平稳时间序列模型的性质
时间序列分析练习题
17. 在趋势性检验中，进行单位根检验的意义是什么？
单位根检验就是根据已观测到的时间序列，检验产生这个时间序列的随机过程中的一阶 自回归系数是否为一，这个检验实际上就是对时间序列是否为一个趋势平稳过程的检验，如 果检验表明没有单位根，则它是一个趋势平稳过程，否则，它是一个带趋势的单位根过程。
①（ 均值为常数 ） ②（ 协方差为时间间隔 的函数 ）
则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。 8. 对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差（均为常数），则称之为白噪声过程。白 噪声过程是一个（宽平稳）过程。 9. 时间序列分析方法按其采用的手段不同可概括为数据图法，指标法和（模型法）
19. 线性趋势平稳的特点：当我们将时间序列中的完全确定的线性趋势去掉以后，所形 成的时间序列就是一个平稳的时间序列。
20. 如何以系统的观点看待时间序列的动态性？ 系统的动态性就是在某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响，也就是系统的记 忆性，描述记忆性的函数称为记忆函数。
三、证明题
1. AR(1)模型： X t 1 X t1 at ，其中 at 是白噪声，且 E at2
37. ARMA(n,m) 的逆转形式 X t I j X t j at 。 j 1
38.
模型适应性检验的相关函数法，在显著性水平
0.05 下，若
k
1.96 /
N，
则接受 k 0 的假设，认为 at 是独立的。
39. 模型适应性检验的 2 检验法，在显著性水平 下，若统计量
G12
G22
第二章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF
第⼆章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF⾃相关函数/⾃相关曲线ACFAR(1)模型的ACF：模型为：当其满⾜平稳的必要条件|a1|<1时（所以说，⾃相关系数是在平稳条件下求得的）：y(t)和y(t-s)的⽅差是有限常数，y(t)和y(t-s)的协⽅差伽马s除以伽马0，可求得ACF如下：由于{rhoi}其在平稳条件|a1|<1下求得，所以平稳0<a1<1则⾃相关系数是直接收敛到0-1<a1<0则⾃相关系数是震荡收敛到0对于AR(2)模型的ACF：（略去截距项）两边同时乘以y(t)，y(t-1)，y(t-2)......得到yule-Walker⽅程，然后结合平稳序列的⼀些性质（yule-Walker⽅程法确确实实⽤了协⽅差只与时间间隔有关的性质），得到⾃相关系数如下：rho0恒为1（⼆阶差分⽅程）令⼈惊喜的是，这个⼆阶差分⽅程的特征⽅程和AR(2)模型的是⼀致的。
所以，我们的rho本就是在序列平稳的条件下求得，所以{rhoi}序列也平稳。
当然，其收敛形式取决于a1和a2MA(1)模型的ACF:模型为：由于y(t)的表达式是由⽩噪声序列中的项组成，所以不需要什么平稳条件，就可以求得rho的形式如下：对于MA(p)模型，rho(p+1)开始，之后都为0.所以说，到了p阶之后突然阶段，变为0了。
ARMA(1,1)模型的ACF：模型为：还是使⽤yule-Walker⽅程法（⽤到了序列平稳则协⽅差只与时间间隔有关的性质）得到：所以有：ARMA(p,q)模型的ACF：ARMA(p,q)的⾃相关系数满⾜：（式1）前p个rho值（rho1，rho2...rhop）可以看做yule-Walker⽅程的初始条件，其他滞后值取决于特征⽅程。
（其实是这样的，rho1，rho2...rhop实际上能写出⼀个表达式，⽽rho(p+1)开始，就满⾜⼀个差分⽅程，⽽这个⽅程对应的特征根（即式1）⽅程和AR(p)对应的⼀模⼀样），所以，他会从之后q期开始衰减。
时间序列的特性
取对数后的变量差分(LnYt-LnYt-1)近似反映了 两个时期之间该序列的增长率。
13
我国的实际GDP（1970-2002）
30000 25000 20000
GDP Ln(GDP) dLn(GDP)
15000
10000
10
不同类型的平稳性
有趋势的平稳过程
– 序列由一个趋势函数和具有平稳性的误差组合而 成
I(d)过程
– 经过d次差分后可变为平稳过程的序列(difference stationary)
一般而言，非平稳性序列：
– 可以通过差分转变为平稳序列 – 估计量具有不标准的分布（例：随机行走过程）。
对于具有随机行走特征的序列，yt的期望值总 是等于y0，与时间t无关。
然而方差Var(yt) = se2t随着时间t增大。
我们说随机行走是高度持续的(persistent)， 因为对于所有的h ≥ 1，都有E(yt+h|yt) = yt 。
11
趋势平稳与差分平稳的区别
趋势平稳
自回归系数
迅速下降
动态乘数 平均平方误(MSE) 均值 Dyt的长期方差
很快消失 收敛
趋于恢复均衡 0
差分平稳
缓慢下降 长期存在
发散 逐步偏离均衡
非0
12
时间序列的特征
在做多元回归之前，有必要先了解每个时间 序列的特性。
在很多应用研究中，人们常常对具有增长趋 势的时间序列取对数后进行分析。
