八、教学过程 教师活动 激 情 导 入 展 示 目 标 上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问 题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质． 在研究一次函数时，曾借助图象了解了一次函数的性 质．对二次函数的研究，我们也从图象入手． 学习目标： 1． 会用描点法画出形如 y = ax 2 的二次函数图象， 了 解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数 y = ax 2 的图象特 征和性质； 3． 在类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质的过程 中， 进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结 合的思想． 类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数 y = x 2 的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？ 明确学习目标 学生活动 设计意图 观察图象，得出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质． 观察图象，得出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质． 自主、合作、探究 七、教具 多媒体
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 参考解析
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课前预习1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）.当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，此时抛物线有最低点，即当x=0时，y取得最小值0 ；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时抛物线有最高点，即当x=0时，y取得最大值0 .|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.课堂练习知识点1 二次函数y=ax2的图象1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：（1）将表格中的空格补全；（2）这个二次函数的解析式为y=-1x2；2（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.解：（3）函数图象如图所示.知识点2 二次函数y=ax2的性质3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是m>2 .4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（ B ）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，4）5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ C ）A.它的图象是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）课时作业1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是y=-x2.2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）.当x= 0 时，函数有最大值0 ；当x ＞0时，y随x的增大而减小.3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（ C ）A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大C.它的图象关于y轴对称D.它的图象在第一、第三象限内4.已知A （-1，y ₁），B （-2，y ₂）都在二次函数y=x 2上，则y ₁，y ₂之间的大小关系是（ C ）A.y ₁>y ₂B.y ₁=y ₂C.y ₁<y ₂D.不能确定 5.二次函数y=ax 2（a ＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（ C ） A.（3，-4） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（4，3）6.如图，当ab ＞0时，函数y=ax 2与函数y=bx+a 的大致图象是（ C ）7.二次函数y=2x 2，y=-2x 2，y=12x 2的共同性质是（ B ） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大 8.已知函数y=（m+2）226m m x +-是关于x 的二次函数. （1）求m 的值；（2）当m 为何值时，函数图象的顶点为最低点？ （3）当m 为何值时，函数图象的顶点为最高点？ 解：（1）根据二次函数的定义得22026 2.m m m +≠+-=⎧⎨⎩，解得⎩⎨⎧-==.4,221m m ∴m 的值为2或-4；（2）当m=2时，抛物线的开口向上，函数有最小值，函数图象的顶点为最低点； （3）当m=-4时，抛物线的开口向下，函数有最大值，函数图象的顶点为最高点.9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x 2；②y=12x 2；③y=-x 2；④y=-12x 2.从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？解：列表如下描点、连线，函数图象如图所示a的绝对值相同，抛物线的形状相同；a的绝对值越大，开口越小.10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若2.解：∵AB=22∴BC=122∴点B的横坐标为2代入抛物线的解析式得y=2.∵AB∥x轴，∴点B与点C的纵坐标相同.∴OC=2，即圆的半径为2.由二次函数的对称性得，图中阴影部分的面积等于圆面积的14， 即S 阴影=14π×22=π.11.函数y=ax 2（a ≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b ）. （1）求a 和b 的值；（2）x 在什么范围时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？ （3）求抛物线y=ax 2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积. 解：（1）把点（1，b ）代入y=2x-3，得b=-1. ∴交点坐标为（1，-1）. 把（1，-1）代入y=ax 2，得a=-1. ∴a=-1，b=-1；（2）由（1）得y=-x 2，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大； （3）根据题意，得2,2.y x y ⎧=-⎨=-⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴两交点坐标分别为（-2），（-2）.故S △=12×。
部编数学九年级上册专题22.1二次函数的图象和性质(基础)(解析版)含答案
专题22.1 二次函数的图象和性质目录二次函数的定义 (1)二次函数求参数 (3)二次函数一般式................................................................................................................................42y ax =性质.....................................................................................................................................42y ax =图像开口.............................................................................................................................62y ax =图像问题.............................................................................................................................7()2y a x h k =-+顶点坐标...........................................................................................................9()2y a x h k =-+性质.................................................................................................................10()2y a x h k =-+图像平移 (13)二次函数一般式配凑顶点式 (14)二次函数图像问题 (15)二次函数比较大小 (19)二次函数性质综合..........................................................................................................................21二次函数的定义【例1】下列函数中，属于二次函数的是( )A ．23y x =-B ．22(1)y x x =+-C ．2(1)y x x =+D ．22y x =-【解答】解：A ．不含有x 的二次项，所以A 不符合题意；B ．化简后21y x =+，不含有x 的二次项，所以B 不符合题意；C ．符合题意；D ．22y x -=-，不含有x 的二次项，所以D 选项不符合题意．一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
人教版九年级上《22.1二次函数的图象和性质》练习题含答案
二次函数图象与性质（1）1. 二次函数的定义：一般地，形如()20y ax bx c a b c a =++≠，，为常数，且的函数叫做二次函数，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2. 当b ＝0且c ＝0时：二次函数变为()20y ax a =≠， （1）当a ＞0时，其图象如下：xyy = 2∙x 2y = x 2y = 12∙x 2y =110∙x 2O（2）当a ＜0时，其图象如下：可以看到：对于抛物线2y ax =，a 越大，开口越小。
3. 二次函数()20y axa =≠的图象与性质()20y ax a =>()20y ax a =<开口方向上下顶点坐标 （0，0） 对称轴y 轴性质在y 轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而增大在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而减小最值函数有最小值，最小值为0函数有最大值，最大值为0例题1 已知函数42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大。
（1）求k 的值；（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴。
思路分析：由二次函数的定义，求出k 的值，然后写出顶点坐标和对称轴。
答案：（1）由二次函数的定义，得242k k +-=，解得13k =-，22k =；当3k =-时，原函数为2y x =-，当0>x 时，y 随x 的增大而减小，故3k =-不合题意，舍去；当2k =时，原函数为24=y x ，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，符合题意； 故2k =。
（2）抛物线24=y x 的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴。
点评：注意对k 的值进行合理的取舍。
例题2 （1）已知A （1，y 1）、B （－2，y 2）、C （－2，y 3）在函数y ＝241x 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 。
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第2课时)
有一个抛物线形的立交桥,这个桥拱的 最大高度为16m,跨度为40m,现把它放在如图 所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应 取多长?
解:由题意,知抛物线的顶点坐标为
(20,16),点B(40,0),
∴可设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+16.
.
(3)解这个方程组得 次函数的解析式为
. 所以所求的二 .
解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. ∵函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,
a b c 0.
∴
a b c 4,
4a 2b c 7.
解这个方程组,得a=2,b=-3,c=5.
∴所求的二次函数的解析式是y=2x2-3x+5.
顶点式求二次函数解析式
已知二次函数图象的顶点为(2,-4),且与y 轴交于点(0,3),求这个二次函数的解析式.
引导:二次函数解析式的顶点式为
,
二次函数图象顶点为(2,-4)的二次函数的解
析式可设为
,点(0,3)在二次函数的
图象上,所以点的坐标满足函数解析式,所以
将点(0,3)代入得
,解得
,所
以所求二次函数的解析式为
h)²+k;交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)
一般式求二次函数解析式
如果一个二次函数的图象经过
(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数 的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式.
(1)已知二次函数图象经过三点,有三个独立条
件,所以可设二次函数的解析式为
.
(2)将三点坐标代入得方程组为
九年级数学上册22、1二次函数的图象和性质4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时习题课件
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上， 并写出平移后抛物线的解析式.
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线 的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为 (0，0)，落在直线y＝－x上．
考查角度二 已知面积求抛物线上点的坐标 16.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0). (1)求此抛物线的解析式；
考查角度一 抛物线的平移 15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过 点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线过点C(0，－3)，∴－3＝a×(－1)×(－3)， 解得a＝－1，∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为 (2，1)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)和(1，－2)，则这个函
数的解析式为( ) B
A.y＝x2－x＋2
3
6.如图所示的抛物线的解析式为__y_＝__2_x_2_－__4_x_＋__2____.
7.已知二次函数当x＝－1时，有最小值－4，且当x＝0时，y＝－3，则二次 函数的解析式为________________.
y＝(x＋1)2－4
知识点三 利用“交点式”求二次函数的解析式
22_1_2 二次函数y=ax2的图象和性质【人教九上数学学霸听课笔记】
探 归纳
究 与
3.如果a<0,
应 用
(1)抛物线的开口向____下____,顶点是抛物线的最x的增大而___增__大___,当x>0时,y随x的增大而
___减__小___.
4.对于抛物线y＝ax2,|a|越大,抛物线的开口越___小_____.
探 究
变式 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
第 二
二次函数
十 二
22.1 二次函数的图象和性质
章
-
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
预学浅梳理 探究与应用 随堂小检测
预 根据二次函数y＝ax2的图象和性质,填写下表：
学
浅
函数
y＝ax2
梳
理
a的取值
a>0
a<0
图象
预
函数
学
浅 开口方向
梳
理 顶点坐标
对称轴
y＝ax2
向___上_____
最值 当x＝0时,y最小值＝ ____0____
当x＝0时,y最大值＝ ____0____
探 目标一 会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象,了解抛
究
物线的有关概念
与
应 探究 (1)画图：请根据下面的步骤用描点法画出二次函数y
用 ＝x2的图象.
①列表：选取适当的x值,并计算相应的y值,完成下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
探 究
②在对称轴___左__侧___,抛物线y＝x2从左到右下降；在对称
与 轴右侧,抛物线从左到右__上__升____.也就是说,当x<0时,y随x的
应 用
增大而___减__小___；当x>0时,y随x的增大而___增__大___.
人教版数学九年级上册22.1《二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质(^2)》名师教案
22.1.3 二次函数2()y a x h k =-+的图象和性质第二课时〔刘佳〕一、教学目标 〔一〕学习目标〔1〕掌握二次函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质及平移规律 〔2〕掌握二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质及平移规律 〔3〕能用二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质解决实际问题 〔二〕学习重点二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象和性质. 〔三〕学习难点二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠与2(0)y ax a =≠的关系. 二、教学设计 〔一〕课前设计 1．预习任务〔1〕抛物线2()(0)y a x h a =-≠当0a >时开口向 上 、当0a <时开口向 下 ，对称轴是 直线x=h ，顶点是 〔h,0〕 ；当0h >时，抛物线2ax y =向 右 平移 h 个单位得抛物线2()(0)y a x h a =-≠，当0h <时，抛物线2ax y =向 左 平移 个单位得抛物线2()(0)y a x h a =-≠。
(2) 抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠当0a >时开口向 上 、当0a <时开口向 下 ，对称轴是 直线x=h ，顶点是 〔h,k 〕 ；当0h >时，抛物线2ax y =向 右 平移 h 个单位、再向 上 (k>0)平移 k 个单位得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠，当0h <时，抛物线2ax y =向 左 平移 h 个单位、再向 下 (k<0)平移 │k│ 个单位得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠。
2．预习自测（1） 抛物线25(2)3y x =-+-的对称轴是_________，顶点坐标是_________.【知识点】2()(0)y a x h k a =-+≠的图象性质 【答案】2x =-，(2,3)--【解题过程】由二次函数图象性质易得答案为：2x =-，(2,3)-- 【思路点拨】掌握2()(0)y a x h k a =-+≠的图象性质，是解题的关键 〔2〕抛物线212y x =向______平移1个单位、再向 平移3个单位可得抛物线21(1)32y x =-+. 【知识点】2()(0)y a x h k a =-+≠的平移规律【答案】右，上【解题过程】由二次函数图象性质易得：右，上【思路点拨】掌握2()(0)y a x h k a =-+≠的平移规律，是解题的关键〔3〕假设抛物线y ＝a(x –1)2＋k 上有一点A(3,5)，那么点A 关于对称轴对称点A′的坐标为__________。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第
教材分析之前学生已经学过一次函数、反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数的模型和理解二次函数的图像相关概念和性质基础之上进行的。
是前面知识的应用和拓展，又为今后学习二次函数的应用及一元二次方程与二次函数之间的关系作预备。
充分体现了数形结合的思想，因此本课无论在知识上还是培养学生动手能力上都起了很大的作用。
学生已经会了上一节的二次函数图像及性质。
课标要求会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
学情分析可能有些学生对二次函数还不理解，甚至还不会描点法画出函数图像，看图能力差，不能类比一次函数的一些观察图像的方法来学习二次函数的图像。
不能从图中获取相关的信息。
由于放假的原因，学生对上下平移和左右平移的知识有很多淡忘，所以完成本节知识在理解方面会有难点。
教学目标知识目标：让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系能力目标：通过画图象独立去探索交流图象的性质培养分析解决问题的能力。
能说出二次函数y ＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
情意目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质。
能说出顶点坐标。
教学难点：理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2关系。
教学手段导学案教学方法问答法、练习法、讨论法教学过程1、创设情境：:（组织方法）复习两个上下平移及左右平移的二次数学图像，对照图像说出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、性质。
详见导学案。
解决哪些教学目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
学生可能出现的困难：忘记或混淆上下平移和左右平移。
人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)
o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。
2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图
22．1．3二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质（2）——二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质学习目标：1．会画二次函数y ＝a （x-h ）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x-h ）2的性质，并要会灵活应用； 一、复习：1．在同一直角坐标系内画出二次函数y ＝ 12 x 2，y ＝ 12 x 2+2，y ＝12 x 2-2的图象（草图），并回答：(1)三条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．（1）在同一直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2的图象有什么关系？ （2）二次函数y ＝ax 2＋k 的图象开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是什么？二、探索新知：1．二次函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2的图象与二次函数y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?画出二次函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2与二次函数y ＝2x 2的图象，并加以观察x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝2x 2…… y ＝2(x －1)2 …… y ＝2(x+1)2……161284y 2x431－1 －2 －3 －4 0观察图像得：函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2的图象相同点是： ； 不同的是：函数y ＝2(x －1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 ；函数y ＝2(x+1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 。