非平稳时间序列(Nonstationary time series )指均值、方差和自回归函数随 时间而变化的时间序列。
趋势平稳的的时间序列
趋势平稳的的时间序列趋势平稳的时间序列是指在一段时间内，其数据呈现出相对稳定的发展趋势，即没有明显的上升或下降趋势。
在统计学中，趋势平稳的时间序列对于分析和预测具有重要意义。
趋势平稳的时间序列的特征主要有以下几个方面：1. 均值稳定性：趋势平稳的时间序列的均值在不同的时间段内保持相对稳定。
也就是说，数据的整体平均水平没有明显的增长或降低趋势。
2. 方差稳定性：趋势平稳的时间序列的方差在不同时间段内保持相对稳定。
也就是说，数据的波动性没有明显的增加或减少趋势。
3. 自相关性：趋势平稳的时间序列的不同时刻的观测值之间存在一定的自相关性。
也就是说，当前时刻的观测值与前一时刻（或者前几个时刻）的观测值相关联。
这种自相关性是由于时间序列中的某种内在规律性或者周期性导致的。
4. 缺乏季节性或周期性：趋势平稳的时间序列在一段时间内不具备明显的季节性或周期性变化。
也就是说，数据的变化主要是由整体趋势所引起的，而非季节性或周期性因素所导致。
趋势平稳的时间序列分析和预测相对比较简单，因为在其基础上可以应用一些经典的时间序列分析方法。
以下是几种常见的分析和预测方法：1. 移动平均法：移动平均法是一种通过计算相邻时间段内的数据均值来平滑时间序列的方法。
在趋势平稳的时间序列中，由于数据的整体趋势相对稳定，因此移动平均法可以有效降低数据的随机波动，提取出数据的主要趋势，从而更好地分析和预测。
2. 指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均计算当前时刻的观测值的方法，其中对不同时刻的观测值赋予不同的权重。
在趋势平稳的时间序列中，指数平滑法可以根据当前时刻的观测值和先前时刻的预测值来计算最新的预测值，从而更好地捕捉到数据的趋势性。
3. 自回归移动平均模型(ARIMA)：ARIMA模型是一种常用的时间序列模型，可以将时间序列分解为自回归(AR)部分、差分(I)部分和滑动平均(MA)部分。
在趋势平稳的时间序列中，ARIMA模型可以通过拟合数据的自回归部分和滑动平均部分来进行预测，从而更好地反映数据的整体趋势。
平稳时间序列模型的性质概述
平稳时间序列模型的性质概述平稳时间序列模型是一种描述时间序列数据的统计模型，它的核心假设是数据在时间上的统计特性不发生变化。
具体而言，平稳时间序列模型具有以下性质：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值不随时间变化而变化，即序列的均值是恒定的。
这意味着序列的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差不随时间变化而变化，即序列的方差是恒定的。
这意味着序列的波动性是稳定的，不存在明显的波动增长或缩减。
3. 自协方差稳定性：平稳时间序列的自协方差（序列任意两个时间点之间的协方差）仅依赖于时间点之间的间隔，而不依赖于特定的时间点。
这意味着序列的相关性结构是稳定的，不存在明显的季节性或周期性变化。
4. 纯随机性：平稳时间序列被认为是纯随机的，没有系统性的模式或规律可寻。
这意味着序列的未来值无法通过过去的观察值来准确预测。
根据这些性质，我们可以使用平稳时间序列模型来进行时间序列的建模和预测。
常见的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA 模型）以及季节性模型等。
总而言之，平稳时间序列模型具有均值稳定性、方差稳定性、自协方差稳定性和纯随机性等性质，这使得它们成为分析和预测时间序列数据的常用工具。
通过运用这些模型，我们可以揭示序列的短期和长期特征，提供数据的统计属性并进行未来值的预测。
平稳时间序列模型是时间序列分析中非常重要的方法之一，它能够帮助我们理解和预测一系列观测值之间的关系。
在实际应用中，平稳时间序列模型常被用于金融市场分析、经济学研究、气象预测等领域。
首先，均值稳定性是平稳时间序列模型的一个重要性质。
这意味着序列的长期平均水平是恒定的，不随时间变化而变化。
例如，在金融市场中，股票价格的均值稳定性意味着股票价格的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
通过建立平稳时间序列模型，我们可以更好地理解价格的平均水平，并预测未来的价格走势。
时间序列的平稳性及其检验
⒉经典回归模型与数据的平稳性
❖ 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
❖ 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致 性”要求——被破怀。
❖ 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变 量
❖ 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
表 9.1.1 一个纯随机序列与随机游走序列的检验
序号 Random1 自相关系数
Q LB
rk (k=0,1,…17)
Random2
rk
自相关系数
Q LB