把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x －1)2；把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x+1)2。
2．画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y=－12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．先列表：x… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－12 (x ＋1)2… … y ＝－12 (x －1)2……描点并画图．（1）、观察图象，填表：函数开口方向顶点 对称轴 最值增减性（对称轴右侧） 平移y ＝－12 (x+1)2y ＝－12(x －1)2三、整理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋k y ＝a (x-h)2a>0a<0a>0a<0a>0a<0开口方向增减性（对称轴左侧）顶点坐标对称轴最值x= 时，y最值=平移对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．四、课堂训练1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．5．抛物线y= -3(x+2)2开口向，对称轴为，顶点坐标为 .6．抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线向平移个单位得到的；7．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，再向上平移2个单位得，到的抛物线的表达式为____________________．8．抛物线y=3（x－3）2可由抛物线y=3x2沿轴向平移个单位得到，也可以由抛物线y=3（x－7）2沿轴向平移个单位得到。
九年级数学上册22二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
4．函数y＝ax2与y＝－ax＋b图象可能是(
)
B
第8页
5．下列函数中，当 x>0 时，y 随着 x 的增大而增大的是( D )
A．y＝－x＋1
B．y＝－x－1
C．y＝－x2
D．y＝x2
*6.已知 m 为实数，下列各点中：A(m，－am2)，B(m，－m)，C(m2，
－m)，D(－m，am2)，抛物线 y＝－ax2 一定不经过的点是____D_______．
22.1 二次函数图象和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2图象和性质
第1页
1．二次函数y＝ax2图象 二次函数y＝ax2图象是一条抛物线，它含有以下特点： (1)顶点在__原__点___、对称轴为__y_轴____； (2)当a＞0时，抛物线开口____向__上_，a越大，抛物线开口越______小； 当a＜0时，抛物线开口____向__下_，a越小，抛物线开口越_______小_． 2．二次函数y＝ax2性质 (1)假如a＞0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＞0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＝0时，y取最___小___值0，即y最小＝__0____． (2)假如a＜0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＞0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＝0时，y取最___大___值0，即y最大＝__0__．
*7.如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建立平面直角 坐标系，作出函数 y＝13x2 与 y＝－13x2 的图象，则阴影部分的面积是
__8____．
*8.已知 a<－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数 y
＝x2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是_y_1_1＞__y_2_＞__y__3__.
22.1.3《二次函数的图象和性质》
2
在同一坐标系中作出下列二次函数: 1 2 1 1 2 2 y x y ( x 2) y ( x 2) 2 2 2 观察三条抛物线的相互关系,并分别指 出它们的开口方向,对称轴及顶点.
6 5
y
1 x 2 2 2
4
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
3
2
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次 项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
（5）函数的右边是一个 整 式。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
当b＝0时，
y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1 2 抛物线 y x 2
1
y
有什么关系?
1 y ( x 1) 2 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 1 -2 y ( x 1) 2 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1 2 y x 2
1 2 y x 2 1 2 y x 2
y2(填“＜”或“＞”)
1 2 5.已知抛物线 y x ，把它向下平移，得到的 2 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， 若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下 平移几个单位？
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
图象
k>0a>0a<0k<0
k>0
k<0
开口 对称性 顶点 增减性
22.1 二次函数的图象和性质 (同步练习题)( 含答案)
22．1 二次函数的图象和性质22．1.1 二次函数1．设一个正方形的边长为x ，则该正方形的面积y ＝__x 2___，其中变量是__x ，y___，__y___是__x___的函数．2．一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c(__a ，b ，c 为常数且a ≠0___)的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a ，b ，c 分别为二次项系数、一次项系数、常数项．知识点1：二次函数的定义1．下列函数是二次函数的是( C )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝0.5x －2 2．下列说法中，正确的是( B )A ．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B ．在圆的面积公式S ＝πr 2中，S 是r 的二次函数C ．y ＝12(x －1)(x ＋4)不是二次函数D ．在y ＝1－2x 2中，一次项系数为13．若y ＝(a ＋3)x 2－3x ＋2是二次函数，则a 的取值范围是__a ≠－3___．4．已知二次函数y ＝1－3x ＋2x 2，则二次项系数a ＝__2___，一次项系数b ＝__－3___，常数项c ＝__1___．5．已知两个变量x ，y 之间的关系式为y ＝(a －2)x 2＋(b ＋2)x －3. (1)当__a ≠2___时，x ，y 之间是二次函数关系；(2)当__a ＝2且b ≠－2___时，x ，y 之间是一次函数关系．6．已知两个变量x ，y 之间的关系为y ＝(m －2)xm 2－2＋x －1，若x ，y 之间是二次函数关系，求m 的值．解：根据题意，得m 2－2＝2，且m －2≠0，解得m ＝－2 知识点2：实际问题中的二次函数的解析式7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y 元与售价x 元的函数关系式为( B )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7350B ．y ＝－10x 2＋560x －7350C ．y ＝－10x 2＋350x ＋7350D ．y ＝－10x 2＋350x －73508．某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间满足二次函数y ＝120x 2(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( C )A ．40 m /sB ．20 m /sC ．10 m /sD ．5 m /s 9．(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2___．10．多边形的对角线条数d 与边数n 之间的关系式为__d ＝12n 2－32n___，自变量n 的取值范围是__n ≥3且为整数___；当d ＝35时，多边形的边数n ＝__10___．11．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a 为10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？解：(1)S＝x(24－3x)，即S＝－3x2＋24x(2)当S＝45时，－3x2＋24x＝45，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，24－3x＝15＞10，不合题意，舍去；当x＝5时，24－3x＝9＜10，符合题意，故AB的长为5米12．已知二次函数y ＝ x 2－2x －2，当x ＝2时，y ＝__－2___；当x ＝__3或－1___时，函数值为1.13．边长为4 m 的正方形中间挖去一个边长为x(m )(x ＜4)的小正方形，剩余的四方框的面积为y(m 2)，则y 与x 之间的函数关系式为__y ＝16－x 2(0＜x ＜4)___，它是__二次___函数．14．设y ＝y 1－y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成正比例，则y 与x 的函数关系是( C ) A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数 D ．以上都不正确 15．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x 厘米，当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( A )A ．6厘米B ．12厘米C ．24厘米D ．36厘米 16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm .设底面的宽为x ，抽屉的体积为y 时，求y 与x 之间的函数关系式．(材质及其厚度等暂忽略不计)解：根据题意得y ＝20x(90－x)， 整理得y ＝－20x 2＋1800x17．