(k=0,1,…17)
1 -0.031 K=0, 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 3 0.108 K=2, -0.393 4 -0.455 K=3, -0.147 5 -0.426 K=4, 0.280 6 0.387 K=5, 0.187 7 -0.156 K=6, -0.363 8 0.204 K=7, -0.148 9 -0.340 K=8, 0.315 10 0.157 K=9, 0.194 11 0.228 K=10, -0.139 12 -0.315 K=11, -0.297 13 -0.377 K=12, 0.034 14 -0.056 K=13, 0.165 15 0.478 K=14, -0.105 16 0.244 K=15, -0.094 17 -0.215 K=16, 0.039 18 0.141 K=17, 0.027 19 0.236
0.059 3.679 4.216 6.300 7.297 11.332 12.058 15.646 17.153 18.010 22.414 22.481 24.288 25.162 26.036 26.240 26.381
第二章平稳时间序列模型——AR（p）,MA（q）,ARMA（p,q）模型及其平稳性
第⼆章平稳时间序列模型——AR（p）,MA（q）,ARMA（p,q）模型及其平稳性1⽩噪声过程:零均值，同⽅差，⽆⾃相关（协⽅差为0）以后我们遇到的efshow如果不特殊说明，就是⽩噪声过程。
对于正态分布⽽⾔，不相关即可推出独⽴，所以如果该⽩噪声如果服从正态分布，则其还将互相独⽴。
2各种和模型p阶移动平均过程：q阶⾃回归过程：⾃回归移动平均模型：如果ARMA(p,q)模型的表达式的特征根⾄少有⼀个⼤于等于1，则{y(t)}为积分过程，此时该模型称为⾃回归秋季移动平均模型（ARIMA）时间序列啊，不就是求个通项公式，然后求出⼀个⾮递推形式的表达式吗？（这个公式和⾃变量t有关，然后以后只要知道t就能得到对应的y的预测值）3弱平稳/协⽅差平稳：均值和⽅差为常数（即同⽅差），协⽅差仅与时间间隔有关4⾃相关系数：5AR(1)模型（带⽩噪声的⼀阶差分⽅程）的平稳性：（1）如果初始条件为y0：则其解为（我们通过其解来判断其是否平稳）此时{y(t)}是不平稳的。
· 但是如果|a1|<1，其t⾜够⼤，则{y(t)}是平稳的。
均值：⽅差：等于协⽅差：等于所以有结论：（2）初始条件未知：则其通解为：{y(t)}平稳的条件为：1 |a1|<12 且齐次解A(a1)^t为0：序列从很久前开始（即t很⼤，且结合1，则为0），或该过程始终平稳（A=0）所以说，解的稳定性和序列的平稳性是不⼀样的。
这两条对所有的ARMA(p,q)模型都适⽤。
（对于任意的ARMA(p,q)模型，齐次解为0是平稳性必要条件）（ARMA(p,q)模型的齐次解为或）6对于ARMA(2,1)模型的平稳性：模型表达式为：（2.16）（截距项不影响平稳性，略去）设其挑战解为：（⽤待定系数法）则系数应当满⾜⽅程：（2.17）序列{阿尔法i}收敛的条件是⽅程（2.16）对于的齐次⽅程的特征根都在单位圆之内（因为2.17中的差分⽅程对于的特征⽅程和⽅程2.16对于的特征⽅程是⼀模⼀样的）我们之所以只考虑特解，是因为我们让齐次解为0.此时该挑战解/特解：均值为：⽅差为：（t很⼤时⽤级数求和）协⽅差为：等于所以其平稳性条件为（t很⼤）：1模型对应的齐次⽅程的特征⽅程的特征根在单位圆内2齐次解为0。
3.1-平稳时间序列模型的基本概念解析
被{Xt}的一维分布族所决定。均值表示随机过程在
各个时刻的摆动中心。
• 3. 时间序列的自协方差函数 (t, s) E( Xt t )(X s s )
aa
a a (x t )(y s )dFt,s (x, y)
由此可见，时间序列的自协方差函数是 随机变量间协方差推广差. 时间序列自协方差函数具有对称性：
nk t 1
( xt
x )(xt k
x)
(2)
ˆˆk
1 nk
nk
( xt
t 1
x)(xtk
x)
上一页 下一页 返回本节首页
• 通过证明有如下结论：
• 上述样本自协方差函数 ˆk ˆˆk 都是总体自协方 差函数 k的渐近无偏估计，且ˆk比 ˆˆ的k 偏差 要 况大下。（n但很是大，）ˆk比，ˆˆ二k的者方差差别小不，大且，在因大此样我本们情
二、平稳时间序列
• （一）两种不同的平稳性定义 • （二）时间序列的分布、均值和协方差函数 • （三）平稳序列的自协方差和自相关函数 • （四）白噪声序列和独立同分布序列 • （五）独立增量随机过程、二阶矩过程 • （六）线性平稳序列 • （七）偏自相关函数
上一页 下一页 返回本节首页
（一）两种不同的平稳性定义
• 1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值 t1<t2<…<tn，此序列中的随机变量 Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关，即有：
• Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s)
第八章 平稳时间序列建模(ARMA模型)