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式，并注明x 的取值范围．解：降低x 元后，所销售的件数是(500＋100x)， 则y ＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y ＝－100x 2＋600x ＋5500(0＜x ≤11)18．一块矩形的草坪，长为8 m ，宽为6 m ，若将长和宽都增加x m ，设增加的面积为y m 2.(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若使草坪的面积增加32 m 2，求长和宽都增加多少米？ 解：(1)y ＝x 2＋14x(x ≥0)(2)当y ＝32时，x 2＋14x ＝32，x 1＝2，x 2＝－16(舍去)，即长和宽都增加2 m19．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm /s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 mm /s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为y mm 2.(1)求y 与x 之间函数关系式； (2)求自变量x 的取值范围；(3)四边形APQC 的面积能否等于172 mm 2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．解：(1)由运动可知，AP ＝2x ，BQ ＝4x ，则y ＝12BC·AB －12BQ·BP ＝12×24×12－12×4x(12－2x)，即y ＝4x 2－24x ＋144(2)0＜x ＜6 (3)当x ＝172时，4x 2－24x ＋144＝172，解得x 1＝7，x 2＝－1.又∵0＜x ＜6，∴四边形APQC 的面积不能等于172 mm 222．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．由解析式画函数图象的步骤是__列表___、__描点___、__连线___． 2．一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象是__一条直线___．3．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是一条__抛物线___，其对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，0)___．4．抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于__x___轴对称．抛物线y ＝ax 2，当a ＞0时，开口向__上___，顶点是它的最__低___点；当a ＜0时，开口向__下___，顶点是它的最__高___点，随着|a|的增大，开口越来越__小___．知识点1：二次函数y ＝ax 2的图象及表达式的确定1．已知二次函数y ＝x 2，则其图象经过下列点中的( A ) A ．(－2，4) B ．(－2，－4) C ．(2，－4) D ．(4，2)2．某同学在画某二次函数y ＝ax 2的图象时，列出了如下的表格： x －3 －2.5 －1 0 1 2.5 3 y 36 25 4 0 4 25 36(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是__y ＝4x 2___； (2)将表格中的空格补全．3．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A(－1，－13)．(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．解：(1)y ＝－13x 2，图象略(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴是y 轴 知识点2：二次函数y ＝ax 2的图象和性质4．对于函数y ＝4x 2，下列说法正确的是( B ) A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 C ．y 随x 的增大而减小 D ．y 随x 的增大而增大5．已知点(－1，y 1)，(2，y 2)，(－3，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则( A ) A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 36．已知二次函数y ＝(m －2)x 2的图象开口向下，则m 的取值范围是__m ＜2___．7．二次函数y ＝－12x 2的图象是一条开口向__下___的抛物线，对称轴是__y 轴___，顶点坐标是__(0，0)___；当x__＞0___时，y 随x 的增大而减小；当x ＝0时，函数y 有__最大___(填“最大”或“最小”)值是__0___．8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y ＝12x 2___，当x ＝__0___时，函数图象的最低点为__(0，0)___．9．已知二次函数y＝mxm2－2.(1)求m的值；(2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x取何值时，y随x 的增大而减小；(3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并指出x取何值时，y 随x的增大而增大．解：(1)m＝±2(2)m＝2，y最小＝0；x＜0(3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜010．二次函数y ＝15x 2和y ＝5x 2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x ＞0时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知a ≠0，同一坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( C )12．如图是下列二次函数的图象：①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2.比较a ，b ，c ，d 的大小，用“＞”连接为__a ＞b ＞d ＞c___．,第12题图) ,第14题图)13．当a ＝__4___时，抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝－4x 2关于x 轴对称；抛物线y ＝－7x 2关于x 轴对称所得抛物线的解析式为__y ＝7x 2___；当a ＝__±2___时，抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝－2x 2的形状相同．14．已知二次函数y ＝2x 2的图象如图所示，将x 轴沿y 轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A ，B 两点，则△AOB 的面积为__2___．15．已知正方形的周长为C(cm )，面积为S(cm 2)． (1)求S 与C 之间的函数关系式； (2)画出所示函数的图象；(3)根据函数图象，求出S ＝1 cm 2时正方形的周长； (4)根据列表或图象的性质，求出C 取何值时S ≥4 cm 2?解：(1)S ＝116C 2(C ＞0) (2)图象略 (3)由图象可知，当S ＝1 cm 2时，正方形周长C 是4cm(4)当C ≥8 cm 时，S ≥4 cm 216．二次函数y ＝ax 2与直线y ＝2x －1的图象交于点P(1，m)． (1)求a ，m 的值；(2)写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时，y 随x 的增大而增大； (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．解：(1)将(1，m)代入y ＝2x －1得m ＝2×1－1＝1，所以P 点坐标为(1，1)．将P 点坐标(1，1)代入y ＝ax 2得1＝a ×12，∴a ＝1 (2)y ＝x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴17．如图，抛物线y ＝x 2与直线y ＝2x 在第一象限内有一个交点A. (1)你能求出A 点坐标吗？(2)在x 轴上是否存在一点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝4，∴A(2，4) (2)存在满足条件的点P.当OA ＝OP 时，∵OA ＝22＋42＝25，∴P 1(－25，0)，P 2(25，0)；当OA ＝AP 时，过A 作AQ ⊥x 轴于Q ，∴PQ ＝OQ ＝2，∴P 3(4，0)；当PA ＝PO 时，设P 点坐标为(x ，0)，则x 2＝(x －2)2＋42，解得x ＝5，∴P 4(5，0)．综上可知，所求P 点的坐标为P 1(－25，0)，P 2(25，0)，P 3(4，0)，P 4(5，0)22．1.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质 第1课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象是一条__抛物线___．它与抛物线y ＝ax 2的__形状___相同，只是__顶点位置___不同，它的对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，k)___．2．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象可由抛物线y ＝ax 2__平移___得到，当k ＞0时，抛物线y ＝ax 2向上平移__k___个单位得y ＝ax 2＋k ；当k ＜0时，抛物线y ＝ax 2向__下___平移|k|个单位得y ＝ax 2＋k.知识点1：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1．抛物线y ＝2x 2＋2的对称轴是__y 轴___，顶点坐标是__(0，2)___，它与抛物线y ＝2x 2的形状__相同___．2．抛物线y ＝－3x 2－2的开口向__下___，对称轴是__y 轴___，顶点坐标是__(0，－2)___．3．若点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)在二次函数y ＝－12x 2＋1的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2的大小关系为__y 1＜y 2___．4．对于二次函数y ＝x 2＋1，当x ＝__0___时，y 最__小___＝__1___；当x__＞0___时，y 随x 的增大而减小；当x__＜0___时，y 随x 的增大而增大．5．已知二次函数y ＝－x 2＋4.(1)当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ (2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ (4)求图象与x 轴、y 轴的交点坐标．解：(1)x ＞0 (2)x ＜0 (3)x ＝0时，y 最大＝4(4)与x 轴交于(－2，0)，(2，0)，与y 轴交于(0，4) 知识点2：二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移6．将二次函数y ＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是__y ＝x 2＋1___．7．抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位得到抛物线y ＝－3x 2＋2，则a ＝__－3___，c ＝__4___．8．在同一个直角坐标系中作出y ＝12x 2，y ＝12x 2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y ＝12x 2－1与抛物线y ＝12x 2有什么关系？解：(1)图象略，y ＝12x 2开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标(0，0)；y ＝12x 2－1开口向上，对轴轴为y 轴，顶点坐标(0，－1) (2)抛物线y ＝12x 2－1可由抛物线y ＝12x 2向下平移1个单位得到知识点3：抛物线y ＝ax 2＋k 的应用9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l 是( B )A ．3.5 mB ．4 mC ．4.5 mD ．4.6 m10．如果抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( C) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋311．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是( A)A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤012．已知抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为__22___．13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4___，c＝__－3___．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝13x2于点B，C，则BC的长度为__6___．15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：(1)经过点(－3，2)；(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.解：(1)y＝13x2－1(2)y＝－12x2－1(3)－x2－116．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位．(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；(2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．解：(1)y＝－12x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴(2)图象略(3)x＝0时，y有最大值，为217．已知抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，2)，且经过(1，3)，求此抛物线的解析式．解：设抛物线解析式为y＝ax2＋k，将(0，2)，(1，3)代入y＝ax2＋k，得k＝2，a＝1，∴y＝x2＋218．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( D)A．a＋c B．a－c C．－c D．c19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－140x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．(5≈2.24，结果精确到1米)解：由题意得点E ，F 的纵坐标为8，把y ＝8代入y ＝－140x 2＋10，解得x ＝45或x ＝－45，EF ＝|45－(－45)|＝85≈18(米)，即这两盏灯的水平距离约为18米第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质1．二次函数y ＝a(x －h)2的图象是__抛物线___，它与抛物线y ＝ax 2的__形状___相同，只是__位置___不同；它的对称轴为直线__x ＝h___，顶点坐标为__(h ，0)___．2．二次函数y ＝a(x －h)2的图象可由抛物线y ＝ax 2__平移___得到，当h ＞0时，抛物线y ＝ax 2向__右___平移h 个单位得y ＝a(x －h)2; 当h ＜0时，抛物线y ＝ax 2向__左___平移|h|个单位得y ＝a(x －h)2.知识点1：二次函数y ＝a (x －h )2的图象1．将抛物线y ＝－x 2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( A ) A ．y ＝－(x ＋2)2 B ．y ＝－x 2＋2 C ．y ＝－(x －2)2 D ．y ＝－x 2－22．抛物线y ＝－3(x ＋1)2不经过的象限是( A ) A ．第一、二象限 B ．第二、四象限 C ．第三、四象限 D ．第二、三象限3．已知二次函数y ＝a(x －h)2的图象是由抛物线y ＝－2x 2向左平移3个单位长度得到的，则a ＝__－2___，h ＝__－3___.4．在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象略，抛物线y ＝x 2的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)；抛物线y ＝(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)；抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)知识点2：二次函数y ＝a (x －h )2的性质 5．二次函数y ＝15(x －1)2的最小值是( C ) A ．－1 B ．1C ．0D ．没有最小值6．如果二次函数y ＝a(x ＋3)2有最大值，那么a__＜___0，当x ＝__－3___时，函数的最大值是__0___．7．对于抛物线y ＝－13(x －5)2，开口方向__向下___，顶点坐标为__(5，0)___，对称轴为__x ＝5___．8．二次函数y ＝－5(x ＋m)2中，当x ＜－5时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－5时，y 随x 的增大而减小，则m ＝__5___，此时，二次函数的图象的顶点坐标为__(－5，0)___，当x ＝__－5___时，y 取最__大___值，为__0___．9．已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__y 3＜y 1＜y 2___．10．已知抛物线y ＝a(x －h)2，当x ＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2，解得a＝－3，∴此抛物线的解析式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小11．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数y ＝12x 2的图象相同的抛物线的解析式是( D ) A ．y ＝12(x －6)2 B ．y ＝12(x ＋6)2 C ．y ＝－12(x －6)2 D ．y ＝－12(x ＋6)2 12．平行于x 轴的直线与抛物线y ＝a(x －2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( C )A ．(1，2)B ．(1，－2)C ．(5，2)D ．(－1，4)13．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 和二次函数y ＝a(x ＋c)2的图象大致为( B )14．已知二次函数y ＝3(x －a)2的图象上，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是__a ≤2___．15．已知一条抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)，则该抛物线的解析式是__y ＝12(x ＋5)2___． 16．已知抛物线y ＝a(x －h)2的对称轴为x ＝－2，且过点(1，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的图象；(3)从图象上观察，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，函数有最大值(或最小值)? 解：(1)y ＝－13(x ＋2)2 (2)图象略 (3)x ＜－2时，y 随x 的增大而增大；x ＝－2时，函数有最大值17．已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y ＝－8x 2都相同，并且它的顶点在抛物线y ＝2(x ＋32)2的顶点上． (1)求这条抛物线的解析式；(2)求将(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的解析式；(3)将(2)中所求抛物线关于x 轴对称，求所得抛物线的解析式．解：(1)y ＝－8(x ＋32)2 (2)y ＝－8(x ＋132)2 (3)y ＝8(x ＋132)218．如图，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴上，OA ＝AB ＝1个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移1个单位长度后得△AA 1B 1.(1)求以A 为顶点，且经过点B 1的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D ，C 的坐标．解：(1)由题意得A(1，0)，A 1(2，0)，B 1(2，1)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2，∵抛物线经过点B 1(2，1)，∴1＝a(2－1)2，解得a ＝1，∴抛物线解析式为y ＝(x －1)2(2)令x ＝0，y ＝(0－1)2＝1，∴D 点坐标为(0，1)．∵直线OB 在第一、三象限的角平分线上，∴直线OB 的解析式为y ＝x ，根据题意联立方程组，得⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝（x －1）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3＋52，y 1＝3＋52，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3－52，y 2＝3－52. ∵x 1＝3＋52＞1(舍去)，∴点C 的坐标为(3－52，3－52) 第3课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质 1．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状__相同___，位置__不同___，把抛物线y ＝ax 2向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k ，平移的方向、距离要根据__h___，__k___的值来决定．2．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 有如下特点：①当a ＞0时，开口向__上___；当a ＜0时，开口向__下___；②对称轴是直线__x ＝h___；③顶点坐标是__(h ，k)___．知识点1：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象1．(2014·兰州)抛物线y ＝(x －1)2－3的对称轴是( C )A ．y 轴B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－32．抛物线y ＝(x ＋2)2＋1的顶点坐标是( A )A ．(－2，1)B ．(－2，－1)C ．(2，1)D ．(2，－1)3．把抛物线y ＝－2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( C )A ．y ＝－2(x ＋1)2＋2B ．