p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声
序列。
4
2. 移动平均模型MA(q)
q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程：
ut t 1 t 1 q t q
(5.2.5)
其中：参数 为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动
平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声 序列。
AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。
8
2．MA(q) 模型的可逆性
考察MA(q) 模型
ut (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
2 E ( t ) 0
2
(5.2.16)
t t
qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若
1 1 z 2 z q z 0
在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。
20
4. ARMA(p,q)模型的估计选择
EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点
L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：
(1 1 L 2 L 2 p Lp ) ut c t
第20章-平稳时间序列
3
yt 与 yt k 之间的相关性可能由二者之间的变量 yt 1 , , yt k 1 引起。
定义 时间序列 yt 的 k 阶偏自相关系数(partial autocorrelation of order k)为 * k Co rr( yt , yt k | yt 1 , , yt k 1 ) 即给定 yt 1 , , yt k 1 条件下， yt 与 yt k 的条件相关系数。
2 依次类推， yt yt 1 ~ N ( 0 1 yt 1 , ), t 2, , T 。
整个样本数据 y1 , y2 , , yT 的联合概率密度为
f y1 , , yT ( y1 , , yT ) f y1 ( y1 ) f ytቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ| yt 1 ( yt | yt 1 )
yt t 1 t 1 2 t 2 q t q
也可以进行条件 MLE 估计，即在给定“ 0 1 q 1 0 ”的
14
条件下，最大化样本数据的似然函数。
20.4 ARMA 将 AR(p)与 MA(q)结合起来，得到 ARMA(p, q)：
16
如果 q 0 ，则 ARMA(p, q)简化为 AR(p)模型：
yt 0 1 yt 1 p yt p t
假 设 真 实 模 型 为 AR(p) ， 却 用 OLS 来 估 计 AR(p+1) ， 即 ˆ 0 yt 0 1 yt 1 p yt p p 1 yt p 1 t ，则 plim p 1 ，因为
第20章平稳时间序列平稳时间序列时间序列平稳性检验非平稳时间序列时间序列平稳性平稳时间序列模型时间序列弱平稳时间序列时间序列分析时间序列模型
时间序列分析方法 第03章 平稳ARMA模型
第三章 平稳ARMA 过程一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。
通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的时间序列的基本概念，并且为描述单变量时间序列的动态性质提供一类十分有用的模型。
§3.1 预期、平稳性和遍历性3.1.1 预期和随机过程假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本：},,,{21T y y y这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。
例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。
对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列：+∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)(将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。
定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,{P ℜΩ上的随机变量，则称随机变量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。
例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为：]21exp[21)(22t t Y y y f t σσπ= 此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。
定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征：(1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)：⎰==+∞∞-tt Y t t t dy y f y Y E t )()(μ (3.1) 此时它是随机样本的概率极限：∑==∞→I i i t I t y I P Y E 1)(1lim)( (3.2) (2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛): 20)(t t t Y E μγ-= (3.3) 例3.3 几种重要类型的随机过程1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=则它的均值和方差分别为：μεμμ=+==)()(t t t E Y E2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E(2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=则它的均值和方差分别为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()(2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E3.1.2 随机过程的自协方差函数将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。
谱密度时间序列平稳时间序列
谱密度时间序列平稳时间序列
谱密度是一种用于描述时间序列的频谱特征的统计工具，它提
供了一种对时间序列中不同频率成分的分解。
平稳时间序列是指其
统计特性在不同时间段内是不变的，即均值和方差不随时间变化而
变化。
现在让我来从不同角度来回答你的问题。
首先，谱密度是一种频谱分析工具，它可以帮助我们了解时间
序列中不同频率成分的贡献。
谱密度函数是对时间序列的自相关函
数进行傅里叶变换得到的，它可以告诉我们不同频率下的能量分布
情况，从而揭示时间序列的频谱特征。
其次，平稳时间序列是指其统计特性在不同时间段内是不变的。
这意味着时间序列的均值和方差在不同时间段内保持不变。
平稳时
间序列的特点是它的统计性质不会随着时间的推移而发生变化，这
使得我们可以对其进行更可靠的预测和建模。
从时间序列的角度来看，谱密度可以帮助我们理解时间序列中
不同频率的振荡模式，而平稳时间序列的特性使得我们可以更好地
理解时间序列的统计规律和性质。
从分析方法的角度来看，谱密度可以通过对时间序列进行频域分析来揭示其频谱特征，而平稳时间序列的特性可以帮助我们选择合适的模型和分析方法来处理时间序列数据。
总之，谱密度和平稳时间序列是时间序列分析中重要的概念和工具，它们可以帮助我们深入理解时间序列数据的频谱特征和统计性质，从而更好地进行数据分析和建模。
时间序列平稳性和单位根检验
结合其他统计和经济模型，深入 研究时间序列数据的特征和趋势， 以更好地理解和预测经济运行情
况。
针对时间序列数据的非平稳性， 探索更为有效的分析和预测方法， 以提高经济预测的准确性和可靠
性。
THANKS
感谢观看
• 帕克-帕朗检验（PP检验）：PP检验与ADF检验类似，也是基于回归模型进行 单位根检验。它通过比较原始序列与一阶差分序列的方差来构建统计量，以判 断是否存在单位根。
• 扩展迪基-富勒检验（ADF-GLS检验）：ADF-GLS检验是ADF检验的一种扩展， 考虑了异方差性问题，提高了检验的准确性。它通过对模型残差进行广义最小 二乘法（GLS）处理来纠正异方差性。
时间序列平稳性和单位根 检验
• 引言 • 时间序列平稳性 • 单位根检验 • 时间序列模型 • 时间序列平稳性和单位根检验的应用 • 结论
01
引言
主题简介
时间序列平稳性
时间序列数据随时间变化而呈现出一定的趋势和周期性。平稳性是指时间序列 数据的统计特性不随时间而变化，即数据的均值、方差和自相关函数等特征保 持恒定。
要点二
意义
在金融、经济、社会和自然等领域中，许多时间序列数据 都具有非平稳性，如股票价格、经济增长、气候变化等。 通过进行平稳性和单位根检验，可以揭示这些数据背后的 动态机制和长期趋势，有助于制定更加科学合理的经济政 策、投资策略和社会发展计划。同时，这些检验方法在统 计学、计量经济学和时间序列分析等领域也具有重要的理 论价值。
模型稳定性
平稳性有助于建立稳定和 可靠的统计模型，因为模 型参数不会随时间而变化。
数据分析基础
平稳性是许多统计分析方 法的前提条件，如回归分 析、时间序列分析和经济 计量分析等。
平稳序列和非平稳序列
平稳序列和非平稳序列
平稳序列和非平稳序列是时间序列分析中经常遇到的两种类型。
平稳序列指的是在时间轴上，变量的平均值和方差保持不变的序列，也就是说，序列的统计性质在时间上是不随时间变化而发生改变的。
而非平稳序列则是指在时间轴上，变量的平均值和方差发生明显的变化的序列，也就是说，序列的统计性质在时间上是随时间变化而发生改变的。