y ＝－2(x ＋1)2－2C ．y ＝－2(x －1)2＋2D ．y ＝－2(x －1)2－24．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：(1)y ＝3(x －1)2＋2；解：开口向上，对称轴x ＝1, 顶点(1，2)(2)y ＝－13(x ＋1)2－5. 解：开口向下，对称轴x ＝－1，顶点(－1，－5)知识点2：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质5．在函数y ＝(x ＋1)2＋3中，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围为( A )A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．x ＜－1D ．x ＜36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y ＝－2(x －h)2＋k ，则下列结论正确的是( A)A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0,第6题图),第9题图) 7．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C)A．1米B．5米C．6米D．7米8．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则该矩形面积的最大值为__144_m2___．9．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是__(1，0)___．10．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．解：(1)a＝－1(2)由题意得抛物线的对称轴为x＝3，∵抛物线开口向下，∴当x＜3时，y随x的增大而增大，而m＜n＜3，∴y1＜y211．(2014·哈尔滨)将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( D )A ．y ＝－2(x ＋1)2－1B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2＋1D ．y ＝－2(x －1)2＋312．已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－2；③其图象顶点坐标为(2，－1)；④当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象如图，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过( C )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限14．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 215．二次函数y ＝a(x ＋k)2＋k ，无论k 为何实数，其图象的顶点都在( B )A ．直线y ＝x 上B ．直线y ＝－x 上C ．x 轴上D ．y 轴上16．把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5 (2)它的开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－5) 17．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式．(不要求写出自变量的取值范围)解：∵点(12，3)是抛物线的顶点，∴可设抛物线的解析式为y ＝a(x －12)2＋3.∵抛物线经过点(0，1)，∴1＝(0－12)2·a ＋3，解得a ＝－8，∴抛物线水柱的解析式为 y ＝－8(x －12)2＋318．已知抛物线y ＝－(x －m)2＋1与x 轴的交点为A ，B(B 在A 的右边)，与y 轴的交点为C.(1)写出m ＝1时与抛物线有关的三个正确结论；(2)当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)正确的结论有：①顶点坐标为(1，1)；②图象开口向下；③图象的对称轴为x ＝1；④函数有最大值1；⑤当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；⑥当x ＞1时，y 随x 的增大而减小等 (2)由题意，若△BOC 为等腰三角形，则只能OB ＝OC.由－(x －m)2＋1＝0，解得x ＝m ＋1或x ＝m －1.∵B 在A 的右边，所以B 点的横坐标为x ＝m ＋1＞0，OB ＝m ＋1.又∵当x ＝0时，y ＝1－m 2＜0.由m ＋1＝m 2－1，解得m ＝2或m ＝－1(舍去)，∴存在△BOC 为等腰三角形的情形，此时m ＝222．1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质第1课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)通过配方可化为y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a的形式，它的对称轴是__x ＝－b 2a ___，顶点坐标是__(－b 2a ，4ac －b 24a )___．如果a ＞0，当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而__减小___，当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而__增大___；如果a ＜0，当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而__增大___，当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而__减小___． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与y ＝ax 2的图象__形状完全相同___，只是__位置___不同；y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象可以看成是y ＝ax 2的图象平移得到的，对于抛物线的平移，要先化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规则来平移．知识点1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象和性质1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该二次函数有( B )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值2D ．最大值22．(2014·成都)将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( D )A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2＋4D ．y ＝(x －1)2＋23．若抛物线y ＝x 2－2x ＋c 与y 轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是( C )A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是x ＝1C ．当x ＝1时，y 的最大值为－4D ．抛物线与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)4．抛物线y ＝x 2＋4x ＋5的顶点坐标是__(－2，1)___．5．已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当__x ＜－2___时，y 随x 的增大而增大；当x ＝__－2___时，y 有最__大___值是__2___．知识点2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的变换6．抛物线y ＝－x 2＋2x －2经过平移得到y ＝－x 2，平移方法是( D )A ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位D ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位7．把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y ＝x 2－3x ＋5，则( A )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝218．如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C(5，4)．(1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．解：(1)由抛物线过C(5，4)得25a －25a ＋4a ＝4，解得a ＝1，∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－5x ＋4.∵y ＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，∴顶点坐标为P(52，－94) (2)(答案不唯一，合理即正确)如：先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为y ＝(x －52＋3)2－94＋4，即y ＝(x ＋12)2＋74，也即y ＝x 2＋x ＋29．(2014·河南)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点．若点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝2，则线段AB 的长为__8___．10．二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图象如图所示，则m 的值是( B )A ．－8B ．8C ．±8D ．6,第10题图) ,第12题图)11．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152.若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 112．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)的图象如图所示，当－5≤x ≤0时，下列说法正确的是( B )A ．有最小值－5，最大值0B ．有最小值－3，最大值6C ．有最小值0，最大值6D ．有最小值2，最大值613．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象正确的是( D )14．已知二次函数y ＝x 2－2kx ＋k 2＋k －2.(1)当实数k 为何值时，图象经过原点？(2)当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？解：(1)∵图象过原点，∴k 2＋k －2＝0，∴k 1＝－2，k 2＝1 (2)y ＝x 2－2kx ＋k 2＋k －2＝(x －k)2＋k －2，其顶点坐标为(k ，k －2)．∵顶点在第四象限内，∴⎩⎨⎧k ＞0，k －2＜0，∴0＜k ＜2 15．当k 分别取－1，1，2时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．解：①当k ＝1时，函数为y ＝－4x ＋4，是一次函数，无最值；②当k ＝2时，函数为y ＝x 2－4x ＋3，为二次函数，此函数图象的开口向上，函数只有最小值而无最大值；③当k ＝－1时，函数为y ＝－2x 2－4x ＋6，为二次函数，此函数图象的开口向下，函数有最大值，因为y ＝－2x 2－4x ＋6＝－2(x ＋1)2＋8，所以当x ＝－1时，函数有最大值，为816．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C ，D 两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点坐标；若P 点不存在，请说明理由． 解：(1)将(0，0)代入二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1中，得0＝m 2－1，解得m ＝±1，∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x 或y ＝x 2－2x (2)当m ＝2时，二次函数解析式为y ＝x 2－4x＋3，即y ＝(x －2)2－1，∴C(0，3)，顶点坐标为D(2，－1) (3)存在．连接CD ，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P 位于CD 与x 轴的交点时，PC ＋PD 最短．可求经过C ，D 两点的直线解析式为y ＝－2x ＋3，令y ＝0，可得－2x ＋3＝0，解得x ＝32，∴当P 点坐标为(32，0)时，PC ＋PD 最短 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y ＝ax 2＋bx ＋c___．(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h ，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y ＝a(x －h)2＋k___．以下有三种特殊情况：①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为__y ＝ax 2___；②当已知抛物线的顶点在y 轴上或以y 轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为__y ＝ax 2＋c___；③当已知抛物线的顶点在x 轴上，可设抛物线的解析式为__y ＝a(x －h)2___，其中(h ，0)为抛物线与x 轴的交点坐标．(3)交点式：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标(x 1，0)，(x 2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为__y ＝a(x －x 1)(x －x 2)___．知识点1：利用“三点式”求二次函数的解析式1．由表格中信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则下列y 与x 之间的函数关系式正确的是( A ) x －10 1 ax 2 1ax 2＋bx ＋c8 3 A .y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋82．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为__y ＝x 2－x －2___．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式．解：由题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝6，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－3x ＋1 知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( D )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8 D ．y ＝2(x －1)2－85．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y 轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式． 解：由题意，设二次函数的解析式为y ＝a(x －4)2－1，把(0，3)代入得3＝a(0－4)2－1，解得a ＝14，∴y ＝14(x －4)2－1 知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式6．如图，抛物线的函数表达式是( D ) A ．y ＝12x 2－x ＋4 B ．y ＝－12x 2－x ＋4 C ．y ＝12x 2＋x ＋4 D ．y ＝－12x 2＋x ＋4 7．已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．解：由题意，设二次函数解析式为y ＝a(x ＋1)(x －2)，把(0，－2)代入得－2＝－2a ，∴a ＝1，∴y ＝(x ＋1)(x －2)，即y ＝x 2－x －28．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( D )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝－12x 2－12x ＋2 C ．y ＝－12x 2－12x ＋1 D ．y ＝－x 2＋x ＋29．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点是(－1，－3)，则b ，c 的值分别是( D )A ．b ＝2，c ＝4B ．b ＝2，c ＝－4C ．b ＝－2，c ＝4D ．b ＝－2，c ＝－410．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … －2 －1 0 1 2 …y … 0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是__①③④___．(填序号)①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是x ＝0.5；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．11．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为__y ＝x 2－2x －3___．12．将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象沿x 轴对折后得到的图象的解析式为__y ＝－(x －1)2－2___．13．(2014·杭州)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C在直线x ＝2上，且点C 到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2___． 14．已知二次函数的图象的对称轴为x ＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，求此二次函数的表达式．解：由题意设y ＝a(x －1)2－6，∵图象经过点(2，－8)，∴－8＝a(2－1)2－6，解得a ＝－2，∴y ＝－2(x －1)2－6，即y ＝－2x 2＋4x －815．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x 轴交于A ，B 两点．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，试说明理由．解：(1)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，∴c ＝3，∴⎩⎨⎧9a －3b ＋3＝0，4a ＋2b ＋3＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，∴y ＝－x 2－2x ＋3 (2)∵当x ＝－2时，y ＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．令－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴与x 轴的交点为(－3，0)，(1，0)，∴AB ＝4，则S △PAB ＝12×4×3＝6。
2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图
22．1．3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质（2）——二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质学习目标：1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；一、复习：1．在同一直角坐标系内画出二次函数y＝12x2，y＝12x2+2，y＝12x2-2的图象（草图），并回答：(1)三条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．（1）在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋k 与y＝ax2的图象有什么关系？（2）二次函数y＝ax2＋k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？二、探索新知：1．二次函数y＝2(x－1)2和y＝2(x+1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?画出二次函数y＝2(x－1)2和y＝2(x+1)2与二次函数y＝2x2的图象，并加以观察观察图像得：函数y ＝2(x －1)2和y ＝2(x+1)2的图象相同点是： ； 不同的是：函数y ＝2(x －1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 ；函数y ＝2(x+1)2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 值是 。
把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x －1)2；把抛物线y ＝2x 2向 平移 个单位就得抛物线y ＝2(x+1)2。
2．画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y=－12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．先列表：2…描点并画图．（1）、观察图象，填表：三、整理知识点对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．四、课堂训练1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．5．抛物线y= -3(x+2)2开口向，对称轴为，顶点坐标为 .6．抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线向平移个单位得到的；7．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，再向上平移2个单位得，到的抛物线的表达式为____________________．8．抛物线y=3（x－3）2可由抛物线y=3x2沿轴向平移个单位得到，也可以由抛物线y=3（x－7）2沿轴向平移个单位得到。
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质②
当已知抛物线的顶点坐标或对称 轴和最值时，通常设函数的解析式为 项点式，然后代入另一点的坐标，解 关于a的一元一次方程
(a,x1,x2为 常数，a≠0)，其中是抛物 线与x轴两个交点的横坐标
当已知抛物线与x轴的两交点坐标 或一个交点的坐标和对称轴时,通常设 函数的解析式为交点式，然后代入另 一点的坐标,解关于a的一元一次方程
情景引入
请你回忆:确定一次函数的解析式需要函数图象上几 个点的坐标?这几个点需要满足什么条件? 请你猜想:确定二次函数的解析式需要几个点的坐标? 这几个点需要满足什么条件?