对于平稳序列，我们可以使用一些基于平稳假设的统计方法来进行分析和预测，例如自回归移动平均模型(ARMA)、自回归积分移动平均模型(ARIMA)等等。
这些方法基于序列的平稳性假设，可以用来捕
捉序列中的周期性和趋势性信息。
而对于非平稳序列，我们需要进行一些处理，才能使用这些基于平稳假设的方法来进行分析和预测。
一种处理方法是对序列进行差分，即对序列每个时间点上的数值与前一个时间点上的数值做差，从而得到一个新的序列。
如果得到的新序列是平稳序列，则可以使用基于平稳假设的方法进行分析和预测。
另一种处理方法是使用基于非平稳假设的方法，例如趋势线性回归模型、季节性模型、指数平滑模型等等，来对序列进行分析和预测。
总之，在时间序列分析中，平稳序列和非平稳序列都是非常重要的，需要根据实际情况选择不同的处理方法。
- 1 -。
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
时间序列分析第三章平稳时间序列分析轴表示序列取值。
时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界的特点。
如果观察序列的时序图，显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。
从图上可以看出，数值围绕在0附近随机波动，没有明显或周期，其本可以视为平稳序列，时序图显示该序列波动平稳。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8;run;图一图二样本自相关图图三样本逆自相关图2图四样本偏自相关图图五纯随机检验图实验结果分析：（1）由图一我们可以知道序列样本的序列均值为-0.06595，标准差为1.561613，观察值个数为84个。
（2）根据图二序列样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数，综轴表示延迟时期数，用水平方向的垂线表示自相关系数的大小。
我们发现样本自相关图延迟3阶之后，自相关系数都落入2倍标准差范围以内，而且自相关系数向0.03衰减的速度非常快，延迟5阶之后自相关系数即在0.03值附近波动。
这是一个短期相关的样本自相关图。
所以根据样本自相关图的相关性质，可以认为该序列平稳。
（3）根据图五的检验结果我们知道，在各阶延迟下LB检验统计量的P值都非常小（<0.0001），所以我们可以以很大的把握（置信水平>99.999%）断定该序列样本属于非白噪声序列。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8minicp=(0:5)q=(0:5);run;IDENTIFY命令输出的最小信息量结果3某个观察值序列通过序列预处理，可以判定为平稳非白噪声序列，就可以利用ARMA模型对该序列建模。
建模的基本步骤如下：A：求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF）的值。
平稳时间序列模型的特性
它旳解为
Xt
at
1 1B
(1 1B 12 B 2
13 B3
)at
1j at j
G j at j
j0
j0
11
3.格林函数旳意义
(1) G j是前j个时间单位此迈进入系统旳扰动 at j对系统目前行 为(响应)影响旳权数。
(2)
G
客观地刻画了系统动态响应衰减旳快慢程度。
j
(3)
G
是系统动态旳真实描述。系统旳动态性就是蕴含在时间
3. 系统参数对系统响应旳影响 对此我们用实例加以阐明，对前面旳序列分将别利用 1 0.5 和 1 0.9 成了两个序列，分别描 绘在图3.2和图3.3中，
16
17
1
1
1
经过比较图3.1、图3.2能够懂得: (1) 取负值时，响应波动较大。 (2) 取正值时，响应变得平坦。 (3) 越大，系统响应回到均衡位置旳速度越慢，时
0
1 1 p
29
AR(P)序列中心化变换
称 {yt}为 {xt}旳中心化序列 ，令
0
1 1 p
yt xt
30
自回归系数多项式
引进延迟算子，中心化 AR( p)模型又能够简
记为
(B)xt t
自回归系数多项式
(B) 1 1B 2B2 p B p
31
AR模型平稳性鉴别
鉴别原因
zt (c1 c2t
cd t d 1)1t
c t d 1 d 1
cppt
复根场合
zt rt (c1eit c2eit ) c33t
c
p
t p
26
非齐次线性差分方程旳解
非齐次线性差分方程旳特解
严平稳和宽平稳时间序列的关系
严平稳和宽平稳时间序列的关系1.引言1.1 概述时间序列是指按照一定的时间顺序排列的数据序列，在众多领域中都有重要的应用。
在时间序列分析中，我们常常关注序列的平稳性质，即序列的统计特征在时间上是否具有稳定性。
严平稳和宽平稳是时间序列中两种重要的平稳性质。
严平稳时间序列是指在时间域的任意滞后下，序列的统计特征保持不变。
也就是说，严平稳时间序列的均值、自相关函数和方差不会随时间的推移而变化。
这种平稳性质直观上意味着时间序列的基本统计特征在整个时间段内保持不变，因此可以更好地进行预测和分析。
与严平稳时间序列不同，宽平稳时间序列是指在时间域的某个滞后下，序列的统计特征保持不变。
宽平稳序列只要求序列的均值、自相关函数和方差在一个有限的时间段内是常数，而不一定要求在整个时间段内保持不变。
本文将重点讨论严平稳时间序列和宽平稳时间序列之间的关系。
通过分析两种平稳性质的定义和特征，探讨它们的联系与区别。
此外，还将探索严平稳和宽平稳时间序列的应用和意义，以及它们在实际问题中的具体应用场景和价值。
通过对严平稳和宽平稳时间序列的深入研究，将有助于我们更好地理解时间序列的统计特征和规律，从而提高对时间序列数据的分析和预测能力。
这对于许多领域中的决策和规划都具有重要的意义，例如金融市场预测、经济指标分析、天气预测等。
接下来，我们将逐步展开对严平稳和宽平稳时间序列的详细讨论。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以这样编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和分析严平稳和宽平稳时间序列的关系：2. 正文2.1 严平稳时间序列2.1.1 定义：介绍严平稳时间序列的定义和基本概念。
2.1.2 特征：探讨严平稳时间序列的主要特征以及其在实际应用中的重要性。
2.2 宽平稳时间序列2.2.1 定义：解释宽平稳时间序列的定义和基本概念。
2.2.2 特征：探讨宽平稳时间序列的主要特征以及其与严平稳时间序列之间的联系。
3. 结论3.1 严平稳和宽平稳的关系：总结和比较严平稳和宽平稳时间序列之间的关系和区别。
ma模型的特征方程
MA模型的特征方程MA模型（Moving Average Model）是时间序列分析中的一种重要模型，用于描述随机过程中的平稳时间序列。
它是AR模型（自回归模型）的补充，通过对过去时期的误差项进行线性组合来预测当前时期的观测值。
MA模型的特征方程是描述该模型动态性质的一个重要方程。
在本文中，我们将详细介绍MA模型以及其特征方程，并解释其各个部分的含义和作用。
1. MA模型简介MA模型是由经济学家Peter Whittle于1951年提出的一种时间序列模型。
它假设观测值与过去时期的随机误差项之间存在线性关系，即当前时期的观测值是过去几个时期误差项的线性组合。
一个p阶的MA模型可以表示为：X t=μ+εt+θ1εt−1+θ2εt−2+...+θpεt−p其中，X t表示当前时期t的观测值，μ表示常数项，εt表示当前时期t的随机误差项，θ1,θ2,...,θp表示MA模型的参数，表示过去p个时期的误差项对当前时期观测值的影响。
MA模型的特点是具有有限的记忆性，即只与过去几个时期的误差项相关，而不与更远的时期相关。
MA模型适用于描述一些具有短期相关性但无长期趋势的时间序列数据。
2. MA模型的特征方程特征方程是描述MA模型动态性质的一个重要方程，通过求解特征方程可以得到模型的特征根（characteristic roots），进而判断模型是否稳定。
对于一个p阶的MA模型，其特征方程可以表示为：1+θ1z+θ2z2+...+θp z p=0其中，z是一个复数。
特征方程可以看作是关于z的多项式方程，在复平面上寻找使得该多项式等于零的解。
求解特征方程可以采用多种方法，其中一种常用方法是使用牛顿迭代法（Newton-Raphson method）进行数值求解。
通过迭代计算可以得到特征根的近似值。
3. 特征方程求解示例下面我们以一个简单的二阶MA模型为例，来演示如何求解特征方程。
假设我们有一个二阶MA模型：X t=μ+εt+θ1εt−1+θ2εt−2其中，μ为常数项，εt为当前时期的随机误差项，θ1和θ2为模型的参数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
21
于是有如下结论: 11 1 1 kk 0 (k 2)
上述结论说明： AR (1)过程的偏自相关函数(PACF) 在滞后一阶有一峰值，其符号取 决于 1 。滞后一阶以后PACF截尾。
2014-11-19 第四章 时间序列模型的性质 22
(1 0.85B) xt t 或 其中 xt (0.85) xt 1 t
1 0.85
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
25
4.AR(1)程的传递形式和格林函数
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
26
二、二阶自回归AR(2)过程的性质
二阶自回归模型的形式为：
1 0.85
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
15
3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）
A.偏自相关函数的一般公式
在第二章我们已经知道 , 偏自相关函数指剔除掉 xt 和xt k 之间的随机变量 xt 1 , xt 2 , xt k 1的影响之后 , xt 和xt k 之间 的相关性, 它一般用 kk 来表示. 假设E ( xt ) 0, 且xt 与xt 1 , xt 2 , xt k 1 , xt k间存在线性关系 , 则有 : xt k1 xt 1 k 2 xt 2 kk 1 xt k 1 kk xt k et 上式中, ki为第i个回归系数, et为正态误差项 , 且 cov(et , xt j ) 0 ( j 1) 上式中的 kk也就是xt 和xt k间的偏自相关系数 .