1
人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质②
15
知识点二：根据 y=a(x -h)2+k(a≠0)求二次函数解析式
学以致用
1.二次函数 y=x²+px+q的最小值是4,且当 x=2时，y=5，则p,q
的值为（ ）.
A.p=-2，q=15
B.p=-2，q=5或 p=-6，q=13
C.p=-6，q=13
D.p=2，q=-5或 p=6，q=-13
对于二次函数，我们先探究下面问题.
5
知识点一：根据y= ax2 +bx+c(a≠0)求二次函数解析式
新知探究
(1)由几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点 应满足什么条件? (2) 如果一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4), (2, 7)三 点，能求出这个二次函数的解析式吗?如果能，求出这个 二次函数的解析式.
21
知识点三：根据 y=a(x - x1)(x- x2)(a≠0)求二次函数解析式
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
(1) 列表 (2) 描点 (3) 连线
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
y = 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y = x2 y = ▁21 x2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
二次函数 y = x2的图 象是轴对称图形， 对称轴是 y 轴
10 y
9 8
7 6 5 4 3 2 1
y = x2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
从左到右：上升 y随x：增大而增大
抛物线 y = x2与它的对称轴的 交点(0,0)叫做抛物线 y = x2的 顶点 它是抛物线 y = x2的最低点．
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
(3) 连线
-1
y 1 x2
-2
2
-3
y x2
-4
-5 y 2 x2
22.1.2 二次函数 y=ax²的图象和性质
函数 y=- 1 x2（橘黄线）, y=-2x2（绿线）的图象与
2
函数 y=-x2(蓝线)的图象相比,有什么共同点和不同点?
y
相同点：开口：向下， 顶点：原点（0,0）——最高点
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0） 的图象叫做抛物线 y = ax2 + bx + c
y 10
9
8 7
y = x2
6
5
4
3
2
1
人教版九年级数学上册课件：22.1二次函数的图像和性质(第二课时)
练一练
抛物线y 2(x 3)2 的开口_向_上___；顶点坐
标为_（_-3_，__0 _）__；对称轴是__x_=_- 3___； 当x＝－3时，y有最__小___值是_y_=_0__.
归纳小结
1、填表
抛物线
上
轴对称
h0 h
00 0
左右
2、学习反思： ______________________________ ______________________________ _______.
2
的开口 向下 ，对称轴是经过（ 1 ，0 ）且与 x 轴垂
直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（ 1 ，0 ）.
练一练
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象
y 1 x2 , y 1 (x 2)2
2
2
, y 1 (x 2)2 2
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出他们的开口 方向、对称轴和顶点.
• 练一练
y 1 x2 开口向上、对称轴y轴、顶点坐标（0,0）
y
1
(
2
x
2)2
开口向上、对称轴x=-2、顶点坐标（-2,0）
y 21 (x 2)2 开口向上、对称轴x=2、顶点坐标（2,0）
二次函数 y a(x h)2 的性质；
思考 抛物线 y 1 x2与抛物线 y 1 x 12，
有什么关系？
分析：1、抛物线 y a(x h)2 特点：
（1）当 x＞0时，开口向 上 ； 当 x<0时，开口向 下 ；
（2）对称轴是直线
x=h ；
（3）顶点坐标是
(h,0)
.
分析：
2、抛物线 y a(x h)2与 y ax2 形状相同， 位置不同，y a(x h)2是由 y ax2 平移得到的.
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22.1 二次函数的图象与性质
一、填空题:
1.已知函数y=(k+2)24k k x +-是关于x 的二次函数,则k=________.
2.已知正方形的周长是acm,面积为Scm 2,则S 与a 之间的函数关系式为_____.
3.填表: c 2 6
2116s c =
1 4 4.在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________
5.用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.
二、选择题:
6.下列结论正确的是( )
A.二次函数中两个变量的值是非零实数;
B.二次函数中变量x 的值是所有实数;
C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;
D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零
7.下列函数中,不是二次函数的是( )
A.y=1-2x 2
B.y=2(x-1)2+4;
C.y=1
2(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 2 8.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )
A.y=πx 2-4
B.y=π(2-x)2;
C.y=-(x 2+4)
D.y=-πx 2+16π
9.若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m 等于( )
A.±2
B.2
C.-2
D.不能确定
三、解答题
10.分别说出下列函数的名称：
(1)y=2x-1 (2)y=-3x 2, (3)y= x 2
(4)y=3x-x 2 (5)y=x
11、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)d=21n 2-23n , (2)y=1-x 2, (3)y=-x(x-3)
12、 二次函数y=ax 2+c 中，当x=3时，y=26 ;当x=2时，y=11 ;则当x=5时，
y= ＿＿ .
13、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。
（1）求这个直角三角形的面积S 与其中一条直角边长x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；
（2）求当x=5cm 时直角三角形的面积。
14、函数y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 是常数)，问当a 、b 、c 满足什么条件时，
（1）它是二次函数？
（2）它是一次函数？
（3）它是正比例函数？
15、若
()m m x m
m
y-
+
=2
2
是二次函数，求m的值。
16、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：
时间t（秒）1 2 3 4 …
距离s（米） 2 8 18 32 …
写出用t表示s的函数关系式。
17、已知y与x2成正比例,并且当x=1时,y=2,求函数y与x的函数关系式,并求当x=-3时,y 的值.当y=8时,求x的值.
18、富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形。
如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？
请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长B C和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
答案：一、填空
1.2或-3
2.S=
1
16a2 3.
11
,4,2,8
44
±±
4.y=16-x2
5.y=-x2+4x
二、选择6.B 7.D 8.D 9.C
三、解答题
10⑴一次函数；⑵二次函数；⑶反比例函数；⑷二次函数；⑸正比例函数
11、⑴21，-23
⑵-1，1 ⑶-1，3
12、74
13、⑴S=21
x(10-x ),0＜x ＜10；⑵S=225cm 2
14、⑴当a ≠0时；⑵当a=0且b ≠0时；⑶当a=0，c=0，b ≠0时。
15、m=2
16、s=2x2
17、y=2x2;y=18;x=±2
18、⑴s=-4x2+24x ⑵当AB=2时BC=16；当AB=4时BC=8。