2014-11-19 第四章 时间序列模型的性质 16
偏自相关函数的一般公 式可推导如下: 将xt j ( j 1)乘上式两端, 并求期望得 E ( xt xt j ) k1 E ( xt 1 xt j ) k 2 E ( xt 2 xt j ) kk E ( xt k xt j ) 于是有 : j k1 j 1 k 2 j 2 kk j k 所以 : j k1 j 1 k 2 j 2 kk j k
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
17
对于j 1,2, k , 我们有如下方程组 1 k1 0 k 2 1 kk k 1 2 k1 1 k2 0 kk k 2 k k1 k 1 k 2 k 2 kk 0 此方程称为Yule Wol ker 方程, kk即为偏自相关函数
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
18
对于k 1,2, k ,由Gram er 法则可得
11 1 0 1 22 0 1 0 1 2 33 0 1 2
2014-11-19
1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 2 3 2 1 0
B.平稳性： 1 1B 0 的根必须在单位圆外， 为满足平稳性， 即应有： 1
1
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
4
2.ar(1)过程的自相关函数
AR(1)过程的自协方差函数如 下:
0 E ( xt ) 2 E (12 xt21 21 t xt 1 t2 )
E ( t2 12 t21 14 t2 2 )
2 (1 12 14 16 ) a 2 a 1 12
k E ( xt xt k ) E ( t 1 t 1 12 t 2 1k t k
)( t k 1 t k 1 12 t k 2 ) E ( t2 k 12 t2 k 1 14 t2 k 2 ) 1k
2 1k (1 12 14 16 ) a 2 1k a 1 12
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
29
上述差分方程的特征方 程为
2 1 2 0
(1)如果 12 4 2 0,即上述特征方程有两相 异实根
1 12 4 2 解之得特征根为 1, 2 2 1 12 4 2 k 1 12 4 2 k 于是 k b1 ( ) b2 ( ) 2 2 其中常数b1 , b2可由如下初始条件求出 1 1 2 1 2 1 1 2 显然此时AR(2)的ACF呈混合指数衰减
2014-11-19 第四章 时间序列模型的性质 7
于是有
k k k 1 0 且 0 1
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
8
通过上述推导可看出，当过程平稳即 1 1 时，AR(1)过程的自相关函数（ACF）呈 指数衰减。
如果 0 1 1 ，那么所有的自相关系数都为正， 并逐渐衰减。
2014-11-19 第四章 时间序列模型的性质 30
(2)如果 4 2 0,即上述特征方程有两重 实根
另一种思路：
根据定义：偏自相关函数是指扣除Xt和Xt-k 之间的随机变量Xt-1,Xt-2, …Xt-k-1等影响之后 的Xt和Xt-k之间的相关性。 对于p阶自回归过程，当s≤p时，xt与xt-s有 直接的相关性；而s>p时，两者没有直接的 相关性。 因此，对于AR(p)过程，在模型的滞后阶数 以内，通常有非零的偏自相关系数；但在 滞后阶数以外，偏自相关系数则为零。
1 2 1
1
第四章 时间序列模型的性质
19
类推下去可得 , 1
1
1
1
2 1
k 2 k 3
1 2
k 1 k 2 kk 1 1 1 1
k 3 1 2 k 2 1 k 3
第四章 时间序列模型的性质
5
因此它的自相关函数为 :
k k k 1 0
(k 1)
当k 0时, 有 0 1
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
6
上述结论还可通过如下 方法证明:
0 E ( xt2 ) E ( t 1 t 1 12 t 2 ) 2
xt 1xt 1 1xt 2 t
或
1 B B x
2 1 2 t
2014-11-19 第四章 时间序列模型的性质
t
27
1、平稳性和可逆性
A.可逆性： ar(2)模型总是可逆的。
B.平稳性： 2 1 1B 2 B 0 为满足平稳性， 须在单位圆外.
的根必
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
28
2.AR(2)过程的自相关函数
AR(2)过程的自协方差求得如 下
k E ( xt k xt ) E (1 xt k xt 1 ) E ( 2 xt k xt 2 ) E ( xt k t ) 所以 k 1 k 1 2 k 2 (k 1) 因而,自相关函数为 k 1 k 1 2 k 2 (k 1)
第四章 时间序列模型的性质 23
2014-11-19
滞后一阶 以后截尾
例1：模拟生成的 AR(1)过程自相关图::
(1 0.85B) xt t 或 xt 0.85xt 1 t 其中1 0.85
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
24
滞后一阶 以后截尾
例2：模拟生成的 AR(1)过程自相关图::
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
12
例2，下面两图表分别是模拟生成的249个数据 如下AR(1)过程趋势图和自相关图
(1 0.85B) xt t 或 xt (0.85) xt 1 t 其中1 0.85, t为正态N (0,1)白噪声
2014-11-19
2014-11-19
1 0 1 0 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 0 1 1 3 2 1 1 2 0 2 0 1 2 1 1 0 1 0 2 1 0
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
10
4
2
0
-2
-4
-6 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
例1，模拟生成的AR(1)过程趋势图
2014-11-19 第四章 时间序列模型的性质 11
呈指数衰减
例1：模拟生成的 AR(1)过程自相关图:
(1 0.85B) xt t 或 xt 0.85xt 1 t 其中1 0.85
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
2
一、一阶自回归过程AR(1)的性质
一阶自回归模型的形式为：
xt 1 xt 1 t
或
1 1Bxt t
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
3
1、平稳性和可逆性
a.可逆性： 一个有限阶的自回归模型总是可逆的， 所以，ar(1)模型总是可逆的。
第四章 时间序列模型的性质
13
6 4 2 0 -2 -4 -6 82 84 86 88 90 92 Y 94 96 98 00
例2，模拟生成的AR(1)过程趋势图
14
2014-11-19
第四章 时间序列模型的性质
呈正负交替 指数衰减
例2：模拟生成的 AR(1)过程自相关图::
(1 0.85B) xt t 或 其中 xt (0.85) xt 1 t